Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень

Одержано класифiкацiю орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдображень над C або R з точнiстю до топологiчної еквiвалентностi. Дано канонiчну форму матриць таких циклiв вiдносно топологiчної еквiвалентностi....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Рибалкіна, Т.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86706
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень / Т.В. Рибалкіна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 30–35. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86706
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-867062015-09-28T03:01:57Z Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень Рибалкіна, Т.В. Математика Одержано класифiкацiю орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдображень над C або R з точнiстю до топологiчної еквiвалентностi. Дано канонiчну форму матриць таких циклiв вiдносно топологiчної еквiвалентностi. Получена классификация ориентированных циклов линейных отображений над C или R с точностью до топологической эквивалентности. Дана каноническая форма матриц таких циклов относительно топологической эквивалентности. We classify the oriented cycles of linear mappings over C or R up to topological equivalence. We give a canonical form of the matrices of such cycles with respect to topological equivalence. 2013 Article Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень / Т.В. Рибалкіна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 30–35. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86706 515.126,515.127 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Рибалкіна, Т.В. Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень Доповіді НАН України
description	Одержано класифiкацiю орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдображень над C або R з точнiстю до топологiчної еквiвалентностi. Дано канонiчну форму матриць таких циклiв вiдносно топологiчної еквiвалентностi.
format	Article
author	Рибалкіна, Т.В.
author_facet	Рибалкіна, Т.В.
author_sort	Рибалкіна, Т.В.
title	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень
title_short	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень
title_full	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень
title_fullStr	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень
title_full_unstemmed	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень
title_sort	топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86706
citation_txt	Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень / Т.В. Рибалкіна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 30–35. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ribalkínatv topologíčnaekvívalentnístʹoríêntovanihciklívlíníjnihvídobraženʹ
first_indexed	2025-07-06T14:14:57Z
last_indexed	2025-07-06T14:14:57Z
_version_	1836907283973406720
fulltext	УДК 515.126,515.127 Т.В. Рибалкiна Топологiчна еквiвалентнiсть орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдображень (Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком) Одержано класифiкацiю орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдображень над C або R з точ- нiстю до топологiчної еквiвалентностi. Дано канонiчну форму матриць таких циклiв вiдносно топологiчної еквiвалентностi. Ми розглядаємо проблему топологiчної класифiкацiї орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдобра- жень. Нехай A : V1 ii At A1 // V2 A2 // . . . Vt−1 // At−2 At−1 // Vt (1) та B : W1 ii Bt B1 // W2 B2 // . . . Wt−1 // Bt−2 Bt−1 // Wt — (2) два орiєнтованих цикли лiнiйних вiдображень однакової довжини t над полем F. Будемо казати, що система бiєкцiй ϕ = {ϕi : Vi → Wi} t i=1 перетворює A в B, якщо всi квадрати в дiаграмi V1 ϕ1 �� kk At A1 // V2 ϕ2 �� A2 // . . . Vt−1 ϕt−1 �� // At−2 At−1 // Vt ϕt �� W1 kk Bt B1 // W2 B2 // . . . Wt−1 // Bt−2 Bt−1 // Wt комутативнi; тобто ϕ2A1 = B1ϕ1, . . . , ϕtAt−1 = Bt−1ϕt−1, ϕ1At = Btϕt. Означення 1. Нехай A та B — цикли лiнiйних вiдображень вигляду (1) та (2) над полем F. (i) A та B називають iзоморфними, якщо iснує система лiнiйних бiєкцiй, яка перетворює A в B. © Т.В. Рибалкiна, 2013 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12 (ii) A та B над F = C або R називають топологiчно еквiвалентними, якщо Vi = F mi , Wi = F ni для всiх i = 1, . . . , t, та iснує система гомеоморфiзмiв, що перетворює A в B. (Зауважимо, що згiдно з вступом в [1], m1 = n1, . . . ,mt = nt.) Прямою сумою циклiв A та B вигляду (1) та (2) називають цикл A⊕ B : V1 ⊕W1 jj At⊕Bt A1⊕B1 // V2 ⊕W2 A2⊕B2 // · · · At−1⊕Bt−1 // Vt ⊕Wt . Вектор dimA := (dimV1, . . . ,dimVt) називають розмiрнiстю циклу A. Цикл називають нерозкладним, якщо його розмiрнiсть ненульова та його не можна розкласти в пряму суму циклiв меншої розмiрностi. Цикл A називають невиродженим, якщо всi A1, . . . , At є бiєктивнi, та виродженим в iн- шому випадку. Кожен цикл A можна розкласти таким чином: A = Areg ⊕A1 ⊕ · · · ⊕ Ar, (3) де Areg — невироджений цикл та всi A1, . . . ,Ar — нерозкладнi виродженi цикли. Алгоритм побудови розкладу (3) неорiєнтованого циклу лiнiйних вiдображень над полем C з викорис- танням тiльки унiтарних перетворень був описаний в [2]. Нижченаведена теорема, яка була отримана разом з В.В. Сергейчуком, зводить проб- лему топологiчної класифiкацiї орiєнтованих циклiв лiнiйних вiдображень до проблеми то- пологiчної класифiкацiї лiнiйних операторiв. Теорема 1. (a) Нехай F = C або R i нехай A : F m1 ii At A1 // Fm2 A2 // · · · F mt−1// At−2 At−1 // Fmt (4) та B : F n1 ii Bt B1 // Fn2 B2 // · · · F nt−1// Bt−2 Bt−1 // Fnt (5) топологiчно еквiвалентнi. Нехай A = Areg ⊕A1 ⊕ · · · ⊕ Ar, B = Breg ⊕ B1 ⊕ · · · ⊕ Bs — їхнi розклади вигляду (3). Тодi невиродженi частини Areg та Breg топологiчно еквiва- лентнi, r = s i (пiсля перенумерацiї їхнiх нерозкладних вироджених доданкiв) Ai та Bi iзоморфнi для всiх i = 1, . . . , r. (b) Кожен невироджений цикл A вигляду (4) iзоморфний циклу A′ : F m1 ii At···A2A1 1 // Fm2 1 // · · · F mt−1// 1 1 // Fmt . ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 31 Якщо цикли (4) та (5) невиродженi, то вони топологiчно еквiвалентнi тодi i тiльки то- дi, коли лiнiйнi оператори At · · ·A2A1 та Bt · · ·B2B1 топологiчно еквiвалентнi (як цикли At · · ·A2A1 : F m1 → F m1 та Bt · · ·B2B1 : F n1 → F n1 довжини 1). Зауважимо, що топологiчна класифiкацiя пар зустрiчних лiнiйних вiдображень V1−→←−V2 (тобто орiєнтованих циклiв довжини 2) була отримана в [3]. 1. Орiєнтованi цикли лiнiйних вiдображень з точнiстю до iзоморфiзму. Побу- дуємо розклад (3) орiєнтованого циклу лiнiйних вiдображень над довiльним полем F. Класифiкацiя циклiв довжини 1, тобто лiнiйних операторiв V → V , випливає з теореми Фробенiуса (або Жордана, якщо поле F є алгебраїчно замкнене) про канонiчну форму мат- рицi вiдносно подiбностi. Орiєнтованi цикли довжини 2, тобто пари зустрiчних вiдображень V1−→←−V2, класифiкованi з точнiстю до iзоморфiзму в [4, 5]. Класифiкацiя циклiв довiльної довжини та з довiльним напрямком стрiлок добре вiдома в теорiї представлень сагайдакiв (див. [6, § 11]). Для кожного c ∈ Z будемо позначати через [c] натуральне число таке, що 1 6 [c] 6 t, [c] ≡ c mod t. Згiдно з теоремою Фробенiуса, для кожного нерозкладного виродженого циклу A : V → → V iснує базис e1, . . . , en простору V , в якому матриця вiдображення A буде виродженим жордановим блоком. Це означає, що базиснi вектори утворюють жордановий ланцюг e1 A −→ e2 A −→ e3 A −→ · · · A −→ en A −→ 0. Аналогiчно, кожен нерозкладний вироджений цикл A довiльної довжини t визначає ланцюг ep Ap −−→ ep+1 A[p+1] −−−−→ ep+2 A[p+2] −−−−→ · · · A[q−1] −−−−→ eq A[q] −−→ 0, де 1 6 p 6 q 6 t та для кожного l = 1, 2, . . . , t множина {ei \| i ≡ l mod t} є базисом прос- тору Vl (див. [6, § 11]). Будемо казати, що цей ланцюг закiнчується в V[q], якщо eq ∈ V[q]. Число q − p називають довжиною ланцюга. Лема 1. Нехай A : V1 ii At A1 // V2 A2 // · · · Vt−1 // At−2 At−1 // Vt — орiєнтований цикл лiнiйних вiдображень. Розглянемо його розклад (3). (a) Позначимо Âi : = A[i+t−1] · · ·A[i+1]Ai : Vi → Vi та зафiксуємо натуральне число z таке, що Ṽi := Âz i Vi = Âz+1 i Vi для всiх i = 1, . . . , t. Нехай Ã : Ṽ1 ii Ãt Ã1 // Ṽ2 Ã2 // · · · Ṽt−1 // Ãt−2 Ãt−1 // Ṽt — 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12 цикл, утворений обмеженнями Ãi : Ṽi → Ṽ[i+1] вiдображень Ai : Vi → V[i+1]. Тодi Areg = Ã (тобто невироджена частина однозначно визначається A). (b) Числа kij := dimKer(A[i+j] · · ·A[i+1]Ai), i = 1, . . . , t та j > 0, визначають виродженi доданки A1, . . . ,Ar розкладу (3) з точнiстю до iзоморфiзму, оскiль- ки кiлькiсть nlj (l = 1, . . . , t та j > 0) вироджених доданкiв, що визначають ланцюги довжини j, якi закiнчуються в просторi Vl, можна обчислити за формулою nlj = k[l−j],j − k[l−j],j−1 − k[l−j−1],j+1 + k[l−j−1],j, де ki,−1 := 0. 2. Класифiкацiя лiнiйних операторiв з точнiстю до топологiчної еквiвалент- ностi. У цьому пунктi встановлена класифiкацiя лiнiйних операторiв (тобто циклiв довжи- ни 1) F n → F n, F = C або R, з точнiстю до топологiчної еквiвалентностi. N.H. Kuiper та J.W. Robbin [7, 8] встановили критерiй топологiчної еквiвалентностi для лiнiйних операторiв над R, якi не мають власних чисел, що є коренями з 1. T. Budnitska [9] встановила канонiчну форму вiдносно топологiчної еквiвалентностi для лiнiйного оператора над C та R, який не має власних чисел, що є коренями з 1. Для кожного λ ∈ C визначимо n × n жордановий блок Jn(λ) :=   λ 0 1 λ . . . . . . 0 1 λ   . (6) Якщо кожен елемент n × n комплексної матрицi A = [akl + bkli], akl, bkl ∈ R, замiнити на комплексно спряжений, то отримаємо матрицю A = [akl − bkli]. Якщо кожен елемент akl + bkli матрицi A замiнити на дiйсний блок akl + bkli 7−→ akl −bkl bkl akl, (7) то отримаємо 2n × 2n дiйсну матрицю, яку позначатимемо AR. Кожна квадратна матриця A над F = R або C подiбна A0 ⊕A01 ⊕A1 ⊕A1∞, (8) де всi власнi числа λ матрицi A0 (вiдповiдно, A01, A1 та A1∞) задовольняють умову λ = 0 (вiдповiдно, 0 < \|λ\| < 1, \|λ\| = 1 та \|λ\| > 1). Класифiкацiю лiнiйних операторiв, якi не мають власних чисел, що є коренями з 1, дає нижченаведена теорема, яка доведена в [9]; ї ї частину (a) у випадку F = R довели N.H. Kuiper та J.W. Robbin [7, 8]. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 33 Теорема 2 [7, 8, 9]. (a) Нехай f(x) = Ax та g(x) = Bx — лiнiйнi оператори над F = R або C, якi не мають власних чисел, що є коренями з 1; нехай матрицi A0, . . . , A1∞ та B0, . . . , B1∞ визначенi через A та B як у (8). (i) Якщо F = R, то f та g топологiчно еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли A0 подiбна B0, A1 подiбна B1 розмiр A01 = розмiр B01, det(A01B01) > 0, розмiр A1∞ = розмiр B1∞, det(A1∞B1∞) > 0. (ii) Якщо F = C, то f та g топологiчно еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли A0 подiбна B0, A1 ⊕A1 подiбна B1 ⊕B1, розмiр A01 = розмiр B01, розмiр A1∞ = розмiр B1∞. (b) Кожен лiнiйний оператор над F = R або C, який не має власних чисел, що є ко- ренями з 1, топологiчно еквiвалентний з лiнiйним оператором, матриця якого є прямою сумою, однозначно визначеною з точнiстю до перестановки доданкiв, що складається з: (i) у випадку F = R: довiльного числа доданкiв Jk(0), [1/2], Jk(λ) R, [2] ([1/2] та [2] — це 1×1 матрицi з елементами 1/2 та 2) , де λ — комплексне число, модуль якого дорiвнює 1, що визначене з точнiстю до замiни на комплексно спряжене λ та не є коренем з 1, Jk(λ) R визначена в (6) та (7), не бiльше одного доданка [−1/2], не бiльше одного доданка [−2]; (ii) у випадку F = C: Jk(0), [1/2], Jk(λ), [2], де λ — комплексне число, модуль якого дорiвнює 1, що визначене з точнiстю до замiни на комплексно спряжене λ та не є коренем з 1. Зауважимо, що проблему топологiчної класифiкацiї лiнiйних операторiв, якi мають власнi числа, що є коренями з 1, частково вирiшили N.H. Kuiper та J.W. Robbin [7, 8], S. E. Cappell та I. L. Shaneson [10–13], W.C. Hsiang та W. Pardon [14] та iн. 1. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1941. – 165 p. 2. Sergeichuk V.V. Computation of canonical matrices for chains and cycles of linear mappings // Linear Algebra Appl. – 2004. – 376. – P. 235–263. 3. Рибалкiна Т. Топологiчна класифiкацiя пар зустрiчних лiнiйних вiдображень // Мат. студiї. – 2013. – 39, № 1. – С. 21–28. 4. Добровольская Н.М., Пономарев В.А. Пара встречных операторов // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 6. – С. 81–86. 5. Horn R.A., Merino D. I. Contragredient equivalence: a canonical form and some applications // Linear Algebra Appl. – 1995. – 214. – P. 43–92. 6. Габриэль П., Ройтер А.В. Представления конечномерных алгебр. – Москва: ВИНИТИ, 2003. – 224 с. 7. Robbin J.W. Topological conjugacy and structural stability for discrete dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. – 1972. – 78. – P. 923–952. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12 8. Kuiper N.H., Robbin J.W. Topological classification of linear endomorphisms // Invent. Math. – 1973. – 19, No 2. – P. 83–106. 9. Budnitska T. Topological classification of affine operators on unitary and Euclidean spaces // Linear Algebra Appl. – 2011. – 434. – P. 582–592. 10. Cappell S. E., Shaneson J. L. Linear algebra and topology // Bull. Amer. Math. Soc., New Series 1. – 1979. – P. 685–687. 11. Cappell S. E., Shaneson J. L. Nonlinear similarity of matrices // Ibid. – 1979. – P. 899–902. 12. Cappell S. E., Shaneson J. L., Steinberger M., West J. E. Nonlinear similarity begins in dimension six // Amer. J. Math. – 1989. – 111. – P. 717–752. 13. Cappell S. E., Shaneson J. L. Non-linear similarity and linear similarity are equivariant below dimension 6 // Contemp. Math. – 1999. – 231. – P. 59–66. 14. Hsiang W.C., Pardon W. When are topologically equivalent orthogonal transformations linearly equi- valent // Invent. Math. – 1982. – 68, No 2. – P. 275–316. Надiйшло до редакцiї 05.07.2013Iнститут математики НАН України, Київ Т. В. Рыбалкина Топологическая эквивалентность ориентированных циклов линейных отображений Получена классификация ориентированных циклов линейных отображений над C или R с точностью до топологической эквивалентности. Дана каноническая форма матриц та- ких циклов относительно топологической эквивалентности. T.V. Rybalkina Topological equivalence of the oriented cycles of linear mappings We classify the oriented cycles of linear mappings over C or R up to topological equivalence. We give a canonical form of the matrices of such cycles with respect to topological equivalence. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 35

Топологічна еквівалентність орієнтованих циклів лінійних відображень

Репозитарії

Схожі ресурси