Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом

С помощью метода суперпозиции решена граничная задача об антисимметричных колебаниях упругого полуслоя со свободными боковыми поверхностями и защемленным торцом. Рассмотрен процесс отражения первой и второй распространяющихся мод. Проанализированы особенности распределения вносимой в упругий полусло...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Гринченко, В.Т., Городецкая, Н.С., Старовойт, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87271
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87271
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-872712015-10-17T03:01:38Z Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В. С помощью метода суперпозиции решена граничная задача об антисимметричных колебаниях упругого полуслоя со свободными боковыми поверхностями и защемленным торцом. Рассмотрен процесс отражения первой и второй распространяющихся мод. Проанализированы особенности распределения вносимой в упругий полуслой энергии между различными распространяющимися модами. Показано, что в данном случае, в отличие от симметричных колебаний, значительной трансформации энергии падающей волны в моды высших порядков не происходит. За допомогою методу суперпозиції розв'язано граничну задачу про антисиметричні коливання пружного півшару з вільними бічними поверхнями і затисненим торцем. Розглянуто процес відбиття першої та другої мод, які поширюються. Проаналізовано особливості розподілу енергії, що вноситься у пружний півшар, між різними нормальними хвилями, які поширюються. Показано, що у даному випадку, на відміну від симетричних коливань, значної трансформації енергії падаючої хвилі у моди вищих порядків не відбувається. The problem on antisymmetric vibrations of elastic half-layer with free lateral surfaces and fixed edge has been solved by a superposition method. The process of reflection of the first and second propagating normal waves has been considered. It has been analyzed how does the energy brought in the elastic half-layer distributes between various propagating modes. It was shown, that in this case, as opposed to the symmetric vibrations, there is no significant energy transformation from the incident wave to modes of higher orders. 2009 Article Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87271 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	С помощью метода суперпозиции решена граничная задача об антисимметричных колебаниях упругого полуслоя со свободными боковыми поверхностями и защемленным торцом. Рассмотрен процесс отражения первой и второй распространяющихся мод. Проанализированы особенности распределения вносимой в упругий полуслой энергии между различными распространяющимися модами. Показано, что в данном случае, в отличие от симметричных колебаний, значительной трансформации энергии падающей волны в моды высших порядков не происходит.
format	Article
author	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В.
spellingShingle	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В. Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом Акустичний вісник
author_facet	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В.
author_sort	Гринченко, В.Т.
title	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом
title_short	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом
title_full	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом
title_fullStr	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом
title_full_unstemmed	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом
title_sort	антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87271
citation_txt	Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT grinčenkovt antisimmetričnyekolebaniâpolusloâszaŝemlennymtorcom AT gorodeckaâns antisimmetričnyekolebaniâpolusloâszaŝemlennymtorcom AT starovojtiv antisimmetričnyekolebaniâpolusloâszaŝemlennymtorcom
first_indexed	2025-07-06T14:51:42Z
last_indexed	2025-07-06T14:51:42Z
_version_	1836909595885305856
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 УДК 539.3 АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУСЛОЯ С ЗАЩЕМЛЕННЫМ ТОРЦОМ В. Т. Г РИ Н Ч ЕН К О, Н. С. Г ОР О Д ЕЦ К А Я, И. В. С ТА РО ВО Й Т Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 12.06.2009 С помощью метода суперпозиции решена граничная задача об антисимметричных колебаниях упругого полуслоя со свободными боковыми поверхностями и защемленным торцом. Рассмотрен процесс отражения первой и второй распространяющихся мод. Проанализированы особенности распределения вносимой в упругий полуслой энергии между различными распространяющимися модами. Показано, что в данном случае, в отличие от симметричных колебаний, значительной трансформации энергии падающей волны в моды высших порядков не происходит. За допомогою методу суперпозицiї розв’язано граничну задачу про антисиметричнi коливання пружного пiвшару з вiльними бiчними поверхнями i затисненим торцем. Розглянуто процес вiдбиття першої та другої мод, якi поширю- ються. Проаналiзовано особливостi розподiлу енергiї, що вноситься у пружний пiвшар, мiж рiзними нормальними хвилями, якi поширюються. Показано, що у даному випадку, на вiдмiну вiд симетричних коливань, значної транс- формацiї енергiї падаючої хвилi у моди вищих порядкiв не вiдбувається. The problem on antisymmetric vibrations of elastic half-layer with free lateral surfaces and fixed edge has been solved by a superposition method. The process of reflection of the first and second propagating normal waves has been considered. It has been analyzed how does the energy brought in the elastic half-layer distributes between various propagating modes. It was shown, that in this case, as opposed to the symmetric vibrations, there is no significant energy transformation from the incident wave to modes of higher orders. ВВЕДЕНИЕ Анализ распространения волн в упругих телах конечных размеров позволил установить суще- ствование ряда специфических явлений, не имею- щих аналогов в акустике и электродинамике. Осо- бенности волновых эффектов в упругих телах об- условлены существованием двух типов волн и их взаимодействием на границе. Одним из наиболее простых и хорошо известных волновых движений, обусловленных взаимодействием двух типов волн на границе, является поверхностная волна Рэлея, которая распространяется вдоль свободной беско- нечной границы упругого полупространства и за- тухает в глубину. В пространственно ограниченных упругих те- лах волновая картина значительно усложняется за счет наличия конечного участка границы. Так- же могут появляться угловые точки в пересечении гладких частей границы, что ведет к существенно- му усложнению структуры волнового поля. Кро- ме того, сложность решения граничной задачи в значительной мере зависит от типа условий, при- нимаемых на разных частях границы упругого те- ла. Наиболее простыми оказываются задачи, свя- занные с одновременным заданием на одной части границы нормальной (касательной) компоненты смещения и касательной (нормальной) составляю- щей тензора напряжений, а на другой – обеих ком- понент смещения или напряжения. Граничные за- дачи, в которых на всех участках границы однов- ременно заданы напряжения (смещения), значи- тельно более сложны, однако на сегодняшний день методы их решения достаточно хорошо разрабо- таны. Задачи со смешанными типами условий на стыках участков границ (две компоненты смеще- ния и две компоненты напряжения) являются са- мыми трудными, поскольку в точках смены типа условий могут возникать локальные особенности поля, где наблюдается неограниченный рост опре- деленных характеристик [1]. В целом при изучении волновых явлений в упру- гих телах конечных размеров следует выделить два момента. Первый из них связан с разработкой методов решения граничных задач для ограничен- ных тел, а второй – с анализом физических причин возникновения специфических волновых явлений в них. В этой работе на примере рассмотрения зада- чи об антисимметричных колебаниях упругого по- луслоя с защемленным торцом значительное вни- мание уделяется развитию метода суперпозиции для решения смешанных граничных задач. Кро- ме того, анализируются частотные зависимости энергетических характеристик волнового поля, во- збуждаемого падающей нормальной волной. При этом особый акцент делается на структуре волно- вого поля и роли различных типов нормальных фолн в его формировании. 32 c© В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт, 2009 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 Вначале кратко остановимся на анализе мето- дов решения смешанных граничных задач теории упругости с угловыми точками. В настоящее вре- мя известно строгое решение ряда таких задач, прежде всего, для плоского клина с различными типами граничных условий на гранях и различ- ными углами раствора [2]. На этих примерах по- казано, что напряженное состояние вблизи угло- вых точек – сложное, для него характерна быстрая изменяемость и наличие локальных интегрируе- мых особенностей. Как правило, при существова- нии локальных особенностей в характеристиках волновых полей возникает неоднозначность в ре- шении граничной задачи, когда можно построить несколько решений, удовлетворяющих основным уравнениям задачи и отличающихся только ско- ростью стремления к бесконечности той или иной характеристики поля. В этом случае для построе- ния единственного решения необходимо дополни- тельно выполнить условия на ребре, т. е. корре- ктно определить характер особенности. Вопрос об особенностях при гармонических про- цессах в упругих телах решается на основе ана- лиза соответствующих статических граничных за- дач [3]. Решение последних в полярных координа- тах можно получить с использованием преобразо- вания Меллина или на основе общего представле- ния функции напряжения. Необходимо отметить, что исследования особенности, выполненные с по- мощью преобразования Меллина, относятся к пря- мым методам, в то время как локальные иссле- дования путем построения местного решения – к полуобратным. Это следует их того, что в пер- вом случае тип особенности следует из обратно- го преобразования Меллина для напряжений, а во втором – функции напряжений задаются в виде некоторого степенного ряда, показатели степени которого находят из условия существования не- тривиального решения. Физически важным явля- ется требование конечности энергии деформации, накопленной в окрестности “подозрительных” на сингулярность точках границы. Анализ результатов исследований особенностей в статических задачах теории упругости содержи- тся в работах [4,5]. Кроме того, важен вывод о том, что эти особенности можно определить, рассма- тривая упругие поля в окрестности сингулярных точек, независимо от решения общей граничной задачи для области с углами, т. е. они, по-сути, заранее известны [6]. Знание характера особен- ности оказывается существенным при построении эффективных алгоритмов решения граничных за- дач для областей с угловыми точками. В настоящее время предложен ряд подходов для решения граничной задачи о симметричных коле- баниях полуслоя со свободными боковыми поверх- ностями и защемленным торцом. Впервые грани- чная задача для полуполосы с защемленным тор- цом была рассмотрена Бенсемом [7], в работе ко- торого особенность по напряжениям учитывалась путем введения отдельного члена в решении. Это приводило к переопределенности при нахождении напряжений и, следовательно, к плохой обуслов- ленности системы уравнений. В дальнейшем эта задача изучалась в статье [8], где напряжение так- же представлялось в виде суммы бесконечного ря- да по ортогональным функциям и отдельного чле- на, описывающего особенность, что не устраняло отмеченный недостаток. Энергетическим аспектам отражения первой симметричной волны от защемленного торца вол- новода посвящена работа [9], в которой грани- чная задача решалась методом однородных ре- шений без учета особенности по напряжениям в угловой точке. В рамках указанного метода на основе свойства обобщенной ортогональности в работах [10, 11] были предложены способы учета особенности по напряжениям в точке смены ти- па граничных условий, однако анализ ближнего поля не проводился. В статье [12] при рассмо- трении симметричных колебаний полуслоя с за- щемленным торцом использовался метод суперпо- зиции. Данный метод учитывает особенность по напряжениям, возникающую в точке смены ти- па граничных условий, и позволяет создать алго- ритм расчета, адекватно описывающий особенно- сти ближнего поля. При этом напряжения и сме- щения, найденные методом суперпозиций, могут быть представлены как разложение по нормаль- ным модам. Это позволяет провести достаточно полный анализ волнового поля в ближней зоне. В этой статье метод суперпозиции развивается для решения задачи о колебаниях полуограничен- ного слоя со свободными боковыми поверхностя- ми и защемленным торцом. Особое внимание уде- ляется анализу особенностей распределения энер- гии по распростроаняющимся модам при отра- жении нормальных волн от защемленного торца полуслоя при его антисимметричных колебаниях. При этом нашей главной задачей было выяснение физических причин, вызывающих перераспреде- ление энергии, вносимой в волновод, между раз- личными распространяющимися модами. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим плоскую задачу определения свойств волнового поля в изотропном полубеско- В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 33 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 0 -1 y z yy=0 yz=0 yy=0 yz=0 u(0) u 1 Рис. 1. Система кординат и геометрия задачи нечном упругом слое \|Z\|≤H, Z≥0, −∞<Y <∞ (случай плоской деформации) с заданными фи- зическими характеристиками: модулем сдвига µ, коэффициентом Пуассона ν и плотностью ρ. Выбор системы координат геометрия области показаны на рис. 1. Волны предполагаются гар- моническими с круговой частотой ω. Зависимость от времени кинематических и силовых характери- стик поля задается множителем e ∗ −iωt, который в последующих выкладках опускается. Частота ω считается положительной вещественной ве- личиной. Рассматривается антисимметричное относительно плоскости Y =0 волновое поле. При построении решения вводятся безразмерные координаты соотношениями y=Y/H , z=Z/H . Волновое поле в полуслое возбуждается при отражении от защемленного торца приходящих из бесконечности различных распространяющихся нормальных волн u (0)(y, z), рис. 1. Для нахожде- ния характеристик отраженных волн u (1)(y, z) не- обходимо решить следующую граничную задачу для уравнений движения Ламе [3]: uz + u(0) z = 0, z = 0, \|y\| ≤ 1, uy + u (0) y = 0, z = 0, \|y\| ≤ 1, σyy = τyz(±1, z) = 0, y = ±1, z ≥ 0. (1) Индекс “0” соответствует падающей волне, смеще- ния в которой задаются в виде u(0) y =C0ξ ( α2 shα2y shα2 − ξ2+α2 2 2α1 shα1y chα1 ) e−iξz, u(0) z =C0i ( ξ2 ch α2y ch α2 − ξ2+α2 2 2 ch α1y chα1 ) e−iξz, (2) где ξ – постоянная распространения, равная дей- ствительному корню дисперсионного уравнения, которое для антисимметричных колебаний изо- тропного бесконечного слоя со свободными по- верхностями записывается так: ∆(ξ) = ξ2α2thα2 − ( 2ξ2−Ω2 )2 thα1 4α1 = 0. (3) Здесь αj =        √ ξ2 − Ω2 j , \|ξ\| ≥ Ωj , −i √ Ω2 j − ξ2, \|ξ\| < Ωj ; (4) Ω1 =ωh/cl; Ω2 =ωh/cs; cl и cs – скорости продоль- ной и поперечной волн соответственно. В дальнейшем количественные характеристики волновых полей будем нормировать на амплитуду падающей волны C0. Дополнительно к граничным условиям (1) дол- жны выполняться условия излучения, заключа- ющиеся в том, что каждая распространяющаяся нормальная волна уносит энергию от торца полу- слоя на бесконечность. 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ В данной статье применяем метод суперпози- ции [3], в рамках которого строится решение гра- ничной задачи для антисимметричных колебаний волновода. Следуя общей схеме метода [13], ком- поненты вектора смещений (z≥0) запишем в виде uy = ∞ ∑ k=1 ( Akq1e −q1z +Bkβke −q2z ) sinβky− − i 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )Uz(τ, y)e iτzdτ, uz = ∞ ∑ k=1 ( Akβke −q1z +Bkq2e −q2z ) cosβky+ + 1 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )Uy(τ, y)eiτzdτ (5) 34 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 с неизвестными постоянными Ak, Bk (k=1, 2, . . .) и функцией x(τ ). Кроме того, здесь положено Uy(τ, y) = τ2 ch p2y ch p2 − (τ2 + p2 2) 2 ch p1y ch p1 ; Uz(τ, y) = −τ ( p2 sh p2y ch p2 − (τ2 + p2 2) 2 sh p1y ch p1 ) ; pj =      √ τ2 − Ω2 j , \|τ \| ≥ Ωj, −i √ Ω2 j − τ2, \|τ \| < Ωj; qj =      √ β2 k − Ω2 j , \|βk\| ≥ Ωj , −i √ Ω2 j − β2 k , \|βk\| < Ωj ; βk = 2k − 1 2 π. Представление (5) выбрано таким образом, что- бы условие отсутствия касательных напряжений на поверхностях y=±1 выполнялось автоматиче- ски. Удовлетворение оставшихся граничных усло- вия приводит к системе интегро-алгебраических уравнений относительно неизвестных Ak, Bk, k=1, 2, . . . и функции x(τ ): x(τ )∆(τ ) + 2 ∞ ∑ k=1 ( Ak q1(β 2 k + Ω2 0) τ2 + q21 + +βk q22 τ2 + q22 ) (−1)k = 0, Ak(−1)kq1 +Bk(−1)kβk = = −ξ ( 2p2 2 p2 2 + β2 k − ξ2 + p2 2 p2 1 + β2 k ) × × ( Ak +Bk q2 βk ) (−1)k− − 1 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )ak(τ )dτ = iak(ξ). (6) Здесь введены обозначения ak(τ ) = p2 1(τ ) ( 2τ2 β2 k + p2 2(τ ) − τ2 + p2 2(τ ) β2 k + p2 1(τ ) ) ; 2Ω2 0 = Ω2 2 − 2Ω2 1 ; ∆(τ )=0 – дисперсионное уравнение Рэлея – Лэмба, которое на действительной оси имеет ко- нечное число корней ±ξj (j=1, . . . , J), значения которых и их количество J зависят от частоты ω. В рассматриваемой граничной задаче необходи- мо удовлетворить граничные условия по смещени- ям (1), которые не имеют локальных особенностей в угловых точках, однако ряды по смещениям на граничной поверхности (z=0, y=±1) при подхо- де к углу будут сходиться очень медленно и по- лучить по ним достоверные результаты возможно только, если известно асимптотическое поведение неизвестных и функции x(τ ). Анализ асимптоти- ческого поведения неизвестных в системе (6) осно- ван на априорно известных свойствах напряжений вблизи угловых точек. В окрестности угла напря- жения имеют степенную особенность, что позво- ляет записать выражение для напряжения в виде σzz(±1, z) = σ1 (1 − y2)1−ε + ψ1(y), σyy(±1, z) = σ2 (1 − y2)1−ε + ψ2(y). (7) Здесь ψ1(y); ψ2(y) – некие гладкие функции. Отметим, что асимптотика для неизвестных Ak, Bk (k≥N) может быть представлена через выра- жения для обоих нормальных напряжений σzz и σyy, как в данной случае, или через разложения для нормального и касательного напряжений, как в [12, 14]. Это говорит о том, что форма пред- ставления для асимптотики неизвестных не бу- дет однозначной. Неоднозначность представления асимптотики неизвестных не приводит к каким- либо трудностям при решении поставленной гра- ничной задачи и не упрощает процедуру нахожде- ния асимптотических свойств неизвестных. Есте- ственно, что независимо от выбора формы пред- ставления для больших номеров Ak и Bk уравне- ние для определения показателя особенности со- храняет свою форму и совпадает с уравнением Дандерса [4]. Процедура нахождения асимптотики для неиз- вестных системы (6) аналогична описанной в ра- ботах [12, 14], поэтому здесь на ней останавлива- ться не будем. Приведем выражения для асимпто- тических значений неизвестных Ak, Bk и функции x(τ ), полученные через слагаемые с особенностью в нормальных напряжениях (7): В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 35 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 Ak = Jε+0.5(βk) βε−0.5 k σ1 − σ2 Ω2 1 − Ω2 2 , Bk = Jε+0.5(βk) βε−0.5 k ( σ2 − σ1 Ω2 1 − Ω2 2 + σ1 β2 k ) , x(τ ) = √ 2cth πε 2 ( σ1(1 − ε) + σ2(1 + ε) ) √ π ( Ω2 1 − Ω2 2 ) τ1+ε . (8) Здесь Jν(x) – функция Бесселя ν-го порядка. С учетом приведенных асимптотических выра- жений для неизвестных первое уравнение систе- мы (6) принимает вид x(τ )∆(τ ) + 2 N ∑ k=1 ( Ak q1(β 2 k + Ω2 0) τ2 + q21 + +βk q22 τ2 + q22 ) (−1)k + SN (τ ) = 0, SN (τ ) = ctg πε 2 Ω2 1 − Ω2 2 [ (σ1 − σ2)(Ω 2 1R1 − 2R2)+ +2σ1(Ω 2 1 − Ω2 2)(−R1 + R3) ] . (9) Здесь R1 = 1 Γ(ε+ 0.5)2ε+0.5 + N ∑ k=1 (−1)kJε−0.5 βε+0.5 k ; R2 = τ2 Iε−0.5(p2) 2pε−0.5 2 ch p2 − (τ2 − Ω2 2 2 )× × Iε−0.5(p1) 2pε−0.5 1 ch p1 + Ω2 1 2 2τ − Ω2 2 2p2 1 × × ( 1 Γ(ε+ 0.5)2ε+0.5 − Iε−0.5(p1) 2pε−0.5 1 ch p1 ) + + N ∑ k=1 (−1)kJε−0.5 βε−0.5 k ( τ2βk β2 k + p2 2 − −(2τ2 − Ω2 2)βk 2(β2 k + p2 1) + Ω2 1 2 2τ2 − Ω2 2 2βk(β2 k + p2 1) ) ; R3 = τ2 p2 2 ( 1 Γ(ε+ 0.5)2ε+0.5 − Iε−0.5(p2) 2pε−0.5 2 ch p2 ) − − N ∑ k=1 (−1)kJε−0.5 βε−0.5 k τ2 β2 k + p2 2 ; Iν(x) – модифицированная функция Бесселя; Γ(ε) – гамма-функция. Используя соотношения (8) и сохраняя в си- стеме (6) только главные члены, получим систе- му однородных уравнений. Условие существова- ния ненулевого решения для постоянных σ1, σ2 дает трансцендентное уравнение для ε: (3 − 4ν) sin2 πε 2 + ( ε− 2(1 − ν) ) × × ( ε+ 2(1 − ν) ) = 0, которое совпадает с уравнением для определения особенности по напряжениям для четвертьплоско- сти [4]. Знание асимптотических свойств неизвестных Ak, Bk позволяет использовать метод улучшен- ной редукции при решении системы интегро- алгебраических уравнений (6). Это, в свою оче- редь, дает возможность определить с наперед за- данной точностью значения неизвестных, а следо- вательно, поля напряжений и перемещений. Переход от интегро-алгебраических уравне- ний (6) к системе линейных алгебраических урав- нений аналогичен проделанному в работе [12] и здесь на нем останавливаться не будем. Отме- тим только, что для замыкания системы из 2K уравнений с 2K+2 неизвестными Ak, Bk (k=1, 2 . . . , 2K), σ1, σ2 существует ряд подхо- дов. Например, в качестве еще двух уравне- ний можно использовать асимптотические зна- чения неизвестных в виде (8) или соотношения uz(±1, 0)+u (0) z (±1, 0)=0, uy(±1, 0)+u (0) y (±1, 0)=0. В этой работе для замыкания системы использова- лись соотношения (8). Для подтверждения досто- верности полученного решения проверялась точ- ность удовлетворения граничных условий на за- щемленной поверхности z=0, y=±1. С учетом асимптотических свойств неизвест- ных (8) выражение для смещений на торце может быть представлено в виде 36 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 uy = N ∑ k=1 (Akβk+Bkq2) cos βky+ + Ω2 2(σ1 − σ2) + 2σ1(Ω 2 1 − Ω2 2) 2(Ω2 1 − Ω2 2) × × ( (1 − y2)ε √ πεΓ(ε)2ε+0.5 − − N ∑ k=1 Jε+0.5(βk) βε+0.5 k cos βky ) − − 1 2π [ N ∑ k=1 2(−1)kAkq1(β 2 k + Ω2 0)× × ( T ∫ 0 Uy(τ, y) ∆(τ )(τ2 + q21) dτ+ + N ∑ k=1 2(−1)kBkβkq 2 2 T ∫ 0 Uy(τ, y) ∆(τ )(τ2 + q22) + + T ∫ 0 Uy(τ, y)SN (τ ) ∆(τ ) dτ+ + ctg πε 2√ 2π ( (1 + ε)(σ1 − σ2) − 2σ1 ) × × ( (1 − y)εΓ ( 1 − ε, T (1 − y) ) + +(1 + y)εΓ ( 1 − ε, T (1 + y) ) )] , uz = − N ∑ k=1 (Akq1 + Bkβk) sinβky− −2σ1(Ω 2 1 − 2Ω2 2) + Ω2 1σ2) 2(Ω2 1 − Ω2 2) × ×ctg πε 2 ( y(1 − y2)ε √ πεΓ(ε)2ε+0.5 − − N ∑ k=1 Jε+1.5(βk) βε+0.5 k sinβky ) . (10) Здесь Γ(ε, T ) – неполная гамма-функция. В таблице приведены данные о значениях ком- понент смещения в различных точках на торце по- луслоя при учете 20 неизвестных в рядах для ча- стоты Ω2 =1.1. Для неизвестных с номерами k≥20 использовались асимптотические зависимости (8). При выполнении расчетов верхняя граница в ин- теграле принималась равной T =150, а для боль- ших значений τ использовались асимптотические зависимости. Для компоненты uy в таблице приве- дены значения мнимых и действительных частей. Максимальная ошибка обусловлена именно дей- ствительными ее величинами. В падающей волне смещение uy – чисто мнимое, а uz – действитель- ное. Рассчитанные мнимые части данной компо- ненты смещения в отраженном поле не приведе- ны ввиду их малости (не более 10−8). В последнем столбце таблицы для примера приведены величи- ны u (1) z , полученные без учета асимптотических свойств неизвестных методом простой редукции. Сравнение смещений в падающей волне и в отраженном поле показывает, что точность удов- летворения граничных условий на торце па- дает при приближении к угловой точке z=0, y=±1, однако величина погрешности удовлетво- рения граничных условий в наихудшем случае не превышает 4.3 % от соответствующей компонен- ты падающей волны. Сравнение смещений, полу- ченных при учете асимптотических свойств неиз- вестных и методом простой редукции, показыва- ет, что в данной граничной задаче учет асимпто- тических свойств неизвестных лишь незначитель- но улучшает точность удовлетворения граничных условий. Тем не менее, для получения локальных характеристик поля (речь идет о напряжении на торцевой поверхности), асимптотические свойства неизвестных необходимо учитывать. При исполь- зовании метода простой редукции адекватно опи- сать поле напряжений не удается. Используя значения неизвестных, полученные в рамках метода суперпозиции с учетом особенно- сти по напряжениям в угловой точке, можно по аналогии с [12] определить коэффициент возбуж- дения j-ой нормальной волны: Cj = [ N ∑ k=1 (−1)k2 ( Ak (β2 k + Ω2 0)q1 ξ2j + q21 + +Bk βkq 2 2 ξ2j + q22 ) + SN (τ ) ] 1 ∆′(ξj) . (11) Важной характеристикой волновых процессов является трансформация энергии падающей вол- ны в нормальные отраженные волны. Средний за период поток мощности, уносимый распространя- ющимися волнами, будет W = J ∑ j=1 Wj, Wj = µω Ω2 2 2 \|Cj\|2∆′(ξj)∆ ′(ξj). (12) В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 37 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 Таблица. Компоненты смещения торца полуслоя при учете 20 неизвестных в рядах (Ω2=1.1) y u (0) y Im (uy) Re (uy) u (0) z uz u (1) z 0.02 0.6751 0.6751 0.1415 · 10−3 0.4011 · 10−2 0.4011 · 10−2 0.3799 · 10−2 0.1 0.6749 0.6750 0.4645 · 10−3 0.2023 · 10−1 0.2023 · 10−1 0.2023 · 10−1 0.2 0.6743 0.6745 0.4824 · 10−3 0.4159 · 10−1 0.4159 · 10−1 0.4159 · 10−1 0.3 0.6732 0.6733 0.5149 · 10−3 0.6524 · 10−1 0.6524 · 10−1 0.6523 · 10−1 0.4 0.6711 0.6713 0.5668 · 10−3 0.9238 · 10−1 0.9237 · 10−1 0.9236 · 10−1 0.5 0.6678 0.6679 0.6482 · 10−3 0.1242 0.1242 0.1242 0.6 0.6625 0.6627 0.7789 · 10−3 0.1624 0.1624 0.1623 0.7 0.6546 0.6549 0.1006 · 10−2 0.2082 0.2082 0.2081 0.8 0.6432 0.6436 0.1469 · 10−2 0.2635 0.2635 0.2634 0.9 0.6271 0.6278 0.2781 · 10−2 0.3303 0.3303 0.3299 0.92 0.6232 0.6233 0.3960 · 10−3 0.3452 0.3452 0.3436 0.94 0.6191 0.6179 0.4458 · 10−2 0.3606 0.3606 0.3602 0.96 0.6147 0.6133 0.4681 · 10−2 0.3767 0.3767 0.3792 0.98 0.6100 0.6111 0.5869 · 10−2 0.3933 0.3933 0.3953 1 0.6050 0.6110 0.2631 · 10−1 0.4106 0.4106 0.4017 Здесь J – число распространяющихся волн, ко- торые могут существовать на данной частоте; Wj – поток мощности, переносимый j-ой волной. Выполнение закона сохранения энергии служит одним из критериев проверки правильности по- лученных результатов. Закон сохранения энергия при численных расчетах выполнялся с высокой точностью. Так, при учете только пяти членов ряда погрешность выполнения закона сохранения энергии при учете асимптотических свойств неиз- вестных составляла 0.1%, а при простой редукции системы – 0.26%. При увеличении числа членов ряда погрешность уменьшалась. Это еще раз под- тверждает возможность расчета интегральных ха- рактеристик поля и характеристик дальнего поля без учета асимптотических свойств неизвестных. 3. АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ДАННЫХ Переходя к анализу количественных данных, отметим, что мы рассматриваем диапазон частот, в котором может существовать три нормальные распространяющиеся волны. В него входит уча- сток с “обратной” волной. Прежде всего, остановимся на отражении от за- щемленного торца первой нормальной волны. Рас- смотрим распределение энергии падающей волны между различными отраженными распространя- ющимися модами в зависимости от частоты Ω2. На рис. 2 приведены такие данные для среднего за период потока мощности Ej , переносимого j- ой распространяющейся отраженной волной, нор- 2 1 2 3 4 5 Ej/E0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 Рис. 2. Частотные зависимости среднего за период потока мощности для различных отраженных распространяющихся мод при падении на защемленный торец первой нормальной волны мированного на на мощность падающей волны E0 (E0,j =W0,j/(µω)). Номера кривых соответствуют номерам распространяющихся волн. Отличительной особенностью отражения пер- вой антисимметричной волны от защемленного торца является слабая трансформация энергии па- дающей волны в моды высших порядков. В ди- апазоне частот 0<Ω2≤π/2, где существует толь- ко одна распространяющаяся волна, вся подводи- 38 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 мая к торцу энергия уносится единственной отра- женной распространяющейся волной. На частоте Ω2 =π/2 в отраженном поле появляется вторая ра- спространяющаяся волна и переносимая первой отраженной волной энергия падает, достигая сво- его минимального значения – 79.4 % энергии па- дающей волны E0 на частоте Ω2 =2.06. В отличие от отражения первой антисимметри- чной волны от свободного торца, в рассматрива- емом случае первая отраженная волна остается наиболее энергетически выраженной и при даль- нейшем увеличении частоты ее энергия возраста- ет. Вблизи частоты запирания для третьей нор- мальной волны первая отраженная волна пере- носит практически всю поступающую в полуслой энергию, т. е. существует частота, на которой в отраженном поле вторая мода практически выро- ждается. Как и при отражении первой антисим- метричной волны от свободного торца [15], здесь “обратная волна” возбуждается слабо и переносит всего несколько процентов энергии падающей вол- ны. Она существует в узком частотном диапазоне и на рис. 2 не представлена. Начиная с частоты запирания для третьей мо- ды, энергия первой отраженной волны падает, а энергия, которую переносит третья мода, увели- чивается. Хотя моды высших порядков и проявля- ют частотную зависимость, однако они возбужда- ются относительно слабо. Таким образом, при ан- тисимметричной деформации полуслоя с защем- ленным торцом первая распространяющаяся вол- на во всем рассмотренном частотном диапазоне не теряет своего доминирующего значения и наблю- дается лишь слабая трансформация энергии пада- ющей волны в моды высших порядков. Сравним процесс отражения первой антисим- метричной волны при силовых и кинематических граничных условиях на торце, воспользовавшись данными работы [15], в которой приведены часто- тные зависимости переносимого распространяю- щимися модами среднего за период потока мощ- ности при отражении первой антисимметричной волны от свободного торца полуслоя. Очевидно, что явление перекачки энергии падающей волны в отраженные моды высших порядков в упругом волноводе наблюдается всегда, независимо от ти- па граничных условий на торце. Как отмечалось в [15], этот эффект обусловлен тем, что в упру- гом волноводе невозможно выполнить граничные условия на торце только за счет наложения отра- женной волны того же типа, что и падающая, но с измененной фазой. Если учитывать только па- дающую и одну отраженную волну, то для полу- слоя со свободным торцом выполнение граничных 2 0 1 2 3 4 5 Cj 0 0.5 1 1.5 1 2 3 4 5 Рис. 3. Частотные зависимости модулей амплитуд нормальных волн при отражении первой нормальной волны от защемленного торца полуслоя условий по нормальным напряжениям приводит к двукратному увеличению касательных напря- жений на торце. Для защемленного торца ситуа- ция аналогична – выполнение граничных условий по горизонтальной компоненте смещения при уче- те только двух (падающей и одной отраженной) волн, приводит к удвоению вертикального смеще- ния на торце. Тип граничных условий на торце определяет интенсивность процесса трансформации энергии падающей волны и частотные зависимости энер- гии, которую переносят волны в отраженном поле. При отражении от свободного торца наблюдается существенная трансформация энергии падающей волны в моды высших порядков и существуют ди- апазоны частот, в которых такие моды энергети- чески наиболее выражены. Более того, на опреде- ленных частотах в отраженном поле первая мода отсутствует полностью [15]. Таким образом, изменение типа граничных условий на торцевой поверхности качественно изменяет процесс отражения первой антисимме- тричной волны от торца упругого полуслоя. Сле- дует отметить, что пространственное распределе- ние напряжений и смещений в нормальных модах отраженного поля не зависит от типа граничных условий на торце, а определяется дисперсионными соотношениями. Поэтому объяснение отличий при отражении нормальной волны от торца при кине- матических и силовых граничных условиях следу- ет искать, анализируя частотные зависимости ам- В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 39 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 2 0 1 2 3 4 5 Cj 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1s 2s 3s 4s Рис. 4. Частотные зависимости модулей амплитуд нормальных волн при отражении первой нормальной волны от свободного торца полуслоя плитуд нормальных волн. Такие зависимости для нормальных волн волн отраженного поля, гене- рируемого нормальной волной, падающей на за- щемленный торец упругого полуслоя, приведены на рис. 3. Кривой 1 представлена первая рас- пространяющаяся волна. Кривая 2 в диапазоне частот 0≤Ω2≤π/2 соответствует чисто мнимому корню дисперсионного уравнения, а при Ω2≥π/2 описывает амплитуду второй распространяющей- ся моды. Кривая 3 в диапазоне 0≤Ω2≤Ω∗ соответ- ствует первому комплексному корню дисперсион- ного уравнения (3), который вырождается в дей- ствительный на частоте Ω∗. Начиная с нее, кри- вая 3 описывает амплитуду третьей распространя- ющейся волны. Для ν=0.3 имеем Ω∗=4.713. Кри- вая 4 дает амплитуду нормальной волны, соответ- ствующей второму комплексному корню, а кри- вая 5 – амплитуду волны с чисто мнимым волно- вым числом. На рис. 4 приведены частотные зависимости мо- дулей амплитуд нормальных волн при отраже- нии первой моды от свободного торца полуслоя. Обозначения кривых аналогичны (они помечены индексом s). Сравнивая рис. 3 и 4, прежде все- го, отметим, что вблизи частоты запирания для второй распространяющейся волны Ω2≈π/2 ам- плитуда моды, соответствующая первому компле- ксному корню (C3), при силовых и кинематиче- ских граничных условий существенно отличается. Для защемленного торца она превышает ампли- туду второй моды (для Ω2≤π/2 – это волны с чи- сто мнимым волновым числом, а для Ω2≥π/2 – распространяющаяся волна). Для свободного тор- ца амплитуда волны с первым комплексным кор- нем (C3s) значительно меньше амплитуд распро- страняющихся волн. При этом C3s�C3. Отметим еще одно характерное различие в поведении ам- плитуд нормальных волн при отражении первой моды от свободного и защемленного торцов. При свободном торце первая отраженная распростра- няющаяся волна на частоте запирания для второй моды изменяет знак, что соответствует набегу ее фазы, равному π. В то же время, при отражении от защемленного торца при переходе через указан- ную частоту запирания эта фаза остается постоян- ной. Таким образом, хотя моды с комплексными вол- новыми числами и не переносят энергию от тор- ца волновода, однако они оказывают значительное влияние на структуру поля вблизи торца волново- да, а уровень их возбуждения определяется типом граничных условий на торце полуслоя. При анализе энергетических характеристик ин- тересно рассмотреть влияние типа симметрии за- дачи на процесс отражения от торца упругого волновода. Отражение симметричной нормальной волны от свободного торца волновода изучалось в [16 –18]. Отражению симметричной нормальной волны от защемленного торца посвящены рабо- ты [17, 19]. Анализируя их, следует отметить, что для обоих типов граничных условий на торце на- блюдается сильная трансформация энергии пада- ющей волны в моды высших порядков. Значитель- ное возбуждение указанных мод для обоих типов граничных условий наблюдалось до частоты запи- рания для четвертой распространяющейся моды. Для более высоких частот при кинематических граничных условиях первая отраженная волна пе- реносит более 50 % величины E0, а при силовых – сильная трансформация энергии падающей волны в моды высших порядков сохраняется [16, 17]. Таким образом, независимо от типа симметрии, при отражении первой моды от свободного тор- ца существуют частоты, на которых в отражен- ном поле первая мода отсутствует. В то же время, независимо от типа симметрии, при отражении от защемленного торца нет частот, на которых пер- вая отраженная волна вырождается. Тем не менее, для обоих типов симметрии на частоте запирания для третьей моды в отраженном поле вся энер- гия уносится первой распространяющейся волной, а вторая мода практически вырождается. Независимо от типа симметрии и граничных условий на торцевой поверхности, энергия, кото- рую переносят моды высших порядков, увеличива- 40 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 ется, когда частота превышает соответствующие частоты запирания. Станут ли эти моды наибо- лее энергетически выраженными, зависит от типа симметрии, граничных условий на торце и способа возбуждения волнового поля [12, 13, 15, 17, 19]. Рассмотрим отражение второй нормальной вол- ны от свободного торца. Она становится распро- страняющейся, начиная с Ω2 =π/2. На рис. 5 пред- ставлена частотная зависимость нормированного на мощность падающей волны среднего за пери- од потока мощности Ej/E0 для различных отра- женных распространяющихся мод. Как и в случае, когда волновое поле создается первой антисимме- тричной волной, при возбуждении полуслоя вто- рой модой в области частот, где существуют толь- ко две распространяющиеся волны, наблюдается слабая трансформация энергии падающей волны в другие нормальные волны. “Обратная волна” здесь также возбуждается слабо и в узком часто- тном диапазоне (на рис. 5 она не приведена). Начи- ная с частоты запирания для третьей моды, ситу- ация меняется. Энергия, переносимая третьей мо- дой, с ростом частоты резко возрастает и в узком диапазоне Ωk3≥Ω2≥5.05 эта мода доминирует. Как и при отражении первой моды, в данном случае вблизи частоты запирания для третьей мо- ды вся энергия уносится от торца только второй волной, т. е. волной того же типа, что и падающая. В отраженном поле первая мода на указанной ча- стоте вырождается практически полностью. Под- черкнем, что в обоих случаях это одна и та же частота, на которой первый комплексный корень вырождается в действительный – Ω2 =Ω∗=4.709. Отметим еще один интересный результат, кото- рый следует из сравнения рис. 2 и 5. В диапазоне частот, когда в полуслое существует только две бе- гущие изгибные волны, оба рисунка практически совпадают (с точностью до замены номеров кри- вых 1 и 2). Аналогичное подобие кривых, характе- ризующих трансформацию энергии при отраже- нии первой и второй антисимметричных мод, было обнаружено в [15] для случая свободного торца. Это позволяет распространить приведенное в ука- занной работе правило взаимности на случаи отра- жения первой и второй антисимметричных волн от защемленного торца. Пусть процесс отражения первой нормальной волны от защемленного тор- ца полуслоя описывается некоторым зависящим от частоты коэффициентом трансформации энергии во вторую нормальную волну λ12: E2 =λ12E1 По сути, кривая 2 на рис. 2 в этом частотном диапазо- не дает величину λ12. Она с графической точность совпадает с кривой 1 на рис. 5, которая является коэффициентом трансформации энергии в первую 2 2 3 4 5 Ej/E0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 Рис. 5. Частотные зависимости среднего за период потока мощности для различных отраженных распространяющихся мод при падении на защемленный торец второй нормальной волны моду при отражении второй волны, т. е. λ21. Из сравнения двух графиков следует, что λ12 =λ21. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотрены частотные зависимости энергии, которую переносят различные распространяющи- еся моды при антисимметричных колебаниях по- луслоя с защемленным торцом. Волновое поле в полуслое возбуждалось при отражении первой или второй распространяющихся волн от защемленно- го торца. Установлено, что в области частот, где существуют только две распространяющиеся вол- ны, не наблюдается значительной трансформации энергии падающей волны в распространяющиеся моды высших порядков. При отражении первой распространяющейся волны эта мода сохраняет свою доминирующую роль выше частоты запира- ния второй и третьей моды. При отражении вто- рой распространяющейся волны от защемленного торца в отраженном поле вторая распространяю- щаяся мода переносит более 80 % энергии пада- ющей волны до частоты запирания для третьей моды. Отмеченная особенность отражения нормаль- ных антисимметричных мод от защемленного тор- ца не наблюдалась при их отражении от свободно- го торца. Для отражения от свободного торца пер- вой антисимметричной моды выше частоты запи- рания для второй моды происходит резкое изме- нение энергии, которую переносит первая отра- В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 41 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 32 – 42 женная волна. Для случая отражения второй ан- тисимметричной моды от свободного торца также характерна значительная трансформация энергии падающей волны в моду другого порядка выше частоты запирания для второй моды. При изме- нении типа симметрии (т. е. при отражении пер- вой симметричной волны как от свободного, так и от защемленного торца) выше частоты запирания для второй моды наблюдается сильная трансфор- мация энергии падающей волны в моды высших порядков. Слабая трансформация энергии падающей вол- ны в моды других порядков при отражении анти- симметричной волны от защемленного торца вбли- зи частоты запирания для второй моды обуслов- лена значительным возбуждением мод с компле- ксными волновыми числами. В окрестности ча- стоты запирания для второй моды модуль ам- плитуды волны с первым комплексным числом для частот Ω2≤Ωk2 больше амплитуды волны с чисто мнимым волновым числом, а для частот Ω2≥Ωk2 – больше амплитуды второй распростра- няющейся волны. Такое значительное возбужде- ние волн с первым комплексным волновым числом при отражении антисимметричной волны от сво- бодного торца и симметричной волны от свобод- ного или защемленного торцов вблизи частоты за- пирания для второй моды не наблюдалось. 1. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. О локальных осо- бенностях в математических моделях физических полей // Мат. мет. фiз.-мех. поля.– 1998.– 41, N 1.– С. 77–82. 2. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в за- дачах теории упругости.– Л.: Наука, 1967.– 402 с. 3. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 4. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из гра- ней упругих клиньев, изготовленных из различ- ных материалов и имеющих произвольные углы // Прикл. мех. Тр. Амер. общ-ва инж.-мех.– 1971.– 38, N 2.– С. 87–96. 5. Bogy D. B. The plane solution for joined dissimilar elastic semistrips under tension // Trans. ASME, E.– 1975.– 45, N 1.– P. 93–98. 6. Аксентян О. К. Особенности напряженно- деформированного состояния плиты в окрестно- сти ребра // Прикл. мат. мех.– 1967.– 31, N 1.– С. 178–186. 7. Benthem J. P. A Laplace transform method for the solution of semi-infinite and finite strip problem in stress analysis // Quart. J. Mech. Appl. Math.– 1963.– 16.– P. 413–429. 8. Gregory R. D., Gladwell I. The reflection of a symmetric Rayleigh –Lamb wave at the fixed or free edge of a plate // J. Elast.– 1983.– 13.– P. 185–206. 9. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Трансформа- ция энергии падающей волны при отражении от защемленного торца полуполосы // Прикл. мех.– 1991.– 27, N 5.– С. 77–82. 10. Гетман И. П., Лисицкий О. Н. Об отражении из- гибных волн Лэмба от границы раздела двух со- стыкованных полуполос // Прикл. мех.– 1991.– 27, N 5.– С. 77–82. 11. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Лапина О. Н. Ди- фракция нормальных мод в составных и ступен- чатых упругих волноводах // Прикл. мат. мех.– 1998.– 62, N 2.– С. 297–303. 12. Городецкая Н. С. К задаче об отражении первой симметричной нормальной волны от защемленно- го торца полуполосы // Акуст. вiсн.– 1999.– 2, N 2.– С. 26–34. 13. Мелешко В. В., Татуян В. Б. Возбуждение гармо- нических волн Лэмба в полубесконечном упругом слое // Акуст. ж.– 1987.– 33, N 5.– С. 919–926. 14. Грiнченко В.Т., Городецька Н. С. Метод суперпо- зицiї стосовно граничних задач для неоднорiдних хвилеводiв // Мат. мет. фiз.-мех.поля.– 2006.– 49, N 1.– С. 20–33. 15. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С., Старо- войт И. В. Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя // Акуст. вiсн.– 2007.– 10, N 3.– С. 42–54. 16. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. Продольные волны Лэмба в полубесконечном упругом слое // Прикл. мех.– 1991.– 27, N 6.– С. 53–59. 17. Gregory R. D., Gladwell I. The reflection of a symmetric Rayleigh –Lamb wave at fixed or free edge of a plate // J. Elast..– 1984.– 20, N 9.– P. 12–16. 18. Morvan B., Wilkie-Chancellier N., Duflo H., Tinel A., Duclos J. Lamb wave reflaction at the free edge of a plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 2003.– 113, N 3.– P. 1417–1425. 19. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Трансформа- ция энергии падающей волны при отражении от защемленного торца полуполосы // Прикл. мех.– 1991.– 27, N 5.– С. 77–82. 42 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт

Антисимметричные колебания полуслоя с защемленным торцом

Репозитарії

Схожі ресурси