Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням

Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням

Розглянуто проблему стійкості стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2014
Автор: Мусурівський, В.І.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86547
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням / В.І. Мусурівський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 140-151. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-86547
record_format dspace
spelling irk-123456789-865472015-09-22T03:02:18Z Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням Мусурівський, В.І. Розглянуто проблему стійкості стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно. The problem of stability of stochastic differential-functional equations with impulse Markovian indignations and eventual behind. This system must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimivity of a transient process. 2014 Article Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням / В.І. Мусурівський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 140-151. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86547 519.718:519.217:519.837:517.929 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розглянуто проблему стійкості стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно.
format Article
author Мусурівський, В.І.
spellingShingle Мусурівський, В.І.
Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Мусурівський, В.І.
author_sort Мусурівський, В.І.
title Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
title_short Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
title_full Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
title_fullStr Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
title_full_unstemmed Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
title_sort про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2014
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86547
citation_txt Про проблему стійкості стохастичних дифереціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням / В.І. Мусурівський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 140-151. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT musurívsʹkijví proproblemustíjkostístohastičnihdiferecíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimimarkovsʹkimizburennâmitaskínčennimzapíznennâm
first_indexed 2025-07-06T14:02:22Z
last_indexed 2025-07-06T14:02:22Z
_version_ 1836906491880144896
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 140 УДК 519.718:519.217:519.837:517.929 В. І. Мусурівський, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ПРО ПРОБЛЕМУ СТІЙКОСТІ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ІМПУЛЬСНИМИ МАРКОВСЬКИМИ ЗБУРЕННЯМИ ТА СКІНЧЕННИМ ЗАПІЗНЕННЯМ Розглянуто проблему стійкості стохастичних диференціа- льно-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями та скінченним запізненням при наявності випад- кового процесу і запізнення одночасно. Ключові слова: диференціально-функціональні рівняння, системи випадкової структури, імпульсні марковські збурен- ня, скінченне запізнення. Вступ. Проблеми стійкості і стабілізації математичних моделей імпульсних динамічних систем випадкової структури із скінченною післядією при наявності зовнішніх та внутрішніх марковских параме- трів розглянуті в роботах [1–4]. У цій статті розглянута проблема побудови системи, яка опису- ється стохастичними дифереціально-функціональними рівняннями з імпульсними марковскими збуреннями (зовнішніми і внутрішніми), будучи системою випадкової структури із скінченним запізненням (СВСЗ), при наявності перехідного процесу і запізнення одночасно. СВСЗ повинна володіти властивістю асимптотичної стійкості за ймо- вірністю і забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. Побудова подібної динамічної системи вирішується за ра- хунок вибору керування, що працює за законом зворотного зв’язку. 1. Постановка задачі про оптимальну стабілізацію. Нехай за- даний імовірнісний базис   , , , 0 ,tF F t P  [6], [7]. Маємо: фелле- рівський марковський процес { ( ), 0}t t  зі значеннями в метрично- му просторі Y із перехідною ймовірністю ( , , , )P s y t  ; феллерівський ланцюг Маркова  , 0k k  зі значеннями в метричному просторі H з перехідною ймовірністю на k -ому кроці ( , )kP h G [8]. Нехай випадковий процес ( ) mx t R динамічної системи зі скін- ченним запізненням описується диференціально-функціональним рівнянням (ДФР) [5], [9–10], [3–4], © В. І. Мусурівський, 2014 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 141 ( ) ( , ( ), ( ), , ) ( , ( ), ( ), , ) ( )t tdx t a t t x t x u dt b t t x t x u dw t   (1) з імпульсними зовнішніми марковськими збуреннями  ( ) , ( ), , , k kt t k k t kx t g t t x      (2) де { , }k nt S t n N    , причому lim n n t    , і з початковою умовою 0 0tx z D  , 0( )t y Y   , 0k h H   . (3) Асимптотика розв’язку ( ) mx x t R  СВСЗ розглядається відносно нульового розв’язку ( ) 0;x t  0 0t t   , { ( )}tx x t   , 0    , 0  ,  [ ,0], mD D R  — простір Скорохода неперервних справа функцій, що мають лівосторонні границі [2]. ( )w t — вінерівський про- цес. Величина ( , , , ) r tu u t y x h R — r-мірне керування [3]. Випадкова внутрішня зміна структури динамічної системи може викликатися:  скалярним чисто розривним марковським процесом 1( )t R , що допускає розклад: { ( ) ( , ) ( ) } ( , , ) ( )P t t t p t t t                      , (4) { ( ) , ( ) } 1 ( , ) ( )P t t t t p t t t                  , (5) де 1 2, [ , ]    Y , ( )t  — нескінченно мала величина відносно t , а ( , , )p t   і ( , )p t  — задані функції [8];  простим марковським (неперервним) ланцюгом ( )t із скінчен- ним числом станів 1 2{ , ,..., }kY y y y і відомих параметрів { }ijq : i ij j i q q    , при цьому  ( ) ( ) ( ) ( )j i j ijP t t y t y y q t t t           , , 1,i j k . (6) Оскільки для системи (1)–(3) досліджується тривіальний роз- в’язок ( ) 0x t  , то права частина цієї системи задовольняє умовам 0 ( , ,0, , ) 0; ( , ,0, , ) 0, ( , ,0, ) 0, 0, , . a t y z u b t y z u g t y h t t y h          Y H (7) Припустимо, що вимірні за сукупністю змінних функціонали a : m r mR Y R D R R      , b : m r mR Y R D R R      , g : m m     R Y R H R , Математичне та комп’ютерне моделювання 142 задовольняють умову Ліпшіца для 1 2, mx x R , 1 2,z z D  рівномі- рно за всіма іншими аргументами для 0 0t t   , y Y , h H , ru R :               1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , a t y x z u a t y x z u b t y x z u b t y x z u g t y x h g t y x h x x z z            (81) і умову рівномірної обмеженості   0, , sup ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , )t t t y Y h H a t y x x u b t y x x u g t y x h          , 0  . (82) Передбачається виконання умови про неперервність ( , , , )u t y z h за ,t z для кожного фіксованого ( )t y  Y і k h  H в області 0t  , z D , yY , hH . (9) Означення 1. Випадковий процес ( , ) mx x t  R назвемо силь- ним розв’язком задачі Коші (1), (3) з імпульсними збуреннями (2), якщо: 1) ( ) mx t R погоджений з потоком  -алгебр  0, 0tF t t  , t F F ; 2) для всіх 1[ , )k ks t t  , 1( , )kt s t  , 0kt t задовольняє інтегрально- му рівнянню     ( ) ( ) , ( ), ( ), , ( ) , ( ), ( ), , ( ) ( ); t s t s x t x s a x x u d b x x u dw                       (10) 3) при цьому  ( ) ( ) , ( ), , k k t kk k k x t x t g t t x   , 0 0kt t   . (11) Вищевизначені умови на відображення a і g гарантують існуван- ня сильного розв’язку задачі (1)–(3) згідно означення 1 із точністю до стохастичної еквівалентності при 0 0t  , mxR , ruR і заданих реалізаціях марковських ланцюгів   0{ , }t t t  Y і 0{ , }k k k   H [1], [10]. Оскільки ( ) mx t R однозначно визначається за допомогою початкових даних (3), тому його зручно позначати 0( , , , , )x t t y z h . Отже, ДФР (1), марковський процес { ( )t , k }, і початкові умо- ви (3) визначають при будь-якому керуванні [8] ( , ( ), , )t ku u t t x  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 143 ( 2)n  -мірний марковский процес ( , ( ), )t kx t  на прямому добутку просторів D Y H  . При цьому ( ) mx t R характеризує стан систе- ми в момент часу t , а ( )t і k структуру, у якій перебуває система в цей же момент часу t S . Будемо припускати, що майже всі реалі- зації марковських процесів ( )t і 0,k k k  , є постійними, а переми- кання відбуваються у випадкові моменти часу * *( )t t  . Далі припу- стимо, що на кожному випадковому інтервалі часу * *t h t t   рух відбувається внаслідок (1) при фіксованому значенні параметра ( ) st y  , *s t h  . При цьому в момент *t перемикання системи (1) для нового стану системи (структури) варто задати початкові умови. Як правило, початкові умови вибираються з вимог неперервного про- довження траєкторії ( ) mx t R , як розв’язку ДФР (1)–(3). Для врахування розглянутих ситуацій будемо вважати, що для випадкового моменту часу *t перемикання системи (1) (за рахунок переходу ( )t зі стану *( 0) it y   ) у стан *( ) jt y  , i j ) заданий умовний закон розподілу початкового стану *( )x t для структури, що змінилася, системи [5]: * * *{ ( ) ( , ) ( 0) } ( , ) ( )ijP x t z z dz x t x p t z x dz dz      . (12) Природно припустити, що майже всі реалізації процесу { ( ), ( )x t t } неперервні справа. 2. Основні позначення і означення стійкості. Позначимо (( , ), )k y h GP перехідну ймовірність ланцюга Маркова { ( ), }k kt  на k -ому кроці. Відповідно до прийнятих в теорії марковских проце- сів позначень імовірнісних подій [8], пов’язаних із цим ланцюгом, позначимо індексами ці ймовірності так, щоб виконувалися рівності    , ( ) , ( , ),kt k k ky hP t G P y h G     , (13) при всіх 0kt t , yY , hH і борелевских  Y , G  H . Тепер уведемо функцію   1 1 1, ( , , ), ( ( , , , , ) ; ( ) ; ),k k t k k k ky h P y h x G C P x t t y x h C x t G           (14) для 0{ }kt S t   , {0}k  N , ( ) mx t R , yY , hH , і mC  R ,  Y , G  H . Означення 2. Дискретний оператор Ляпунова ( , , )kL y x h на пос- лідовності вимірних скалярних функцій 1( , , ) :k y x h Y D H R    , Математичне та комп’ютерне моделювання 144 {0}k  N для ДФУ (1) з імпульсними збуреннями (2) визначається співвідношенням 1 1 1( , , ) ( , , )( ) ( , , ) ( , , )k k k k Y D H L y x h P y x h dz dz dl z z l y x h         . (15) Означення 3. Якщо kt k при k N і деякому 0  , ві- дображення ,a b і g не залежать від t , марковский процес ( )t і ланцюг k однорідні, то систему (1)–(2) назвемо автономною. У випадку автономної системи (1), (2) індекс k функції (( , , ), )y h x G C kP можна опустити і дискретний оператор Ляпу- нова варто визначити рівністю 1 1( , , ) (( , , ) ) ( , , ) ( , , ) Y D H L y x h P y x h dz dz dl z z l y x h         . (16) При розвитку другого методу Ляпунова для ДФУ (1) з імпульс- ним впливом (2) використовуються спеціальні послідовності вище- згаданих функцій ( , , )k y x h , k N . Означення 4. Функціоналом Ляпунова-Красовского системи випадкової структури (1)–(2) назвемо послідовність невід’ємних фу- нкціоналів { ( , , ), 0}k y x h k  , якщо: 1) при всіх 0k  , y Y , h H , x D визначений вираз (16); 2) , , ( ) inf ( , , )k k N y Y h H x r r y x h         ; при r  (17) 3) , , ( ) sup ( , , ) 0k k N y Y h H x r r y x h        ; при 0r  (18) причому ( )r і ( )r неперервні і монотонні. Означення 5. Розв’язок ( )x t системи випадкової структури (1)– (3) назвемо при y Y , hH , ruR і 0 0t  :  стійким за ймовірністю, якщо для 1 20, 0    можна вказати таке 0  , що з 0z  випливає нерівність 0 0 1 2{sup ( , , , , ) }t t t P x t y z h u      ; (19)  асимптотично стійким за ймовірністю, якщо виконано (19), і мож- на вказати такі 1 0  і 2 0  , що для майже всіх реалізацій, що задовольняють нерівності 0 0 1sup ( , , , , )t t t P x t y z h u    і 0 2z  , має місце співвідношення Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 145 0lim ( , , , , ) 0t t P x t y z h u   ; (20)  асимптотично стохастично стійким, якщо він стійкий за ймовірні- стю, і для 0  1 0  такий, що при всіх 0 1z  , 0lim {sup ( , , , , ) } 0t t P x t y z h u        . (21) Означення 6. Розв’язок ( )x t системи випадкової структури (1)– (3) назвемо при y Y ; hH , ruR , 0 0t  , 0t t ; z D :  p -стійким (при 0p ), якщо для 0  можна вказати таке 0  , що з нерівності 0z  випливає нерівність 0( , , , , ) p tE x t y z h u  ; (22)  асимптотично p -стійким (при 0p ), якщо вона p -стійка і існує таке 1 0  , що з нерівності 0 1z  випливає 0 , lim sup ( , , , , ) 0 p t t y Y h H E x t y z h u     . (23) Зауваження 1. При 2p будемо мати стійкість у середньому квадратичному (l.i.m.) (22) і асимптотичну стійкість в . . .l i m (23). Означення 7. Розв’язок ( )x t системи випадкової структури (1)– (3) називається експоненціально p -стійким при 0  p , якщо існує таке 0  , що з 0z  випливає нерівність 0( ) 0( , , , , ) , p pt t tE x t y z h u Me z  (24) при 0M  , 0  ; yY ; hH , ruR , 0 0t  , 0t t . Зауваження 2. При 2p  будемо мати експоненціальну стій- кість в l.i.m. 3. Загальні теореми про стійкість систем випадкової струк- тури. Для подальших викладень наведемо спочатку оцінку розв’язку задачі (1)–(2) на інтервалах 1( , )k kt t  через значення розв’язку в точ- ках kt , 0k  [3]. Лема 1. Нехай для [0, ]t T , yY ; hH , ruR виконані умо- ви нерівності Ліпшіца (81), нерівностей рівномірної обмеженості (82) і ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , ) ( )a t y x z u b t y x z u g t y x h x z     . (25) Тоді для розв’язку задачі Коші (1)–(3) при всіх 0k  має місце нерівність Математичне та комп’ютерне моделювання 146      1 1 ( ) 1sup 1 k k k k k t t t t k k t t t x e x t t            . (26) Зауваження 3. Надалі будемо вважати, що 0  в (82), 0 0k  . Теорема 1. Нехай: 1) 1 , 0,k kt t k      N ; 2) виконана умова Ліпшіца (81); 3) у силу системи (1)–(3) для послідовності функціоналів Ляпунова- Красовского { , 0}k k  має місце нерівність ( )( , , ) 0kL y x h  ,  k N , yY ; hH , x D , ruR . (27) Тоді система (1)–(3) стійка за ймовірністю в цілому. Доведення. Позначимо через kt F — мінімальну  -алгебру, щодо якої вимірні ( )t при всіх 0[ , ]kt t і n при n k . Тоді умовне математичне сподівання можна обчислити за формулою [8]       11 1 1 1 1 1 ( ) ( ), , , , ( , , ) . k k k k tk k k t k t k k y t hY D H x x E t x F P y x h dz dz dw z z w                   (28) За визначенням дискретного оператора Ляпунова-Красовского ( )( , , )kL y x h із рівності (28), на основі нерівності (27), одержимо          11 1 1( ), , ( ), , ( ), , . k k k k k k k t k t k k t k k k t k t E t x F t x L t x x                  (29) Внаслідок леми 1, властивостей функціонала  випливає існу- вання умовного математичного сподівання лівої частини нерівності (29), тому що ( )kx t при 0kt t  внаслідок (23) обмежено констан- тою, що пропорційна z рівномірно за yY ; hH і 0 0t  , а саме 0 1 0( )(1 ) k k k k k t t tx z e      . Тепер, на підставі (28), уздовж розв’язків (1)–(3) можна записати наступну нерівність  11 1 1( )( ( ), , ) ( ( ), , ) ( ( ), , ) ( ( ), , ) 0. k k k k k k k t k k k t k t k k t k k k t k L t x E t x F t x a t x                    (30) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 147 Тоді при k N виконується нерівність     11 1 1( ( ), , ) ( ), , k k kk k t k t k k t kE t x F t x          , (31) а, отже, послідовність випадкових величин { ( ( ), , )} kk k t kt x   при k N утворить супермартингал відносно kt F [7]. Взявши математичне сподівання від обох частин нерівності (30) і просумувавши за k від 0n k до N , отриманий вираз запишемо         11 1 1( ( ), , ) ( ( ), , ) ( ( ), , ) ( ( ), , ) 0. N n k k N N N t n n n t N N k k t k k k t k k n k n E t x E t x E L t x E a t x                        (32) Тому внаслідок леми 1 одержимо ланцюжок нерівностей для 1 0  0 10 0 10 0 10 10 0 0 0 0 1 0 1 ( ) 0 0 1 1 0 0 1 1 {sup ( , , , ) } {sup sup ( , , , ) } {sup (1 ) ( , , , ) } {sup ( , , , ) } (1 ) sup ( ( ), k n k n k n k n k n k n k n t t t t n N t t t t t t n N t n N k n k n t n N P x t y x h P x t y x h P e x t y x h P x t y x h e P t x                                                1 0 1 1, ) . 1k n e                (33) Якщо kt x r , то на підставі (17) повинна виконуватися нерівність 0 0 , , sup ( ( ), , ) inf ( , , ) ( ) kk k t k k k k k k y Y h H x r t x y x h r            . (34) Скористаємося відомою нерівністю для невід’ємних супермар- тингалів [7]     0 0 1 00 0 1 1 1 1 1 1 sup ( ), , 1 1 ( , , ) . 1 1 k nk n k n t k n n N k P t x e z y x h e e                                                (35) З огляду на нерівність (33), нерівність (35) дає можливість стве- рджувати, що виконується (19), а значить система (1)–(3) стійка за ймовірністю в цілому [11]. Теорема 1 доведена. Математичне та комп’ютерне моделювання 148 Теорема 2. Нехай: 1) 1 , 0,k kt t k      N ; 2) виконана умова Ліпшіца (81); 3) для системи (1)–(3) існують послідовності функціоналів Ляпуно- ва-Красовского { ( , , )}k y x h і { ( , , )}ka y x h , k N , такі, що ( )( , , ) ( , , )k kL y x h a y x h   . (36) Тоді система (1)–(3) асимптотично стохастично стійка в цілому. Доведення. Нерівність (32) дає оцінки 01 1 1 1{ ( ( ), ( ), )} ( , , )N N N N kE t x t y x h        , (37) 0 { ( ( ), , )} ( , , ) k N k k t k k k n E a t x y x h      . (38) при всіх 0N k , yY ; hH , x D . Внаслідок того, що послідовність { }ka , k N , утворить функ- ціонала Ляпунова-Красовского, повинні існувати неперервні строго монотонні функції ( )a r і ( )a r , рівні нулю в нулі і такі, що    ( , , )ka x a y x h a x  , k N , yY ; hH , x D . Отже, із збіжності ряду в лівій частині нерівності (38) випливає збіжність ряду    0 0( , , , ) kt k k E a x t y x h    для 0 0t  , yY ; hH , x D . Тоді внаслідок неперервності ( )a r і рівності (0) 0a  маємо 0lim ( , , , ) 0 ktk x t y x h   . Із вищесказаного маємо прямування до 0 за ймовірністю послідов- ності 0( ( , , , ) ) kt x t y x h при k  для 0 0t  , yY ; hH , x D . Тому із властивостей функціонала Ляпунова-Красовского має- мо, що невід’ємний супермартингал ( ( ), , ) kk k t kt x   при k  прямує до 0 за ймовірністю на всіх реалізаціях процесу ( ) ( , )t t   і послідовності k . Отже, невід’ємний обмежений зверху супермарти- нгал має границю із ймовірністю одиниця [5], [4]. Тоді, використо- вуючи результат леми 1, внаслідок означення 5, одержимо [11] асим- птотичну стохастичну стійкість у цілому імпульсної системи (1)–(3). Теорема 3. Нехай виконані умови 1)–3) теореми 2, причому фу- нкціонали Ляпунова-Красовского { }k , { }ka , 0k  для деяких 0p при 0, 1, 4ic i  і для всіх k N , yY ; hH , z D , задоволь- няють нерівностям Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 149 1 2(0) ( , , ) p p kc z y h z c z  , (39) 3 4(0) ( , , ) p p kc z a y h z c z  . (40) Тоді система (1)–(3) асимптотично p -стійка в цілому. Доведення. Використовуючи (30) при 0n k , на підставі (39), для всіх 0N k , 0k N , z D і початкових розподілах випадкового вектора 0 0 { ( ), }k kt  можна отримати нерівність         1 1 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ), , 1 ( ), , . N N p t N N N t p k k k E x E t x c c E t z z c c              (41) Звідси за означенням 6 випливає p -стійкість системи (1)–(3). Використовуючи нерівності (32), (39) і (40), виконаємо оцінку зверху         0 0 0 0 0 3 4 3 3 1 ( ), , 1 ( ), , . k k N Np t k k k t k k k k p k k k E x E a t x c c E t z z c c              (42) Ця нерівність гарантує збіжність ряду, членами якого виступа- ють  k p tE x для довільних початкових даних 0kt x z і початкових розподілів випадкового вектора   0 0 ( ),k kt  . Таким чином,  0 , lim sup ( , , , ) 0 k p t k y Y h H E x t y h z     при всіх 0 0t  , що і доводить теорему 3 [11]. Теорема 4. Нехай виконані всі умови теореми 1 і 1 0   , що 1 1k kt t    , k N . (43) Тоді система (1)–(3) експоненціально p -стійка в цілому. Доведення. Внаслідок нерівності (26) (при 0  ) досить довести, що нерівність (24) виконана для кожного z D при t S  . Дійсно, для 1( , )k kt t t   , k n , із означення (27) для 0k випливає нерівність 0 0 ( ) ( )k k k t t t te e e        . (44) Використаємо позначення із доведення теореми 1 і доведену ра- ніше рівність для k N , 0 0t t  і z D , 0( )t Y , 0k H Математичне та комп’ютерне моделювання 150  11 1 1( ( ), , ) ( ( ), , ) ( )( ( ), , ). k k k k k k k t t k k k t k k k t E t x F t x L t x                (45) З умов теореми 4 випливає нерівність 3 3 2 ( )( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) p k k k c L y h z a y h z c z y h z c           Тоді з (44) легко одержати оцінку зверху для умовного матема- тичного сподівання      1 3 1 1 1 2 ( ( ), , ) 1 ( ( ), , ) k k kk k k t t k k k t c E E t x F E t x c                 . (46) Нехай 0 1k  , тоді оцінка (46) для 0k k  дає нерівність      0 0 0 0 0 3 2 ( ( ), , ) 1 ( ( ), , ) k k k k k k k k t t k k k t c E E t x F E t x c               . Звідки внаслідок умов теореми отримуємо      0 0 0 32 1 1 2 1 ( , , , ) ( ), , ( , , , ) 1 k k k k p p t k k k t k cc E x t y h z E t x t y h z z c c c             . Якщо вважати 2 3c c , тоді 3 2 1 (0,1) c c        . Скориставшись нерівністю (44), одержуємо доведення [11]. Висновки. Доведені основні теореми стійкості стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськи- ми збуреннями та скінченним запізненням при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно. Список використаних джерел: 1. Царьков Е. Ф. Квазилинейные стохастические функционально-дифферен- циальные уравнения / Е. Ф. Царьков, В. К. Ясинский. — Рига : Ориентир, 1992. —328 с. 2. Королюк В. С. Устойчивость динамических систем с последействием с уче- том марковских возмущений / В. С. Королюк, В. И. Мусуривский, И. В. Юр- ченко // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 6. — C. 134–146. 3. Королюк В. С. Стабилизация импульсных динамических систем с конеч- ным последействием при наличии марковских параметров. Часть І / В. С. Королюк, В. И. Мусуривский, В. К. Ясинский // Проблемы управле- ния и информатики. — 2008. — №1. — С. 16–35. 4. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси. Теорія та комп’ютерна практика : в 3-х т. / В. С. Королюк, Є. Ф. Царьков, В. К. Ясин- ський — Чернівці : Золоті литаври, 2009. — Т. 3. Випадкові процеси. Те- орія та комп’ютерна практика. — 798 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 151 5. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилиза- ции систем случайной структуры / И. Я. Кац. — Екатеринбург : Изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998. — 222 с. 6. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2-х т. / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Физматгиз, 1994. — Т. 1. — 544 с. 7. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2-х т. / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Физматгиз, 1994. — Т. 2. — 473 с. 8. Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. — М. : Физматгиз, 1969. — 859 с. 9. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсными воздей- ствиями / А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк. — К. : Вища школа, 1987. — 287 с. 10. Свердан М. Л. Устойчивость стохастических импульсных систем / М. Л. Свердан, Е. Ф. Царьков. — Рига : РТУ, 1994. — 300 с. 11. Мусуривский В. И. О проблеме устойчивости систем случайной структу- ры с постоянным запаздыванием / В. И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — №5. — С. 5–15. The problem of stability of stochastic differential-functional equations with impulse Markovian indignations and eventual behind. This system must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimivity of a transient process. Key words: differential-functional equations, system odd structure, impulse Markovian indignations, eventual behind. Отримано: 25.03.2014 УДК 519.21 А. В. Нікітін, канд. фіз.-мат. наук Буковинський державний фінансово-економічний університет, м. Чернівці ОПТИМІЗАЦІЯ МНОЖИН ПОЧАТКОВИХ ЗНАЧЕНЬ В ІНТЕГРАЛЬНІЙ МОМЕНТНІЙ СТІЙКОСТІ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ РІВНЯНЬ У ГІЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРАХ Побудовано оптимальну множину початкових значень стохастичних диференціальних рівнянь з випадковими ліній- ними стрибками розв’язків у гільбертових просторах. Ключові слова: гільбертовий простір, оптимальна мно- жина початкових значень, марковський процес. Вступ. При оптимізації множини початкових значень різницевих та диференційованих рівнянь з марковськими коефіцієнтами можливо за- стосувати результати, які отримані К. Г. Валеєвим та його учнями [1]. © А. В. Нікітін, 2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <FEFF05d405e905ea05de05e905d5002005d105d405d205d305e805d505ea002005d005dc05d4002005db05d305d9002005dc05d905e605d505e8002005de05e105de05db05d9002000410064006f006200650020005000440046002005e205d105d505e8002005d405e605d205d4002005d505d405d305e405e105d4002005d005de05d905e005d4002005e905dc002005de05e105de05db05d905dd002005e205e105e705d905d905dd002e002005de05e105de05db05d90020005000440046002005e905e005d505e605e805d5002005e005d905ea05e005d905dd002005dc05e405ea05d905d705d4002005d105d005de05e605e205d505ea0020004100630072006f006200610074002005d5002d00410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002005d505d205e805e105d005d505ea002005de05ea05e705d305de05d505ea002005d905d505ea05e8002e> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f0020043d0430043404350436043d043e0433043e0020043f0440043e0441043c043e044204400430002004380020043f04350447043004420438002004340435043b043e0432044b044500200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси