Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності

Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Копець, М.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86969
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності / М.М. Копець // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 45-49. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86969
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-869692015-10-08T03:02:18Z Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності Копець, М.М. Інформатика та кібернетика Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих умов виведено iнтегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними. Розв’язок цього рiвняння подано в замкненiй формi. Рассматривается проблема минимизации квадратичного функционала на решениях второй краевой задачи для уравнения теплопроводности. Для исследования сформулированной задачи оптимизации применен метод множителей Лагранжа. Такой подход дал возможность получить необходимые условия оптимальности. На основе этих условий выведено интегро-дифференциальное уравнение Риккати с частными производными. Решение этого уравнения представлено в замкнутой форме. The problem of minimization of a quadratic functional on solutions of the second boundary-value problem for the heat equation is considered. The method of Lagrange multipliers is applied to research the formulated optimization problem. Such approach has given a chance to obtain the necessary conditions of optimality. On the basis of these conditions, the integro-differential Riccati equation with partial derivatives is deduced. The solution of this equation is presented in the closed form. 2014 Article Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності / М.М. Копець // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 45-49. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86969 517.977.56 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Копець, М.М. Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності Доповіді НАН України
description	Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих умов виведено iнтегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними. Розв’язок цього рiвняння подано в замкненiй формi.
format	Article
author	Копець, М.М.
author_facet	Копець, М.М.
author_sort	Копець, М.М.
title	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
title_short	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
title_full	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
title_fullStr	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
title_full_unstemmed	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
title_sort	лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86969
citation_txt	Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності / М.М. Копець // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 45-49. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT kopecʹmm líníjnokvadratičnazadačaoptimalʹnogokeruvannâprocesomteploprovídností
first_indexed	2025-07-06T14:32:57Z
last_indexed	2025-07-06T14:32:57Z
_version_	1836908416016056320
fulltext	УДК 517.977.56 М. М. Копець Лiнiйно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровiдностi (Представлено членом-кореспондентом НАН України А.О. Чикрiєм) Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої кра- йової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих умов виведено iнтегро-дифе- ренцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними. Розв’язок цього рiвняння подано в замкненiй формi. В теорiї оптимального керування важливе мiсце займає лiнiйно-квадратична задача. Пiд цим термiном розумiється задача мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на множинi роз- в’язкiв деякої системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь, правi частини яких певним чином залежать вiд одного або декiлькох параметрiв (керувань). Якщо поведiнка керованого об’єк- та описується системою звичайних диференцiальних рiвнянь, то мова йде про системи iз зосередженими параметрами. У випадку диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними маємо систему iз розподiленими параметрами. Для систем iз зосередженими параметрами лiнiйно-квадратична задача дослiджена досить повно. Основним результатом цього дослiд- ження є матричне диференцiальне рiвняння Рiккатi [1–3, 5]. Для математичних моделей систем iз розподiленими параметрами виникають iнтегро-диференцiальнi рiвняння Рiккатi з частинними похiдними, якi менше дослiдженi порiвняно iз звичайними матричними ди- ференцiальними рiвняннями Рiккатi. В данiй роботi для сформульованої задачi оптимiза- цiї отримано iнтегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними, розв’язок якого наведено в замкненiй формi. Постановка задачi. Розглядається процес, що описується таким рiвнянням теплопро- вiдностi: ∂z(t, x) ∂t = ∂2z(t, x) ∂x2 + u(t, x), t0 6 t 6 t1, 0 6 x 6 l. (1) Для рiвняння (1) задано початкову умову z(t0, x) = f(x) (2) та крайовi умови ∂z(t, 0) ∂x = 0, ∂z(t, l) ∂x = 0, (3) де через ∂z(t, 0)/∂x та ∂z(t, l)/∂x позначено значення ∂z(t, x)/∂x при x = 0 та x = l вiд- повiдно, дiйснi числа t0 > 0, t1 > t0, l > 0 i функцiя f(x) ∈ L2(0, l) заданi. Функцiя © М. М. Копець, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 45 u(t, x) вважається допустимим керуванням, якщо u(t, x) ∈ L2(Ω), де множину Ω задано так: Ω = {(t, x) : t ∈ [t0, t1], x ∈ [0, l]}. Для фiксованого допустимого керування u(t, x) розв’язком z(t, x) задачi (1)–(3) вважається узагальнений розв’язок z(t, x) ∈ L2(Ω). Далi розглянемо такий критерiй оптимальностi: I(u, z) = 1 2 l ∫ 0 z2(t1, x) dx + 1 2 t1 ∫ t0 l ∫ 0 [z2(t, x) + u2(t, x)] dxdt. (4) Задача оптимального керування процесом, що описується спiввiдношеннями (1)–(3), поля- гає в знаходженнi такого керування u(t, x), на якому функцiонал (4) набуває найменшого значення. Якщо таке керування iснує, то воно називається оптимальним керуванням. Необхiднi умови оптимальностi. Для знаходження розв’язку розглянутої вище зада- чi застосуємо метод множникiв Лагранжа [4, с. 31]. Суть методу полягає в тому, що замiсть функцiонала (4) розглядаємо такий функцiонал: J(p, u, z) = 1 2 l ∫ 0 z2(t1, x)dx+ 1 2 t1 ∫ t0 l ∫ 0 [z(t, x)2 + u2(t, x)] dxdt+ + t1 ∫ t0 l ∫ 0 p(t, x) [ ∂2z(t, x) ∂x2 + u(t, x)− ∂z(t, x) ∂t ] dxdt, (5) де p(t, x) — невiдома функцiя (множник Лагранжа). Очевидно, що при виконаннi спiввiд- ношення (1) значення функцiоналiв (4) i (5) збiгаються. В такий спосiб задача на умовний екстремум для функцiонала (4) зводиться до задачi на екстремум для функцiонала (5) iз урахуванням спiввiдношень (2), (3). Далi знаходимо вираз для приросту △J функцiона- ла (5) △J = J(p+ εδp, u + εδu, z + εδz) − J(p, u, z). (6) Пiсля очевидних спрощень (розкриття дужок, iнтегрування частинами та зведення подiбних членiв) спiввiдношення (6) матиме вигляд △J = ε l ∫ 0 [z(t1, x)− p(t1, x)]δz(t1, x) dx + + ε t1 ∫ t0 l ∫ 0 [[ z(t, x) + ∂2p(t, x) ∂x2 + ∂p(t, x) ∂t ] δz(t, x) + [u(t, x) + p(t, x)]δu(t, x) ] dxdt+ + ε t1 ∫ t0 l ∫ 0 δp(t, x) [ ∂2z(t, x) ∂x2 + u(t, x)− ∂z(t, x) ∂t ] dxdt+ + ε2 2 [ l ∫ 0 [δz(t1, x)] 2dx+ t1 ∫ t0 l ∫ 0 [[δz(t, x)]2 + [δu(t, x)]2] dxdt ] . (7) 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2 На пiдставi рiвностi (7) можна сформулювати таке твердження. Теорема 1. Оптимальне керування u(t, x) в задачi (1)–(4) єдине i визначається iз спiввiдношень ∂z(t, x) ∂t = ∂2z(t, x) ∂x2 + u(t, x), (8а) z(t0, x) = f(x), ∂z(t, 0) ∂x = 0, ∂z(t, l) ∂x = 0, (8б) ∂p(t, x) ∂t = − ∂2p(t, x) ∂x2 − z(t, x), (8в) p(t1, x) = z(t1, x), ∂p(t, 0) ∂x = 0, ∂p(t, l) ∂x = 0, (8г) u(t, x) + p(t, x) = 0. (8д) Виведення iнтегро-диференцiального рiвняння Рiккатi. Нехай iснує залежнiсть p(t, x) = l ∫ 0 R(t, x, s)z(t, s) ds мiж функцiями p(t, x) i z(t, x), якi задовольняють систему спiв- вiдношень (8a)–(8д). Легко переконатися в тому, що вiдносно функцiї R(t, x, s) має мiсце таке твердження. Теорема 2. Функцiя R(t, x, s)) є розв’язком iнтегро-диференцiального рiвняння ∂R(t, x, s) ∂t + ∂2R(t, x, s) ∂x2 + ∂2R(t, x, s) ∂s2 − l ∫ 0 R(t, x, λ)R(t, λ, s)dλ + δ(x− s) = 0, (9) де δ(x) — дельта-функцiя Дiрака, та задовольняє такi додатковi умови: R(t1, x, s) = δ(x− s), (10а) ∂R(t, 0, s) ∂x = 0, ∂R(t, l, s) ∂x = 0, ∂R(t, x, 0) ∂s = 0, ∂R(t, x, l) ∂s = 0. (10б) Побудова розв’язку iнтегро-диференцiального рiвняння Рiккатi. Розв’язок R(t, x, s) рiвняння (9) шукаємо у виглядi R(t, x, s) = 1 l [ r0(t) + 2 ∞ ∑ n=1 rn(t) cos πnx l cos πns l ] , (11) де функцiї rn(t), n = 0, 1, 2, . . . , потрiбно знайти. Очевидно, що функцiя (11) задовольняє умови (10б). Безпосередньо iз рiвностi (11) знаходимо ∂R(t, x, s) ∂t = 1 l [ dr0(t) dt + 2 ∞ ∑ n=1 drn(t) dt cos πnx l cos πns l ] , (12) ∂2R(t, x, s) ∂x2 = ∂2R(t, x, s) ∂s2 = − 2 l ∞ ∑ n=1 [ πn l ]2 rn(t) cos πnx l cos πns l , (13) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 47 l ∫ 0 R(t, x, λ)R(t, λ, s)dλ = 1 l [ r20(t) + 2 ∞ ∑ n=1 r2n(t) cos πnx l cos πns l ] . (14) Пiдставляючи вирази (12)–(14) в рiвняння (9), отримаємо для знаходження коефiцiєнтiв rn(t) = 1, n = 0, 1, 2, . . ., таку нескiнченну систему скалярних рiвнянь Рiккатi: drn(t) dt − 2 [ πn l ]2 rn(t)− r2n(t) + 1 = 0, n = 0, 1, 2, . . . . (15) При цьому умова (10а) породжує додатковi умови для системи рiвнянь (15) rn(t1) = 1, n = 0, 1, 2, . . . . (16) Пiдводячи пiдсумки, приходимо до такого твердження. Теорема 3. Функцiя R(t, x, s) має вигляд (11), де коефiцiєнти rn(t), n = 0, 1, 2, . . . , є розв’язками системи звичайних диференцiальних рiвнянь (15) та задовольняють до- датковi умови (16). Далi, використовуючи спосiб, аналогiчний описаному в [3, с. 320], легко знаходимо фор- мули для rn(t), n = 0, 1, 2, . . . , rn(t) = λn cos h(λn(t1 − t))− (αn − 1) sin h(λn(t1 − t)) λn cos h(λn(t1 − t)) + (αn + 1) sin h(λn(t1 − t)) , n = 0, 1, 2, . . . , дe αn = [πn l ]2 , λn = √ [πn l ]4 + 1, n = 0, 1, 2, . . .. Таким чином, у роботi розглянуто лiнiйно-квадратичну задачу оптимального керуван- ня процесом теплопровiдностi. За допомогою методу множникiв Лагранжа отримано не- обхiднi умови оптимальностi. Встановлено умови, що забезпечують єдинiсть оптимального керування. Вперше для такої задачi з використанням дельта-функцiї Дiрака одержано iн- тегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi. Запропоновано формулу для обчислення розв’язку цього рiвняння. Використання отриманої формули дає можливiсть подати оптимальне ке- рування в явнiй формi. Тема, розглянута у роботi, безумовно, є досить перспективною для подальших дослiджень. 1. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. – Киев: Наук. дум- ка, 1994. – 320 с. 2. Bensoussan A., Da Prato G., Delfour M.C., Mitter S. K. Representation and control of infinite dimensional systems. – Boston; Basel; Berlin: Birkhäuser, 2007. – 575 p. 3. Naidu D. S. Optimal control systems. (Electrical engineering textbook series). – Boсa Raton: CRC Press, 2003. – 433 p. 4. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. – Москва: Наука, 1977. – 480 с. 5. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. – Москва: Наука, 1978. – 551 с. Надiйшло до редакцiї 09.07.2013НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут” 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2 М.М. Копец Линейно-квадратичная залача оптимального управления процессом теплопроводности Рассматривается проблема минимизации квадратичного функционала на решениях вто- рой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Для исследования сформулированной задачи оптимизации применен метод множителей Лагранжа. Такой подход дал возмож- ность получить необходимые условия оптимальности. На основе этих условий выведено интегро-дифференциальное уравнение Риккати с частными производными. Решение этого уравнения представлено в замкнутой форме. M.M. Kopets A linear-quadratic problem of optimal control over the heat conductivity process The problem of minimization of a quadratic functional on solutions of the second boundary-value problem for the heat equation is considered. The method of Lagrange multipliers is applied to research the formulated optimization problem. Such approach has given a chance to obtain the necessary conditions of optimality. On the basis of these conditions, the integro-differential Riccati equation with partial derivatives is deduced. The solution of this equation is presented in the closed form. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 49

Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності

Репозитарії

Схожі ресурси