О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения
Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени доказано существование гладкого решения задачи, включая гладкость...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86702 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения / С.П. Дегтярев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 11–18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-867022015-09-28T03:01:59Z О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения Дегтярев, С.П. Математика Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени доказано существование гладкого решения задачи, включая гладкость неизвестной границы. Розглянуто задачу з невiдомою межею роздiлу областей параболiчностi та елiптичностi квазiлiнiйного елiптико-параболiчного рiвняння. Ця задача моделює фiльтрацiю в частково насиченому пористому середовищi. Локально за часом доведено iснування гладкого розв’язку задачi, у тому числi гладкiсть невiдомої межi. We consider the free boundary problem with unknown boundary between the domains of ellipticity and parabolicity of a quasilinear elliptic-parabolic equation. The problem models the filtration in a partially saturated porous medium. We prove locally in time the existence of a smooth solution of the problem including the smoothness of the free boundary. 2013 Article О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения / С.П. Дегтярев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 11–18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86702 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дегтярев, С.П. О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения Доповіді НАН України |
| description |
Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени доказано существование гладкого решения задачи, включая гладкость неизвестной границы. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения |
| title_short |
О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения |
| title_full |
О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения |
| title_fullStr |
О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения |
| title_full_unstemmed |
О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения |
| title_sort |
о гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86702 |
| citation_txt |
О гладком решении квазилинейного эллиптико-параболического уравнения / С.П. Дегтярев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 11–18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp ogladkomrešeniikvazilinejnogoélliptikoparaboličeskogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-06T14:14:37Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:14:37Z |
| _version_ |
1836907262821531648 |
| fulltext |
УДК 517.9
С.П. Дегтярев
О гладком решении квазилинейного
эллиптико-параболического уравнения
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Ковалевым)
Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллип-
тичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача модели-
рует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени дока-
зано существование гладкого решения задачи, включая гладкость неизвестной границы.
Пусть Ω — область в R
N , T > 0, ΩT = Ω × (0, T ). Пусть, далее, g(x, t), (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],
u0(x), x ∈ Ω, f(x, t), (x, t) ∈ ΩT — заданные функции и пусть заданная функция c(u),
u ∈ R
1 — такова, что c(u) ≡ 0 при u 6 0 и c′(u) > 0 при u > 0. Рассмотрим в области ΩT
следующую начально-краевую задачу для неизвестной функции u(x, t):
∂
∂t
c(u)−∆u = 0, (x, t) ∈ ΩT , (1)
c(u(x, 0)) = c(u0(x)), (2)
u(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ ∂Ω× [0, T ]. (3)
Задача подобного типа возникает, в частности, в теории фильтрации (см. [1–11] и имею-
щуюся там библиогр.), а также в некоторых других областях. Так как в той области, где
u > 0, уравнение (1) является параболическим, а в области, где u < 0, оно эллиптично,
то задача (1)–(3) представляет собой эллиптико-параболическую задачу. При этом урав-
нение (1) естественным образом порождает задачу со свободной границей — ключевыми
неизвестными в рассматриваемой задаче являются сами области, где u < 0 или u > 0,
а также граница раздела между ними, которая и представляет собой свободную (неизве-
стную) границу.
В случае одной пространственной переменной, когда Ω представляет собой отрезок пря-
мой, Ω = (a, b), задача вида (1)–(3) изучалась в [2–9], где при определенных предположениях
на данную задачу было получено существование слабого решения, а также существование
регулярной функции x = s(t) ∈ (a, b), разделяющей области u > 0 и u < 0. В работе [10]
рассматриваемая задача изучалась в случае двумерной фильтрации, когда Ω ⊂ R
2, и при
некоторых условиях типа монотонности на данную задачу было установлено, что свобод-
ная граница является непрерывной.
В многомерном же случае, когда Ω ⊂ R
N , N > 2, уравнение (1) и задача (1)–(3) в обоб-
щенной постановке исследовались, в частности, в [1, 11], причем в [11] задача рассматрива-
лась в терминах вязких решений и была доказана корректность задачи в такой обобщенной
постановке.
Классические решения многомерной задачи (1)–(3), включающие гладкость свободной
границы, рассматривались в работе [12]. При этом в указанной работе решение уравне-
ния (1) и неизвестная поверхность раздела изучались в классах гладких функций, являю-
щихся модификациями анизотропных пространств Гельдера. В этих пространствах для всех
© С. П. Дегтярев, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 11
производных рассматриваемых функций предполагались конечными двойные полунормы
вида (16). Кроме того, в эллиптической области уравнения (1) не доказывалась гладкость
производной по времени от решения.
Целью данной работы является рассмотреть задачу (1)–(3) в общей многомерной поста-
новке, Ω ⊂ R
N , N > 2, причем не в обобщенной постановке, а в классических терминах
гладких решений. При этом мы будем рассматривать квазилинейное уравнение (1) и зада-
чу (1)–(3) как задачу со свободной границей и сконцентрируем внимание на самой свободной
границе. Важным является то, что, в отличие от работы [12], мы покажем, что свобод-
ная граница и решение в параболической области принадлежат обычным анизотропным
пространствам Гельдера C3+α,(3+α)/2 (без дополнительной “экзотики”), а в эллиптической
области решение принадлежит “почти” классу C3+α,(3+α)/2 — оно имеет в этой области
производную по времени из класса Гельдера. Мы считаем эти обстоятельства достаточно
важными, так как применяемая в данной работе техника сопряжения эллиптической и па-
раболической частей задачи позволяет рассмотреть и другие эллиптико-параболические
задачи в стандартных пространствах Гельдера.
Таким образом, мы покажем, что при достаточно гладких начальных данных рассмат-
риваемая нелинейная задача локально по времени (на некотором интервале [0, T ]) имеет
классическое гладкое решение, при этом граница раздела “фаз” является гладкой поверх-
ностью, задаваемой функцией, имеющей производные из класса Гельдера.
Введем теперь некоторые обозначения, функциональные пространства и сформулируем
задачу (1)–(3) в эквивалентной формулировке, традиционной для задач со свободной гра-
ницей.
Во-первых, пусть для простоты (для нас на самом деле важно лишь, что c′(u) > 0 при
u > 0)
c(u) =
{
0, u < 0,
u, u > 0.
(4)
Пусть, далее, Ω — двусвязная область в R
N с границей, состоящей из двух непересекаю-
щихся поверхностей Γ+ и Γ−, ∂Ω = Γ+⋃
Γ−. Пусть Γ ⊂ Ω — гладкая поверхность, лежащая
строго между Γ+ и Γ− и разделяющая область Ω на две подобласти Ω+ и Ω− с границами
соответственно ∂Ω+ = Γ+⋃
Γ и ∂Ω− = Γ−⋃
Γ. Мы обозначаем для T > 0: ΩT ≡ Ω× [0, T ],
ΓT ≡ Γ × [0, T ], Γ±
T ≡ Γ± × [0, T ].
Пусть в областях Ω± заданы функции u±0 (x) такие, что
u+0 > 0 в Ω+, u−0 < 0 в Ω−, (5)
∂u+0
∂n
=
∂u−0
∂n
> γ > 0, u±0 (x) = 0, x ∈ Γ; ∆u−0 (x) = 0, x ∈ Ω−, (6)
где ~n — нормаль к Γ, направленная в сторону Ω+, а через γ, ν, µ и C будем обозначать все
встречающиеся абсолютные константы либо константы, зависящие только от раз и навсегда
зафиксированных данных задачи. Функции u±0 (x) — начальные данные для нашей задачи,
а поверхность Γ — начальное положение свободной границы, которую мы также будем
называть границей раздела фаз.
Введем теперь функцию, параметризующую неизвестную поверхность раздела фаз в мо-
менты времени t > 0, как это сделано в [13]. Для этого, предполагая Γ достаточно гладкой
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
(точное требование сформулировано ниже), введем в достаточно малой окрестности N по-
верхности Γ координаты (ω, λ), где ω — локальные координаты на поверхности Γ, λ ∈ R,
|λ| 6 λ0, так что, если x ∈ N , то при фиксированном выборе локальных координат ω
единственным образом
x = xΓ(ω) + λ~n(ω) = x(ω, λ), |λ| 6 λ0, (7)
где xΓ(ω) ∈ Γ, а λ — отклонение точки x от поверхности Γ по нормали ~n к Γ, направленной,
напомним, внутрь Ω+.
Пусть ρ(x, t) — достаточно малая функция, определенная на ΓT = Γ × [0, T ], ρ(x, 0) ≡
≡ 0. Так как мы будем использовать локальные координаты ω на Γ, то каждым таким
локальным координатам ω и функции ρ(x, t) естественным образом соответствует функция
ρ(ω, t), за которой мы сохраняем то же самое обозначение ρ. Тогда параметризация
x = xΓ(ω) + ~n(ω)ρ(ω, t)
при каждом t ∈ [0, T ] задает некоторую поверхность Γρ(t), разделяющую область Ω на две
подобласти — Ω+
ρ и Ω−
ρ . Отметим, что эта поверхность не зависит от того или иного выбора
локальных координат ω, а определяется только значениями функции ρ(x, t) на поверхнос-
ти ΓT . Обозначим поверхность в ΩT ≡ Ω× [0, T ] через Γρ,T ≡
⋃
t∈[0,T ] Γρ(t)×{t}. Обозначим
также через Ω±
ρ,T те области, на которые поверхность Γρ,T разбивает область ΩT .
Пусть еще на поверхностях Γ±
T ≡ Γ± × [0, T ] заданы функции g±(x, t) такие, что
g+(x, t) > ν > 0 и g−(x, t) < −ν < 0 при (x, t) ∈ Γ±
T (8)
соответственно.
Рассмотрим задачу определения неизвестной функции ρ(ω, τ), определенной на ΓT , и
функций u±(y, τ), определенных в Ωρ,T из соотношений
L+
0 u
+(y, τ) ≡
∂u+(y, τ)
∂τ
−∆u+(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Ω+
ρ,T , (9)
L−
0 u
−(y, τ) ≡ −∆u+(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Ω−
ρ,T , (10)
u±(y, 0) = u±0 (y), y ∈ Ω±; ρ(ω, 0) = 0, ω ∈ Γ, (11)
u±(y, τ) = g±(y, τ), (y, τ) ∈ Γ±
T , (12)
u+(y, τ) = u−(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Γρ,T , (13)
∂u+(y, τ)
∂ντ
=
∂u−(y, τ)
∂ντ
, (y, τ) ∈ Γρ,T , (14)
где ντ — нормаль к Γρ(τ), направленная в сторону Ω+
ρ,T .
Нетрудно видеть, что в силу условий (13) и (14), а также в силу условий на g±(y, τ)
и принципа максимума задача (9)–(14) полностью эквивалентна задаче (1)–(3) для квази-
линейного уравнения (1) с определенной в (4) функцией c(u), причем функция u(y, τ) ≡
≡ u±(y, τ), (y, τ) ∈ Ω±
ρ,T , удовлетворяет уравнению (1) в классическом смысле (благодаря
непрерывности самой функции и ее градиента при переходе через поверхность раздела фаз).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 13
Определим теперь нужные нам пространства гладких функций. Для l > 0 нецелого
H l(Ω) ≡ C l(Ω) означает стандартное пространство функций u(x), непрерывных в Ω по
Гельдеру с показателем α = l− [l] вместе со своими частными производными до порядка [l]
включительно с нормой |u|
(l)
Ω
, H l,l/2(ΩT ) ≡ C l,l/2(ΩT ) — аналогичное пространство гладких
функций u(x, t) с гладкостью до порядка l по переменным x и с гладкостью до порядка l/2
по переменной t с нормой |u|
(l)
ΩT
(см. определение этих пространств, например, в [14]).
Для произвольной функции f(x, t) и для двух точек (x, t), (y, τ) обозначим
∆x,yf(x, t) = f(x, t)− f(y, t), ∆t,τf(x, t) = f(x, t)− f(x, τ) — (15)
разности от функции f(x, t) по переменным x и t соответственно. Следуя работе [15], введем
следующую полунорму для α, β ∈ (0, 1) и функции u(x, t):
[u]
(α,β)
ΩT
= sup
(x,t),(y,τ)∈ΩT
|u(x, t)− u(y, t)− u(x, τ) + u(y, τ)|
|x− y|α|t− τ |β
=
= sup
(x,t),(y,τ)∈ΩT
|∆t,τ∆x,yu(x, t)|
|x− y|α|t− τ |β
. (16)
Определим банахово пространство гладких функций C3+α;3/2,α(ΩT ) как пространство, в ко-
тором конечна норма (α ∈ (0, 1)):
|u|
(3+α;3/2,α)
ΩT
≡ |u|C3+α;3/2,α(ΩT ) ≡ |u|
(α)
ΩT
+
∑
|s|=1
|Ds
xu|
(2+α)
ΩT
+
∑
|s|=2
|Ds
xu|
(1+α)
ΩT
+
+
∑
|s|=3
|Ds
xu|
(α)
ΩT
+ |ut|
(α)
ΩT
+
∑
|s|=1
|Ds
xut|
(α)
ΩT
+ 〈ut〉
(1/2)
t,ΩT
+ [ut]
(α,1/2)
ΩT
, (17)
где
〈v〉
(γ)
t,ΩT
≡ sup
(x,t),(x,t)∈ΩT
|v(x, t)− v(x, t)|
|t− t|γ
, 〈v〉
(γ)
x,ΩT
≡ sup
(x,t),(x,t)∈ΩT
|v(x, t) − v(x, t)|
|x− x|γ
—
константы Гельдера от функции v(x, t) по переменным t и x соответственно. Мы используем
также обозначение
|v|
(0)
ΩT
= max
ΩT
|v(x, t)|.
Отметим, что пространство C3+α;3/2,α(ΩT ) шире пространства C3+α,(3+α)/2(ΩT ). Оно от-
личается от пространства C3+α,(3+α)/2(ΩT ) тем, что не содержит 〈ut〉
(1+α)/2
t,ΩT
с показателем
(1 + α)/2, а содержит только 〈ut〉
(1/2)
t,ΩT
с показателем 1/2, но вместо этого дополнительно
содержит [ut]
(α,1/2)
ΩT
(для функций из пространства C3+α,(3+α)/2(ΩT ) последняя полунорма
также конечна).
Аналогично, стандартным образом с использованием локальной параметризации опре-
деляются поверхности классов C l,l/2 и C3+α;3/2,α и соответствующие классы функций, опре-
деленных на этих поверхностях.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Относительно заданных функций в (9)–(14) мы, кроме условий (6) и (8), предполагаем
следующее.
Пусть α ∈ (0, 1) фиксировано. Поверхности Γ, Γ± и функции u±0 , g± принадлежат клас-
сам
Γ,Γ± ∈ C6+α, u±0 (y) ∈ C6+α(Ω
±
), g±(y, τ) ∈ C6+α(Γ±
T ). (18)
Кроме условий гладкости данных задачи, ввиду того, что мы хотим получить гладкое
решение, предполагаем выполненными стандартные условия согласования граничных и на-
чальных условий до первого порядка включительно при τ = 0, y ∈ Γ, Γ±. Опишем эти
условия.
Во-первых, должны выполняться условия согласования нулевого порядка:
u±(y, 0)|Γ± = u±0 (y)|Γ± = g±(y, 0), u±(y, 0)|Γ = u±0 (y)|Γ = 0. (19)
Заметим, далее, что из задачи (9)–(14) определяются начальные значения производных
по времени от функций u+, u− и ρ, которые мы обозначим соответственно
u(1)+(y) =
∂u+
∂τ
(y, 0), u(1)−(y) =
∂u−
∂τ
(y, 0), ρ(1)(y) =
∂ρ
∂τ
(y, 0).
Функция u(1)+(y) определяется из уравнения (9):
u(1)+(y) =
∂u+
∂τ
(y, 0) = ∆u+(y, 0) = ∆u+0 (y) ∈ C4+α(Ω
+
).
Эта функция должна удовлетворять условию на Γ+
u(1)+(y)|y∈Γ+ =
∂u+
∂τ
(y, 0)|y∈Γ+ =
∂g+
∂τ
(y, 0). (20)
Определим теперь функцию ρ(1)(x) = ρ(1)(ω). Из условия (13) следует, что при τ > 0
и при (y, τ) ∈ Γρ,T , т. е. при y = y(ω, τ) = y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), выполнено
u+(y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), τ) = 0.
Дифференцируя это равенство по τ при τ = 0, ввиду определения функций u(1)+ и ρ(1)(x),
получаем
∂u+0
∂~n
ρ(1)(x) + u(1)+(x) = 0, x ∈ Γ.
Отсюда
ρ(1)(x) = −
u(1)+(x)
∂u+0
∂~n
∈ C4(Γ). (21)
Рассмотрим функцию u(1)−(x). По условию задачи, функция u−(y, τ) при τ > 0 удов-
летворяет задаче
−△u−(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Ω−
ρ,T ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 15
u−(y, τ)|Γ−
T
= g−(y, τ), u−(y, τ)|Γρ,T
= 0. (22)
Дифференцируя первые два из этих соотношений по τ при τ = 0, причем понимая прои-
зводную от уравнения Лапласа в смысле распределений, получаем соотношения
−△u−τ (y, 0) = 0, y ∈ Ω−, (23)
u−τ (y, 0)|Γ− = g−τ (y, 0), (24)
где уравнение понимается в обобщенном смысле. Так как при (y, τ) ∈ Γρ,T выполнено y =
= y(ω, τ) = y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), то третье условие в (22) имеет вид
u−(y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), τ) = 0.
Дифференцируя это соотношение по τ , получаем
〈∇yu
−(y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), τ)ρτ (ω, τ), ~n(ω)〉 + u−τ (y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), τ) = 0. (25)
Полагая в этом соотношении τ = 0, имеем
u−τ (y, 0)|Γ = −
∂u−0 (y)
∂~n
ρτ (ω, 0) = −
∂u−0 (y)
∂~n
ρ(1)(ω). (26)
Таким образом, функция u(1)−(y) = u−τ (y, 0) однозначно определяется из задачи (23), (24),
(26), причем, ввиду наших предположений о гладкости данных задачи, u(1)−(y) ∈ C4+α(Ω
−
).
Приведем, наконец, еще одно условие согласования на поверхности Γ при τ = 0, которое
является необходимым следствием условия (14). Полагая в этом условии, как и выше, y =
= y(ω, τ) = y(ω) + ~n(ω)ρ(ω, τ), дифференцируя полученное соотношение по τ при τ =
= 0, используя условие (6) (благодаря которому сокращаются слагаемые с ∂ντ/∂τ ), ввиду
определения функций u(1)+, u(1)− и ρ(1), получаем
(
∂2u−0
∂~n2
−
∂2u+0
∂~n2
)
ρ(1)(x) +
(
∂u(1)−
∂~n
−
∂u(1)+
∂~n
)
≡ 0, x ∈ Γ. (27)
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 1. Пусть в задаче (9)–(14) выполнены условия (5), (6), (8), (18), (19), (20), (27).
Тогда для некоторого T > 0 задача (9)–(14) (а тем самым и задача (1)–(3)) имеет един-
ственное гладкое решение для τ ∈ [0, T ], причем
|ρ|
(3+α)
ΓT
+ |u+|
(3+α)
Ω
+
ρ,T
+ |u−|
(3+α;3/2,α)
Ω
−
ρ,T
6 C0(T ),
т. е., в частности, граница раздела фаз является гладкой поверхностью.
Доказательство этой теоремы базируется на методе, изложенном в [12].
Общая схема применяемого нами метода такова. С помощью некоторой описанной ниже
замены переменных, зависящей от неизвестной функции ρ, задача (9)–(14) сводится к задаче
в известных фиксированных областях для неизвестной тройки ψ = (u+, u−, ρ). При этом вся
задача может быть представлена в виде уравнения в некоторых банаховых пространствах
A(ψ) = F (28)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
с некоторым гладким по ψ нелинейным оператором A (точные определения будут даны
ниже). Далее определяется элемент ψ0 = (w+, w−, σ) как продолжение в область t > 0
начальных значений задачи (9)–(14) таким образом, что, кроме того, ∂w±/∂t = ∂u±/∂t,
∂σ/∂t = ∂ρ/∂t при t = 0. При этом, ввиду требований повышенной гладкости начальных
данных, элемент ψ0 является более гладким, чем произвольный элемент ψ из рассматри-
ваемого пространства. Затем уравнение (28) представляется в виде
A′(ψ0)ϕ = [F −A(ψ0)]− [A(ψ0 + ϕ)−A(ψ0)−A′(ψ0)ϕ] ≡ F0 +R(ϕ), (29)
где ϕ = ψ − ψ0, A
′(ψ0) — линейный оператор, представляющий собой производную Фреше
оператора A(ψ) в точке ψ0, т. е. главная линейная часть оператора A(ψ) в точке ψ0. Ввиду
повышенной гладкости элементов F и A(ψ0), а также ввиду гладкости оператора A(ψ) по ψ,
для правой части (29) при достаточно малых T и ϕ справедливы оценки (так как оператор
R(ϕ) содержит только “квадратичные” по ϕ слагаемые)
‖F0‖ 6 CT δ, ‖R(ϕ)‖ 6 C‖ϕ‖2, ‖R(ϕ2)−R(ϕ1)‖ 6 Cmax
i
‖ϕi‖‖ϕ2 − ϕ1‖. (30)
Далее нашей задачей будет показать, что линейный оператор A′(ψ0) имеет ограничен-
ный обратный и, следовательно, уравнение (29) может быть записано в виде
ϕ = [A′(ψ0)]
−1F0 + [A′(ψ0)]
−1R(ϕ) ≡ K(ϕ). (31)
В силу соотношений (30) легко проверить, что при достаточно малом T > 0 оператор K(ϕ)
в правой части последнего соотношения переводит достаточно малый шар Br = {ϕ : ‖ϕ‖ 6
6 r} в себя и является там сжимающим, т. е. имеет в Br единственную неподвижную точку,
что и дает решение уравнения (28), а тем самым и задачи (9)–(14).
1. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. – 183,
No 1. – P. 311–341.
2. Van Duyn C. J., Peletier L. A. Nonstationary filtration in partially saturated porous media // Arch. Ration.
Mech. Anal. – 1982. – 78, No 2. – P. 173–198.
3. Bertsch M., Hulshof J. Regularity results for an elliptic-parabolic free boundary problem // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1986. – 297, No 1. – P. 337–350.
4. Di Benedetto E., Gariepy R. Local behavior of solutions of an elliptic-parabolic equation // Arch. Ration.
Mech. Anal. – 1987. – 97, No 1. – P. 1–17.
5. Fasano A., Primicerio M. Nonstationary filtration in partially saturated porous media // J. Inst. Math.
Appl. – 1979. – 23, No 4. – P. 503–517.
6. Hulshof J. An elliptic-parabolic free boundary problem: continuity of the interface // Proc. Royal Soc.
Edinburgh. – 1987. – 106A, No 3. – P. 327–339.
7. Hulshof J., Peletier L. A. An elliptic-parabolic free boundary problem // Nonlinear Anal: Theory, Meth.
Appl. – 1986. – 10, No 12. – P. 1327–1346.
8. Van Duyn C. J. Nonstationary filtration in partially saturated porous media: continuity of the free boun-
dary // Arch. Ration. Mech. Anal. – 1982. – 79, No 3. – P. 261–265.
9. Gianni R., Mannucci P. A free boundary problem for a degenerate parabolic equation: Regularity of the
solution // Adv. Math. Sci. Appl. – 1999. – 9, No 1. – P. 557–569.
10. Chen X., Friedman A., Kimura T. Nonstationary filtration in partially saturated porous media // Eur.
J. Appl. Math. – 1994. – 5, No 3. – P. 405–429.
11. Mannucci P., Vazquez J. L. Viscosity solutions for elliptic-parabolic problem // Nonlinear Different. Equal.
Appl. – 2007. – 14, No 1–2. – P. 75–90.
12. Bazaliy B.V., Degtyarev S.P. Classical solutions of many-dimensional elliptic-parabolic free boundary
problems // Ibid. – 2009. – 16, No 4. – P. 421–443.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 17
13. Hanzawa E.-I. Classical solutions of the Stefan problem // Tohoku Math. J. – 1981. – 33. – P. 297–335.
14. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
15. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной
свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Cер. мат. – 1977. – 41, № 6. – P. 1388–1424.
Поступило в редакцию 26.04.2013Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
С.П. Дегтярьов
Про гладкий розв’язок квазiлiнiйного елiптико-параболiчного
рiвняння
Розглянуто задачу з невiдомою межею роздiлу областей параболiчностi та елiптичностi
квазiлiнiйного елiптико-параболiчного рiвняння. Ця задача моделює фiльтрацiю в частково
насиченому пористому середовищi. Локально за часом доведено iснування гладкого розв’язку
задачi, у тому числi гладкiсть невiдомої межi.
S. P. Degtyarev
On a smooth solution of a quasilinear elliptic-parabolic equation
We consider the free boundary problem with unknown boundary between the domains of ellipticity
and parabolicity of a quasilinear elliptic-parabolic equation. The problem models the filtration in a
partially saturated porous medium. We prove locally in time the existence of a smooth solution of
the problem including the smoothness of the free boundary.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
|