Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль

У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Гудима, У.В., Гнатюк, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86558
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 30-46. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86558
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-865582015-09-22T03:02:25Z Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль з центрами та радіусами, які змінюються неперервно. The necessary and sufficient conditions and criteria of the extremal element for the problem of the best at sense of the family convex functions uniform approximation of upper semicontinuous compact-valued maps by set of single-valued maps with the additional restriction which is defined by set of closed balls are proved. 2014 Article Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 30-46. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86558 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль з центрами та радіусами, які змінюються неперервно.
format	Article
author	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
spellingShingle	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
author_sort	Гудима, У.В.
title	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль
title_short	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль
title_full	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль
title_fullStr	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль
title_full_unstemmed	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль
title_sort	задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86558
citation_txt	Задача найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 30-46. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gudimauv zadačanajkraŝoíurozumínnísímíopuklihfunkcíjrívnomírnoíaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâmnožinoûodnoznačnihvídobraženʹzdodatkovimobmežennâmŝozadaêtʹsâsistemoûzamknenihkulʹ AT gnatûkvo zadačanajkraŝoíurozumínnísímíopuklihfunkcíjrívnomírnoíaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâmnožinoûodnoznačnihvídobraženʹzdodatkovimobmežennâmŝozadaêtʹsâsistemoûzamknenihkulʹ
first_indexed	2025-07-06T14:03:00Z
last_indexed	2025-07-06T14:03:00Z
_version_	1836906531924213760
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 30 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук, В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський ЗАДАЧА НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ СІМ’Ї ОПУКЛИХ ФУНКЦІЙ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ МНОЖИНОЮ ОДНОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ З ДОДАТКОВИМ ОБМЕЖЕННЯМ, ЩО ЗАДАЄТЬСЯ СИСТЕМОЮ ЗАМКНЕНИХ КУЛЬ У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперерв- ного зверху компактнозначного відображення множиною не- перервних однозначних відображень з додатковим обмежен- ням, що задається системою замкнених куль з центрами та ра- діусами, які змінюються неперервно. Ключові слова: півнеперервне зверху компактнозначне відо- браження, найкраща у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірна апроксимація, умови екстремальності, додаткове обмеження. Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компакт- нозначного відображення множиною неперервних однозначних відо- бражень з додатковим обмеженням, що задається системою замкне- них куль, встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстрема- льності елемента, які узагальнюють на випадок вищеназваної задачі відповідні умови екстремальності елемента для задачі найкращої рів- номірної апроксимації неперервної на компакті функції елементами скінченновимірного підпростору, які задовольняють додатковому обмеженню (див., наприклад, [1–5]). Постановка задачі. Нехай S — компакт, X — лінійний над полем комплексних (дійсних) чисел нормований простір,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел простір однозначних відображень g компакта S в X , неперервних на S , з нормою:  max s S g g s   ,  K X — сукупність всіх непорожніх компактів простору X ,   ,C S K X — множина багатозначних півнеперервних зверху на S відображень a компакта S в X таких, що    a s K X для кожно- © У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2014 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 31 го s S ,  s s S p  — сім’я неперервних на S опуклих функцій таких, що відображення    , ss x S X p x   півнеперервне зверху на S X ,  ,V C S X ,  ,u C S X ,  ,r C S R ,   0r s  , s S ,         : , , ,D g g C S X g s u s r s s S     , існує елемент 0g V , для якого      0g s u s r s  для всіх s S . Задачею найкращої у розумінні сім’ї  s s S p  рівномірної апрок- симації відображення   ,a C S K X  множиною  ,V C S X з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль       : , ,b s x x X x u s r s s S     , будемо називати задачу від- шукання величини    * ( ) inf sup sup ( )V D s g V D s S y a s a p y g s        . (1) З урахуванням тверджень 1, 2 [6] та узагальненої теореми Вейє- рштрасса (див., наприклад, [7, с. 28] ) задачу відшукання величини (1) можна подати у такому вигляді    * ( ) inf max max ( )V D s g V D s S y a s a p y g s        . (2) Якщо існує елемент g V D  такий, що     * ( ) max max ( )s V D s S y a s p y g s a      , то його назвемо екстремальним елементом для величини (2). Актуальність теми. Теорія багатозначних відображень знахо- дить багаточисельні застосування в теорії оптимального керування, теорії оптимізації, опуклому аналізі, теорії ігор, математичній еконо- міці та інших галузях сучасної математики. Важливий розділ цієї теорії утворюють задачі найкращого на- ближення складних багатозначних відображень відображеннями про- стішої структури (див., наприклад, [8–12]), у тому числі задачі най- кращої рівномірної апроксимації неперервного або півнеперервного зверху компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень (див., наприклад, [6; 13–16]). Слід зазначити, що до задач найкращої рівномірної апроксимації багатозначного відображення множинами однозначних відображень зводиться низка задач оптимального відновлення операторів та фун- кціоналів по неточно заданій інформації (див., наприклад, [17; 18]). Актуальність задач найкращої несиметричної апроксимації зу- мовлена, зокрема, необхідністю дослідження задач найкращої зваже- Математичне та комп’ютерне моделювання 32 ної рівномірної апроксимації неперервних на компакті функцій та багатозначних відображень (див., наприклад, [19–21]). Задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервних на компа- кті дійснозначних та комплекснозначних функцій елементами скінчен- новимірних підпросторів, які задовольняють додатковому обмеженню (змінюються у заданому діапазоні), розглядались, зокрема, у працях [1–5]. Встановлені у статті необхідні, достатні умови і критерії екстре- мальності елемента для задачі відшукання величини (2) узагальню- ють на випадок цієї задачі відповідні результати праць [1–5]. Вони слугуватимуть відправним пунктом для отримання відпо- відних результатів й для інших задач, що вкладаються у схему поста- новки задачі відшукання величини (2), та для побудови чисельних методів відшукання величини (2) і її екстремального елемента. Мета роботи. Встановити необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для величини (2). Допоміжні твердження. Через int M будемо позначати внутрі- шність, а через M — межу множини M топологічного простору. Твердження 1. Множина D є опуклою множиною простору  ,C S X . Справедливість твердження випливає з опуклості множин   ,b s s S . Твердження 2. Функція      ,x s x u s r s    ,  ,x s X S  , є неперервною на X S . Доведення. Нехай  0 0,x s X S  . Для всіх  ,x s X S  маємо                      0 0 0 0 0 0 0 0 , , . x s x s x u s r s x u s r s x x u s u s r s r s                (3) Оскільки  ,u C S X ,  ,r C S R , то для додатного числа  існує окіл  0V s точки 0s такий, що    0 3 u s u s    ,    0 3 r s r s    ,  0s V s . (4) Покладемо  0 0: , 3 O x x x X x x         . (5) Тоді для      0 0,x s O x V s  внаслідок (3)–(5) отримаємо, що    0 0, ,x s x s    . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 33 Це означає, що функція  ,x s ,  ,x s X S  , є неперервною в точці  0 0,x s X S  . Оскільки точку  0 0,x s вибрано довільно з X S , то функція  ,x s ,  ,x s X S  , є неперервною на X S . Твердження доведено. Твердження 3. Нехай 0s S і       0 0 0 0int : , .x b s x x X x u s r s     Тоді існує окіл  0V s точки 0s та окіл    0 0: , , 0O x x x X x x       точки 0x такі, що    0 intO x b s для всіх  0s V s . Доведення. Розглянемо функцію      ,x s x u s r s    ,  ,x s X S  . Оскільки за умовою    0 0 0x u s r s  , то  0 0, 0x s  . Вна- слідок неперервності функції  ,x s ,  ,x s X S  , на X S (див. твердження 2) існує окіл    0 0: , , 0O x x x X x x       точки 0x та окіл  0V s точки 0s такі, що      , 0x s x u s r s     ,      0 0,x s O x V s  . Звідси випливає, що    0 intO x b s для всіх  0s V s . Твердження доведено. Твердження 4. Нехай  ,g C S X , 0s S ,    0 0intg s b s . Тоді існує окіл  0V s точки 0s такий, що    intg s b s для всіх  0s V s . Доведення. Внаслідок твердження 3 існує окіл  1 0V s точки 0s та окіл   0 ,O g s  точки  0g s радіуса  такі, що   0 ,O g s    int b s для всіх  1 0s V s , тобто     0: , intx x X x g s b s    ,  1 0s V s . (6) Розглянемо функцію      0s g s g s   , s S . Оскільки  0 0s   і  s , s S , є неперервною функцією на S , то існує окіл  2 0V s точки 0s такий, що    0g s g s   ,  2 0s V s . (7) Математичне та комп’ютерне моделювання 34 Нехай      0 1 0 2 0V s V s V s  . З (6), (7) випливає, що    intg s b s для всіх  0s V s . Твердження доведено. Твердження 5. Нехай  0 ,g C S X . Для того щоб 0 intg D , необхідно і достатньо, щоб    intg s b s , s S . Доведення. Необхідність. Нехай 0 intg D . Тоді існує 0  та- ке, що     0 0: , ,O g g g C S X g g D     . Нехай 0s S . Для  0 0g s і      0 0 0 0: ,O g s x x X x g s     маємо, що   0 0O g s   0b s . Дійсно, для   0 0x O g s позначимо через  xg s     0 0 0g s x g s   , s S . Зрозуміло, що  ,xg C S X і      0 0 0 0maxx x s S g g g s g s x g s         . Тому  0xg O g D  . Звідки випливає, що    0 0xg s x b s  ,   0 0x O g s . Це й означає, що     0 0 0O g s b s . Отже,    0 0 0intg s b s . Оскільки точку 0s вибрано довільно з S , то    0 intg s b s , s S . Необхідність доведено. Достатність. Нехай тепер    0 intg s b s , s S . Тоді      0g s u s r s  , s S . Оскільки функція    s r s      0g s u s  , s S , є неперервною на S , то із зазначеного вище випливає,що         0min min 0 s S s S s r s g s u s         . Доведемо, що     0 0: , ,O g g g C S X g g     включаєть- ся в D . Дійсно, нехай  0g O g і s S . Тоді            0 0g s u s g s g s g s u s                 0 0 0 0g s g s g s u s g g g s u s                       0 0 0min s S g s u s r s g s u s g s u s           Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 35            0 0 .r s g s u s g s u s r s      Це й означає, що g D для всіх  0g O g . Отже, 0 intg D . Достатність доведено. Твердження доведено. Позначимо через X — простір, спряжений з X , через B — замкнену одиничну кулю простору X :   : 1B f f  . Як відомо (див., наприклад, [22, с. 156] ), для кожного елемента z X існує елемент f B такий, що  f z z . Для будь-якого елемента z X позначимо через    : ,zB f f B f z z   . Зі сказаного вище випливає, що zB   для всіх z X . Нехай, крім того, RX — лінійний над полем дійсних чисел нор- мований простір, асоційований з X , тобто простір X , в якому мно- ження елементів на числа обмежується лише множенням їх на дійсні числа, * RX — простір, спряжений з RX . Надалі через  0,M x (  * 0,M x ) будемо позначати конус внут- рішніх (граничних) напрямків для множини M лінійного нормованого простору з точки 0x цього простору (див., наприклад, [5, с. 12, 13]). Твердження 6. Нехай 0x X , r — додатне число ( 0r  ),  0: ,Q x x X x x r    — замкнена куля простору X з центром у точці 0x радіуса r , x Q , тобто 0x x r  . Має місце рівність     * 0 * , : , Re 0, x xQ x x x X f x f B      . (8) Доведення. Позначимо через    0 : , Re 0, x xA x x X f x f B     . (9) Отже, потрібно довести, що  ,Q x A  . (10) Нехай  ,x Q x . Оскільки Q є опуклою множиною, int Q   , то з теореми 1.3.4. [5, с. 19] випливає існування числа 0  такого, що intx x Q  , тобто * 0x x x r   . Нехай * 0 * x xf B  . Тоді Математичне та комп’ютерне моделювання 36    * * * * 0 0 0 0Ref x x x x r x x x f x x x                   * * 0 0Re Re Ref x x f x f x x f x       . Звідси одержуємо, що  Re 0f x  . Отже, x A . Тому  ,Q x A  . (11) Нехай тепер x A . Переконаємося, що існує число 0  таке, що intx x Q  . (12) Припустимо супротивне. Тоді * intx x Q  для всіх 0  . Оскі- льки  * : , 0xA u u x x     є опуклою множиною простору RX , а Q є опуклою множиною цього простору, для якої int Q   , та int xQ A  , то відповідно до теореми віддільності (див., наприклад, [23, с.209] ) існує функціонал * * Rf X , * 1f  , та число c такі, що  f z c для всіх z Q , (13)  f u c для всіх xu A . (14) Оскільки x Q і * * xx A , то  * f x c . З урахуванням цього та (13), (14) матимемо, що     * f z f x для всіх z Q , (15)     * f u f x для всіх xu A . (16) Зі співвідношення (16) випливає, що  * 0f x  . (17) З урахуванням співвідношення (15) одержимо, що    * * 0 * 0f z x f x x   , z Q . Звідки       0 * * 0 * 0 * 0sup sup z Q z x r f x x f z x f z x            * * * * 0 1 sup sup tt r r t f t r f r f r x x r            . Отже,  * * * 0 0f x x x x   , * * Rf X , * 1f  . (18) Покладемо Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 37      * * f z f z if iz  , z X . Тоді f X ,     Re f z f z , z X , і * 1f f  (див., наприклад, [24, с. 209] ). Внаслідок цього та (18) отримуємо, що      * * * * * * * * 0 0 0 * 0 0Re .f x x f x x x x f x x f x x         Звідси випливає, що  * * * 0 0 .f x x x x   Отже, * 0 * * x xf B  . Оскільки x A , то    * Re 0f x f x  , що суперечить (17). Одержана суперечність доводить, що має місце співвідношення (12). Згідно з теоремою 1.3.4 [5, с. 19] тоді  ,x Q x . Тому  ,A Q x  . З урахуванням цього, (9), (11) робимо висновок, що мають місце рівності (10) та (8). Твердження доведено. Основні результати. Теорема 1. Нехай g D ,              * * : , : , .F g s s S g s b s s s S g s u s r s       Має місце рівність             * * , : , , 0, int , . D g g g C S X g s g s b s s F g           (19) Доведення. Позначимо через           * : , , 0, int , .B g g C S X g s g s b s s F g        (20) Нехай  ,g D g . Оскільки D є опуклою множиною просто- ру  ,C S X (див. твердження 1), g D , int D   , то згідно з тео- ремою 1.3.4 [5, с. 19] існує число 0  таке, що intg g D  . Згідно з твердженням 5 тоді      * intg s g s b s  , s S , в тому числі      * intg s g s b s  ,  s F g . Отже, g B . Тому  ,D g B  . (21) Нехай тепер g B , тобто існує число 0  таке, що        * int ,g s g s b s s F g   . (22) Математичне та комп’ютерне моделювання 38 Для  \s S F g маємо, що    * intg s b s . Звідси випливає, що існує додатне число 0s  таке, що      * int ,sg s g s b s   \s S F g . Якщо покласти s  для  s F g , то з урахуван- ням (22) матимемо, що      * int ,sg s g s b s  s S , де 0s  . Відповідно до твердження 4 робимо висновок, що існує окіл  V s точки s такий, що      * intsg s g s b s    ,  s V s . Оскі- льки    g s b s  , s S , то                * 1 ints sg s g s g s g s g s b s              для всіх  0,1  (див., наприклад, [5, с. 18]). Звідси випливає, що       intg s g s b s    , 0, s   ,  s V s . Оскільки S — компакт і   s s V s S   , то існують точки 1,..., ks s із S такі, що   1 k i i V s S   . Покладемо 1 min is i k      . Тоді для будь-якого s S існує  1,...,i k , що  is V s . Тому      * int ,g s g s b s  оскільки співвідношення      * intg s g s b s  має місце для всіх  is V s , 0, is    та 0, is    . Згідно з твердженням 5 * intg g D  . Згідно з теоремою 1.3.4 [5, с.19]  ,g D g . Тому  ,B D g  . (23) З (20), (21), (23) випливає справедливість рівності (19). Теорему доведено. Теорема 2. Нехай g D . Має місце рівність               * * , : , , e 0, , .g s u sD g g g C S X R f g s f B s F g      (24) Доведення. Позначимо через A праву частину рівності (24). Нехай ( , )g D g . З урахуванням рівності (19) робимо висновок, що існує число 0  , для якого      * int , ( )g s g s b s s F g   . Згідно з теоремою 1.3.4 [5, с. 19]       ,g s b s g s ,  s F g . Внаслідок твердження 6 тоді   e 0R f g s  для всіх     * g s u sf B  , ( )s F g . Тому g A і, отже, Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 39  ,D g A  . (25) Нехай тепер g A . Згідно з твердженням 6       ,g s b s g s ,  s F g . Відповідно до теореми 1.3.4 [5, с. 19] тоді для кожного  s F g існує число 0s  таке, що       int ,sg s g s b s   s F g . При доведенні теореми 1 встановлено, що в цьому випад- ку  ,g D g . Тому  ,A D g  . (26) З (25) та (26) випливає справедливість рівності (24). Теорему доведено. У подальших міркуваннях будемо використовувати наступні поняття та позначення. Нехай  задана на лінійному (дійсному або комплексному) просторі Y опукла функція. Через  / ,x y будемо позначати похід- ну функції  в точці x Y за напрямком y . Елемент RX  називається субградієнтом дійснозначної фун- кції p , заданої на X , в точці 0x X , якщо      0 0p x p x x x   , x X (див., наприклад, [7, с. 57]). Множину субградієнтів функції p в точці 0x X називають субдиференціалом цієї функції в точці 0x і позначають  0p x (див., наприклад, [7, с. 58]). Якщо p є опуклою неперервною на X функцією, то для 0x X  0p x є непорожньою опуклою слабко* компактною мно- жиною простору * RX (див., наприклад, [5, с. 327]). Для 0x X введемо позначення     * 0 0: ,ReC p x f f X f p x    . Очевидно (див., наприклад, [24, с. 269]), що           0 0: ,C p x f f x x i ix p x       . Функцію       max maxa s s S y a s g p y g s      ,  ,g C S X , назвемо цільовою функцією задачі відшукання величини (2). Математичне та комп’ютерне моделювання 40 Для  * ,g C S X покладемо:              * * * : , max max max ,a s s a y a s s S y a s S g s s S p y g s p y g s g                а для   as S g покладемо              * * * , : , maxs s a y a s a s g y y a s p y g s p y g s g              . Теорема 3. Для того щоб елемент g V D  був екстремаль- ним елементом для величини (2), необхідно, щоб не існувало такого елемента  * ,z V g , що   e 0R f z s  для всіх   as S g ,  ,y a s g ,    C sf p y g s  та   e 0R f z s   для всіх  s F g ,     * g s u sf B   . Доведення. Нехай g — екстремальний елемент для величини (2). Тоді g є екстремальним елементом для такої задачі оптимізації     , inf infa a g V D g D g V g g        . Нехай         * : , ,a a aC g g g C S X g g     . Якщо   aC g   , то для всіх  ,g C S X    * a ag g   . Тому для всіх  ,z C S X  / * , 0a g z  . Згідно з теоремою 2 [6] для будь-якого  ,z C S X , у тому числі і для будь-якого  * ,z V g , існують елементи   z as S g ,  ,z zy a s g ,    zz C s z zf p y g s  такі, що     / * , Re 0a z zg z f z s    . Звідки випливає, що   Re 0z zf z s  . У цьому випадку теорему доведено. Припустимо тепер, що  * aC g   . Згідно з теоремою 1.4.1 [5, с. 22] має місце співвідношення       * * * * , , ,aC g g D g V g      . (27) Оскільки функція  a g ,  ,g C S X , є опуклою та неперервною на  ,C S X (див. наслідок 1 [25]), то (див. твердження 6.9.1 [5, с. 352]) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 41         * / , : , , , 0a aC g g z z C S X g z     . (28) Із співвідношень (27) випливає, що для кожного   ,z V g маємо, що    ,az C g g або  ,z D g . Якщо   * ,az C g g , то  / , 0a g z  . В цьому випадку, як зазначалось вище, існують  * z as S g ,  ,z zy a s g ,    zz C s z zf p y g s  такі, що   Re 0z zf z s  . Якщо ж  ,z D g , то відповідно до теореми 2 існують   zs F g  ,    * * z z z g s u sf B    такі, що   e 0z zR f z s   . Теорему доведено. Теорему 3 можна сформулювати у таких еквівалентних формах. Теорема 4. Для того щоб елемент g V D  був екстремаль- ним елементом для величини (2), необхідно, щоб для будь-якого   ,z V g існували елементи   z as S g ,  ,z zy a s g , zf     zC s z zp y g s  такі, що   Re 0z zf z s  , або існували елемен- ти  * zs F g  ,    * * z z z g s u sf B    такі, що   e 0z zR f z s   . Теорема 5. Для того щоб елемент g V D  був екстремаль- ним елементом для величини (2), необхідно, щоб для будь-якого   ,z V g існували елементи zs S ,  z zy a s , zf     zC s z zp y g s  такі, що             * * max max max z z z s s z s z z s S y a s y a s p y g s p y g s p y g s         ,   Re 0z zf z s  , або існували елементи zs S  , zf B  такі, що      * ,z z zg s u s r s            * * z z z z zf g s u s g s u s       ,   e 0z zR f z s   . Далі будемо користуватися поняттями  — множини (див., на- приклад, [14, с. 1616]) та  — множини (див., наприклад, [15, с. 20]). Теорема 6. Нехай g V D  і V є  — множиною відносно g V (зірковою відносно g V або опуклою множиною). Для Математичне та комп’ютерне моделювання 42 того щоб елемент g V D  був екстремальним елементом для ве- личини (2), необхідно, щоб для будь-якого елемента g V існували елементи gs S ,  g gy a s ,   * gg C s g gf p y g s  такі, що             * * max max max g g g s s g s g g s S y a s y a s p y g s p y g s p y g s         , (29)     Re 0g g gf g s g s  , (30) або існували елементи gs S  , * gf B  такі, що      * ,g g gg s u s r s            * * g g g g gf g s u s g s u s       , (31)     Re 0g g gf g s g s    . (32) Справедливість теореми випливає з теореми 5, якщо врахувати, що для будь-якого g V елемент   * ,g g V g  , оскільки за умовою V є  — множиною відносно g . Теорема 7. Для того щоб елемент g V D  був екстремаль- ним елементом для величини (2), достатньо, щоб для кожного еле- мента g V D  існували елементи gs S ,  g gy a s ,   * gg C s g gf p y g s  , для яких виконуються умови (29), (30). Доведення. Нехай для кожного елемента g V D  існують елементи gs S ,  g gy a s ,   * gg C s g gf p y g s  , для яких виконуються умови (29), (30). Тоді для кожного g V D  маємо, що           * 0 Re g gg g g s g g s g gf g s g s p y g s p y g s                           * max max max max max max max . g g s g s s S y a sy a s s s s S y a s s S y a s p y g s p y g s p y g s p y g s                Отже, для кожного g V D           max max max max .s s s S y a s s S y a s p y g s p y g s        Це й означає, що g є екстремальним елементом для величини (2). Теорему доведено. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 43 Теорема 8. Нехай V є  — множиною відносно кожного свого елемента, зокрема опуклою множиною. Для того щоб елемент g V D  був екстремальним елементом для величини (2) в цьому випадку, необхідно і достатньо, щоб для кожного елемента g V існували елементи gs S ,  g gy a s ,    gg C s g gf p y g s  , для яких виконуються умови (29), (30), або існували елементи gs S  , * gf B  , для яких виконуються умови (31), (32). Доведення. Необхідність випливає з теореми 6, оскільки  — множина відносно g є  — множиною відносно g . Достатність. Припустимо, що умови теореми виконуються, але g не є екстремальним елементом для величини (2). Тоді знайдеться такий елемент g V D  , що          max max max maxs s s S y a s s S y a s p y g s p y g s        . Це означає, що g ag C . Згідно з припущенням існує елемент 0g V для якого    0 intg s b s , s S . Відповідно до твердження 5 0 intg D . Оскільки D є опуклою множиною, то елемент  0 intg g g g D      для всіх  0,1  (див, наприклад, [5, с. 18]). З урахуванням того, що V є  — множиною відносно g , а g aC є відкритою множиною, робимо висновок, що існує таке  0,1  , що для g g будемо мати g V , intg D , g ag C . Оскільки g aC та D є опуклими множинами, то g g     * * , ,g aC g D g  (див, наприклад, [5, с. 19]). Згідно (28), тео- реми 2 [6], твердження 6.4.7 [5, с. 328] та теореми 2 тоді            * * * , max max , a s s S g y a s g p y g s g s g s                     * * * * * * , max max max Re , 0 a C ss S g y a s g f p y g s f g s g s g g g           та     Re 0f g s g s  для всіх  s F g , f B таких, що          f g s u s g s u s   , що суперечить умовам теореми. Математичне та комп’ютерне моделювання 44 Отримана суперечність доводить, що g є екстремальним еле- ментом для величини (2). Теорему доведено. Наслідок. Нехай V — підпростір простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V D  був екстремальним елементом для величи- ни (2), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемента g V існу- вали елементи gs S ,  g gy a s ,    gg C s g gf p y g s  , для яких виконуються умови             * * max max max g g g s s g s g g s S y a s y a s p y g s p y g s p y g s         ,   Re 0g gf g s  , або існували елементи gs S  , gf B  такі, що      * ,g g gg s u s r s            * * g g g g gf g s u s g s u s       ,   Re 0g gf g s   . Справедливість наслідку випливає з теореми 8. Висновки. Для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з дода- тковим обмеженням, що задається системою замкнених куль з центрами та радіусами, які неперервно змінюються, встановлено необхідні, достат- ні умови і критерії екстремальності елемента. Список використаних джерел: 1. Taylor G. D. Approximation by polynomials having restricted ranges / G. D. Taylor // I. SIAM J. Numer. Anal. — 1968. — Vol. 5. — P. 258–268. 2. Taylor G. D. On approximation by functions having restricted ranges / G. D. Taylor // J. Math. Anal. Appl. — 1969. — Vol. 27. — P. 241–248. 3. Shi Y. G. The limits of a Chebyshev-type theory of restricted range approximation / Y. G. Shi // J. Approxim. Theory. — 1988. — Vol. 53, № 1. — P. 41–53. 4. Smirnov G. S. Best uniform restricted ranges approximation of complexvalued functions / G. S. Smirnov, R. G. Smirnov // С.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. — 1997. — Vol. 19, № 2. — P. 58–63. 5. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация/ П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 6. Гудима У. В. Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розу- мінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації компактнозначного ві- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 45 дображення множиною однозначних відображень / У.В. Гудима, В. О. Гна- тюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2013. — Вип. 9. — С. 11–28. 7. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 8. Сендов Б. Хаусдорфовы приближения / Б. Сендов. — София : БАН, 1979. — 372 с. 9. Никольский М. С. Аппроксимация выпуклозначных непрерывных много- значных отображений / М. С. Никольский // Докл. АН СССР. — 1989. — Вып. 308, № 5. — С. 1047–1050. 10. Никольский М. С. Об аппроксимации непрерывного многозначного ото- бражения постоянными многозначными отображениями / М. С. Николь- ский // Вест. Моск. ун-та. Сер. Вычислит. математика и кибернетика. — 1990. — № 1. — С. 76–80. 11. Чобан М. М. Теорема Стоуна-Вейерштрасса и аппроксимации выпукло- значных непрерывных многозначных отображений / М. М. Чобан, Д. М. Ипате // Изв. АН Респ. Молдова. Мат. — 1981. — № 2. — С. 13–18. 12. Дудов С. И. О приближении непрерывного многозначного отображения по- стоянными многозначными отображения с шаровыми образами / С. И. Ду- дов, А. Б. Коноплев // Мат. заметки. — 2007. — Вып. 82, № 4. — С. 525–529. 13. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении непрерывного много- значного отображения алгебраическим полиномом / И. Ю. Выгодчикова // Математика. Механика : сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та.– 2000. — № 2. — С. 13–15. 14. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактноз- начного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У. В. Гудима // Укр. мат. журн. — 2005. — Вип. 57, № 12. — С. 1601–1619. 15. Гнатюк Ю. В. Критерії екстремального елемента та його єдиності для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнознач- ного відображення множинами однозначних відображень / Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима // Доп. НАН України. — 2005. — № 6. — С. 19–23. 16. Дудов С. И. Критерий решения задачи наилучшего приближения сег- ментной функции полиномиальной полосой / С. И. Дудов, Е. В. Сорина // Математика. Механика : сб. науч. тр. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. — 2008. — № 10. — С. 20–23. 17. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные за- дачи / В. В.Арестов // Тр. МИАН СССР. — 1989. — С. 3–20. 18. Магарил-Ильяев Г. Г. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным / Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко // Матем. за- метки. — 1991 — Вып. 50, № 6. — С. 85–93. 19. Покровский А. В. О наилучшем несимметричном приближении в про- странствах непрерывных функций / А. В. Покровский // Изв. РАН. Сер. матем. — 2006. — Вып. 70, № 4. — С. 175–208. 20. Вакал Л. П. Аналітична обробка даних на основі чебишовської апрокси- мації / Л. П. Вакал, А. О. Каленчук-Порханова // Мат. машини і сите- ми. — 2006. — № 2. — C. 15–24. Математичне та комп’ютерне моделювання 46 21. Гнатюк В. О. Метод січної площини розв’язування задачі найкращої зва- жено рівномірної апроксимації компактнозначного відображення скін- ченновимірним підпростором / В. О. Гнатюк, У. В. Гудима // П’ятнадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. Михайла Кравчука, 15-17 тра- вня, 2014 р., Київ : матеріали конф. — К. : НТУУ «КПІ», 2014. — Т. 2. Алгебра. Геометрія. Математичний аналіз. — С. 66. 22. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. — 624 с. 23. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1989. — 623 с. 24. Кадец В. М. Курс функционального анализа: Учебное пособие для сту- дентов механико-математического факультета / В. М. Кадец. — Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. — 607 с. 25. Гудима У. В. Деякі властивості цільової функції задачі найкращої у розу- мінні сім’ї опуклих функцій апроксимації компактнозначного відобра- ження / У. В. Гудима // Наукові праці Кам'янець-Подільського національ- ного університету імені Івана Огієнка : збірник за підсумками звітної на- укової конференції викладачів, докторантів і аспірантів. — Кам'янець- Подільський : Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2013. — Вип. 10. — Т. 1. — С. 18–21. The necessary and sufficient conditions and criteria of the extremal element for the problem of the best at sense of the family convex functions uniform approximation of upper semicontinuous compact-valued maps by set of single-valued maps with the additional restriction which is defined by set of closed balls are proved. Key words: the upper semicontinuous compact-valued maps, the best at sense of the family convex functions uniform approximation, conditions of the extremal element, the additional restriction. Отримано: 26.06.2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd00630068002000700072006f002000730070006f006c00650068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f007600e1006e00ed002000610020007400690073006b0020006f006200630068006f0064006e00ed0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074016f002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Репозитарії

Схожі ресурси