Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах
Розглянуто явище поширення і трансформування фронтів розривних квазипоздовжніх і квазипоперечних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах. Запропоновано методику побудови еволюціонуючої системи променів і фронтів. Для різних значень параметрів анізотропії й неоднорідності п...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Акустичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87282 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах / В.І. Гуляєв, Ю.О. Заєць // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 3. — С. 20-26. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87282 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-872822015-10-17T03:01:45Z Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах Гуляєв, В.І. Заєць, Ю.О. Розглянуто явище поширення і трансформування фронтів розривних квазипоздовжніх і квазипоперечних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах. Запропоновано методику побудови еволюціонуючої системи променів і фронтів. Для різних значень параметрів анізотропії й неоднорідності пружного середовища досліджено формування геометричних особливостей у вигляді каустик. Рассмотрено явление распространения и перестройки фронтов квазипродольных и квазипоперечных разрывных волн в неоднородных трансверсально-изотропных упругих средах. Предложена методика построения эволюционирующей системы лучей и фронтов. Для различных значений параметров анизотропии и неоднородностей упругой среды исследовано образование геометрических особенностей в виде каустик. A problem on propagation and transformation of discontinuous wave fronts in transversally isotropic heterogeneous elastic media has been considered. The technique for construction of the evolving system of rays and fronts has been proposed. Formation of the caustic-type geometric singularities has been investigated for various values of anisotropy and heterogeneity parameters of the elastic medium. 2009 Article Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах / В.І. Гуляєв, Ю.О. Заєць // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 3. — С. 20-26. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87282 539.3 uk Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто явище поширення і трансформування фронтів розривних квазипоздовжніх і квазипоперечних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах. Запропоновано методику побудови еволюціонуючої системи променів і фронтів. Для різних значень параметрів анізотропії й неоднорідності пружного середовища досліджено формування геометричних особливостей у вигляді каустик. |
| format |
Article |
| author |
Гуляєв, В.І. Заєць, Ю.О. |
| spellingShingle |
Гуляєв, В.І. Заєць, Ю.О. Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах Акустичний вісник |
| author_facet |
Гуляєв, В.І. Заєць, Ю.О. |
| author_sort |
Гуляєв, В.І. |
| title |
Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах |
| title_short |
Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах |
| title_full |
Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах |
| title_fullStr |
Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах |
| title_full_unstemmed |
Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах |
| title_sort |
поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87282 |
| citation_txt |
Поширення фронтів розривних хвиль у неоднорідних трансверсально-ізотропних пружних середовищах / В.І. Гуляєв, Ю.О. Заєць // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 3. — С. 20-26. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT gulâêvví poširennâfrontívrozrivnihhvilʹuneodnorídnihtransversalʹnoízotropnihpružnihseredoviŝah AT zaêcʹûo poširennâfrontívrozrivnihhvilʹuneodnorídnihtransversalʹnoízotropnihpružnihseredoviŝah |
| first_indexed |
2025-07-06T14:52:27Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:52:27Z |
| _version_ |
1836909642520723456 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
УДК 539.3
ПОШИРЕННЯ ФРОНТIВ РОЗРИВНИХ ХВИЛЬ
У НЕОДНОРIДНИХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-IЗОТРОПНИХ
ПРУЖНИХ СЕРЕДОВИЩАХ
В. I. Г У Л ЯЄ В, Ю. О. З АЄ Ц Ь
Нацiональний транспортний унiверситет, Київ
Отримано 30.11.2009
Розглянуто поширення i трансформування фронтiв розривних квазипоздовжнiх i квазипоперечних хвиль у нео-
днорiдних трансверсально-iзотропних пружних середовищах. Запропоновано методику побудови еволюцiонуючої
системи променiв i фронтiв. Для рiзних значень параметрiв анiзотропiї й неоднорiдностi пружного середовища
дослiджено формування геометричних особливостей у виглядi каустик.
Рассмотрено явление распространения и перестройки фронтов квазипродольных и квазипоперечных разрывных
волн в неоднородных трансверсально-изотропных упругих средах. Предложена методика построения эволюциони-
рующей системы лучей и фронтов. Для различных значений параметров анизотропии и неоднородностей упругой
среды исследовано образование геометрических особенностей в виде каустик.
A problem on propagation and transformation of discontinuous wave fronts in transversally isotropic heterogeneous elastic
media has been considered. The technique for construction of the evolving system of rays and fronts has been proposed.
Formation of the caustic-type geometric singularities has been investigated for various values of anisotropy and heterogenei-
ty parameters of the elastic medium.
ВСТУП
Вивчення поширення розривних хвиль в акусти-
чних середовищах є одним з найактуальнiших на-
прямкiв механiки нестацiонарних хвильових про-
цесiв. Особливостi, якi виникають при протiкан-
нi таких динамiчних явищ, спричиненi коротко-
часнiстю iснування зони високоiнтенсивного тис-
ку. Як правило, на початковому етапi вiн сконцен-
трований у малiй областi, що примикає до вiль-
ної граничної поверхнi середовища. У результатi
дiї зазначеного тиску високої амплiтуди виникає
рухома поверхня фронту розриву першої похiдної
вiд функцiї перемiщень. В лiнiйнiй теорiї пружно-
стi її найчастiше називають слабкою ударною (або
розривною) хвилею [1]. З просуванням хвильово-
го фронту межа видiленої для розрахунку областi
еволюцiонує. Тому при аналiзi таких явищ тради-
цiйнi методи розв’язання крайових задач матема-
тичної фiзики виявляються малоефективними.
Зазвичай при дослiдженнi слабких ударних
хвиль найбiльшу увагу придiляють питанням гео-
метричної побудови поверхонь розривiв польових
функцiй i обчисленню значень цих розривiв, якi
дають найбiльш повну iнформацiю про фронт
слабкої ударної хвилi, та iнтенсивностi iмпульсу,
що переноситься нею, в кожнiй точцi фронту. То-
му для постановки i розв’язування таких задач ва-
жливу роль вiдiграють методи геометричної опти-
ки, зокрема, нульове наближення променевого ме-
тоду, яке забезпечує хороший кiлькiсний опис ши-
рокого кола хвильових явищ рiзної фiзичної при-
роди [2], зокрема, пружних розривних хвиль [3].
Застосування променевого методу в теорiї по-
ширення фронтiв розривних польових функцiй у
пружних середовищах дає змогу вiдслiдковува-
ти перебудову поверхонь фронтiв i встановлюва-
ти ефекти виникнення на них геометричних осо-
бливостей. При цьому виникає необхiднiсть побу-
дови променевої системи координат, в якiй суку-
пнiсть координатних поверхонь спiвпадає з ево-
люцiонуючими поверхнями фронтiв [1 – 3]. Такий
пiдхiд здiйснюється через представлення вiдповiд-
ного розв’язку хвильового рiвняння членами ряду
за променевою координатою. Для його реалiзацiї
конструюється система рiвнянь ейконалу й транс-
портних рiвнянь. Перше з них є нелiнiйним рiв-
нянням з частинними похiдними, яке описує по-
верхню фронту i систему променiв (тому воно на-
зивається кiнематичним рiвнянням). Транспортнi
ж рiвняння складають систему нелiнiйних рiвнянь
з частинними похiдними. Вони визначають польо-
вi функцiї на поверхнi фронту й позаду неї (тому
вони є динамiчними). Очевидно, що розриви по-
льових функцiй на поверхнi фронту описуються
нульовими членами променевих рядiв [3].
Як один з найбiльш успiшних прикладiв засто-
сування променевої теорiї до задач фiзики вiдзна-
чимо дослiдження особливостей i перебудов каус-
тик i фазових фронтiв у геометричнiй оптицi [4].
Каустиками або каустичними поверхнями
називаються обвiднi сiмейства променiв. Як
20 c© В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць, 2009
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
наслiдок основної властивостi обвiдної на
каустицi функцiональний визначник пере-
творення променевих координат у декартовi
J(α, β, τ)=∂(x1, x2, x3)/∂(α, β, τ) вироджується в
нуль. Це означає, що рiвняння сiмейства променiв
xk =xk(α, β, τ) не може бути однозначно розв’яз-
ним вiдносно змiнних α, β, τ . Отже, положення
каустик визначається з системи рiвнянь [2]
xk = xk(α, β, τ),
J(α, β, τ) = 0 (k = 1, 2, 3).
(1)
Якщо з системи (1) виключити параметр τ , то рiв-
няння каустик можуть бути записанi в параметри-
чнiй формi:
xкауст
k = xk(α, β, τ(α, β)) ≡ xкауст
k (α, β), (2)
де τ =τ (α, β) знаходиться з рiвняння J(α, β, τ)=0.
Зi спiввiдношень (2) випливає, що положення точ-
ки на каустицi можна описати тими самими коор-
динатами α i β, що i на поверхнi променя.
Важлива роль каустичних поверхонь у хвильо-
вих задачах визначається тим, що вони дозволя-
ють скласти якiсну картину поведiнки променiв.
За формою каустик можна вiдновити сiмейство
променiв. Особливо просто це робиться в однорi-
дному середовищi, де променi – прямi лiнiї, доти-
чнi до каустик. При цьому, оскiльки на обвiднiй
сiмейства променiв (каустицi) вiдбувається їх фо-
кусування, iнтенсивнiсть фiзичного поля уздовж
каустик необмежено зростає (в iдеалiзованiй по-
становцi), а на фазовому фронтi утворюються осо-
бливостi. В процесi руху поверхнi фронту цi осо-
бливостi ковзають уздовж каустик i в окремi мо-
менти часу, пов’язанi з виникненням особливостей
уже на каустиках, перебудовуються. Тому задача
про побудову каустик i областей бiфуркацiй хви-
льових фронтiв має велике прикладне значення як
в оптицi, так i в теорiї ударних хвиль у пружних
середовищах.
Класифiкацiя основних типiв каустик з’явилася
порiвняно нещодавно з розвитком теорiї особливо-
стей диференцiйованих вiдображень [5]. Каустичнi
поверхнi, якi не мають особливих точок, називаю-
ться простими або неособливими. В околi простої
каустики перетинаються два дотичнi до неї проме-
нi (рис. 1). Каустики, в околi яких перетинаються
бiльша кiлькiсть променiв, уже мають особливостi
(точки загострення, петлi та iн.) Наприклад, все-
рединi каустики, що має форму дзьоба (одна точка
загострення), перетинаються три променi (рис. 2).
За допомогою нульового наближення промене-
вого методу в роботах [6 – 11] розв’язанi задачi
Рис. 1. Перетин променiв в околi простої каустики
Рис. 2. Перетин променiв всерединi каустики,
яка має одну точку загострення
про поширення розривних хвиль i їхнє фокусу-
вання опуклими та увiгнутими лiнзами в однорi-
дних трансверсально-iзотропних пружних середо-
вищах. Показано, що якщо середовище однорiдне,
то променi будуть прямолiнiйними, але в загаль-
ному випадку не ортогональними до поверхонь
фронтiв. Однак завдання побудови системи про-
менiв i фронтiв ще бiльше ускладнюється, якщо
анiзотропне середовище неоднорiдне. Тодi проме-
нi стають криволiнiйними, а аналiз процесу фор-
мування їхнiх систем i фронтiв можливий тiльки
за допомогою методiв комп’ютерного моделюван-
ня. Одержанi результати можуть бути використа-
нi в сейсмологiї, яка вивчає поширення пружних
хвиль у тектонiчних структурах, неоднорiдних у
силу неоднорiдного попереднього напруження.
У данiй роботi виконано дослiдження перебудо-
ви хвильових фронтiв у неоднорiдних пружних се-
редовищах при деяких заданих законах змiни па-
раметрiв пружностi уздовж просторових коорди-
нат.
1. МЕТОДИКА ДОСЛIДЖЕННЯ
Нехай неоднорiдне трансверсально-iзотропне
пружне середовище в прямокутнiй системi коорди-
нат Ox1, x2, x3 характеризується тензором пруж-
них сталих:
(Cαβ) =
(
A 0
0 B
)
, (3)
В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
де
A =
λ + 2µ λ λ − l
λ λ + 2µ λ − l
λ − l λ − l λ + 2µ − p
,
B =
µ − m 0 0
0 µ − m 0
0 0 µ
,
l, m, p – параметри анiзотропiї, якi вiдрiзняють
середовище вiд iзотропного з коефiцiєнтами Ламе
λ i µ; Ox2 – вiсь симетрiї.
Виходячи з умов iдеальної пружностi, збуре-
ний стан такого середовища описується рiвняння-
ми руху (4)
3
∑
k,p,q=1
λik,pq
∂2uq
∂xk∂xp
+
+
3
∑
k,p,q=1
∂λik,pq
∂xk
∂up
∂xp
−
∂2ui
∂t2
= 0,
i = 1, 2, 3,
(4)
де λik,pq =cik,pq(x1, x2, x3)/ρ(x1, x2, x3) – приведенi
параметри пружностi; cik,pq – функцiї, якi виража-
ються через елементи змiнного тензора C(α, β) [3];
u1, u2, u3 – компоненти вектора пружних перемi-
щень.
Розв’язок системи рiвнянь (4) з вiдомими поча-
тковими умовами
u|t=0 = u0(x1, x2, x3, 0),
∂u0
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= v0(x1, x2, x3, 0)
(5)
будується у виглядi плоскої монохроматичної хви-
лi iз хвильовим числом k i фазовою швидкiстю v,
фронтами якої є поверхнi постiйних фаз
n · r − vt = const, (6)
якi рухаються зi швидкiстю v=vn та локально
перпендикулярнi до орта n.
Для будь-якого вибраного напрямку n фазова
швидкiсть хвилi v й вектор її поляризацiї A ви-
значаються iз системи лiнiйних алгебраїчних рiв-
нянь [3]
3
∑
k,p,q=1
λik,pqnknpAq − v2Ai = 0, i = 1, 2, 3. (7)
Розв’язуючи задачi на власнi значення симетри-
чної додатньо визначеної матрицi коефiцiєнтiв си-
стеми
Λiq ≡
3
∑
k,p=1
λik,pqnknp; i, q = 1, 2, 3, (8)
для кожного напрямку n визначаються квадра-
ти швидкостей трьох по рiзному поляризованих
хвиль
[
v(r)
]2
, r = 1, 2, 3, та для кожного значен-
ня фазової швидкостi компоненти вектора поля-
ризацiї A хвилi, як власнi вектори матрицi (8).
Для будь-якого напрямку n вектори поляризацiї
мають задовольняти умови ортогональностi
A
(i)(n) · A(k)(n) = δik; i, k = 1, 2, 3. (9)
Величини фазових швидкостей нумеруються в
послiдовностi зменшення їхнiх модулiв. Хвиля,
яка має найбiльшу фазову швидкiсть та номер
r=1, називається квазипоздовжньою. Двi iншi
(r = 2, 3) – квазипоперечнi, фронти яких завжди
вiдстають вiд фронту квазипоздовжньої хвилi.
В анiзотропних середовищах окрiм фазової
швидкостi v не менший iнтерес викликає промене-
ва швидкiсть ξ, яку трактують як швидкiсть по-
ширення енергiї хвильового поля. Цi двi величини
пов’язанi спiввiдношенням
n · ξ(r) = v(r), r = 1, 2, 3, (10)
звiдки видно, що променева швидкiсть за модулем
бiльша за фазову або дорiвнює їй при спiвпадан-
нi напрямкiв їхнiх векторiв. Компоненти вектора
променевої швидкостi
ξ(r) =
3
∑
k=1
ξ
(r)
k ik, r = 1, 2, 3 (11)
обчислюються за формулою [3]
ξ
(r)
k =
1
v(r)
3
∑
i,p,q=1
λik,pqnpA
(r)
q A
(r)
i ;
r, k = 1, 2, 3.
(12)
Поверхня фронту ударної хвилi з урахуванням
залежностi (6) може бути представлена спiввiдно-
шенням
τ (x1, x2, x3) − t = 0, (13)
де τ – функцiя, яка задовольняє диференцiальне
рiвняння
3
∑
i,k,p,q=1
λik,pqpkppA
(r)
q A
(r)
i = 1. (14)
22 В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
Тут для компонент вектора рефракцiї [3] уведено
позначення pk≡∂τ/∂xk =nk/vr(n).
Рiвняння (14) за допомогою метода характери-
стик приводимо до системи звичайних диференцi-
альних рiвнянь:
dx
(r)
m
dτ
= ξm ≡
3
∑
i,p,q=1
λim,pqppA
(r)
q A
(r)
i ,
dp
(r)
m
dτ
= ηm ≡ 0;
r, m = 1, 2, 3,
(15)
з початковими умовами
x
(r)
k
∣
∣
∣
t=0
= x0
k,
p
(r)
k
∣
∣
∣
t=0
=
nk
v
(r)
k
,
(16)
iнтегруючи якi для послiдовностi заздалегiдь ви-
браних початкових напрямкiв, можна побудувати
сiмейство m променiв, вздовж яких у пружному
анiзотропному середовищi зi швидкостями ξm по-
ширюється енергiя хвильового поля.
Однак, якщо пружне середовище неоднорiдне,
то спiввiдношення (6) – (16) перестають бути одна-
ковими в кожнiй точцi променя за рахунок змiни
властивостей середовища при переходi вiд одної
точки на променi до iншої. Тому кожне з них мо-
же бути використане лише локально i при переходi
до неоднорiдного середовища рiвняння (15) треба
замiнити системою [3]
dx
(r)
m
dτ
=ξm≡
3
∑
i,p,q=1
λim,pqppA(r)
q A
(r)
i ,
dp
(r)
m
dτ
=ηm≡−
1
2
3
∑
i,k,p,q=1
∂λik,pq
∂xm
pkppA
(r)
q A
(r)
i ;
r, m = 1, 2, 3.
(17)
Друга група рiвнянь цiєї системи свiдчить про те,
що в даному випадку величини ηm (m=1, 2, 3) уже
не рiвнi нулю, а pm – не константи. Тому з першої
групи рiвнянь випливає, що ξm i x
(r)
m стають нелi-
нiйними функцiями, i променi, уздовж яких пере-
носиться енергiя хвилi, викривлюються. Поширен-
ня фронтiв розривних хвиль у неоднорiдних пруж-
них середовищах вiдзначається тим, що в зале-
жностi вiд напрямку руху навiть фронт початково
плоскої хвилi може зазнавати викривлення по мi-
рi зсуву. Однак найбiльш яскраво процеси транс-
формування фронтiв, їхнiх бiфуркацiй i виникне-
ння геометричних сингулярностей проявляються
на початково криволiнiйних замкнутих фронтових
поверхнях. Тому в данiй роботi будуть вивчати-
ся явища випромiнювання розривних хвиль сфе-
ричними джерелами. При цьому бiльш складної
форми набувають i фронти хвиль.
Розглянемо випадки, коли розмiри хвильового
джерела достатньо малi у порiвняннi з геометрi-
єю хвильових фронтiв, щоб вважати його точко-
вим. Помiстимо в цю точку початок прямоку-
тної системи координат Ox1x2x3, вiсь Ox2 якої
збiгається з вiссю симетрiї пружних характери-
стик i густини трансверсально-iзотропного сере-
довища. Тодi для дослiдження еволюцiї поверхонь
фронтiв ударної хвилi досить побудувати їхнiй пе-
рерiз будь-якою площиною, якiй належить вiсь
Ox2 – розв’язати плоску задачу. Виберемо у за-
значенiй площинi деяку послiдовнiсть m напрям-
кiв фазових швидкостей хвилi заданої поляриза-
цiї, якi визначаються векторами n
(0)
m . Для кожно-
го з них побудуємо матрицю (8) i визначимо її
власнi значення й вектори. Для трансверсально-
iзотропних пружних середовищ, пружнi характе-
ристики яких мають ту саму вiсь симетрiї, що й
хвильове джерело, фазова швидкiсть v
(3)
m завжди
дорiвнює v
(2)
m . Тому вектори поляризацiї й ком-
поненти векторiв рефракцiї обчислюються тiльки
для швидкостей v
(1)
m i v
(2)
m . Частиннi похiднi на-
ведених параметрiв пружностi за координатами
∂λ(x1, x2)/∂xk для k = 1, 2 обчислюються аналi-
тично або чисельно в залежностi вiд виду функцiї
λik,pq =cik,pq(x1, x2, x3)/ρ(x1, x2, x3). Наступнi кро-
ки полягають у визначеннi для кожного напряму
nm величин ξ
(m)
k i η
(m)
k за формулами (17) i чисель-
ному iнтегруваннi рiвнянь методом Рунге – Кутта.
Отриманi координати x
(m)
k точок променiв дозво-
ляють побудувати сiтку променiв-фронтiв iмпуль-
сної розривною хвилi аж до розглянутого значен-
ня параметра τ .
Пiд час розв’язання задач про поширення пруж-
них хвиль у неоднорiдних середовищах необхiдно
враховувати також, що характер неоднорiдностi
пружних властивостей середовища не може бути
довiльним i компоненти тензора (Cαβ) повиннi за-
довольняти нерiвностi
c11 > 0,
∣
∣
∣
∣
c11 c12
c21 c22
∣
∣
∣
∣
> 0, |Cαβ| > 0, (18)
якi забезпечують позитивну визначенiсть ква-
дратичної форми потенцiальної енергiї елемен-
тiв пружного середовища в розглянутiй точцi
(x1, x2, x3) [3].
В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
a б
Рис. 3. Система променiв i фронтiв квазипоздовжньої (а) i квазипоперечної (б) хвилi
при змiнi параметра l=λ(0.1+10−8x2
3)
a б
Рис. 4. Система променiв та фронтiв квазипоздовжньої (а) i квазипоперечної (б) хвилi
при змiнi параметра m=µ(0.3−5·10−6x2
3)
Невиконання умов (18) призводить до появи
комплексних коренiв системи (7), що супере-
чить умовi задачi, оскiльки швидкостi поширен-
ня хвиль v(r) можуть бути виключно дiйсними ве-
личинами. На практицi така ситуацiя може скла-
стись у пружному середовищi з так званою шту-
чною анiзотропiєю, викликаною попереднiм на-
пруженням середовища. Тодi в областi, де умо-
ви (18) не задовольняються, середовище виявля-
ється нестабiльним i пружнi хвилi тут поширюва-
тись не можуть.
2. ОСНОВНI РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛIДЖЕННЯ
У загальному випадку динамiчнi властивостi не-
однорiдного трансверсально-iзотропного пружно-
го середовища визначаються п’ятьма функцiями
λ, µ, l, m, p його пружних характеристик i функцi-
єю ρ його густини. Узагальнюючий аналiз особли-
востей перебудови фронтiв розривних хвиль при
рiзноманiтних комбiнацiях i законах змiни цих ма-
терiальних параметрiв – дуже складне завдання,
яке далеко виходить за рамки цього дослiдження.
Тому нижче представленi результати розрахункiв
лише для найпростiших випадкiв, у яких параме-
три анiзотропiї l, m або p модулюються елементар-
ними функцiями вздовж однiєї з осей.
На рис. 3 у площинi Ox1x2 зображенi сiтки про-
менiв i фронтiв для квазипоздовжньої i квази-
поперечної розривних хвиль, iнiцiйованих миттє-
вим прикладанням до поверхнi сферичної поро-
жнини рiвномiрно розподiленого нормального тис-
ку. Вiдзначимо, що у зв’язку з набуттям рядом
середовищ анiзотропiї фiзичних властивостей пiд
24 В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
a б
Рис. 5. Система променiв та фронтiв квазипоздовжньої (а) i квазипоперечної (б) хвилi
при змiнi параметра m=µ(0.1+0.5 cos(10−3x3))
a б
Рис. 6. Система променiв та фронтiв квазипоздовжньої (а) i квазипоперечної (б) хвилi
при змiнi параметра p=(λ+2µ)(−0.3−10−8x2
3)
час прикладання нормального тиску до вiльної по-
верхнi в загальному випадку вiд неї вiдходить не
тiльки квазипоздовжня, а й квазипоперечна хви-
ля. Форми перерiзiв їхнiх фронтiв вiдображенi на
рис. 3, а i б вiдповiдно.
При обрахунках фiзичнi характеристики сере-
довища задавались такими:
λ = 3.4 · 1010 Па, µ = 1.36 · 1011 Па,
m = 0.5µ, l = λ(β0 + βx2
3), p = 0.3(λ + 2µ),
β0 = 0.1, β = 10−8, ρ = 2760 кг/м3.
При цьому матриця (Cαβ) набула вигляду
(Cαβ) =
(
A 0
0 B
)
, (19)
де
A=
λ+2µ λ λ(1−β0−βx3
2)
λ λ+2µ λ(1−β0−βx3
2)
λ(1−β0−βx3
2) λ(1−β0−βx3
2) λ+2µ−p
,
B=
µ − m 0 0
0 µ − m 0
0 0 µ
,
тобто чотири її елементи стали змiнними, а на по-
верхнi qS-хвилi утворились бiфуркацiйнi особли-
востi типу ластiвкових хвостiв.
Найчастiше властивостi неоднорiдностi середо-
вища проявляються зi змiною параметра m, який
входить у два дiагональних елемента матрицi (3).
Рис. 4 iлюструє сiтку променiв i фронтiв при m=
µ(0.3−5 ·10−6x2
3). Тут спостерiгається яскраво ви-
В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 20 – 26
ражена асиметрiя фронтiв уздовж осi Ox3.
У випадку, коли параметр m змiнюється за зако-
ном m=µ(0.1+0.5 cos(10−3x3)), променi qР-хвилi
стають бiльш криволiнiйними, а фронти переста-
ють бути опуклими (див. рис. 5, а). При цьому
фронти qS-хвилi настiльки спотворюються, що ка-
устики накладаються одна на одну (див. рис. 5, б).
Iстотне трансформування фронтiв спостерiга-
ється й при змiнi параметра p за законом
p=(λ+2µ)(γ0+γx2
3), де γ0 =−0.3, γ=−10−8 м−1
(рис. 6), хоча функцiя p(x3) входить лише в один
дiагональний коефiцiєнт матрицi (3). У цьому ви-
падку також наявнi ефект викривлення променiв
i загальна асиметрiя фронтiв уздовж осi Ox3.
Представленi системи променiв i фронтiв дозво-
ляють оцiнити характер змiни напружень пiд час
поширення поверхнi їх розриву. Очевидно, що в
зонах згущення променiв (див. рис. 6, а) має мiсце
концентрацiя напружень, в зонах розбiгання – їхнє
зменшення.
ВИСНОВКИ
1. На основi нульового наближення променево-
го методу сформульовано задачу про моделю-
вання поширення в неоднорiдному анiзотро-
пному середовищi фронтiв розривних пруж-
них хвиль, що виходять iз джерела, розмiри
якого достатньо малi у порiвняннi з геометри-
чними параметрами хвильових поверхонь.
2. У результатi чисельних дослiджень встанов-
лено, що неоднорiднiсть механiчних власти-
востей анiзотропного пружного середовища
призводить до суттєвої перебудови системи
променiв i фронтiв. При цьому в залежностi
вiд значень параметрiв анiзотропiї та їхньої
неоднорiдностi по просторових координатах
хвильовi променi можуть зазнавати слабких
чи суттєвих викривлень, а перебудова фронтiв
може супроводжуватись утворенням на них
геометричних особливостей у виглядi каустик.
1. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Лучевые методы
в теории распространения и рассеяния волн.– К.:
Наук. думка, 1988.– 220 с.
2. Кравцов Ю. А. Орлов Ю. И. Геометрическая опти-
ка неоднородных сред.– М.: Наука, 1980.– 304 с.
3. Петрашень Г .И. Распространение волн в анизо-
тропных упругих средах.– Л.: Наука, 1980.– 280 с.
4. Постон Т, Стюарт И. Теория катастроф и ее
приложения.– М.: Мир, 1980.– 607 с.
5. Арнольд В. И. Теория катастроф.– М.: Едиториал
УРСС, 2004.– 128 с.
6. Гуляев В. И., Луговой П. З., Иванченко Г. М., Яко-
венко Е. В. Дифракция ударной волны на кри-
волинейной поверхности раздела трансверсально-
изотропных упругих сред // Прик. мех. мат.–
2000.– 64, N 3.– С. 394–402.
7. Гуляев В. И., Луговой П. З., Крицкий В. Б., Иван-
ченко Г. М. Отражение и преломление плоских ра-
зрывных волн параболоидными поверхностями ра-
здела анизотропных упругих сред // Геофиз. ж.–
2005.– 27, N 3.– С. 418–426.
8. Гуляев В. И., Луговой П. З., Иванченко Г. М.
Дифракция разрывных волн на эллипсоидных
поверхностях раздела трансверсально-изотропных
упругих сред // Прикл. мех.– 2004.– 40, N 10.–
С. 98–106.
9. Гуляев В. И., Ващилина Е. В., Борщ Е. И. Ци-
линдрические спиральные волны во вращающихся
закрученных упругих стержнях // Прикл. мех.–
2008.– 44, N 3.– С. 125–134.
10. Gulyaev V. I., Lugovoyy P. Z., Ivanchenko G.M. Di-
scontinuous wave fronts propagation in anisotropic
layered media // Int. J. Solids Struct.– 2003.– 40.–
P. 237–247.
11. Lugovoyy P. Z., Gulyaev V. I. Propagation of
shock wave fronts in anisotropic layered media //
Shock Compression of Condensed Matter: Proc. Conf.
Amer. Phys. Soc., vol 1.– Snowbird, Utah, USA,
1999.– P. 1287–1290.
26 В. I. Гуляєв, Ю. О. Заєць
|