Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле

Рассматривается каноническая пуассонова структура на кокасательном расслоении T*SE(3) как основа для гамильтоновой механики твердого тела. Вычислены скобки Пуассона для базовых динамических переменных в различных представлениях. Предлагается “смешанное” представление, в котором поступательные степ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Зуб, С.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87591
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле / C.C. Зуб // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 37-42. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87591
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-875912017-11-17T22:06:41Z Каноническая пуассонова структура на TSE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле Зуб, С.С. Інформатика та кібернетика Рассматривается каноническая пуассонова структура на кокасательном расслоении TSE(3) как основа для гамильтоновой механики твердого тела. Вычислены скобки Пуассона для базовых динамических переменных в различных представлениях. Предлагается “смешанное” представление, в котором поступательные степени свободы описываются в инерциальной системе отсчета, а вращательные — в системе отсчета, связанной с телом. Выведены уравнения движения для магнитного диполя во внешнем поле. Розглядається канонiчна пуассонова структура на кодотичному розшаруваннi TSE(3) як основа для гамiльтонової механiки твердого тiла. Знайдено дужки Пуассона для базових динамiчних змiнних у рiзних зображеннях. Пропонується “змiшане” зображення, в якому поступальнi ступенi свободи описуються в iнерцiальнiй системi вiдлiку, а обертальнi — в системi вiдлiку, що пов’язана з тiлом. Виведено рiвняння руху для магнiтного диполя в зовнiшньому полi. We consider a canonical Poisson structure on the cotangent bundle TSE(3) as a basis for the Hamiltonian mechanics of solids. The Poisson brackets for base dynamic variables are calculated in the different representations. We propose a “mixed” representation so that the forward and rotatory degrees of freedom are described in an inertial reference frame and in the body frame, respectively. The equation of motion is obtained for a magnetic dipole in the external field. 2014 Article Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле / C.C. Зуб // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 37-42. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87591 519.6 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Зуб, С.С. Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле Доповіді НАН України
description	Рассматривается каноническая пуассонова структура на кокасательном расслоении T*SE(3) как основа для гамильтоновой механики твердого тела. Вычислены скобки Пуассона для базовых динамических переменных в различных представлениях. Предлагается “смешанное” представление, в котором поступательные степени свободы описываются в инерциальной системе отсчета, а вращательные — в системе отсчета, связанной с телом. Выведены уравнения движения для магнитного диполя во внешнем поле.
format	Article
author	Зуб, С.С.
author_facet	Зуб, С.С.
author_sort	Зуб, С.С.
title	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле
title_short	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле
title_full	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле
title_fullStr	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле
title_full_unstemmed	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле
title_sort	каноническая пуассонова структура на t*se(3) и гамильтонова механика твердого тела. динамика магнитного диполя во внешнем поле
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87591
citation_txt	Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле / C.C. Зуб // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 37-42. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT zubss kanoničeskaâpuassonovastrukturanatse3igamilʹtonovamehanikatverdogoteladinamikamagnitnogodipolâvovnešnempole
first_indexed	2025-07-06T15:14:50Z
last_indexed	2025-07-06T15:14:50Z
_version_	1836911051245879296
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 4 • 2014 IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА УДК 519.6 C.C. Зуб Каноническая пуассонова структура на TSE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины И.С. Ляшко) Рассматривается каноническая пуассонова структура на кокасательном расслоении T ∗SE(3) как основа для гамильтоновой механики твердого тела. Вычислены скобки Пуассона для базовых динамических переменных в различных представлениях. Предла- гается “смешанное” представление, в котором поступательные степени свободы опи- сываются в инерциальной системе отсчета, а вращательные — в системе отсчета, связанной с телом. Выведены уравнения движения для магнитного диполя во внешнем поле. Теоретико-групповые методы гамильтоновой динамики доказали свою эффективность во многих задачах механики [1–4]. Динамическая система с симметрией описывается как сим- плектическое или пуассоново многообразие с действующей на нем группой Ли и инвариан- тной относительно этого действия функцией Гамильтона системы. В частном, но важном случае группа Ли сама является конфигурационным пространс- твом механической системы [1, 2, 5]. Именно такой случай реализуется в динамике твер- дого тела. Наиболее естественным конфигурационным пространством для твердого тела является расслоение O+(E3) ортонормированных ориентированных триад над 3-мерным евклидовым пространством E3. Также естественно считать, что точка закрепления репера находится в центре инерции тела, а векторы триады являются главными осями тензора инерции тела. По сути, такое описание восходит к Эйлеру. Группа SE(3) действует на O+(E3) как группа движений евклидового пространства, сохраняющих ориентацию. При этом действии векторы исходного ортонормированного ре- пера (триады) становятся векторами нового ортонормированного репера. Это действие транзитивно. Таким образом, если зафиксировать некоторую систему отсчета, т. е. точку прикрепления репера и его векторы, то любая другая система отсчета может быть получе- на из исходной одним и только одним преобразованием группы SE(3). Это означает, что расслоение O+(E3) покрывается единственной картой, и эта карта имеет структуру группы © C. C. Зуб, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 37 SE(3), которая и может рассматриваться в качестве конфигурационного пространства для твердого тела. Как правило, для описания физических векторных величин используется либо инерци- альная система отсчета (иногда говорят о данном векторе относительно пространства), либо система отсчета, связанная с телом (и тогда говорят о данном векторе относительно тела). Следует подчеркнуть, что далее мы будем иметь дело только с арифметическим вектора- ми, т. е. с набором компонент физической векторной величины относительно оговоренной системы отсчета, например, p-компоненты импульса тела в инерциальной системе отсчета, π-компоненты собственного момента импульса в инерциальной системе отсчета, P -компо- ненты импульса тела в системе отсчета, связанной с телом, Π-компоненты собственного момента импульса в системе отсчета, связанной с телом. Что же касается положения цен- тра инерции тела, то компоненты этого арифметического вектора имеют смысл только в инерциальной системе отсчета [2, c. 59] и имеют смысл скорее параметров группы SE(3), нежели компонент физического вектора. Для понимания физического смысла описания динамики наиболее подходящей является инерциальная система отсчета. По крайней мере, поступательное движение тела наиболее естественно описывать именно в инерциальной системе. С другой стороны, как известно, кинетическая энергия вращательного движения (а, значит, соответствующий вклад в гамильтониан) наиболее просто записывается в системе отсчета, связанной с телом. В данной работе предлагается “смешанное” представление в динамике твердого тела, описывающее поступательные степени свободы в инерциальной системе, а вращательные степени свободы — в системе отсчета, связанной с телом. В качестве интересного приложения предложенного подхода выведены уравнения дви- жения для магнитного диполя во внешнем поле, где, в отличие от работ [3, 6, 7], магнитный диполь рассматривается как произвольное (т. е., возможно, асимметричное) магнитное тело с произвольно направленным относительно тела магнитным моментом. Группа SE(3) и ее алгебра Ли. Приведем базовые соотношения для группы G = = SE(3) и ее алгебры Ли g = se(3) [1, 2]. Группа SE(3) является полупрямым произве- дением своего нормального делителя R 3 и подгруппы SO(3), следовательно, произвольный элемент группы может быть записан в виде пары (X ,R), где вектор X представляет транс- ляцию в евклидовом пространстве, а матрица R обладает свойствами RT = R−1, det(R) = 1. (1) Закон умножения определяется выражением (X1,R1)(X2,R2) = (X1 +R1[X2],R1R2). (2) Таким образом, единицей группы является (0,1), трансляции представляются элемен- тами вида (X ,1), вращения — элементами вида (0,R), а обратный элемент имеет вид (X,R)−1 = (−R−1[X],R−1). (3) Внутренний автоморфизм группы, соответствующий элементу g = (X ,R), определяется действием на произвольный элемент группы h = (Y ,Q) Ig(h) = ghg−1 = (R[Y ] + (1−RQR−1)[X ],RQR−1). (4) 38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 Дифференцируя по h, находим присоединенное действие g на элемент алгебры Ли ξ = = (V ,Ω) Ad(X,R)[(V Ω)] = (R[V ]−R[Ω]×X]),R[Ω]). (5) Повторно дифференцируя по g, находим скобку Ли [ξ, η] двух элементов ξ = (V 1,Ω1) и η = (V 2,Ω2) ad(V 1,Ω1)[(V 2,Ω2)] = [(V 1,Ω1), (V 2,Ω2)] = (Ω1 × V 2 −Ω2 × V 1,Ω1 ×Ω2). (6) Пусть ei = (ei,0) — базисные элементы, соответствующие трансляциям в алгебре Ли se(3), а ǫi = (0, ǫi) — базисные элементы, соответствующие вращениям в se(3), тогда алгебра Ли se(3) и ее структурные константы определяются соотношениями [ei,ej ] = 0, [ǫi, ǫj] = εijkǫk, [ǫi,ej] = εijkek. (7) Соответствующий кобазис в g∗ = se(3)∗ — пространстве, сопряженном к алгебре Ли g = se(3), обозначим ei, ǫi, i = 1, 2, 3. Операторы, сопряженные к (5), образуют коприсоединенное представление группы G в пространстве g∗ Ad∗g−1 [µ] = Ad∗(X,R)−1 [(P ,Π)] = (R[P ],X ×R[P ] +R[Π]), (8) где µ = (P ,Π) ∈ g∗; физический смысл P — импульс тела в системе отсчета, связанной с телом, а Π — собственный момент импульса тела в той же системе. Представление левой и правой тривиализации для T ∗SE(3). Кокасательное рас- слоение любого многообразия локально тривиально [8], однако о кокасательном расслоении к группе Ли можно сказать больше, а именно: оно является глобально тривиальным, т. е. до- пускает представление в виде прямого произведения. Представление левой тривиализации определено в [5] λt = τG × ǫ : T (G) 7→ G× g, λct = πG × JR : T ∗(G) 7→ G× g∗, (9) где ǫ — 1-форма Маурера–Картана, принимающая значения в g [8], а JR — отображение момента, соответствущее действию группы G на себе правыми сдвигами [1] JR : T ∗(G) 7→ g∗, JR(αa) = T ∗ e Laαa. (10) Аналогично определяется представление правой тривиализации. Переход между этими представлениями дан в [1, 5, 9]. В [1, 9] показано, что при теоретико-групповом описании механики твердого тела левой тривиализации соответствует система отсчета, связанная с телом, а правой тривиализации соответствует инерциальная система. Таким образом, элемент T ∗SE(3) в представлении левой тривиализации описывается четверкой ((X ,R), (P ,Π)), где X — положение центра масс тела; R — поворот тела отно- сительно опорной (инерциальной) системы отсчета; P — импульс тела в системе отсчета, связанной с телом, а Π — собственный момент импульса тела в той же системе. Для построения гамильтоновой динамики на T ∗SE(3) достаточно задать полный набор скобок Пуассона (с.П.) для указанных выше переменных и функцию Гамильтона системы. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 39 Общее выражение для с.П. динамических переменных (д. п.) F и H на кокасательном расслоении к произвольной группе Ли дано в [5] {F,H}\|(a,µ) = (δgFδµH − δgHδµF − 〈µ, [δµF, δµH]〉)\|(a,µ) (11) (в нашем случае a = (X ,R) µ = (P ,Π)). Дифференциал δµ — это обычный дифференциал по переменным P , Π, а δg требует для своего определения знания формы Маурера–Картана для группы G = T ∗SE(3). Имеем [8 с. 136, форм. (19)] (ei, ǫij)\|(X,R) = ((R−1)ildX l, (R−1)ildR l j) (12) (в нашем случае геометрия евклидова, верхние и нижние индексы равноправны, выпол- няется ǫij = −ǫji). Рассмотрим касательный вектор на группе (Ẋi, Ṙi j) и выразим его через компоненты (V ,Ω) в выбранном выше представлении левой тривиализации, используя (12). Имеем Ẋi = RilV l, Ṙi j = Ri lΩ l j , (13) Ωij = εiljΩl, Ωl = 1 2 εiljΩij. (14) Тогда для произвольной д. п. F Ḟ = R−1 li ∂F ∂Xi vl +R−1 li ∂F ∂Rij ωlj, (15) откуда следует выражение для дифференциала δg δgF = (( R−1 ik ∂F ∂Xk ) ei, ( εjikR −1 jl ∂F ∂Rlk ) ǫi ) . (16) Рассмотрим дифференциалы δg и δµ для базовых д. п.    δgXj = (Rjke k, 0), δµXj = 0, δgRij = (0, εijkRikǫ i), δµRij = 0, δgPj = 0, δµPj = (ej, 0), δgΠj = 0, δµΠj = (0, ǫj). (17) Из этих выражений и универсальной формулы (11) в системе, связанной с телом, получаем следующие базовые с. П. (только отличные от 0): { {Xi, Pj} = Rij , {Πi, Pj} = −εijkPk, {Πi,Πj} = −εijkΠk, {Πk, Rij} = −εkjlRil. (18) Как показано в [1, 5, 9], переход от левой тривиализации к правой сводится к (a, µ) → → (a,Ad∗a−1 [µ]), что с учетом выражения (8) для оператора коприсоединенного представ- ления приводит к следующей замене переменных, являющейся каноническим преобразо- ванием: p = R[P ], π = R[Π], j = x× p+ π, (19) 40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 где p — импульс тела в инерциальной системе отсчета; π — собственный момент импульса тела; j — полный момент импульса в той же системе, переменные x = X и R не преобра- зуются. Используя свойства с.П. [1, 6, 10], получаем следующие ненулевые с.П. для базовых д. п. в представлении правой тривиализации, т. е. в инерциальной системе отсчета {xi, pj} = δij , {πi, πj} = εijlπl, {πi, Rjk} = εijlRlk. (20) Скобки Пуассона для базовых динамических переменных в “смешанном” представлении. В отличие от преобразования (19), при переходе к “смешанной” систе- ме преобразуем только импульс тела p = R[P ]. (21) Используя свойства с.П. и (18), нетрудно получить в этом случае следующие ненулевые с.П. для базовых д. п. {xi, pk} = δik, {Πi,Πj} = −εijkΠk, {Πk, Rij} = −εkjlRil. (22) Как видим, в этом случае поступательные и вращательные степени свободы имеют ну- левые взаимные с.П. Еще одним важным преимуществом “смешанного” представления является простое вы- ражение вращательной кинетической энергии тела Tspin((x,R), (p,Π)) = 1 2 ΠI −1Π = 1 2 ΠiI −1 ik Πk = 1 2 ( Π2 1 I1 + Π2 2 I2 + Π2 3 I3 ) , (23) так как матрица I тензора инерции тела в системе отсчета, связанной с телом, имеет по- стоянные элементы. Уравнения движения для магнитного диполя во внешнем поле в “смешанном” представлении. Под магнитным диполем будем понимать намагниченное малое твердое тело. Силы, действующие на диполь, следуют из уравнений магнитостатики, а его движение подчиняется законам динамики твердого тела. В отличие от работ [3, 4, 7], тело не обладает дополнительной симметрией. Для функции Гамильтона имеем следующее выражение: H = p2 2M + Tspin + V, (24) где µ — постоянный арифметический вектор компоненты магнитного момента тела в си- стеме отсчета, связанной с телом, V ((x,R), (p,Π)) = −〈B(x),R[µ]〉 = −BiRikµk. (25) Вычисляя с. П. гамильтониана с базовыми д. п., получаем скорость их изменения во времени по формуле Ḟ = {F,H}, и тогда уравнения движения имеют вид    ẋ = {x,H} = p M , {pi,H} = 〈∂iB(x), R̂[µ]〉 = Bj,iRjkµk, Ṙij = {Rij ,H} = −εjrtΩrRit, Ωr = I −1 rs Πs −→ R−1 ki Ṙij = εkrjΩr, Π̇ = {Π,H} = −Ω×Π+ µ× R̂−1[B]. (26) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 41 Таким образом, нами получены уравнения движения для магнитного диполя во внешнем поле. 1. Marsden J., Ratiu T. Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems // Texts in Appl. Math. 17. – New York: Springer, 1994. – 553 p. 2. Борисов А.В., Мамаев И. С Динамика твердого тела. – Ижевск: РХД, 2001. – 384 с. 3. Зуб С.С. Орбитрон: Устойчивость орбитального движения магнитного диполя // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2013. – 111, № 1. – С. 101–116. 4. Зуб С.С. Дослiдження стiйкостi орбiтального руху в системi двох магнiтно взаємодiючих тiл // Вiсн. Київ. нац. ун-та. – 2011. – № 2. – С. 176–184. 5. Зуб С.С. Группа Ли как конфигурационное пространство для простой механической системы // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2013. – 112, № 2. – С. 84–93. 6. Зуб С.С. Гамильтонов формализм для магнитного взаимодействия свободных тел // Там же. – 2010. – 102, № 3. – С. 49–62. 7. Dullin H.R., Easton R.W. Stability of levitrons // Physica D. – 1999. – 126, No 1. – P. 1–17. 8. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. – Москва: Мир, 1975. – 348 с. 9. Abraham R., Marsden J. E. Foundations of mechanics. – Reading, MA: Benjamin, 1978. – 806 p. 10. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. – Ижевск: РХД, 1999. – 464 с. Поступило в редакцию 09.09.2013Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко С.С. Зуб Канонiчна пуассонова структура на TSE(3) та гамiльтонова механiка твердого тiла. Динамiка магнiтного диполя в зовнiшньому полi Розглядається канонiчна пуассонова структура на кодотичному розшаруваннi T ∗SE(3) як основа для гамiльтонової механiки твердого тiла. Знайдено дужки Пуассона для базових динамiчних змiнних у рiзних зображеннях. Пропонується “змiшане” зображення, в якому поступальнi ступенi свободи описуються в iнерцiальнiй системi вiдлiку, а обертальнi — в системi вiдлiку, що пов’язана з тiлом. Виведено рiвняння руху для магнiтного диполя в зовнiшньому полi. S. S. Zub Canonical Poisson structure on T*SE(3) and the Hamiltonian mechanics of solids. Dynamics of a magnetic dipole in the external field We consider a canonical Poisson structure on the cotangent bundle T ∗SE(3) as a basis for the Hamiltonian mechanics of solids. The Poisson brackets for base dynamic variables are calculated in the different representations. We propose a “mixed” representation so that the forward and rotatory degrees of freedom are described in an inertial reference frame and in the body frame, respectively. The equation of motion is obtained for a magnetic dipole in the external field. 42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4

Каноническая пуассонова структура на T*SE(3) и гамильтонова механика твердого тела. Динамика магнитного диполя во внешнем поле

Репозитарії

Схожі ресурси