Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії
Дослiджуються методи побудови операторiв вiдновлення диференцiйовних функцiй двох змiнних в околi гладкої кривої, якi зберiгають клас диференцiйованостi C^r(R²). Метод використовує для побудови вказаних операторiв слiди наближуваної функцiї та її частинних похiдних за однiєю змiнною до заданого по...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86970 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії / О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 50-55. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86970 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-869702015-10-08T03:02:15Z Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. Інформатика та кібернетика Дослiджуються методи побудови операторiв вiдновлення диференцiйовних функцiй двох змiнних в околi гладкої кривої, якi зберiгають клас диференцiйованостi C^r(R²). Метод використовує для побудови вказаних операторiв слiди наближуваної функцiї та її частинних похiдних за однiєю змiнною до заданого порядку на вказанiй кривiй. Исследуются методы построения операторов восстановления дифференцированных функций двух переменных в окрестности гладкой кривой, которые сохраняют класс дифференцируемости C^r(R²). Метод использует для построения указанных операторов следы приближаемой функции и ее частных производных по одной переменной до заданного порядка на указанной кривой. The methods of construction of the operators of recovery of differentiable functions of two variables in a vicinity of the smooth curve, which preserve the class of differentiability C^r(R²), are studied. The methods use the traces of an approximated function and its partial derivatives with respect to one variable up to a given order on the given curve. 2014 Article Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії / О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 50-55. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86970 519.6 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджуються методи побудови операторiв вiдновлення диференцiйовних функцiй двох
змiнних в околi гладкої кривої, якi зберiгають клас диференцiйованостi C^r(R²). Метод
використовує для побудови вказаних операторiв слiди наближуваної функцiї та її частинних похiдних за однiєю змiнною до заданого порядку на вказанiй кривiй. |
| format |
Article |
| author |
Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Грицай, О.Л. |
| author_sort |
Литвин, О.М. |
| title |
Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії |
| title_short |
Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії |
| title_full |
Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії |
| title_fullStr |
Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії |
| title_full_unstemmed |
Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії |
| title_sort |
відновлення функцій двох змінних із збереженням класу c^r(r²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86970 |
| citation_txt |
Відновлення функцій двох змінних із збереженням класу C^r(R²) за допомогою їх слідів та слідів їх похідних до фіксованого порядку на заданій лінії / О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 50-55. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom vídnovlennâfunkcíjdvohzmínnihízzberežennâmklasucrr2zadopomogoûíhslídívtaslídívíhpohídnihdofíksovanogoporâdkunazadaníjlíníí AT litvinoo vídnovlennâfunkcíjdvohzmínnihízzberežennâmklasucrr2zadopomogoûíhslídívtaslídívíhpohídnihdofíksovanogoporâdkunazadaníjlíníí AT tkačenkoov vídnovlennâfunkcíjdvohzmínnihízzberežennâmklasucrr2zadopomogoûíhslídívtaslídívíhpohídnihdofíksovanogoporâdkunazadaníjlíníí AT gricajol vídnovlennâfunkcíjdvohzmínnihízzberežennâmklasucrr2zadopomogoûíhslídívtaslídívíhpohídnihdofíksovanogoporâdkunazadaníjlíníí |
| first_indexed |
2025-07-06T14:33:00Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:33:00Z |
| _version_ |
1836908419510960128 |
| fulltext |
УДК 519.6
О.М. Литвин, О. О. Литвин, О. В. Ткаченко, О. Л. Грицай
Вiдновлення функцiй двох змiнних iз збереженням
класу C
r(R2) за допомогою їх слiдiв та слiдiв
їх похiдних до фiксованого порядку на заданiй лiнiї
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Дослiджуються методи побудови операторiв вiдновлення диференцiйовних функцiй двох
змiнних в околi гладкої кривої, якi зберiгають клас диференцiйованостi Cr(R2). Метод
використовує для побудови вказаних операторiв слiди наближуваної функцiї та її час-
тинних похiдних за однiєю змiнною до заданого порядку на вказанiй кривiй.
Оператори Тейлора та їх узагальнення, що використовують для своєї побудови значення
наближуваної функцiї та її частинних похiдних до заданого порядку N > 0 у деякiй точцi,
мають порядок диференцiйовностi, що повнiстю визначається диференцiальними власти-
востями допомiжних (базисних) функцiй (полiномiв алгебраїчних, тригонометричних, уза-
гальнених, сплайнiв, вейвлетiв тощо). Оскiльки функцiї двох i бiльше змiнних можуть бути
заданi не тiльки своїми значеннями та значеннями своїх частинних похiдних в окремих точ-
ках, але також своїми слiдами та слiдами деяких диференцiальних операторiв на заданих
лiнiях, то оператори, що використовують такi слiди, належать до класу диференцiйовнос-
тi, який визначається диференцiальними властивостями допомiжних (базисних) функцiй
i вказаних слiдiв. Нагадаємо, запис f(x1, . . . , xn) ∈ Cr(Rn) означає, що сама функцiя f i всi
її частиннi похiднi до порядку r, r > 0, є неперервними, тобто
∂|β|
∂xβ1
1 · · · ∂xβn
n
f ∈ C(Rn),
0 6 |β| = β1+ · · ·+βn 6 r. Отже, в цьому означеннi нема нiяких обмежень на частиннi похi-
днi порядкiв γ, |γ| > r, тобто iснує вкладення класiв функцiй Cq(Rn) ⊆ Cr(Rn), r 6 q < ∞.
У зв’язку з цим будемо говорити, що оператор L зберiгає клас диференцiйовностi набли-
жуваної функцiї f , якщо f ∈ Cr(Rn) ⇒ Lf ∈ Cr(Rn). Якщо ж f ∈ Cr(Rn) ⇒ Lf ∈ Cq(Rn),
q < r, то говоритимемо, що оператор L не зберiгає клас диференцiйовностi функцiї f .
Аналiз лiтературних джерел. Задача продовження функцiй n змiнних з границi
областi на область або на весь n-вимiрний простiр iз збереженням потрiбних диференцiаль-
них властивостей є однiєю з ключових задач теорiї наближення функцiй багатьох змiнних
(див. [1–11]). В роботi [9] наведено формулу
u(x, y) =
m−1
∑
s=0
∂sG(x, y)
∂ys
∗ φs(x) =
m−1
∑
s=0
1
π(m− 1)!
∞
∫
−∞
φs(t)
∂s
∂ys
[
ym
y2 + (x− t)2
]
dt,
u ∈ C∞(R2),
© О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, О.Л. Грицай, 2014
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
де (f ∗ g)(x) =
∞
∫
−∞
f(t)g(x− t)dt — згортка функцiй f , g, яка є розв’язком задачi Кошi для
iтерованого оператора Лапласа
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)m
u(x, y) = 0, u(0,s)(x, 0) = φs(x), s = 0,m− 1.
Функцiя G(x, y) =
ym−1
π(m− 1)!
y
y2 + x2
є фундаментальним розв’язком цiєї задачi, тобто
функцiєю, що задовольняє рiвняння
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)m
G(x, y) = 0
та умови Кошi
G(0,k)(x, 0) = 0, k = 0,m− 2, G(0,m−1)(x, 0) = δ(x),
G(0,k)(x, 0) =
∂kG(x, y)
∂yk
∣
∣
∣
∣
y=0
, k = 0,m− 2.
При m = 1 отримуємо формулу Пуассона
u(x, y) =
1
π
∞
∫
−∞
φ0(t)
[
y
y2 + (x− t)2
]
dt,
що є розв’язком задачi Кошi u(x, 0) = φ0(x), x ∈ R, для рiвняння
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
u(x, y) = 0.
У роботах [12, 13] дослiджувалися оператори вiдновлення функцiй багатьох змiнних
за допомогою операторiв, що зберiгають клас диференцiйовностi Cr(Rn), якому належить
наближувана функцiя, i використовують при цьому слiди u(0,s)(x, 0) = φs(x) ∈ Cr−s(R),
s = 0,m− 1, m 6 r. Aле загальний випадок операторiв, що зберiгають клас диференцiйов-
ностi в околi довiльної кривої, не дослiджувався. В той же час з практики вiдомо приклади,
у яких необхiдно вiдновлювати поверхнi за вiдомими слiдами їх частинних похiдних або де-
якої системи диференцiальних операторiв (взагалi кажучи, нелiнiйних) на заданiй кривiй.
Найбiльш вiдомим прикладом такої задачi є задача побудови системи координатних функ-
цiй для варiацiйних методiв розв’язання крайових задач, що точно задовольняють граничнi
умови на границi областi iнтегрування. Якщо область, в якiй розв’язується крайова задача,
є об’єднанням кiлькох вiдомих областей, то границя такої областi може мати кутовi точки,
тобто буде недиференцiйовною лiнiєю складної форми, що є об’єднанням вiдрiзкiв кiлькох
вiдомих лiнiй. Як приклад також вiдзначимо необхiднiсть вiдновлення поверхонь лопаток
авiадвигунiв або лопаток гвинтiв на атомних пiдводних човнах, форма яких знаходиться
з умови найкращого обтiкання поверхнi газом або рiдиною шляхом розв’язання вiдповiд-
них крайових задач (тобто форма поверхнi обтiкання є невiдомою). Такi задачi є важливою
складовою процесу конструювання лопаток. Однiєю з найскладнiших задач, якi виникають
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 51
при цьому, є збереження вiдповiдної гладкостi наближуваної поверхнi (тобто належнiсть
вiдповiдних функцiй до заданого класу диференцiйовностi) та iзогеометрiї (опуклостi, вгну-
тостi тощо) [10]. Проблеми, що виникають у задачах продовження функцiй, досить повно
описанi в доповненнi В. I. Буренкова до роботи I. Стейна [5, с. 231–235]. Загальний метод
розв’язання таких задач можна отримати на основi використання узагальнень операторiв
iнтерлiнацiї функцiй iз збереженням класу диференцiйовностi [12, 13].
Основнi твердження роботи. В данiй роботi пропонуються i дослiджуються методи
побудови операторiв наближення функцiй двох змiнних iз збереженням класу диферен-
цiйовностi, якому належить наближувана функцiя за умови, що слiди цих операторiв i слiди
їх частинних похiдних за однiєю iз змiнних до фiксованого порядку на заданiй лiнiї збiгають-
ся iз вiдповiдними слiдами наближуваної функцiї.
Вказанi оператори планується використати для побудови узагальнених формул iнтер-
лiнацiї функцiй двох змiнних iз збереженням потрiбного класу диференцiйовностi та iз
заданими слiдами i слiдами частинних похiдних до фiксованого порядку на системi непе-
ретинних плоских кривих у декартовiй системi координат.
Оператори вiдновлення функацiї двох змiнних за допомогою її слiдiв та слiдiв
її похiдних за однiєю змiнною на заданiй лiнiї. Зауважимо, що полiном Тейлора за
однiєю змiнною
TNf(x, y) =
N
∑
s=0
f (0,s)(x, γ(x))
(y − γ(x))s
s!
, f (0,s)(x, γ(x)) =
∂sf(x, y)
∂ys
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
має властивостi
∂qTNf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
=
∂qf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
, 0 6 q 6 N,
f ∈ Cr(R2)
⋂
f (0,s) ∈ Cr−s(R2) ⇒ TNf ∈ Cr−N(R2), 0 6 s 6 N 6 r.
Тобто цей оператор TNf(x, y) не зберiгає клас диференцiйовностi Cr(R2) функцiї f(x, y).
Це твердження, зокрема, виконується для функцiй
f(x, y) = |x+ y − 1|2q+1 ∈ C2q(R2), f /∈ C2q+1(R2),
f(x, y) = |x+ y − 1|2q+1(x+ y − 1) ∈ C2q+1(R2), f /∈ C2q+2(R2).
Таким чином, оператори TNf(x, y) не можна використовувати замiсть f(x, y) без додат-
кового аналiзу у тих задачах, де iстотною є вимога, щоб функцiя f(x, y) мала неперервнi
похiднi порядку r > 0. Потрiбнi оператори такого типу вперше були побудованi в робо-
тах [13–15] для випадку γ(x) = 0 в дискретнiй та iнтегральнiй формах. Зокрема в дискре-
тнiй формi оператор
LNf(x, y) =
N
∑
ℓ=0
λ0,ℓf(x+ β0,ℓy, 0) +
N
∑
s=1
N
∑
ℓ=0
λs,ℓ
x+βs,ℓy
∫
0
f (0,s)(t, 0)
(x + βs,ℓy − t)s−1
(s− 1)!
dt
задовольняє такi умови:
f ∈ Cr(R2)
⋂
f (0,s) ∈ Cr−s(R2) ⇒ LNf ∈ Cr(R2), 0 6 s 6 N 6 r,
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
∂qLNf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=0
=
∂qf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=0
, 0 6 q 6 N,
якщо невiдомi λs,ℓ, ℓ = 0, N , для кожного s = 0, N знаходяться шляхом розв’язання СЛАР
N
∑
ℓ=1
λs,ℓ(βs,ℓ)
p = δp,s, 0 6 p 6 N,
при умовi, що −1 6 βs,0 < βs,1 < · · · < βs,N 6 1, s = 0, 1, . . . , N .
Нижче узагальнимо цей результат на випадок, коли слiди наближуваної функцiї та слiди
її частинних похiдних за змiнною y до фiксованого порядку задаються на лiнiї y = γ(x) ∈
∈ Cr(R). Нехай f (0,s)(x, y) = ∂sf(x, y)/∂ys. Введемо до розгляду оператор
ONf(x, y) =
N
∑
ℓ=1
λ0,ℓf(x+ β0,ℓ(y − γ(x)), γ(x)) +
+
N
∑
s=1
N
∑
ℓ=1
λs,ℓ
x+βs,ℓ(y−γ(x))
∫
0
f (0,s)(t, γ(t))
(x + βs,ℓ(y − γ(x))− t)s−1
(s− 1)!
dt,
де βs,ℓ ∈ [−1, 1], s = 0, N , ℓ = 0, N — заданi рiзнi числа (дiйснi або комплекснi), невiдомi
λs,ℓ, s = 0, N , ℓ = 0, N , для кожного значення s ∈ [0, N ] знаходяться шляхом розв’язання
систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
N
∑
ℓ=1
λs,ℓ(βs,ℓ)
p = δp,s, 0 6 p 6 N.
Зауважимо, що цi системи мають єдиний розв’язок, оскiльки їх детермiнанти
det[βp
s,ℓ]
p=0,N
ℓ=0,N
6= 0, s = 0, N , є детермiнантами Вандермонда.
Теорема 1. Оператор ONf має властивостi
f ∈ Cr(R2) ⇒ ONf ∈ Cr(R2),
∂qONf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
=
∂qf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
, 0 6 q 6 N, N 6 r.
Як частинний випадок, при γ(x) = 0 отримуємо LNf = ONf .
Оператори вiдновлення функцiї 2-х змiнних в iнтегральнiй формi за допо-
могою її слiдiв та слiдiв її похiдних за однiєю змiнною на заданiй кривiй лiнiї.
Введемо до розгляду оператор
DNu(x, y) =
1
∫
−1
G0(β)u(x + β(y − γ(x)), γ(x))dβ +
+
N
∑
s=1
1
∫
−1
Gs(β)
x+β(y−γ(x))
∫
0
u(0,s)(t, γ(t))
(x + β(y − γ(x)) − t)s−1
(s− 1)!
dtdβ.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 53
Теорема 2. Оператор DNf має властивостi
f ∈ Cr(R2) ⇒ DNf ∈ Cr(R2),
∂qDNf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
=
∂qf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
, 0 6 q 6 N, N 6 r,
якщо
1
∫
−1
Gs(β)β
pdβ = δs,p, 0 6 s, p 6 N .
Введемо до розгляду ядра Gs(x, y, β), 0 6 s 6 N , iнтегральних операторiв, залежнi вiд
трьох змiнних x, y, β, i побудуємо за їх допомогою такий iнтегральний оператор, у якому
функцiя i її частиннi похiднi за змiнною y входять пiд знак iнтеграла
DNu(x, y) =
1
∫
−1
G0(x, y, β)u(x + β(y − γ(x)), γ(x))dβ +
+
N
∑
s=1
1
∫
−1
Gs(x, y, β)
x+β(y−γ(x))
∫
0
u(0,s)(t, γ(t))
(x + β(y − γ(x))− t)s−1
(s− 1)!
dtdβ.
Теорема 3. Оператори DNf(x, y) мають властивостi
f ∈ Cr(R2) ⇒ DNf ∈ Cr(R2),
∂qDNf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
=
∂qf(x, y)
∂yq
∣
∣
∣
∣
y=γ(x)
, 0 6 q 6 N, N 6 r,
якщо
1
∫
−1
Gs(x, γ(x), β)β
pdβ = δs,p, 0 6 s, p 6 N .
1. Сергiєнко I. В., Дейнека В. В. Системний аналiз. – Київ: Наук. думка, 2013. – 500 с.
2. Сергiєнко I. В., Задiрака В.К., Литвин О.М. Елементи загальної теорiї оптимальних алгоритмiв i
сумiжнi питання. – Київ: Наук. думка, 2012. – 404 с.
3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – Москва: Наука,
1969. – 480 с.
4. Бесов О. В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вло-
жения. – Москва: Наука, 1975. – 480 с.
5. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / Пер. с англ. – Москва:
Мир, 1973. – 342 с.
6. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – Москва: Наука, 1979. – 318 с.
7. Хермандер Л. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. – Москва: Мир,
1986. – 455 с.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1966. – 724 с.
9. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – Москва: Наука, 1965. – 327 с.
10. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. – Москва: Физматлит, 2006. –
360 с.
11. Математическая энциклопедия / Под ред. И.М. Виноградова. В 5-ти т. Т. 5. – Москва: Сов. энци-
клопедия, 1984. – 1215 с.
12. Литвин О.М. Iнтерполяцiя функцiй та їх нормальних похiдних на гладких лiнiях в R
n // Доп. АН
УРСР. Сер. А. – 1984. – № 7. – С. 15–19.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
13. Литвин О.М. Точний розв’язок задачi Кошi для рiвняння
n
∏
i=0
(
∂
∂t
− a
2
i
∂2
∂x2
)
u(x, t) = g(x, t) // Там
само. – 1991. – № 3. – С. 12–17.
14. Литвин О.М. Побудова функцiй n змiнних iз заданими нормальними похiдними на R
m (1 6 m 6
6 n− 1) iз збереженням класу C
r(Rn) // Там само. – 1987. – № 5. – С. 13–17.
15. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
Надiйшло до редакцiї 25.06.2013Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ДП “Iвченко-Прогрес”, Запорiжжя
О.Н. Литвин, О.О. Литвин, А. В. Ткаченко, О.Л. Грицай
Восстановление функций двух переменных с сохранением класса
C
r(R2) с помощью их следов и следов их производных до
фиксированной степени на заданной линии
Исследуются методы построения операторов восстановления дифференцированных функ-
ций двух переменных в окрестности гладкой кривой, которые сохраняют класс дифферен-
цируемости Cr(R2). Метод использует для построения указанных операторов следы при-
ближаемой функции и ее частных производных по одной переменной до заданного порядка
на указанной кривой.
O.M. Lytvyn, O.O. Lytvyn, O.V. Tkachenko, O. L. Gritsay
Recovery of the functions of two variables with preservation of the class
C
r(R2) with the help of their traces and the traces of their derivatives
up to a fixed order on the given curve
The methods of construction of the operators of recovery of differentiable functions of two variables
in a vicinity of the smooth curve, which preserve the class of differentiability Cr(R2), are studied.
The methods use the traces of an approximated function and its partial derivatives with respect to
one variable up to a given order on the given curve.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 55
|