Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором

У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано збіжний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Гнатюк, В.О., Гудима, У.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86539
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором / В.О. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 55-67. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86539
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-865392015-09-22T03:02:17Z Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором Гнатюк, В.О. Гудима, У.В. У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано збіжний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень. We generalized the method of cutting planes for the problem of the best at sense of the family convex lipschitz functions uniform approximation of compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps. 2014 Article Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором / В.О. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 55-67. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86539 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано збіжний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень.
format	Article
author	Гнатюк, В.О. Гудима, У.В.
spellingShingle	Гнатюк, В.О. Гудима, У.В. Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гнатюк, В.О. Гудима, У.В.
author_sort	Гнатюк, В.О.
title	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_short	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_full	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_fullStr	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_full_unstemmed	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
title_sort	метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86539
citation_txt	Метод січної площини розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором / В.О. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 55-67. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gnatûkvo metodsíčnoíploŝinirozvâzuvannâzadačínajkraŝoíurozumínnísímíopuklihlípšícevihfunkcíjrívnomírnoíaproksimacííneperervnogokompaktnoznačnogovídobražennâskínčennovimírnimpídprostorom AT gudimauv metodsíčnoíploŝinirozvâzuvannâzadačínajkraŝoíurozumínnísímíopuklihlípšícevihfunkcíjrívnomírnoíaproksimacííneperervnogokompaktnoznačnogovídobražennâskínčennovimírnimpídprostorom
first_indexed	2025-07-06T14:01:53Z
last_indexed	2025-07-06T14:01:53Z
_version_	1836906461133799424
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 55 УДК 517.5 В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук, У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський МЕТОД СІЧНОЇ ПЛОЩИНИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ СІМ’Ї ОПУКЛИХ ЛІПШІЦЕВИХ ФУНКЦІЙ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ НЕПЕРЕРВНОГО КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ СКІНЧЕННОВИМІРНИМ ПІДПРОСТОРОМ У статті на основі ідеї методу січних площин розв’язува- ння задачі опуклого програмування побудовано збіжний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліп- шіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень. Ключові слова: компактнозначне відображення, найкра- ща у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій апроксимація, скінченновимірний підпростір, вагова функція. Вступ. Проблеми відновлення функціональних залежностей, які неточно визначені, за встановленими діапазонами їх можливих зна- чень приводять до задач найкращої у деякому розумінні апроксимації багатозначного відображення множинами однозначних відображень. У статті для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактноз- начного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень побудовано метод, який базується на ідеї ме- тоду січних площин розв’язування задачі опуклого програмування, за- пропонованого у праці [1], доведено його збіжність, отримано двосто- ронні оцінки, які дозволяють знайти величину найкращого наближення з наперед заданою точністю, обґрунтовано, що побудований метод може успішно використовуватися при розв’язуванні задачі найкращої зваже- ної рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначно- го відображення скінченновимірним підпростором. Постановка задачі. Нехай S — компакт, X — лінійний над полем дійсних чисел нормований простір,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел простір всіх неперервних однозначних відобра- жень g компакта S в X з нормою  max s S g g s   ,  K X — су- купність всіх непорожніх компактів простору X ,   ,C S K X — © В. О. Гнатюк, У. В. Гудима, 2014 Математичне та комп’ютерне моделювання 56 множина багатозначних півнеперервних зверху на S відображень a компакта S в X таких, що для кожного s S    sa s K K X  , V — скінченновимірний підпростір простору  ,C S X , породжений лінійно незалежними відображеннями  ,ig C S X , 1,i n ,  s s S p  — сім’я заданих на X опуклих ліпшіцевих з константою l функцій sp , s S , таких, що відображення  ss S p x  непере- рвне на S при кожному x X . Задачею найкращої у розумінні сім’ї  s s S p  рівномірної апрок- симації компактнозначного відображення   ,a C S K X  підпрос- тором V неперервних однозначних відображень будемо називати задачу відшукання величини           1 * ( ) ,..., 1 inf max max ( ) inf max max . n n V s g V s S y a s n s i i R s S y a s i a p y g s p y g s                        (1) Якщо існує відображення * * 1 n i i i g g    , * n i R  , 1,i n , таке, що           * * * 1 max max max max n V s s i i s S y a s s S y a s i a p y g s p y g s                  , то його будемо називати екстремальним елементом для величини (1). Актуальність теми. Теорія багатозначних відображень, яка ін- тенсивно розвивається в останні десятиріччя, знаходить багаточисе- льні застосування в теорії оптимального керування, теорії оптиміза- ції, опуклому аналізі, теорії ігор, математичній економіці та інших галузях сучасної математики. Важливий розділ цієї теорії утворюють задачі найкращого на- ближення складних багатозначних відображень відображеннями про- стішої структури (див., наприклад, [2–6]), у тому числі задачі най- кращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень (див., наприклад, [7–9]). Актуальність дослідження і розв’язування задач найкращої рівно- мірної апроксимації багатозначного відображення множинами однозна- чних відображень мотивується ще й тим, що з цими задачами тісно пов’язані задачі оптимального відновлення функціоналів за інформацією про діапазони їх можливих значень (див., наприклад [10], [11]). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 57 Чимало задач найкращого зваженого рівномірного відновлення функціональних залежностей, які не означені точно, вкладаються у схему постановки задачі відшукання величини (1). Практичне використання величини (1) та її екстремального еле- мента вимагає розробки чисельних методів їх відшукання. Мета роботи. Побудувати метод відшукання величини (1) та її екстремального елемента, оснований на ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування. Деякі означення та допоміжні твердження. Нехай X — про- стір, спряжений з X , F — дійснозначна функція, задана на X . Полярою F функції F , або функцією, спряженою з F , називаєть- ся функція, задана на X , означена рівністю        sup x X F f f x F x    , f X , (див., наприклад, [12, с. 306]). Множина    * : ,domF f f X F f    називається ефек- тивною множиною функції F (див., наприклад, [12, с. 306]). Елемент f X називається субградієнтом функції F в точці 0x X , якщо        0 0F x F x f x f x   , x X , (див., наприклад, [12, с. 324]). Множину субградієнтів функції F в точці 0x X називають субдиференціалом цієї функції в точці 0x і позначають  0F x (див., наприклад, [12, с. 324]). Якщо F є опуклою неперервною на X функцією, то для 0x X  0F x є непорожньою опуклою слабко компактною мно- жиною простору X (див., наприклад, [12, с. 327]). Твердження 1. Для кожного   ,a C S K X  функція       ( ) max max ( ) , ,a s s S y a s h p y h s h C S X       , є опуклою та ліпшіцевою з константою l на  ,C S X . Доведення. Опуклість функції    , ,a h h C S X  , випливає з опуклості функцій sp на X , s S , та властивостей верхньої межі довільної сім’ї опуклих функцій (див., наприклад, [13, с.180]). Переконаємося, що    , ,a h h C S X  , є ліпшіцевою на  ,C S X з константою l . Математичне та комп’ютерне моделювання 58 Нехай  1 2, ,h h C S X та    1 1 ( ) max max ( )a s s S y a s h p y h s           1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) max ( ) ( )s s y a s p y h s p y h s      , де 1s S ,  1 1y a s . Тоді         11 2 1 1 1 2 ( ) ( ) max max ( )a a s s s S y a s h h p y h s p y h s              1 1 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) max ( )s s y a s p y h s p y h s           1 11 1 1 1 2 1( ) ( )s sp y h s p y h s     (2)  1 1 1 1 2 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )l y h s y h s l h s h s          1 2 1 1 2 1 2( ) max ( ) ) . s S l h h s l h h s l h h        Аналогічно доводиться, що    2 1 1 2 ) .a ah h l h h    (3) З (2), (3) випливає, що    1 2 1 2 ) ,a ah h l h h     1 2, ,h h C S X . Твердження доведено. Наслідок 1. Для кожного   ,a C S K X  функція      1 1 ( ) 1 ,..., max max , ,..., n n a n s i i n s S y a s i p y g s R                   , є неперервною на nR . Доведення. Згідно з твердженням 1 для точок  1,..., ,n   0 0 1 ,..., n  простору nR одержимо, що    0 0 0 1 1 1 1 ,..., ,..., n n a n a n a i i a i i i i g g                                0 0 1 1 n n i i i i i i i i l g l g           . Звідси й випливає неперервність функцій  1,..., ,a n    1,..., n n R   , в точці  0 0 1 ,..., n  . Оскільки точку  0 0 1 ,..., n  виб- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 59 рано довільно з nR , то  1,..., ,a n    1,..., n n R   , є непере- рвною на nR . Наслідок доведено. Основні результати. Будемо припускати, що існують точки js S , функціонали jj sf domp , 11,j m , такі, що        1 1 1 1 max 0, ,..., 0 0,...,0 n i j i j n j m i f g s           . (4) Зрозуміло, що умова (4) виконується тоді і тільки тоді, коли      1 1,..., 1 1 min max 0 n nR n i j i j S j m i f g s             , (5) де   2 1 1 ,..., : 1n n n n iR i S R              — одинична сфера простору nR . На попередньому кроці методу вибираємо точки js S , функціо- нали * jj sf domp , 11,j m , такі, для яких виконується умова (4) (5). На k -му кроці  1k  будемо розв’язувати задачу лінійного програмування: inf  (6) при обмеженнях       * 1 , j n i j i j j j s j i f g s f y p f      11, 1j m k   , (7) де для 11,j m точки jy вибираються з  ja s довільно. Зрозуміло, що задача лінійного програмування (6),(7) має допус- тимий розв’язок. Таким допустимим розв’язком буде, наприклад, вектор  1 ,..., ;n   , де  1 ,..., n  вибрано довільно з nR , а        1 * 1 1 1 max j n j j i j i j s j j m k i f y f g s p f                 . Для всіх допустимих розв’язків  1 ,..., ;n   задачі (6), (7) має- мо, що         1 1 * 1 11 max max j n i j i j s j j j j m j mi f g s p f f y          . Математичне та комп’ютерне моделювання 60 Звідки при    1 ,..., 0,...,0n           1 1 2 * 1 11 1 2 1 max max j n n i j i j s j j j nj m j mi i i i f g s p f f y                 . Оскільки згідно з (5)    11 1 2 1 max 0 n i j i j nj m i i i f g s            , то звідси випливає, що      1 * 1 max js j j j j m p f f y      . (8) Отже, для будь-якого допустимого розв’язку  1 ,..., ;n   зада- чі (6), (7) має місце співвідношення (8). Це означає, що цільова функція  цієї задачі лінійного програ- мування обмежена знизу на множині її допустимих розв’язків. Тому задача лінійного програмування (6), (7) має оптимальний розв’язок (див., наприклад, [14, с. 110]). Теорема 1. Якщо    1; ,..., ;k k k k k n     є оптимальним розв’язком задачі (6), (7), то мають місце співвідношення       * max maxk k V s s S y a s a p y g s       , (9) де 1 n k k i i i g g    , 1,2,...k  . Якщо для деякого натурального k     max maxk k s s S y a s p y g s     , то kg є екстремальним елементом для величини (1) і справедлива рівність       * max maxk k V s s S y a s a p y g s       . (10) Доведення. Оскільки вектор    1, ,..., ;k k k k k n     є оптима- льним розв’язком задачі (6), (7), то    * 1 inf : , j n k j j i i j s j i f y g s p f                 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 61   1 1 11, 1, ,..., ; n nj m k R            1 * 1 1 1 max j n k j j i i j s j j m k i f y g s p f                          1 * 1 1 max j k j j j s j j m k f y g s p f            * 1 inf : , , n i i s i f y g s p f s S                     * 1 1, , ,..., ; n s ny a s f domp R       (11)       * * 1 inf : max max max , s n i i s s S y a s f domp i f y g s p f                             1 1 1 ,..., ; inf : max max , n n n s i i s S y a s i R p y g s                            1 1 ,..., ; inf : max max ,n n s s S y a s R p y g s                    , inf max max s V g V s S y a s g V R p y g s a               max max .k s s S y a s p y g s     Із співвідношення (11) випливають співвідношення (9). Якщо для деякого натурального k     max maxk k s s S y a s p y g s     , то, враховуючи (9), робимо висновок, що kg є екстремальним елеме- нтом для величини (1) і справедлива рівність (10). Теорему доведено. Отже, якщо для деякого натурального k     max maxk k s s S y a s p y g s     , то згідно з теоремою 2 kg є екстремальним елементом для величини (1) і   k V a  . У цьому випадку процес відшукання величини (1) та її екстре- мального елемента завершено. Математичне та комп’ютерне моделювання 62 Розглянемо випадок, коли     max maxk k s s S y a s p y g s     . Тоді знаходимо точки 1m ks S  ,   1 1m k m ky a s  такі, що          11 1 max max max m k m k k k s s m k s S y a s y a s p y g s p y g s             1 11m k k s m k m kp y g s     , функціонал   1 1 11m k k m k s m k m kf p y g s     та до обмежень (7) зада- чі лінійного програмування (6), (7) добавляємо обмеження        1 1 1 1 11 * 1 , m k n i m k i m k m k m k s m k i f g s f y p f           де        1 1 1 1 1 11 * m k k k m k m k m k m k s m k m kp f f y g s p y g s          (див., наприклад, [12, с. 16]), знаходимо оптимальний розв’язок    1 1 1 1 1 1, ,..., ;k k k k k n         одержаної нової задачі лінійного програмування і т.д. Теорема 2. Послідовність   1 k k    є неспадною, існує lim k k   . Послідовність   1 k k    , де  1 ,...,k k k n   , 1, 2,...k  , є обмеженою послідовністю простору nR . Для будь-якої часткової границі  * * * 1 ,..., n   послідовністі   1 k k    елемент * * 1 n i i i g g    є екстре- мальним елементом для величини (1). Мають місце співвідношення:       lim lim max maxk k V s k k s S y a s a p y g s         , (12) де 1 n k k i i i g g    , 1, 2,...k  . Доведення. Оскільки обмеження задачі лінійного програмуван- ня (6), (7), яка розв’язується на k -ому кроці, включається в обмежен- ня задачі лінійного програмування, яка розв’язується на 1k  -му кроці методу, а цільові функції цих задач однакові, то для відповід- них їх оптимальних розв’язків  1 ,..., ;k k k n   та  1 1 1 1 ,..., ;k k k n     Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 63 виконується нерівність: 1k k   , 1,2,...k  . Згідно з теоремою 1  k V a  . Тому існує lim k k   і  lim k V k a    . (13) Переконаємось, що послідовність   1 k k    є обмеженою послі- довністю простору nR . Припустимо супротивне. Тоді існує її підпос- лідовність   1 k     така, що lim k      . Без обмеження загаль- ності будемо вважати, що уже lim k k     . Оскільки  1 ,..., ;k k k n   є оптимальним розв’язком задачі (6), (7), то          1 , j n k k i j i j s j j j i f g s p f f y       11,j m , 1, 2,...k  . Звідки       * 1 1 1 1 , j kn ki j i j s j j jk k k k i f g s p f f y           (14) 11,j m , 1,2,...k  . Оскільки 1 ,..., n kk n Rk k S              , то з послідовності 1 1 ,..., kk n k k k                   можна вибрати збіжну підпослідовність 1 1 ,..., k k n k k                         . Нехай  / /1 1lim ,..., ,..., k k n nk k                     . Математичне та комп’ютерне моделювання 64 Зрозуміло, що  / / 1 ,..., nn RS   . З урахуванням зазначеного вище, обмеженості послідовності   1 k k    (існує lim k k   ) з (14) одержимо, що    1 / 1 1 max 0 n i j i j j m i f g s      , що суперечить (4). Отже,   1 k k    є обмеженою послідовністю простору nR . Нехай  * * * 1 ,..., n   її часткова границя. Переконаємося, що вектор * * 1 n i i i g g    є екстремальним елеме- нтом для величини (1). Існує підпослідовність   1 k     послідовності   1 k k    така, що    * * * 11lim lim ,..., ,...,kk k n n                . До обмежень задачі лінійного програмування типу (6), (7), яка розв’язана на кроці k , добавляється обмеження        1 1 1 1 11 * 1 , m k n i m k i m k m k m k s m k i f g s f y p f                 де точки 1m ks S   ,   1 1m k m ky a s    вибрані так, що              11 1 1 11 max max max , m k m k m k k k s s m k s S y a s y a s k s m k m k p y g s p y g s p y g s                       (15) а   1 1 11m k k m k s m k m kf p y g s       ,        1 1 1 1 1 11 1 * . m k m k k k s m k m k m k m k s m k m kp f f y g s p y g s                  Тому уже       1 1 1 1 1 1 11 * 1 m k n k k i m k i m k m k m k s m k i f g s f y p f                   . (16) Маємо далі з урахуванням (15), (16), що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 65            1 1 1 1 1 11 * 1 max max m k k s s S y a s n k m k m k i m k i m k s m k i p y g s f y f g s p f                                    1 1 1 11 * 1 m k n k m k m k i i m k s m k i f y g s p f                            1 1 1 1 1 11 * 1 m k n k m k m k i m k i m k s m k i f y f g s p f                          1 1 1 1 1 1 n n k k k k i i m k i m k i i i i i f g s l g                    . Оскільки    * * 11lim ,..., ,...,k k n n          , то звідси, співвідношен- ня (13) та наслідку 1 випливає, що                         1 1 1 1 1 11 1 * * 1 * 1 lim max max lim max max max max max max lim m k n kk s s i i s S y a s s S y a s i n s i i s s S y a s s S y a si n k m k m k i m k i m k s m k i p y g s p y g s p y g s p y g s f y f g s p f                                                                    1 lim .k V a       Отже,          * max max lim .k V s V ks S y a s a p y g s a         Звідси робимо висновок, що        max max lim .k s V ks S y a s p y g s a       (17) Це означає, що g є екстремальним елементом для величини (1). Оскільки рівність (17) має місце для будь-якої граничної точки  * * * 1 ,..., n   послідовності     1 1 1 ,...,k k k n k k        , то справед- лива рівність (12). Теорему доведено. З доведеної теореми випливає, що оцінки (9) можна використати для відшукання величини (1) з наперед заданою точністю. Математичне та комп’ютерне моделювання 66 Крім того, з теореми 2 випливає, що умова (4) ((5)) є достатньою для існування екстремального елемента для величини (1). Задача найкращої зваженої рівномірної апроксимації ком- пактнозначного відображення скінченновимірним підпростором. Нехай  s , s S — задана на S неперервна дійснозначна фу- нкція така, що   0s  для всіх s S (деяка вагова функція). Покладемо для s S    sp x s x , x X . Зрозуміло, що ,sp s S , є опуклими на X ліпшіцевими з константою  max s S l s   функціями, для яких відображення    ss S p x s x   є непе- рервними на S при кожному x X . З урахуванням цього можна зробити висновок, що задача відшу- кання   ( ) inf max max ( ) g V s S y a s s y g s     (18) вкладається у схему постановки задачі відшукання величини (1). Легко переконатися, що для сім’ї  s s S p  функцій sp , s S , таких, що    sp x s x , x X , існують точки js S , функціона- ли * jj sf domp , 11,j m , для яких виконується умова (4). Тому для відшукання величини (18) та її екстремального елемента можна ви- користати описаний вище чисельний метод. Задачу відшукання величини (18) будемо називати задачею най- кращої зваженої рівномірної апроксимації компактнозначного відо- браження   ,a C S K X  скінченновимірним підпростором V . Висновки. Побудовано чисельний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відобра- ження скінченновимірним підпростором. Отримано двосторонні оцінки, які дозволяють знайти величину найкращого наближення з наперед заданою точністю. Обґрунтовано, що побудований метод можна використати, зок- рема, для розв’язування задачі найкращої зваженої рівномірної апро- ксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором. Список використаних джерел: 1. Kelly J. E. The «Cutting plane» methods for solving convex programs / J. E. Kelly // SIAM J. — 1960. — Vol. 8, № 4. — P. 703–712. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 67 2. Сендов Б. Хаусдорфовы приближения / Б. Сендов. — София : БАН, 1979. — 372 с. 3. Никольский М. С. Аппроксимация выпуклозначных непрерывных много- значных отображений / М. С. Никольский // Докл. АН СССР. — 1989. — Вип. 308, № 5. — С. 1047–1050. 4. Никольский М. С. Об аппроксимации непрерывного многозначного ото- бражения постоянными многозначными отображениями / М. С. Николь- ский // Вест. Моск. ун-та. Сер. Вычислит. математика и кибернетика. — 1990. — № 1. — С. 76–80. 5. Чобан М. М. Теорема Стоуна-Вейерштрасса и аппроксимации выпукло- значных непрерывных многозначных отображений / М. М. Чобан, Д. М. Ипате // Изв. АН Респ. Молдова. Мат. –1981. — № 2. — С. 13–18. 6. Дудов С. И. О приближении непрерывного многозначного отображения по- стоянными многозначными отображения с шаровыми образами/ С. И. Дудов, А. Б. Коноплев // Мат. заметки. — 2007. — Вип. 82, № 4. — С. 525–529. 7. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении непрерывного много- значного отображения алгебраическим полиномом / И. Ю. Выгодчикова // Математика. Механика : сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та.– 2000. — №2. — С. 13–15. 8. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактноз- начного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У. В. Гудима// Укр. мат. журн. — 2005. — Вип. 57, № 12. — С. 1601–1619. 9. Дудов С. И. Критерий решения задачи наилучшего приближения сег- ментной функции полиномиальной полосой / С. И. Дудов, Е. В. Сорина // Математика. Механика : сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. — 2008. — № 10. — С. 20–23. 10. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные за- дачи / В. В.Арестов // Тр. МИАН СССР. — 1989. — Вип. 189. — С. 3–20. 11. Магарил-Ильяев Г. Г. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным / Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко // Матем. за- метки. — 1991. – Вип. 50, № 6. — С. 85–93. 12. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 13. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 14. Юдин Д. Б. Линейное программирование (теория и конечные методы) / Д. Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн. — М. : Физматгиз, 1963. — 774 с. We generalized the method of cutting planes for the problem of the best at sense of the family convex lipschitz functions uniform approxima- tion of compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps. Key words: the compact-valued maps, the best at sense of the family convex lipschitz functions uniform approximation, the finite dimensional space, the weight function. Отримано: 06.03.2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Репозитарії

Схожі ресурси