Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень

У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Гудима, У.В., Гнатюк, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86521
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 9. — С. 11-28. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86521
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-865212015-09-22T03:01:54Z Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень. The necessary and sufficient conditions and criteria of the extremal element for the problem of the best at sense of the family convex functions uniform approximation of continuous compact-valued maps by set of singlevalued maps are proved. 2013 Article Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 9. — С. 11-28. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86521 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень.
format	Article
author	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
spellingShingle	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
author_sort	Гудима, У.В.
title	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень
title_short	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень
title_full	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень
title_fullStr	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень
title_full_unstemmed	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень
title_sort	умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86521
citation_txt	Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 9. — С. 11-28. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gudimauv umoviekstremalʹnostíelementadlâzadačínajkraŝoíurozumínnísímíopuklihfunkcíjrívnomírnoíaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâmnožinoûodnoznačnihvídobraženʹ AT gnatûkvo umoviekstremalʹnostíelementadlâzadačínajkraŝoíurozumínnísímíopuklihfunkcíjrívnomírnoíaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâmnožinoûodnoznačnihvídobraženʹ
first_indexed	2025-07-06T14:00:42Z
last_indexed	2025-07-06T14:00:42Z
_version_	1836906387419955200
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 11 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук, В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський УМОВИ ЕКСТРЕМАЛЬНОСТІ ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ СІМ’Ї ОПУКЛИХ ФУНКЦІЙ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ МНОЖИНОЮ ОДНОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперерв- ного зверху компактнозначного відображення множиною не- перервних однозначних відображень. Ключові слова: півнеперервне зверху компактнозначне ві- дображення, найкраща у розумінні сім’ї опуклих функцій рів- номірна апроксимація, субградієнт, субдиференціал, умови ек- стремальності. Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компакт- нозначного відображення множиною неперервних однозначних відо- бражень встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстрема- льності елемента, які узагальнюють на випадок вищеназваної задачі відповідні умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції апроксимації неперервного компактно- значного відображення множиною однозначних відображень, встано- влені у праці [1]. 1. Постановка задачі. Нехай S — компакт, X — лінійний над полем комплексних (дійсних) чисел топологічний простір,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел простір всіх неперервних однознач- них відображень g компакта S в X ,  K X — сукупність всіх непо- рожніх компактів простору X ,   ,C S K X — множина багатознач- них півнеперервних зверху на S відображень a компакта S в X та- ких, що для кожного s S    sa s K K X  ,  ,V C S X ,  s s S p  — сім’я неперервних на X опуклих функцій таких, що відо- браження    , ss x S X p x   півнеперервне зверху на S X . © У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2013 Математичне та комп’ютерне моделювання 12 Задачею найкращої у розумінні сім’ї  s s S p  рівномірної апрок- симації компактнозначного відображення   ,a C S K X  множи- ною  ,V C S X будемо називати задачу відшукання величини    * ( ) inf sup sup ( )V s g V s S y a s a p y g s      . (1) Твердження 1. Для  ,g C S X , s S функція y X    sp y g s  є неперервною на X . З урахуванням цього твердження та узагальненої теореми Вейєр- штрасса (див., наприклад, [2, с. 28]) задачу відшукання величини (1) можна подати у такому вигляді:    * ( ) inf sup max ( )V s g V y a ss S a p y g s     . (2) Твердження 2. Для кожного  ,g C S X функція  g a s    ( ) max ( )s y a s p y g s    , s S , є півнеперервною зверху на S . Доведення. Нехай 0s S , A R та     0 0 0 0 ( ) max ( )g a s y a s s p y g s A      . Тоді   0 0( )sp y g s A  ,  0y a s . Оскільки відображення    , ss x S X p x   півнеперервне зверху на S X , то для кожного  0y a s існує окіл  0yO s точки 0s компакта S , окіл  O y точки y та окіл   0yO g s точки  0g s простору X такі, що   ,sp z     0ys O s ,  O y  ,   0yz O g s . (3) Оскільки  ,g C S X , то для   0yO g s ,  0y a s , існує окіл  1 0yO s точки 0s компакта S такий, що     0yg s O g s ,  1 0ys O s . Нехай      2 1 0 0 0y y yO s O s O s  ,  0y a s . Тоді для всіх  2 0ys O s     0yg s O g s . Завдяки цьому з (3) одержимо   sp g s A   ,  2 0ys O s ,  O y  . (4) Оскільки  0a s є компактом простору X і       0 0 y a s O y a s   , то існують околи  iO y точок iy , 1,i m , компакта  0a s такі, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 13    0 1 m i i a s O y   . (5) З урахуванням (4) тоді матимемо, що   sp g s A   ,  2 0iys O s ,  iO y  , 1,i m . (6) Нехай    1 2 0 0 1 i m y i O s O s   . З (6) отримаємо, що   sp g s A   ,  1 0s O s ,   1 m i i O y   . (7) Оскільки відображення a є півнеперервним зверху на S і має місце (5), то існує окіл  2 0O s точки 0s компакта S такий, що     1 m i i a s O y   ,  2 0s O s . (8) Покладемо      1 2 0 0 0O s O s O s  . З (7), (8) випливає, що   sp y g s A  ,  0s O s ,  y a s . (9) Тому     max s y a s p y g s A    ,  0s O s . Отже,  g a s A  ,  0s O s . Це й означає, що функція  g a s , s S , є півнеперерв- ною зверху у точці 0s S . Оскільки 0s вибрано з S довільно, то функція  g a s , s S , є півнеперервною зверху на S . Твердження доведено. З урахуванням твердження 2 та узагальненої теореми Вейєршт- расса (див., наприклад, [2, с. 28]) задачу відшукання величини (2) можна подати у такому вигляді    * ( ) inf max max ( )V s g V s S y a s a p y g s      . (10) Якщо існує елемент g V такий, що     * ( ) max max ( )s V s S y a s p y g s a     , то його назвемо екстремальним елементом для величини (10). Актуальність теми. Теорія многозначних відображень, яка ін- тенсивно розвивається в останні десятиріччя, знаходить багаточисе- льні застосування в теорії оптимального керування, теорії оптиміза- ції, опуклому аналізі, теорії ігор, математичній економіці та інших галузях сучасної математики. Важливий розділ цієї теорії утворюють задачі найкращого на- ближення складних многозначних відображень відображеннями про- Математичне та комп’ютерне моделювання 14 стішої структури (див., наприклад, [3–7]), у тому числі задачі най- кращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень (див., наприклад, [8–10]). Слід зазначити, що до задач найкращої рівномірної апроксимації многозначного відображення множинами однозначних відображень зво- диться низка задач оптимального відновлення функціоналів за неточно заданою інформацією (див., наприклад [11–12]), яким, починаючи з сере- дини шістдесятих років двадцятого століття, приділяється велика увага. Як відомо, виникають задачі наближення в яких міра відхилення між елементами лінійного топологічного простору оцінюється з до- помогою деякої неперервної функції, заданої на цьому просторі. Клас таких задач досить широкий. Він включає в себе задачі найкращого у розумінні норми, переднорми, функції Мінковского, сублінійної та опуклої функції наближення елемента лінійного нормованого прос- тору множиною цього простору, а також задачу найкращої у розу- мінні опуклої функції рівномірної апроксимації неперервного компа- ктнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень (див., наприклад, [1; 13–16]). Задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного ком- пактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень (див., наприклад, [8–10]) та названі вище задачі є част- ковими випадками задачі відшукання величини (10). Результати загального характеру, отримані при дослідженні ве- личини (10), становлять самостійний інтерес, а також слугуватимуть відправним пунктом для отримання відповідних результатів для кон- кретних задач, що включаються у схему її постановки, зіграють важ- ливу роль при побудові та обґрунтуванні збіжності чисельних мето- дів розв’язання цих задач. Мета роботи. Встановити необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для величини (10). Допоміжні твердження. Твердження 3. Нехай Y — лінійний простір (дійсний або ком- плексний),  — задана на Y опукла функція, ,x y Y , A R . Якщо  x A  , то існує число 0yt  таке, що  x ty A   , 0, yt t    . Доведення. Відомо, що функція     ( ) 0, x ty x t t       є неспадною на  0, (див., наприклад, [14, с. 347]). Тоді для 0 0t  одержимо, що        0 0 x t y xx ty x B t t         ,  00,t t  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 15 Звідки    x ty x Bt    , 00,t t   . (11) Маємо, що      0, 0 lim t t x Bt x A       . Тому існує число 0yt  таке, що  x Bt A   для всіх 0, yt t    . Звідси і з (11) оде- ржимо, що  x ty A   , 0, yt t    . Твердження доведено. Нехай  задана на лінійному (дійсному або комплексному) про- сторі Y опукла функція. Через  ,x y будемо позначати похідну функції  в точці x Y за напрямком y Y . Теорема 1. Нехай K — компакт, Y — лінійний простір (дійс- ний або комплексний),   A   — сім’я заданих на Y опуклих фун- кцій, для кожного x Y відображення  K x   півнеперерв- не зверху на K ,    max A x x      , x Y ,         : , max A K x K x x x             . Тоді для будь-яких ,x y Y :  1i відображення  ( ) ,K x x y   є півнеперервним звер- ху на  K x ;  2i існує точка  y K x  , для якої      , max , y K x x y x y        ; (12)  3i для кожного  K x  справедлива нерівність    , ,x y x y   ;  4i якщо  , 0x y  , то для кожного  y K x  , що задоволь- няє (12), виконується рівність        , max , , y K x x y x y x y           . Доведення. Перш за все зазначимо, що функція  є опуклою на Y (див., наприклад, [2, с. 180]). Переконаємося, що  K x є замкну- тою множиною K . Нехай  0 \K K x  . Тоді     0 x x  . Оскі- льки відображення  K x   півнеперервне зверху на K , то Математичне та комп’ютерне моделювання 16 існує окіл  0O  точки 0 компакта K такий, що    x x  для всіх  0O  . Звідси випливає, що    0 \O K K x  . Тому  \K K x є відкритою, а  K x — замкнутою множиною K . Оскільки K — компакт, то  K x також є компактом (див., наприклад, [2, с.22]). Доведемо справедливість твердження  1i . Нехай  0 K x  і число A таке, що   0 ,x y A  . Оскільки функція 0 є опуклою на Y , то існує число 0 0yt  таке, що       0 00 0 0 , y y x t y x x y A t             (13) (див., наприклад, [14, с. 328]). З (13) та рівності     0 x x  випливає, що     0 0 0 y yx t y x At      . Оскільки відображення   0 yK x t y     є півнеперервним зверху на K , то існує окіл  0O  точки 0 компакта K такий, що     0 0 y yx t y x At      . (14) Ураховуючи те, що    x x  для всіх  K x  , з (14) одер- жимо     0 0 y y x t y x A t        ,    0O K x   . (15) Оскільки       0 0 , y y x t y x x y t            (див., наприклад, [14, с. 328]), то з (15) випливає, що  ,x y A  для всіх    0O K x   . Це й означає, що відображення    ,K x x y   є півнеперервним зверху у точці  0 K x  . Оскільки точку 0 вибрано довільно з  K x , то звідси робимо вис- новок про півнеперервність зверху відображення    ,K x x y   на  K x . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 17 Твердження  1i доведено. Оскільки  K x є компактом, то згідно з твердженням  1i та узагальненою теоремою Вейєрштрасса (див., наприклад, [2, с. 28]) існує  y K x  таке, що має місце рівність (12). Твердження  2i доведено. Переконаємося у справедливості твердження  3i . Нехай  K x . Тоді    x x  . З урахуванням цього для 0t  будемо мати            max K x ty xx ty x x ty x t t t                . Перейшовши в цій нерівності до границі при 0t  , 0t  одер- жимо, що    , ,x y x y   (див., наприклад, [14, с. 328]). Справедливість твердження  3i доведено. Нехай далі  , 0x y  ,  y K x  та має місце рівність (12). Переконаємося, що    , , y x y x y   . (16) Згідно з твердженням  3i    , , y x y x y   . Припустимо, що    , , y x y x y   . (17) Виберемо число A так, що    , , y x y A x y    . (18) Оскільки функції  , K  , є опуклими на Y , то з (12) та (18) випливає, що для кожного  K x  існує число 0t  таке, що       , x t y x x y A t              (див., наприклад, [14, с. 328]). Отже, для всіх  K x       x t y x At x At           . Звідси та півнеперервності зверху на K відображення  K x   , x Y , випливає, що для кожного  K x  існує окіл  O  точки  компакта K такий, що    x t y x A t        ,  O  . (19) Математичне та комп’ютерне моделювання 18 Маємо, крім того, що    x x   , K . (20) З (19), (20) та опуклості функцій   , K , на Y одержимо для  K x  ,  O  ,  0,1  :       1 x x t y x t y                             1 1 . x x t y x x At x At                           Звідки    x ty x t A      ,  O  , 0,t t  . (21) Оскільки  K x є компактом ,K то з його відкритого покриття  O  ,  K x  , можна виділити скінченне підпокриття  iO  ,  i K x  , 1,i m . Внаслідок (21) одержимо, що    x ty x t A      ,  iO  , 0, i t t   , 1,i m . (22) Нехай 1 min ii m t t    . Тоді з (22) випливає, що    x ty x t A      ,   1 m i i O    , 0,t t  . (23) Оскільки  1 1 \ m i i K K O            є замкнутою множиною компакта K , то 1K — компакт. Якщо 1K  , то  K x  . Тому     1 max K x x      . (24) Розглянемо функцію     1 max K z z      , z Y . Зрозуміло, що  z , z Y , є опуклою на Y функцією. Згідно з (24)    x x  . Згідно з твердженням 3 існує число 0t  таке, що       1 max K x ty x ty x          ,  0,t t . (25) Виберемо  0 min ,t t t  . Маємо (див., наприклад, [14, с. 328])                   0 0 0 0 0 0 0 0 0 , inf max , . t K x t y xx ty x x y t t x t y x x t y x K t t                            (26) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 19 Якщо припустити, що  0 1 m i i O    , то внаслідок (18), (23), (26) одержимо, що        0 0 0 , , x t y x x y A x y t           , що неможливо. Тоді  0 1 1 \ m i i K K O             . У цьому випадку з урахуванням умов теореми, співвідношень (25), (26) одержимо, що      0 0 max 0 , K x t y x x y t                    0 1 0 0 0 0 max 0 K x t y xx t y x t t             . Знову отримали суперечність. Одержані суперечності доводять, що коли  , 0x y  , то має місце рівність (12). Теорему доведено. Наслідок 1. Нехай виконуються умови теореми 1. Тоді для будь- яких ,x y Y справедливе таке співвідношення      max , , K x x y x y       . Справедливість наслідку 1 випливає з тверджень  2i ,  3i тео- реми 1. Функцію     ( ) max max ( )a s s S y a s g p y g s      ,  ,g C S X , назвемо цільовою функцією задачі відшукання величини (10). Твердження 4. Для кожного   ,a C S K X цільова функція  a g ,  ,g C S X , задачі відшукання величини (10) є опуклою на  ,C S X . Справедливість твердження випливає з опуклості функцій sp на X , s S , та властивостей верхньої межі довільної сім’ї опуклих фу- нкцій (див., наприклад, [2, с. 180]). Нехай для s S    , ( ) max ( )a s s y a s g p y g s     ,  ,g C S X , Математичне та комп’ютерне моделювання 20 для s S ,  y a s    , , ( )a s y sg p y g s   ,  ,g C S X . Для  * ,g C S X покладемо        * * * * ( ) ( ) : , max ( ) max max ( ) ,a s s a y a s s S y a s S g s s S p y g s p y g s g              а для  * as S g покладемо          * * * * ( ) , : , ( ) max ( ) .s s a y a s a s g y y a s p y g s p y g s g             Крім того, для випадку, коли X є віддільним локально опуклим лінійним над полем комплексних чисел топологічним простором, позначимо через X — простір, топологічно спряжений з X , RX — віддільний локально опуклий лінійний над полем дійсних чисел то- пологічний простір, асоційований з простором X , тобто простір X розглядуваний лише над полем дійсних чисел, RX — простір, топо- логічно спряжений з RX . Елемент * RX  називається субградієнтом функції ,p заданої на ,x в точці 0x X , якщо      0 0 ,p x p x x x x X    (див., наприк- лад, [2, с. 57]). Множину субградієнтів функції p в точці 0x X називають субдиференціалом цієї функції в точці 0x і позначають  0p x (див., наприклад, [2, с. 58]). Якщо p є опуклою та неперервною на X функцією, то для 0x X  0p x є непорожньою опуклою слабко* компактною мно- жиною простору * RX (див., наприклад, [14, с. 327]). Для 0x X будемо позначати через     * 0 0: , Rep x f f X f p x    . Очевидно (див., наприклад, [17, с. 269]), що           0 0: , ,p x f f x x i ix x X p x        . Теорема 2. Якщо  , ,g z C S X , то справедливе співвідно- шення            * / * * , , max max , a a s s S g y a s g g z p y g s z s       . (27) За умови, що  / * , 0a g z  , має місце рівність Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 21            * * / * * , , max max , a a s s S g y a s g g z p y g s z s       . (28) Якщо X — віддільний локально опуклий лінійний топологіч- ний простір, то при  / * , 0a g z              * * * / * , , max max max Re a C s a s S g y a s g f p y g s g z f z s        . (29) Доведення. Маємо, що для кожного  ,g C S X      , ( ) max max ( ) maxa s a s s S y a s s S g p y g s g         . Оскільки S — компакт,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел простір,  ,a s s S  — сім’я заданих на  ,C S X опуклих функ- цій, для кожного  ,g C S X відображення  ,a ss S g  півне- перервне зверху на S (див. твердження 2),         * * * * , ,: , max ,a a s a s a s S S g s s S g g g         то згідно з наслідком 1       * / * / * ,, max , a a a s s S g g z g z     . (30) Якщо ж  / * , 0a g z  , то згідно з твердженням  4i теореми 1       * / * / * ,, max , a a a s s S g g z g z     . (31) Оскільки для кожного  * as S g ,  ,g C S X          , , ,max ( ) maxa s s a s y y a s y a s g p y g s g        , де  a s — компакт,     , ,a s y y a s g   — сім’я заданих на  ,C S X опуклих функцій, для кожного  ,g C S X відображення    , ,a s yy a s g  неперервне на  a s (див. твердження 1),        * * * , , , , ( ) , : , maxa s y a s g y a s a s g y y a s g g           , то згідно з наслідком 1       * / * / * , , , , , max ,a s a s y y a s g g z g z     . (32) З (30) та (32) одержимо, що Математичне та комп’ютерне моделювання 22         * * / * / * , , , , max max , . a a a s y s S g y a s g g z g z      (33) Нехай  / * , 0a g z  . Відповідно до (31) існує  * z as S g , що         * / * / * / * , ,, max , , . z a a a s a s s S g g z g z g z       (34) Оскільки за припущенням  / * , 0a g z  , то і  * , , 0. za s g z  згідно з твердженням  4i теореми 1 має місце рівність       * * / * , , , , , max , . z z z a s a s y y a s g g z g z     (35) Зі співвідношень (32), (34), (35) випливає рівність         * * / * / * , , , , max max , a a a s y s S g y a s g g z g z      , (36) яка має місце у випадку, коли  / * , 0a g z  . Для  * as S g ,  ,y a s g маємо, що                            * , , , ,/ * , , 0, 0 * * 0, 0 * * 0, 0 * , lim lim lim , . a s y a s y a s y t t s s t t s s t t s g tz g g z t p y g tz s p y g s t p y g s t z s p y g s t p y g s z s                             (37) З (33), (37) випливає (27), а з (36), (37) випливає (28). Оскільки для s S sp є опуклою та неперервною на X функці- єю, то у випадку, коли X є віддільним локально опуклим топологіч- ним простором має місце рівність                      * * * * * , max max Re , , , s s s p y g s a f p y g s p y g s z s z s f z s s S g y a s g                  (38) (див., наприклад, [14, с. 328]). З (28) та (38) випливає справедливість рівності (29) , яка має мі- сце за умови, що  / * , 0a g z  . Теорему доведено. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 23 Основні результати. Для g V позначимо через           , , : 0 0,K V g z C S X t g t z V          . Зрозуміло, що  ,K V g є конусом простору  ,C S X з верши- ною у точці 0. Теорема 3. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним елементом для ве- личини (10), необхідно, щоб для всіх  ,z K V g справджувались співвідношення:          * * * , max max , 0 a s s S g y a s g p y g s z s       , (39) якщо X — довільний лінійний топологічний простір,           * * , max max max Re 0 a C ss S g y a s g f p y g s f z s       , (40) якщо X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний прос- тір. Доведення. Нехай g — екстремальний елемент для величи- ни (10),  ,z K V g , 0k  , k N , lim 0k k    . Тоді існують числа  0,k kt  , k N , такі, що kg t z V  , k N . Зрозуміло, що lim 0k k t   . Оскільки    * * a k ag t z g    , то      * * * , lim 0 a k a a k k g t z g g z t       . Згідно з теоремою 2 має місце співвідношення (39), якщо X — довільний лінійний топологічний простір, та співвідношення (40), як- що X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний простір. Теорему доведено. Теорему 3 можна сформулювати у таких еквівалентних формах. Теорема 4. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним для величини (10), необхідно, щоб для будь-якого  ,z K V g існували елементи  * z as S g ,  ,z zy a s g такі, що Математичне та комп’ютерне моделювання 24      , 0 zs z z zp y g s z s    , якщо X — довільний лінійний топологічний простір, та елементи  * z as S g ,  ,z zy a s g ,    zz s z zf p y g s  такі, що   Re 0z zf z s  , якщо X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний прос- тір. Теорема 5. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним для величини (10), необхідно, щоб для будь-якого  ,z K V g існували елементи zs S ,  z zy a s такі, що      * * * ( ) ( ) max max ( ) max ( ) ( ) z z z s s z s z z s S y a s y a s p y g s p y g s p y g s         ,     * , 0 zs z z zp y g s z s    , якщо X — довільний лінійний топологічний простір, та елементи zs S ,  z zy a s ,   * zz s z zf p y g s  такі, що      * * * ( ) ( ) max max ( ) max ( ) ( ) z z z s s z s z z s S y a s y a s p y g s p y g s p y g s         ,   Re 0z zf z s  , якщо X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний прос- тір. Теорема 6. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X , g V . Якщо для кожного елемента g V існують елементи   g as S g ,  ,g gy a s g такі, що        , 0 gs g g g gp y g s g s g s    , то g є екстремальним елементом для величини (10). За умови, коли X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний простір, еле- мент g V є екстремальним елементом для величини (10), якщо для кожного елемента g V існують елементи   g as S g ,  ,g gy a s g ,    gg s g gf p y g s  такі, що     Re 0g g gf g s g s  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 25 Доведення. Згідно з (27) та умов теореми для кожного g V                     * * * * * , * * , max max , , 0. a g a s s S g y a s g s g g g g g g g p y g s g s g s p y g s g s g s              (41) Оскільки функція  a g ,  ,g C S X , є опуклою на  ,C S X (див. твердження 4), то            * * * * * * 1 , 1 a a a a a g g g g g g g g g           ,  ,g C S X . Звідси і з (41) випливає, що для всіх g V      * * , 0a a ag g g g g       . Тому     a ag g   , g V . Це й означає, що g є екстрема- льним елементом для величини (10). Нехай g V і gs , gy , gf — елементи, про які йде мова в другій частині теореми. Оскільки    gg s g gf p y g s  , то   Re gg s g gf p y g s  . Тоді            Re 0 g gs g g s g g g g gp y g s p y g s f g s g s      . Звідси випливає, що для всіх g V     ( ) max max ( ) ( ) gs s g g s S y a s p y g s p y g s           * ( ) ( ) max max ( ) gs g g s s S y a s p y g s p y g s       . Тому g є екстремальним елементом для величини (10). Теорему доведено. Становлять інтерес множини, для яких сформульована в теоремі 6 умова є не лише достатньою, а й необхідною умовою екстремаль- ності елемента для величини (10). Множину V простору  ,C S X будемо називати  — множи- ною відносно точки g V , якщо  * ,g g K V g  для всіх g V . Зрозуміло, що до  — множин відносно точки g V відносяться, Математичне та комп’ютерне моделювання 26 зокрема, зіркові відносно g (див., наприклад, [18, с. 16]), в тому чи- слі й опуклі множини. Теорема 7. Нехай V є  — множиною відносно g V (зірко- вою відносно g V або опуклою множиною). Для того щоб елемент g був екстремальним елементом для величини (10), необхідно і дос- татньо, щоб для кожного елемента g V існували елементи  * g as S g ,  ,g gy a s g такі, що        , 0 gs g g g gp y g s g s g s    . (42) Якщо X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний простір, елемент g V буде екстремальним елементом для величи- ни (10) тоді і тільки тоді, коли для кожного елемента g V існують еле- менти  * g as S g ,  ,g gy a s g ,    gg s g gf p y g s  такі, що     Re 0g g gf g s g s  . (43) Доведення. Необхідність. Нехай g V є екстремальним елемен- том для величини (10). Оскільки V є  — множиною відносно g V (зірковою відносно g V або опуклою множиною), то z g g    ,K V g . Тоді згідно з теоремою 4 існують елементи  * g as S g ,  ,g gy a s g такі, що має місце (42), а у випадку, коли X є віддільним локально опуклим лінійним топологічним простором існують елементи   g as S g ,  ,g gy a s g ,    gg s g gf p y g s  такі, що має місце (43). Достатність умов теореми встановлено у теоремі 6. Наслідок 2. Нехай V — підпростір простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним елементом для величини (10), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемента g V існува- ли елементи   g as S g ,  ,g gy a s g такі, що      , 0 gs g g gp y g s g s   . (44) Якщо X — віддільний локально опуклий лінійний топологічний простір, елемент g V буде екстремальним елементом для величини Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 9 27 (10) тоді і тільки тоді, коли для кожного елемента g V існують елеме- нти   g as S g ,  ,g gy a s g ,    gg s g gf p y g s  такі, що   Re 0g gf g s  . (45) Доведення. Нехай g V є екстремальним елементом для ве- личини (10). Для елемента g V маємо, що g g V  . Тоді згідно з теоремою 7 існують елементи  * g as S g ,  ,g gy a s g такі, що      , 0 gs g g gp y g s g s   . Навпаки, нехай для будь-якого g V мають місце умови нас- лідку. Візьмемо g V і покладемо в (44) замість g елемент g g V  . Тоді одержимо, що        , 0 gs g g g gp y g s g s g s    . Внаслідок теореми 7 g є екстремальним елементом для вели- чини (10). Аналогічно з допомогою другої частини теореми 7 доводиться справедливість другої частини наслідку. Наслідок доведено. Висновок. Для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного ві- дображення множиною неперервних однозначних відображень встанов- лено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента. Список використаних джерел: 1. Гудима У. В. Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції апроксимації компактнозначного відображен- ня множиною однозначних відображень / У. В. Гудима, В. О. Гнатюк // Теорія наближення функцій та суміжні питання : [зб. наук. пр. Інституту математики НАН України]. — К. : Інститут математики НАН України. — 2011. — Т. 8, №1. — С. 75–88. 2. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 3. Сендов Б. Хаусдорфовы приближения / Б. Сендов. — София : БАН, 1979. — 372 с. 4. Никольский М. С. Аппроксимация выпуклозначных непрерывных много- значных отображений / М. С.Никольский // Докл. АН СССР. — 1989. — Вып. 308, № 5. — С. 1047–1050. 5. Никольский М. С. Об аппроксимации непрерывного многозначного ото- бражения постоянными многозначными отображениями / М. С. Николь- ский // Вест. Моск. ун-та. Сер. Вычислит. математика и кибернетика. — 1990. — № 1. — С. 76–80. Математичне та комп’ютерне моделювання 28 6. Чобан М. М. Теорема Стоуна-Вейерштрасса и аппроксимации выпукло- значных непрерывных многозначных отображений / М. М. Чобан, Д. М. Ипате // Изв. АН Респ. Молдова. мат. — 1981. — №2. — С. 13–18. 7. Дудов С. И.О приближении непрерывного многозначного отображения по- стоянными многозначными отображения с шаровыми образами/ С. И. Дудов, А. Б. Коноплев // Мат. заметки. — 2007. — Вып. 82, № 4. — С. 525–529. 8. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении непрерывного многознач- ного отображения алгебраическим полиномом / И. Ю. Выгодчикова // Ма- тематика. Механика : сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2000. — №2. — С. 13–15. 9. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компакт- нозначного відображення множинами неперервних однозначних відо- бражень / У. В. Гудима // Укр. мат. журн. — 2005. — Вип. 57, №12. — С. 1601–1619. 10. Дудов С. И. Критерий решения задачи наилучшего приближения сег- ментной функции полиномиальной полосой / С. И. Дудов, Е. В. Сорина // Математика. Механика : сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. — 2008. — № 10. — С. 20-23. 11. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные за- дачи / В. В.Арестов // Тр. МИАН СССР. — 1989. — Вып. 189. — С. 3–20. 12. Магарил-Ильяев Г. Г. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным / Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко // Матем. за- метки. — 1991. — Вып. 50, №6. — С. 85–93. 13. Демьянов В. Ф. Приближенные методы решения экстремальных задач / В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1968. — 178 с. 14. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 15. Гнатюк В. А. Общие свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции / В. А. Гнатюк, В. С. Щирба // Укр. мат. журн. — 1982. — Вып. 4, №5. — С. 608–613. 16. Покровський А. В. О наилучшем несимметричном приближении в про- странствах непрерывных функций / А. В. Покровський // Изв. РАН. Сер. матем. — 2006. — Вып. 70, №4. — С. 175–208. 17. Кадец В. М. Курс функционального анализа : учебное пособие для сту- дентов механико-математического факультета / В. М. Кадец. — Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. — 607 с. 18. Лейтхвейс К. Выпуклые множества / К. Лейтхвейс. — М. : Наука, 1985. — 335 с. The necessary and sufficient conditions and criteria of the extremal element for the problem of the best at sense of the family convex functions uniform approximation of continuous compact-valued maps by set of sin- gle-valued maps are proved. Key words: the upper semicontinuous compact-valued maps, the best at sense of the family convex functions uniform approximation, subhradi- yent, subdifferential, terms extremality. Отримано: 22.10.2013 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Репозитарії

Схожі ресурси