Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем
Определены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия нечеткой модели с параметрическими неточностями. Построена соответствующая функция Ляпунова. Найдена область в пространстве параметров, для значений параметров из которой указанный тип устойчивости сохраняется...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87596 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем / А.С. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 64-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87596 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-875962017-11-06T19:44:48Z Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем Хорошун, А.С. Механіка Определены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия нечеткой модели с параметрическими неточностями. Построена соответствующая функция Ляпунова. Найдена область в пространстве параметров, для значений параметров из которой указанный тип устойчивости сохраняется. Визначено достатнi умови асимптотичної стiйкостi нульового стану рiвноваги нечiткої моделi з параметричними неточностями. Побудовано вiдповiдну скалярну функцiю Ляпунова. Знайдено область у просторi параметрiв, для значень параметрiв з якої вказаний тип стiйкостi зберiгається. The sufficient conditions of the asymptotic stability of a fuzzy model with parametric uncertainties are established. An appropriate scalar Lyapunov function is built. The region in the space of parameters, for which the mentioned type of stability holds, is found. 2014 Article Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем / А.С. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 64-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87596 531.36 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Хорошун, А.С. Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем Доповіді НАН України |
| description |
Определены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия нечеткой модели с параметрическими неточностями. Построена
соответствующая функция Ляпунова. Найдена область в пространстве параметров, для значений параметров из которой указанный тип устойчивости сохраняется. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, А.С. |
| author_facet |
Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Хорошун, А.С. |
| title |
Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем |
| title_short |
Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем |
| title_full |
Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем |
| title_fullStr |
Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем |
| title_sort |
об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем такаги–сугено. случай устойчивых подсистем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87596 |
| citation_txt |
Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай устойчивых подсистем / А.С. Хорошун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 64-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT horošunas obustojčivostinetočnyhsingulârnovozmuŝennyhsistemtakagisugenoslučajustojčivyhpodsistem |
| first_indexed |
2025-07-06T15:15:08Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:15:08Z |
| _version_ |
1836911070493540352 |
| fulltext |
УДК 531.36
А.С. Хорошун
Об устойчивости неточных сингулярно
возмущенных систем Такаги–Сугено. Случай
устойчивых подсистем
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Определены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого состоя-
ния равновесия нечеткой модели с параметрическими неточностями. Построена
соответствующая функция Ляпунова. Найдена область в пространстве парамет-
ров, для значений параметров из которой указанный тип устойчивости сохра-
няется.
Подход, предложенный Такаги и Сугено [1] для моделирования сложных производствен-
ных процессов в виде некоторого “набора” математических моделей, каждая из которых
описывает локальную динамику процесса, активно развивается в настоящее время. С его
помощью удалось получить так называемые нечеткие (fuzzy) модели и сконструировать
так называемое нечеткое управление для многих процессов, моделирование которых ра-
нее не представлялось возможным. В данной работе указанный подход развивается для
моделей, которые описываются сингулярно возмущенными системами дифференциальных
уравнений.
Постановка задачи. Рассмотрим нечеткую модель некоторого механического или дру-
гой природы процесса в виде системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравне-
ний, для описания которой использован набор нечетких предикатных правил в следующем
виде:
Ri : если z1(t) ∈ Mi1 и . . . и zs(t) ∈ Mis,
то
{
ẋ = fi(x, y, p),
εẏ = gi(x, y, p),
i = 1, r,
(1)
где Mig — нечеткие множества, определенные функциями принадлежности M ig : R → [0, 1],
i = 1, r, g = 1, s, x(t) ∈ R
n; y(t) ∈ R
m — переменные, определяющие состояние системы (1)
в момент времени t ∈ R+, fi(x, y, p) ∈ R
n; gi(x, y, p) ∈ R
m — векторные функции, которые
предполагаются непрерывно дифференцируемыми по переменным x и y и непрерывно за-
висящими от векторного параметра p ∈ R
l; ε ∈ (0, 1] — малый параметр; z1(t), . . . , zs(t) —
некоторые системные переменные.
Относительно функций fi(x, y, p), gi(x, y, p) сделаем следующее предположение.
Предположение 1. Функции fi(x, y, p), gi(x, y, p) таковы, что fi(0, 0, p) = 0 и
gi(0, 0, p) = 0, i = 1, r.
© А.С. Хорошун, 2014
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
Учитывая сделанное предположение и используя формулу конечных приращений Лаг-
ранжа для функций fi(x, y, p), gi(x, y, p), i = 1, r, системы (1) приведем к виду
{
ẋ = Ai
11(x̃i, ỹi, p)x+Ai
12(x̃i, ỹi, p)y,
εẏ = Ai
21(
˜̃xi, ˜̃yi, p)x+Ai
22(
˜̃xi, ˜̃yi, p)y,
i = 1, r, (2)
где
Ai
11(x̃i, ỹi, p) =
∂fi(x, y, p)
∂x
∣∣∣x=x̃i
y=ỹi
, Ai
12(x̃i, ỹi, p) =
∂fi(x, y, p)
∂y
∣∣∣x=x̃i
y=ỹi
,
Ai
21(
˜̃xi, ˜̃yi, p) =
∂gi(x, y, p)
∂x
∣∣∣
x=˜̃xi
y=˜̃y
i
, Ai
22(
˜̃xi, ˜̃yi, p) =
∂gi(x, y, p)
∂y
∣∣∣
x=˜̃xi
y=˜̃y
i
, i = 1, r,
x̃i ∈ R
n, ỹi ∈ R
m, ˜̃xi ∈ R
n, ˜̃yi ∈ R
m — некоторые точки соответствующих пространств. Далее,
для простоты, будем писать Ai
11(xi, yi, p), A
i
12(xi, yi, p), A
i
21(xi, yi, p), A
i
22(xi, yi, p), учитывая,
что x и y, вообще говоря, разные и не произвольные в этих обозначениях.
Относительно систем (2) сделаем следующее предположение.
Предположение 2. Системы уравнений (2) таковы, что
1) при некотором значении параметра p = p∗ и всех значениях i = 1, r матрицы
Ai
11(0, 0, p
∗), Ai
22(0, 0, p
∗) устойчивы;
2) существуют такие положительные числа αi, βi, γi, δi < +∞, i = 1, r, что выпол-
няются оценки:
‖Ai
11(x, y, p)−Ai
11(0, 0, p
∗)‖ 6 αi, ‖Ai
12(x, y, p)−Ai
12(0, 0, p
∗)‖ 6 βi,
‖Ai
21(x, y, p)−Ai
21(0, 0, p
∗)‖ 6 γi, ‖Ai
22(x, y, p)−Ai
22(0, 0, p
∗)‖ 6 δi
для всех i = 1, r, x ∈ R
n, y ∈ R
m, p ∈ P ⊆ R
l.
Замечание 1. Здесь и далее по тексту используется спектральная норма для матриц
и евклидова норма для векторов.
После приведения к четкости центроидным методом получаем систему дифференциаль-
ных уравнений, которая описывает полную динамику исходной нечеткой модели
ẋ =
r∑
i=1
µi(z)[A
i
11(x, y, p)x+Ai
12(x, y, p)y],
εẏ =
r∑
i=1
µi(z)[A
i
21(x, y, p)x+Ai
22(x, y, p)y],
(3)
где µi(z) = ωi(z(t))/
r∑
i=1
ωi(z(t)); ωi(z(t)) =
s∏
g=1
M ig(zg(t)). Очевидно, что
r∑
i=1
µi(z) = 1 и
µi(z) > 0, i = 1, r. Предполагаем, что система дифференциальных уравнений (3) имеет
единственное решение начальной задачи.
Целью данной работы является получение достаточных условий асимптотической устой-
чивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (3), которая будет иметь
место при любых значениях µi(z), при всех значениях параметра p из некоторой области
P ⊆ R
l и любых значениях малого параметра ε ∈ (0, 1].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 65
Основной результат. Пусть выполняются условия предположений 1, 2 и для описания
динамики исходного реального процесса используется система дифференциальных уравне-
ний (3).
Рассмотрим системы линейных матричных неравенств
(Ai
11(0, 0, p
∗))TP1 + P1(A
i
11(0, 0, p
∗)) < 0, i = 1, r, (4)
(Ai
22(0, 0, p
∗))TP2 + P2(A
i
22(0, 0, p
∗)) < 0, i = 1, r, (5)
где P1 ∈ R
n×n, P2 ∈ R
m×m — симметрические положительно определенные матрицы. По-
строим скалярную функцию
V (x, y, ε) = xTP1x+ εyTP2y (6)
и найдем ее производную по времени в силу системы (3)
V̇ (x, y, ε)
∣∣∣
(3)
= ẋTP1x+ xTP1ẋ+ εẏTP2y + εyTP2ẏ =
=
(
r∑
i=1
µi(z)[A
i
11(x, y, p)x +Ai
12(x, y, p)y]
)T
P1x+
+ xTP1
(
r∑
i=1
µi(z)[A
i
11(x, y, p)x+Ai
12(x, y, p)y]
)
+
+
(
r∑
i=1
µi(z)[A
i
21(x, y, p)x+Ai
22(x, y, p)y]
)T
P2y +
+ yTP2
(
r∑
i=1
µi(z)[A
i
21(x, y, p)x+Ai
22(x, y, p)y]
)
=
=
r∑
i=1
µi(z)[x
T [(Ai
11(0, 0, p
∗))TP1 + P1A
i
11(0, 0, p
∗)]x+
+ xT [(Ai
11(x, y, p)−Ai
11(0, 0, p
∗))TP1 + P1(A
i
11(x, y, p)−Ai
11(0, 0, p
∗))]x+
+ xT [P1A
i
12(0, 0, p
∗) + (Ai
21(0, 0, p
∗))TP2]y + xT [P1(A
i
12(x, y, p)−Ai
12(0, 0, p
∗)) +
+ (Ai
21(x, y, p)−Ai
21(0, 0, p
∗))TP2]y + yT [(Ai
12(0, 0, p
∗))TP1 + P2A
i
21(0, 0, p
∗)]x+
+ yT [(Ai
12(x, y, p)−Ai
12(0, 0, p
∗))TP1 + P2(A
i
21(x, y, p)−Ai
21(0, 0, p
∗))]x +
+ yT [(Ai
22(0, 0, p
∗))TP2 + P2A
i
22(0, 0, p
∗)]y +
+ yT [(Ai
22(x, y, p)−Ai
22(0, 0, p
∗))TP2 + P2(A
i
22(x, y, p)−Ai
22(0, 0, p
∗))]y]. (7)
Учитывая соотношение (7) и п. 2 предположения 2, получим следующую оценку для про-
изводной функции (6) по времени в силу системы (3):
V̇ (x, y, ε)
∣∣∣
(3)
6 (‖x‖, ‖y‖)
[
r∑
i=1
µi(z)Di(αi, βi, γi, δi)
]
(‖x‖, ‖y‖)T , (8)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
где
Di(αi, βi, γi, δi) =
(
Ai(αi) Bi(βi, γi)
Bi(βi, γi) Ci(δi)
)
;
Ai(αi) = λmax[(A
i
11(0, 0, p
∗))TP1 + P1A
i
11(0, 0, p
∗)] + 2αi‖P1‖;
Bi(βi, γi) = ‖P1A
i
12(0, 0, p
∗) + (Ai
21(0, 0, p
∗))TP2‖+ ‖P1‖β1 + ‖P2‖γi;
(9)
Ci(δi) = λmax[(A
i
22(0, 0, p
∗))TP2 + P2A
i
22(0, 0, p
∗)] + 2δi‖P2‖, i = 1, r;
λmax(·) — максимальное собственное значение соответствующей матрицы.
Сформулируем и докажем теорему, которая определяет достаточные условия асимп-
тотической устойчивости нулевого состояния равновесия нелинейной системы диффе-
ренциальных уравнений (3) относительно некоторой области в пространстве пара-
метров.
Теорема 1. Пусть для системы дифференциальных уравнений (3) выполняются усло-
вия предположения 2, системы линейных матричных неравенств (4), (5) совместны на
множестве симметрических положительно определенных матриц P1 и P2 соответст-
венно и для величин αi, βi, γi, δi для всех i = 1, r выполняются соотношения
Ai(αi) < 0, (10)
Ai(αi)Ci(δi)−B2
i (βi, γi) > 0. (11)
Тогда состояние равновесия x = 0, y = 0 системы (3) асимптотически устойчиво для
всех p ∈ P и всех ε ∈ (0, 1].
Доказательство. Выберем величины αi, βi, γi, δi, i = 1, r, так, чтобы выполнялись
соотношения (10), (11), произвольное p ∈ P и рассмотрим систему дифференциальных
уравнений (3) при этом значении параметра. Построим скалярную функцию (6), используя
симметрические положительно определенные матрицы P1 и P2, которые являются реше-
ниями систем линейных матричных неравенств (4) и (5) соответственно. Очевидно, что
рассматриваемая скалярная функция положительна для всех значений x ∈ R
n, y ∈ R
m,
кроме нулевых и ε ∈ (0, 1]. Для производной функции (6) по времени в силу системы (3)
имеет место оценка (8). Согласно соотношениям (10), (11), матрицы (9) отрицательно опре-
делены для выбранных αi, βi, γi, δi, i = 1, r. Так как µi(z) > 0, i = 1, r, для всех z и имеет
место теорема Вейля (см. [2]), матрица
r∑
i=1
µi(z)Di(αi, βi, γi, δi)
отрицательно определена для всех z при выбранных αi, βi, γi, δi, i = 1, r, т. е. производная
функции (6) по времени в силу системы (3) определенно отрицательна для всех x ∈ R
n,
y ∈ R
m, ε ∈ (0, 1] и при произвольных значениях z. Значит, функция (6) является функ-
цией Ляпунова, позволяющей, в силу теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости
(см. [3]), установить асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия систе-
мы (3). Так как p — произвольная точка из области P , то указанный тип устойчивости
имеет место для всех значений параметра p из области P .
Теорема доказана.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 67
Рис. 1
Замечание 2. Поскольку, согласно условию теоремы, величины Ai(αi), Ci(δi), i = 1, r,
отрицательны, то из выражений для этих величин можно получить следующие верхние
оценки для значений αi, δi, i = 1, r:
αi <
−λmax[(A
i
11(0, 0, p
∗))TP1 + P1A
i
11(0, 0, p
∗)]
2‖P1‖
,
δi <
−λmax[(A
i
22(0, 0, p
∗))TP2 + P2A
i
22(0, 0, p
∗)]
2‖P2‖
.
Пример. Рассмотрим электрическую цепь (см. [4]), содержащую туннельный диод, ко-
торая изображена на рис. 1.
Туннельный диод характеризуется следующим соотношением: iD(t) = 0,01VD(t) +
+0,05V 3
D(t). Считаем индуктивность катушки L малым “паразитным” параметром и введем
переменные x1(t) = VC(t), x2(t) = iL(t). Выберем такие параметры цепи: C = 100 мФ,
L = ε Гн, R = 250 ± 45 Ом, т. е. значение сопротивления резистора известно неточно.
Предположим, что |x1| < 3 и что значение величины шума настолько мало, что им можно
пренебречь. Тогда нечеткую модель для описания исходной электрической цепи получим
в следующем виде:
если x1 ∈ M1(x1), то
{
ẋ1 = −0,1x1 + 10x2,
εẋ2 = −x1 − (250 + p)x2,
если x1 ∈ M2(x1), то
{
ẋ1 = −4,6x1 + 10x2,
εẋ2 = −x1 − (250 + p)x2,
где M1(x1) = (3 − |x1|)/3, M2(x1) = |x1|/3.
После приведения к четкости получим описание полной динамики нечеткой модели сле-
дующей системой дифференциальных уравнений:
{
ẋ1 = µ1(z)[−0,1x1 + 10x2] + µ2(z)[−4,6x1 + 10x2],
εẋ2 = µ1(z)[−x1 − (250 + p)x2] + µ2(z)[−x1 − (250 + p)x2],
(12)
где z = (x1x2)
T . Очевидно, что система дифференциальных уравнений (12) удовлетворяет
условиям предположения 2, где p∗ = 0, α1 = α2 = β1 = β2 = γ1 = γ2 = 0, δ1 = δ2 = 45,
P = {p ∈ R | |p| 6 45}.
Системы линейных матричных неравенств (4), (5) совместны при значениях P1 = (1),
P2 = (1) соответственно. Так как A1(α1) = −0, 2, A2(α2) = −9,2, B1(β1, γ1) = B2(β2, γ2) = 9,
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
Рис. 2 Рис. 3
C1(δ1) = C2(δ2) = −410 и соотношения (10), (11) справедливы при i = 1, 2, то, согласно
теореме 1, нулевое состояние равновесия системы (12) асимптотически устойчиво для всех
p ∈ P и всех ε ∈ (0, 1].
Поведение решений системы (12) при p = 40, ε = 0,5, x0 = (20,01)T изображено на
рис. 2, 3.
1. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control // IEEE
Transactions on Systems, Man and Cybernetics. – 1985. – 15, No 1. – P. 116–132.
2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – Москва: Мир, 1989. – 655 с.
3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости – Москва: Наука, 1967. – 223 с.
4. Assawinchaichote W., Nguang S.K. H∞ filtering for fuzzy singularly perturbed systems with pole placement
constraints: an LMI approach // IEEE Trans. Signal Processing. – 2004. – 52, No 6. – P. 1659–1667.
Поступило в редакцию 04.10.2013Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
А.С. Хорошун
Про стiйкiсть неточних сингулярно збурених систем Такагi–Сугено.
Випадок стiйких пiдсистем
Визначено достатнi умови асимптотичної стiйкостi нульового стану рiвноваги нечiткої
моделi з параметричними неточностями. Побудовано вiдповiдну скалярну функцiю Ляпуно-
ва. Знайдено область у просторi параметрiв, для значень параметрiв з якої вказаний тип
стiйкостi зберiгається.
A. S. Khoroshun
About the stability of Takagi–Sugeno uncertain singularly perturbed
systems. The case of stable subsystems
The sufficient conditions of the asymptotic stability of a fuzzy model with parametric uncertain-
ties are established. An appropriate scalar Lyapunov function is built. The region in the space of
parameters, for which the mentioned type of stability holds, is found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 69
|