Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації

Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації

Для випадку залежної від зовнішнього середовища сингулярно збуреної функції регресії досліджено асимптотичну поведінку стрибкової процедури стохастичної оптимізації в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації. Показано, що генератор дифузійного процесу є гетерогенним в часі, а його флу...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2014
1. Verfasser: Горун, П.П.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86540
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / П.П. Горун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 68-80. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-86540
record_format dspace
spelling irk-123456789-865402015-09-22T03:02:06Z Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації Горун, П.П. Для випадку залежної від зовнішнього середовища сингулярно збуреної функції регресії досліджено асимптотичну поведінку стрибкової процедури стохастичної оптимізації в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації. Показано, що генератор дифузійного процесу є гетерогенним в часі, а його флуктуації мають залежний від еволюції характер. In case depending on the environment singularly perturbed regression function the asymptotic behavior of stochastic optimization procedure in diffusion approximation scheme in Markov medium was investigated. It was shown that the generator of the diffusion process is heterogeneous in time and its fluctuations depends on the evolution. 2014 Article Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / П.П. Горун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 68-80. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86540 519.21 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Для випадку залежної від зовнішнього середовища сингулярно збуреної функції регресії досліджено асимптотичну поведінку стрибкової процедури стохастичної оптимізації в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації. Показано, що генератор дифузійного процесу є гетерогенним в часі, а його флуктуації мають залежний від еволюції характер.
format Article
author Горун, П.П.
spellingShingle Горун, П.П.
Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Горун, П.П.
author_sort Горун, П.П.
title Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
title_short Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
title_full Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
title_fullStr Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
title_full_unstemmed Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
title_sort асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2014
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86540
citation_txt Асимптотична поведінка стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / П.П. Горун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 68-80. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT gorunpp asimptotičnapovedínkastribkovoíproceduristohastičnoíoptimízacíívshemídifuzíjnoíaproksimacíí
first_indexed 2025-07-06T14:01:56Z
last_indexed 2025-07-06T14:01:56Z
_version_ 1836906464922304512
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 68 УДК 519.21 П. П. Горун, аспірант Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДІНКА СТРИБКОВОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ В СХЕМІ ДИФУЗІЙНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ Для випадку залежної від зовнішнього середовища сингу- лярно збуреної функції регресії досліджено асимптотичну по- ведінку стрибкової процедури стохастичної оптимізації в мар- ковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації. Пока- зано, що генератор дифузійного процесу є гетерогенним в часі, а його флуктуації мають залежний від еволюції характер. Ключові слова: стрибковий марковський процес, стохас- тична оптимізація, асимптотична поведінка, дифузійна ап- роксимація. Вступ. Дослідження поведінки флуктуацій процедури стохасти- чної оптимізації (ПСО) дає оцінку швидкості її збіжності до точки екстремуму усередненої еволюційної системи. Така проблема вини- кає при використанні алгоритму фазового усереднення випадкових еволюцій [1], який базується на близькості вихідної та усередненої еволюційних систем [2]. Так, в [3–4] досліджено поведінку флуктуа- цій дифузійної еволюційної системи з марковськими перемиканнями (процедура стохастичної апроксимації), де функція швидкості має сингулярно збурений доданок з малим параметром серій. Асимптотична поведінка процедури стохастичної оптимізації дос- ліджувалась методом моментів, детально описаним у працях [5–7], а для загальніших випадків у працях [8–10] отримані інші граничні розподіли. Варто відзначити важливість флуктуацій при встановленні шви- дкості збіжності дифузійної оптимізації еволюційних систем в схемі усереднення та при встановленні асимптотичної поведінки процеду- ри стохастичної апроксимації [11]. Так, в роботі [2] розглядався випадок збурення, залежного тіль- ки від зовнішнього середовища. У цій статті розглянуто стохастичну систему, в якій функція швидкості має залежне від стану самої сис- теми сингулярне збурення по параметру серій. Проблема збіжності дискретної ПСО була розглянута у праці [12], де встановлено достатні умови збіжності динамічної системи в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації при умові експоненційної стійкості усередненого дифузійного процесу. При дослідженні асимптотичної поведінки стрибкової ПСО в схемі усереднення у роботі [13] було показано, що при деяких нормуваннях по © П. П. Горун, 2014 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 69 часу суттєво зменшується дисперсія ПСО, а математичне сподівання знайденого розв'язку стає ближчим до точки екстремуму *u . У цій статті використовуються отримані у попередніх працях ре- зультати з метою аналізу та дослідження асимптотичної поведінки стрибкової ПСО в схемі дифузійної апроксимації. Крім того, введено додаткові параметри, використовуючи які, можна отримати різну (прогнозовану) поведінку флуктуацій на зрос- таючих інтервалах часу. Асимптотика стрибкової ПСО при дифузійному збуренні. Досліджується асимптотична поведінка стрибкової процедури стоха- стичної оптимізації у схемі серій в марковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації. Для простоти викладення розглядається одновимірний випадок функції регресії, однак отримані результати аналогічно переносяться на багатовимірний випадок. Стрибкова процедура стохастичної оптимізації (ПСО) у схемі дифузійної апроксимації в марковському середовищі із сингулярним збуренням функції регресії задається співвідношенням (покладемо 1 0 ( ; ) 0n b n nn a C u x      ) [14]: 1/( / ) 1 =0 ( ) = ( ; ), (0) = , 0, t n n n n u t u a C u x u u t            (1) де  — показник нормування часу,  — лічильний процес моментів відновлення марковського процесу (МП). Для узагальнення отриманих результатів розглянемо наступні керуючі функції: ( ) = , > 0, ( ) = , > 0, a b a t a b t b t t  де ,  такі, що забезпечують умови збіжності ПСО (1) (див. [12, Теорема 1]): 2 0 0 0 ( ) , ( ) , ( ) ( ) . t t t a t a t a t b t               (2) В ПСО (1) мають місце вкладеності: 1/( ), ( ), ( ), / , 0,n n n n n n n nu u x x a a n                 де n моменти марковського відновлення рівномірно ергодичного МП ( ), 0x t t  в стандартному фазовому просторі ),( X . Функція 0 0( ; ) = ( ; ) ( ; ) c bC u x C u x C u x     , 0 > 0c , u R , x X задовільняє умови існування глобального розв'язку супроводжуючих систем: Математичне та комп’ютерне моделювання 70 ( ) = ( ( ); ), .x x du t C u t x x X dt   Під збіжністю стрибкової ПСО (1) мається на увазі збіжність з ймовірністю 1 до точки рівноваги *u (не зменшуючи загальності, вважатимемо, що * 0u  ) усередненої системи ( ) = ( ( )), ( ) = ( ) ( ; ). X du t C u t C u q dx C u x dt   (3) Це означає, що виконується рівність *( ) = 0.C u (4) З (3)–(4) отримуємо умову балансу для збурення 0 ( ; )C u x про- цедури (1): 0 (0; ) 0,C x  (5) де  — проектор, що визначається стаціонарним розподілом вкла- деного ланцюга Маркова (ВЛМ) , 0nx n  , тобто ( ) = ( ) ( ) X x dx x    . Зокрема, якщо 0 0= ( ; )N C u x , то 0 (0; ) = 0.C x (6) Для функції регресії 3( ; ) ( )C u C R  має місце представлення: 2 2 2 2 ( ; ) ( ; ) ( ; ) 2 1 (0; ) (0; ) (0; ) ( ), 2 3 b C u b x C u b x C u x b b C x uC x u C x o u b                     (7) де ( ), ( )u u t b b t  . Аналогічно збурення 3 0 ( ; ) ( )C u x C R має предс- тавлення: 2 3 3 0 0 0 0 0( ; ) (0; ) (0; ) (0; ) (0; ) ( ). 2 6 u u C u x C x uC x C x C x o u       (8) З (4) та (7) маємо додаткову умову балансу для функції регресії: (0, ) 0.C x  (9) Зауваження. Для дифузійного збурення 1/( / ) 1 2 0 0 0 =0 ( ) = ( ; ). t c n n n n C t a C u x         (10) ПСО (1) має місце слабка збіжність процесів (див. [1]) 0 ( ) ( ), 0, a q C t w t t      де ( )w t — стандартний вінерівський процес [17, глава X, 4б], Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 71 2 2 0 0 0 0= 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). X X dx q x C x R q x C x q dx C x    (11) Використовуючи (10), для ПСО (1) отримуємо представлення: 0 0( ) = ( ) ( ), c u t u t C t   (12) де 1/( / ) 1 0 =0 ( ) = ( ; ). t n b n n n u t u a C u x          Нормовані флуктуації ПСО (1) розглядаються у вигляді: ( ) = ( ). t v t u t      (13) Отже, ( ) = ( ).u t v t t     (14) З (12) та (14) маємо:  1 0 0( ) = ( ) ( ) , c u t v t t C t t          (15) звідки для (13) маємо: 0 0 ( ) ( ) = ( ) . cu t v t t C t             (16) Для скорочення записів введемо позначення: 1 0 . c z v t w    (17) Розглянемо трьохкомпонентний МП  1/ 0( ), ( ), = ( / ), 0 .tv t C t x x t t     (18) Оскільки при асимптотичному аналізі флуктуацій ключовим кроком є асимптотичне представлення генератора МП (18), то побудуємо його та розглянемо основні його властивості. Лема 1. Генератор МП (18) на тест-функціях 2( ; ; ) ( )v C P    має представлення 1/ 1/ 0( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ),tL v w x Q x L v w x            (19) де / 1 0 / 2 1/0 0 L ( ; ; ) = ( )P ( ; ) ; ( ; ); ( ; ; ) ( ; ; ), b c v v w x q x v t a C z x t w t aC z x y v w y v v w x tt                                    (20) Математичне та комп’ютерне моделювання 72 P ( ; ; ) = ( , ) ( ; ; ). X y P y d       Доведення. Проведемо доведення леми у два етапи. Етап I. Знайдемо умовне математичне сподівання (покладемо 0( ) = , ( ) = , = , ( ) =tv t v C t w x x t t    ):   0 , , 0 1/ 1/ E ( ( ); ( ); ) | , , = = E ( ); ( ); ( > ) . t v w x t x x v t C t x v w x v v t w C t x I I                                     Оскільки ( ) 1/ 2 1/ 1/ > = = 1 ( ) ( ) q x xI e q x O                , а 2 1/ 1/ ( ) ( )xI q x O             , маємо:       , , 0 0 1/ 2 , , 01/ E ( ); ( ); = = ( ); ( ); 1 ( ) ( )E ( ); ( ); ( ), v w x t v w x v v t w C t x v v t w C t x q x q x v v t w C t y O                                          (21) де =tx y  . Знайдемо приріст ( )v t нормованої ПСО (16) в момент стрибка при = , =n nt x x та малих > 0 , беручи до уваги розклад 1 2( ) = ( )t t t O         та використовуючи (13):       1 2 1 1 2 1 1 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ). v t v t v t u t t t v t O t u t u t u t t t t v t O v t t u t O t                                                                 (22) Враховуючи, що приріст еволюції ( )u t  рівний  /( ) = ( ) ( ) = ( ); ,b t a u t u t u t C u t x t               для останнього маємо: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 73     / 1 / 1 2 ( ) = ( ); ( ( ); ) ( ). b t b t v t t a C u t x v t a C u t x O t                              Для першого доданку в (21) при 0  , ( ) 0u t  і 0 ( ) 0C t  (з умови Ліпшиця для ( ; )bC u x ), тому другим доданком в (22) нехтуємо:     , , 0 2 ; ; 01/ ( ); ( ); ( ); ; ( ) ( ); ( ); ( ); ; ] ( ). v w x t v w x E v v t w C t x v v t w x t q x E v v t w C t y v v t w x O t                                             Для приросту 0 ( )C t маємо представлення: / 2 0 0 0( ) = ; . c a z C t C x t t             Нарешті з означення генератора МП (18) (див. наприклад, [16, Глава 3, 5]) отримуємо: 1 , , 0 0 1/ / 1 ; ; / 2 0 0 ( ; ; ) ( ( ); ( ); ) ( ; ; )lim ( ) ; ; ; ; ( ; ; ) ( ; ; ), t v w x t v w x b c v L v w x E v v t w C t x v w x q x E v t a C z x w t t aC z x y v w x v v w x tt                                                                   (23) де z визначено в (17). Етап II. Представлення (19) отримуємо використовуючи доданок ( ; ; )v w y в квадратних дужках в (23). Перш, ніж продовжити, розглянемо розклад тест-функції 3,4( ; ; ) ( )v w C P P    з (20) та оцінимо кожен з її доданків відносно  при різних значеннях параметрів 0, ,c  , відкидаючи усі, менші 2( )O  :   2 3 4 ( )2 2 2 1 2 2 2 2 3 3 51 2 1 1 1 2 1 2 1 2 ; ; = 2 6 24 ( ) ( ), 2 2 6 IV w w w w vw vww v v v v w x O O                                             (24) де = ( ; ; );v w x  / 1 1 = ; ;bt a C z x t                Математичне та комп’ютерне моделювання 74 / 2 0 2 0= ; . c t aC z x t              (25) Випадок 0= 1, = 1/ 4, = 1c  (класичний). Враховуючи, що в (20) перед ( ; ; )v w x стоїть множник 1/  , маємо:  2 1 2 1/ 2 2 1 = =          , тобто доданками з 2 1( )O  можна нехтувати;  3 1 6 01/ 3 2 2 = = c          , тобто доданками з 3 2( )O  можна нехтувати;  2 1 2 1 01/ 1 2 = = c            , тобто доданками з 1 2( )O   можна нехтувати. Таким чином, для даного випадку функція 1,2( ; ; ) ( )v w C P P    матиме розклад: 2 2 22 1 2 1 2 1 2( ; ; ) = ( ). 2v w wv w x O                   (26) Зауваження. Якщо 0 < 1c , то: 4(1 )1/ 2 0 2 = , c    тому доданками з 2 2( )O  можна нехтувати, а 2,2( ; ; ) ( )v w C P P    матиме розклад: 2 1 2 1 2 2( ; ; ) = ( ).v wv w x O              (27) Відповідно до розкладу (7) для ;bC z x t       матимемо розклад: 2 2 / 2 2 / 1 2 2 2 2 ; = (0; ) (0; ) 1 (0; ) , 2 2 bC z x C x zC x t t b z C x O t t t                                            (28) де =b const . Аналогічно до (8) збурення 0 ;C z x t       можна представити наступним чином: 0 0 0 2 3 4 2 3 0 02 3 4 ; = (0; ) (0; ) (0; ) (0; ) . 2 6 C z x C x zC x t t z C x z C x O t t t                             (29) Для зручності та скорочення записів покладемо ( ; ; )v w x  . Перейдемо до формулювання леми. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 75 Лема 2. ( 0= 1, = 1/ 4, = 1c  ) Генератор МП (18) на тест- функціях 1,2( ; ) ( )v w C P P    має асимпотичне представлення: 2 1 4 1 23/4 3 0 ( ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ; ; ), t t L v w x Q q x Q x P q x Q x P t t q x Q x P x Q v w x t                   (30) де 1 0( ) ( ; ; ) = (0; ) ;wQ x v w x aC x  (31) 1/4 2 02/4 ( ) ( ; ; ) = (0; ) (0; ) ;v w v t w Q x v w x a C x C x t             (32) 3 1/4 2 1/4 02/4 2 2 0 ( ) ( ; ; ) ( ) ( ) (0; ) (0; ) 2 (0; ) ; 4 2 v w v w Q x v w x v t a v t w C x C x t v a C x t                      (33) 0 ( ) = ( ) ( , ) ( ), X Q x q x P x dy y  (34) а залишковий член 0( )t x Q такий, що 0( ) ( ; ; ) 0, 0, .t Q v w t         Доведення. Підставивши (28) у (20) та врахувавши розклад (26), отримаємо представлення (30). Наслідок ( 0= 1, = 1/ 4, = 1/ 2c  ). Генератор МП (18) на тест- функціях 1,1( ; ; ) ( )v w C P P    має асимпотичне представлення: 1 1/2 4 1 23/4 3/4 3 0 ( ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ; ; ), t t L v w x Q q x Q x P q x Q x P t t q x Q x P x Q v w x t                   (36) де 1 01/4 1 ( ) ( ; ; ) = (0; ) (0; ) ;v wQ x v w x a C x C x t          (37) 2 01/4 1 ( ) ( ; ; ) = (0; ) (0; ) ;v wQ x v w x aw C x C x t           (38) Математичне та комп’ютерне моделювання 76 3 01/4 1 1 ( ) ( ; ; ) = ( (0; ) ) (0; ) ; 4 v wQ x v w x av C x C x t           (39) 0 ( ) = ( ) ( , ) ( ), X Q x q x P x dy y  (40) а залишковий член 0( )t x Q такий, що 0( ) ( ; ; ) 0, 0, .t Q v w t         Доведення. З (35) та (27) отримуємо представлення (36). Проблема сингулярного збурення. Щоб завершити побудову граничного оператора, розв'яжемо проблему сингулярного збурення (ПСЗ). Для цього розглянемо розклад оператора tL з (30) на збурених функціях вигляду 2 3 4 2 3 43/4 ( ; ; ) = ( ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ).v w x v w v w x v w x v w x t t           (41) Як і раніше, для зручності записів покладемо ( ; )v w  , ( ; ; ), 2, 4i i v w x i   . Лема 3. Розв'язок ПСЗ для оператора tL (30) на тест-функціях 1,2( ; ; ) ( )v w C P P    має вигляд: 1 ( ; ; ) ( ) ( ) ( ; ),t t tL v w x L v x v w t        (42) де оператор tL діє за правилом 1/4 2 2 2 1/4 1 22/4 ( ) ( ; ) = ( ) , 22 t v w w v t w a L v w q kv ad t w d tt                (43) де 1 ( ) (0; ) X d q dx C x    , 2 0( ) (0; ) X d q dx C x    , 1= ,k ad  а залишковий член ( ) ( ; )t x v w  такий, що ( ) ( ; ) 0, 0.t v w       Доведення. Відомо (див. [2, підрозділ 3.1] або [1]), що залишко- вий член в представленні (30) не впливає на розв'язок ПСЗ. Тому для отримання (42) достатньо розглянути розв'язок ПСЗ тільки для зрізаного до tL оператора 0 Lt  , тобто: 2 1 4 0 1 2 33/4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .tL Q q x Q x P q x Q x P q x Q x P t tt          Тоді значення оператора 0tL на збурених функціях (45) має представлення Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 77   2 4 0 2 1 1 3 23/4 4 1 2 3 0 ( ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), t t L v w x Q Q q x Q x P t Q q x Q x P t Q q x Q x P q x Q x P x t t                                   (44) де  1/4 0 1 3 2 2 1 4 3 22 2/4 2 1/4 3 2 3 2 4 3 3 3 4 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ]; | ( ) ( ; ; ) | 0, 0. t t x q x t Q x P Q x P Q x P Q x P t t Q x P t Q x P Q x P Q x P v w                               a) з умови розв'язності ПСЗ (44) (див. наприклад, [2, Підрозділ 3.1]) 2 1( ) ( ) 0Q q x Q x   та умови балансу (5) знайдемо значення 2 : 2 0 1 0 0( ; ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) (0; ) ( ; ).wv w x R q x Q x v w aR q x C x v w    (45) b) аналогічно з умови розв'язності 3 2( ) ( ) 0Q q x Q x   та умов балансу (6), (8) маємо: 3 0 2 1/4 0 0 02/4 ( ; ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) (0; ) ( ; ) (0; ) ( ; ) .v w v w x R q x Q x v w v t w aR q x C x v w C x v w t                (46) c) нарешті, з умови розв'язності (44) маємо: 4 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ),tQ q x Q x P q x Q x L v w t       де оператор Lt такий, що ( ; ) ( ) ( ; ),t tL v w L x v w     (47) а 1 0 1 3 1 ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .tL v w q x Q x PR q x Q x q x Q x t     (48) d) обчислимо тепер праву частину (47). Для цього використаємо знайдені представлення (48) та (45): 2 0 0 0 3 ( ; ) ( ) (0; ) ( ) (0; ) ( ; ) ( ) ( ) ( ; ). t w L v w a q x C x PR q x C x v w t q x Q x v w            Математичне та комп’ютерне моделювання 78 Тоді для першого доданку маємо: 0 0 0 2 0 0 0 0 ( ) (0; ) ( ) (0; ) ( ) (0; ) (0; ) ( ) (0; ), X X q x C x PR q x C x dx C x R C x q dx C x         (49) де 0 0(0; ) = ( ) (0; ).C x q x C x А для другого отримуємо:   3 1/4 1/4 2 2 2 0 02/4 ( ) ( ) ( ; ) = = ( ) (0; ) 4 ( ) ( ) (0; ) ( ) (0; ) . 22 v v X w w X X q x Q x v w v q a v t w dx C x v t w a a dx C x q dx C x tt                           (50) Тепер з (49), (50) 1/4 1/4 2 2 2 02/4 1 ( ; ) ( ) (0; ) ( ) (0; ) 4 ( ) ( ) (0; ) , 22 t v X X w w X L v w q v a dx C x at w dx C x v t w a dx C x tt                                    де 2 має представлення (11). Теорема. При виконанні умов збіжності ПСО (1), а також при додаткових умовах: 1:A 2 > 0 ; 2 :A 1 2> 0, > 0d d ; 3 :A > 0k має місце слабка подвійна збіжність процесів: 0( ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), 0),v t t C t t w t      де 2 2 2 2 2 ( ) = a q t t  в кожному скінченному інтервалі 00 < < < <t t T  . Двокомпонентний граничний процес  ( ), ( ) ( ), > 0t t w t t  є гетероген- ним в часі дифузійним процесом (43). Висновки. Досліджено асимптотичну поведінку стрибкової про- цедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації в марковському середовищі для одновимірного випадку. Отримані ре- зультати аналогічно переносяться на багатовимірний випадок. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 79 Показано, що генератор дифузійного процесу є гетерогенним в часі, а його флуктуації мають залежний від еволюції характер. Введено додаткові параметри, використовуючи які, можна отри- мати різну (прогнозовану) поведінку флуктуацій на зростаючих ін- тервалах часу. Отримані результати розширюють можливості дослідження флук- туацій еволюційних систем в околі точки екстремуму у випадку залеж- ного від еволюції сингулярного збурення еволюційної системи. У свою чергу, це дає змогу поглибити аналіз флуктуацій процедури стохастич- ної оптимізації при дослідженні умов оптимізаці стохастичних систем. Список використаних джерел: 1. Korolyuk V. Stochastic Systems in Merging Phase Space / V. Korolyuk, N. Limnios. — World Scientific Publishing, 2005. — 330 p. 2. Korolyuk V. S. Stochastic Models of Systems / V. S. Korolyuk, V. V. Koro- lyuk. — London : Kluwer acad. pub., 1999. — 185 p. 3. Chabaniuk Y. Fluctuation of stochastic systems with average equilibrium point / Y. Chabanjuk, V. S. Koroliuk, N. Limnios // C.R. Acad. Sci. Ser. I. Paris. — 2007. — 345. — P. 405–410. 4. Чабанюк Я. М. Асимптотична нормальність стрибкової процедури з ди- фузійним збуренням в марковському середовищі / Я. М. Чабанюк // Тав- рійський вісник інформатики та кібернетики. — Сімферополь, 2007. — №1. — С. 40–48. 5. Sacks J. Asymptotic distributions of stochastic approximations / J. Sacks // Ann. Math. Statist. — 1958. — Vol. 2. — P. 373-405. 6. Невельсон М. Б. О сходимости моментов процедуры Роббинса-Монро / М. Б. Невельсон, Р. З. Хасьминский // Автоматика и телемеханика. — 1972. — №3 — С. 101–125. 7. Хасьминский Р. З. О поведении процессов стохастической аппроксима- ции для больших значений времени / Р. З. Хасьминский // Проблемы пе- редачи информации. — 1972. — №1. — C. 453–495. 8. Fabian V. On asymptotic normality in stochastic approximation / V. Fabian // Annals of Mathematical Statistic. — 1968. — Vol. 39(4). — P. 1327–1332. 9. Kersting G. D. A weak convergence theorem with application to the Robbins- Monro process / G. D. Kersting // Ann. Prob., 1978. — Vol. 6. — P. 1015– 1025. 10. Ljung L. Stochastic Approximation and optimization of random systems / L. Ljung, G. Pflug, H. Walk. — Basel ; Boston ; Berlin : Birkhuser, — 1992. — 114 p. 11. Чабанюк Я. М. Апроксимація дифузійним процесом в схемі усереднення / Я. М. Чабанюк // Доп. НАН України. — 2004. — №12. — С. 35–40. 12. Чабанюк Я. М. Збіжність дискретної процедури стохастичної оптимізації в схемі дифузійної апроксимації / Я. М. Чабанюк, П. П. Горун // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : збірник наукових праць. — Кам'янець-Подільський : Кам'янець-Подільський націо- нальний університет імені Івана Огієнка. — 2012. — №6. — С. 234–248. Математичне та комп’ютерне моделювання 80 13. Чабанюк Я. М. Асимптотика стрибкової процедури стохастичної оптимізації в схемі усереднення / Я. М. Чабанюк, П. П. Горун // Вісник Київського уні- верситету. Серія: Фізико-математичні науки. — 2012. — №2. — С. 251–256. 14. Горун П. П. Генератор стрибкової процедури оптимізації в марковському середовищі / П. П. Горун, Я. М. Чабанюк, В. Р. Кукурба // XVI Interna- tional Conference «Problems of decision making under uncertainties» (PDMU- 2010, October 4–8, 2010). — К. : Освіта України. — С. 54 15. Korolyuk V. S. Average and diffusion approximation for evolutionary systems in an asymptotic split phase space / V. S. Korolyuk, N. Limnios // Annals Appl. Probab. — 2004. — 14(1). — P. 489–516. 16. Невельсон М. Б. Стохастическая апроксимация и рекуррентное оценива- ние / М. Б. Невельсон, Р. З. Хасьминский. — М. : Наука, 1972. — 304 с. 17. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение : в 2-х т. / В. Феллер. — М. : Мир, 1967. — Т. 2. — 751 с. In case depending on the environment singularly perturbed regression function the asymptotic behavior of stochastic optimization procedure in diffusion approximation scheme in Markov medium was investigated. It was shown that the generator of the diffusion process is heterogeneous in time and its fluctuations depends on the evolution. Key words: jumping markov process, stochastic optimization, asymp- totic behavior, diffusion approximation. Отримано: 31.03.2014 УДК 517.929 А. Б. Дорош, асистент, І. М. Черевко, д-р фіз.-мат. наук, професор Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ЗАСТОСУВАННЯ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДЛЯ АПРОКСИМАЦІЇ РОЗВ’ЯЗКІВ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ Досліджуються крайові задачі для лінійних диференціаль- них рівнянь із змінним запізненням. Запропоновано та обґрун- товано схему наближеного розв’язання крайової задачі за до- помогою кубічних сплайнів дефекту два. Ключові слова: крайова задача, запізнення, сплайн-функції, ітераційний процес. Вступ. Диференціальні рівняння із запізненням виникають у ба- гатьох областях математичного моделювання. Врахування запізнення дозволяє описати багато нових ефектів і явищ у біології, екології, імунології та інших науках. У зв’язку з відсутністю ефективних алго- © А. Б. Дорош, І. М. Черевко, 2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d002000650072002000650067006e0065007400200066006f00720020007000e5006c006900740065006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500740073006b007200690066007400200061007600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002e> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge