Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны

Проанализированы особенности резонанса на неоднородных волнах при антисимметричных колебаниях полуслоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом в зависимости от коэффициента Пуассона. Найдено резонансное увеличение модуля амплитуды первой неоднородной волны в диапазоне, где распростра...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Гринченко, В.Т., Городецкая, Н.С., Старовойт, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87275
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 2. — С. 16-24. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87275
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-872752015-10-17T03:01:42Z Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В. Проанализированы особенности резонанса на неоднородных волнах при антисимметричных колебаниях полуслоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом в зависимости от коэффициента Пуассона. Найдено резонансное увеличение модуля амплитуды первой неоднородной волны в диапазоне, где распространяются две нормальные моды. Показано, что при переходе через резонансную частоту фаза комплексной амплитуды первой неоднородной волны меняет знак. Резонансное поведение первой неоднородной волны наблюдается не для всех коэффициентов Пуассона. Проаналізовано особливості резонансу на неоднорідних хвилях при антисиметричних коливаннях півшару з вільними бічними поверхнями й вільним торцем в залежності від коефіцієнта Пуассона. Знайдено резонансне збільшення модуля амплітуди першої неоднорідної хвилі в діапазоні, де поширюються дві нормальні моди. Показано, що при переході через резонансну частоту фаза комплексної амплітуди першої неоднорідної хвилі змінює знак. Резонансна поведінка першої неоднорідної хвилі спостерігається не для всіх коефіцієнтiв Пуассона. The paper deals with analyzing the resonance features on the inhomogeneous waves at antisymmetric vibrations of a half-layer with free lateral surfaces and free edge, depending on the Poisson's ratio. The resonant increase of the amplitude's module of the first inhomogeneous wave has been found in that range where two propagating modes exist. The phase of the complex amplitude of the first inhomogeneous wave changes its sign when passing through the resonant frequency. The resonant behavior of the first inhomogeneous wave is observed not for all Poisson's ratios. 2009 Article Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 2. — С. 16-24. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87275 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Проанализированы особенности резонанса на неоднородных волнах при антисимметричных колебаниях полуслоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом в зависимости от коэффициента Пуассона. Найдено резонансное увеличение модуля амплитуды первой неоднородной волны в диапазоне, где распространяются две нормальные моды. Показано, что при переходе через резонансную частоту фаза комплексной амплитуды первой неоднородной волны меняет знак. Резонансное поведение первой неоднородной волны наблюдается не для всех коэффициентов Пуассона.
format	Article
author	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В.
spellingShingle	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В. Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны Акустичний вісник
author_facet	Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Старовойт, И.В.
author_sort	Гринченко, В.Т.
title	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны
title_short	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны
title_full	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны
title_fullStr	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны
title_full_unstemmed	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны
title_sort	антисимметричные колебания полуслоя. неоднородные волны
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87275
citation_txt	Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, И.В. Старовойт // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 2. — С. 16-24. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT grinčenkovt antisimmetričnyekolebaniâpolusloâneodnorodnyevolny AT gorodeckaâns antisimmetričnyekolebaniâpolusloâneodnorodnyevolny AT starovojtiv antisimmetričnyekolebaniâpolusloâneodnorodnyevolny
first_indexed	2025-07-06T14:52:00Z
last_indexed	2025-07-06T14:52:00Z
_version_	1836909614828879872
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 УДК 539.3 АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУСЛОЯ. НЕОДНОРОДНЫЕ ВОЛНЫ В. Т. Г Р И Н Ч ЕН К О, Н. С. Г ОР ОД Е ЦК А Я, И. В. СТА РО В ОЙ Т Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 21.10.2009 Проанализированы особенности резонанса на неоднородных волнах при антисимметричных колебанях полуслоя со свободными боковыми поверхностями и свободным торцом в зависимости от коэффициента Пуассона. Найдено резонансное увеличение модуля амплитуды первой неоднородной волны в диапазоне, где распространяются две нормальные моды. Показано, что при переходе через резонансную частоту фаза комплексной амплитуды первой неоднородной волны меняет знак. Резонансное поведение первой неоднородной волны наблюдается не для всех коэффициентов Пуассона. Проаналiзовано особливостi резонансу на неоднорiдних хвилях при антисиметричних коливаннях пiвшару з вiльни- ми бiчними поверхнями й вiльним торцем в залежностi вiд коефiцiєнта Пуассона. Знайдено резонансне збiльшення модуля амплiтуди першої неоднорiдної хвилi в дiапазонi, де поширюються двi нормальнi моди. Показано, що при переходi через резонансну частоту фаза комплексної амплiтуди першої неоднорiдної хвилi змiнює знак. Резонансна поведiнка першої неоднорiдної хвилi спостерiгається не для всiх коефiцiєнтiв Пуассона. The paper deals with analyzing the resonance features on the inhomogeneous waves at antisymmetric vibrations of a half- layer with free lateral surfaces and free edge, depending on the Poisson’s ratio. The resonant increase of the amplitude’s module of the first inhomogeneous wave has been found in that range where two propagating modes exist. The phase of the complex amplitude of the first inhomogeneous wave changes its sign when passing through the resonant frequency. The resonant behavior of the first inhomogeneous wave is observed not for all Poisson’s ratios. ВВЕДЕНИЕ Внимание к эффектам локализации движения вблизи вертикальных границ в волноводах со сво- бодными боковыми поверхностями не ослабевает, несмотря на значительное количество посвящен- ных этому вопросу работ и более чем полувеко- вую историю исследований. В этом ряду наибо- лее известен и относительно хорошо изучен кра- евой резонанс – явление возбуждения колебаний на так называемой краевой форме колебаний, при которой имеет место сильная локализация дви- жения вблизи торца волновода. Эксперименталь- но краевой резонанс впервые наблюдался Шоу (Shaw) в 1956 г., когда при исследовании коле- баний в круглых пьезокерамических дисках была обнаружено, что зона больших смещений состре- доточена вблизи края диска, а резонансная ча- стота не зависит от его радиуса [1]. Аналогич- ная форма колебаний обнаружена в эксперимен- тах на длинных стальных цилиндрах Оливером (Oliver) в 1957 г. [2]. В работе (Gazis) и Миндлина (Mindlin) [3] явление краевого резонанса впервые было связано со спецификой возбуждения неодно- родных волн. К настоящему времени накоплен огромный объем информации, основанный на эксперимен- тальных, численных и численно-аналитических подходах, и описывающий различные стороны проявления краевого резонанса. Для достижения более глубокого понимания специфики возбужде- ния неоднородных волн значительное внимание было уделено анализу краевого резонанса в по- луограниченных телах [3 – 11]. Особо отметим ста- тью [12], в которой приведены экспериментальные данные о краевом резонансе в алюминиевой пла- стине при падении на ее торец распространяющей- ся симметричной нормальной волны и проведено сравнение полученных результатов с расчетом по методу однородных решений и конечных элемен- тов. Многочисленные работы по краевому резо- нансу в полуограниченных телах показали, что в объектах типа полуполосы и полуцилиндра часто- та краевого резонанса, на которой происходит ло- кализация движения вблизи торца, совпадает с ре- зонансной частотой в конечных цилиндрах и пла- стинах. Для симметричных колебаний полуслоя краевой резонанс изучался при различных способах воз- буждения волнового поля: вынужденной нагруз- кой на торце или при отражении от него первой ра- спространяющейся волны [8,12 –14]. В этом случае указанное явление наблюдается тогда, когда в вол- новоде существует только одна распространяюща- яся нормальная волна (мода) – первая. При этом частота краевого резонанса существенно увеличи- вается с ростом коэффициента Пуассона ν . Более того, при изменении величины ν меняется степень 16 c© В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт, 2009 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 возбуждения неоднородных волн и ширина поло- сы частот, где они эффективно возбуждаются (до- бротность резонанса). Последнее явно указывает на зависимость характеристик краевого резонанса от соотношения сдвиговых и объемных компонен- тов в нормальной волне. На частоте краевого резонанса амплитуда не- однородных волн остается конечной величиной практически для всех значений коэффициента Пуассона, кроме ν=0 и 0.224896 [4, 15, 16], что обусловлено связанностью единственной распро- страняющейся и неоднородных волн через грани- чные условия. Вследствие этого в полуслой вно- сится радиационное демпфирование и амплиту- ды неоднородных волн остаются ограниченными. Что же касается двух отмеченных значений ко- эффициентов Пуассона, то для них можно полу- чить действительный резонанс на неоднородных волнах при вынужденных колебания за счет соо- тветствующего выбора нагрузки на торце. В этом случае первая нормальная мода отражается от свободного торца без возбуждения дополнитель- ных волновых движений. Для ν=0 при выну- жденных колебаниях полуслоя, вводя самоуравно- вешенную нагрузку, удается устранить связь ме- жду распространяющейся и неоднородными вол- нами. Тогда на частоте краевого резонанса ампли- туда неоднородной волны стремится к бесконечно- сти [4, 5, 7, 9, 16]. Для ν∼0.224896 частота краево- го резонанса совпадает с частотой моды Ламе, ко- торая, как известно, ортогональна по напряжени- ям ко всем неоднородным волнам. Тогда связь ме- жду распространяющейся и неоднородными вол- нами можно устранить, возбуждая полуслой на- грузкой, ортогональной моде Ламе. При симметричных колебаниях полуцилиндра для ν=0, как и для полуслоя, связь между един- ственной распространяющейся и неоднородными волнами можно устранить за счет соответствую- щего выбора характера нагружения торца. Возбу- ждая полуограниченный волновод самоуравнове- шенной нагрузкой, на некоторой частоте можно получить действительный резонанс, когда ампли- туды смещений обращаются в бесконечность. В случае неосесимметричных колебаний полуцилин- дра в некотором частотном диапазоне распростра- няющиеся волны отсутствуют, независимо от ве- личины ν , поскольку наименьшая частота запира- ния волновода больше нуля. Здесь также наблю- дается неограниченный рост амплитуд смещений, т. е. резонанс на неоднородных волнах проявляе- тся в чистом виде [4]. Для антисимметричных (изгибных) колебаний полуслоя ситуация иная. Для такого вида дви- жений краевого резонанса в области существова- ния одной распространяющейся моды нет [19], хо- тя при ее отражении от торца возбуждается вся совокупность неоднородных волн. Отметим, что в низкочастотном пределе неоднородная ампли- туда волны с чисто мнимым волновым числом превышает амплитуду распространяющейся вол- ны в √ 2 раз. Процесс отражения первой анти- симметричной волны от свободного торца полу- слоя рассматривался в публикациях [20 – 22]. В статьях [22, 23] показано, что в диапазоне суще- ствования двух распространяющихся мод наблю- дается увеличение амплитуды неоднородной вол- ны, соответствующей первому комплексному кор- ню дисперсионного уравнения. В работе [23] вол- новое поле в полуслое возбуждалось первой рас- пространяющейся волной, приходящей из бесконе- чности. В статье [22] обнаружено увеличение ам- плитуд смещений на торце полуслоя при выну- жденных антисимметричных колебаниях. Пока- зано, что на частоте максимума амплитуды вол- ны с комплексным волновым числом увеличивае- тся энергия, поступающая в волновод. За счет со- гласования характера распределения внешней на- грузки по толщине волновода с распределением напряжений в неоднородной волне можно увели- чить степень ее возбуждения. Увеличение ампли- туд смещений на соответствующей частоте дости- гается за счет изменения нагрузки на торце. При этом, в отличие от случая симметричных колеба- ний, при антисимметричных колебаниях полуслоя амплитуды неоднородных волн высших порядков не имеют максимумов на частоте максимума ам- плитуды первой неоднородной волны. В этой работе рассматриваются особенности возбуждения неоднородных волн при антисимме- тричных колебаниях полуслоя. Показано, что яв- ление типа краевого резонанса существует и при антисимметричных колебаниях, однако оно на- блюдается не для всех коэффициентов Пуассона. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕ- ШЕНИЯ Для случая плоской деформации рассмотрим задачу определения волнового поля в изотропном полубесконечном упругом слое \|Y \| ≤ H, Z ≥ 0, −∞ < X < ∞ с заданными физическими характеристиками – модулем сдвига µ, коэффициентом Пуассона ν и плотностью ρ (рис. 1). Волны предполагаются гармоническими с круговой частотой ω. Зависи- мость кинематических и силовых характеристик В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 0 -1 y z u(0) u 1 Рис. 1. Система координат и геометрия задачи от времени задается множителем e−iωt, который опускается в последующих выкладках. Частота ω считается положительной вещественной вели- чиной. Волновое поле полагается антисимметри- чным относительно плоскости Y =0. При постро- ении решения вводятся безразмерные координаты y=Y/H и z=Z/H . Изучим процесс отражения приходящей из бе- сконечности первой нормальной волны u (0)(y, z) от свободного торца волновода. Для нахождения характеристик отраженных волн u (1)(y, z) для ве- кторного уравнения движения Ламе [4] µ ∆u + (λ + µ) grad div u = ρ ∂2 u ∂t2 (1) необходимо решить граничную задачу σzz(y, 0)+σ (0) zz (y, 0)=0, z=0, \|y\|≤1, τzy(y, 0)+τ (0) zy (y, 0)=0, z=0, \|y\|≤1, σyy(±1, z)=0, τyz(±1, z)=0, y=±1, z≥0. (2) Напряжения в падающей волне задаются в виде σ (0) zz 2µ = i ( (ξ2 + α2 2) 2α1 (ξ2 + Ω2 0)α1× ×sh α1y sh α1 − ξ2α2 sh α2y ch α2 ) e−iξz , τ (0) zz 2µ = ξ ξ2 + α2 2 2 ( ch α2y ch α2 − ch α1y ch α1 ) e−iξz , (3) где ξ – постоянная распространения, равная дей- ствительному корню дисперсионного уравнения. Дополнительно к граничным условиям (2) дол- жны выполняться условия излучения на бесконе- чности, заключающиеся в том, что каждая рас- пространяющаяся нормальная волна уносит энер- гию от торца полуполосы на бесконечность. Дисперсионное уравнение для изгибных колеба- ний изотропного бесконечного слоя со свободными поверхностями имеет вид ∆(ξ) = ξ2α2thα2 − ( 2ξ2−Ω2 )2 thα1 4α1 = 0, αj =      √ ξ2 − Ω2 j , \|ξ\| ≥ Ωj, −i √ Ω2 j − ξ2, \|ξ\| < Ωj; (4) Ω1 =ωh/cl; Ω2 =ωh/cs; cl и cs – скорость продоль- ной и поперечной волн соответственно. Это урав- нение хорошо изучено. При фиксированном значе- нии частоты оно имеет конечное число веществен- ных и чисто мнимых корней и бесконечное – ком- плексных [4]. В настоящей работе для решения поставленной граничной задачи использовался метод одноро- дных решений. В его основе лежит представление волнового поля в виде ряда по системе нормаль- ных волн, каждая из которых удовлетворяет усло- вию отсутствия напряжений на боковых поверхно- стях полуслоя. Таким образом, общее решение гра- ничной задачи (1), (2) может быть представлено в виде σ(0) zz (ξ1, y)e−iξ1z = ∞ ∑ j=1 Cjσzz(ξj, y)eiξj z, τ (0) zy (ξ1, y)e−iξ1z = ∞ ∑ j=1 Cjτzy(ξj , y)eiξjz. (5) Здесь ξ1 – первый действительный корень диспер- сионного уравнения (4); Cj и ξj – соответствен- но комплексные амплитуды и волновые числа всех нормальных волн, которые могут существовать на данной частоте. Решив систему функциональных уравнений (5), получим значения коэффициентов Cj и точное удовлетворение граничных условий на торце. Основная трудность при практическом ее реше- нии связана с алгебраизацией краевой задачи. По- скольку в упругих волноводах нормальные вол- ны образуют неортогональную систему функций, а сами эти функции и соответствующие им соб- ственные значения комплексны, то на поверхности z=0 необходимо разлагать σ (0) zz (ξ1, y) и τ (0) zy (ξ1, y) по неортогональной системе частных решений σzz(ξj, y) и τzy(ξj , y). К настоящему времени мето- ды точного решения таких функциональных урав- 18 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 нений не разработаны. Тем не менее, существу- ет ряд приемов, позволяющих получить из со- отношений (5) бесконечные системы алгебраиче- ских уравнений для определения Cj. В рамках метода однородных решений – это способ колло- каций [18, 23], метод наименьших квадратов [18], вариационные подходы для удовлетворения гра- ничных условий [6, 8, 10]. Кроме них, необходимо отметить методики, основанные на использовании условия обобщенной ортогональности. Независи- мо от способа реализации метода однородных ре- шений, бесконечная система алгебраических урав- нений решается методом редукции. В нашей работе использовался способ коллока- ций, при котором для перехода от функциональ- ных уравнений к алгебраическим граничные усло- вия (2) удовлетворяются в некотором числе точек N . Общее количество точек равно количеству нор- мальных мод, которые учитываются для удовле- творения граничных условий на торце. В методе коллокаций используются все действительный и чисто мнимые корни, а также ограниченное ко- личество пар комплексных корней дисперсионно- го уравнения (4), которые могут существовать на частоте заданной нагрузки. Нормальные моды с комплексными волновыми числами учитываются парами (±Re ξ+iIm ξ), что позволяет организо- вать в отраженном поле стоячую волну, которая затухает по амплитуде, но энергию в дальнее по- ле не переносит. Для выбранной системы коорди- нат использовались корни дисперсионного урав- нения (4) с положительной мнимой частью. Точ- ки коллокаций, в которых точно удовлетворяются граничные условия, располагались по поверхности z=0 равномерно. При этом точки коллокаций для нормального и касательного напряжений не совпа- дали, а чередовались. Последнее требование весь- ма существенно, так как без этого может наблю- даться падение точности выполнения граничных условий при увеличении числа точек. Общее количество точек коллокаций выбира- лось, исходя из требуемого качества выполне- ния граничных условий на торце. Точность реше- ния задачи характеризовалась невязкой ε, которая определялась в ряде точек, не совпадающих с то- чками коллокаций, согласно соотношению ε1 = ( σ0 zz − N ∑ j=1 Cjσzy(ξj, yk) )2 + + ( τ0 zy − N ∑ j=1 Cjτzy(ξj , yk) )2 , ε = √ ε1 σ0 zz × 100 %. Таблица. Модули комплексных амплитуд первых двух распространяющихся нормальных волн для ν =0.3 суперпозиция однородн. решения Ω2 \|C1\| \|C2\| \|C1\| \|C2\| 1.6 0.55799 0.21997 0.55796 0.21999 1.8 0.061710 0.43488 0.061701 0.43491 2.0 0.15488 0.49736 0.15492 0.49739 2.2 0.30446 0.52425 0.30465 0.52426 2.4 0.42502 0.53363 0.42517 0.53361 2.6 0.52959 0.53122 0.52932 0.53115 2.8 0.62333 0.51818 0.62334 0.51803 3.0 0.71338 0.49233 0.71321 0.49220 3.2 0.79945 0.44809 0.79933 0.44807 3.4 0.88158 0.37627 0.88147 0.37530 3.6 0.95255 0.26008 0.95256 0.25995 3.8 0.99559 0.08316 0.99577 0.08326 4.0 0.99051 0.13189 0.99058 0.13174 4.2 0.96704 0.25431 0.96687 0.25661 4.4 0.99799 0.06399 0.99801 0.06433 4.6 0.98073 0.19459 0.98112 0.19526 4.7 0.96370 0.26387 0.96390 0.26382 При учете двадцати пар комплексных корней по- грешность удовлетворения граничных условий по напряжениям на торце полуслоя не превышала 0.5 % напряжения в падающей волне. Дополни- тельным критерием правильности полученных ре- зультатом был контроль за точностью удовле- творения закона сохранения энергии. Эта погре- шность не превышала 0.02 % энергии падающей волны. В работе [25] задача от отражении первой нор- мальной волны от свободного торца полуслоя со свободными боковыми поверхностями была реше- на методом суперпозиции. Решение граничной за- дачи, полученное в рамках этого метода, было представлено через комплексные амплитуды нор- мальных волн Cj. В таблице приведены модули комплексных ам- плитуд первой (C1) и второй (C2) распростра- няющихся нормальных волн для коэффициента Пуассона ν =0.3, полученные двумя различными методами – однородных решений и суперпози- ции. Здесь и далее количественные характеристи- ки волновых полей нормированы на амплитуду падающей волны. Видно, что для данной задачи в рассмотренном частотном диапазоне оба мето- да дают практически одинаковые (с точностью до трех знаков после запятой) значения амплитуд ра- спространяющихся нормальных мод. В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 ReIm 0 2 4 6 2 1 2 3 4 5 1 2 3 Рис. 2. Действительные и чисто мнимые участки спектра для антисимметричных колебаний полуслоя при ν =0.2 Re 0 2 4 6 Im 1 2 3 2 2 4 6 1 2 3 K1 I1 I2 Рис. 3. Дисперсионные кривые для антисимметричных колебаний полуслоя при ν =0.36 2 0 1 2 3 4 5 Cj 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 2i 3 4 Рис. 4. Частотные зависимости модулей амплитуд нормальных волн в отраженном поле при ν =0.3 2. ДИСПЕРСИОННЫЕ КРИВЫЕ Прежде чем перейти к дальнейшему анализу ре- зультатов решения поставленной граничной зада- чи для различных значений частоты и коэффици- ента Пуассона, кратко остановимся на особенно- стях кривых, входящих в дисперсионный спектр при антисимметричных колебаниях полуслоя. Отметим, что численные значения (до четырех цифр после запятой) действительных, чисто мни- мых и первой пары комплексных корней диспер- сионного уравнения (4) для коэффициента Пу- ассона ν =0.3 можно найти в работе [26]. Каче- ственный анализ дисперсионного уравнения для симметричных колебаний содержится в моногра- фии [4]. Представляет интерес проведение анало- гичного анализа для антисимметричных колеба- ний. Рассмотрим некоторые особенности диспер- сионного спектра в диапазоне частот Ω2 от 0 до 5 для разных значений коэффициента Пуассона. Структура действительных и чисто мнимых участков спектра для антисимметричных колеба- ний полуслоя с коэффициентом Пуассона ν=0.2 представлена на рис. 2. Здесь и далее номера кривых соответствуют номерам нормальных мод. Для данного коэффициента Пуассона первый ком- плексный корень дисперсионного уравнения выро- ждается в действительный в точке относительного минимума третьей дисперсионной ветви. Вблизи этой точки действительная ветвь опускается ниже частоты запирания и появляется участок спектра с отрицательной кривизной, описывающий “обра- тную” волну. Минимальное значение частоты, при котором еще существует распространяющаяся мо- да, является частотным минимумом и обозначае- тся через Ω∗ 2. Оно, как и величина участка с отри- цательной кривизной, существенным образом за- висит от коэффициента Пуассона. В отличие от симметричных колебаний, в дан- ном случае первый комплексный корень перехо- дит с ростом частоты в действительный не для всех коэффициентов Пуассона. Например, для ко- эффициентов Пуассона ν>0.32 этот корень выро- ждается в чисто мнимый. На рис. 3 представлена именно такая ситуация (здесь ν =0.36). Как будет показано в дальнейшем, такое ка- чественное изменение поведения первого компле- ксного корня дисперсионного уравнения (4) с рос- том коэффициента Пуассона обуславливает суще- ственное изменение в характере возбуждения не- однородных волн при отражении падающей нор- мальной волны от торца волновода. 20 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 3. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗА- ДАЧИ Перейдем к анализу численных результатов, ха- рактеризующих волновое поле при антисимме- тричных колебаниях полуслоя. Основное внима- ние будет уделено степени возбуждения неодноро- дных волн в зависимости от частоты и коэффици- ента Пуассона при отражении от свободного торца первой распространяющейся волны. На рис. 4 представлены частотные зависимо- сти модулей амплитуд нормальных волн в отра- женном поле для коэффициента Пуассона ν=0.3. Кривые 1 и 2 соответствуют первой и второй рас- пространяющимся волнам, а кривые 3 и 4 – модам с первым и вторым комплексными волновыми чи- слами. Часть кривой 2, обозначенная как 2i, соот- ветствует участку существования этой моды в ка- честве неоднородной волны с чисто мнимым вол- новым числом. Как следует из графика, на частоте Ω2 =4.17 модуль амплитуды первой неоднородной волны (кривая 3) в 2.9 раза превышает амплитуду падающей волны и в 11 раз – амплитуду второй отраженной распространяющейся волны. Еще одна характерная особенность зависимо- стей, представленных на рис. 4, – возрастание мо- дуля амплитуды второй неоднородной волны на частоте Ω2 =4.4 (кривая 4). Хотя ее амплитуда меньше, чем у падающей или первой отражен- ной распространяющейся волны (см. кривую 1), однако она превышает амплитуду второй распро- страняющейся отраженной волны (см. кривую 2). Важная особенность возбуждения неоднородных волн в случае антисимметричных колебаний полу- слоя состоит в том, что их амплитуды достигают максимума на разных, хотя и близких частотах. Как известно, анализируя резонансную ситуа- цию, необходимо следить не только за ростом \|Cj\|, но и за изменением фазовых характеристик. Одна- ко на частоте, для которой модуль амплитуды пер- вой неоднородной волны достигает максимума, ее фаза не меняет знак. Поэтому в данном случае можно говорить только о существенном увеличе- нии модуля амплитуды неоднородной волны, но не о существовании резонансной ситуации. Отметим, что между частотами Ω2 =4.18 и 4.19 изменяет знак мнимая часть комплексной ам- плитуды первой отраженной распространяющей- ся волны, а в диапазоне 4.19≤Ω2≤4.20 перемена знака происходит у действительной части компле- ксной амплитуды второй отраженной распростра- няющейся волны. Таким образом, частоты, на ко- торых равны нулю фазы амплитуд распространя- ющихся волн, близки, однако различны и не сов- падают с частотой, на которой амплитуда неодно- родной волны имеет локальный максимум. Следует обратить внимание на то, что указан- ные частоты близки к частотам максимального возбуждения неоднородных волн (см. рис. 4). На первый взгляд это выглядит несколько необычно, поскольку сам факт отражения нормальной вол- ны с изменением фазы как бы приближает рас- сматриваемую ситуацию к случаю классического отражения нормальной волны от торца акустиче- ского волновода. Однако для упругого волново- да изменение фазы отраженной волны приводит к выполнению граничного условия по одной из ком- понент тензора напряжений и удвоению невязки по другой. Именно для одновременного выполне- ния обоих граничных условий и необходимо интен- сивное возбуждение неоднородных волн. Соотношение между сдвиговыми и продоль- ными компонентами в нормальной волне суще- ственно зависит от коэффициента Пуассона. По- этому целесообразно продолжить изучение коли- чественных оценок степени возбуждения неодно- родных волн в зависимости от его значения. На рис. 5 показаны частотные зависимости моду- ля амплитуды неоднородной волны, соответствую- щей первому комплексному волновому числу дис- персионного уравнения (4), для различных значе- ний коэффициента Пуассона. Как видно из графи- ка, кривые 1 и 2 имеют только по одному макси- муму амплитуды первой неоднородной волны. При этом с ростом ν частота, на которой наблюдается максимум, увеличивается. Одновременно незначи- тельно возрастает максимальная величина ампли- туды неоднородной волны и сужается частотный диапазон, в котором наблюдается ее эффективное возбуждение. Для коэффициента Пуассона ν =0.1 неодноро- дная волна, соответствующая первому компле- ксному корню, становится бегущей на частоте Ω2 =4.419. Выше нее в отраженном поле не су- ществует неоднородной волны, соответствующей первому комплексному корню, зато появляются “обратная” волна и третья распространяющаяся мода. Для коэффициента Пуассона ν =0.2 для нео- днородной волны, соответствующей первому ком- плексному корню, он вырождается в действитель- ный на частоте Ω2 =4.592. Для коэффициента Пуассона ν =0.36 (кривая 3) ситуация меняется – частотная зависимость имеет два максимума. Первый локальный максимум на- блюдается на частоте Ω2 =4.26, а фаза не меняет знак при ее прохождении. При дальнейшем уве- личении частоты амплитуда неоднородной волны вначале уменьшается, а потом вновь начинает ра- В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 2 1 2 3 4 5 C3 0 1 2 3 1 2 3 2 4.694 4.6945 4.695 4.6955 C3 0 20 40 60 80 100 - Рис. 5. Частотные зависимости модуля амплитуды неоднородной волны, соответствующей первому комплексному волновому числу: 1 – ν =0.1; 2 – ν =0.2; 3 – ν =0.36 сти, формируя второй пик, существенно превыша- ющий первый. На правом графике рис. 5 показан фрагмент кривой 3 с более мелким шагом по частоте. При Ω2 =4.695 модуль амплитуды неоднородной вол- ны, соответствующей первому комплексному кор- ню, достигает максимума. Здесь же для ν=0.36 первый комплексный корень дисперсионного урав- нения (4) вырождается в чисто мнимый в точке относительного минимума ветви Ω2 =f(Im ξ) (см. рис. 3, где кривая K1, описывающая изменение комплексного корня с частотой, пересекает пло- скость (Im ξ, Ω2) на частоте Ω2 =4.695). При даль- нейшем росте частоты волновые числа двух по- явившихся неоднородных волн становятся чисто мнимыми (на рис. 3 они обозначены I1, и I2). На правом графике рис. 5 кривая, соответствующая ветви I1, показана сплошной кривой, а ветви I2 – штриховой. Важная особенность частотных зависимостей комплексных амплитуд неоднородных волн, со- ответствующих первой паре комплексных кор- ней, – изменение знака фазовых характеристик амплитуд при прохождении частоты максимума их модулей Ω2 =4.695. При решении граничной задачи (2) комплексные корни образуют пары (±Re ξ+iIm ξ), что позволяет формировать вбли- зи торца стоячую волну с убывающей амплитудой. Такие волны не переносят энергию вдоль волно- вода за период колебания. Фазы комплексных ам- плитуд обеих распространяющихся волн при пере- ходе через данную частоту знак не изменяют. В отличие от краевого резонанса на неодноро- дных волнах для симметричных колебаний, при антисимметричных колебаниях на частоте макси- мума амплитуды первой неоднородной волны нор- мальные волны с волновыми числами, соответ- ствующими комплексным корням высших поряд- ков, максимумов не имеют. Резонанс на неоднородных волнах при анти- симметричных колебаниях полуслоя имеет место на частоте, на которой существуют две распро- страняющиеся волны. Поэтому механизм радиа- ционного демпфирования, обуславливающий ко- нечность амплитуд неоднородных волн, в дан- ном случае более сложен – приносимая падающей волной энергия может перераспределяться между двумя бегущими волнами. Рассмотрим распределение энергии падающей первой нормальной моды между двумя отражен- ными распространяющимися волнами. Средний за период поток мощности, уносимый ими, определя- ется соотношением E = 2 ∑ j=1 Ej, Ej = µω Ω2 2 2 \|Cj\|2∆′(ξj). (6) На рис. 6 представлено распределение средне- го за период потока мощности падающей вол- ны между распространяющимися волнами для ν=0.36. Сам поток мощности нормирован на мощ- ность падающей волны. В диапазоне значительно- го возбуждения неоднородных волн как для пер- вого локального максимума при Ω2 =4.25, так и для второго при Ω2 =4.695 первая отраженная распространяющаяся волна переносит основную часть энергии, поступающей в полуслой (96.4 и 94.3 % соответственно). Вторая распространяюща- яся мода возбуждается слабо, однако существует на обеих указанных частотах. 22 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Показано существование резонанса на неодно- родных волнах при антисимметричных колебани- ях полуслоя. Он проявляется в резком увеличе- нии амплитудных характеристик и изменении фа- зовых неоднородной волны, соответствующей пер- вому комплексному корню дисперсионного урав- нения. Важная особенность резонанса на неодно- родных волнах при антисимметричных колебани- ях состоит в том, что резонансная ситуация на- блюдается не для всех коэффициентов Пуассона. Частота резонанса совпадает с частотой, на ко- торой первый комплексный корень дисперсионно- го уравнения вырождается в чисто мнимый. Ха- рактерной особенностью дисперсионного спектра при антисимметричных колебаниях является то, что первый комплексный корень может вырожда- ться как в действительный (для ν≤3.2), так и в чисто мнимый. Для тех коэффициентов Пуассона, при которых первый комплексный корень выро- ждается в действительный, резонанса на неодно- родных волнах не наблюдается. Амплитуда нео- днородной волны с волновым числом, равным пер- вому комплексному корню дисперсионного урав- нения, имеет локальный максимум без смены фа- зы. В отличие от краевого резонанса на неодноро- дных волнах при симметричных колебаниях по- луслоя, при антисимметричных колебаниях ре- зонанс наблюдается только на одной неодноро- дной волне. Локальные максимумы амплитуд нео- днородных волн с волновыми числами, равными комплексным корням дисперсионного уравнения высших порядков, наблюдаются на различных ча- стотах. На резонансной частоте неоднородные вол- ны высших порядков возбуждаются слабо, их ам- плитуды не имеют максимума, а фазы не изменя- ют знак. Резонанс на неоднородных волнах существует в области частот, где две нормальные волны явля- ются распространяющимися. При этом наиболее энергетически выражена первая отраженная рас- пространяющаяся волна. Вторая распространяю- щаяся волна на резонансной частоте возбуждается слабо и переносит до 5 % энергии падающей вол- ны. На резонансной частоте фазы обеих распро- страняющихся волн знаки не изменяют. 1. Shaw E. A. G. On the resonant vibration of thin bari- um titanate disks // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 20, N 1.– С. 38–50. 2. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-band, short-duration pulse technique // J. Acoust. Soc. Amer.– 1957.– 29, N 2.– С. 189–194. 2 1 2 3 4 5 Ej 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 Рис. 6. Распределение среднего за период потока мощности падающей волны между распространяющимися волнами (ν =0.36) 3. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extentional vibration and waves in a circular disk and semi-infinite plate // J. Acoust. Soc. Amer..– 1960.– 27, N 3.– С. 541–547. 4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 5. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О резонансе в полубесконечной упругой полосе // Прикл. мех.– 1980.– 16, N 2.– С. 58–63. 6. Auld B. A., Tsao E. J. A variational analysis of edge resonance in semi-infinite plate // IEEE Trans. SU.– 1977.– 24, N 5.– С. 317–326. 7. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Wilde M. V. Free localized vibration of semi-infinite cylindrical shell // J. Acoust. Soc. Amer.– 2000.– 107, N 3..– С. 1383– 1393. 8. Torvic P. J. Reflection of wave trains in semiinfinite plates // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, N 2.– С. 346–353. 9. Roitberg J., Vassiliev D., Wilde M. V. Edge resonance in an elastic semi-strip // Q. J. Mech. Appl. Math.– 1998.– 51.– С. 1–13. 10. Zemanek J. An experimental and theoretical investi- gation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51, N 1, Pt. 2.– С. 265– 283. 11. Onoe M. Frequency of edge mode of isotropic thin rectangular plate, circular disk and rod // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– 33, N 11.– С. 1627. 12. Le Clezio E., Predoi M. V., Castaings M., Hoster B., Rousseau M. Numerical predictions and experiments on the free-plate edge mode // Ultrasonics.– 2003.– 41.– С. 25–40. 13. Городецкая Н. С. Еще раз о краевом резонансе // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 4.– С. 35–44. 14. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Анализ физи- ческих особенностей явления краевого резонанса в упругих телах // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 1.– С. 30–43. 15. Zernov V., Pichugin A. V., Kaplunov J. Eigenvalue of semi-infinite elastic strip // Proc. Roy. Soc. Lond.– 2006.– A462.– С. 1255–1270. 16. Pagneux V. Revisiting the edge resonance for Lamb waves in semi-infinite plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 2006.– 120, N 2.– С. 649–656. В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт 23 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 16 – 24 17. Wilkie-Chancellier N., Duflo H., Tinel A., Duclon J. Numerical description of the edgemode at the beveled extremity of a plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 2005.– 117, N 1.– С. 194–199. 18. Гомилко А. М., Городецкая Н. С. Отражение волн Рэлея – Лэмба от криволинейного торца волново- да // Прикл. мех.– 1997.– 33, N 10.– С. 78–82. 19. Dilligent O., Lowe M. J.S., Le Clesio E., Casta- ings M., Hoster B. Prediction and measurement of nonpropagating Lamb modes at the free end of a plate when the fundamental antisymmetric mode A0 is inci- dent // J. Acoust. Soc. Amer.– 2003.– 113, N 6.– С. 3032–3042. 20. Cho Y. H., Rose J. L. A boundary element solution for a mode conversion study on the edge reflection of Lamb waves // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99, N 4, Pt. 1.– С. 2097–2109. 21. Ribay G., Catheline S., Clorennec D., Ing R. K., Fink M. A0 mode interaction with a plate free edge: Theory and experiment at a very low frequency by thickness product // J. Acoust. Soc. Amer.– 2007.– 122, N 2.– С. 711–714. 22. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. Краевой резонанс при вынужденных изгибных ко- лебаниях полуполосы // Акуст. ж.– 1991.– 37, N 5.– С. 908–914. 23. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Краевой ре- зонанс при изгибных колебаниях полуполосы // Докл. АН УССР. Сер.А.– 1985.– N 4.– С. 20–23. 24. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. Краевой резонанс при вынужденных изгибных ко- лебаниях полуполосы // Акуст. ж.– 1991.– 37, N 5.– С. 908–914. 25. Городецкая Н. С., Гринченко В. Т., Старо- войт И. В. Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя // Акуст. вiсн.– 2007.– 10, N 3.– С. 42–54. 26. Potter D. S., Leedham C. D. Normalized numeri- cal solutions for Rayleigh’s frequency equation // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, N 1.– С. 143–153. 24 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, И. В. Старовойт

Антисимметричные колебания полуслоя. Неоднородные волны

Репозитарії

Схожі ресурси