Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений
Исследован вопрос о формировании ограниченной полосы разрыва перемещений (локализации пластической деформации) для материалов с площадкой текучести. Для двух моделей распределения напряжений вдоль полосы построено ограниченное поле напряжений на продолжении полосы. Установлено, что длина полосы коне...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86500 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений / Ю.А. Черняков, А.Г. Шевченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 61–66. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86500 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-865002015-09-20T03:02:00Z Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений Черняков, Ю.А. Шевченко, А.Г. Механіка Исследован вопрос о формировании ограниченной полосы разрыва перемещений (локализации пластической деформации) для материалов с площадкой текучести. Для двух моделей распределения напряжений вдоль полосы построено ограниченное поле напряжений на продолжении полосы. Установлено, что длина полосы конечная и определяется в зависимости от действующего в теле максимального касательного напряжения, а также верхнего и нижнего пределов текучести, которые характерны для диаграмм одноосного нагружения исследуемого материала при контроле деформации. Дослiджено питання про формування обмеженої смуги розриву перемiщень (локалiзацiї пластичної деформацiї) для матерiалiв з площадкою текучостi. Для двох моделей розподiлу напружень вздовж смуги побудовано обмежене поле напружень на продовженнi смуги. Встановлено, що довжина смуги кiнцева i визначається залежно вiд дiючого в тiлi максимального дотичного напруження, а також верхньої i нижньої меж текучостi, якi характернi для дiаграм одновiсного навантаження дослiджуваного матерiалу при контролi деформацiї. The question of the formation of the limited band of a displacement gap (plastic strain localization) for materials with a yield plateau is considered. For two models of stress distribution along a strip, a limited field of stresses on a continuation of the band is constructed. It is found that the length of the strip is finite and is determined by the maximum shear stress of the body, as well as the upper and lower yield stresses that are characteristic of the diagrams of uniaxial loading with a control over strains. 2013 Article Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений / Ю.А. Черняков, А.Г. Шевченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 61–66. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86500 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Черняков, Ю.А. Шевченко, А.Г. Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений Доповіді НАН України |
| description |
Исследован вопрос о формировании ограниченной полосы разрыва перемещений (локализации пластической деформации) для материалов с площадкой текучести. Для двух моделей распределения напряжений вдоль полосы построено ограниченное поле напряжений на продолжении полосы. Установлено, что длина полосы конечная и определяется в зависимости от действующего в теле максимального касательного напряжения, а также верхнего и нижнего пределов текучести, которые характерны для диаграмм
одноосного нагружения исследуемого материала при контроле деформации. |
| format |
Article |
| author |
Черняков, Ю.А. Шевченко, А.Г. |
| author_facet |
Черняков, Ю.А. Шевченко, А.Г. |
| author_sort |
Черняков, Ю.А. |
| title |
Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений |
| title_short |
Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений |
| title_full |
Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений |
| title_fullStr |
Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений |
| title_full_unstemmed |
Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений |
| title_sort |
локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86500 |
| citation_txt |
Локализация пластической деформации в форме ограниченной полосы разрыва перемещений / Ю.А. Черняков, А.Г. Шевченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 61–66. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT černâkovûa lokalizaciâplastičeskojdeformaciivformeograničennojpolosyrazryvaperemeŝenij AT ševčenkoag lokalizaciâplastičeskojdeformaciivformeograničennojpolosyrazryvaperemeŝenij |
| first_indexed |
2025-07-06T13:59:21Z |
| last_indexed |
2025-07-06T13:59:21Z |
| _version_ |
1836906301912776704 |
| fulltext |
УДК 539.3
Ю.А. Черняков, А. Г. Шевченко
Локализация пластической деформации в форме
ограниченной полосы разрыва перемещений
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В. С. Гудрамовичем)
Исследован вопрос о формировании ограниченной полосы разрыва перемещений (локали-
зации пластической деформации) для материалов с площадкой текучести. Для двух
моделей распределения напряжений вдоль полосы построено ограниченное поле напря-
жений на продолжении полосы. Установлено, что длина полосы конечная и определяет-
ся в зависимости от действующего в теле максимального касательного напряжения,
а также верхнего и нижнего пределов текучести, которые характерны для диаграмм
одноосного нагружения исследуемого материала при контроле деформации.
В классической теории пластичности одной из основных является схема идеально-пласти-
ческого поведения материала, имеющего явно выраженную площадку текучести на диа-
грамме одноосного нагружения. Однако в ряде экспериментальных работ показано, что
такое поведение реализуется только при “мягком” нагружении, тогда как при “жестком”
нагружении на диаграмме одноосного нагружения появляется “пик-зуб”, как показано на
рис. 1 (кривая OABCE ). Поведение материала на площадке текучести является неустойчи-
вым, причем потеря устойчивости происходит в результате “перескока” из упругого состоя-
ния (точка A) в состояние упрочнения (точка D). Известно, что в результате такой потери
устойчивости и появляются локализованные полосы сдвига Людерса–Чернова.
Явление локализации изучалось в ряде теоретических и экспериментальных работ [1–5].
Однако проблема локализации пластической деформации при однородном напряженном
состоянии изучена недостаточно.
В работе В.В. Новожилова [6] впервые дана трактовка хрупкого разрушения как потери
устойчивости “в большом” (подобно эффекту хлопка в оболочке) на уровне атомных связей,
в результате которой образуется трещина отрыва, равновесная длина которой зависит от
действующей нагрузки. Локализация пластической деформации также является результа-
том потери устойчивости подобного типа, которая в данном случае приводит к перескоку из
Рис. 1. Диаграмма материала
© Ю. А. Черняков, А. Г. Шевченко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 61
Рис. 2. Система координат
однородного упругого состояния к локализованному пластическому сдвигу. В связи с этим
возникает вопрос: возможно ли образование ограниченной полосы локализации сдвига при
однородном напряженном состоянии?
В настоящей работе исследуется локализация пластической деформации в форме по-
лосы конечной длины в условиях плоского напряженного состояния. Получена формула,
связывающая длину локализованной области с верхним и нижним пределами текучести.
Постановка задачи. Рассмотрим для определенности бесконечную пластинку, находя-
щуюся в условиях однородного плоского напряженного состояния. Введем для пластинки
декартову систему координат OXY и будем считать известными компоненты тензора на-
пряжений σX , σY и τXY .
Материал пластинки характеризуется диаграммой чистого сдвига, показанной на рис. 1.
В зависимости от условий нагружения, имеется два вида диаграммы: с площадкой теку-
чести (кривая OADE) и с “пиком-зубом” (кривая OABCE). Напряжения, отвечающие то-
чкам A и B, будем называть верхним τups и нижним τ lows пределами текучести соответст-
венно.
Возникновение начальной области локализации, в принятой здесь трактовке, рассмат-
ривается как потеря устойчивости “в большом” однородной деформации тела в форме обра-
зования локализованной полосы пластического течения.
При достижении нижнего предела текучести τ lows пластинка может находиться в двух
состояниях равновесия — в упругом однородном или в упругом с локализованной полосой
пластической деформации, как показано на рис. 2.
Свяжем с полосой локализации систему координат Oxy, как показано на рис. 2. При-
мем, что направление оси Ox будет совпадать с направлением максимальных касательных
напряжений τmax для заданного напряженного состояния.
В пределах полосы локализации действуют только касательные напряжения, которые
оказывают наибольшее влияние. Учитывая диаграмму τ ∼ γ (рис. 1), можно допустить,
что на берегах полосы локализации на участке 0 6 |x| 6 l действуют только касательные
напряжения τ lows , а на участках l 6 |x| 6 b касательные напряжения могут изменяться
от значения τ lows до τups . Рассмотрим две схемы распределения напряжений, характеризу-
ющих сопротивление движению разрывов перемещений вдоль берегов полосы: кусочно-по-
стоянную (рис. 3, a), и кусочно-линейную (рис. 3, б ). Первая из них напоминает модель
Леонова–Панасюка [7] и Dugdale [8], но с тем существенным отличием, что напряжения
τ lows в пределах полосы не равны нулю (τ lows > 0). Требуется определить длину полосы
локализации b.
Решение задачи. Для решения задачи воспользуемся методом разрывных смещений,
по которому полосу продольного сдвига представим в виде некоторой совокупности краевых
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
Рис. 3. Распределение напряжений, характеризующих сопротивление движению разрывов перемещений
вдоль полосы
дислокаций с соответствующим вектором Бюргерса b0.
Известно [6], что если в начале координат существует разрыв смещений в форме краевой
дислокации с вектором Бюргерса b0, параллельным оси x, то поле напряжений в некоторой
точке (x, y) будет определяться следующими соотношениями:
~b ‖ x, σx = − µb0y(3x
2 + y2)
2π(1− ν)(x2 + y2)2
, σy = − µb0y(x
2 − y2)
2π(1− ν)(x2 + y2)2
,
τxy =
µb0x(x
2 − y2)
2π(1 − ν)(x2 + y2)2
,
(1)
где µ — упругий модуль сдвига; ν — коэффициент Пуассона.
Пусть линия разрыва перемещений расположена вдоль оси x и дислокации, распреде-
ленные вдоль этой линии, имеют плотность b0f(ξ). Разрыв перемещений, в пределах малого
отрезка dξ в точке (ξ, 0), вызывают напряжения в точке (x, 0), которые могут быть пред-
ставлены следующим образом:
dτxy =
µb0
2π(1 − ν)
f(ξ)
ξ − x
. (2)
На основании этого можно записать
b
∫
−b
f(ξ)
ξ − x
dξ =
2π(1 − ν)τ(x)
µb0
, (3)
где τ(x) — распределение напряжений на оси x. В случае кусочно-постоянного распреде-
ления τ(x) задаем в виде:
τ(x) =
{−τ1 = τmax − τups , l < |x| < b,
τ0 = τmax − τ lows , 0 < |x| < l.
(4)
В случае кусочно-линейного распределения имеем:
τ(x) =
−τ1 = τmax − τ lows − (τups − τ lows )
|x| − l
b− l
, l < |x| < b,
τ0 = τmax − τ lows , 0 < |x| < l.
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 63
Уравнение (3) является сингулярным интегральным уравнением первого рода с ядром
Коши. Решение его при условии ограниченности функции f(ξ)
b
∫
−b
τ(ξ)
√
b2 − ξ2
dξ = 0 (6)
известно, и функция распределения разрывов смещений имеет вид:
f(x) =
2(1− ν)
√
b2 − x2
µπb0
b
∫
−b
τ(ξ)
(ξ − x)
√
b2 − ξ2
dξ. (7)
После подстановки в уравнение (6) распределения напряжений τ(x) из условий (4) и (5)
получаем трансцендентное уравнение для определения размера θ = b/l:
π(β − α) + 2(α− 1)F (θ) = 0, (8)
где
β =
τmax
τups
, α =
τ lows
τups
,
F (θ) =
arccos
1
θ
— для кусочно-постоянного распределения,
√
θ + 1
θ − 1
− 1
θ − 1
arccos
1
θ
— для кусочно-линейного распределения.
Длина полосы локализации остается пока не определенной. Для формулировки дополни-
тельного условия, которое позволит определить искомую длину, вспомним, что деформация
в полосе должна быть ограничена величиной, связанной с длиной площадки текучести BC,
так как приведенное выше решение допустимо только до достижения деформацией учас-
тка упрочнения в точке C. Для реализации этого условия определим скачок перемещения
в полосе локализации.
Максимальный разрыв перемещений будет достигаться в средней точке полосы и опре-
делится по формуле
δ = b0
0
∫
b
f(ξ) dξ. (9)
Если учесть построенные выше решения для функции распределения дислокаций, для
безразмерного разрыва перемещений δ = δ/b получим
δ =
4
π
(1− α)(1 − ν)γs
ln(θ +
√
θ2 − 1)
θ
(10)
для кусочно-постоянного распределения или
δ =
2(1− ν)γs
π
[
β − 1
θ(θ − 1)
(ln(θ +
√
θ2 − 1)− θ
√
θ2 − 1) + 2(β − α)
ln(θ +
√
θ2 − 1)
θ
]
(11)
для кусочно-линейного распределения.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
Рис. 4. Графики зависимости δ/(1−ν)/γs от параметра β = τmax/τ
up
s
для различных значений α = τ low
s
/τup
s
.
Сплошные линии — результаты для кусочно-постоянного распределения, штриховые — для кусочно-линей-
ного
Здесь γs — предел текучести по деформациям.
На рис. 4 представлены зависимости величины безразмерного разрыва перемещений
δ/(1− ν)/γs от параметра нагрузки β = τmax/τ
up
s для некоторых фиксированных значений
параметра α = τ lows /τups , характеризующего различие верхнего и нижнего пределов теку-
чести. Из приведенных графиков следует, что для каждого α существует два различных
значения β для одного и того же отношения δ/(1− ν)/γs. Кроме того, кривые, отвечающие
фиксированному значению δ, имеют явно выраженный максимум. Это означает, что для
каждого α можно найти максимальное отношение δ/(1 − ν)/γs, которое определит мини-
мальную длину полосы локализации.
Дадим количественную оценку минимальной длины полосы локализации. Для этого
представим δ в следующем виде:
δ = hγC , (12)
где h — условная толщина полосы; γC — деформация сдвига на площадке текучести (де-
формация Людерса). В таком случае длина линии разрыва будет определяться по формуле
b =
1
(1− ν)δ
γC
γs
h. (13)
По данным для стали 1045, приведенным в работе [4], имеем γC = 1,5·10−2, γs = 2,5·10−3.
Сложнее обстоит дело с величиной h. Для ее определения будем исходить из того, что
характерная ширина полосы локализации материала определяется средним размером зерна
поликристаллического материала, поскольку размер зерна оказывает большое влияние на
деформацию Людерса и морфологию полос, особенно для малоуглеродистых сталей [4, 5].
В соответствии с данными, приведенными в работе [4], средний размер зерна стали 1045
h = 10 мкм. Тогда отношение δ/(1 − ν)/γs, к примеру для α = 0, будет порядка 0,848
и длина полосы b порядка 100 мкм, т. е. b ≈ 10h.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 65
Таким образом, представленные результаты показывают, что локализованная полоса
сдвига может иметь конечную длину, зависящую от соотношения между действующей на-
грузкой, верхним и нижним пределом текучести. Аналогичные выводы можно сделать и для
случая ограниченной длины полосы локализации при растяжении, только в этом случае
следует говорить не о локализации сдвига, а о локализации в форме шейки.
1. Hall E.O. The deformation and aging of mild steel: II. Characteristics of the Luders deformation. III.
Discussion of result // Proc. Phys. Soc. – 1951. – B 64. – P. 742–753.
2. Morrison W.B., Glenn R.C. Examination of the Luders front in a low-carbon steel by transmission electron
microscopy // J. Iron Steel Inst. – 1968. – 206. – P. 611–612.
3. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. – Новосибирск: Наука, 1983. – 238 с.
4. Zhang J., Jiang Y. Luders bands propagation of 1045 steel under multiaxial stress state // Intern. J. of
Plasticity. – 2005. – 21. – P. 651–670.
5. Bigoni D., Dal Corso F. The unrestrainable growth of a shear band in a prestressed material // Proc. R.
Soc. – 2008. – A464. – P. 2365–2390.
6. Новожилов В. В. К основам равновесных упругих трещин в упругих телах // Прикл. мех. и мат. –
1969. – 33, вып. 5. – С. 797–812.
7. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. –
1959. – 5, вып. 4. – С. 391–401.
8. Dugdale D. S., Mech J. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. – 1960. – 8. –
No 2. – P. 100–108.
Поступило в редакцию 03.04.2013Днепропетровский национальный университет
им. О. Гончара
Ю.А. Черняков, А. Г. Шевченко
Локалiзацiя пластичної деформацiї у формi обмеженої смуги
розриву перемiщень
Дослiджено питання про формування обмеженої смуги розриву перемiщень (локалiзацiї
пластичної деформацiї) для матерiалiв з площадкою текучостi. Для двох моделей розпо-
дiлу напружень вздовж смуги побудовано обмежене поле напружень на продовженнi сму-
ги. Встановлено, що довжина смуги кiнцева i визначається залежно вiд дiючого в тiлi
максимального дотичного напруження, а також верхньої i нижньої меж текучостi, якi
характернi для дiаграм одновiсного навантаження дослiджуваного матерiалу при контролi
деформацiї.
Y.A. Chernyakov, A. G. Shevchenko
The localization of a plastic strain in the form of the limited band of
a displacement gap
The question of the formation of the limited band of a displacement gap (plastic strain localization)
for materials with a yield plateau is considered. For two models of stress distribution along a strip,
a limited field of stresses on a continuation of the band is constructed. It is found that the length
of the strip is finite and is determined by the maximum shear stress of the body, as well as the
upper and lower yield stresses that are characteristic of the diagrams of uniaxial loading with a
control over strains.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
|