Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів

Запропоновані чисельні та наближені методи розв’язування крайових задач. Чисельні методи розв’язування лінійних крайових задач ґрунтуються на упорядкуванні матриці різницевого рівняння на максимально укрупнені ортогональні підсистеми. Наближені методи ґрунтуються на апроксимації розв’язку функціями...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Абрамчук, В.С., Абрамчук, І.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86556
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів / В.С., Абрамчук І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 5-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86556
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-865562015-09-22T03:02:16Z Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. Запропоновані чисельні та наближені методи розв’язування крайових задач. Чисельні методи розв’язування лінійних крайових задач ґрунтуються на упорядкуванні матриці різницевого рівняння на максимально укрупнені ортогональні підсистеми. Наближені методи ґрунтуються на апроксимації розв’язку функціями на основі ростків многочлена Тейлора. 2014 Article Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів / В.С., Абрамчук І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 5-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86556 519.612 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Запропоновані чисельні та наближені методи розв’язування крайових задач. Чисельні методи розв’язування лінійних крайових задач ґрунтуються на упорядкуванні матриці різницевого рівняння на максимально укрупнені ортогональні підсистеми. Наближені методи ґрунтуються на апроксимації розв’язку функціями на основі ростків многочлена Тейлора.
format	Article
author	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
spellingShingle	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
author_sort	Абрамчук, В.С.
title	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів
title_short	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів
title_full	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів
title_fullStr	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів
title_full_unstemmed	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів
title_sort	ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86556
citation_txt	Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів / В.С., Абрамчук І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 5-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT abramčukvs efektivnímetodičiselʹnogomodelûvannânaosnovíviborubazisnihelementív AT abramčukív efektivnímetodičiselʹnogomodelûvannânaosnovíviborubazisnihelementív
first_indexed	2025-07-06T14:02:53Z
last_indexed	2025-07-06T14:02:53Z
_version_	1836906524260171776
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 5 УДК 519.612 В. С. Абрамчук, канд. фіз.-мат. наук, І. В. Абрамчук, старший викладач Вінницький державний педагогічний університет імені М. Коцюбинського, м. Вінниця, *Вінницький національний технічний університет, м. Вінниця. ЕФЕКТИВНІ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО МОДЕЛЮВАННЯ НА ОСНОВІ ВИБОРУ БАЗИСНИХ ЕЛЕМЕНТІВ Запропоновані чисельні та наближені методи розв’язуван- ня крайових задач. Чисельні методи розв’язування лінійних крайових задач ґрунтуються на упорядкуванні матриці різни- цевого рівняння на максимально укрупнені ортогональні під- системи. Наближені методи ґрунтуються на апроксимації розв’язку функціями на основі ростків многочлена Тейлора. Ключові слова: різницеве еліптичне рівняння, методи мі- німальних нев’язок, похибок у просторах AE , TA E , ростки многочлена Тейлора, метод зважених нев’язок, обернені зада- чі для динамічних систем. Вступ. Різницева апроксимація багатовимірних диференціаль- них еліптичних рівнянь, що описують задачі динаміки в’язкої рідини і тепломасоперенесення, приводить до необхідності розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь з матрицями великих порядків, сильно розрідженими і погано обумовленими. Коректні способи ап- роксимації диференціальних операторів зберігають властивість еліп- тичності крайової задачі для різницевих схем [1–4]. Для розв’язування різницевих рівнянь постійно розробляються нові алгоритми [1–4]. Тому існує проблема вибору найбільш ефекти- вних методів, що одночасно володіють високою швидкістю збіжнос- ті, обчислювальною стійкістю, простотою реалізації алгоритмів і мі- німальними потребами комп’ютерних ресурсів. Зростання числа но- вих методів і способів їх алгоритмічної реалізації приводить до необ- хідності порівняння їх ефективності при розв’язуванні різницевих еліптичних рівнянь. 1. Постановка проблеми. Обґрунтувати, що кольорове упоряд- кування змінних у відповідності до фарбування вузлів сітки дискре- тизації лінійного диференціального еліптичного оператора у просторі n , 2,3n  , мінімальним числом фарб так, щоб кожен вузол шабло- ну був іншого кольору, приводить до максимально укрупнених орто- гональних підсистем матриці різницевого рівняння. © В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук, 2014 Математичне та комп’ютерне моделювання 6 Постановка задачі. 1. Узагальнити методи мінімальних нев’язок, похибок, відповідно, у просторах AE , TA E для розв’язування еліптичних різницевих рі- внянь,   1 N i i E e    . 2. Розробити алгоритми, що об’єднують ітераційний процес з мето- дами проекцій на підпростори з ортогональними базисами. 3. Розробити теорію наближень на основі ростків многочлена Тейлора. Нехай необхідно, наприклад, розв’язати стаціонарне конвектив- но-дифузійне рівняння [3]   1 1 s s i p c i i ii i u v u V u V x x x                   ,  1,..., sx x D (1) з крайовою умовою Діріхле  u x q  , .Dx  (2) У роботі [10] запропонований спосіб фарбування вузлів рівномірної сітки у просторах 2 , 3 мінімальним числом фарб так, щоб кожен вузол шаблону «хрест» був іншого кольору:  3( 1) (mod5)z i j   для сіток ( , )i j простору 2 ,   4( 1) 2 1 (mod 7)z i k j     для сіток ( , , )i j k простору 3 , z ― колір. У відповідності до фарбування сіток упорядкуємо змінні. Незалежно від коефіцієнтів диференціального опе- ратора (1) крайових умов (2), кроку h рівномірної сітки, конфігурації області D , дістанемо m ортогональних підсистем у просторах AE , TA E ( 5m  для сіток у просторі 2 , 7m  у просторі 3 ). Метод мінімальних нев’язок. Виберемо базиси підпросторів   p p j i I U span Ae    , де pI — множина індексів змінних одного ко- льору,  1,...,p m . Розкладемо вектор b  різницевого рівняння Ax b   у базисі AE : 1 p m j j p j I b x Ae        . Нехай (0)x  довільне наближення. Для всіх 0,1,...k  покладемо ( 1)( 1) ( ) kk k p pu u u      , [1: ]p m ,  1,..., T mx u u    , дістанемо нев’язки ( ) ( 1) p k k p j j j I r u Ae          , [1: ]p m . Мінімізуючи норми векторів нев’язок p  , [1: ]p m , знайдемо похибки наближень Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 7    2 22 2( 1) ( ) ( ) 2 2 , ,k k T k j j j j ju r Ae Ae A r e Ae            , pj I . Отже, виконуючи паралельно проекції вектора нев’язки на підп- ростори pU , дістанемо уточнення векторів ( ) ( ) 1 ,...,k k mu u   . Виберемо найкраще наближення з умови  22 2 2( 1) ( 1) ( ) ( ) 22 2 2[1: ] min : , p k k k T k p p j j p m j I r A r e Ae             , що еквівалентно знаходженню  2 2( ) 2[1: ] max , p T k j j p m j I A r e Ae        . Алгоритм методу мінімальних нев’язок. Для довільного (0)x  і для всіх 0,1,...k  1. Обчислити вектори ( )kr  , ( )T kA r  та суми  2 2( ) 2 , p T k p j j j I d A r e Ae       , 1,...,p m . 2. Вибрати максимальне значення 0pd , 0 [1,..., ]p m . 3. Уточнити наближення 0 0 0 ( )( 1) ( ) kk k p p pu u u     ,   0 0 ( ) p k jp j I u x     . Має місце. Теорема 1. Метод мінімальних нев’язок розв’язування систем різницевих еліптичних рівнянь Ax b  , упорядкованих на ортогона- льні підсистеми, строго монотонно збігається до розв’язку системи. Доведення теореми 1. Якщо вектор ( )kx  не є розв’язком рів- няння A x b  , то хоча б одна з норм нев’язок p  , [1: ]p m , відмін- на від нуля, а тому 0 [1: ]p m  таке, що   0 2 2( ) 2 , 0 p k T T j j j I r A e A e        2 2 22 2( 1) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 min , p k k k kT T j j j I r r r A e A e r                    . Оскільки послідовність 2( ) 2 k p  обмежена знизу і монотонно спадає на кожному кроці, то метод мінімальних нев’язок строго мо- нотонно збігається. Математичне та комп’ютерне моделювання 8 Метод мінімальних похибок (проекцій). Виберемо ортогона- льні базиси підпросторів   p T jp j I V span A e    . Нехай ( )kx  ― довіль- не наближення. Уточнимо його ітераційним процесом ( 1) ( ) p k k T p j j j I x x A e       (3) для всіх [1: ]p m , за формулами   2( ) 2 ,k T j j jr e A e      , pj I , (4) дістанемо вектори похибок   2( 1) ( ) ( ) 2 , p k k k T T p j j j j I r e A e A e                . Найкращим наближенням є проекція на гіперплощину px x V    , що мінімізує норму вектора похибки 2 2( 1) ( ) 2 2[1: ] [1: ] min mink k p p p m p m C            ,  2 2( ) 2[1: ] [1: ] max max , p k T p j j p m p m i I C r e A e         , (5) Має місце. Теорема 2. Метод мінімальних похибок (3)–(5) розв’язання систе- ми різницевих еліптичних рівнянь, упорядкованих на ортогональні під- системи, строго монотонно збігається до розв’язку системи Ax b  . Доведення теореми 2. Якщо вектор ( )kx  не є розв’язком рівняння Ax b  , то не всі компоненти вектора нев’язки  ( ) ,k jr e   , pj I , [1: ]p m , рівні нулю, тому існує 0 [1: ]p m , для якого 0 0pC  , а тому 00 2 2 2( 1) ( ) ( ) 2 22 k k k pp C         . Найкраще наближення досягається проекцією на гіперплощину * px x V    , для якої виконується умова (5). З формули (5) випливає, що найкраще наближення можна досяг- ти проекціями з тих областей кулі * * * 2 2 x x x x       , де норма век- тора нев’язки максимізується. Крім того, максимізація норми вектора нев’язки в кулі забезпечує стійкість обчислювального процесу. Щоб одночасно забезпечити максимізацію норми вектора нев’язки та мі- німізувати норму вектора похибки (що еквівалентно максимізації відношення Релея   2 2 2 2 ,TA A r     ) покладемо: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 9 ( ) ( ) ( ) ( )k T k k T kx x A c r r AA c            . Мінімізація норми вектора похибки виконується за умови   2( ) ( ) ( ) 2 , 0k k T kr c A c       . Тоді норма вектора нев’язки:    2 2( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , ,k k k k T k k T kr r r c A c r AA c              2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ,k k T k T kr c A c AA c      . З останньої формули випливає, для того, щоб у кулі * ( ) * 2 2 kx x x x       максимізувалось відношення Релея  ,TA A     , x x      , достатньо виконання нерівності   ( ) ( ) ( ) ( ), , 0k k k T kr c r AA c      . Має місце. Лема 1. Максимізація відношення Релея  ,TA A     у кулі ( ) * 2 2 kx x x x       , де вектор ( ) ( ) k kx x      не є власним векто- ром матриці TA A , забезпечується вибором векторів ( ) ( )T k kp AA r r     , ( ) ( )T k kq AA r r     , c q p     у процедурі ( )k Tx x A c     :  , 0c p       2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , .T k k T k k T k kAA r r AA r r AA r r           Доведення леми 1. Нерівність   ( ) ( ) ( ) ( ), , 0k k k T kr c r AA c      пе- репишемо у формі   ( ) ( ) ( ) ( ), , 0k k k T kr c c AA r      . Тому достатньо, щоб вектор ( )kc  задовольняв умову  ( ) ( ) ( ), 0k T k kc AA r r     , тоді    ( ) ( ) ( ) ( ), ,k T k k kc AA r c r      і   ( ) ( ) ( ) ( ), , 0k k k T kr c r AA c      викону- ється, якщо  ( ) ( ), 0k kc r    . Позначимо ( ) ( )T k kp AA r r     , ( ) ( )T k kq AA r r     ― діагоналі паралелограма, побудованого на век- торах ( )T kAA r  , ( )kr  . Вектор c  задамо у формі c q p     ,      , 0 , ,c p q p p p         :    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1T k k T k k T k kc AA r r AA r r AA r r                . Якщо вектор похибки ( ) ( ) k kx x      не є власним вектором мат- риці TA A (отже вектор ( )kr  не є власним вектором матриці TAA ), то Математичне та комп’ютерне моделювання 10 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 1 k k k k kT T TAA r r AA r A r r                         , тобто 0 1  . Алгоритм методу мінімальних похибок (проекцій). Для дові- льного вектора (0)x  і для всіх 0,1,...k  1. Обчислити вектори ( )kr  , ( )T kAA r  , ( ) ( ) ( )k T k kp AA r r     , ( ) ( ) ( )k T k kq AA r r     ,  ( ) ( ) ( )1k T k kc AA r r       , де параметр    ( ) ( ) ( ) ( ), ,k k k kp q p p      . 2. Обчислити   2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ,k k k T k T ku x r c A c A c             ― вектор, для якого одночасно мінімізується норма вектора похибки u x      і максимізується норма вектора нев’язки r Au b    . 3. Для всіх [1: ]p m обчислити   22 2 , p T p i i i I C r e A e       , r Au b    , [1: ]p m . Знайти максимальне значення 0 [1: ] maxp p p m C C   . 4. Обчислити проекцію   0 2( 1) 2 , p k T T i i j j I x u r e A e A e                 . Повторити процес до виконання умови pC  ( 0  ― задана точність). З формул (3)–(4) випливає, що вектори, у напряму яких здійсню- ється проекція на підпростори pV можна обчислювати паралельно, на основі вектора нев’язки ( )kr  , за формулою:   2( ) 2 , p k T p i i i j I s r e A e e               , [1: ]p m . (6) З формули (6) випливають два способи прискорення методу похибок (проекцій). Перший спосіб. Нехай вектор наближення ( )kx  не належить жо- дній гіперплощині px x V    . Зкоректований вектор наближення u  запишемо у формі ( ) 1 : k T i i i u x A s      . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 11 Параметри i знайдемо з умови мінімізації норми вектора похиб- ки u x      , що еквівалентно розв’язуванню системи m -го порядку з симетричною додатно-визначеною матрицею ( 5m  для еліптичних рівнянь, дискретизованих у просторі 2 , 7m  ― у просторі 3 ):     , 1 , 1 , mm T T i j i j i j i j B b A s A s        і вектором правих частин   1 m i i b b       ( ) 1 , mk i i r s     . Другий спосіб. Нехай вектор наближення x  належить деякій гі- перплощині ( )k px x V    , [1: ]p m . Оскільки вектори наближення ( )kx  і розв’язку x  належить даній гіперплощині, то найкраще на- ближення буде за умови, якщо вектори T iA s  , i p , [1: ]i m , орто- гональні підпростору pV , що виконується паралельно процедурою:  обчислити T iAA s  , i p , [1: ]i m ;  для всіх ij I , i p , [1: ]i m сформувати   2 2 : , p T T ji i i j j j I s s AA s e A e e               , i p , [1: ]i m . Для сформованих векторів is  мінімізувати норму вектора похибки. Узагальнимо результати на випадок розв’язання задач чисельного моделювання для регулярних, напіврегулярних криволінійних сіток роз- биття криволінійних зв’язних областей просторів 2 , 3 , обмежених кусково-гладким контуром (поверхнею)  . Нехай область D упорядко- вано розбивається умовно паралельними або умовно полярними лініями на криволінійні чотирикутники розмірності m n (рис. 1, 2). Рис. 1. Умовно-полярне розбиття області Рис. 2. Умовно-паралельне розбиття області Рис. 3. Кольорове фарбування сітки Має місце. Математичне та комп’ютерне моделювання 12 Лема 2. Якщо зв’язна обмежена область простору 2 розбита упо- рядкованими неперервними лініями розмірності [ ]m n на криволінійні чотирикутники, то вузли дев’ятиточкового шаблону дискретизації дифе- ренціального оператора другого порядку можна розфарбувати мінімаль- ним числом фарб за правилом  3( 1) (mod 9)z i j   , 0,1,...,8z  — кольори (рис. 3). Лема 3. Якщо зв’язна обмежена область простору 3 розбита упо- рядкованими неперервними поверхнями розмірності [ ]m n s  на кри- волінійні паралелепіпеди, то вузли 27-точкового шаблону дискретизації диференціального оператора другого порядку можна розфарбувати мі- німальним числом фарб за правилом   9 1 3( 1) (mod 27)z k i j     . Якщо змінні упорядкувати за кольорами, то базис AE , TA E відповідно розіб’ється на 9 (27) ортогональних підсистем. 2. Метод зважених нев’язок. Ростки многочленів Тейлора. Для визначення якісних змін у по- ведінці розв’язків диференціальних рівнянь або систем рівнянь у тео- рії катастроф досліджуються канонічні форми на основі гладких за- мін змінних [9]. Задача дослідження розв’язків системи диференціа- льних рівнянь залежних від керуючих параметрів є виключно склад- ною. Тому, як правило, систему рівнянь спрощують і від фізичних параметрів переходять до узагальнених. Такими узагальненими па- раметрами можуть виступати, наприклад, коефіцієнти розкладу розв’язку в ряд Тейлора [9]. Заміною змінних можна домогтися того, щоб відрізок ряду Тейлора з достатньою точністю наближав гладкий розв'язок диференціального рівняння. Оскільки для більшості систем диференціальних рівнянь аналі- тична форма розв’язку, як функція координат і параметрів керування невідома, то розв'язок апроксимують многочленом найкращого на- ближення [5]. Задача найкращого наближення функції однієї змінної  ( ) rf x C  , 0,1,...,r m , многочленом 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n nQ x a x a x a x      (7) полягає у знаходженні вектора коефіцієнтів  0 1, ,..., T na a a a  з умови 1 min max ( ) ( ) n n a R x f x Q x    або   1 2 min ( ) ( ) n b n a R a f x Q x dx   , де  ;a b  або    1 ; S i i x a b     , 1S n  ,   0 ( ) n i i x  — лінійно незалежні функції, що задовольняють умову Хаара [6, c. 80], [5, Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 13 с. 18]. Якщо  — дискретна множина, то інтеграл наближено замі- нюється сумою   1 2 1 min ( ) ( ) n S i n i a R i f x Q x    , 1S n  . Означення. Ростком многочлена Тейлора ( ) 0 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n nQ x a P x a P x a P x    , x , називається така гладка функція ( )P x , x , що функції    ( ) i i x P x  ,  0,1,...,i n  , n N — лінійно незалежні і задоволь- няють умову Хаара. Приклад. 1. Функції ( )th x , 1( )ch x , 2xe , 2 1 1 x , 1(2 cos )x  є ростками многочлена Тейлора довільного порядку на всій числовій осі. 2. Функції nx , 1 2( sin cos )xe c x c x  є ростками многочлена Тей- лора скінченого порядку на відрізку  ;a b , 1c , 2c , 0  — const . 3. Ростками многочленів Тейлора у просторі n є, наприклад, функції n змінних  1,..., T nx x x  : 21 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ), ( ), , (1 ) , (2 cos )i i n n n n n x i i i i i i i i i th x ch x e x x              , багатомірні многочлени Тома — ростки катастроф (ростки многочле- на Тейлора скінченного порядку [9]). 4. Узагальненим многочленом Тейлора назвемо многочлен     0 ( , ) ( ) n i n i i i S x a x P x      , де ( )( ) ( )r i x C   — лінійно-незалежні функції, а ( )P x — росток многочлена Тейлора. Аналогічно будуються узагальнені многочлени Тейлора багатьох змінних. Якщо для деякого диференціального рівняння і з певного класу K визначений росток ( )P x для многочлена Тейлора, то, обравши за базис функції    1 ( ) n k k P x  , n N , можна на основі методу зважених нев’язок шукати наближені розв’язки уже для цілого підкласу рівнянь з класу K . Нехай необхідно розв’язати диференціальне рівняння ( ) 0A L p    ,  x   , ,x  (8) що задовольняє крайовій умові ( ) 0B M r    , r , (9) де L , M — лінійні диференціальні оператори, функції  p p x  ,  r r x  не залежать від  ,   ( )p x C   ,   ( )r x C   . Якщо задана Математичне та комп’ютерне моделювання 14 крайова умова Діріхле, то M  , якщо умова Неймана, то M k n      , де n  — нормаль до поверхні,  — кусково-гладка по- верхня обмеженої зв’язної області  ,  1,..., T nx x x  . Нехай вибраний росток  P x  многочлена Тейлора у просторі m , що до певної міри характеризує поведінку розв’язку рівняння (7). Побу- дуємо апроксимацію  для розв’язку крайової задачі (8), (9), виконавши розклад   1 M k k k c P x       , дістанемо нев’язку по області  : R     A L p     на  і нев’язку в крайових умовах  R B     M r  на  , де  kP x  — частинні похідні від ростка  P x  по координатам. Мінімізуємо зважену суму нев’язок на межі і по області, покла- даючи [7] 0k mW R d V R d        , (10) де, взагалі, вагові функції kW і kV можуть вибиратися незалежно. Якщо вибрати k kW P (і m mV P ), то дістанемо метод Гальоркіна і коефіцієнти ka можна відшукати методом найменших квадратів [7]. Вибір базисних елементів k kW P ( m mV P ) на основі ростків многочлена Тейлора має ряд переваг: природно виконується апрок- симація похідних вищих порядків розв’язків диференціальних рів- нянь; спрощується застосування формули Гріна, що часто дозволяє виконати слабке формулювання методу зважених нев’язок [7]. Якщо диференціальне рівняння залежить від часової змінної (необмеженої) і від просторових координат (обмежених або одних координат обме- жених, інших необмежених), то вибираючи відповідні ростки для многочленів Тейлора можна без значних ускладнень виконати апрок- симацію розв’язку. При обчислені    n mP x P x d     , виконуючи ін- тегрування за частинами та заміною змінних, часто можна задачу інтегрування звести до інтегрування многочленів. Підставляючи в (10) вираз (7), систему рівнянь зважених нев’язок зведемо до системи лінійних алгебричних рівнянь якщо опе- ратор L — лінійний, і до системи нелінійних рівнянь, якщо опера- тор L — нелінійний. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 15 3. Обернені задачі для динамічних систем. Якщо розв'язання прямих задач у теорії динамічних систем не визивають ускладнень, то обернені задачі відносяться до класу некоректно поставлених [8]. Для розв'язання таких задач використовують два підходи, або розв'я- зок відшукують у заданому класі або використовують регуляризацій- ні алгоритми за А. М. Тихоновим. При цьому необхідно вивчати гео- метричні властивості лінеаризованої матриці стійкості прямої задачі, щоб визначати області динамічної і структурної стійкості, що зале- жать від власних значень матриці [9]. Розглянемо структурно стійкий гармонічний осцилятор із зату- ханням 2 1 22 0 d x dx a a x dtdt    , 1 0a   1 dx y a x dt   , 2 dy a x dt   . (11) Це рівняння виникає при вивчені коливань тіла на пружині при наявності сили опору або описує деформацію полімерів [2]. Власні значення матриці стійкості визначаються за формулою 1,2   21 1 22 2a a a    . Якщо розглядати 1 2( , )a a як параметри ке- рування, то двомірний простір 2 параметрів розділиться на підоб- ласті: 1) 1Re 0  , 1 2Im 0 ( 0, 0)a a     , де розв'язок cos( )x R t   , sin( )y R t   описує вихор (множину біфурка- цій BL ); 2) 1 1 2 0 2 a        22 1 2a a , 1 0a  , — парабола (максвелова множина ML [9]. Якщо 1 0a  — стійкий затухаючий розв'язок з перехідним процесом    1 2 1 2 a tx e c c t  ; якщо 1 0a  — розбіжний розв'язок); 3) 1 0  або ( 2 0  )  1 2( 0, 0)a a  (бі- фуркаційна множина BL , розв’язок 1 1 2 a tx c c e  — стійкий, якщо 1 0a  ); 4) Re 0, Im 0     21 2 1( 0, 2 0)a a a   стійкий гар- монічно-затухаючий розв’язок. Нехай розв’язується крайова задача Діріхле або задача Коші для рівняння (11), яка для заданих параметрів 1 2( , )a a  має стійкий розв’язок з власними значеннями 1,2 i     , 1 2 0a   ,  22 1 2a a   . Тоді спрощеною оберненою задачею є задача ви- значення допусків на параметри 1 2( , )a a , через які необхідно визна- чити фізичні параметри — коефіцієнт пружності та демпфуючий Математичне та комп’ютерне моделювання 16 множник, які б забезпечували знаходження системи у заданому рів- новажному стані. Маючи попередній аналіз про області в просторі параметрів можна знайти допуски. Але більш глибокий аналіз пока- зує нестійкість розв’язку до збурень параметрів 1 1 1a a a  , 2 2 2a a a  навіть у малому околі значень 1 2( , )a a  :   1 1 2 2 2 1 1 1 , , cos sin 2 2 tt a a t e a C t C t                    1 1 1 1 2 2 1 0 1 1 cos sin ( ) 2 2 2 2 a a a C C t C C t O                           , де 2 2 1 2a a    , 1 2,C C  — значення констант (функцій), що залежать від початкових або крайових умов. Оскільки при зміні параметрів розв’язок є залежним як від 1 2,a a  , так і від змінної t , то першим до- данком розкладу у відрізок Тейлора не можна обмежитись. Щоб дослі- дити як впливають похибки параметрів 1 2,a a  на розв’язок крайової задачі (або задачі Коші) необхідно його локалізувати (визначити як уза- гальнений многочлен), обираючи за росток многочлена Тейлора, наприк- лад функцію  2 2 1 2exp a a  , або 2te , а за вектор-функцію коефіцієнтів частинні похідні по приростам 1 2 ,a a  від функції   1 1exp 0.5 a a t    1 2cos sinC t C t   ,   22 2 1 1 2a a a a      , 1C , 2C в за- лежності від крайових або початкових умов також можуть бути функці- ями 1 2,a a  . Отже задачу про визначення допусків на параметри – обе- рнену задачу, можна сформулювати так: знайти многочлен найкращого наближення 1 2( , , )nQ t a a  , що мінімізує норму похибки 1 2 1 2 2( , ) max ( , , ) ( )n a a Q t a a x t       при обмеженнях 1 2 0( , )a a         20 0 1 2 1 1 2 2 1 1( , ) : 0, 2 0a a a a a a a a           , де  — обмежена замкнена опукла множина, що належить опуклій області 0 гармонічних коливань із затуханням, за умови, що розв'язок 0 0 1 1 2 2( , , )x t a a a a   задовольняє крайовим або початковим умовам. Узагальнимо задачу на систему матеріальних точок з демпфу- ванням, дістанемо систему диференціальних рівнянь [2] ( )M x t    Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 17 ( ) ( )Bx t K x t      , де  1,..., nM diag m m — матриця мас, 0,im  [1: ]i n ,  1,..., nB diag b b — матриця демпфування, TK K — тридіагональна матриця жорсткості: Ввівши заміну змінних      , T y t x t x t      , диференціальне рі- вняння другого порядку зведемо до системи           1 1 ( ) x t M B x t M K x t y t x t x t                               1 1 0 M B M K y t A y t I              . Якісний тип розв’язку залежить від того, чи можна діагоналізувати матрицю A , за яких умов частина власних значень може обнулитись [2; 9]. Нехай матриця A діагоналізована: 1A S S   , де    1,..., ndiag   , тоді розв’язок [2]    1 0ty t S e S y    , де  0y  ,  0y   ― початкові умови. Якщо матриця A має жорданову форму (не- діагоналізована):   1 n iS A S J diag J    , то малі похибки A мо- жуть привести до динамічної і структурної нестійкості розв’язку [2; 9]. Недіагоналізовані матриці утворюють межу між двома фізичними станами поведінки розв’язку: осциляціями і монотонним затуханням. Врахувати структурні зміни розв’язку можна на основі ростків многочлена Тейлора. Висновки. 1. Обґрунтовано, що кольорове фарбування вузлів сіткової матриці, забезпечує упорядкування матриці різницевого рівняння на максима- льно укрупнені ортогональні підсистеми у просторах AE , TA E . 2. Наближення розв’язків крайових задач на основі ростків многоч- лена Тейлора дає змогу не лише апроксимувати розв’язок, а й до- сліджувати якісну зміну розв’язку, в залежності від керуючих па- раметрів, на основі теорії катастроф. Список використаних джерел: 1. Хейгеман Л. Прикладные итерационные методы / Л. Хейгеман, Д. Янг ; пер. с англ. — М. : Мир, 1986. — 448 с. 2. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра / Дж. Деммель. — М. : Мир, 2001. — 429 с. 3. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 125 с. 4. Зверев В. Г. Модифицированный полилинейный метод решения разност- ных эллиптических уравнений / В. Г. Зверев // ЖВМ и МФ. — 1998. — Т. 38. — № 9. — С. 1553–1562. Математичне та комп’ютерне моделювання 18 5. Бердышев В. И. Численные методы приближения функций / В. И. Бердышев, Ю. Н. Субботин. — Свердловск : Среднеуральске изд-во, 1979. — 116 с. 6. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимаций / Н. И. Ахиезер. — М. : Наука, 1965. — 407 с. 7. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Мор- ган. — М. : Мир, 1986. — 318 с. 8. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 223 с. 9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. — М. : Мир, 1984. — Кн. 1. — 350 с.; Кн. 2. — 282 с. 10. Абрамчук В. С. Итерационные методы направленного поиска решения систем Ax = f с сингулярно-естественным упорядочением переменных / В. С. Абрамчук // Доп. НАН Украины. — 1996. — № 8. — С. 4–8. Numerical and approximate methods of solving boundary value prob- lems are proposed. Numerical methods for solving linear boundary value problems are build on ranking of the difference equation matrix to maxi- mize orthogonal subsystem. Approximate methods are based on the ap- proach of solution in the form of the shoots of Taylor polynomial. Key words: elliptic difference equation; Minimal Residual method, Mini- mal error method in AE , TA E space; inverse problems for dynamic systems. Отримано: 17.06.2014 УДК 517.95 Т. П. Гой, канд. фіз.-мат. наук Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, м. Івано-Франківськ НОВІ ФУНКЦІЇ, ОЗНАЧЕНІ ПРИ ДОПОМОЗІ ФАКТОРІАЛЬНИХ СТЕПЕНІВ Досліджені нові неелементарні функції дійсної змінної, означені з використанням зростаючих і центральних факто- ріальних степенів. Встановлені деякі властивості цих функцій, зокрема, показаний їхній зв’язок з узагальненою гіпер- геометричною функцією. Виведені звичайні лінійні диферен- ціальні рівняння, розв’язками яких є нові функції. Ключові слова: зростаючий факторіальний степінь, центральний факторіальний степінь, узагальнена гіпергео- метрична функція. 1. Вступ. Моделювання багатьох процесів математичної фізики, те- орії теплопровідності, астрономії, аеродинаміки, біомедицини, квантової механіки та інших наук приводить до спеціальних функцій різної приро- ди. Різноманітність задач, що породжують спеціальні функції, веде до © Т. П. Гой, 2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ефективні методи чисельного моделювання на основі вибору базисних елементів

Institution

Ähnliche Einträge