О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных
Возможные приложения сплайновой математики обсуждаются применительно к геофизическим наблюдениям, когда построить физическую динамическую модель либо невозможно, либо слишком сложно, нерационально. В подобных ситуациях простая идея сплайн-экстраполяции оказывается единственной: сетка узлов на задан...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86979 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных / А.С. Костинский // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 111-117. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86979 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-869792015-10-08T03:02:14Z О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных Костинский, А.С. Науки про Землю Возможные приложения сплайновой математики обсуждаются применительно к геофизическим наблюдениям, когда построить физическую динамическую модель либо невозможно, либо слишком сложно, нерационально. В подобных ситуациях простая идея сплайн-экстраполяции оказывается единственной: сетка узлов на заданном сегменте дополняется прогнозируемой точкой, строится “прогностический” сплайн на расширенной сетке, необходимо обеспечить минимум интеграла квадратичного отклонения, зависящего от ординаты добавочной точки как от параметра. Для равномерной сетки структурные единицы алгоритма экстраполяции представляются в виде последовательности разложений по координатам заданных точек, коэффициенты разложений доступны аналитически. Показано, что ордината прогнозируемой точки не зависит от шага сетки, это существенно для оценки ближайшего следующего в серии регулярных измерений, когда принципиальна не величина интервала между измерениями, а его неизменность. Можливi застосування сплайнової математики обговорюються стосовно до геофiзичних спостережень, коли побудувати фiзичну динамiчну модель або неможливо, або занадто складно, нерацiонально. У подiбних ситуацiях проста iдея сплайн-екстраполяцiї виявляється єдиною: сiтка вузлiв на заданому сегментi доповнюється прогнозованою точкою, будується “прогностичний” сплайн на розширенiй сiтцi, необхiдно забезпечити мiнiмум iнтеграла квадратичного вiдхилення, залежного вiд ординати додаткової точки як вiд параметра. Для рiвномiрної сiтки структурнi одиницi алгоритму екстраполяцiї представляються у виглядi послiдовностi розкладiв за координатами заданих точок, коефiцiєнти розкладань доступнi аналiтично. Показано, що ордината прогнозованої точки не залежить вiд кроку сiтки, це суттєво для оцiнки найближчого наступного в серiї регулярних вимiрювань, коли принциповою є не величина iнтервалу мiж вимiрами, а його незмiннiсть. Possible applications of spline mathematics applied to geophysical observations, when to build a physical dynamic model is either impossible or too complicated and unpractical, are discussed. In situations like this, the simple idea of spline extrapolation is determined uniquely: the net of knots on a specified segment is supplemented by a potentially predictable point, a “prognostic” spline on the augmented net is built, and it is necessary to ensure a minimum of the integral of the quadratic deviation depending on the add-on point ordinate as a parameter. For a uniform net base, structural units of the extrapolation algorithm are represented in the form of a sequence of expansions in terms of coordinates of the specified points, and the expansion coefficients are available analytically. It is found that the forecasted point ordinate does not depend on the net spacing, which is essential for the evaluation of the nearest next event in a series of regular measurements, when the basic thing is not the interval between measurements, but its constancy. 2014 Article О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных / А.С. Костинский // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 111-117. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86979 550.8.05:519.652 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Костинский, А.С. О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных Доповіді НАН України |
| description |
Возможные приложения сплайновой математики обсуждаются применительно к геофизическим наблюдениям, когда построить физическую динамическую модель либо невозможно, либо слишком сложно, нерационально. В подобных ситуациях простая идея
сплайн-экстраполяции оказывается единственной: сетка узлов на заданном сегменте
дополняется прогнозируемой точкой, строится “прогностический” сплайн на расширенной сетке, необходимо обеспечить минимум интеграла квадратичного отклонения, зависящего от ординаты добавочной точки как от параметра. Для равномерной сетки
структурные единицы алгоритма экстраполяции представляются в виде последовательности разложений по координатам заданных точек, коэффициенты разложений
доступны аналитически. Показано, что ордината прогнозируемой точки не зависит
от шага сетки, это существенно для оценки ближайшего следующего в серии регулярных измерений, когда принципиальна не величина интервала между измерениями, а его неизменность. |
| format |
Article |
| author |
Костинский, А.С. |
| author_facet |
Костинский, А.С. |
| author_sort |
Костинский, А.С. |
| title |
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных |
| title_short |
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных |
| title_full |
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных |
| title_fullStr |
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных |
| title_full_unstemmed |
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных |
| title_sort |
о принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86979 |
| citation_txt |
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических данных / А.С. Костинский // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 111-117. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kostinskijas oprincipahsplajnékstrapolâciigeofizičeskihdannyh |
| first_indexed |
2025-07-06T14:33:33Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:33:33Z |
| _version_ |
1836908454628818944 |
| fulltext |
УДК 550.8.05:519.652
А.С. Костинский
О принципах сплайн-экстраполяции геофизических
данных
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
Возможные приложения сплайновой математики обсуждаются применительно к гео-
физическим наблюдениям, когда построить физическую динамическую модель либо не-
возможно, либо слишком сложно, нерационально. В подобных ситуациях простая идея
сплайн-экстраполяции оказывается единственной: сетка узлов на заданном сегменте
дополняется прогнозируемой точкой, строится “прогностический” сплайн на расширен-
ной сетке, необходимо обеспечить минимум интеграла квадратичного отклонения, за-
висящего от ординаты добавочной точки как от параметра. Для равномерной сетки
структурные единицы алгоритма экстраполяции представляются в виде последова-
тельности разложений по координатам заданных точек, коэффициенты разложений
доступны аналитически. Показано, что ордината прогнозируемой точки не зависит
от шага сетки, это существенно для оценки ближайшего следующего в серии регуляр-
ных измерений, когда принципиальна не величина интервала между измерениями, а его
неизменность.
Логика сплайн-экстраполяции, если речь идет о приближении известной, “физически ра-
зумной” функции, в основном сводится к следующему. Пусть на отрезке [a, b] в узлах сетки
∆: a = x0 < x1 < · · · < xN = b заданы значения yi = f(xi), i = 0, . . . , N , а мы хотим оценить
функцию f в некоторой точке x = xc справа от [a, b], xc > xN . Обозначим через y(e)c иско-
мое значение переменной ординаты yc, то число, которое мы стремимся получить и которое,
надо полагать, будет близко к f(xc). Построим, например, кубический интерполяционный
сплайн S(N)(f ;x) на сетке ∆ [1]:
S(N)(f ;x) = yi(1− t)2(1 + 2t) + yi+1t
2(3− 2t) +mihit(1− t)2 −mi+1hit
2(1− t),
x ∈ [xi, xi+1], t =
(x− xi)
hi
, hi = xi+1 − xi, i = 0, . . . , N − 1,
(1)
S(N)(f ;x)
∣
∣
x=xi
= yi,
d
dx
S(N)(f ;x)
∣
∣
∣
∣
x=xi
= mi, i = 0, . . . , N,
S(N)(f ;x) ∈ C2[a, b],
(2)
а затем, временно соглашаясь считать точку (xc, yc) известной, аналогичный сплайн
S(N+1)(f ;x) на расширенной сетке δ : a = x0 < x1 < · · · < xN < xN+1 = xc. Дополни-
тельное условие в узле x = xc —
S(N+1)(f ;x)
∣
∣
x=xc
= yc,
в силу нелокального характера сплайна приводит к тому, что S(N+1) не совпадает с S(N),
различие, если не касаться частностей, “затухает” по мере смещения влево: от точки x = xb
© А.С. Костинский, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 111
к точке x = xa. “Расстояние” между S(N+1) и S(N) на [a, b] измеряется, строго говоря, тремя
интегралами квадратичных отклонений
J (k)
e =
b
∫
a
∣
∣
∣
∣
dk
dxk
S(N+1)(f ;x)−
dk
dxk
S(N)(f ;x)
∣
∣
∣
∣
2
dx, k = 0, 1, 2,
зависящими от yc как от параметра, для определенности договоримся рассматривать пока
только J (0)
e ≡ Ie.
Не будем пока касаться вопроса о краевых условиях, принимая их во внимание, мы,
быть может, только добавим варьируемые параметры или усложним пробную функцию Ie.
Существенно, что при любом выборе краевых условий для равномерных сеток последо-
вательность интерполяционных кубических сплайнов всегда сходится к интерполируемой
непрерывной функции. В общем случае произвольного разбиения существуют возможности
интерполяции с регулируемой точностью [1], и можно утверждать поэтому, что сплайн S(N)
на достаточно подробной сетке в некотором смысле близок функции f(x). Свойства f на
[a, b] заимствуются “реперной” интерполирующей функцией S(N) и воспроизводятся (но
с дополнительным искажением) интерполирующей функцией S(N+1). Качество интерполя-
ции посредством S(N+1) на [a, b] почти наверное хуже из-за, возможно, слишком крупного
шага hN = xc − xN и неопределенной ординаты yc. Минимум Ie по yc, таким образом,
устанавливает естественный нижний предел сходства S(N+1) с аппроксимацией S(N), и это
обстоятельство уже само по себе достаточное основание для того, чтобы определить точку
минимума как “пробное” экстраполирующее значение y(e)c и исследовать разность f(xc)−y(e)c
в различных вариантах конструкций S(N) и S(N+1).
Общий замысел решения задачи экстраполяции в смысле поиска минимума интегра-
ла Ie заключается в разложении сплайна S(N+1) по системе фундаментальных сплайнов
на сетке δ (возможно, конечно, использование B-сплайнов с конечным носителем [1]). Это
позволяет записать в явном виде простую систему линейных уравнений относительно па-
раметров и ее аналитическое решение, избежав вычисления собственных значений матриц
численными методами в ситуации, когда достоверно не подтверждена невырожденность.
Соответственно краевые условия для S(N+1) диктуют характер разложения по базису и про-
гнозируемые параметры в точке x = xc.
Простейший вариант — прогноз только по ординате — возникает, если потребовать не-
прерывности третьей производной S(N+1) в узлах x1, xN [1]. Мы имеем одну варьируемую
переменную ζ = yc, сплайн S(N+1) в этом случае представляется в виде линейной комби-
нации
S(N+1) =
N
∑
i=0
yiFi(x) + ycFN+1(x), (3)
где Fi(x), i = 0, . . . , N,N + 1, — фундаментальные сплайны на сетке δ, удовлетворяющие
условию нормализации
N+1
∑
i=0
Fi(x) = 1, x ∈ [a, xc],
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
условиям интерполяции вида
Fi(xj) = δij , i = 0, . . . , N,N + 1, j = 0, . . . , N,N + 1,
и условиям непрерывности третьей производной в узлах x1, xN .
Пусть два произвольных сплайна S(A), S(B), записанных в виде (1), с коэффициентами
m
(A)
i , m
(B)
i , i = 0, . . . , N , интерполируют нулевые значения на сетке ∆. Интеграл по отрезку
[a, b] от произведения S(A)S(B) выражается суммой
1
105
N−1
∑
i=0
h3i {m
(A)
i m
(B)
i +m
(A)
i+1m
(B)
i+1 −
3
4
(m
(A)
i m
(B)
i+1 +m
(A)
i+1m
(B)
i )},
это — “вычислительный шлюз”, ведущий к аналитическому представлению минимума. Ин-
тегралы такого рода появляются, если подставить разложение (3) в выражение для Ie,
Ie = α00 + 2α01ζ + α11ζ
2,
коэффициент αij , 0 6 i, j 6 1, есть интеграл по отрезку [a, b] от произведения вспомога-
тельных сплайнов, их два, с ними можно связать числа 0,1:
N
∑
i=0
yiFi(x)− S(N)(x) → 0, FN+1(x) → 1.
Обсудим краевые условия для сплайна с номером 0. В первую очередь следует догово-
риться о выборе краевых условий для сплайна S(N), это вопрос существенный, если пресле-
дуется цель аналитически оценить зависимость прогнозируемой ординаты от характерного
масштаба задачи, доминирующего шага “основной” сетки ∆. Пусть предпочтение отдано
естественным, наиболее простым по смыслу условиям
d
dx
S(N)(f ;x)
∣
∣
∣
∣
x=a
= z′a,
d
dx
S(N)(f ;x)
∣
∣
∣
∣
x=b
= z′b,
где числовые значения z′a, z
′
b получаются, например, конечно-разностной аппроксимацией
или как результат дополнительного “сглаживания”: S(N) должен в некотором смысле “наи-
менее отличаться” от полинома второй или третьей степени [2].
Задача построения сплайна S(N) разрешима для любых вещественных z′a, z
′
b, будем пока
считать z′a, z
′
b известными параметрами. Затем, без ограничения общности, можно выбрать
сетку ∆ равномерной с шагом h и записать xc − xN = hhc, безразмерный множитель hc
исчисляется в долях h. Для примера, регулярные измерения химического состава, уровня
и температуры грунтовых вод, концентрации радона в скважинах, в сущности, не пред-
полагают точного знания времени измерения. Не подвергается сомнению только то, что
промежуток времени между последовательными измерениями одинаков.
Обозначим через Dk, k = 0, . . . , N , разрывы третьей производной сплайна S(N) в узлах
равномерной сетки ∆ [1]. Потребуем, чтобы сплайн S(N) доставлял минимум по переменным
z′a, z′b сумме
N
∑
k=0
D2
k, (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 113
иначе говоря, S(N) в смысле гладкости выбирается как наименее отличающийся от полино-
ма третьей степени. Представим S(N) в виде [2]:
S(N) =
N
∑
i=0
yiFi(x) + z′aFa(x) + z′bFb(x), (5)
где Fi(x), i = 0, . . . , N , — фундаментальные сплайны на сетке ∆, удовлетворяющие усло-
виям интерполяции вида
Fi(xj) = δij , i = 0, . . . , N, j = 0, . . . , N,
и краевым условиям
F ′
i (a) = F ′
i (b) = 0,
появляются дополнительные базисные функции, подчиненные условиям
Fa(xi) = Fb(xi) = 0, i = 0, . . . , N, F ′
a(a) = F ′
b(b) = 1, F ′
a(b) = F ′
b(a) = 0.
Из уравнения (5) следует выражение через разрывы базисных сплайнов
Dk(S
(N)) =
N
∑
i=0
yiDk(Fi) + z′aDk(Fa) + z′bDk(Fb), k = 0, . . . , N, (6)
подставляя его в (4), имеем квадратичную форму по z′a, z
′
b. Условие минимума формы дает
систему линейных уравнений, из которой, в свою очередь, получаем “оптимальные” краевые
значения первых производных как линейные функции ординат yi. Вычисляем коэффициен-
ты линейного разложения
z′a =
N
∑
i=0
piyi, z′b =
N
∑
i=0
qiyi, (7)
pi =
1
Ω
N
∑
k=0
Dk(Fi)[ω12Dk(Fb)− ω22Dk(Fa)],
qi =
1
Ω
N
∑
k=0
Dk(Fi)[ω12Dk(Fa)− ω11Dk(Fb)], i = 0, . . . , N,
упрощает ситуацию свойство qi = −pN−i. Элементы матрицы системы, обозначенные как
ωij, зависят только от разрывов базисных функций Fa(x), Fb(x),
ω11 =
N
∑
k=0
Dk(Fa)
2, ω22 =
N
∑
k=0
Dk(Fb)
2, ω12 = ω21 =
N
∑
k=0
Dk(Fa)Dk(Fb),
все это достаточно громоздкие выражения. Как промежуточный итог выделим зависимость
от шага сетки
ω11, ω22, ω12 ∼
1
h4
, Ω = Det(ωij) = ω11ω22 − ω2
12 ∼
1
h8
, pi, qi ∼
1
h
.
114 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Из выражений (5) и (7) следует линейное разложение коэффициента:
m
(S(N))
1 =
N
∑
i=0
yi{m1(Fi) + pim1(Fa) + qim1(Fb)}
и аналогично для коэффициента
m
(S(N))
N−1 =
N
∑
i=0
yi{mN−1(Fi) + pimN−1(Fa) + qimN−1(Fb)},
что, в свою очередь, дает возможность линейного разложения по ординатам параметров
Z ′
a, Z ′
b в соотношениях
m
(0)
0 + 2m
(0)
1 + Z ′
a = 0,
hcm
(0)
N−1 + (1 + hc)(m
(0)
N + Z ′
b) = 0,
Z ′
a ≡ z′a + 2m
(S(N))
1 −
1
h
(2y1 −
5
2
y0 +
1
2
y2),
Z ′
b ≡
hc
1 + hc
m
(S(N))
N−1 + z′b +
1
hhc(1 + hc)2
yN −
hc(3 + 2hc)
h(1 + hc)2
(yN − yN−1),
замыкающих систему уравнений для первых производных сплайна с номером 0. Коэффи-
циент α01 в разложении по ζ интегрального отклонения Ie есть линейная комбинация Z ′
a,
Z ′
b, коэффициент α11 не зависит от ординат, в итоге искомая координата ζ(min) точки ми-
нимума не зависит от шага сетки h.
Даже простые функциональные зависимости иллюстрируют и “тестируют” логику эк-
страполяции с помощью кубических сплайнов, уже здесь обнаруживается разнообразие си-
туаций, вполне сопоставимых с “многоцветностью” реальности эксперимента. Первое, в чем
следует удостовериться, очевидно, это “первичный” аргумент в пользу качественности алго-
ритма экстраполяции: если для известной зависимости y = f(x) “псевдоэкспериментальные”
значения yi = f(xi), i = 0, . . . , N , заданы на фиксированном отрезке и число N увеличивает-
ся, прогнозируемые ординаты yi должны приближаться к f(xc) для всех не слишком боль-
ших значений hi. По крайней мере для равномерной сетки это действительно так, и кривые,
построенные по отклонению функции, по отклонению производной, по комбинированному
отклонению
Ie
min
ζ
(Ie)
+
J
(1)
e
min
ζ
(J
(1)
e )
,
практически неразличимы (рис. 1). Минимальные по ζ = yc значения отклонений J (k)
e ,
k = 0, 1, 2, строго говоря, должны быть функциями hc, но оказывается, что они не зависят
от hc (рис. 2).
На фиксированном отрезке [0, 2π], согласно рис. 1, в узлах равномерной сетки
xi = hi, i = 0, . . . , N, h =
2π
N
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 115
Рис. 1
Рис. 2
заданы значения ординат yi = sin(xi). Прогнозируется значение yc в точке
xc = 2π + hhc
для N = 10 (кривая 1 ), N = 20 (2 ), N = 30 (3 ), N = 40 (4 ), N = 50 (5 ), N = 100 (6 )
при меняющемся hc, hmin
c 6 hc 6 hmax
c , hmin
c = 0,01, hmax
c = π/h. Графики зависимости
yc = yc(xc) с ростом N все точнее следуют за изгибом синуса (кривая 7 ).
Рис. 2 показывает, что с ростом N и уменьшением шага h на фиксированном отрез-
ке изменения минимальные значения интегральных отклонений, как и ожидается, резко
падают. Кривая 1 соответствует log min(J (0)
e ), кривая 2 — logmin(J (1)
e ).
Геофизическая картина Земли — это “островки” нестохастических связей между явле-
ниями, они могут появляться и исчезать и не сливаются в “материк”. Как иллюстрация,
измерения крипа в точке разлома рядом с очаговой областью не показывали никаких зако-
номерных изменений перед землетрясением с магнитудой 5,9 в центральной Калифорнии
6 августа 1979 г., но в коровых движениях перед землетрясением Тонанкай 7 декабря 1944 г.
составляющая-предвестник несомненна [3]. Только физики или химии процессов здесь недо-
статочно для полноты динамического описания, приемлемо сузить набор динамических пе-
ременных не удается главным образом из-за сложности геологической “сцены”, на которой
происходят события. Решающую роль приобретает, следовательно, формулировка общих
“первичных” принципов, позволяющих ограничить множество вариантов выбора модели,
принципов, относящихся к совокупности, “россыпи” на плоскости экспериментальных то-
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
чек. Это в первую очередь в определенном смысле понимаемая оптимальность, отражение
всеобщности “бритвы Оккама” [4, с. 5 ]. Изложенную выше математическую схему следует
рассматривать именно с такой точки зрения.
1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – Москва: Наука, 1980. –
352 с.
2. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглажи-
вания. – Новосибирск: Наука, 1988. – 102 с.
3. Моги К. Предсказание землетрясений. – Москва: Мир, 1988. – 382 с.
4. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. – Москва: Нау-
ка, 1984. – 234 с.
Поступило в редакцию 09.09.13Отдел сейсмологии Института геофизики
им. С.И. Субботина НАН Украины, Симферополь
О.С. Костiнський
Про принципи сплайн-екстраполяцiї геофiзичних даних
Можливi застосування сплайнової математики обговорюються стосовно до геофiзичних
спостережень, коли побудувати фiзичну динамiчну модель або неможливо, або занадто
складно, нерацiонально. У подiбних ситуацiях проста iдея сплайн-екстраполяцiї виявляєть-
ся єдиною: сiтка вузлiв на заданому сегментi доповнюється прогнозованою точкою, бу-
дується “прогностичний” сплайн на розширенiй сiтцi, необхiдно забезпечити мiнiмум iнте-
грала квадратичного вiдхилення, залежного вiд ординати додаткової точки як вiд парамет-
ра. Для рiвномiрної сiтки структурнi одиницi алгоритму екстраполяцiї представляються
у виглядi послiдовностi розкладiв за координатами заданих точок, коефiцiєнти розкладань
доступнi аналiтично. Показано, що ордината прогнозованої точки не залежить вiд кроку
сiтки, це суттєво для оцiнки найближчого наступного в серiї регулярних вимiрювань, коли
принциповою є не величина iнтервалу мiж вимiрами, а його незмiннiсть.
A. S. Kostinsky
On the principles of a spline extrapolation concerning geophysical data
Possible applications of spline mathematics applied to geophysical observations, when to build a
physical dynamic model is either impossible or too complicated and unpractical, are discussed. In
situations like this, the simple idea of spline extrapolation is determined uniquely: the net of knots
on a specified segment is supplemented by a potentially predictable point, a “prognostic” spline on
the augmented net is built, and it is necessary to ensure a minimum of the integral of the quadratic
deviation depending on the add-on point ordinate as a parameter. For a uniform net base, structural
units of the extrapolation algorithm are represented in the form of a sequence of expansions in terms
of coordinates of the specified points, and the expansion coefficients are available analytically. It is
found that the forecasted point ordinate does not depend on the net spacing, which is essential for
the evaluation of the nearest next event in a series of regular measurements, when the basic thing
is not the interval between measurements, but its constancy.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 117
|