Вынужденные колебания систем с упругими связями
В работе рассматриваются вынужденные колебания одномассной системы с упругими связями на примере системы виброизоляции с резиновыми амортизаторами. Приведено решение задачи в линейной и нелинейной постановках. При этом в линейной постановке механическая реакция резины описывается интегральными соотн...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Геотехнічна механіка |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87573 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вынужденные колебания систем с упругими связями / А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2013. — Вип. 113. — С. 110-115. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87573 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-875732015-10-22T03:02:32Z Вынужденные колебания систем с упругими связями Новикова, А.В. В работе рассматриваются вынужденные колебания одномассной системы с упругими связями на примере системы виброизоляции с резиновыми амортизаторами. Приведено решение задачи в линейной и нелинейной постановках. При этом в линейной постановке механическая реакция резины описывается интегральными соотношениями типа Больцмана-Вольтерра. We consider forced oscillations of one-mass system with elastic links on the example of vibration isolation system with rubber shock absorbers. Solutions of a problem in linear and nonlinear formulation are given. A mechanical reaction of rubber is described by integral relations Boltzman-Volterra type in the linear formulation. 2013 Article Вынужденные колебания систем с упругими связями / А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2013. — Вип. 113. — С. 110-115. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1607-4556 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87573 622.002.5-752:621.888.6 ru Геотехнічна механіка Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматриваются вынужденные колебания одномассной системы с упругими связями на примере системы виброизоляции с резиновыми амортизаторами. Приведено решение задачи в линейной и нелинейной постановках. При этом в линейной постановке механическая реакция резины описывается интегральными соотношениями типа Больцмана-Вольтерра. |
| format |
Article |
| author |
Новикова, А.В. |
| spellingShingle |
Новикова, А.В. Вынужденные колебания систем с упругими связями Геотехнічна механіка |
| author_facet |
Новикова, А.В. |
| author_sort |
Новикова, А.В. |
| title |
Вынужденные колебания систем с упругими связями |
| title_short |
Вынужденные колебания систем с упругими связями |
| title_full |
Вынужденные колебания систем с упругими связями |
| title_fullStr |
Вынужденные колебания систем с упругими связями |
| title_full_unstemmed |
Вынужденные колебания систем с упругими связями |
| title_sort |
вынужденные колебания систем с упругими связями |
| publisher |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87573 |
| citation_txt |
Вынужденные колебания систем с упругими связями / А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2013. — Вип. 113. — С. 110-115. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Геотехнічна механіка |
| work_keys_str_mv |
AT novikovaav vynuždennyekolebaniâsistemsuprugimisvâzâmi |
| first_indexed |
2025-07-06T15:13:43Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:13:43Z |
| _version_ |
1836910981343608832 |
| fulltext |
110
УДК 622.002.5-752:621.888.6
А.В. Новикова, магистр, мл. научн. сотр.
(ИГТМ НАН Украины)
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С УПРУГИМИ
СВЯЗЯМИ
Аннотация. В работе рассматриваются вынужденные колебания одномассной системы с упругими
связями на примере системы виброизоляции с резиновыми амортизаторами. Приведено решение за-
дачи в линейной и нелинейной постановках. При этом в линейной постановке механическая реакция
резины описывается интегральными соотношениями типа Больцмана-Вольтерра.
Ключевые слова: вынужденные колебания, виброизоляторы сжатия, эффективность виброизоля-
ции, коэффициент виброизоляции
A.V. Novikova, Master of Science (Tech.), Junior Researcher
(IGTM NAS of Ukraine)
FORCED OSCILLATIONS OF SYSTEMS WITH ELASTIC BONDS
Abstract. We consider forced oscillations of one-mass system with elastic links on the example of vibra-
tion isolation system with rubber shock absorbers. Solutions of a problem in linear and nonlinear formulation
are given. A mechanical reaction of rubber is described by integral relations Boltzman-Volterra type in the
linear formulation.
Keywords: forced oscillations, compression vibroinsulators, vibration insulation effectiveness, vibration
insulation coefficient
Введение. В настоящей работе
рассматриваются вынужденные коле-
бания системы с резиновыми упругими
звеньями. Пример такой колебатель-
ной системы показан на рисунке 1 в
виде окомкователя аглофабрик, уста-
новленного на резиновые виброизоля-
торы сжатия.
При эксплуатации таких машин
наблюдаются значительные вибрации
как самих машин, так и перекрытий
зданий. Для уменьшения этих вибра-
ций использовалась система виброизо-
ляции.
Линейная постановка задачи.
Уравнение колебаний одномассной
системы (рис. 1) можно записать в виде [1]:
2
02 siny ny y Р tω ω+ + = . (1)
где ω – частота вынужденных колебаний системы;
ω0 – собственная частота колебаний системы;
P – амплитуда возмущающей силы.
Будем считать, что механическая реакция резины описывается интеграль-
ными соотношениями типа Больцмана-Вольтерра с ядрами релаксации и после-
действия. Тогда уравнение (1) в операторной форме можно записать так
@ Новикова А.В.
1, 2, 3, 4 – точки замеров виброскоростей коле-
баний рам и перекрытия
Рис. 1 – Схема окомкователя
Геотехнічна механіка. 2013. 108 111
1 sin ,ty С y q tω+ = (2)
где q1 – сила инерции, приходящаяся на единицу колеблющейся массы;
Сt – оператор жёсткости упругой подвески
( )*
0 1 ,tC C Эαχ β = − − (3)
( ) ( ) ( ) ( )*
0
, ,
t
Э t Э t dα αβ ε β τ ε τ τ− = − −∫ (4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )[ ]
1
0
, ,
1 1
n n n
n
t
Э t t
n
α
α
β τβ τ τ
α
+∞
−
− −
− − = −
Γ + +∑ (5)
где С0 – мгновенное значение жёсткости упругой подвески;
Эα(-β, t-τ) – экспоненциальная функция дробного порядка Ю. Работнова;
α, β, λ – реологические параметры резины;
Γ – гамма-функция.
Цель виброзащиты состоит либо в уменьшении амплитуды силы R0 на опор-
ную конструкцию (раму, перекрытие, фундамент), т.е.
( )
2 2 2
0 0
0 22 2 2 2
0
4
,
4
F n
R
n
ω ω
ω ω ω
+
=
− +
(6)
либо в уменьшении амплитуды A0 стационарных колебаний корпуса машины, т.е.
( )
0
0 22 2 2 2
0
.
4
FA
m nω ω ω
=
− +
(7)
Введём безразмерные коэффициенты эффективности виброзащиты:
0 0
0 0
; .a
R cAK
F F
η = = (8)
Величину η обычно называют коэффициентом виброизоляции, а величину
Кa – коэффициентом динамичности. Тогда
( )
2 2
22 2 2
1 4 ;
1 4
νη
ν
+ Ζ
=
− Ζ + Ζ
(9)
( )22 2 2
1 ,
1 4
aK
ν
=
− Ζ + Ζ
(10)
где 0
0 0
; ; ;
22
n b b cn
m mcm
ω ν ω
ω ω
Ζ = = = = = ;
b – коэффициент демпфирования упругой системы;
ν – относительное демпфирование упругой системы: при ν = 1 в системе
реализуется критическое демпфирование.
Коэффициент виброизоляции можно представить также в виде
ISSN 1607-4556 112
( )
( )
222
2 2
222 2
2 2
41
16
.
41
16
ψ
π ψη
ψ
π ψ
+ Ζ
+
=
− Ζ + Ζ
+
(12)
Здесь коэффициент диссипации ψ либо определяется экспериментально,
либо при известных реологических параметрах резины α, β, λ вычисляется по
формуле ψ = 2πВ(ω). В этом случае формула (12) принимает вид
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
22
2 2 2
2 2
22 2
2 2 2
16
1
16 4
16
1
16 4
В
В
В
В
π ω
π π ω
η
π ω
π π ω
+ Ζ
+
=
− Ζ + Ζ
+
. (13)
Эффективность виброизоляции при этом равна
( )1 100%.Э η= − ⋅ (14)
Коэффициент динамичности
( )22 2 21aK ψ= − Ζ + Ζ , (15)
или с учётом ψ = 2πВ(ω)
( ) ( )22 2 21 4 .aK Вπ ω= − Ζ + Ζ (16)
Нелинейная постановка задачи. Механическая реакция нелинейных амор-
тизаторов в ряде случаев достаточно хорошо описывается нелинейной зависимо-
стью
( ) ( ) ( )2 3 ,t tF t mp y t m y tε= + (17)
где F (t) – усилие;
m – масса тела;
рt
2 = р0(1-К*);
εt = ε0(1-К*);
К* – оператор релаксации;
Р0 и ε0 – параметры, вычисленные в предположении об идеальной упруго-
сти материала;
y(t) – перемещение.
Для геометрически нелинейных виброизоляторов используют аналог урав-
нения Дюффинга
2 3 sin .t ty p y F tε ω+ + = (18)
Решение этого уравнения находится в виде ряда
0
.n
t n
n
y yε
∞
=
=∑ (19)
Равномерная сходимость ряда (19) обеспечена, если ряд
0
0
n
n
n
yε
∞
=
∑ (20)
сходится равномерно. Действительно, если |yn| < M, то
Геотехнічна механіка. 2013. 108 113
( )
0 01 ,nn n n
t M R M Mε ε ε= − ≤ (21)
где
( )
0
1.R K z dz
∞
= ≤∫ (22)
Условие (22) вытекает из физической сущности процесса релаксации. Из (21)
следует, что мажоранта ряда (20) является одновременно мажорантой ряда (19).
Подставляя (19) в (17) и приравнивая нулю коэффициенты при εt
n, получаем
бесконечную систему символико-дифференциальных уравнений
2
0
2 3
1 1 0
2 2
2 2 0 1;
sin ;
;
3
...............................
t
t
t
y p y F t
y p y y
y p y y y
ω + =
+ = −
+ = −
(23)
Процесс нахождения вспомогательных функций yn сводится, таким образом,
к решению символико-дифференциальных уравнений вида
2
1 2sin cos .tx p x Q n t Q n tω ω+ = +
Опуская промежуточные выкладки, для решения уравнения (18) получаем
следующее выражение [2]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 4 1 2 4
3 5 3 5
2 2
6 6
... sin ... cos
... sin3 ... cos3
... sin5 ... cos5 ...
t t t t
t t t t
t t
y a a a t b b b t
a a t b b t
a t b t
ε ε ω ε ε ω
ε ε ω ε ε ω
ε ω ε ω
= + + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + +
Для расшифровки произведения вида ε1
nsinmωt и εt
ncosmωt в работе [3] по-
лучены следующие формулы:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
sin 1 Re sin Im cos ;
cos 1 Re cos Im cos ,
n
j j jn n j
t n m m m m
j
n
j j jn n j
t n m m m m
j
m t C A iB m t A iB m t
m t C A iB m t A iB m t
ε ω ε ω ω
ε ω ε ω ω
=
=
= − − + −
= − + + +
∑
∑
где 1i = − .
Если εt = ε0, то для нахождения во втором приближении решения уравнения
(18) целесообразно использовать метод Дюффинга. В качестве первого приближе-
ния примем
( )0 sin .y T tω ϕ= + (24)
Уравнение (17) перепишем в виде
( )2 2 2 3
0 sin .ty y p y y y F tω ω ε ω+ = + − + (25)
Подставляя в правую часть уравнения (25) выражение (24), получаем
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 1
2 3
0 1 0
cos sin sin
sin cos cos 0,25 sin 3 3 .
y y T T p B F t
T p B t T t
ω µ ϕ ϕ ω
µ ϕ ϕ ω ε ω ϕ
+ = + + +
+ − + +
(26)
Здесь µ = ω2 – р0
2 – р0
2А1 – 0,75Т2ε0.
Для исключения вековых членов необходимо положить
ISSN 1607-4556 114
2
0
2
0 1
cos sin 0;
sin cos 0.
T Tp F
p B
µ ϕ ϕ
µ ϕ ϕ
+ + =
+ =
(27)
Решая систему (27), находим
2
0 1arctg ,p B T Fϕ = −
где Т – амплитуда, определяемая уравнением
( ) ( )
226 1 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 20
0 0 0 1 0 0 1 0 16 0.
16
T p p A T p p A p B F T Fεε ω ω− + − − + − − + − = (28)
Подставляя найденное из (28) значение амплитуды Т и угла ϕ в (26) и решая
при этом уравнение, получаем
1 2sin cos sin3 cos3 ,y c t c t p t z tω ω ω ω= + − −
где
3 2 3 2
0 0cos 32 ; sin3 32 .p T z Tε ϕ ω ε ϕ ω= =
Положив у(0) = Тsinϕ, ( )0 cosy Tω ϕ= , получим решение с уточнённой ам-
плитудой колебания основного тона
( ) ( )1 1 1 2 2sin sin 3 ,y T t T tω ϕ ω ϕ= + − +
где
( ) ( )2 2 2 2
1 2
1
cos 3 sin ; ;
sinarctg ; arctg .
cos 3
T T p T z T p z
T z z
T p p
ϕ ϕ
ϕϕ ϕ
ϕ
= + + + = +
+
= =
+
Аналогично может быть получено второе приближение решения и для
уравнения типа (18), но при этом оказывается, что амплитуда основного тона оп-
ределяется уравнением пятой степени относительно Т2. Поэтому при решении
уравнения типа (18) целесообразно использовать метод малого параметра, рас-
смотренный выше.
Рассмотрим случай, когда перемещение составляет (20-50) % высоты эле-
мента сжатия. Такие деформации принято называть средними [4]. Цилиндриче-
ский амортизатор, первоначально поджатый на величину, превышающую ампли-
туду колебаний, служит упругой связью осциллятора с массой m. Уравнение коле-
баний при этом будет
( ) ( ) ,ty G c y f t+ = (29)
где Gt = G0(1-К*);
у – перемещение относительно положения установившегося равновесия;
( )
( )
( )
2 2 2
1
122 2 2
1 1 1 1
32 2ln 1 ; sin ; ;
16 1
b b y y hc y F f t a t h y h
h h h y h
π ω
π ∞
− = − − + = − = −
(30)
у∝ – величина предварительного поджатия.
Стационарное решение уравнения (29) имеет вид
1
sin cos .j j
j
y a j t b j tω ω
∞
=
= +∑ (31)
Коэффициенты aj и bj определяются по методу Ритца-Галеркина либо непо-
средственно путем разложения с(у) в ряд Фурье и приравнивания коэффициентов
Геотехнічна механіка. 2013. 108 115
при sinjωt и сosjωt, что сводит задачу к решению системы уравнений относительно
aj и bj.
В первом приближении
( )
( ) ( )
0
1 1 1
1
2 2
1 1 1 1 1 1
0 0
sin cos ; sin cos sin cos ;
sin cos sin ; sin cos cos .
n n n
n
y a t b t c y A n t B n t A t B t
A c a t b t tdt B c a t b t tdt
π ω π ω
ω ω ω ω ω ω
ω ωω ω ω ω ω ω
π π
∞
=
= + = + ≈ +
= + = +
∑
∫ ∫
Для определения аналитической зависимости А1(a1, b1) и В1(a1, b1) целесо-
образно с(у) представить в виде ряда по степеням у:
( )
( ) 12 2
22 3
1 0 01 1 1 1
32 1 ,
16
n n n n
n
n n n
y b y y yc y F C
n h h h h
π
π
−∞ ∞ ∞
−
= = =
− = − + +
∑ ∑ ∑ (32)
где C-2
n – коэффициенты биноминального разложения;
h1 = h-у∝.
В рассматриваемом диапазоне перемещений будет y/h1 < ½. Если учесть,
что погрешность формулы (30) вследствие принятых при её выводе допущений [4]
не ниже 5 %, в суммах (32) следует ограничиваться учётом трёх-пяти слагаемых.
Решение этой задачи в линейной постановке показывает хорошее соответ-
ствие аналитических и практических результатов. Однако при значительной нели-
нейности её следует учитывать в расчётах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новикова, А.В. Виброизоляция тяжёлых окомкователей-смесителей с помощью резиновых элементов /
А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. научн. тр. / ИГТМ НАН Украины. – 2012. –
Вып. 106. – С. 121-128.
2. Прикладная механика резины / В.Н. Потураев, В.И. Дырда, И.И. Круш. – К.: Наук. думка, 1975. – 260 с.
3. Круш, И.И. Решение уравнения нелинейных колебаний при наличии упругого последействия / И.И. Круш,
М.И. Розовский // Изв. АН СССР. Механика. – 1965. – №6. – С. 127-129.
4. Лавендел, Э.Э. Расчёт резино-технических изделий. – М.: Машиностроение, 1976. – 232 с.
REFERENCES
1. Novikova, A.V. (2012), “Vibroinsulation of heavy pelletizer-mixers by rubber elements”, Geo-technical
mechanics, no. 106, pp. 121-128.
2. Poturaev, V.N., Dyrda, V.I. and Krush, I.I. (1975), Prikladnaya mekhanika reziny [Applied Rubber Mechanics],
Naukova Dumka, Kiev, Ukraine.
3. Krush, I.I. (1965), “Solution of the equation of nonlinear oscillations in the presence of the elastic aftereffect”,
Izvestiya AN USSR, no. 6, pp. 127-129.
4. Lavendel, E.E. Raschot rezino-tekhnicheskikh izdeliy [Calculation of rubber products], Mashinostroyeniye,
Moscow.
Об авторе
Новикова Алина Вячеславовна, магистр, младший научный сотрудник отдела механики эласто-
мерных конструкций, Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова Национальной академии
наук Украины (ИГТМ НАНУ), Днепропетровск, Украина, a_v_novikova@mail.ru
About the author
Novikova Alina Vyacheslavovna, Master of Science (Tech.), Junior Researcher in Department of Elasto-
meric Component Mechanics in Mining Machines, M.S. Polyakov Institute of Geotechnical Mechanics under
the National Academy of Science of Ukraine (IGTM, NASU), Dnepropetrovsk, Ukraine, a_v_novikova@mail.ru
|