Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования

Исследуется потенциально-вихревое течение со свободной границей. Эта задача имеет вариационную природу и эквивалентна проблеме минимума интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования. Доказано существование классического решения в нелинейной краевой задаче....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Шевченко, А.И., Миненко, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Інформатика та кібернетика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86787
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 43–46. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86787
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-867872015-10-02T03:02:14Z Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Інформатика та кібернетика Исследуется потенциально-вихревое течение со свободной границей. Эта задача имеет вариационную природу и эквивалентна проблеме минимума интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования. Доказано существование классического решения в нелинейной краевой задаче. Дослiджується потенцiально-вихрова течiя з вiльною межею. Ця задача має варiацiйну природу та еквiвалентна проблемi мiнiмуму iнтегрального функцiонала з невiдомою областю iнтегрування. Доведено iснування класичного розв′язку в нелiнiйнiй граничнiй задачi. The potential-rotational current with free boundary is investigated. This variational task is equivalent to the problem of the minimum of an integral functional with a variable domain. The existence of the classical solution of a nonlinear boundary-value problem is proved. 2014 Article Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 43–46. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86787 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования Доповіді НАН України
description	Исследуется потенциально-вихревое течение со свободной границей. Эта задача имеет вариационную природу и эквивалентна проблеме минимума интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования. Доказано существование классического решения в нелинейной краевой задаче.
format	Article
author	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_facet	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_sort	Шевченко, А.И.
title	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования
title_short	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования
title_full	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования
title_fullStr	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования
title_full_unstemmed	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования
title_sort	об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86787
citation_txt	Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 43–46. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ševčenkoai obodnomklasseintegralʹnyhfunkcionalovsneizvestnojoblastʹûintegrirovaniâ AT minenkoas obodnomklasseintegralʹnyhfunkcionalovsneizvestnojoblastʹûintegrirovaniâ
first_indexed	2025-07-06T14:19:35Z
last_indexed	2025-07-06T14:19:35Z
_version_	1836907575423008768
fulltext	УДК 517.9 Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования Исследуется потенциально-вихревое течение со свободной границей. Эта задача имеет вариационную природу и эквивалентна проблеме минимума интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования. Доказано существование классического реше- ния в нелинейной краевой задаче. Постановка задачи. Обозначим через D область, ограниченную снизу отрезком A = (0 6 6 x 6 a, y = 0), сверху — кривой P : y = g(x), 0 6 x 6 a, где g(0) = b1, g(a) = b2, b1 6 b2, а g(x) — аналитическая, монотонно возрастающая функция при x ∈ [0, a], причем g′(0) = 0, g′(a) = 0. Боковую часть границы области D, состоящую из вертикалей, обозначим через Q1 = (x = 0, 0 6 y 6 b1) и Q2 = (x = a, 0 6 y 6 b2). Пусть γ — жорданова дуга в D, концы которой лежат на вертикалях Q1 и Q2, причем все точки γ, включая и концы, рас- положены ниже кривой P . Кривая γ разбивает область D на две односвязные области Gγ : находящуюся выше γ и Ωγ . Такие дуги γ будем называть допустимыми. Концы γ разбивают вертикали Q1 и Q2 на два открытых множества: R1 — боковую часть границы области Gγ и R2 — боковую часть границы области Ωγ . Рассматривается задача. Требуется определить функции тока ψ1(x, y), ψ2(x, y) и сво- бодную границу γ по следующим условиям: ∆ψ1 = ω, (x, y) ∈ Gγ , (1) ψ1x = 0, (x, y) ∈ R1; ψ1 = C, (x, y) ∈ P ; ψ2 = 1, (x, y) ∈ γ; (2) ∆ψ2 = 0, (x, y) ∈ Ωγ , (3) ψ2x = 0, (x, y) ∈ R2; ψ2 = 0, (x, y) ∈ A; ψ2 = 1, (x, y) ∈ γ, (4) \|∇ψ1\| = \|∇ψ2\|, (x, y) ∈ γ, (5) здесь ω = const > 0, а C = const > 1. Ранее в работах [1] и [2] отдельно изучались слу- чаи потенциального и вихревого течения, когда на свободной границе задавалось условие Бернулли в виде неравенства. Вариационная постановка задачи. Рассмотрим функционал Y (ψ1, ψ2, γ) = ∫∫ Gγ [\|∇ψ1\| 2 + 2ω(ψ1 − 1)] dxdy + ∫∫ Ωγ \|∇ψ2\| 2dxdy (6) на множестве U допустимых троек (ψ1, ψ2, γ), обладающих следующими свойствами: γ — допустимая дуга; функция ψ1(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Gγ , не- прерывно дифференцируема в Gγ , равна единице на γ и постоянной C при (x, y) ∈ P ; функция ψ2(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Ωγ , непрерывно диффе- ренцируема в Ωγ , равна единице на γ и нулю при (x, y) ∈ A, причем Y (ψ1, ψ2, γ) < ∞. © А.И. Шевченко, А.С. Миненко, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 43 Лемма. Пусть тройка (ψ1, ψ2, γ) является классическим решением задачи (1)–(5). Тогда эта тройка будет стационарной для функционала (6) на множестве U . Обратно, каждая стационарная тройка (ψ1, ψ2, γ) функционала (6) на множестве U , где γ — дос- таточно гладкая кривая, является решением задачи (1)–(5). Лемма позволяет свести разрешимость нелинейной задачи (1)–(5) к проблеме минимума функционала (6) на множестве U . Теорема существования. Пусть d — точная нижняя грань функционала (6) на мно- жестве U и (ψ1n, ψ2n, Gn,Ωn) — минимизирующая последовательность. Можно считать, что Gn и Ωn, имеющие свободную границу γn, которые задаются уравнениями вида xn = xn(t), yn = yn(t), 0 6 t 6 T , а в качестве функций ψ1n и ψ2n берутся решения задач (1), (2) и (3), (4) соответственно в областях Gn и Ωn. Далее, в системе координат (ξ, n), поверну- той относительно системы (x, y) на угол π/4 против часовой стрелки, кривые γn задаются явным уравнением ηn = ηn(ξ). Каждая из функций ηn(ξ) равномерно ограничена и удовле- творяет условию Липшица с константой, равной единице. Кроме того, рассматривая кон- цы кривых γn — (0, λn) и (a, βn), лежащих на вертикалях Q1 и Q2, устанавливается, что из числовых последовательностей {λn} и {βn} можно извлечь последовательности, сходя- щиеся к некоторым числам λ0 и β0 так, что (0, λ0) ∈ Q1, а (a, β0) ∈ Q2. Следовательно, из последовательности γn можно выделить последовательность, сходящуюся равномерно к некоторой предельной кривой γ. Очевидно, что γ является монотонной кривой. Предель- ная кривая γ не обязательно является допустимой, так как может содержать общие отрез- ки с вертикалями Q1 и Q2. Однако кривая γ не может частично совпадать с отрезком A или кривой P . Предположим противное. Пусть, например, γ содержит отрезок [0, a1] ∈ A. Тогда для любого ε > 0 выберем такой номер N(ε), что при всех n > N(ε) множество Bn = {(x, y) ∈ Ωn, 0 6 x 6 a1} полностью содержится в Tε = {(x, y) : 0 6 x 6 a1, 0 6 y 6 ε}. Доопределим теперь функцию ψ2n(x, y) единицей в Tε. Почти для всех x ∈ [0, a1] имеем ε ∫ 0 ∂ ∂y ψ2n(x, y) dy = ψ2n(x, ε) − ψ2n(x, 0) = 1. Отсюда при использовании неравенства Гельдера следует Y (ψ1n, ψ2n, γn) > ∫∫ Bn \|∇ψ2n\| 2dxdy > 1 ε ( ∫∫ Tε ∂ ∂y ψ2ndxdy )2 −→ n→∞ ∞. Из полученного противоречия вытекает необходимое утверждение. Аналогичным образом доказывается, что γ не может частично совпадать с P . Установим теперь компактность последовательностей {ψ1n} и {ψ2n}. Для этого необхо- димо учесть, что функции ψ2n являются гармоническими в Ωn, а для функций ψ1n справе- дливо представление ψ1n = ξn + ωy2/2, где ξ(x, y) — функции гармонические в Gn, удовле- творяющие граничным условиям ξnx = 0, (x, y) ∈ R1; ξn = 1−ωy2/2, (x, y) ∈ γn; ξn = C−ωg2, (x, y) ∈ P . Далее, последовательности {ψ1n} и {ψ2n} равномерно ограничены и не превос- ходят величины C > 1, причем ψ2n > 0 в Ωn, а ψ1n > 0 в Gn, если выполняется следующее условие: 1− ωb22 2 > 0. (7) 44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1 Следовательно, по известному свойству гармонических функций из указанных последо- вательностей можно извлечь последовательности, равномерно сходящиеся с производными любых порядков в G0 и Ω0, где G0 и Ω0 — произвольные замкнутые подмножества мно- жеств Gγ и Ωγ , не содержащие точек свободной границы γ. Отсюда будет следовать, что предельные функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y) будут решениями уравнений (1) и (3) соответствен- но в Gγ и Ωγ . Кроме того, функции ψ1n и ψ2n гармонически продолжаемы через те участки вертикалей Q1 и Q2, где выполняются условия ψ1nx = 0 и ψ2nx = 0. Поэтому получим выполнимость первых граничных условий в (2) и (4) для функций ψ1 и ψ2. Далее, имеем ψ2 = 0 при (x, y) ∈ A, так как ψ2n сходится равномерно к ψ2 на отрезке A. Аналогично по- лучим также, что ψ1 = C при (x, y) ∈ P , включая и концы кривой P . Используя барьерные функции, получим также ψ1 = ψ2 = 1 при (x, y) ∈ γ. Предположим теперь, что γ совпадает с Q1 вдоль участка B = {x = 0, 0 6 y 6 y1}. Тогда, с одной стороны, можно предположить, что ψ2(0, y) = 1 при 0 6 y 6 y1. Следо- вательно, получим ψ2y(0, y) = 0 и ψ2x(0, y) = 0 при 0 6 y 6 y1. Поэтому аналитическая функция (ψ2x − iψ2y) на участке B принимает только постоянные значения, а это противо- речит тому, что ψ2y > 0 в Ωγ . Подобным образом можно предположить, что γ не совпадает частично с Q2, если в качестве аналитической функции взять (ψ1x−xω− iψ1y). Наконец, из непрерывности функции ψ1 в Gγ , а ψ2 в Ωγ следует, что γ не имеет общих точек с кривой P и отрезком A. Покажем теперь, что Y (γ1, ψ2, γ) = d. Имеем Y (ψ1n, ψ2n, γn) = (C − 1) ∫ P ∂ψ1n ∂n dξ + ∫ A ∂ψ2n ∂y dx+ ω ∫∫ Gn (ψ1n − 1) dxdy. Переходя теперь к пределу при n → ∞, получаем d = (C − 1) ∫ P ∂ψ1 ∂n dS + ∫ A ∂ψ2 ∂y dx+ ω ∫∫ Gγ (ψ1 − 1) dxdy. С другой стороны, учитывая, что пара (ψ1, ψ2) является решением задач (1), (2) в Gγ и (3), (4) в Ωγ , сразу же будет следовать, что Y (ψ1, ψ2, γ) = d. Применяя теперь аппарат вну- тренних вариаций Шиффера [1], можно показать, что условие (5) выполняется на γ почти всюду. Воспользовавшись затем методикой работы [4], покажем, что γ является аналити- ческой дугой. Укажем, что, следуя Фридрихсу [3], построенное решение (ψ1, ψ2, γ) задачи (1)–(5) является единственным. Теорема. Пусть функция g(x) монотонно возрастает в [0, a], является аналитичес- кой функцией переменной x при 0 6 x 6 a и, кроме того, g′(0) = 0, g′(a) = 0, и пусть также выполнено условие (7). Тогда существует единственное решение (ψ1, ψ2, γ) задачи (1)–(5), удовлетворяющее условиям ψ1y > 0 в Gγ , а ψ2y > 0 в Ωγ. При этом γ является монотонно-возрастающей дугой, аналитической в окрестности каждой своей внутренней точки, причем γ не имеет общих точек с кривой P и отрезком A. Функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y) непрерывной в Gγ и Ωγ, непрерывно дифференцируемы вплоть до границы, всюду, за исключением концевых точек γ. 1. Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной нелинейной задачи потенциального тече- ния жидкости // Нелинейные граничные задачи. – 1991. – Вып. 3. – С. 60–66. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 45 2. Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной задачи вихревого течения жидкости со свободной границей // Там же. – 1992. – Вып. 4. – С. 58–64. 3. Friedrichs K.O. Über ein Minimumproblem für Potential stromungen mit freiem Rande // Math. Ann. – 1993. – 109, No 1. – P. 60–82. 4. Миненко А.С., Шевченко А.И. Методы исследования нелинейных математических моделей. – Киев: Изд. ИПИИ НАН Украины, 2012. – 130 с. Поступило в редакцию 25.02.2013Институт информатики и искусственного интеллекта ДонНТУ, Донецк Член-кореспондент НАН України А. I. Шевченко, О.С. Мiненко Про один клас iнтегральних функцiоналiв з невiдомою областю iнтегрування Дослiджується потенцiально-вихрова течiя з вiльною межею. Ця задача має варiацiйну природу та еквiвалентна проблемi мiнiмуму iнтегрального функцiонала з невiдомою облас- тю iнтегрування. Доведено iснування класичного розв′язку в нелiнiйнiй граничнiй задачi. Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko On one class of integral functionals with a variable domain of integration The potential-rotational current with free boundary is investigated. This variational task is equi- valent to the problem of the minimum of an integral functional with a variable domain. The exi- stence of the classical solution of a nonlinear boundary-value problem is proved. 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1

Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования

Institution

Ähnliche Einträge