Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом
Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем....
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87134 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 18-24. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87134 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-871342015-10-12T03:02:27Z Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом Королюк, Д.В. Математика Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем. Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою лiнiйною регресiєю та еквiлiбрiумом марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом. We propose an approximation of statistical experiments with persistent linear regression and equilibrium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , for which the diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck-type process with continuous time is constructed. 2014 Article Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 18-24. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87134 519.24 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Королюк, Д.В. Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом Доповіді НАН України |
| description |
Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной
регрессией и эквилибриумом марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем. |
| format |
Article |
| author |
Королюк, Д.В. |
| author_facet |
Королюк, Д.В. |
| author_sort |
Королюк, Д.В. |
| title |
Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом |
| title_short |
Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом |
| title_full |
Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом |
| title_fullStr |
Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом |
| title_full_unstemmed |
Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом |
| title_sort |
диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87134 |
| citation_txt |
Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 18-24. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT korolûkdv diffuzionnaâapproksimaciâstatističeskihéksperimentovsnastojčivojlinejnojregressiejiékvilibriumom |
| first_indexed |
2025-07-06T14:41:41Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:41:41Z |
| _version_ |
1836908965303156736 |
| fulltext |
УДК 519.24
Д.В. Королюк
Диффузионная аппроксимация статистических
экспериментов с настойчивой линейной регрессией
и эквилибриумом
(Представлено академиком НАН Украины И. Н. Коваленко)
Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линейной
регрессией и эквилибриумом марковскими процессами в дискретно-непрерывном време-
ни: k = [Nt], 0 6 t 6 T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа
Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем.
В настоящей работе предлагается математическая модель статистических экспериментов
(СЭ) с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом в дискретно-непрерывном вре-
мени. Диффузионная аппроксимация модели осуществляется процессом типа Орнштейна–
Уленбека с непрерывным временем. Исходная модель цепи Маркова в дискретно-непре-
рывном времени возникает в результате масштабирования дискретного времени, а также
параметров статистических экспериментов.
1. Постановка задачи. Бинарные повторяющиеся СЭ задаются значениями сумм
выборки δ(k) = (δr(k), 1 6 r 6 N), k > 0 независимых и одинаково распределенных
при каждом фиксированном k случайных величин δr(k), 1 6 r 6 N , принимающих два
значения ±1:
SN (k) :=
1
N
N∑
r=1
δr(k), k > 0. (1)
Настойчивая линейная регрессия означает, что имеет место соотношение
E[SN (k + 1)|SN (k)] = C(SN (k)), k > 0, (2)
в котором функция линейной регрессии не зависит от объема выборки N и от номера
k > 0, и задается соотношением
C(s) = (1− a)s+ aρ, |s| 6 1. (3)
Параметр ρ служит эквилибриумом функции регрессии
C(ρ) = ρ. (4)
Направляющий параметр a удовлетворяет условию 0 < a < 1. При a = 0 регрессия исчезает.
Задание СЭ с настойчивой линейной регрессией и эквилибриумом (1)–(3) означает, что
вероятности выборочных значений определяются формулами
P{δr(k + 1) = ±1 | SN (k) = s} =
1
2
[1± C(s)]. (5)
При этом параметры a и ρ могут быть заданы так, что условие (5) корректно определено.
© Д.В. Королюк, 2014
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
Функция регрессии (2) преобразуется к следующему виду:
C(s) = s+ C0(s) = ρ+ Cρ(s),
C0(s) = −a(s− ρ), Cρ(s) = (1− a)(s − ρ).
(6)
Так что дополнительные функции в (6) удовлетворяют условиям
C0(ρ) = Cρ(ρ) = 0. (7)
Кроме того, задание бинарных СЭ (1)–(3) обеспечивает явный вид условной дисперсии
D[SN (k + 1)|SN (k)] =
B(SN (k))
N
, k > 0,
B(s) = 1− C2(s).
(8)
2. Эквилибриум и аппроксимация СЭ нормальным процессом авторегрессии.
В предыдущей работе [2] установлена сходимость к эквилибриуму
Теорема 1 (ср. [2, теорема 1]). При сходимости начальных условий (с вероятностью 1)
SN (0)
P1→ ρ, N → ∞,
имеет место сходимость СЭ (1)–(3) (с вероятностью 1):
SN (k)
P1→ ρ, N → ∞,
при каждом конечном k > 0.
Предложена также аппроксимация СЭ (1)–(3) дискретным нормальным процессом ав-
торегрессии, основанная на следующей теореме.
Теорема 2 (ср. [2, теорема 2]). При выполнении условия теоремы 1 имеет место схо-
димость по распределению
√
N [SN (k + 1)− C(SN (k))]
d→ σW (k + 1), N → ∞,
при каждом конечном k > 0.
Результат теоремы 2 служит основанием задания процесса нормальной авторегрес-
сии S̃N (k), 1 6 r 6 N , k > 0 в следующем виде:
Предложение 1 (дискретная аппроксимация). Процесс нормальной авторегрессии
в дискретном времени k > 0 задается соотношением
S̃N (k + 1) = C(S̃N (k)) +
σ√
N
W (k + 1), k > 0, (9)
в котором предельная дисперсия
σ2 = 1− ρ2, (10)
a W (k + 1), k > 0 — нормально распределенные стандартные случайные величины, неза-
висимые при разных k > 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 19
Замечание 1. Процесс нормальной авторегрессии (6) сохраняет свойство настойчивой
линейной регрессии
E[S̃N (k + 1)|S̃N (k)] = C(S̃N (k)), k > 0,
c той же функцией регрессии (3), что и исходный СЭ (1).
Естественно рассматривать асимптотическое поведение нормированных флюктуаций
СЭ относительно эквилибриума ρ:
ζN (k) :=
√
N [SN (k)− ρ], k > 0. (11)
Функция регрессии (3) для флюктуаций теперь имеет вид
E[ζN (k + 1)|ζN (k) = s] = (1− a)s, k > 0. (12)
В дальнейшем будет использована условная регрессия для приращений нормированных
флюктуаций СЭ относительно эквилибриума ρ:
∆ζN (k) := ζN (k + 1)− ζN (k), k > 0. (13)
При этом
E[∆ζN (k)|ζN (k) = s] = −as, k > 0. (14)
Нам также понадобится разложение приращений нормированных флюктуаций в следующей
форме:
∆ζN (k) := µN (k + 1)− aζN (k), k > 0, (15)
в которой мартингал-разность
µN (k + 1) := ∆ζN (k) + aζN (k), k > 0, (16)
характеризуется следующими свойствами:
E[µN (k + 1)|ζN (k)] = 0, k > 0,
E[µ2
N (k + 1)|ζN (k)] = B
(
ρ+
ζN (k)√
N
)
, k > 0,
B(s) := 1− C2(s).
(17)
3. Диффузионная аппроксимация СЭ в дискретно-непрерывном времени.
Диффузионная аппроксимация строится для нормированных флюктуаций (11) при мас-
штабировании дискретного времени k = [Nt], t > 0.
Предложение 2. Марковский процесс с дискретно-непрерывным временем ζ0N (t), t > 0
задается следующим разностным стохастическим уравнением для приращений:
∆ζ0N (t) = −aζ0N (t)
N
+
∆µ0
N(t)√
N
, 0 6 t 6 T, (18)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
в котором мартингал-разности ∆µ0
N(t) характеризуются свойствами
E[∆µ0
N (t)|ζ0N (t)] = 0,
E[(∆µ0
N (t))2|ζ0N (t)] = B
(
ρ+
ζ0N (t)√
N
)
.
(19)
Основной результат настоящей работы сформулирован в следующей теореме.
Теорема 3. При сходимости (по вероятности) начальных условий
ζ0N (0)
P→ ζ0, N → ∞,
имеет место сходимость конечномерных распределений процессов
ζ0N (t)
D→ ζ0(t), N → ∞, (20)
к предельному диффузионному процессу ζ0(t), t > 0, типа Орнштейна–Уленбека, задавае-
мого производящим оператором (генератором)
L0ϕ(s) = −asϕ′(s) +
1
2
σ2ϕ′′(s), σ2 = 1− ρ2. (21)
Аналогичный результат можно сформулировать для масштабированного процесса нор-
мальной авторегрессии аппроксимирующего СЭ (9)–(10).
Предложение 3. Процесс нормальной авторегрессии в дискретно-непрерывном вре-
мени задается приращениями
∆ζ̃0N (t) = −aζ̃0N (t)
N
+
(
σ√
N
)
∆W (t), 0 6 t 6 T. (22)
Мартингальная составляющая в формуле (22) задается приращениями стандартного
нормального процесса W (t), t > 0:
∆W (t) := W (t+ 1)−W (t),
которые характеризуются двумя моментами:
E∆W (t) = 0, E[∆W (t)]2 = 1. (23)
Теорема 4. При сходимости (по вероятности) начальных условий
ζ0N (0)
P→ ζ0, N → ∞,
имеет место сходимость конечномерных распределений процесса нормальной авторегрес-
сии, задаваемого соотношениями (22)–(23):
ζ̃0N (t)
D→ ζ0(t), N → ∞, 0 6 t 6 T, (24)
к диффузионному процессу ζ0(t) типа Орнштейна–Уленбека, задаваемого генератором (21),
причем диффузионный процесс ζ0(t), t > 0 является решением стохастического диффе-
ренциального уравнения
dζ0(t) = −aζ0(t)dt+ σdW (t). (25)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 21
4. Обоснование диффузионной аппроксимации. Основная идея доказательства
предельных теорем для марковских случайных процессов состоит в применении оператор-
ной характеризации марковского процесса (генератором) на классе числовых функций с ар-
гументом во множестве значений марковского процесса. Сходимость производящих опера-
торов на достаточно богатом классе числовых функций обеспечивает сходимость конечно-
мерных распределений процессов [3, 4].
Следуя монографии [4] (см. также [5]), введем генератор марковских процессов в схеме
серий
LNϕ(s) = NE[ϕ(s +∆ζ0N (t))− ϕ(s)|ζ0N (t) = s]. (26)
Существенный этап доказательства теоремы 3 состоит в применении теоремы 1
А.В. Скорохода [4; 2 : 1], из которой следует сходимость (20) конечномерных распреде-
лений флюктуаций СЭ относительно эквилибриума.
Существенный этап доказательства теоремы 3 содержится в следующей лемме.
Лемма 1. Имеет место сходимость генераторов (26):
lim
N→∞
LNϕ(s) = L0ϕ(s), ϕ(s) ∈ C3(R) (27)
на классе C3(R) числовых финитных функций, трижды непрерывно дифференцируемых
с ограниченными производными. Предельный генератор
L0ϕ(s) = −asϕ′(s) +
1
2
σ2ϕ′′(s), σ2 = 1− ρ2 (28)
задает предельный процесс типа Орнштейна–Уленбека (25).
Доказательство. Используя представление приращений (18) марковского процесса
флюктуаций ζ0N (t), t > 0, вычислим первые два момента приращений.
С учетом (19) находим
E[∆ζ0N (t)|ζ0N (t) = s] = −as
N
, (29)
E[(∆ζ0N (t))2|ζ0N (t) = s] =
B(ρ)
N
+O
(
1
N3/2
)
. (30)
Здесь (см. формулу (8), а также (3))
B(ρ) = 1− C2(ρ) = 1− ρ2 =: σ2. (31)
Теперь применим формулу Тейлора в представлении (26) генератора LN к тест-функции
ϕ(s) ∈ C3(R):
LNϕ(s)= N
[
E[∆ζ0N (t)|ζ0N (t)= s]ϕ′(s)+ E[(∆ζ0N (t))2|ζ0N (t)= s]
1
2
ϕ′′(s) +RNϕ(s)
]
. (32)
Здесь остаточный член по условию теоремы 3 имеет оценку
RNϕ(s) = O
(
1
N2
)
,
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
Используя представления (29), (30) первых двух моментов приращений, получаем
LNϕ(s) = L0ϕ(s) +NRNφ(s), (33)
в котором остаточный член
NRNϕ(s) → 0, N → ∞, ϕ(s) ∈ C3(R). (34)
Из представлений (33), (34) следует утверждение леммы 1.
Аналогично доказывается теорема 4. Введем генератор приращений (22) марковского
процесса ζ̃0N (t), t > 0:
L̃Nϕ(s) = N [E[ϕ(s +∆ζ̃0N (t))− ϕ(s)]|ζ̃0N (t) = s]. (35)
Вычисляются первые два момента приращений с учетом (23):
E[∆ζ̃0N (t)|ζ̃0N (t) = s] = −as
N
,
E[(∆ζ̃0N (t))2|ζ̃0N (t) = s] = σ2 +O
(
1
N3/2
)
.
(36)
Теперь аналогично доказывается следующая лемма.
Лемма 2. Имеет место сходимость генераторов (35), (36)
lim
N→∞
L̃Nϕ(s) = L0ϕ(s), ϕ(s) ∈ C3(R), (37)
на классе числовых финитных функций C3(R) трижды непрерывно дифференцированных
с ограниченными производными. Предельный генератор L0 задается представлением (28).
Утверждение теоремы 4 следует из леммы 2 с применением теоремы 9 [6, c. 415].
Замечание 2. Утверждение теоремы 4 можно получить в виде следствия теоремы 8 [6,
c. 406], используя следующее представление решения разностного стохастического уравне-
ния (22):
ζ̃0N (t) = ζ̃0N (0)− a
[Nt]/N∫
0
ζ̃0N (τ)dτ +
σ√
N
W ([Nt]). (38)
При этом следует проверить выполнимость условий теоремы 8 [6, c.406] для функций
aN (t, s) = NEfN (t, s;W ),
B(t, s) = NEf2
N (t, s;W ),
fN (t, s;W ) := −as
N
+
σ√
N
W.
(39)
Здесь W — нормально распределенная стандартная случайная величина (EW = 0, EW 2 =
= 1).
Приведенные в теоремах 3 и 4 аппроксимации флюктуаций СЭ могут быть использованы
в статистическом анализе СЭ с применением методов математической статистики.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 23
1. Королюк Д.В. Рекуррентные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией //
Укр. мат. вестн. – 2012. – 9, № 4. – С. 560–567.
2. Королюк Д.В. Бинарные повторяющиеся статистические эксперименты с настойчивой линейной ре-
грессией // Там же. – 2013. – 10, № 4. – С. 497–506.
3. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes: characterization and convergence. – New York: Wiley, 1986. –
534 p.
4. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1987. – 328 с.
5. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Singapore; London: World Scien-
tific, 2005. – 331 p.
6. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 611 с.
Поступило в редакцию 17.10.2013Институт телекоммуникаций и глобального
информационного пространства
НАН Украины, Киев
Д.В. Королюк
Дифузiйна апроксимацiя статистичних експериментiв
з наполегливою лiнiйною регресiєю та еквiлiбрiумом
Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою лiнiйною ре-
гресiєю та еквiлiбрiумом марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt],
0 6 t 6 T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека
з неперервним часом.
D.V. Koroliouk
Diffusion approximation of statistical experiments with persistent linear
regression and equilibrium
We propose an approximation of statistical experiments with persistent linear regression and equi-
librium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 6 t 6 T , for which the
diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck-type process with continuous time is constructed.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
|