Топологія простору лінійних функціональних інтервалів

Топологія простору лінійних функціональних інтервалів

У статті у квазілінійному просторі лінійних інтервальних обмежників введене поняття віддалі між елементами, їх норми та ширини. Наявність віддалі перетворює його в метричний простір. Доведено, що цей метричний простір є повним. Введення метрики робить цей простір топологічним простором. При цьому по...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2014
1. Verfasser: Сеньо, П.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86577
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Топологія простору лінійних функціональних інтервалів / П.С. Сеньо // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 209-223. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-86577
record_format dspace
spelling irk-123456789-865772015-09-22T03:02:24Z Топологія простору лінійних функціональних інтервалів Сеньо, П.С. У статті у квазілінійному просторі лінійних інтервальних обмежників введене поняття віддалі між елементами, їх норми та ширини. Наявність віддалі перетворює його в метричний простір. Доведено, що цей метричний простір є повним. Введення метрики робить цей простір топологічним простором. При цьому поняття збіжності і неперервності можна використовувати звичним чином, як і у випадку метричного простору. Отримані висновки дають можливість на основі математики лінійних функціональних інтервалів будувати та досліджувати ефективні методи розв’язування широкого класу задач. The article specifies a notion of distance between elements, their norms and width that is included into the quasilinear space of linear interval constraints. The presence of such distance returns the quasilinear space into the metrical space. It is proved that this metrical space is full. Metrication makes this space a topological one. In this case a notion of convergence and continuity can be used in a common way as well as a metrical space is concerned. The results got make it able to build and research effective methods of solving a big set of problems on the basis of mathematics of linear functional intervals. 2014 Article Топологія простору лінійних функціональних інтервалів / П.С. Сеньо // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 209-223. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86577 519.21:519.61 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У статті у квазілінійному просторі лінійних інтервальних обмежників введене поняття віддалі між елементами, їх норми та ширини. Наявність віддалі перетворює його в метричний простір. Доведено, що цей метричний простір є повним. Введення метрики робить цей простір топологічним простором. При цьому поняття збіжності і неперервності можна використовувати звичним чином, як і у випадку метричного простору. Отримані висновки дають можливість на основі математики лінійних функціональних інтервалів будувати та досліджувати ефективні методи розв’язування широкого класу задач.
format Article
author Сеньо, П.С.
spellingShingle Сеньо, П.С.
Топологія простору лінійних функціональних інтервалів
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Сеньо, П.С.
author_sort Сеньо, П.С.
title Топологія простору лінійних функціональних інтервалів
title_short Топологія простору лінійних функціональних інтервалів
title_full Топологія простору лінійних функціональних інтервалів
title_fullStr Топологія простору лінійних функціональних інтервалів
title_full_unstemmed Топологія простору лінійних функціональних інтервалів
title_sort топологія простору лінійних функціональних інтервалів
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2014
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86577
citation_txt Топологія простору лінійних функціональних інтервалів / П.С. Сеньо // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 209-223. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT senʹops topologíâprostorulíníjnihfunkcíonalʹnihíntervalív
first_indexed 2025-07-06T14:04:06Z
last_indexed 2025-07-06T14:04:06Z
_version_ 1836906601062072320
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 209 fects in the system of computer mathematics Mathematica 7.0. Solution obtained boundary value problems for differential equations obtained using direct and inverse Laplace transforms. Key words: mathematical model, point defects, self-consistent prob- lem, the diffusion equation, boundary value problem, Laplace transform. Отримано: 10.07.2014 УДК 519.21:519.61 П. С. Сеньо, канд. фіз.-мат. наук Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів ТОПОЛОГІЯ ПРОСТОРУ ЛІНІЙНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ІНТЕРВАЛІВ У статті у квазілінійному просторі лінійних інтервальних обмежників введене поняття віддалі між елементами, їх норми та ширини. Наявність віддалі перетворює його в метричний простір. Доведено, що цей метричний простір є повним. Вве- дення метрики робить цей простір топологічним простором. При цьому поняття збіжності і неперервності можна викорис- товувати звичним чином, як і у випадку метричного простору. Отримані висновки дають можливість на основі математи- ки лінійних функціональних інтервалів будувати та досліджу- вати ефективні методи розв’язування широкого класу задач. Ключові слова: віддаль, норма, інтервал, ширина інтер- валу, квазілінійний простір, лінійний функціональний інтервал, обмежник, теоретико-множинні операції, збіжність. 1. Вступ. В [3] введені нові об’єкти дослідження — функціональні інтервали та арифметичні операції над ними. Показано, що у випадку, коли функціональні обмежники є лінійними функціональними інтерва- лами, так означені арифметичні операції над ними замкнені, тобто ре- зультат кожної такої операції є також деяким лінійним функціональним інтервалом. Лінійний функціональний інтервал, лінійний функціональ- ний обмежник, або лінійний інтервальний обмежник ( )L X  { , ( ), ( )}X l x l x функції ( )f x на інтервалі X це множина всіх точок координатної площини, що на проміжку X аргументу розташовані між графіками кусково-лінійних функцій ( ), ( )l x l x , включно з ними, таких, що ( ) ( ) ( )l x f x l x  . Функції ( ), ( )l x l x називаються обмежуючими функціями функції ( )f x на інтервалі X . Перерізом лінійного функ- ціонального обмежника { , ( ), ( )}X l x l x в точці x називається інтер- © П. С. Сеньо, 2014 Математичне та комп’ютерне моделювання 210 вал [ ( ), ( )]l x l x  . Реалізацією лінійного функціонального інтервалу { , ( ), ( )}X l x l x називається кожна функція ( )g x , графік якої на інтерва- лі X належить цьому обмежнику, тобто ( ) ( ) ( )l x g x l x  . Отже лі- нійні функціональні інтервали можна також інтерпретувати як множину всіх відповідних функцій — реалізацій. Множину всіх лінійних функці- ональних інтервалів, заданих на інтервалі X , позначатимемо ( )LI X . Доведено, що множина таких елементів, визначених на одному й тому ж проміжку X аргументу, при означених у [3] арифметичних операціях. є квазілінійним простором. Наведені вище інтерпретації означення лінійних функціональних інтервалів вказують на тісний зв’язок їх із стохастичними процесами [4, с. 11–14, 21–28]. Однак в цій роботі далі цей зв’язок не аналізується. 2. Формулювання задачі. Арифметичні операції над лінійними функціональними інтервалами, означені в [3] є узагальненнями арифме- тичних операцій над інтервалами. В цій же роботі також показано, що лінійні функціональні інтервали є узагальненнями відповідних інтерва- льних розширень функцій [1, с. 31–33]. Отже квазілінійний простір інте- рвалів є частинним випадком квазілінійного простору лінійних функціо- нальних інтервалів. В квазілінійному просторі інтервалів введено понят- тя віддалі між інтервалами, їх норми та ширини. На цій основі природ- нім чином трактується збіжність послідовностей таких елементів. Це дає можливість будувати та досліджувати інтервальні методи розв’язування широкого кола задач. Тому виникає потреба відповідним чином ввести поняття віддалі між лінійними функціональними інтервалами, їх норми та ширини, що зокрема дасть змогу аналізувати збіжність послідовнос- тей таких елементів. Вищий рівень абстракції простору лінійних функці- ональних інтервалів дає можливість будувати та досліджувати ефектив- ніші методи розв’язування як таких же задач, так і значно ширшого кола задач. Для цього виходячи зі специфіки лінійних функціональних інтер- валів потрібно попередньо відповідним чином означити теоретико- множинні операції над ними. 3. Теоретико-множинні операції над лінійними функціона- льними обмежниками. З означення лінійних інтервальних обмеж- ників [3] випливає, що вони є параметризованими множинами інтер- валів — своїх перерізів. З іншого боку, кожен замкнений інтервал є множиною — множиною чисел, що знаходяться між відомими межа- ми (кінцями цього інтервалу). Тому теоретико-множинні операції над інтервалами є відповідними операціями над такими специфічними множинами. Результати цих операцій визначаються природнім чином через відповідні операції над межами інтервалів — операндів. На- приклад, якщо 1 2[ , ]A a a , 1 2[ , ]B b b , то Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 211 1 1 2 2[max{ , }, min{ , }]A B a b a b . (1) Якщо ж в (1) ліва межа інтервалу більша за праву, то A B   . Аналогічно, якщо [ , ]A a c , [ , ]B c d , то [ , ]A B a d . (2) Однак перенести безпосередньо таку методику означення теоре- тико-множинних операцій на відповідні операції над лінійними інте- рвальними обмежниками неможливо не лише через те, що вони є від- повідними двохвимірними множинами, але ще й суттєво залежними від інтервалів, на яких вони визначені. Означення 3.1. Результатом виконання теоретико-множинної операції { , }    над лінійними інтервальними обмежниками 1( )L X  1 11{ , ( ), ( )}X l x l x та 2 ( )L X  2 22{ , ( ), ( )}X l x l x є лінійний об- межник ( )L X  1 2{ , ( ), ( )}X X l x l x , де обмежуючі функції ( ),l x ( )l x утворені відповідним чином з обмежуючих функцій 11( ), ( )l x l x та 2 2( ), ( )l x l x в результаті виконання цієї ж операції над множинами всіх точок обмежників 1( )L X та 2 ( )L X . Наприклад, якщо елементарні лінійні обмежники 1( )L X = (1) (1) (1) (1), ,X k x m k x m  , 2 ( )L X = (2) (2) (2) (2), ,X k x m k x m  такі, що (1) (1)k x m  (2) (2)k x m  (1) (1)k x m  (2) (2)k x m , то 1( )L X  2 ( )L X =  (1) (1) (2) (2), ,X k x m k x m  , (3) 1( )L X  2 ( )L X =  (2) (2) (1) (1), ,X k x m k x m  , (4) а якщо ж 1 1( )L X = (1) (1) (1) (1) 1, ,X k x m k x m  , 2 2( )L X = (2) (2) (2) (2) 2 , ,X k x m k x m  , то 1 1( )L X  )( 22 XL =  1 2 , ( ), ( )X X l x l x , (5) де (1) (1) 1 (2) (2) 2 , якщо , ( ) , якщо , k x m x X l x k x m x X       (6) Математичне та комп’ютерне моделювання 212 (1) (1) 1 (2) (2) 2 , якщо , ( ) , якщо , k x m x X l x k x m x X       (7) тощо. 4. Віддаль, норма та ширина в ( )LI X . Якщо у просторі ( )LI X ввести метрику, то цим ми зробимо його топологічним простором. При цьому поняття збіжності і неперервності можна використовувати звичним чином, як і у випадку метричного простору. Означення 4.1. Віддаль 1 2( ( ), ( ))d L X L X між лінійними обмеж- никами 1( )L X   11, ( ), ( )X l x l x і 2 ( )L X   22, ( ), ( )X l x l x визначає рівність  1 2 1 21 2( ( ), ( )) max max ( ) ( ) , ( ) ( ) x X d L X L X l x l x l x l x     . (8) Легко переконатися, що у цьому випадку виконуються всі аксі- оми віддалі. Для цього попередньо доведемо наступну лему, яка має і самостійне значення. Лема 4.1. Для будь-яких дійсних чисел 1 2 1 2, , ,a a b b виконується нерівність      1 2 1 2 1 1 2 2max , max , max , .a a b b a b a b    (9) Доведення. Оскільки для будь-яких дійсних чисел 1 2,c c вико- нується рівність 1 2 2 1max{ , } max{ , }c c c c , то, для визначеності, бу- демо вважати, що 1 1a b . (10) Отже 1 1 1max{ , }a b b . (11) Нехай 2 2 2max{ , }a b b . (12) Тоді з (10), (12) послідовно отримуємо 1 1a b , 1 2 1 2 1 2a a b a b b     . Отже, 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2max{ , } max{ , } max{ , }a a b b b b a b a b      . Нехай 2 2 2max{ , }a b a . (13) Тоді з (10), (13) послідовно отримуємо 1 1a b , 1 2 1 2a a b a   = 1 1 2 2max{ , } max{ , }a b a b Але ж, згідно (13), також 1 2 1 2b b b a   . Тому      1 2 1 2 1 2 1 1 2 2max , max , max ,a a b b b a a b a b      . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 213 Зауваження 4.1. Методом математичної індукції, послідовно використовуючи (9), легко довести, що 1 1 1 max , max{ , } n n n i i i i i i i a b a b               , (14) а якщо ряди 1 1 1 , , max{ , }i i i i i i i a b a b          збіжні, то 1 1 1 max , max{ , }i i i i i i i a b a b                  . (15) Перевіримо коректність означення 4.1 довівши, що в цьому ви- падку виконуються всі аксіоми віддалі. 1. Оскільки a b b a   для будь-яких чисел ,a b , то з форму- ли (9) означення 4.1 віддалі між лінійними функціональними обмеж- никами 1 2( ), ( )L X L X безпосередньо випливає, що 1 2( ( ), ( ))d L X L X = = 2 1( ( ), ( ))d L X L X . 2. З формули (9) врахувавши те, що 0c  для будь-якого числа c , отримуємо нерівність 1 2( ( ), ( )) 0d L X L X  . Доведемо, що  1 2( ), ( ) 0d L X L X  тоді і лише тоді, коли 1 2( ) ( )L X L X . Нехай 1 2( ( ), ( )) 0d L X L X  . Тоді 1 21 2max max{ ( ) ( ) , ( ) ( ) } 0 x X l x l x l x l x     . Оскільки 1 2( ) ( ) 0l x l x  і 1 2( ) ( ) 0l x l x  , то 1 2( ) ( ) 0l x l x  і 1 2( ) ( ) 0l x l x  . Отже 1 2( ) ( )l x l x і 1 2( ) ( )l x l x , тобто 1 2( ) ( )L X L X . Нехай 1 2( ) ( )L X L X . Тоді 1 2( ) ( )l x l x і 1 2( ) ( )l x l x , тобто 1 2( ) ( ) 0l x l x  і 1 2( ) ( ) 0l x l x  . Отже  1 21 2max max ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 x X l x l x l x l x     , тобто 1 2( ( ), ( )) 0d L X L X  . 3. Доведемо, що для будь-якого 2 ( ) ( )L X LI X виконується не- рівність 1 3( ( ), ( ))d L X L X  1 2( ( ), ( ))d L X L X + 2 3( ( ), ( ))d L X L X . Для цього застосуємо лему 4.1 при 1 1 2( ) ( )a l x l x  , 2 2 3( ) ( )a l x l x  , 1 1 2( ) ( )b l x l x  , 2 2 3( ) ( )b l x l x  і послідовно отримаємо Математичне та комп’ютерне моделювання 214 1 3( ( ), ( ))d L X L X   1 31 3max max ( ) ( ) , ( ) ( ) x X l x l x l x l x      1 2 2 31 2 2 3max max ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) x X l x l x l x l x l x l x l x l x          1 21 2max max ( ) ( ) , ( ) ( ) x X l x l x l x l x      2 3 1 2 2 32 3maxmax{ ( ) ( ) , ( ) ( )} ( ( ), ( )) ( ( ), ( )). x X l x l x l x l x d L X L X d L X L X       Зауваження 4.2. Нехай 1M , 1M — множини точок кінців інте- рвалів інтервалу X , на яких графіки нижньої та верхньої обмежую- чих функцій 1( )l x , 1( )l x , відповідно, лінійного обмежника 1( )L X кожен є відрізком лише однієї якоїсь прямої лінії, а 2M , 2M — множини точок кінців інтервалів інтервалу X такої ж природи лише для нижньої та верхньої обмежуючих функцій 2 ( )l x , 2 ( )l x , відпові- дно, лінійного обмежника 2 ( )L X . Утворимо множину точок M  1M  1M  2M  2M . (16) Тоді, оскільки обмежуючі функції лінійних інтервальних обмежників 1( )L X , 2 ( )L X є кусково-лінійними функціями, то у формулі (8) мак- симум достатньо шукати не на всьому інтервалі X , а лише на скін- ченній множині точок M . Аналогічно до попереднього, визначимо відповідні множини iM , iM точок для кожного лінійного інтервального обмежника ( )iL X послідовності лінійних обмежників 1{ ( )}i iL X   , множину M  1 1 ji i j M M       , (17) та множини M , M точок граничного лінійного обмежника ( )L X . Тоді безпосередньо з означення 4.1 віддалі між лінійними обмежни- ками з врахуванням зауваження 4.2 та того, що кожен лінійний функ- ціональний інтервал є параметризованою сукупністю інтервалів — його перерізів, а обмежуючі функції його є кусково-лінійними функ- ціями, аналогічно доведенням відповідних тверджень [1, с. 24–25] у просторі інтервалів, легко довести наступні три теореми. Теорема 4.1. Послідовність лінійних інтервальних обмежників 1{ ( )}i iL X   збігається до лінійного обмежника ( )L X тоді і лише тоді, коли 1) M M , M M , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 215 2) всі послідовності значень у всіх точках множини M верхніх та нижніх обмежуючих функцій інтервальних обмежників послідов- ності 1{ ( )}i iL X   збігаються до значень у всіх відповідних тих же точках множини M верхньої та нижньої обмежуючих функцій, відповідно, лінійного обмежника ( )L X , тобто (lim ( ) ( )) (lim ( ) ( ), lim ( ) ( ), ).i iii i i L X L X l x l x l x l x x M          (18) Теорема 4.2. Метричний простір ( ( ),LI X d ) з метрикою із озна- чення 4.1, є повним метричним простором. Теорема 4.3. Кожна послідовність лінійних інтервальних обме- жників 1{ ( )}i iL X   , для якої виконується співвідношення 1( )L X  2 ( )L X  3 ( )L X  , збігається до лінійного обмежника 1 ( ) ( )i i L X L X     . Використавши теорему 4.2 та означення арифметичних операцій над лінійними інтервальними обмежниками за аналогією з [1, с. 25], легко довести наступну теорему. Теорема 4.4. Всі арифметичні операцій над лінійними інтерва- льними обмежниками неперервні. Означення 4.2. Нормою лінійного інтервального обмежника ( )L X ={ , ( ), ( )}X l x l x називається число       ( ) ( ), { , 0, 0} max max ( ) , ( ) max max ( ) , ( ) , k k k x X x M L X d L X X l x l x l x l x       (19) де множина точок M визначається аналогічно як у зауваженні 4.2. Норму лінійного інтервального обмежника ( )L X можна записа- ти і у наступному вигляді: ( ) ( ) ( ) max max ( ) x X f x L X L X f x    , (20) де ( )f x — реалізація лінійного інтервального обмежника ( )L X . Очевидно, що якщо 1( )L X , 2 ( )L X  ( )LI X , то ( 1( )L X  2 ( )L X ) 1 2( ( ) ( ) )L X L X  . (21) Перевіримо коректність означення 4.2 довівши, що в цьому ви- падку виконуються всі аксіоми норми. 1. З формули (19) врахувавши те, що 0c  для будь — якого числа c , отримуємо нерівність ( ) 0L X  . Доведемо, що ( ) 0L X  тоді і лише тоді, коли ( ) 0L X  . Математичне та комп’ютерне моделювання 216 Нехай ( ) 0L X  , де ( )L X ={ , ( ), ( )}X l x l x . Тоді, згідно (19),  max max ( ) , ( ) 0 x X l x l x   . (22) Оскільки ( ) 0l x  і ( ) 0l x  для будь-якого x X , то з (22) випли- ває, що max ( ) 0 x X l x   і max ( ) 0 x X l x   . Отже ( ) 0l x  і ( ) 0l x  , тобто ( ) 0L X  . Нехай ( ) 0L X  . Отже ( ) 0l x  і ( ) 0l x  . Оскільки, згідно (19),  ( ) max max ( ) , ( ) x X L X l x l x   , то в цьому випадку  ( ) max max 0 , 0 0 x X L X    . 2. Нехай ( )L X ={ , ( ), ( )}X l x l x , а c — будь-яка константа. Тоді (див. [3]) ( )c L X  { , , }X c c  { , ( ), ( )}X l x l x =     , ( ), ( ) , якщо 0, , ( ), ( ) , якщо 0. X c l x c l x c X c l x c l x c         Отже     ( ) max max ( ) , ( ) max max ( ) , ( ) ( ) . x X x X c L X c l x c l x c l x l x c L X            3. Нехай 1( )L X = 11{ , ( ), ( )}X l x l x , 2 ( )L X = 22{ , ( ), ( )}X l x l x . Тоді (див. [3]) 1 2( ) ( )L X L X = 1 21 2{ , ( ) ( ), ( ) ( )}X l x l x l x l x  . Отже 1 2( ) ( )L X L X   1 21 2max max ( ) ( ) , ( ) ( ) x X l x l x l x l x      1 21 2max max ( ) ( ) , ( ) ( ) x X l x l x l x l x    . Застосувавши лему 4.1 при 1 1( )a l x , 2 2 ( )a l x , 1 1( )b l x , 2 2 ( )b l x , отримаємо 1 2( ) ( )L X L X   11max max ( ) , ( ) x X l x l x   +  22max max ( ) , ( ) x X l x l x   1( )L X  2 ( )L X . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 217 Означення 4.3. Шириною лінійного функціонального інтервалу обмежника ( )L X = , ( ), ( )X l x l x будемо називати число ( ( )) max( ( ) ( )) max( ( ) ( )) k k k x X x M L X l x l x l x l x       , (23) де множина точок M визначається аналогічно як у зауваженні 4.2. Очевидно, що якщо 1( )L X , 2 ( )L X  ( )LI X , то ( 1( )L X  2 ( )L X ) 1 2( ( ( )) ( ( )))L X L X   . (24) Безпосередньо з означення 4.3 випливає, що 1 2 1 2( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))L X L X L X L X     . (25) З означень 4.2, 4.3 норми та ширини, відповідно. лінійного інте- рвального обмежника випливає, що ( ( )) ( ) ( )L X L X L X   . (26) Тому збіжність послідовності лінійних інтервальних обмежників, зокрема і в теоремах 1-4, можна відповідним чином трактувати в те- рмінах віддалі, норми, або ширини. Зауваження 4.3. Віддаль, норма, та ширина, визначені за (8), (19), (23), відповідно, є рівномірними. Тому і збіжність послідовності ліній- них інтервальних обмежників в таких термінах є рівномірною. Можна розглядати збіжність таких послідовностей в середньому, якщо ввести в розгляд осереднені віддаль, норму, та ширину, означені так:    1 2 1 21 2( ), ( ) (1/ ( )) max ( ) ( ) , ( ) ( ) b a d L X L X b a l x l x l x l x dx    , (27)  ( ) (1/ ( )) max ( ) , ( ) b a L X b a l x l x dx   , (28)  ( ( )) (1 / ( )) ( ) ( ) b a L X b a l x l x dx    , (29) де [ , ]X a b , або так:     1 2 1 21 2 ( ), ( ) (1 / ) max ( ) ( ) , ( ) ( ) . k k k k k x M d L X L X N l x l x l x l x      (30)  ( ) (1 / ) max ( ) , ( ) k k k x M L X N l x l x    , (31)  ( ( )) (1 / ) ( ) ( ) k k k x M L X N l x l x    , (32) де N — кількість точок у множині M , яка визначається аналогічно, як у зауваженні 4.2. Математичне та комп’ютерне моделювання 218 Для аналізу динаміки збіжності послідовностей лінійних функ- ціональних інтервалів одночасно у всіх точках інтервалу X їх визна- чення часто доцільно використовувати інші числові характеристики. Означення 4.4. Функціональною, або параметризованою віддаллю між лінійними обмежниками 1( )L X   11, ( ), ( )X l x l x і 2 ( )L X   22, ( ), ( )X l x l x називаємо невід’ємнозначну функцію ( )D x   1 2( ), ( )xd L X L X , яка при кожному фіксованому значенні аргументу x X є віддалю між інтервалами 11[ ( ), ( )]l x l x  і 22[ ( ), ( )]l x l x  — пере- різами цих лінійних обмежників при значенні x x  . З цього означення та означення віддалі між інтервалами [1, с. 23] випливає, що 1 2( ) ( ( ), ( ))xD x d L X L X =  1 21 2max ( ) ( ) , ( ) ( )l x l x l x l x  . (33) Означення 4.5. Функціональною, або параметризованою нормою лінійного інтервального обмежника ( )L X   , ( ), ( )X l x l x називаємо невід’ємнозначну функцію ( ) ( ) x N x L X , яка при кожному фіксова- ному значенні аргументу x X є нормою інтервалу [ ( ), ( )]l x l x  — перерізу цього лінійного інтервального обмежника при значенні x x  . З цього означення та означення норми інтервалу [1, с. 25] ви- пливає, що  ( ) ( ) ( ( ), { , 0, 0}) max ( ) , ( )xx N x L X d L X X l x l x   . (34) Означення 4.6. Функціональною, або параметризованою шириною лінійного інтервального обмежника ( )L X  { , ( ), ( )}X l x l x називаємо невід’ємнозначну функцію ( ) ( ( ))xx L X  , яка при кожному фіксо- ваному значенні аргументу x X є шириною інтервалу [ ( ), ( )]l x l x  — перерізу цього лінійного інтервального обмежника при значенні x x  . З цього означення та означення ширини інтервалу [1, с. 27] ви- пливає, що ( ) ( ( ))xx L X  = ( ) ( )l x l x . (35) 5. Результати обчислювальних експериментів. Приклад 1. Обчислити віддаль та функціональну віддаль між лінійними функціональними інтервалами на інтервалі [ 2, 6]X   функцій 2 8 7y x x   та ln(2 4.5) 1y x   . Нехай 1 1{ }n i ix   — множина точок ix інтервалу X розбиття лінійно- го інтервального обмежника ( )L X відповідної елементарної функції на Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 219 елементарні лінійні інтервальні обмежники; 1{ }n iik  , 1{ }n i ik  , 1{ }n iim  , 1{ }n i im  — множини кутових коефіцієнтів , iik k та зміщень , iim m ниж- ніх та верхніх їх обмежуючих функцій, відповідно; на інтервалах 1[ , ]i ix x  , а 1 1{ }n ii f   , 1 1{ }n i if   — множини нижніх та верхніх значень, від- повідно, її обмежуючих функцій у точках ix . Тоді (див. [3]) для функції 2 8 7y x x   9 1{ }i ix  = {–2, –0.5, 1, 2.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6}, 8 1{ }i ik  = {–10.5, –7.5, –4.5, –1.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5}, 8 1{ }iik  = {–12, –6, –6, 0, 0, 2, 2, 4}, 8 1{ }i im  = {6, 7.5, 4.5, –3, –11, –15.5, –20.5, –26}, 8 1{ }iim  = {3, 6, 6, –9, –9, –18, –18, –29}, 9 1{ }i if  = {27, 11.25, 0, –6.75, –9, –8.75, –8, –6.75, –5}, 9 1{ }ii f  = {27, 9, 0, –9, –9, –9, –8, –7, –5}; 2 2 4 6 X 5 5 10 15 20 25 Y Рис. 1. Графіки функції 2 8 7y x x   (середній графік) та обмежуючих функцій її лінійного інтервального обмежника для функції ln(2 4.5)y x  9 1{ }i ix  = {–2, –1.81153, –1.375, –1.11811, –0.75, 0.303752, 2.625, 4.01928, 6}, 8 1{ }i ik  = {4, 1.14286, 1.14286, 0.666667, 0.666667, 0.205128, 0.205128, 0.121212}, Математичне та комп’ютерне моделювання 220 8 1{ }iik  = {2.98102, 1.58279, 1.00206, 0.764924, 0.504956, 0.278538, 0.18041, 0.138612}, 8 1{ }i im  = {7.30685, 2.13104, 2.13104, 1.59861, 1.59861, 1.73881, 1.73881, 2.07609}, 8 1{ }iim  = {5.26889, 2.73595, 1.93745, 1.6723, 1.47733, 1.5461, 1.80369, 1.97169}, 9 1{ }i if  = {–0.693147, 0.060721,0.559616, 0.853207, 1.09861, 1.80111, 2.27727, 2.56327, 2.80336} 9 1{ }ii f  = {–0.693147, –0.131323, 0.559616, 0.817038, 1.09861, 1.63071, 2.27727, 2.52881, 2.80336} 2 2 4 6 X 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Y Рис. 2. Графіки функції ln(2 4.5)y x  (середній графік) та обмежуючих функцій її лінійного інтервального обмежника Об’єднане розбиття інтервалу [ 2, 6]X   , тобто множина точок M , є таким 16 1{ }i ix  = {–2, –1.81153, –1.375, –1.11811, –0.75, –0.5, 0.303752, 1, 2.5, 2.625, 4, 4.01928, 4.5, 5, 5.5, 6}. Тому адаптовані до такого розбиття значення обмежуючих функцій цих лінійних функціональних інтервалів у точках ix є відповідно такими: 16 1 1{ ( )}i il x  = {27, 25.0211, 20.4375, 17.7401, 13.875, 11.25, 5.22186, 0, –6.75, –6.9375, –9, –8.99036, –8.75, –8, –6.75, –5}, 16 11{ ( )}i il x  = {27, 24.7384, 19.5, 16.4173, 12, 9, 4.17749, 0, –9, –9, –9, –9, –9, –8, –7, –5}, 16 2 1{ ( )}i il x  = {–0.693147, 0.060721, 0.559616, 0.853207, 1.09861, 1.26528, 1.80111, 1.94393, 2.25163, 2.27727, 2.55932, 2.56327, 2.62154, 2.68215, 2.74275, 2.80336}, Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 221 16 12{ ( )}i il x  = {–0.693147, –0.131323, 0.559616, 0.817038, 1.09861, 1.22485, 1.63071, 1.82464, 2.24245, 2.27727, 2.52533, 2.52881, 2.59544, 2.66475, 2.73405, 2.80336}. Отже,  16 1 2 1 ( ) ( )i i i l x l x   = {27.6931, 24.9604, 19.8779, 16.8869, 12.7764, 9.98472, 3.42074, 1.94393, 9.00163, 9.21477, 11.5593, 11.5536, 11.3715, 10.6821, 9.49275, 7.80336},  16 1 2 1 ( ) ( )i i i l x l x   = {27.6931, 24.8697, 18.9404, 15.6002, 10.9014, 7.77515, 2.54677, 1.82464, 11.2425, 11.2773, 11.5253, 11.5288, 11.5954, 10.6647, 9.73405, 7.80336}. Тому  1 21 2 [ 2,6] max max ( ) ( ) , ( ) ( ) x l x l x l x l x     = = 1 1 2 1( ) ( )l x l x = 1 11 2( ) ( )l x l x = 27.6931, тобто віддаль 1 2( ([ 2,6]), ([ 2,6]))d L L   27.6931. Функціональною ж віддаллю  1 2([ 2,6]), ([ 2,6])xd L L  є кусково-лінійна функція, гра- фік якої проходить через точки ( , )x y {(–2, 27.6931), (–1.81153, 24.9604), (–1.375, 19.8779), (–1.11811, 16.8869), (–0.75, 12.7764), (–0.5, 9.98472), (0.303752, 3.42074), (1, 1.94393), (2.5, 11.2425), (2.625, 11.2773), (4, 11.5593), (4.01928, 11.5536), (4.5, 11.5954), (5, 10.6821), (5.5, 9.73405), (6, 7.80336)}, Приклад 2. Обчислити норму, функціональну норму, ширину та функціональну ширину лінійного функціонального інтервалу на інте- рвалі [ 2, 6]X   функції 2 8 7y x x   . ▪ Розбиття інтервалу [ 2, 6]X   та обмежуючі функції цього лі- нійного функціонального інтервалу отримані при розв’язуванні попе- реднього прикладу: 9 1{ }i ix  = {–2, –0.5, 1, 2.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6}, 9 1{ ( )}i il x  = {27, 11.25, 0, –6.75, –9, –8.75, –8, –6.75, –5}, 9 1{ ( )}i il x  = {27, 9, 0, –9, –9, –9, –8, –7, –5}. Отже 9 1{| ( ) |}i il x  = {27, 11.25, 0, 6.75, 9, 8.75, 8, 6.75, 5}, 9 1{| ( ) |}i il x  = {27, 9, 0, 9, 9, 9, 8, 7, 5}, 9 1{ ( ) ( )}i i il x l x  = {0, 2.25, 0, 2.25, 0, 0.25, 0, 0.25, 0}. Математичне та комп’ютерне моделювання 222 Тому ([ 2,6])L  =  max max ( ) , ( ) x X l x l x  = 27, ( ([ 2,6]))L  =  max ( ) ( ) x X l x l x   = 2.25. Функціональною нормою ( ) ([ 2,6]) x N x L  цього лінійного функціонального інтервалу є кусково-лінійна функція, графік якої проходить через точки ( , )x y {(–2, 0), (–0.5, 2.25), (1, 0), (2.5, 2.25), (4, 0), (4.5, 0.25), (5, 0), (5.5, 0.25), (6, 0)}. Функціональною шириною ( ) ( ([ 2,6]))xx L   . цього лінійно- го функціонального інтервалу є кусково-лінійна функція, графік якої проходить через точки ( , )x y {(–2, 27), (–0.5, 11.25), (1, 0), (2.5, 9), (4, 9), (4.5, 9), (5, 8), (5.5, 7), (6, 5)}. 6. Висновки. Наведені теоретичні дослідження дають підставу стверджувати коректність всіх трьох варіантів введених числових харак- теристик (віддалі, норми і ширини) у квазілінійному просторі ( )LI X лінійних функціональних інтервалів. Показано, що метричний простір ( )LI X повний. Введена метрика перетворює його в топологічний прос- тір. При цьому поняття збіжності і неперервності можна використовува- ти звичним чином, як і у випадку метричного простору. Отримані необ- хідні і достатні умови збіжності послідовності 1{ ( )}i iL X   до відповідно- го граничного лінійного функціонального інтервалу. Доведена збіжність послідовності вкладених лінійних функціональних інтервалів до ліній- ного функціонального інтервалу їх граничного перетину, а також за- мкненість арифметичних операцій над лінійними функціональними ін- тервалами, означених в [3]. Отримані результати дають можливість бу- дувати та досліджувати алгоритми розв’язування широкого кола задач. Список використаних джерел: 1. Алефельд Г. Введение в интервальные вычисления: монография / Г. Але- фельд, Ю. Херцбергер ; пер. с англ. Г. Е. Минда, А. Г. Яковлева. — М. : Мир. ред. лит. по мат. наукам, 1987. — 358 с. 2. Калмыков С. А. Методы интервального анализа: монография / С. А. Кал- мыков, Ю. И. Шокин, З. Х. Юлдашев. — Новосибирск : Наука, Сибир- ское отделение, 1986. — 222 с. 3. Сеньо П. С. Арифметика лінійних функціональних інтервалів / П. С. Се- ньо // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2014. — Вип. 20. — С. 48–67. 4. Сеньо П. С. Випадкові процеси : підручник / П. С. Сеньо. — Львів : Ком- пакт-ЛВ, 2006. — 288 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11 223 The article specifies a notion of distance between elements, their norms and width that is included into the quasilinear space of linear interval constraints. The presence of such distance returns the quasilinear space into the metrical space. It is proved that this metrical space is full. Metrication makes this space a topological one. In this case a notion of convergence and continuity can be used in a common way as well as a metrical space is concerned. The results got make it able to build and research effective methods of solving a big set of problems on the basis of mathematics of linear func- tional intervals. Key words: distance, norm, interval, interval width, quasilinear space, linear functional interval, constraint, set-theoretic operations, convergence. Отримано: 20.06.2014 УДК 519.2 Н. Ю. Щестюк, канд. фіз.-мат. наук Національний університет «Києво-Могилянська Академія», м. Київ ОЦІНКА СПРАВЕДЛИВОЇ ЦІНИ ОПЦІОНІВ В МОДИФІКАЦІЯХ МОДЕЛІ ХЕЙДІ-ЛЕОНЕНКА Знайдено формулу обрахунку справедливої ціни опціонів єв- ропейського типу для деяких моделей ціноутворення акцій, що використовують «ринковий» «активний» час. Конструкція проце- су ринкового часу базується на використанні дифузійних процесів з наперед заданою маргінальною гамма-оберненою щільністю. Ключові слова: опціон, лог-дохідності, геометричний броу- нівський рух, дифузійний процес, обернений гамма-розподіл, роз- поділ Стьюдента. Вступ. На сьогоднішній день фінансові ринки та різні фінан- сові установи потребують досконалих методів та засобів для аналізу та передбачення цін на різні цінні папери. З однієї сторони — для оцінки їх справедливих цін (з можливістю отримання прибутку), та з іншої сторони — для хеджування власного портфелю цінних паперів, тобто для зниження ризиків можливих фінансових збитків. Цими за- собами стають розроблені математичні моделі та відповідне програ- мне забезпечення, які дозволяють на основі всебічного аналізу стати- стичних даних, якісно моделювати та прогнозувати рух цінних папе- рів та оцінювати справедливу вартість деривативів. У сучасній фінансовій математиці основною парадигмою ціноут- ворення акцій на фінансовому ринку та розрахунку справедливої ціни © Н. Ю. Щестюк, 2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge