Асимптотична дисипативність дифузійного процесу

У роботі представлено дифузійний процес з сингулярно збуреним доданком з марковськими переключеннями. Встановлено вигляд генератора двокомпонентного марковського процесу в схемі дифузійної апроксимації. Знайдено розв’язок проблеми сингулярного збурення на збуреній функції Ляпунова. Встановлено умову...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Кінаш, А.В., Чабанюк, Я.М., Хімка, У.Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86562
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу / А.В. Кінаш, Я.М. Чабанюк, У.Т. Хімка // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 77-87. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86562
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-865622015-09-22T03:02:26Z Асимптотична дисипативність дифузійного процесу Кінаш, А.В. Чабанюк, Я.М. Хімка, У.Т. У роботі представлено дифузійний процес з сингулярно збуреним доданком з марковськими переключеннями. Встановлено вигляд генератора двокомпонентного марковського процесу в схемі дифузійної апроксимації. Знайдено розв’язок проблеми сингулярного збурення на збуреній функції Ляпунова. Встановлено умову асимптотичної дисипативності дифузійного процесу. In this paper we present a diffusion process with singular perturbation terms with Markov switching. The form of generator for two-component Markov process in a diffusion approximation scheme was established. We found the solution of singular perturbation problem for perturbed Lyapunov function. And set the condition for the asymptotic dissipativity of the diffusion process. 2014 Article Асимптотична дисипативність дифузійного процесу / А.В. Кінаш, Я.М. Чабанюк, У.Т. Хімка // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 77-87. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86562 519.21+62 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У роботі представлено дифузійний процес з сингулярно збуреним доданком з марковськими переключеннями. Встановлено вигляд генератора двокомпонентного марковського процесу в схемі дифузійної апроксимації. Знайдено розв’язок проблеми сингулярного збурення на збуреній функції Ляпунова. Встановлено умову асимптотичної дисипативності дифузійного процесу.
format	Article
author	Кінаш, А.В. Чабанюк, Я.М. Хімка, У.Т.
spellingShingle	Кінаш, А.В. Чабанюк, Я.М. Хімка, У.Т. Асимптотична дисипативність дифузійного процесу Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Кінаш, А.В. Чабанюк, Я.М. Хімка, У.Т.
author_sort	Кінаш, А.В.
title	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу
title_short	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу
title_full	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу
title_fullStr	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу
title_full_unstemmed	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу
title_sort	асимптотична дисипативність дифузійного процесу
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86562
citation_txt	Асимптотична дисипативність дифузійного процесу / А.В. Кінаш, Я.М. Чабанюк, У.Т. Хімка // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 77-87. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT kínašav asimptotičnadisipativnístʹdifuzíjnogoprocesu AT čabanûkâm asimptotičnadisipativnístʹdifuzíjnogoprocesu AT hímkaut asimptotičnadisipativnístʹdifuzíjnogoprocesu
first_indexed	2025-07-06T14:03:14Z
last_indexed	2025-07-06T14:03:14Z
_version_	1836906546904170496
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 77 УДК 519.21+62 А. В. Кінаш, аспірант, Я. М. Чабанюк, д-р фіз.-мат. наук, У. Т. Хімка, канд. фіз.-мат. наук Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Львівський державний університет безпеки життєдіяльності, м. Львів АСИМПТОТИЧНА ДИСИПАТИВНІСТЬ ДИФУЗІЙНОГО ПРОЦЕСУ У роботі представлено дифузійний процес з сингулярно збу- реним доданком з марковськими переключеннями. Встановлено вигляд генератора двокомпонентного марковського процесу в схемі дифузійної апроксимації. Знайдено розв’язок проблеми си- нгулярного збурення на збуреній функції Ляпунова. Встановлено умову асимптотичної дисипативності дифузійного процесу. Ключові слова: стохастичний процес, дифузія, дисипа- тивність. Вступ. Проблема дисипативності системи виникла при розгляді дисипації енергії. Дисипативність детермінованих та випадкових сис- тем з адитивним випадковим збуренням було розглянуто в роботах Хасмінського Р.З. [1,2], Самойленка А.М. та Станжицького О.М. [3], Мазурова О. Ю. [4], Brogliato B. [5] та інших. У цій статті асимптотична дисипативність дифузійного процесу встановлюється на основі дисипативності граничного дифузійного процесу [1] та модельної граничної теореми [6]. Основний результат. Розглядається стохастичний процес з ди- фузійним збуренням [6], що визначається стохастичним диференціа- льним рівнянням: 2 1 2 0 2 ( ) = ( ( ); ( / )) ( ( ); ( / )) ( ( ); ( / )) ( ), du t C u t x t dt С u t x t dt u t x t dw t             (1) де u(t) — випадкова еволюція, t ≥ 0; 0 ( ; )С u x — сингулярне збурення функції регресії ( ; ), ;R dС u x u  ( )w t — вінерівський процес; ( ; )u x — дифузія, ( )x t — марковський процес в просторі ( , )XX з стаціонарним розподілом ( ), XB B  [6]. Генератор марковського процесу визначається співвідношенням ( ) ( ) ( ; )[ ( ) ( )].Q X x q x Q x dy y x    (2) Для генератора Q марковського процесу ( ), 0,x t t  визначений потенціал 1 0 П (П ) ,R Q    де П ( ) ( ) ( ) X x dx x    — проектор на підпростір нулів оператора  : : 0QQ QN    [6]. © А. В. Кінаш, Я. М. Чабанюк, У. Т. Хімка, 2014 Математичне та комп’ютерне моделювання 78 Гранична еволюція для системи (1) має представлення ( ) ( ) ( ) ( ),du t a u dt u dw t  (3) де ' 0 0 0( ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ), X X a u C u x R C u x dx C u x dx    (4) а гранична дифузія ( )u визначається зі співвідношення ( ) ( ) ( ),u u B u   де 2 0 0 0( ) 2 ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ). X X B u C u x R C u x dx u x dx     (5) Усереднена функція регресії визначається співвідношенням ( ) ( ) ( ; ). X С u dx C u x  (6) Виконується умова балансу 0 ( ) 0,С x  (7) Оператор ( )xL має представлення ' 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) '( )x u a u C u x R C u x C u x u      L 2 0 0 0 1 1 ( ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ''( ). 2 2 B u C u x R C u x u x u       Означення. Система (1) називається асимптотично дисипатив- ною, якщо дисипативною є гранична еволюція (3) [1, с. 31]. Теорема. Нехай існує функція Ляпунова 3( ) ( )C RdV u  системи ( ), du a u dt  (8) яка задовольняє умовам [6] С1: 0 0 1 1( ; ) [ ( ; ) '( )] ' ( ), 0;C u x R L u x V u M V u M  С2: 0 0 2 2( ; ) [ ( ; ) '( )] ' ( ), 0;C u x R C u x V u M V u M  С3: 2 0 0 3 3( ; ) [ ( ; ) '( )] '' ( ), 0;u x R C u x V u M V u M   С4: 0 4 4( ; ) [ ( ; ) '( )] ' ( ), 0;C u x R L u x V u M V u M  С5: 2 0 5 5( ; ) [ ( ; ) '( )] '' ( ), 0.u x R L u x V u M V u M   Крім того при 1 20, 0c c  виконуються умови 1( ) '( ) ( ),a u V u c V u  (9) 2sup \|\| ( ) \|\| , u u c  (10) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 79 а також виконується умова балансу (7). Тоді система (1) асимптотично дисипативна. Лема 1. Генератор двокомпонентного марковського процесу 2 : ( ); : , 0t t t u u t x x t           в банаховому просторі ( , )dB XR дійснозначних функцій ( ; )u x  2,0 ( , )d XC R має представлення 2 1 0( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ),Cu x u x x u x x u x        L Q Г (11) де 21 ( ) ( ; ) ( ; ) '( ; ) ( ; ) ''( ; ), 2 x u x C u x u x u x u x    Г (12) та 0 0( ) ( ) ( ; ) '( ; ).C x u C u x u x  Доведення. Генератор марковського процесу на збуреній тест- функції визначається зі співвідношення: 0 1 ( ; ) lim [ [ ( ; ) ( ; )] \| , ].t t t tu x E u x u x u u x x              L (13) Для умовного математичного сподівання, маємо: , ,[ ( ; )] [ ( ; )][ ( ) ( )],u x t t u x t t x xE u x E u x I I               де ( )xI    і ( )xI    — індикатори часу перебування в стані х. Функція розподілу часу перебування x в стані х має показниковий розподіл, тому справедливими є співвідношення: 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ); ( ) 1 ( ) ( ). q t t q t t I e q t o I e q t o                                     (14) Підставляючи (14) в вираз для умовного математичного споді- вання, отримуємо: , [ ( ; )]u x t tE u x   ( 21 ( ) ( )q t o     )+ + , [ ( ; )]u x t tE u x    ( 2 ( )q t    ( )).o  Розкладемо другий доданок за формулою Тейлора: 2 , 2 , , ( ) [ ( ; )] ( )[ ( ; ) ( '( ; ) )] ( ). u x t t u x u x q t E u x q t E u x E u x u o                   (15) Звідси, 2 , , ,[ ( ; )] [ ( ; )] ( ) [ ( ; )]u x t t u x t u xE u x E u x q x E u x          2 2 , ,( ) [ '( ; ) ] ( ) [ ( ; )] ( ).u x u x t tq x E u x u q x E u x o             Математичне та комп’ютерне моделювання 80 Підставимо отримані результати в (13): 2 , , 0 2 2 , , 1 ( ; ) lim [ [ ( ; )] ( ) [ ( ; )] ( ) [ '( ; ) ] ( ) [ ( ; )] ( ; ) ( ). u x t u x u x u x t t u x E u x q x E u x q x E u x u q x E u x u x o                              L До доданку 2 ,( ) [ ( ; )]u x t tq x E u x     застосуємо розклад (15): 2 2 , ,( ) [ ( ; )] ( ) [ ( ; )]u x t t u x tq x E u x q x E u x           2 ,( ) [ '( ; ) ] ( ).u x tq x E u x u o       Підставляючи отримане співвідношення в рівняння генератора (13), отримуємо: 2 , , , 0 0 1 1 ( ; ) lim [ [ ( ; )] ( ) lim [ [ ( ; )] [ ( ; )]]u x t u x t u xu x E u x q x E u x E u x               L 2 , , 0 1 ( ) lim [ [ '( ; ) ] [ '( ; ) ]] ( ; ) ( ).u x t u xq x E u x u E u x u u x o               Розглянемо окремо доданок , , 0 ( ) lim [ [ ( ; )] [ ( ; )]].u x t u xq x E u x E u x    Враховуючи, що генератор марковського процесу має вигляд (2), то має місце рівність: , , 0 0 ( ) lim[ [ ( ; )] [ ( ; )]] lim ( ; ) ( ; ).u x t u xq x E u x E u x u x u x        Q Q Підставимо отриманий результат в рівняння (13): 2 , 0 2 , , 0 1 ( ; ) lim [ [ ( ; )] ( ; ) ( ) lim [ [ '( ; ) ] [ '( ; ) ]] ( ; ) ( ). u x t u x t u x u x E u x u x q x E u x u E u x u u x o                          L Q Обчислимо окремо другу границю: , , 0 lim[ [ '( ; ) ] [ '( ; ) ]].u x t u xE u x u E u x u      Проінтегрувавши (1) в проміжку [ ; ],t t   отримаємо: 2 1 0 2 2 ( ); ( ); ( ); ( ). t t t t t t t t s u u C u s x ds s s C u s x ds u s x dw s                                             Звідси, 2 1 0 2 2 ( ); ( ); ( ); ( ). t t t t t t t t s u u u C u s x ds s s C u s x ds u s x dw s                                               Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 81 Отже, 1 , 02 20 lim '( ; ) ( ); ( ); t t u x t t t s s E u x C u s x ds C u s x ds                                       ,2 2 ( ); ( ) '( ; ) ( ); t t u x t t s s u s x dw s E u x C u s x ds                                1 0 2 2 ( ); ( ); ( ) 0. t t t t s s C u s x ds u s x dw s                                 Враховуючи отримані результати, генератор (13), набуде вигля- ду: 2 , 0 1 ( ; ) lim [ [ ( ; )] ( ; ) ( ; ) ( )u xu x E u u x u x u x o               L Q 1 , 02 20 1 lim ( ( ); ( ); t t u x t t s s E u C u s x ds C u s x ds                                   2 2 ( ); ( ); ) ( ; ) ( ; ) ( ). t t s u s x dw s x u x u x o                       Q Додамо і віднімемо у першому доданку ( , ),z x де 1 02 2 ( ); ( ); . t t t t s s z u C u s x ds C u s x ds                             , 0 1 lim [ ( ; )]u xE u u x      , 20 1 lim ( ( ); ( ); ) ( ; ) ( ; ) t u x t s E z u s x dw s x z x z x                          , ,20 0 1 1 lim ( ( ); ( ); ) ( ; ) lim [ ( ; )]. t u x u x t s E z u s x dw s x z x E z x                         Застосуємо формулу Тейлора до першого доданку отриманого виразу: , 2 ( ( ); ( ); ) t u x t s E z u s x dw s x                 , , , 2 [ ( ; )] [ '( ; )] ( ); ( ) t u x u x u x t s E z x E z x E u s x dw s                  (16) Математичне та комп’ютерне моделювання 82 2 , , 2 1 [ ''( ; )] ( ); ( ) ( ). 2 t u x u x t s E z x E u s x dw s o                 Враховуючи (15) і (16), для границі буде вірним: , , 0 0 1 1 1 lim [ [ ( ; )] lim [ ''( ; )] 2u x u xE u u x E z x          2 , ,2 0 1 ( ); ( ) lim [ ( ; )] ( ). t u x u x t s E u s x dw s E z x o                        Остаточно генератор набуває вигляду: , 20 1 1 ( ; ) lim [ ''( ( ); 2 t u x t s u x E u C u s x ds                 L 1 0 ,2 2 ( ); ; ) ( ); ( ) t t u x t t s s C u s x ds x E u s x dw s                                    2 2 , 1 [ ( ; )] ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ''( ; ) 2u xE z x u x u x o u x u x           Q 2 2 2 , 0 1 ( ; ) lim [ ( ; ) ( ; )] ( ) ( ; ) ( ; ) ''( ; ) 2u xu x E z x u x o u x u x u x                 Q Q 1 , 0 0 lim [ ( ; ) ( ( ; ) ( ; )) '( ; ) ( ; )] ( )u xE u x C u x C u x u x u x o             2 2 1 0 1 ( ; ) ( ; ) ''( ; ) ( ; ) '( ; ) ( ; ) '( ; ). 2 u x u x u x C u x u x C u x u x          Q Цей вигляд збігається з (11). Лема 2. Граничний генератор L на збуреній тест-функції 2 3 1 2( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ), ( ) ( )du x u u x u x u        C R (17) визначається розв’язком проблеми сингулярного збурення 1 1 0 2 0 1 ( ; ) [ ( ; ) ( )] ( ; ) ( ; ) ( ) , C C u x u x u u x u x u                 L Q Q Г (18) де  — залишковий член, який визначається зі співвідношення 0 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; ).C u x u x u x      Г Г (19) Доведення. Генератор (13) на збуреній тест-функції (17) має представлення: 2 1 2 2 0 1 2( ; ) [ ][ ( ) ( ; ) ( ; )] ( )Ct u x u u x u x u                 L Q Г Q 1 1 1 2 0 0 1 0 2( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ) ( )C C Cu x u x u u x u x u               Q Q Г 2 2 1 1 2 1 0( ; ) ( ; ) ( ) [ ( ; ) ( )]Cu x u x u u x u              Г Г Q Q Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 83 2 0 1 1 0 2 2[ ( ; ) ( ; ) ( )] [ ( ; ) ( ; ) ( ; )].C Cu x u x u u x u x u x            Q Г Г Г Оскільки ,QNQ то перший доданок задовольняє співвідношення ( ) 0.u Q Звідси, 1 1 0 2 0 1( ; ) [ ( ; ) ( )] [ ( ; ) ( ; ) ( )]C Ct u x u x u u x u x u            L Q Q Г 1 0 2 2[ ( ; ) ( ; ) ( ; )].Cu x u x u x      Г Г Позначивши 1 0 2 2( ; ) ( ; ) ( ; ) ,Cu x u x u x      Г Г генератор набуває вигляду (18). Лема 3. Розв’язок проблеми сингулярного збурення для генера- тора L на функції Ляпунова 2 3 1 2( ; ) ( ) ( ; ) ( ; ), ( ) ( )dV u x V u V u x V u x V u     C R (20) має вигляд: ( ; ) ( ) ( ) ( ),V u x V u x V u   L L (21) де L — граничний генератор вигляду 1 ( ) ( ) '( ) ( ) ''( ), 2 V u a u V u B u V u L І залишковий член ( )x визначається співвідношенням 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).C Cx V u x x V u x x V u x x V u   R L Г R Г R L  Доведення. Розглянемо дію генератора (18) на збурену функцію Ляпунова (20): 1 1 0 2 0 1( ; ) [ ( ; ) ( ) ( )] [ ( ; ) ( ) ( ; )CV u x V u x x V u V u x x V u x       L Q C Q 1 0 2 2( )] [ ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; )],CV u x V u x x V u x x V u x    Г Г Г де ( ) ( ; )x V u xГ визначається зі співвідношення (12). Застосовуючи умову розв’язності проблеми сингулярного збу- рення, для функції 1( ; )V u x маємо: 1 0( ; ) ( ) ( ) 0;CV u x x V u Q 1 0( ; ) ( ) ( ).CV u x x V u Q Звідси та з умови балансу (6), отримуємо вигляд 1( ; ) :V u x 1 0 0( ; ) ( ) ( ).CV u x x V u R (22) Використовуючи другу умову розв’язності, має місце рівність: 2 0 1( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ).CV u x x V u x x V u V u  Q Г L Підставимо (22) в останнє співвідношення: 2 0 0 0( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );C CV u x x x V u x V u V u  Q R Г L 2 0 0 0( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );C CV u x V u x x V u x V u  Q L R Г (23) Математичне та комп’ютерне моделювання 84 Позначимо через ( ) ( )x V uL вираз 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C Cx x V u x V u x V u R Г L (24) і підставимо в рівняння (23): 2 ( ; ) ( ) ( ) ( ),V u x V u x V u Q L L (25) де П ( ).xL L (26) Через ( )xL позначимо різницю ( ),x L L L тоді (25) буде мати вигляд 2 ( ; ) ( ) ( ).V u x x V uQ L З останньої рівності отримаємо представлення функції 2 ( ; ) :V u x 2 0( ; ) ( ) ( ).V u x x V u R L (27) Підставляючи (24) в вираз для граничного генератора (26), бу- демо мати 0 0 0П ( ) П ( ) ( ) П ( )C Cx x x x .  L L R Г (28) Розглянемо окремо перший доданок: 0 0 0 0 0 0П ( ) ( ) ( ) П ( ; ) [ ( ; ) '( )] 'C Cx x V u C u x C u x V u R R ' 0 0 0 0 0 0( ; ) [ ( ; ) '( )] ' ( ) ( ; ) ( ; ) '( ) ( ) X X C u x C u x V u dx C u x C u x V u dx    R R 0 0 0( ; ) ( ; ) ''( ) ( ). X C u x C u x V u dx R Для другого доданку справедливим є співвідношення: 21 П ( ) П ( ; ) '( ) П ( ; ) ''( ) ( ; ) '( ) ( ) 2 X x V(u)= C u x V u u x V u C u x V u dx   Г 21 ( ; ) ''( ) ( ). 2 X u x V u dx   Підставимо отримані значення в (28): ' 0 0 0 0 0 0( ) ( ; ) ( ; ) '( ) ( ) ( ; ) ( ; ) ''( ) ( ) X X V u C u x C u x V u dx C u x C u x V u dx    L R R 21 ( ; ) '( ) ( ) ( ; ) ''( ) ( ) 2 X X C u x V u dx u x V u dx       ' 0 0 0( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) '( ) ( ) '( ) X X C u x C u x dx C u x V u dx V u            R 2 0 0 0 1 ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ''( ). 2 X X C u x C u x dx u x dx V u            R Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 85 Отже, враховуючи (4) та (5), граничний генератор набуде вигляду: 1 ( ) ( ) '( ) ( ) ''( ), 2 V u a u V u B u V u L (29) що збігається з виразом для граничного генератора в умові леми. Тепер, використовуючи вирази для функцій 1( ; )V u x і 2 ( ; ),V u x можна знайти вигляд залишкового члена ( ).x Отже, підставляючи (22) та (27) в останній доданок генератора на збуреній функції Ляпу- нова, отримуємо залишковий член, вигляд якого збігається з вигля- дом наведеним в умові леми 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).C Cx V u x x V u x x V u x x V u   R L Г R Г R L  (30) Таким чином, враховуючи рівняння (29) та (30), отримаємо ви- гляд генератора (21). Доведення теореми. Розглянемо залишковий член (30). Для першого доданку маємо: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) '( )] '.C x x V u C u; x L u; x V uR L R  Враховуючи (12), для другого доданку буде справедливим: 2 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ; )[ ( ) ( )]' ( ; )[ ( ) ( )]'' 2 C C Cx x V u C u x x V u u x x V u  Г R R R 2 0 0 0 0 1 ( ; ) [ ( ; ) '( )] ' ( ; ) [ ( ; ) '( )] '' 2 C u x C u x V u u x C u x V u  R R 2 0 0 0 0 1 ( ; ) [ (u; ) '( )]' ( ; ) [ (u; ) '( )]'' . 2 C u x C x V u u x C x V u R R З умов С2 і С3 теореми, маємо 0 0 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 Cx x V u M V u M V u Г R Позначивши через 6M суму 2 3 1 , 2 M M отримуємо оцінку 0 0 6( ) ( ) ( ) ( ).Cx x V u M V uГ R (31) З урахуванням умов С4 та С5 теореми, для третього доданку за- лишкового члена вірною є оцінка: 2 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ; )[ ( ) ( )]' ( ; )[ ( ) ( )]'' 2 x x V u C u x x V u u x x V u  Г R L R L R L   2 0 0 1 ( ; ) [L( ) '( )]' ( ; ) [L( ) '( )]'' 2 C u x u; x V u u x u; x V u  R R  2 0 0 4 5 1 1 ( ; ) [L( ) '( )]' ( ; ) [L( ) '( )]'' ( ) ( ). 2 2 C u x u;x V u u x u;x V u M V u M V u   R R  Математичне та комп’ютерне моделювання 86 Аналогічно, через 7M позначивши вираз 4 5 1 , 2 M M будемо мати: 0 7( ) ( ) ( ) ( ).x x V u M V uГ R L (32) Отже, з врахуванням умови С1 теореми, а також співвідношень (31), (32), для залишкового члена вірним є обмеження: ( ) ( ) ( ),x V u MV u  (33) де 1 6 7.M M M M   Використовуючи твердження леми 3 і вираз (33) не важко пере- вірити умови Модельної граничної теореми ([6], с. 197), тобто має місце слабка збіжність процесів ( ) ( )u t u t  при 0.  Нехай тепер (1) ( )d V u du — похідна від функції Ляпунова, обчис- лена вздовж траєкторії системи (3). Оскільки функція Ляпунова ( )V u задовольняє умову Ліпшиця: 2 1 2 1( ) ( ) ,V u V u B u u   де В — константа, то справедливою буде наступна оцінка [1, с. 28]: (1) ( ) ( ) ( ) ( ) , d V u dV u B u dw t du du   де ( )dV u du — похідна від функції Ляпунова, обчислена вздовж траєк- торії детермінованої системи (8). Застосовуючи умови теореми (9) і (10), отримуємо наступну оцінку для (1) ( ) : d V u du (1) 1 2 ( ) ( ) ( ) . d V u c V u Bc dw t du    Це дає можливість знайти оцінку функції Ляпунова ( )V u [1, с. 23]: 1 1 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) . t t s tc ds c dp V u V u e e Bc dw s ds       Отже, 1 1 ( ) 0 2 0 ( ) ( ) ( ) . t c t c t sV u V u e Bc e dw s ds     Обчислюючи математичне сподівання обох частин нерівності, маємо: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 87 1 1 ( ) 0 2 0 ( ) ( ) ( ) . t c t c t sEV u V u e Bc e E dw s ds     З властивостей вінерівського процесу та оцінки ([1, с.32)   ( ) ( ) , , inf ( ) u EV u u t R R V u   P випливає, що система (3) дисипативна. Отже, з Модельної граничної теореми та дисипативності систе- ми (3) слідує асимптотична дисипативність системи (1). Висновки. Встановлена дисипативність вихідної випадкової еволюції з сингулярно збуреним доданком відносно малого парамет- ру та марковськими переключеннями дає можливість поставити за- вдання про асимптотичну дисипативність такої еволюції з напівмар- ковськими переключеннями. Для цього спочатку необхідно встано- вити дифузійність граничного процесу через розв’язок проблеми син- гулярного збурення для компенсуючого генератора вихідної еволюції та супроводжуючого марковського процесу [6]. Список використаних джерел: 1. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. — М. : Наука, 1969. — 368 с. 2. Хасьминский Р. З. О диссипативности случайных процессов, определяе- мых дифференциальными уравнениями / Р. З. Хасьминский. — М., 1965. — С. 88–104. 3. Самойленко А. М. Якісний та асимптотичний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями : монографія / А. М. Самойленко, О. М. Станжицький. — К. : Наукова думка, 2009. — 336 с. 4. Mazurov А. Stochastic dissipativity with risk-sensitive storage function and related control problems / A. Mazurov, P. Pakshin. — Kumamoto : ICIC Ex- press Letters, 2008. — Vol. 3, № 1. — P. 53–60. 5. Brogliato B. Dissipative Systems Analysis and Control / B. Brogliato et al. — L. : Springer, 2007. — 576 p. 6. Korolyuk V. S. Stochastic Systems in Merging Phase Space/ V. S. Korolyuk, N. Limnios. — World Scientific Publishing, 2005. — 330 p. In this paper we present a diffusion process with singular perturbation terms with Markov switching. The form of generator for two-component Markov process in a diffusion approximation scheme was established. We found the solution of singular perturbation problem for perturbed Lyapunov function. And set the condition for the asymptotic dissipativity of the diffusion process. Key words: stochastic process, diffusion, dissipativity. Отримано: 15.09.2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Асимптотична дисипативність дифузійного процесу

Institution

Ähnliche Einträge