Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии
Сформулирована математическая задача плоскорадиального фильтрования суспензии через пористую загрузку с высокой адгезионной способностью. Получено ее приближенное решение, которое практически совпало с частными строгими. На типичных примерах установлено, что указанный способ фильтрования в сравнени...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86710 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии / В.Л. Поляков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 59–66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86710 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-867102015-09-28T03:01:59Z Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии Поляков, В.Л. Механіка Сформулирована математическая задача плоскорадиального фильтрования суспензии через пористую загрузку с высокой адгезионной способностью. Получено ее приближенное решение, которое практически совпало с частными строгими. На типичных примерах установлено, что указанный способ фильтрования в сравнении с вертикальным позволяет в несколько раз увеличить длительность фильтроцикла. Сформульовано математичну задачу плоскорадiального фiльтрування суспензiї крiзь пористе завантаження з високою адгезiйною здатнiстю. Одержано її наближений розв’язок, який практично збiгся з частинними строгими. На типових прикладах встановлено, що вказаний спосiб фiльтрування порiвнянно з вертикальним дозволяє в кiлька разiв збiльшити тривалiсть фiльтроциклу. The mathematical problem of the planar radial filtration of a suspension through a porous filter medium with high sorption ability is posed. Its approximate solution, which is in substantial agreement with particular exact solutions, is obtained. It has been established on characteristic examples that the planar radial ffiltration in comparison with the vertical one allows one to increase the run time by several times. 2013 Article Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии / В.Л. Поляков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 59–66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86710 542.67.+628.16 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Поляков, В.Л. Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии Доповіді НАН України |
| description |
Сформулирована математическая задача плоскорадиального фильтрования суспензии
через пористую загрузку с высокой адгезионной способностью. Получено ее приближенное решение, которое практически совпало с частными строгими. На типичных примерах установлено, что указанный способ фильтрования в сравнении с вертикальным
позволяет в несколько раз увеличить длительность фильтроцикла. |
| format |
Article |
| author |
Поляков, В.Л. |
| author_facet |
Поляков, В.Л. |
| author_sort |
Поляков, В.Л. |
| title |
Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_short |
Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_full |
Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_fullStr |
Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_full_unstemmed |
Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии |
| title_sort |
теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86710 |
| citation_txt |
Теоретический анализ плоскорадиального фильтрования суспензии / В.Л. Поляков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 59–66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT polâkovvl teoretičeskijanalizploskoradialʹnogofilʹtrovaniâsuspenzii |
| first_indexed |
2025-07-06T14:15:10Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:15:10Z |
| _version_ |
1836907298090385408 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2013
МЕХАНIКА
УДК 542.67.+628.16
В.Л. Поляков
Теоретический анализ плоскорадиального
фильтрования суспензии
(Представлено академиком НАН Украины В. Т. Гринченко)
Сформулирована математическая задача плоскорадиального фильтрования суспензии
через пористую загрузку с высокой адгезионной способностью. Получено ее приближен-
ное решение, которое практически совпало с частными строгими. На типичных при-
мерах установлено, что указанный способ фильтрования в сравнении с вертикальным
позволяет в несколько раз увеличить длительность фильтроцикла.
В современных технологиях водоочистки фильтрование суспензий вследствие своей боль-
шой стоимости, как правило, осуществляется на их заключительном этапе. При традицион-
ном вертикальном течении суспензии через слой специального пористого (зернистого) ма-
териала, обладающего высокой адгезионной способностью, осветлительный ресурс водоочи-
стных фильтров обычно используется очень нерационально. Для интенсификации фильтро-
вания предварительно вносятся химические реагенты, применяются слоистые загрузки, по-
верхность материала модифицируется и пр. [1–3]. Таким образом удается заметно повысить
эффективность фильтровальных установок, но вместе с тем возрастают эксплуатационные
затраты, в фильтрате появляются вредные для здоровья человека химические соединения.
Избежать нежелательных последствий от принимаемых для улучшения работы фильтра
мер и при этом существенно продлить время непрерывного разделения суспензии (дли-
тельность фильтроцикла) позволяет проведение плоскорадиального фильтрования [4, 5].
Ранее предпринимались немногочисленные попытки его изучения экспериментальными,
теоретическими (численными) методами [6–8]. На основании данных технико-экономиче-
ского анализа плоскорадиального безнапорного фильтрования показано, что оно намного
выгоднее вертикального [9]. Тем не менее в настоящее время подобный способ фильтрова-
ния не практикуется, что, прежде всего, объясняется отсутствием его надежного научного
обоснования. Цель данной работы как раз и состоит в том, чтобы на основе накопленных
знаний о закономерностях массопереноса и массообмена в хорошо сорбирующих (в обобщен-
ном смысле) пористых средах, а также результатов математического моделирования плос-
корадиального фильтрования выявить его достоинства и дать им количественную оценку.
© В. Л. Поляков, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 59
Рис. 1. Схема плоскорадиального фильтрования суспензии (подача воды извне)
Плоскорадиальное фильтрование реализуется в загрузке, имеющей форму цилиндричес-
кого слоя (рис. 1). Ее вертикальное положение дает возможность наращивать производи-
тельность фильтра (путем увеличения высоты) Lf без изменения занимаемой им площади
и удельного расхода воды. При этом осесимметричный горизонтальный фильтрационный
поток может формироваться на внешней (r = r0) или внутренней (r = re) цилиндричес-
ких поверхностях. Благодаря ряду общепринятых и тщательно апробированных в теории
фильтрования допущений, как-то определяющая роль в массопереносе конвективного ме-
ханизма, линейность кинетики массообмена, постоянство расхода суспензии и пр., базовая
математическая модель окончательно формулируется следующим образом:
V (r)
∂C
∂r
−
∂S
∂t
= 0, (1)
∂S
∂t
= αV V
l(r)C − βV V
q(r)S, (2)
V (r) = k(S)
∂h
∂r
, (3)
k(S) = k0
[
1−
(
γ
S
n0
)m1
]m2
, (4)
r = r0, C = C0, r = re, h = Hd, (5)
t = 0, S = 0. (6)
Здесь V — переменная в радиальном направлении скорость фильтрования; C, S — объемные
концентрации взвешенных и осажденных частиц суспензии; h — пьезометрический напор;
αV , βV — приведенные коэффициенты скоростей прилипания и отрыва указанных частиц;
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
k, k0 — коэффициенты фильтрации заиляемой и чистой загрузки; γ — соотношение между
объемными концентрациями осадка и содержащихся в нем частиц примеси; n0 — пористость
чистой загрузки; C0 — исходная объемная концентрация взвеси; Hd — напор на выходе из
загрузки; l1, l2, m1, m2 — эмпирические коэффициенты; вода поступает извне.
Количество модельных параметров существенно сокращается путем введения безраз-
мерных переменных и коэффициентов: V = V/V0, V0 = Qf/(2πr0), Qf — производитель-
ность фильтра, отнесенная к высоте загрузки; C = C/C0, S = S/(n0C0), r = r/r0, t =
= V0t/(n0r0), αV = r0V
l−1
0 αV , βV = n0r0V
q−1
0 βV , k = k/k0, γ = γC0, re = re/r0, а также
приведенного напора
h̃(r, t) =
h(r, t) −Hd
h(r0, 0)−Hd
=
k0
r0V0
[h(r, t) −Hd].
После несложных преобразований исходная математическая модель принимает вид
V (r)
∂C
∂r
−
∂S
∂t
= 0, (7)
∂S
∂t
= αV V
l(r)C − βV V
q(r)S, (8)
V (r) = −k(S) ln re
∂h̃
∂r
, (9)
k(S) = [1− (γS)m1 ]m2 , (10)
r = 1, C = 1, r = re, h̃ = 0, (11)
t = 0, S = 0. (12)
Фактически исходная модель состоит из двух взаимосвязанных блоков — осветлитель-
ного и фильтрационного. Первый блок включает уравнения (7), (8) и условия (11), (12)
и при постоянных Qf , V0 может рассматриваться независимо от второго. По аналогии с ра-
ботами [10, 11], для построения приближенного решения поставленной задачи достаточно
в уравнении (8) выполнить осреднение функции концентрации осажденных частиц (интен-
сивности их отрыва) по времени в пределах расчетного периода (от 0 до T). Таким образом,
в задачу вводятся параметр T и осредненная характеристика
Sc(r; T) =
1
T
T∫
0
S(r, t) dt,
через которые выражается вторая искомая характеристика
C(r; T) = e−µ(r)
[
1 + βV
1∫
r
eµ(η)V q−1(η) · Sc(η; T) dη
]
, (13)
где µ(r) = αV
1∫
r
V l−1(ξ) dξ. После ряда преобразований осветлительный блок сводится к за-
даче
dy
dr
+ βV U(r,T)y + U(r,T) = 0, (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 61
r = 1, y = 0, (15)
в которой y =
1∫
r
eµ(η)V q−1(η)Sc(η; T) dη,
U(r; T) =
αV TV
l+q−1
2 + βV TV
q(r)
.
Решение задачи (14), (15) имеет вид
y(r; T) =
1
βV
[
exp
(
βV
1∫
r
U(ξ; T) dξ
)
− 1
]
. (16)
Интегрирование уравнения (8), в котором описывающее явление отрыва осадка слагае-
мое осреднено по времени, при начальном условии (12) с учетом (16) дает
S(r,T) =
2αV tV
l(r)
2 + βV tV
q(r)
exp
(
−2αV
1∫
r
V l−1(ξ) dξ
2 + βV tV
q(ξ)
)
. (17)
Общее выражение для концентрации C получено путем подстановки (17) в уравнение (7)
и в итоге
C(r,T) = 2 exp
(
−2αV
1∫
r
V l−1(ξ) dξ
2 + βV tV
q(ξ)
)
− exp
(
−αV
1∫
r
V l−1(ξ) dξ
)
. (18)
При плоскорадиальном фильтровании с постоянным удельным расходом Qf скорость
фильтрования в размерной и безразмерной формах будет следующей:
V =
Qf
2πr
, V =
1
r
. (19)
Тогда изменение относительной выходной концентрации взвеси Ce со временем описывается
зависимостью
Ce(t) = 2 exp
(
−2αV
1∫
re
ξq+1−l
2ξq + βV t
dξ
)
− exp
αV r
2−l
e − αV
2− l
. (20)
При известном распределении осадка в слое загрузки интегрированием уравнения (9) при
условии (11) легко выводится выражение для приведенного напора
h̃(r, t) = −
1
ln re
r∫
re
V (ξ)dξ
{1− [γS(ξ, t)]m1}m2
. (21)
Полные относительные потери напора в загрузке ∆h на момент времени t, таким образом,
равны h̃(1, t).
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Добиться максимальной отдачи от фильтра позволяет своевременное прекращение
фильтрования с последующей промывкой его частично заиленной загрузки. Соответст-
вующий этому момент времени tf устанавливается, исходя из двух критериев [12]. Пер-
вый и основной контролирует качество осветления суспензии, так что концентрация взве-
си в фильтрате не должна превышать нормативное значение C∗. Относительное время tp
увеличения выходной концентрации Ce до C∗ или, другими словами, время защитного дей-
ствия загрузки в общем случае следует находить подбором из уравнения
exp
(
−2αV
1∫
re
V l+q−1(ξ)
2 + βV tpV
q(ξ)
dξ
)
= C∗ + exp
(
−αV
1∫
re
V l−1(ξ) dξ
)
. (22)
Чрезмерный рост потерь напора в загрузке ведет к снижению производительности
фильтра. Выполнение второго критерия, согласно которому указанные потери ограничи-
ваются предельно допустимым значением ∆h∗, гарантируют стабильность работы фильтра.
Относительный момент времени th, когда фактические потери достигают ∆h∗, предлагает-
ся вычислять из уравнения
1∫
re
V (ξ) dξ
{1− [γS(ξ, th)]
m1}m2
+∆h∗ ln re = 0. (23)
Поскольку оба критерия должны соблюдаться одновременно, то важнейший технологичес-
кий параметр tf при ранее определенных характерных временах tp, th отождествляется
с меньшим из них, т. е.
tf = min(tp, th). (24)
Так как полученное выше решение не является строгим, то особое значение приобретает
вопрос о правомочности его использования при изучении закономерностей и в инженерных
расчетах плоскорадиального фильтрования. Эталонами при установлении вычислительных
погрешностей в связи с частичным осреднением уравнения кинетики массообмена могут
служить два ранее построенных точных частных решения для строго определенных значе-
ний показателей l, q [8]. Так, в случае независимости массообменных процессов от скорости
фильтрования (l = q = 0) соответствующее решение выражается зависимостями
Ce(t) = e−0,5αV (1−r2e)
[
e−βV tI0(
√
2αV βV t(1− r2e)
)
+
+ βV
t∫
0
e−βV λI0
(√
2αV βV λ(1− r2e)
)
dλ
]
, (25)
S(r, t) = αV e
−0,5αV (1−r2)
t∫
0
e−βV λI0
(√
2αV βV λ(1− r2e)
)
dλ, (26)
h̃(r, t) =
1
ln re
r∫
1
dξ
[1− γm1Sm1(ξ, t)]m2
. (27)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 63
Рис. 2. Рост относительной выходной объемной концентрации взвеси со временем: 1, 3, 5 — точный расчет;
2, 4, 6 — приближенный
Плоскорадиальное фильтрование анализировалось на целом ряде примеров с исходными
данными, отражающими разнообразие физико-химических свойств загрузки и суспензии.
При этом, во-первых, оценивалась точность построенного приближенного решения, во-вто-
рых, демонстрировались серьезные преимущества нетрадиционного фильтрования в тех-
нологическом отношении. Во всех примерах были зафиксированы значения βV (0, 005)
и re(0, 333), основной массообменный коэффициент (αV ) варьировался дискретно или не-
прерывно.
В первой серии выбранные значения αV характерны для фильтрующего материала
с низкой (6), умеренной (8) и высокой (10) сорбционной способностью. Характеристика
качества фильтрата Ce(t) находилась по эталонной формуле (25) и вытекающей из (20)
формуле
Ce(t) = 2 exp
[
−
αV (1− r2e)
2 + βV t
]
− exp
αV r
2
e − αV
2
. (28)
Данные расчетов представлены на рис. 2 и свидетельствуют о минимальном расхождении
точных и приближенных кривых только при t > 200, Ce > 0,15. Подобные значения t,
Ce отвечают нерабочей ситуации, когда фильтр уже не способен обеспечивать требуемую
степень очистки воды. В пределах же фильтроцикла оба решения дают практически одина-
ковые результаты. Такая же картина наблюдалась и при сравнении приближенного решения
со вторым строгим. Все это дает основание считать первое надежным инструментом для
прогноза осветления суспензии плоскорадиальным фильтрованием.
Для оптимизации наиболее ответственного звена в технологических схемах водоочистки
особенно важен правильный выбор способа фильтрования. С экономической точки зрения
предпочтительнее способ, обеспечивающий наибольшую длительность фильтроцикла. По-
этому расчеты относительного времени tf выполнялись параллельно для нетрадиционного
плоскорадиального и традиционного вертикального фильтрования. Сравнительный анализ
проводился с привлечением приближенных уравнений (22), (23), а также их аналогов, выве-
денных сходным образом и апробированных в работе [11] для нисходящего фильтрования
с постоянной скоростью. Объектами анализа стали загрузки двух типов. Первая загрузка
имеет форму куба со стороной 1 м, вторая — форму цилиндрического слоя также высо-
той Lf = 1 м с внутренним радиусом re = 0,2 м. Для корректности сравнения подобраны
одинаковые экономические показатели — единые объемы дорогостоящего сорбирующего
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Рис. 3. Зависимость tf (αV ): 1, 2 — l = 0,7; 3, 4 — l = −0,3; 1, 4 — вертикальное фильрование; 2, 3 —
плоскорадиальное
материала, так что r0 = 0,6 м, re = 0,333, и производительности фильтров (Qf = 10 м3/ч).
Принципиальное значение имеет выбор в выражениях для массообменных коэффициен-
тов показателей степени. Ввиду слабой изученности процесса отрыва осадка, как правило,
в теоретических разработках принимается q = 1. Эмпирические значения l в литературе
значительно разнятся. Опытами установлено, что фильтрационное течение может и усили-
вать, и ослаблять прилипание частиц суспензии [13, 14], а поэтому показатель l соответст-
венно оказывается положительным или отрицательным. Во второй серии примеров взяты
два его характерных значения (0,7 и −0,3), а также широкий диапазон значений для αV .
В первую очередь вычислялись времена tp и th, а затем tf согласно (23). Кривые зависимо-
сти tf (αV ) для двух способов фильтрования и указанных значений l изображены на рис. 3
и позволяют сделать следующие важные выводы. При низкой адгезионной способности за-
грузки (αV < 6) предпочтительнее обычное вертикальное фильтрование. Однако в таком
случае подобное разделение суспензии вообще малоэффективно. При умеренной и высокой
адгезионной способности загрузки (αV > 7) плоскорадиальное фильтрование существенно
улучшает работу фильтра, в частности, длительность фильтроцикла увеличится примерно
в три раза.
Итак, при плоскорадиальном фильтровании суспензии вследствие неравномерности
фильтрационного течения и зависимости массообмена от его скорости часто рост затрат
механической энергии на преодоление гидравлического сопротивления заиленной загрузки
существенно замедляется. Таким образом, становится реальным продление непрерывной
продуктивной работы водоочистных фильтров в несколько раз. Поэтому применение ради-
альных фильтров при условии углубленного экспериментального и теоретического изучения
физико-химических процессов в них имеет большие перспективы.
1. Гироль Н.Н., Журба М.Г., Семчук Г.М., Якимчук Б.Н. Доочистка сточных вод на зернистых фильт-
рах. – Ровно: СП ООО “Типография” Левобережная, 1998. – 92 с.
2. Шевчук Е.А., Мамченко А. В., Гончарук В.В. Технология прямоточного фильтрования природных
и сточных вод через зернистые загрузки // Химия и технология воды. – 2005. – 27, № 4. – С. 369–384.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 65
3. Benkli Y. E., Can M.F., Turan M., Celik M. S. Modification of organo-zeolite surface for the removal of
reactive azo dyes in fixed-bed reactors // Water Res. – 2005. – 39. – P. 487–493.
4. Грабовский П.А., Ларкина Г.М., Прогульный В.И. Промывка водоочистных фильтров. Дренаж,
отвод промывной воды. – Одесса: Оптимум, 2012. – 240 с.
5. Орлов В.О. Водоочиснi фiльтри iз зернистою засипкою. – Рiвне: НУВГП, 2005. – 163 с.
6. Дзюбо В. В., Алферова Л.И. Фильтрование природных вод в режиме неравномерных скоростей //
Вестн. ТГАСУ. – 2007. – № 2. – С. 180–190.
7. Жужиков В.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензии. – Москва: Химия, 1980. –
400 с.
8. Поляков В.Л. О теоретическом обосновании интенсификации осветления суспензий безреагентным
фильтрованием при постоянной гидравлической нагрузке // Вiсн. НУВГП. – 2013. – Вип. 3(63). –
С. 42–49.
9. Войтов Е.Л. Доочистка биологически очищенных городских сточных вод на радиальных фильтрах. –
Автореф. дис. . . . канд. техн. наук (05.23.04). – Новосибирск, 1974. – 27 с.
10. Поляков В.Л. Инженерный расчет фильтрования суспензии через двухслойную загрузку при линей-
ной кинетике массообмена // Химия и технология воды. – 2011. – 33, № 4. – С. 367–380.
11. Поляков В.Л. О прогнозе потерь напора в загрузке фильтра // Доп. НАН України. – 2010. – № 3. –
С. 70–76.
12. Поляков В.Л. Теоретический анализ длительности фильтроцикла // Химия и технология воды. –
2009. – 31, № 6. – С. 605–618.
13. Минц Д.М. Теоретические основы технологии очистки воды. – Москва: Стройиздат, 1964. – 155 с.
14. Ison C.R., Ives K. J. – Removal mechanism in deep bed filtration // Chem. Engng. Sci. – 1969. – 21. –
P. 337–350.
Поступило в редакцию 24.04.2013Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
В.Л. Поляков
Теоретичний аналiз плоскорадiального фiльтрування суспензiї
Сформульовано математичну задачу плоскорадiального фiльтрування суспензiї крiзь по-
ристе завантаження з високою адгезiйною здатнiстю. Одержано її наближений розв’язок,
який практично збiгся з частинними строгими. На типових прикладах встановлено, що
вказаний спосiб фiльтрування порiвнянно з вертикальним дозволяє в кiлька разiв збiльшити
тривалiсть фiльтроциклу.
V.L. Polyakov
Theoretical analysis of the planar radial filtration of a suspension
The mathematical problem of the planar radial filtration of a suspension through a porous fil-
ter medium with high sorption ability is posed. Its approximate solution, which is in substantial
agreement with particular exact solutions, is obtained. It has been established on characteristic
examples that the planar radial ffiltration in comparison with the vertical one allows one to increase
the run time by several times.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
|