Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям

Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям

Методами аналитической механики выводятся различные формы уравнений движения идеальной однородной жидкости, сжимаемой и несжимаемой, отнесенных к одной и той же подвижной системе координат, и устанавливаются их взаимосвязи. Найдены новые формы уравнений в подвижных осях, в том числе уравнение ``абсо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
1. Verfasser: Золотенко, Г.Ф.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Schriftenreihe:Прикладна гідромеханіка
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87650
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 16-43. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-87650
record_format dspace
spelling irk-123456789-876502015-10-23T03:01:53Z Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям Золотенко, Г.Ф. Методами аналитической механики выводятся различные формы уравнений движения идеальной однородной жидкости, сжимаемой и несжимаемой, отнесенных к одной и той же подвижной системе координат, и устанавливаются их взаимосвязи. Найдены новые формы уравнений в подвижных осях, в том числе уравнение ``абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат'', отличное от одноименного классического уравнения. Предложена классификация уравнений, отнесенных к подвижным осям. Сформулировано и доказано общее утверждение о совпадении (при определенных условиях и с точностью до преобразования сдвига пространственных переменных) классического уравнения относительного и нового уравнения абсолютно-относительного движений жидкости. Это утверждение иллюстрируется на примерах движения системы координат по поверхности Земли и угловых колебаний бака с жидкостью в лабораторных условиях. Методами аналiтичної механiки виводяться рiзнi форми рiвнянь руху iдеальної однорiдної рiдини, стисливої та нестисливої, вiднесенi до однiєї i тiєї самої рухомої системи координат, i встановлюються їхнi взаємозв'язки. Знайдено новi форми рiвнянь у рухомих осях, у тому числi рiвняння ``абсолютного руху рiдини у рухомiй системi координат'', що вiдрiзняється вiд однойменного класичного рiвняння. Запропоновано класифiкацiю рiвнянь, вiднесених до рухомих осей. Сформульовано та доведено загальне твердження про спiвпадiння (за певних умов та з точнiстю до перетворення зсуву просторових змiнних) класичного рiвняння вiдносного та нового рiвняння абсолютно-вiдносного рухiв рiдини. Це твердження iлюструється на прикладах руху системи координат по поверхнi Землi та кутових коливань бака з рiдиною у лабораторних умовах. Different forms of equations of motion of an ideal homogeneous (compressible and incompressible) fluid referred to one and the same moving coordinate system have been derived using the methods of analytical mechanics, and their relationships have been determined. It has been deduced new forms of equations in the moving axes, including the equation ``of an absolute motion of a fluid referred to the moving coordinate system'', which differs from the classical equation with the same name. Classification of the referred to the moving axes equations has been offered. The general statement about coincidence (under certain conditions and to within the shift transformation of spatial variables) the classsical equations of relative motion and the new equations of absolute-relative motion of the fluid has been formulated and proved. This statement is illustrated by examples of a movement of the coordinate system along a surface of the Earth and angular fluctuations of a tank with a fluid under the laboratory conditions. 2009 Article Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 16-43. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87650 532.5:517.958 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Методами аналитической механики выводятся различные формы уравнений движения идеальной однородной жидкости, сжимаемой и несжимаемой, отнесенных к одной и той же подвижной системе координат, и устанавливаются их взаимосвязи. Найдены новые формы уравнений в подвижных осях, в том числе уравнение ``абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат'', отличное от одноименного классического уравнения. Предложена классификация уравнений, отнесенных к подвижным осям. Сформулировано и доказано общее утверждение о совпадении (при определенных условиях и с точностью до преобразования сдвига пространственных переменных) классического уравнения относительного и нового уравнения абсолютно-относительного движений жидкости. Это утверждение иллюстрируется на примерах движения системы координат по поверхности Земли и угловых колебаний бака с жидкостью в лабораторных условиях.
format Article
author Золотенко, Г.Ф.
spellingShingle Золотенко, Г.Ф.
Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
Прикладна гідромеханіка
author_facet Золотенко, Г.Ф.
author_sort Золотенко, Г.Ф.
title Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
title_short Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
title_full Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
title_fullStr Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
title_full_unstemmed Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
title_sort об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate 2009
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87650
citation_txt Об уравнениях гидродинамики, отнесенных к подвижным осям / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 16-43. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv AT zolotenkogf oburavneniâhgidrodinamikiotnesennyhkpodvižnymosâm
first_indexed 2025-07-06T15:17:41Z
last_indexed 2025-07-06T15:17:41Z
_version_ 1836911230321688576
fulltext ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 УДК 532.5:517.958 ОБ УРАВНЕНИЯХ ГИДРОДИНАМИКИ, ОТНЕСЕННЫХ К ПОДВИЖНЫМ ОСЯМ Г. Ф. З ОЛ О ТЕН К О Институт математики НАН Украины, Киев Получено 04.09.2008 Методами аналитической механики выводятся различные формы уравнений движения идеальной однородной жид- кости, сжимаемой и несжимаемой, отнесенных к одной и той же подвижной системе координат, и устанавливаются их взаимосвязи. Найдены новые формы уравнений в подвижных осях, в том числе уравнение “абсолютного движе- ния жидкости в подвижной системе координат”, отличное от одноименного классического уравнения. Предложе- на классификация уравнений, отнесенных к подвижным осям. Сформулировано и доказано общее утверждение о совпадении (при определенных условиях и с точностью до преобразования сдвига пространственных переменных) классического уравнения относительного и нового уравнения абсолютно–относительного движений жидкости. Это утверждение иллюстрируется на примерах движения системы координат по поверхности Земли и угловых колеба- ний бака с жидкостью в лабораторных условиях. Методами аналiтичної механiки виводяться рiзнi форми рiвнянь руху iдеальної однорiдної рiдини, стисливої та не- стисливої, вiднесенi до однiєї i тiєї самої рухомої системи координат, i встановлюються їхнi взаємозв’язки. Знайдено новi форми рiвнянь у рухомих осях, у тому числi рiвняння “абсолютного руху рiдини у рухомiй системi координа- т”, що вiдрiзняється вiд однойменного класичного рiвняння. Запропоновано класифiкацiю рiвнянь, вiднесених до рухомих осей. Сформульовано та доведено загальне твердження про спiвпадiння (за певних умов та з точнiстю до пе- ретворення зсуву просторових змiнних) класичного рiвняння вiдносного та нового рiвняння абсолютно–вiдносного рухiв рiдини. Це твердження iлюструється на прикладах руху системи координат по поверхнi Землi та кутових коливань бака з рiдиною у лабораторних умовах. Different forms of equations of motion of an ideal homogeneous (compressible and incompressible) fluid referred to one and the same moving coordinate system have been derived using the methods of analytical mechanics, and their relationships have been determined. It has been deduced new forms of equations in the moving axes, including the equation “of an absolute motion of a fluid referred to the moving coordinate system”, which differs from the classical equation with the same name. Classification of the referred to the moving axes equations has been offered. The general statement about coincidence (under certain conditions and to within the shift transformation of spatial variables) the classsical equations of relative motion and the new equations of absolute-relative motion of the fluid has been formulated and proved. This statement is illustrated by examples of a movement of the coordinate system along a surface of the Earth and angular fluctuations of a tank with a fluid under the laboratory conditions. ВВЕДЕНИЕ Цель настоящей работы — анализ различных форм уравнений движения жидкости в подви- жных системах координат и установление взаимо- связей между этими формами. Известны следующие основные формы общих дифференциальных уравнений движения (идеаль- ной, однородной, сжимаемой или несжимаемой) жидкости в подвижных осях: - “уравнения движения, отнесенные к подвижной системе координат” [1, с. 27]1 1Строго говоря, в цитированной книге Г. Ламба сами уравнения, отнесенные к подвижной системе координат, не выписаны, однако подготовлены все необходимые соотно- шения и даны указания по способу получения этих уравне- ний в координатной (а не в векторной) форме. Из контекста ясно, что у Ламба вектор (Dx/Dt,Dy/Dt,Dz/Dt) является относительной скоростью жидкости, поэтому эти уравне- ния могут быть представлены в форме (1), которая при- ведена (по-видимому, впервые) Г.С. Наримановым и Л.В. Докучаевым в [3] (стр.19, формула (1.9)) в других обозна- чениях и для более специальной правой части. ∂′Va ∂t + (Vr · ∇)Va + Ω× Va = F − 1 ρ ∇P, (1) - “уравнения относительного движения жидкости” [2, c. 57] ∂′Vr ∂t + ∇ (1 2 V2 r ) −Vr × rot Vr + 2Ω× Vr = = F − 1 ρ ∇P −We, (2) - “уравнения абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат”, [2, c. 57] ∂′Va ∂t + ∇ (V2 a 2 −Va ·Ve ) − (Va −Ve)× rot Va = = F − 1 ρ ∇P. (3) Здесь и далее Va, Vr и Ve — абсолютная, относи- тельная и переносная скорости жидкости соответ- ственно; We — переносное ускорение жидкости; 16 c© Г. Ф. Золотенко, 2009 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Ω — угловая скорость подвижной системы коор- динат; ρ — плотность; P — давление; F — массо- вая сила. Штрих при частной производной по t обозначает дифференцирование в подвижной си- стеме координат, ∇ — оператор градиента по про- странственным переменным. Названия уравнений взяты из первоисточников и потому заключены в кавычки. Несколько неожиданное название последнего уравнения2 и то обстоятельство, что, в силу изве- стного соотношения Vr = Va − Ve, (4) уравнение (1) также может быть названо “урав- нением абсолютного движения жидкости в подви- жной системе координат”, наводят на вопрос о связи этих уравнений и о том, сколько же подо- бных форм уравнений гидродинамики существу- ет. Аналогичные вопросы возникают также при анализе математических моделей в некоторых из сравнительно недавних работ. Например, в объем- ной монографии [4] исходное уравнение теории по- тенциального движения жидкости в поступатель- но перемещающемся со скоростью V0 баке пред- ставлено в “смешанном” виде (стр. 7, уравнение (1.7b)) P ρ + 1 2 q2 rel + gZ′ − ∂Φ ∂t − 1 2 V2 0 = C(t), (5) где Φ и Z′ — потенциал абсолютной скорости жид- кости и также абсолютная вертикальная коорди- ната соответствующей точки поля скоростей; qrel — относительная скорость жидкой частицы (g — величина ускорения силы тяжести, C(t) — прои- звольная функция времени). Аналогичное “сме- шанное” представление исходного уравнения ги- дродинамики, но уже в случае угловых движений бака, использовано в [5, c. 25, уравнениe (23)]: Dvr Dt +2Ω×vr +Ω̇×r+Ω×(Ω×r) = f− 1 ρ ∇p, (6) где vr – относительная скорость жидкости; r – аб- солютный вектор–радиус жидкой частицы (D/Dt — оператор субстанциональной производной, Ω — угловая скорость бака, f — вектор массовых сил). Создается впечатление, что в этом уравнении искомая вектор–функция vr есть функция абсо- лютного вектор–радиуса r, но в действительности это не так (см. п. 5 настоящей статьи). 2Действительно, зачем рассматривать “абсолютное” движение жидкости, если уже совершен переход к ее “отно- сительному” движению. Дж. Бэтчелор в своем курсе гидродинамики [6, c. 183] ограничился уравнением относительного движения. Это же уравнение (с учетом сил вяз- кости) является исходным в широко цитируемой монографии Х. Гринспена [7, c. 11] о вращающи- хся жидкостях. Анализу вопроса о возможных формах пред- ставления векторных и скалярных физических ве- личин, входящих в уравнения гидродинамики, по- священ п. 1. Следует отметить, что понятие “абсолютное движение жидкости в подвижной системе коор- динат” точно никем не определялось, поскольку, по-видимому, предполагалось, что оно самоочеви- дно. Вместе с тем оказывается, что можно полу- чить, по крайней мере, еще одно уравнение, ана- логичное трем вышеприведенным (1)— (3) и отли- чное от них. Некоторые новые формы уравнений выведены в п. 2. Взаимосвязи различных форм уравнений ана- лизируются в п. 3. Прослеживаются цепочки пре- образований зависимых и независимых перемен- ных, позволяющих переходить от одних форм уравнений к другим. В частности, воспроизве- ден способ получения уравнения (3) из уравнения относительного движения жидкости (2), отличный от известного (основанного на физических сообра- жениях) приема исключения переносного ускоре- ния We в [2, c. 57]. Связь уравнений (3) и (1) уста- новлена в [3, c. 19]. Существование различных форм уравнений ги- дродинамики естественным образом приводит к необходимости их классификации. В настоящей работе предлагается классификация отнесенных к подвижным осям уравнений, в основу которой по- ложены формы координатных представлений ве- кторов положения и скорости жидкой частицы (п. 4). Наконец, важным для приложений является во- прос о мотивах применения той или иной формы уравнений в задачах теории относительного дви- жения жидкости (как внутренних, например, в ди- намике твердых тел с жидкостью, так и внешних, например, в динамике твердых тел внутри жидко- сти). Отчасти ответ на этот вопрос известен: урав- нение (3) широко используется в приложениях по- тому, что в случае потенциальных течений допу- скает первый интеграл, представленный в знаме- нитой работе Н.Е. Жуковского [8] в виде 1 ρ p − U = τ − ∂F ∂t − 1 2 (V 2 − V ′2), (7) где p, ρ, U , τ , F , V 2 и V ′ — давление, плотность, силовая функция, функция времени, потенциаль- Г. Ф. Золотенко 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 ная функция абсолютных скоростей, сумма ква- дратов абсолютных скоростей и скорость влечения от движения твердого тела соответственно (обо- значения и терминология Н.Е. Жуковского)3. Заметим, что само уравнение (3) у Н.Е. Жу- ковского отсутствует. Его вывод имеется в книге [2, c.57], там же доказывается (с. 115 и 116), что полученное Н.Е. Жуковским “выражение гидро- динамического давления” является одновремен- но и первым интегралом этого уравнения. Л.М. Милн-Томсон в [9, c. 93] ограничился “уравнением для давления” при рассмотрении уравнений дви- жения жидкости относительно подвижных осей. В более специальных работах [3, c. 19] и [10, c. 61] в качестве исходного уравнения для исследова- ния неустановившихся движений идеальной жид- кости внутри подвижных тел также использова- лась формула Жуковского4. Определенную мотивацию применению “ново- го” уравнения дает доказанное в настоящей ра- боте утверждение об условиях совпадения урав- нений абсолютно–относительного и относительно– относительного классов (п. 5). Показано, что под эти условия подпадают задачи из таких разных областей гидродинамики, как динамика атмосфе- ры и океана, с одной стороны, и динамика жид- кости в совершающем угловые колебания баке, с другой стороны. В настоящей работе принята специальная сис- тема обозначений: векторы, заданные в неподви- жных осях, обозначаются строчными, а в по- движных осях — прописными буквами. Эти обо- значения отражают двойственность представле- ния векторов при наличии двух систем коорди- нат и позволяют сразу распознавать, в какой из них, подвижной или неподвижной, задан тот или иной вектор. Аналогичные обозначения вводятся и для скалярных функций векторных аргументов: функция, вектор–аргумент которой задан в непо- движной системе координат, обoзначается стро- чной, а в подвижной — прописной буквой. Напри- мер, из формы записи уравнений (1)—(3) сразу видно, что в них все векторы и скалярная функ- ция P соответствуют подвижным осям. Исключе- нием является плотность жидкости, которую в не- подвижной и подвижной системах координат все- 3Эта формула, обобщающая интегралы Бернулли (для установившихся движений жидкости в неподвижной си- стеме координат) и Коши (для неустановившихся движе- ний жидкости в той же неподвижной системе координат)на случай подвижной системы координат, была, по-видимому, впервые, получена Н.Е.Жуковским в 1885 г. [8, c.173, фор- мула (9)] из интеграла Коши. 4По терминологии этих работ “интеграл Лагранжа– Коши” и “интеграл Коши” соответственно. гда будем обозначать строчной буквой ρ с явным указанием, при необходимости, ее аргументов. Ве- кторы как таковые, т. е. без привязки к какой- либо конкретной системе координат, будут обозна- чаться строчными буквами, поскольку рассмотре- ние любого из них начинается с неподвижной сис- темы координат и, следовательно, их естественно отождествлять с формой, обозначаемой малой бу- квой. Наконец, используется символ :=, который означает “равно по определению”. Остальные обо- значения (в частности, суммирование по повторя- ющимся индексам и символы дифференцирования db dt , ∂b ∂t , ∂′b ∂t , Db Dt , ∗ b . некоторого вектора b по времени) традиционны в гидромеханике и аналитической механике. 1. ДВОЙСТВЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ Классические уравнения Эйлера в неподви- жной декартовой прямоугольной системе коорди- нат O∗ξ1ξ2ξ3 могут быть представлены в виде ∂vl ∂t + vk ∂vl ∂ξk = f l − 1 ρ ∂p ∂ξk (k, l = 1, 2, 3)5. (8) Здесь (ξ1, ξ2, ξ3) — проекции на неподвижные оси вектор–радиуса r жидкой частицы относи- тельно неподвижного начала O∗; t — время; (v1, v2, v3) — проекции на неподвижные оси векто- ра va абсолютной скорости жидкости; (f1, f2, f3) — проекции на неподвижные оси вектора f массо- вых сил, отнесенных к единице массы. Далее рас- сматриваются различные формы представления в неподвижной и подвижной системах координат ве- кторов, входящих в уравнение (8). 1.1. Базисные векторы Считая, что движение жидкости наблюдается с подвижного объекта, введем в рассмотрение жест- ко связанную с этим объектом систему координат OX1X2X3 с ортами Il (l = 1, 2, 3), которые в про- екциях на оси этой системы координат определя- ются вектор–столбцами 6 I1 :=   1 0 0   , I2 :=   0 1 0   , I3 :=   0 0 1   . (9) 5Здесь и далее по повторяющимся индексам выполняе- тся суммирование. 6Вектор–столбец, соответствующий некоторому векто- ру, обозначается той же буквой, что и сам вектор, но не- жирной. 18 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Положение системы координат OX1X2X3 относи- тельно системы координат O∗ξ1ξ2ξ3 определяется вектор–радиусом r0(t) подвижного начала O отно- сительно неподвижного начала O∗ и таблицы на- правляющих косинусов (табл. 1): Табл 1. X1 X2 X3 ξ1 a11(t) a12(t) a13(t) ξ2 a21(t) a22(t) a23(t) ξ3 a31(t) a32(t) a33(t) В дальнейшем таблице косинусов ставится в со- ответствие матрица A(t) := ||akl(t)|| (k, l = 1, 2, 3). Эта матрица обладает важным свойством ортого- нальности, т.е. A−1 = AT , где T — символ транспонирования матрицы (см., например, [11, с. 774] или [12, с. 12]). Столбец с номером l матрицы A(t) является, по определению, ортом Il (l = 1, 2, 3) подвижной сис- темы координат OX1X2X3 в проекциях на оси O∗ξ1ξ2ξ3 неподвижной системы координат, а стро- ка с номером k — ортом ek (k = 1, 2, 3) неподви- жной системы координат O∗ξ1ξ2ξ3 в проекциях на оси OX1X2X3 подвижной системы координат. Ор- ты ek в проекциях на неподвижные оси определя- ются вектор-столбцами e1 :=   1 0 0   , e2 :=   0 1 0   , e3 :=   0 0 1   (10) и не зависят от t, а их проекции Ek на подвижные оси, конечно, являются функциями времени. Таким образом, геометрически столбцы и стро- ки матрицы косинусов A служат базисными ве- кторами двух систем координат в проекциях на соответствующие оси. Установим алгебраическую связь между бази- сными векторами неподвижной и подвижной си- стем координат. Для этого заметим, что матрица A может быть представлена одним из двух альтер- нативных способов: либо как совокупность (трех) столбцов, либо как совокупность (трех) строк. Другими словами, можно написать A = [ i1(t), i2(t), i3(t) ] =   ET 1 (t) ET 2 (t) ET 3 (t)   , где через il(t) обозначен вектор–столбец проекций орта Il на неподвижные оси (короче, ξ–оси), а че- рез Ek(t) — вектор–столбец проекций орта ek на подвижные оси (короче, X–оси)7 . Далее, имеем следующее почти очевидное пред- ставление вектор–столбцов il(t) через вектор– столбцы ek: [Il]ξ := il(t) = a1l   1 0 0   + a2l   0 1 0   + a3l   0 0 1   = = a1le1 + a2le2 + a3le3, l = 1, 2, 3. В то же время, вектор–строки ET k (t) выражаются через вектор–строки IT l следующим образом: [ek]X := ET k (t) = ak1 [ 1, 0, 0 ] + +ak2 [ 0, 1, 0 ] + ak3 [ 0, 0, 1 ] = = ak1I T 1 + ak2I T 2 + ak3I T 3 , k = 1, 2, 3. (Символы [...]ξ и [...]X обозначают проектирование векторов на ξ–оси и X–оси соответственно.) Из последних двух матричных соотношений ясно, что алгебраически связь базисных векторов можно представить следующими формулами: il(t) = akl(t)ek, Ek(t) = akl(t)Il, (11) где k, l = 1, 2, 3, а по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Формула для Ek(t) получена в результате транспонирования соответ- ствующих вектор–строк. В правых частях этих ра- венств стоят вектор–столбцы постоянных векто- ров ek и Il, определяемые формулами (10) и (9) соответственно. Осталось убедиться, что вектор–столбцы Il и ek, имеющие по выражениям (9), (10) одинаковый вид, расставлены в предыдущих матричных соо- тношениях правильно. Но это становится ясным из рассмотрения проекций базисных векторов в том двумерном случае, когда оси OX1X2 повер- нуты вокруг точки O, совпадающей с точкой O∗, на некоторый положительный (меньший π/2) угол относительно системы координат O∗ξ1ξ2. Замечание. Вектор–столбцы il(t) (l = 1, 2, 3), линейно независимы и взаимно ортогональны, что вытекает из невырожденности и ортогональности 7Здесь и далее, если не оговорено противное, векторы и их компоненты, заданные в неподвижных осях O∗ξ1ξ2ξ3, обозначаются строчными буквами, а в подвижных осях OX1X2X3 — прописными. Кроме того, базисные векторы и их вектор–столбцы нумеруются индексами (k или l) вни- зу, а отдельные компоненты любых векторов и их вектор– столбцов — индексами (k, l, m или n) вверху. Г. Ф. Золотенко 19 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 матрицы A(t). Следовательно, соответствующие им векторы могут быть приняты за базисные. Это же утверждение справедливо и для вектор– столбцов Ek(t) (k = 1, 2, 3). Из формул (9) — (11) вытекают следующие двойственные представления базисных векторов: ek(t) =    ek в ξ–осях, Ek(t) := akl(t)Il в X–осях. (12) Il(t) =    il(t) := akl(t)ek в ξ–осях, Il в X–осях. (13) Здесь Ek(t) — орты ek неподвижной системы коор- динат, наблюдаемые в подвижных X–осях, а il(t) — орты Il подвижной системы координат, наблю- даемые в неподвижных ξ–осях. Замечание. Орт il(t) — это орт Il, но с изме- няющейся ориентацией в неподвижном пространс- тве. В подвижной системе координат OX1X2X3 орт Il задается одним из соотношений (9), а в не- подвижной O∗ξ1ξ2ξ3 — соответствующим столб- цом матрицы A(t) (см. первую из формул (11)). Следовательно, орты il(t) и Il не одно и то же: если для задания Il достаточно одного из соот- ношений (9) и, значит, можно оставаться в си- стеме координат OX1X2X3, то для задания il(t) нужно, помимо указания его длины и одной из осей OX1 , X2 , OX3, на которой он лежит, описать каким-то образом ориентацию этой оси в непо- движном пространстве, чего уже нельзя сделать, оставаясь только в системе координат OX1X2X3 . По существу, такая ориентация задается аналити- чески столбцами матрицы A(t). Аналогично вво- дятся орты Ek(t), и для них можно сформулиро- вать, c соответствующими изменениями, такое же утверждение. Различие векторов il(t) и Il существенно при: 1) дифференцировании по времени заданных в подвижных осях векторов (когда необходимо ра- зличать абсолютные и относительные произво- дные этих векторов); 2) перепроектировании ве- кторов из неподвижной системы координат в по- движную. Если при выполнении этих операций выбрать ek(t) = ek и полагать просто Il(t) = Il, то исчезают параметры, отражающие изменение взаимной ориентации осей рассматриваемых си- стем координат. 1.2. Произвольный вектор Рассмотрим произвольный вектор b(t), опреде- ляемый в осях O∗ξ1ξ2ξ3 вектор-столбцом b(t), а в осях OX1X2X3 — вектор-столбцом B(t), так что b(t) =    bk(t)ek в ξ–осях, Bl(t)il(t) в X–осях. (14) Здесь верхняя сумма соответствует разложению этого вектора по ортам неподвижных осей, а ни- жняя – по ортам подвижных осей (хотя эти ор- ты и берутся в проекциях на неподвижные оси). В нижней сумме выбран базис из переменных ортов il(t), а не из постоянных Il, поскольку необходимо учесть изменение ориентации осей подвижной сис- темы координат. В представлении (14) изначально вектор b(t) задается в ξ–осях компонентами bk(t), а ищутся его проекции Bl(t) на X–оси. Далее, в неподвижных и подвижных осях ве- ктор b(t) должен быть одним и тем же, так что имеем равенство bk(t)ek = Bl(t)il(t). Заменяя здесь орты il(t) их выражениями из (13) и приравнивая коэффициенты при ортах ek, при- ходим к следующей формуле связи координат ве- ктора b(t) в неподвижных и подвижных осях: bk(t) = akl(t)B l(t). (15) Это и обратное к нему соотношения представи- мы, очевидно, в следующем матричном виде: b(t) = A(t) · B(t), B(t) = AT (t) · b(t). (16) Замечание. Формулы (16) связывают вектор– столбцы одного и того же вектора в различных системах координат, в то время как формулы (11) связывают вектор–столбцы различных векторов (ортов) в одной и той же системе координат. Пример. Для проверки формул (16) рассмо- трим частный случай. Пусть b(t) = e1. Тогда ясно, что в первой строке (14) коэффициенты (b1(t), b2(t), b3(t)) = (1, 0, 0). В то же время, орт e1 в проекциях на подвижные оси является, по определению, первой строкой матрицы A, т.е. во второй строке (14) должно быть (B1(t), B2(t), B3(t)) = (a11(t), a12(t), a13(t)). Подставив эти значения Bl(t) в первую из формул (16) и воспользовавшись свойством ортогонально- сти строк, найдем что A ·B =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   a11 a12 a13   =   1 0 0   . 20 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Справа здесь получился вектор–столбец из ком- понент bk орта e1, как и должно быть. Вторая из формул (16) дает также верные результаты, а именно: AT · b =   a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33   ·   1 0 0   =   a11 a12 a13   . Очевидно, что аналогичные выводы получаются и в случаях b(t) = e2 и b(t) = e3. Таким образом, в рассмотренных частных случаях формулы (16) верны 8. Альтернативный подход заключается в пред- ставлении b(t) вместо (14) формулой b(t) =    ck(t)Ek(t) в ξ–осях, C l(t)Il в X–осях. (17) где Ek(t) — проекции ортов ek на подвижные оси. Здесь изначально вектор b(t) задается в X–осях компонентами C l(t), а ищутся его проекции ck(t) на ξ–оси. Поскольку вектор b(t) один и тот же в обеих си- стемах координат, должно выполняться равенство ck(t)Ek(t) = C l(t)Il. Подставив сюда вместо ортов Ek(t) их разложе- ния в соответствии со второй из формул (12) и приравняв коэффициенты при ортах Il, получим равенство C l(t) = akl(t)c k(t). (18) Это и обратное к нему соотношения представимы в следующем матричном виде: C(t) = AT (t) · c(t), c(t) = A(t) · C(t). (19) Формально структура равенств (19) и (16) оди- накова, однако в них различны столбцы b(t), B(t) и c(t), C(t). Например, b(t) — это вектор–столбец из коэффициентов разложения вектора b(t) по неподвижным ортам ek, а c(t) — по изменяю- щим ориентацию (относительно системы коорди- нат OX1X2X3) ортам Ek. Таким образом, при наличии двух систем коор- динат теоретически возможны четыре представ- ления одного и того же вектора. Покажем, что b(t) = c(t). Действительно, поскольку вектор b(t) один и тот же, должно быть bk(t)ek = C l(t)Il . 8В общем случае первая из этих формул совпадает с формулой (2.2.6) монографии [11] (стр.44), если там сов- местить начала систем координат, т.е. положить ξ0 = 0, и учесть, что ξ = b(t), x = B(t), а матрица косинусов α равна матрице AT настоящей работы. Если теперь левую часть перепроектировать на подвижные оси, т.е. взять те же ek, но предста- вить их через Ik (см. вторую из формул (11)), то получим соотношение bk(t)(akl(t)Il) = C l(t)Il. Отсюда C l(t) = akl(t)b k(t) или, в матричной форме, C(t) = AT (t) · b(t). Но с другой стороны, в силу первой из формул (19), C(t) = AT (t) · c(t). Следовательно, b(t) = c(t), что и требовалось до- казать. Ясно, что также B(t) = C(t). Теперь соотношения (14) и (17) могут быть объе- динены следующим образом: b(t) =    bk(t)ek Bl(t)il(t) =    bk(t)Ek(t) Bl(t)Il . (20) Отсюда видна специфика каждого из четырех представлений произвольного вектора в неподви- жных и подвижных осях. 1.3. Абсолютный вектор–радиус r Вектор–радиус r жидкой частицы, проведенный из неподвижного начала O∗ или подвижного на- чала O, далее, для краткости, называется абсолю- тным или относительным соответственно. Жид- кая частица считается отмеченной переменными Лагранжа a = (a1, a2, a3), так что r = r(a, t). В дальнейшем ограничимся вариантом (14) ра- зложения векторов и абсолютный вектор–радиус r(a, t) будем представлять в следующем виде: r(a, t) =    ξ(a, t) := ξk(a, t)ek в ξ–осях, X(a, t) := Xl(a, t)il(t) в X–осях. (21) Связь координат ξk и Xl вытекает из (15), (16) и определяется формулами ξk(a, t) = akl(t)X l(a, t), Xl(a, t) = akl(t)ξ k(a, t), (22) k, l = 1, 2, 3. Г. Ф. Золотенко 21 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 1.4. Абсолютная скорость va Вектор абсолютной скорости va является ве- кторной функцией векторного аргумента, т.е. va = va(r, t). В силу того, что как векторный аргу- мент r, так и векторные значения самой функ- ции va(r, t) допускают двойственные представле- ния, оказываются возможными различные фор- мы представления абсолютной скорости жидко- сти. Найдем их, принимая для вектора положения r представление (21), а для вектора скорости va — представление типа (14). По определению va = ∂r(a, t) ∂t . Отсюда, в силу (21), va(r, t) =    vξ := ∂ξ/∂t = (∂ξk/∂t)ek, VX := ∂X/∂t = ∂ [ Xlil(t) ] /∂t. (23) (Здесь орты il(t), в отличие от ортов ek, диффе- ренцируются по t). Но, согласно (14), каждый из векторов vξ и VX в (23) представляется двояким образом. Поэтому имеют место соотношения va(r, t) =                    vξ := vk ξ ek в ξ–осях, Vξ := V l ξ il(t) в X–осях, vX := vk Xek в ξ–осях, VX := V l Xil(t) в X–осях. (24) В (24) нижние буквенные индексы указывают на- правление проектирования аргумента r, строчные буквы v обозначают проектирование соответству- ющей вектор–функции на ξ–оси, а прописные V — на X–оси. Наиболее простое координатное представление имеет вектор va = vξ — его проекции на ξ–оси рав- ны производным по t от вектора r(a, t) = ξ(a, t), т.е. vξ(a, t) = vk ξ ek = ξ̇k(a, t)ek, (25) где точка обозначает частную производную по t при фиксированных переменных Лагранжа a. Этот же вектор va в проекциях на X–оси имеет более сложную форму (применена вторая из фор- мул (16) при b(t) = vξ, B(t) = Vξ): Vξ(a, t) = V l ξ il(t) = akl(t)ξ̇ k(a, t)il(t)q. (26) Ситуция еще более усложняется для представле- ний vX и VX . Это связано с применением фор- мулы связи абсолютной и относительной произво- дных по t от вектора, заданного в подвижной си- стеме координат. Для произвольного вектора B(t), заданного в подвижных осях, она имеет вид (см., например, [13, c. 100, ф-лы (11) и (12)]) dB(t) dt = d′B(t) dt + Ω(t) ×B(t). (27) Замечание. Вектор абсолютной производной dB/dt, вычисляемый по формуле (27), относится к подвижным осям, поскольку в этих осях задаю- тся векторы B, Ω и d′B(t)/dt. Найдем вектор VX . Для этого применим к ни- жнему из соотношений (23) формулу (27), полагая B(t) = Xl(a, t)il(t). Кроме того, воспользуемся тем, что Ω ×X = XnΩ × in(t), и, для компактности записи, применим форму- лу представления векторного произведения двух произвольных векторов a = alil(t), b = blil(t) че- рез символы Леви-Чивита, имеющую вид (см. [11, c. 43, ф-ла (2.1.14)]) a× b = albmЄlmnin(t). Тогда получим следующее представление векто- ра va := VX в подвижной системе координат OX1X2X3: VX(a, t) = V n X(a, t)in(t) = = [Ẋn(a, t) + Ωl(t)Xm(a, t)Єlmn ]in(t), (28) где Ωl(t) — проекции вектора Ω(t) угловой ско- рости на X–оси; Єlmn (l, m, n = 1, 2, 3) — символ Леви-Чивита, определяемый в зависимости от зна- чений индексов суммирования l, m, n по формуле Єlmn =            +1, (lmn) ∈ {(123), (231), (312)}, 0, если среди l, m, n есть равные, −1, (lmn) ∈ {(213), (132), (321)}. Наконец, проектируя вектор VX на неподвижные оси, найдем третью из форм (24): vX(a, t) = vk X(a, t)ek, (29) где, по первой из формул (16), vk X = akn(t)[Ẋn(a, t) + Ωl(t)Xm(a, t)Єlmn ]. (30) 22 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Рис. 1. Варианты координатного представления вектор–радиуса r и абсолютной скорости va(r, t) жидкой частицы. a1, a2, a3 — переменные Лагранжа; ek — орты неподвижных осей; il(t) — орты подвижных осей Итак, абсолютная скорость va, определенная как производная ∂r/∂t, может иметь две основные формы: vξ и VX (см. рис.1). Кроме того, возмо- жны еще две дополнительные ее формы, Vξ и vX , получающиеся перепроектированием векторов vξ и VX на X–оси и ξ–оси соответственно. Отсюда вытекает, что существуют, по крайней мере, два способа представления вектора абсолютной скоро- сти в подвижных осях (VX и Vξ), а следователь- но, можно по-разному трактовать понятие “абсо- лютное движение жидкости в подвижной систе- ме координат”. Наиболее естественно считать та- ковым случай, когда и радиус–вектор r жидкой частицы, и ее абсолютная скорость va отнесены к подвижной системе координат, т.е. когда r := X, а va := VX . Направление проектирования вектор–радиуса r еще не определяет, на какие оси нужно проекти- ровать вектор скорости va, — выбор этих осей ди- ктуется только соображениями удобства и целе- сообразности. Дополнительные формы Vξ и vX сложнее основных, поскольку, как видно из (26) и (30), содержат множителями направляющие ко- синусы akl, которые отсутствуют в формулах (25) и (28). 1.5. Абсолютное ускорение wa По определению, абсолютное ускорение жидкой частицы wa = ∂va(r(a, t), t) ∂t . Поэтому, поскольку имеется 22 представлений ве- ктора va (для варианта (14)), возможны 23 пред- ставлений ускорения wa, а значит, и форм уравне- ний движения жидкости. Ниже рассматривается случай, когда va := VX . Применяя (27) и полагая там B(t) = VX [X(a, t), t], найдем, что в данном случае WX = dVX dt = d′VX dt + Ω ×VX , (31) где WX — форма вектора абсолютного ускорения wa, соответствующая случаю r := X и проекти- рованию va и wa на подвижные оси9. В (31), по- скольку штрих обозначает дифференцирование в 9Переход от символа частного дифференцирования∂/∂t к d/dt возможен, поскольку приравнивание VX [X(a, t), t] вектору B(t) означает, что вектор a переменных Ла- гранжа рассматривается как параметр, а сама функция VX [X(a, t), t] — как функция только переменной t Г. Ф. Золотенко 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 подвижной системе координат, а вектор VX в этой системе координат определяется формулой (28), можно написать d′VX dt = [ Ẍn + (Ω̇lXm + ΩlẊm)Єlmn ] in(t). (32) Введем обозначения: ∗∗ X= Ẍnin(t), ∗ X= Ẋnin(t), ∗ Ω= Ω̇lil(t). (Звездочка над вектором обозначает, что: а) этот вектор задан в подвижных осях, б) при диффе- ренцировании по t его разложения по ортам подви- жной системы координат сами орты, зависящие от t, не дифференцируются.) Тогда, после подстанов- ки (32), (28) в (31) и обратного перехода в полу- ченном после этого выражении от символов Леви- Чивита к векторным произведениям, найдем сле- дующее представление вектора абсолютного уско- рения wa в проекциях на оси подвижной системы координат OX1X2X3: WX = ∗ Ω ×X + Ω × (Ω × X)+ ∗∗ X +2Ω× ∗ X . (33) Выражение (33) имеет сильное структурное сходство со следующей классической формулой из динамики относительного движения точки: wa = w0+ ∗ ω ×r′ + ω × (ω × r′)+ ∗∗ r′ +2ω× ∗ r′, (34) где w0 — ускорение начала O подвижной системы координат, r′ — вектор–радиус материальной точ- ки относительно начала O подвижной системы ко- ординат, ω — угловая скорость. 10 При всем сход- стве выражений (33) и (34), между ними имеется принципиальное отличие: вектор–радиус r = X не равен r′. В силу этого, очевидно, ∗∗ VX 6= ∗∗ r′ и ∗ VX 6= ∗ r′. Впрочем, при совпадении O и O∗ формулы (33) и (34) дают одно и то же значение абсолютно- го ускорения жидкой частицы и, следовательно, приводят к одинаковым гидродинамическим урав- нениям в подвижных осях. (Другой, менее три- виальный случай взаимного расположения точек O∗ и O и соответствующие этому случаю уравне- ния, описаны ниже.) В общем же случае начала O, не совпадающего с O∗, эти формулы приводят к различным гидродинамическим уравнениям в по- движных осях. 10См., например, [13] (стр.101). Здесь, как и в первои- сточнике, все векторы, хотя и задаются в подвижных осях, представлены строчными буквами. 1.6. Градиент ∇ Оператор градиента ∇, фигурирующий во всех формах уравнений движения жидкости, при пере- ходе к подвижной системе координат также пре- терпевает изменения. Вообще говоря, градиент не- которой скалярной функции по пространственным переменным, является не вектором, а ковектором, т.е. при замене переменных преобразуется по зако- ну, отличному от закона преобразования обычно- го вектора (см., например, [14, c. 30]). Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть ϕ(ξ1, ξ2, ξ3, t) — произвольная скалярная функция. Обозначив через ∇ξ и ∇X градиенты по старым ξ1, ξ2, ξ3 и новым X1, X2, X3 перемен- ным соответственно, найдем связь между ними для функции ϕ. Для этого произведем замену пе- ременных по формулам ξk = ξk(X1 , X2, X3, t), k = 1, 2, 3, (35) и обозначим функцию ϕ в новых переменных че- рез Φ, т.е. положим ϕ(ξ1, ξ2, ξ3, t) ∣ ∣ ∣ ξk=ξk(X1,X2,X3,t) = Φ(X1 , X2, X3, t). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции ∂Φ(X, t) ∂Xl = ∂ϕ(ξ, t) ∂ξk ∣ ∣ ∣ ξ=ξ(X,t) · ∂ξk(X, t) ∂Xl , (36) l = 1, 2, 3. (Для сокращения записи применены обозначения ξ = (ξ1, ξ2, ξ3), X = (X1, X2, X3).) Формула (36) является общей, поскольку справедлива для лю- бой замены переменных (35). Пусть теперь переменные ξk и Xl связаны зави- симостью (22). Тогда, используя для вычисления производных ∂ξk(X, t)/∂Xl эту зависимость, на- ходим из (36), что наборы частных производных от различных, но связанных между собой функ- ций Φ(X, t) и ϕ(ξ, t), удовлетворяют следующему матричному соотношению:           ∂Φ(X, t) ∂X1 ∂Φ(X, t) ∂X2 ∂Φ(X, t) ∂X3           =   a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33  ·            ∂ϕ(ξ, t) ∂ξ1 ∂ϕ(ξ, t) ∂ξ2 ∂ϕ(ξ, t) ∂ξ3            . Здесь справа производные ∂ϕ(ξ, t)/∂ξk нужно брать в точке ξ = AX. 24 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Последнее равенство можно, очевидно, перепи- сать в виде ∂Φ(X, t) ∂Xl = akl(t) ∂ϕ(ξ, t) ∂ξk ∣ ∣ ∣ ξ=AX . (37) Формула (37) является другой формой записи вто- рого из соотношений (16), если в нем положить B(t) =           ∂Φ(X, t) ∂X1 ∂Φ(X, t) ∂X2 ∂Φ(X, t) ∂X3           , b(t) =            ∂ϕ(ξ, t) ∂ξ1 ∂ϕ(ξ, t) ∂ξ2 ∂ϕ(ξ, t) ∂ξ3            ξ=AX . Это обстоятельство делает естественным следую- щее определение символического оператора гради- ента 11: ∇ =          ∇ξ := ∂ ∂ξk ek в ξ–осях, ∇X := ∂ ∂Xl il(t) в X–осях. Применяя этот оператор к функции ϕ, получа- ем такое уточнение понятия градиента в неподви- жной и подвижной системах координат: ∇ϕ =          ∇ξϕ(ξ, t) := ∂ϕ(ξ, t) ∂ξk ek в ξ–осях, ∇XΦ(X, t) := ∂Φ(X, t) ∂Xl il(t) в X–осях. (38) Тем самым в формуле, предшествующей (37), вектор–столбец частных производных ∂ϕ(ξ, t)/∂ξk отнесен к неподвижным осям, а частных произво- дных ∂Φ(X, t)/∂Xl — к подвижным. Теперь связь градиентов скалярной функции от векторного ар- гумента можно записать в следующем матричном виде: ∇̃XΦ(X, t) = AT ∇̃ξϕ(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=AX , (39) где Φ(X, t) = ϕ(ξ, t)|ξ=AX , а знак ∇̃ с индексом X или ξ обозначает вектор– столбец, состоящий из трех частных производных по Xl или по ξk от соответствующей функции. 11По аналогии с вариантом (14) представления обычного вектора . Можно сказать, что формула (39) связывает гра- диенты от различных, но зависящих друг от друга функций ϕ и Φ. Покажем, что в первой и второй строках фор- мулы (38) стоит один и тот же вектор. Переходя в (38) от векторов к вектор–столбцам, имеем в силу (37): ∇̃XΦ = ∂Φ ∂Xl il(t) = [ akl ∂ϕ ∂ξk ] il(t) = [ aklil(t) ] ∂ϕ ∂ξk . Но aklil(t) = ek. (40) Это следует из равенств aklil(t) = ak1i1(t) + ak2i2(t) + ak3i3(t) = = ak1(am1em) + ak2(am2em) + ak3(am3em) = = (ak1am1 + ak2am2 + ak3am3)em = δkmem = ek, где δkm — символ Кронекера. (Использована пер- вая из формул (11) для вектор–столбцов ортов il(t) и взаимная ортогональность строк матрицы A.) Учитывая (40), получаем матричное равенство ∇̃XΦ = ∂Φ ∂Xl il(t) = ∂ϕ ∂ξk ek = ∇̃ξϕ, или, заменяя вектор–столбцы il(t) и ek соответ- ствующими ортами, ∇̃XΦ := ∂Φ ∂Xl il(t) = ∂ϕ ∂ξk ek =: ∇̃ξϕ. (41) Таким образом, новый градиент ∇XΦ(X, t), представленный в виде разложения по новому ба- зису il(t) (подвижной системы координат), равен старому градиенту ∇ξϕ(ξ, t), представленному в виде разложения по старому базису ek (неподви- жной системы координат), что и требовалось до- казать. Заметим, что в общем случае замены систем ко- ординат по формуле (35) компоненты градиента преобразуются не так, как компоненты вектора: для вектора столбец из его старых компонент ра- вен произведению матрицы Якоби J на столбец из его новых компонент, а для градиента столбец из его старых компонент равен произведению матри- цы (JT )−1 на столбец из его новых компонент. В рассматриваемом конкретном случае, т.е. при ли- нейной замене ξ = A(t)X, матрица Якоби J = A(t), но тогда, в силу ортогональности матрицы A(t), (JT )−1 = (AT )−1 = (A−1)−1 = A. Г. Ф. Золотенко 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Отсюда следует, что в рассматриваемом случае пе- рехода от неподвижной системы координат к по- движной ковектор градиента преобразуется по за- кону преобразования вектора. Замечание. Старый градиент ∇ξϕ(ξ, t) в фор- муле (41) должен вычисляться в точке ξ = AX. Кроме того, вектор–столбцы, соответствую- щие старому и новому представлениям градиента, не равны (см.(37)). Рассмотрим теперь градиент давления ∇p. По- ложим, используя принятую систему обозначений из строчных и прописных букв, ϕ(ξ, t) = p(ξ, t), Φ(X, t) = P (X, t), где p и P — давление как функция неподвижных (ξ1, ξ2, ξ3) и подвижных (X1 , X2, X3) координат соответственно. Производя эту замену в (41), по- лучаем следующую связь двух форм градиента давления: ∇XP (X, t) = ∇ξp(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=AX . (42) Забегая несколько вперед, отметим, что в класси- ческих уравнениях (1) — (3), строго говоря, ∇P 6= ∇XP . 1.7. Вектор массовых сил f Вектор массовых сил f = f (r, t) в зависимости от направления проектирования векторов r и f может иметь, как и вектор va, четыре формы. Пример. Пусть f является силой тяготения Земли, действующей на частицу жидкости (оке- ана или атмосферы) единичной массы. Кроме то- го, положим, что неподвижная система координат связана с Землей и имеет начало O∗ в ее центре, а подвижная размещена на некотором подвижном объекте (например, на борту искусственного спу- тника Земли). Известно, что сила тяготения – ве- кторная функция векторного аргумента, опреде- ляемая формулой (см. [11, с. 201]) f (r) = −γM0 r r3 , где γ — постоянная тяготения; M0 — масса Зем- ли; r — вектор–радиус центра жидкой частицы относительно центра O∗ Земли; r — длина векто- ра r. Рассмотрим возможные формы представле- ния вектор–функции f (r), которая является, вви- ду присутствия величины r, нелинейной функцией координат вектора r. Если r := ξ, то в проекциях на ξ–оси [f (ξ)]ξ = fk(ξ)ek, где fk(ξ) = −γM0 ξk r3(ξ) , r(ξ) = √ (ξ1)2 + (ξ2)2 + (ξ3)2. Если теперь координаты вектора f (ξ) оставить без изменений, а орты ek взять в проекциях на орты Il подвижных осей, применив последнюю из формул (11), то получим вторую форму вектор–функции f (r), а именно: [f (ξ)]X = fk(ξ)akl(t)Il = fk(ξ)Ek(t). Можно поступить наоборот: заменить в f (ξ) ста- рые координаты ξk на новые Xl по формуле (22), а орты ek оставить без изменений. Тогда получим третью форму вектор–функции f (r), а именно: [f (X)]ξ = F l(X)akl(t)ek = F l(X)il(t), где F l(X) = −γM0 Xl r3(X) , r(X) = √ (X1)2 + (X2)2 + (X3)2. (Использованы первая из формул (11) и свойство инвариантности длины вектора в любой системе координат.) Наконец, выполнив одновременно предыдущие замены и координат, и ортов вектора f (ξ), прихо- дим к четвертой форме вектор–функции f (r): [f (X)]X = −γM0 (akl(t)X l) r3(X) (akl(t)Il) = F l(X)Il, где последнее равенство получено с учетом орто- гональности столбцов матрицы A. Таким образом, из примера видно, что, меняя направления проектирования вектор–аргумента и вектор–функции от этого аргумента, можно получить четыре координатных представления вектор–функции f (r, t) массовых сил. Четыре формы вектора массовых сил соответ- ствуют четырем системам базисных векторов (12) и (13) неподвижной и подвижной систем коорди- нат. В дальнейшем будут использоваться следующие две формы вектора f (r, t): f (r, t) =    f (ξ, t) := fk(ξ, t)ek в ξ–осях, F(X, t) := F l(X, t)il(t) в X–осях. (43) Здесь связь координат fk(ξ) и F l(X) устанавлива- ется по формулам (16), где для вектор–столбцов b, 26 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 B нужно положить b =   f1(ξ, t) f2(ξ, t) f3(ξ, t)   , B =   F 1(X, t) F 2(X, t) F 3(X, t)   . Тогда fk(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=AX = akl(t)F l(X, t), F l(X, t) = akl(t)f k(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=AX . (44) Замечание. Из цепочки равенств для вектор– столбцов F = F lil = aklf kil = fkek = f (здесь использованы соотношения (40), (43), и (44)) вытекает следующее равенство для соответ- ствующих векторов: F(X, t) = f (ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=AX . (45) Соотношения (44) и (45) определяют алгоритм за- мены зависимых и независимых переменных в ко- ординатной форме уравнений движения жидко- сти (8) 12. В частности, для замены вектора мас- совых сил f при переходе от неподвижной системы координат к подвижной необходимо подставить выражения старых координат ξ через новые коор- динаты X в каждую из компонент fk(ξ, t) вектор– функции f (r, t) в неподвижных осях (это соответ- ствует замене векторного аргумента, т. е. незави- симых переменных), а затем вычислить проекции F l(X) этой вектор–функции на подвижные оси по второй из формул (44) (это соответствует замене значений векторной функции, т. е. зависимых пе- ременных). 2. НОВОЕ УРАВНЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Абсолютным движением жидкости в подви- жных осях будем называть движение, которое описывается векторами r := X, va := VX , wa := WX . В этом случае вектор r положения жид- кой частицы отсчитывается от неподвижной точки O∗, т. е. является абсолютным, соответствующие ему скорость и ускорение также являются абсо- лютными (в отличие от относительынх) и, кроме того, перечисленные векторы берутся в проекциях на подвижные X–оси. Выведем соответствующее уравнение движения. 12В случае, когда эти уравнения перепроектируются на оси базиса {il(t)}. Исходим из дифференциальной формы закона количества движения идеальной жидкости, выте- кающей из второго закона Ньютона для жидкой частицы (см., например, [15, c. 6]): wa = f − 1 ρ ∇p. В случае неподвижной системы координат оно уточняется следующим образом: wa(ξ, t) = f (ξ, t) − 1 ρ(ξ, t) ∇ξp(ξ, t). (46) Его стандартная векторная форма, описывающая абсолютное движение жидкости в неподвижной системе координат, имеет, как известно, вид ∂va(ξ, t) ∂t + [va(ξ, t) · ∇ξ]va(ξ, t) = = f (ξ, t) − 1 ρ(ξ, t) ∇ξp(ξ, t), (47) с искомыми функциями va(ξ, t), p(ξ, t) и ρ(ξ, t). Производя в уравнении (46) замену переменных ξ = AX и используя формулы (33), (45), (42), по- лучим соотношение ∗∗ X + ∗ Ω ×X + Ω × (Ω ×X) + 2Ω× ∗ X= = F(X, t) − 1 ρ(X, t) ∇XP (X, t). (48) В такой форме уравнение содержит неизвест- ные вектор–радиус X = X(a, t) и функции P = = P [X (a, t), t], ρ = ρ [X (a, t), t] (здесь a = = (a1, a2, a3)), причем P не только зависит от иско- мых переменных X, но и дифференцируется по этим переменным. Примечательно, что X диффе- ренцируется только по времени, а P — только по пространственным переменным. Это — специфи- ческое уравнение, в общем случае нелинейное и довольно сложное13. Преобразуем это уравнение, введя аналоги U относительной скорости и WΩ переносного14 уско- рения жидкой частицы по формулам U(a, t) := ∗ X (a, t), 13Перейдя в уравнении (48) от производных по про- странственным переменным Xl к производным по лагран- жевым переменным ak и выполнив соответствующие пре- образования (см., например, [9, c. 85]), можно получить лагранжеву форму уравнения, отнесенного к подвижным осям. 14Классическая формула для вектора we переносного ускорения имеет вид (в подвижных осях): we = w0 + ε × r′ + ω × (ω × r′), где ω, ε — угловые скорость и ускорение соответственно. Г. Ф. Золотенко 27 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 WΩ := ∗ Ω ×X + Ω × (Ω × X). (49) Тогда (48) примет вид ∗ U (a, t) + 2Ω(t) ×U(a, t) = F[X(a, t), t]− − 1 ρ[X(a, t), t] ∇XP [X(a, t), t]−WΩ[X(a, t), t]. (50) Исключим в вражении для U переменные Ла- гранжа a1, a2, a3. Для этого заметим, что вектор– радиус жидкой частицы, определяемый формулой (21), является функцией переменных Лагранжа, так что для его проекций Xl на подвижные оси можно написать            X1 = X1(a1, a2, a3, t), X2 = X2(a1, a2, a3, t), X3 = X3(a1, a2, a3, t). Рассматривая эти равенства как систему уравне- ний относительно a1, a2, a3, представим ее решение в виде            a1 = a1(X1, X2, X3, t), a2 = a2(X1, X2, X3, t), a3 = a3(X1, X2, X3, t). (51) Заменив параметры a1, a2, a3 в функции U = U(a1, a2, a3, t) с помощью (51), получим новую искомую функцию V(X, t) в уравнении (50): V(X, t) := U(a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(X,t) . (52) Таким образом, имеем два представления отно- сительной производной ∗ X абсолютного вектор– радиуса X: как функции лагранжевых координат ∗ X (a, t) (=U(a, t)) и как функции эйлеровых коор- динат ∗ X (X, t) (=V(X, t)). Из (52) видно, что это различные, хотя и связанные между собой, функ- ции. Имеет место и обратное соотношение, а именно: U(a, t) = V(X, t) ∣ ∣ ∣ X=X(a,t) . Продифференцируем это равенство по t, предста- вив векторы U, V в виде разложений U(a, t) = U l(a, t)il(t), V(X, t) = V l(X, t)il(t) (l = 1, 2, 3), и использовав правило дифференцирования сло- жной функции15. Тогда найдем, что коэффициен- ты U l и V l этих разложений связаны соотношени- ями ∂U l(a, t) ∂t = ∂V l[X(a, t), t] ∂t + + [ ∂V l(X, t) ∂Xk ] X=X(a,t) · ∂Xk(a, t) ∂t . Возвращаясь снова к векторной форме и замечая, что ∂Xk(a, t) ∂t il(t) = ∗ X (a, t) = U(a, t), приходим к следующему выражению для относи- тельной производной вектора U: ∗ U (a, t) = [ U(a, t) · ∇X ] V(X, t) ∣ ∣ ∣ X=X(a,t) + + ∗ V [X(a, t), t]. Отсюда, поскольку (в силу определения решения a(X, t)) X(a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(X,t) = X, находим, используя (52), что ∗ U (a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(X,t) = = [ V(X, t) · ∇X ] V(X, t)+ ∗ V (X, t). (53) Наконец, производя замены (53) и (52) в (50), по- лучаем следующее уравнение в переменных Эйле- ра (X, t): ∗ V (X, t) + [ V(X, t) · ∇X ] V(X, t) + 2Ω ×V(X, t) = = F(X, t) − 1 ρ(X, t) ∇XP (X, t)− WΩ(X, t). (54) Замечание. В уравнении (54) плотность ρ(X, t) := ρ[X(a, t), t] ∣ ∣ ∣ a=a(X,t) по аналогии с (52). Опуская теперь аргументы (X, t), замечая, что ∗ V= ∂′V ∂t , и исключая векторный градиент с помощью изве- стного тождества 15Поскольку рассматривается относительная производ- ная, т.е. производная со звездочкой ∗ X (a, t), орты il(t) не дифференцируются, а производная от вектора считается равной вектору из производных от его компонент. 28 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 (V · ∇)V = ∇ (1 2 V2 ) −V × rotV16, перепишем (54) следующим образом: ∂′V ∂t + ∇X (1 2 V2 ) −V × rotXV + 2Ω× V = = F− 1 ρ(X, t) ∇XP −WΩ. (55) Уравнение (55) — новая форма уравнения дви- жения жидкости в подвижных осях. Это — эйле- рова форма уравнения, поскольку в нем вектор X положения жидкой частицы является не иско- мой функцией, а аргументом. Внешне оно отли- чается от уравнения (2) относительного движения жидкости лишь членом WΩ и искомой функцией V(X, t). Новая искомая функция V(X, t) связана с абсолютной скоростью Va := VX жидкости со- отношением Va(X, t) = V(X, t) + Ω(t) × X. (56) (Оно выводится из формулы (28), представленной в виде VX(a, t) = ∗ X (a, t) + Ω(t) × X(a, t), с последующей заменой a = a(X, t) и применением (49), (52).) Из (56) видно, что V не равна относи- тельной скорости жидкости Vr из уравнения (2). По этой причине слагаемое 2Ω × V в уравнении (55) не является привычным ускорением Кориоли- са. Кинематически вектор V опрeделяет скорость конца абсолютного вектор–радиуса r := X относи- тельно подвижных осей (в проекциях на эти оси). Произведем в уравнении (54) замену V на Va. Из (56) получаем выражение V(X, t) = Va(X, t) −Ω(t) × X. Отсюда следует, что относительная частная про- изводная (при фиксированном X, т.к. в (54) это аргумент) определяется формулой ∂′V ∂t = ∂′Va ∂t − ∗ Ω ×X. Подставляя это и предыдущее выражения в (54), учитывая формулу (49) для WΩ, заменяя гради- ент суммы суммой градиентов ([15, с. 160, форму- ла 1]) и замечая, что [V · ∇X ][Ω(t) ×X] = Ω(t) × V, 16См. [13, c. 177, формула 10] или, например, [15, c. 160; 16, c. 23]. после соответствующих преобразований получим следующее уравнение: ∂′Va ∂t + (V · ∇X)Va + Ω × Va = = F(X, t) − 1 ρ(X, t) ∇XP (X, t), Va = Va(X, t). (57) Это — еще одна новая форма уравнения дви- жения жидкости, которая, как и (1), (3), может быть названа “уравнением абсолютного движения жидкости в подвижных осях”. Во всех трех случа- ях вектор–функция Va, т. е. абсолютная скорость, является искомой. Особенностью формы (57) оказывается то, что в ней, в отличие от формы (1), векторный гради- ент искомой функции Va берется не по вектору относительной скорости Vr = Va − Ve, а по ра- зности векторов V = Va − Ω × X. Векторы Vr и V равны, если точки O и O∗ совпадают (в этом случае r′ = X и, как следствие, Ve = Ω × X), а тогда уравнения (57) и (1) идентичны. В общем же случае, когда V и Vr не равны, уравнения (1) и (57) находятся в видимом противоречии между собой. Ниже будет показано, что это противоречие — кажущееся. 3. ВЗАИМОСВЯЗЬ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ УРАВНЕНИЙ 3.1. Замены независимых переменных Ранее переход от неподвижной системы коорди- нат к подвижной осуществлялся, в частности, по формулам (22). Эти соотношения можно класси- фицировать как линейную однородную замену не- зависимых переменных задачи (ξ1, ξ2, ξ3) на но- вые переменные (X1 , X2, X3). Геометрически та- кая замена переменных означает простое перепро- ектирование абсолютного вектор–радиуса r жид- кой частицы из одной системы координат в дру- гую. Существует и иной подход к замене незави- симых переменных, связанный с введением в рас- смотрение относительного вектор–радиуса жид- кой частицы. Рассмотрим этот подход подробнее. Пусть абсолютный вектор–радиус r(a, t) разло- жен в сумму двух векторов вида r(a, t) = r0(t) + r′(a, t), (58) где r0 — вектор–радиус начала O подвижной сис- темы координат относительно начала O∗ непо- движной системы координат; r′ — вектор–радиус Г. Ф. Золотенко 29 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 жидкой частицы относительно начала O (короче, относительный вектор–радиус). Замечание. Векторы r0 и r′ в (58) не равноцен- ны: r0 является общим для всех частиц жидкости, а r′ для каждой частицы свой, о чем напомина- ет вектор a переменных Лагранжа среди его ар- гументов. Иначе говоря, формула (58) определяет сдвиг 3-мерного векторного пространства {r′} на вектор r0(t). Каждый из слагаемых векторов допускает двой- ственное представление, а именно: r0(t) =    ξ0(t) := ξk 0 (t)ek в ξ–осях, X0(t) := Xl 0(t)il(t) в X–осях, r′(a, t) =    y(a, t) := yk(a, t)ek в ξ–осях, Y(a, t) := Y l(t)il(a, t) в X–осях, где ξk 0 , Xl 0 и yk , Y l— проекции векторов r0 и r′ на неподвижные и подвижные оси соответственно. В зависимости от того, на какие оси проектиру- ются слагаемые векторы, возможны, по аналогии с предыдущим, следующие восемь комбинаций их координат17: 1) ξk = ξk 0 + yk, 2) ξk = ξk 0 + aklY l, 3) ξk = aklX l 0 + yk , 4) ξk = akl(X l 0 + Y l), 5) Xl = Xl 0 + Y l, 6) Xl = Xl 0 + akly k, 7) Xl = aklξ k 0 + Y l, 8) Xl = akl(ξ k 0 + yk). Обычно не оговаривается и считается само со- бой разумеющимся, что все векторы берутся в про- екциях на оси одной и той же системы координат: если векторы r0 и r′ проектируются на ξ–оси, то и вектор r проектируется на эти же оси, а если r0 и r′ проектируются на X–оси, то в этом же направ- лении проектируется и вектор r (см. первую и пя- тую из приведенных комбинаций). При таком за- дании рассатриваемых векторов вместо (21) полу- чаем следующие разложения абсолютного векто- ра r по ортам рассматриваемых систем координат (зависимость от a подразумевается): r(t) =    ξk(t)ek = [ξk 0 (t) + yk(t)]ek в ξ–осях, Xl(t)il(t) = [Xl 0(t) + Y l(t)]il(t) в X–осях. (59) Аналогами формул (22) тогда будут соотношения ξk(a, t) = akl(t)[X l 0(t) + Y l(a, t)], (60) 17Смысл обозначенийчерез строчные и прописные буквы см. во “Введении”. Xl(a, t) = akl(t)[ξ k 0 (t) + yk(a, t)], (61) где ξk 0 (t), Xl 0(t) — известные функции времени, описывающие движение начала O подвижной сис- темы координат. Эти формулы соответствуют че- твертой и восьмой из приведенных комбинаций. В отличие от соотношений (22), где “старыми” вы- ступали переменные ξk, а “новыми” — Xl, здесь “старыми” являются ξk и Xl , а “новыми” по отно- шению к ним выступают переменные Y l и yk соо- тветственно. Из (60), (61) видно, что переход от старых ко- ординат ξk, Xl жидкой частицы к ее новым коор- динатам Y l, yk можно трактовать как линейные неоднородные замены переменных со свободными членами ξk 0 (t) = akl(t)X l 0(t), Xl 0(t) = akl(t)ξ k 0 (t), которые, по предыдущему, определяют проекции вектор–радиуса r0 точки O относительно точки O∗ на неподвижные и подвижные оси соответственно. Заметим, что при условии ξ0 = AX0 из очевидного равенства ξ0 + y = A(X0 + Y ) следует, что y = AY, т.е. проекции относительного вектор–радиуса r′ на неподвижные и подвижные оси связаны все-таки однородной (линейной) зависимостью. Замечание. Если однородные замены перемен- ных (22) геометрически означают перепроектиро- вание абсолютного вектор–радиуса r (две формы его представления), то неоднородные замены (60), (61) обозначают перепроектирование r с предвaри- тельным его разложением в сумму r0+r′ (две фор- мы его представления из восьми возможных). 3.2. Абсолютное ускорение частицы при неоднородной замене переменных Выведем формулу для абсолютного ускорения wa := WX , когда используется разложение r = r0 + r′. В случае, когда ускорение берется в виде WX , векторы r, r0 и r′ проектируются на X–оси. Поэтому в соответствии со второй из формул (59) полагаем r(t) := X(t) = [X0(t) + Y(t)] = [Xl 0(t) + Y l(t)]il(t). 30 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Отсюда для относительных производных вектора X(t) получаются выражения ∗ X= (Ẋl 0 + Ẏ l)il(t) = ( ∗ X0 + ∗ Y), ∗∗ X= (Ẍl 0 + Ÿ l)il(t) = ( ∗∗ X0 + ∗∗ Y). (Орты il(t) не дифференцируются по t.) Подставив эти выражения в (33), найдем следу- ющую формулу для абсолютного ускорения жид- кой частицы: WX = ∗∗ X0 + ∗∗ Y + ∗ Ω ×(X0 + Y)+ +Ω × [Ω× (X0 + Y)] + 2Ω × ( ∗ X0 + ∗ Y). (62) Если здесь положить Y(t) ≡ 0, что соответству- ет состоянию покоя жидкости относительно подви- жной системы координат, получим векторную ве- личину W0 := ∗∗ X0 + ∗ Ω ×X0+Ω×(Ω×X0)+2Ω× ∗ X0 . (63) Покажем, что вектор W0 представляет собой аб- солютное ускорение начала O подвижной систе- мы координат в проекциях на подвижные оси. Для этого представим его в виде W0 = ( ∗∗ X0 +Ω× ∗ X0) + ( ∗ Ω ×X0 + Ω× ∗ X0)+ +Ω × (Ω ×X0). (64) Применим дважды формулу связи абсолютной и относительной производных (27), положив там сначала B = ∗ X0, а затем B = Ω ×X0. Тогда для суммы первой группы слагаемых в (64) можно написать ∗∗ X0 +Ω× ∗ X0= d′ dt ∗ X0 +Ω× ∗ X0= [ d dt ∗ X0 ] X , а для суммы остальных слагаемых ∗ Ω ×X0 + Ω× ∗ X0 +Ω × (Ω ×X0) = = d′ dt (Ω ×X0) + Ω× (Ω ×X0) = [ d dt (Ω× X0) ] X . Учитывая эти соотношения, перепишем (64) в ви- де W0 = [ d dt ( ∗ X0 +Ω × X0) ] X . Но вектор V0 := ∗ X0 +Ω × X0 (65) представляет собой, очевидно, абсолютную ско- рость начала подвижной системы координат, при- чем в проекциях на подвижные оси. Отсюда сле- дует, что вектор W0 из (63) является абсолютным ускорением начала O в проекциях на подвижные оси. Рассмотрим теперь общий случай, когда жид- кость находится в движении относительно по- движной системы координат, т.е. положим, что вектор–функция Y(a, t) отлична от тождествен- ного нуля. Тогда, выделив в (62) ускорение W0, получим следующее выражение для абсолютного ускорения жидкой частицы: WX = W0+ ∗ Ω ×Y + Ω × (Ω × Y)+ + ∗∗ Y +2Ω× ∗ Y . (66) Сравним формулы (33) и (66), полученные в результате однородной и неоднородной замен не- зависимой переменной r соответственно. Создае- тся впечатление, что формула (66) –это обобще- ние формулы (33), поскольку в частном случае X0 ≡ 0, т.е. при неподвижной точке O, ускорение W0 ≡ 0 (в силу (64)) и вектор–радиус Y = X (в силу второго из соотношений (59)), а следователь- но, (66) превращается в (33). Однако, на самом деле, более общей является формула (33), так как она включает как частный случай представление X = X0+Y, в том числе и при X0 ≡ 0. При выводе формулы (33) никаких ограничений на движение начала O не накладывалось. Замечание. Из сравнения выражений (66) и (34) следует, что классическая формула для абсо- лютного ускорения жидкой частицы в подвижных осях является результатом неоднородной замены координат вектора r. 3.3. Уравнение относительного движения жидкости и уравнение Нариманова–Докучаева Установим связь классического уравнения отно- сительного движения жидкости и уравнения Нариманова–Докучаева с новыми уравнениями. Анализ выполним двумя способами — на осно- ве лагранжева подхода (т. е. исходя из уравнения движения жидкой частицы (48)) и на основе эйле- рова подхода (т. е. исходя из уравнения поля ско- ростей (57)). 3.3.1. Преобразование уравнения движения частицы Исходим из уравнения (48) абсолютного движе- ния жидкой частицы (отмеченной переменными Г. Ф. Золотенко 31 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Лагранжа a) и неоднородной линейной замены ве- кторного аргумента по формуле (58). Далее рас- сматривается представление X(a, t) := X0(t) + Y(a, t) (см. комбинацию 5) возможного представ- ления абсолютного вектор–радиуса r(t) в п. 3.1.). Заменив в уравнении (48) левую часть на (66) и преобразовав соответствующим образом правую часть, придем к уравнению W0+ ∗ Ω ×Y + Ω× (Ω ×Y)+ ∗∗ Y +2Ω× ∗ Y= = F∗(Y, t) − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t), (67) где F∗(Y, t) = F[(X0 + Y), t] = F l[(X0 + Y), t]il(t), P∗(Y, t) = P [(X0 + Y), t], ρ∗(Y, t) = ρ[(X0 + Y), t], т. е. функции F, P и ρ после замены X на Y. Заметим, что здесь формула замены градиента несколько отличается от (39), а именно, должно быть ∇Y P∗(Y, t) = ∇XP (X, t) ∣ ∣ ∣ X=X0+Y . (68) Это следует из очевидных соотношений ∂P∗(Y, t) ∂Y l = ∂P (X, t) ∂Xk ∣ ∣ ∣ X=X0+Y · ∂Xk ∂Y l и ∂Xk ∂Y l = ∂(Xk 0 + Y k) ∂Y l = δkl. Уравнение (67) является, по существу, функционально-дифференциальным урав- нением относительного движения жидкой частицы, поскольку содержит в качестве неиз- вестных функций относительный вектор–радиус Y = Y(a1, a2, a3, t), давление P∗(Y, t) и плотность ρ∗(Y, t). Исключим в нем переменные Лагранжа (a1, a2, a3). Обозначим относительную скорость жидкости через Vr(a, t) := ∗ Y (a, t), и введем вектор We переносного ускорения жид- кой частицы We(a, t) := W0(t)+ ∗ Ω ×Y(a, t)+ +Ω × [Ω× Y(a, t)], (69) где вектор W0(t) ускорения точки O связан с па- раметрами Ω(t), ∗ Ω (t) углового и X0(t), ∗ X0(t), ∗∗ X0(t) поступательного движений подвижной сис- темы координат формулой (64) 18. Тогда (67) при- мет вид ∗ Vr (a, t) + 2Ω(t) × Vr(a, t) = F∗[Y(a, t), t]− − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗[Y(a, t), t]−We[Y(a, t), t]. (70) Это уравнение имеет структуру функционально- дифференциального уравнения (50). Все рассу- ждения, относящиеся к переменным Лагранжа и к переходу от уравнения (50) к уравнению (53), остаются в силе и для рассматриваемого случая относительных движений жидкости. Осуществим в (70) переход от переменных Ла- гранжа к переменным Эйлера, что позволит прев- ратить вектор–радиус Y из искомой функции в не- зависимую переменную и приведет к новой иско- мой функции Vr(Y, t) := ∗ Y (Y, t), определяю- щей поле относительной скорости жидкости. Рас- смотрим подробней преобразование относитель- ной производной ∗ Vr (a, t). Пусть a = a(Y, t) является решением уравнения Y = Y(a, t). Для сокращения письма введем временное обозна- чение для производной по времени от Y, а именно: U(a, t) := ∗ Y (a, t) (= Vr(a, t)). (71) Заменив здесь вектор переменных Лагранжа a его выражением через относительный вектор–радиус Y, получим новую искомую функцию в уравнении (70): Vr(Y, t) = U[a(Y, t), t]. (72) Так как отображения Y = Y(a, t), a = a(Y, t) взаимно обратны, то a(Y, t) ∣ ∣ ∣ Y=Y(a,t) = a. В силу этого имеет место обратное к (72) соотно- шение U(a, t) = Vr[Y(a, t), t]. Продифференцируем это равенство по t, предста- вив векторы U, Vr в виде следующих разложений 18Вектор W0 определяетускорениепоступательногодви- жения, ∗ Ω ×Y — вращательное ускорение и Ω × (Ω× Y) — центростремительное ускорение (см. [11, c. 75]) 32 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 по базисным векторам подвижной системы коор- динат: U(a, t) = U l(a, t)il(t), Vr[Y(a, t), t] = V l r [Y(a, t), t]il(t), (l = 1, 2, 3). Тогда, используя правило дифференцирования сложных функций (орты не дифференцируются, т. к. ищутся относительные производные рассма- триваемых векторов), найдем, что коэффициенты U l и V l r этих разложений связаны соотношениями ∂U l(a, t) ∂t = ∂V l r [Y(a, t), t] ∂t + + [ ∂V l r (Y, t) ∂Y k ] Y=Y(a,t) · ∂Y k(a, t) ∂t . Возвращаясь снова к векторной форме и замечая, что ∂Y k(a, t) ∂t il(t) = ∗ Y (a, t) = U(a, t), приходим к следующему выражению для относи- тельной производной вектора U: ∗ U (a, t) = [ U(a, t) · ∇Y ] Vr(Y, t) ∣ ∣ ∣ Y=Y(a,t) + + ∗ Vr [Y(a, t), t]. (73) Заменим здесь a на решение a(Y, t). Тогда, в силу (72), U(a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) = Vr(Y, t). Кроме того, в силу определения решения a(Y, t), имеем Y(a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) = Y, (74) и, следовательно, Vr[Y(a, t), t] ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) = Vr(Y, t), ∗ Vr [Y(a, t), t] ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) = ∗ Vr (Y, t). Учитывая эти соотношения и обозначения (71), из равенства (73) находим окончательное выражение: ∗ U (a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) = ∗ Vr (a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) = = [ Vr(Y, t) · ∇Y ] Vr(Y, t)+ ∗ Vr (Y, t). (75) Здесь векторный градиент от вектора относитель- ной скорости Vr берется по вектору Vr(Y, t) = ∗ Y (a, t) ∣ ∣ ∣ a=a(Y,t) . В этом, в частности, заключается специфика рас- сматриваемого случая по сравнению со случаем (53). Замена в (70) относительной производной по формуле (75) и использование (74) при замене вектора a на вектор–функцию a(Y, t) в осталь- ных членах этого уравнения приводит к следую- щему искомому уравнению относительного движе- ния жидкости: ∂′Vr ∂t + (Vr · ∇Y )Vr + 2Ω ×Vr + We(Y, t) = = F∗(Y, t) − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t), Vr = Vr(Y, t). (76) Здесь ∂′Vr/∂t = ∗ Vr (Y, t). Если в уравнении (76) выполнить тождествен- ное преобразование по формуле (Vr · ∇Y )Vr = ∇Y (1 2 V2 r ) −Vr × rotY Vr, то получим уравнение относительного движения жидкости в форме ∂′Vr ∂t + ∇Y (1 2 V2 r ) − Vr × rotY Vr + 2Ω(t) ×Vr = = F∗(Y, t)− 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t)−We(Y, t), (77) где Vr = Vr(Y, t). Уравнение (77) является уто- чненной записью классического уравнения (2) с явным указанием аргументов искомых и заданных функций, а также переменных, по которым дей- ствуют дифференциальные операторы ∇ и rot. Итак, классическое уравнение относительного движения жидкости (см. (77) и (2)) связано с но- вым уравнением абсолютного движения частицы жидкости в подвижных осях (48) неоднородной ли- нейной заменой X(a, t) = X0(t)+Y(a, t) независи- мой переменной и последующей нелинейной заме- ной a = a(Y, t) лагранжевых переменных. 3.3.2. Преобразование уравнения поля скоростей Исходим из (нового) уравнения поля абсолю- тных скоростей жидкости (57) и замены вектор- ного аргумента в нем по формуле X = X(Y, t), X(Y, t) := X0(t) + Y. (78) Здесь, в отличие от предыдущей замены (58), вектор–радиус Y определяет относительные коор- диаты точки поля (а не жидкой частицы) и оста- ется постоянным в любой момент времени. То- гда абсолютный вектор–радиус X этой точки поля Г. Ф. Золотенко 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 будет переменной величиной и функцией относи- тельного вектор–радиуса Y. Замена независимой переменной автоматически приводит к новым искомым и заданным функциям в уравнении. Новой искомой функцией будет V∗(Y, t) := Va(X, t)|X=X0(t)+Y.19 Новыми заданными функциями будут P∗(Y, t) := P (X, t)|X=X0(t)+Y, F∗(Y, t) := F(X, t)|X=X0(t)+Y, ρ∗(Y, t) := ρ(X, t)|X=X0(t)+Y. Заменим теперь производные в уравнении (57). Относительная производная от старой функции представима в виде ∂′Va(X, t) ∂t = ∂′ ∂t [V l a(X, t)il(t)] = ∂V l a(X, t) ∂t il(t). (Орты il(t) не дифференцируются.) Тогда, по- сле замены (78) в исходных искомых функци- ях V l a(X, t), по формуле дифференцирования сло- жной функции находим следующие выражения: ∂V l a [X0(t) + Y, t] ∂t = ∂V l a(X, t) ∂Xk ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y · ∂Xk ∂t + + ∂V l a (X, t) ∂t ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y (l, k = 1, 2, 3). Здесь член слева обозначает частное дифференци- рование по времени сложной функции V l a [X0(t)+ +Y, t] при фиксированном Y, а последний член справа — значение частной производной от функ- ции V l a(X, t) в точке X = X0(t) + Y. Поскольку при Y = const ∂Xl ∂t = ∂[Xl 0(t) + Y l] ∂t = dXl 0(t) dt и, очевидно, ∂V l ∗ (Y, t) ∂t = ∂V l a [X0(t) + Y, t] ∂t , для производной по времени от каждой из компо- нент старой векторной функции Va в точке X = = X0(t) + Y имеем следующее выражение: ∂V l a (X, t) ∂t ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y = ∂V l ∗ (Y, t) ∂t − −[∇XV l a(X, t)] ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y · ∗ X0 (t), 19Новая вектор–функция V∗(Y, t)) физически означает абсолютную скорость жидкости. где вектор–столбец ∗ X0 (t) =            dX1 0 (t) dt dX2 0 (t) dt dX3 0 (t) dt            . Принимая теперь, что градиент от вектора равен вектору из градиентов его компонент, переходя от отдельных компонент к векторам и вводя симво- лический оператор ∗ X0 (t) · ∇X , получаем соотношение ∂′Va(X, t) ∂t ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y = ∂′V∗(Y, t) ∂t − −[ ∗ X0 (t) · ∇X ]Va(X, t) ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y . (79) Далее, по аналогии с (68), для градиента ска- лярной функции V l a(X, t) справедливо равенство ∇Y V l ∗ (Y, t) = ∇XV l a(X, t) ∣ ∣ ∣ X=X0+Y . Оно равносильно векторному равенству ∇Y V∗(Y, t) = ∇XVa(X, t) ∣ ∣ ∣ X=X0+Y . Учитывая это в соотношении (79), приходим к следующей окончательной формуле для значения относительной производной в точке X = X0(t)+ +Y от старой искомой функции Va(X, t): ∂′Va(X, t) ∂t ∣ ∣ ∣ X=X0(t)+Y = ∂′V∗(Y, t) ∂t − −[ ∗ X0 (t) · ∇Y ]V∗(Y, t). (80) Полученные выражения позволяют представить уравнение (57) в новом виде. Подставив (80) в это уравнение и учитывая видоизменения как прои- зводных по пространственным переменным, так и всех функций, входящих в него, приходим к следующему уравнению с независимой пространс- твенной переменной Y и искомой функцией V∗ = = V∗(Y, t): ∂′V∗ ∂t + [ [U(Y, t)− ∗ X0 (t)] · ∇Y ] V∗ + Ω× V∗ = 34 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 = F∗(Y, t) − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t), (81) где временно обозначено U(Y, t) := V(X, t)|X=X0(t)+Y. Упростим выражение множителя при градиенте в левой части (81). Из (56) находим выражение V(X, t) = Va(X, t) −Ω(t) × X. Поэтому, учитывая связь Va(X, t) с V∗(Y, t), име- ем V(X, t)|X=X0(t)+Y = V∗(Y, t)− −Ω(t) × [X0(t) + Y] = U(Y, t). Но тогда искомый множитель при градиенте будет следующим: U(Y, t)− ∗ X0 (t) = V∗(Y, t) −V0(t) −Ω(t) × Y = = V∗(Y, t) − Ve(Y, t) = Vr(Y, t), (82) где V0(t) = ∗ X0 (t) + Ω(t) ×X0(t), Ve(Y, t) = V0(t) + Ω(t) × Y.20 Подстановка (82) в (81) приводит к следующему уравнению: ∂′V∗ ∂t + (Vr · ∇Y )V∗ + Ω ×V∗ = F∗(Y, t)− − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t), V∗ = V∗(Y, t). (83) Сравнение уравнений (83) и (1) показывает, что они совпадают (с точностью до обозначений), т. е. получилось уравнение Нариманова–Докучаева. Наконец, перейдем от уравнения Нариманова– Докучаева к уравнению относительного движе- ния. Заменим в (83) искомую переменную V∗(Y, t) новой искомой переменной Vr(Y, t) по формуле V∗(Y, t) = Ve(Y, t) + Vr(Y, t). При этом оператор слева в (83) преобразуется сле- дующим образом: ∂′V∗ ∂t + (Vr · ∇Y )V∗ + Ω× V∗ = = ∂′ ∂t [Ve(Y, t) + Vr(Y, t)]+ 20Физически векторы V0(t), VeY, t), Vr(Y, t) означают абсолютную скорость начала O подвижной системы ко- ординат (см. (65)), переносную и относительную скорости жидкости соответственно. +(Vr · ∇Y )[Ve(Y, t) + Vr(Y, t)]+ +Ω × [Ve(Y, t) + Vr(Y, t)] = = ∂′Vr(Y, t) ∂t + (Vr · ∇Y )Vr(Y, t) + Ω×Vr(Y, t)+ + ∂′Ve(Y, t) ∂t + Ω ×Ve(Y, t)+ +(Vr · ∇Y )Ve(Y, t). (84) Здесь, очевидно, группа слагаемых ∂′Ve(Y, t) ∂t + Ω × Ve(Y, t) = We(Y, t), (85) т.е. представляет переносное ускорение жидкости (см. также (69)). Кроме того, (Vr · ∇Y )Ve(Y, t) = (Vr · ∇Y )[V0(t) + Ω(t) ×Y] = = (Vr · ∇Y )(Ω ×Y). (86) Непосредственное вычисление дает выражение (Vr · ∇Y )(Ω ×Y) = = (Vr · ∇Y )       Ω2Y 3 − Ω3Y 2 Ω3Y 1 − Ω1Y 3 Ω1Y 2 − Ω2Y 1       = =       Ω2V 3 r − Ω3V 2 r Ω3V 1 r − Ω1V 3 r Ω1V 2 r − Ω2V 1 r       = Ω(t) ×Vr(Y, t). (87) С учетом (85)–(87) оператор (84) представляем в виде ∂′V∗ ∂t + (Vr · ∇Y )V∗ + Ω ×V∗ = = ∂′Vr ∂t + (Vr · ∇Y )Vr + 2Ω× Vr + We(Y, t). Но тогда уравнение (83) переходит в уравнение ∂′Vr ∂t + (Vr · ∇Y )Vr + 2Ω ×Vr = F∗(Y, t)− − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t) −We, Vr = Vr(Y, t), (88) совпадающее (с точностью до известного тожде- ственного преобразования конвективного члена) с (77), что и требовалось. Итак, классическое уравнение относительного движения жидкости (см. ((2) и его уточнение (77)) Г. Ф. Золотенко 35 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 связано с новым эйлеровым уравнением поля аб- солютных скоростей жидкости (57) неоднородной линейной заменой X = X0(t) + Y (при Y = const) независимой переменной и последующей заменой V∗(Y, t) = Ve(Y, t)+Vr(Y, t) зависимой перемен- ной. Вернемся к вопросу о противоречии между уравнением Нариманова-Докучаева (1) и новым уравнением (57). Уравнения (83) и (1) совпада- ют (с точностью до обозначений). Отсюда сле- дует, что новое уравнение (57) связано с уравне- нием Нариманова-Докучаева (1) преобразовани- ем сдвига (т. е. неоднородной линейной заменой переменных) вида X = X0(t) + Y. Таким обра- зом, противоречие между новым (57) и класси- ческим (1) уравнениями является кажущимся и объясняется тем, что в них в качестве пространс- твенных переменных используются различные ве- кторы: в первом случае – это абсолютный вектор– радиус X, а во втором — относительный вектор– радиус Y. Соответственно, и искомые функции в этих уравнениях различны: в уравнении (57) это вектор–функция абсолютной скорости жидко- сти Va = Va(X, t) и P (X, t), ρ(X, t), а в (1) — вектор–функция Va = = V∗(Y, t) и P = P∗(Y, t), ρ = ρ∗(Y, t). Вектор–функция Va = V∗(Y, t) по физическому смыслу также является абсолютной скоростью жидкости в проекциях на подвижные оси, но, естественно, отличается от Va(X, t) ана- литической структурой своих компонент по про- странственным переменным Y 1, Y 2, Y 3 и времени t. Вывод: классическое уравнение (1) и новое уравнение (57) связаны между собой преобразо- ванием сдвига пространственных переменных. 3.4. Относительно–абсолютные уравнения движения жидкости Ранее были рассмотрены преобразования ги- дродинамических уравнений, связанные с различ- ными заменами (независимых и зависимых) пе- ременных. На этом пути получено классическое уравнение относительного движения (2), а так- же новое уравнение абсолютного движения (57). В отличие от них, уравнение (1) будем классифи- цировать как относительно–абсолютное, посколь- ку в нем независимой пространственной перемен- ной служит относительный вектор–радиус Y, а искомыми — абсолютная скорость Va := V∗(Y, t) и функция P := P∗(Y, t) (см. эквивалентное ему уравнение (83)). Покажем теперь, что классическое уравне- ние “абсолютного движения жидкости в подви- жной системе координат” (3) также является относительно–абсолютным. Для этого рассмотрим более точную запись (77) уравнения относительно- го движения (2) и преобразуем его. Произведем в (77) замену зависимой переменной Vr = Vr(Y, t) по формуле Vr(Y, t) = Va(Y, t) − Ve(Y, t), где вектор переносной скорости Ve определяется последним из соотношений (82) и в проекциях на подвижные оси задается вектор–столбцом Ve(Y, t) =       V 1 0 (t) + Ω2Y 3 − Ω3Y 2 V 2 0 (t) + Ω3Y 1 − Ω1Y 3 V 3 0 (t) + Ω1Y 2 − Ω2Y 1       . (89) В результате получим равенство ∂′Va ∂t + ∇Y (1 2 V2 a −Va ·Ve ) − −(Va −Ve) × rotY Va + 2Ω ×Va − ∂′Ve ∂t + +∇Y (1 2 V2 e ) + (Va −Ve) × rotY Ve − 2Ω ×Ve = = F∗(Y, t) − 1 ρ ∇Y P∗(Y, t) −We(Y, t). (90) Непосредственным вычислением, используя (89), находим, что ∇Y (1 2 V2 e(Y, t) ) = 1 2 ∇Y [ ( V 1 0 (t)+ Ω2Y 3 −Ω3Y 2 )2 + + ( V 2 0 (t) + Ω3Y 1 − Ω1Y 3 )2 + + ( V 3 0 (t) + Ω1Y 2 − Ω2Y 1 )2 ] = −Ω ×Ve. Аналогичным образом получается выражение для вихря: rotY Ve = 2Ω. (91) Учитывая в соотношении (90) последние два выра- жения и применяя формулу связи абсолютной и относительной производных (27) (в ней полагаем B(t) = Ve(Y, t)), найдем, что группа слагаемых − ∂′Ve ∂t + ∇Y (1 2 V2 e ) −Ve × rotY Ve − 2Ω× Ve = = − ∂′Ve ∂t −Ω ×Ve = − ∂Ve(Y, t) ∂t = −We(Y, t). (92) Замечая, наконец, что в силу (91) 2Ω ×Va + Va × rotY Ve = 0, 36 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 и используя (92), приведем равенство (90) к окон- чательному виду: ∂′Va ∂t +∇Y (1 2 V2 a−Va ·Ve ) −(Va−Ve)×rotY Va = = F∗(Y, t) − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t). (93) Уравнение (93) полностью совпадает с классиче- ским уравнением (3), уточняя его в части перемен- ных, по которым действуют операторы ∇ и rot и от которых зависят вектор массовых сил и давле- ние. Таким образом, так называемое “уравнение аб- солютного движения жидкости в подвижной си- стеме координат” (3) получается из уравнения (2) относительного движения жидкости заменой иско- мой функции Vr(Y, t) (относительной скорости) на новую искомую функцию Va(Y, t) (абсолю- тную скорость) при сохранении в качестве аргу- мента относительного вектор–радиуса Y. Замечание. В работе [2, c. 57] уравнение (93) получено другим способом, а именно, с использо- ванием физических соображений при исключении переносного ускорения We(Y, t). Еще один способ вывода этого уравнения (из уравнения (1)) указан Г.С. Наримановым и Л.В. Докучаевым в [3, c. 19]. 4. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ, ОТНЕСЕННЫХ К ПОДВИЖНЫМ ОСЯМ Предыдущий анализ показал, что возможны различные формы гидродинамических уравнений, отнесенных к подвижным осям. В приложениях представляется целесообразной следующая есте- ственная классификация этих уравнений. AA–класс уравнений. Основным в этом клас- се является уравнение абсолютного движения жидкости (57). (Буква A — аббревиатура от ан- глийского слова Absolute — абсолютный.) Пер- вая буква A в обозначении класса означает, что в уравнениях этого класса пространственной неза- висимой переменной служит абсолютный вектор– радиус жидкой частицы, а вторая буква A — что искомой скоростью жидкости оказывается абсолю- тная скорость Va = Va(X, t). Уточняя тип урав- нения (57), будем говорить, что оно является XVa- уравнением, где символ X указывает на то, что независимой переменная есть абсолютный вектор– радиус r := X, а символ Va указывает на искомую переменную в виде абсолютной скорости жидко- сти. Замечание. Поскольку в уравнении (57) “про- межуточная” неизвестная функция V(X, t) мо- жет быть исключена с помощью простой замены V = Va−Ω×X, она не учитывается при его клас- сификации. AR–класс уравнений. К этому классу отно- сится уравнение (55) (а также эквивалентное ему уравнение (54)). Первая буква в обозначении клас- са, по-прежнему, означает, что в уравнениях это- го класса пространственной независимой перемен- ной служит абсолютный вектор–радиус жидкой частицы. Буква R (R — аббревиатура от англий- ского слова Relative — относительный) означает, что искомой скоростью является относительная скорость изменения некоторого вектора. В урав- нении (55) такой искомой величиной оказывается вектор V(X, t), т.е скорость изменения абсолютно- го вектора X(t) относительно осей подвижной си- стмы координат. Уточняя тип уравнения (55), бу- дем говорить, что оно есть XV -уравнение. RR–класс уравнений. Содержит в качестве основного уравнение относительного движения жидкости (76) (и эквивалентное ему уравнение (77)). Первая буква R означает, что пространс- твенной независимой переменной служит относи- тельный вектор–радиус жидкой частицы r′. Вто- рая буква R указывает на то, что искомой ско- ростью является относительная скорость жидко- сти Vr = Vr(Y, t). Элементы этого класса целе- сообразно называть, учитывая принятые обозна- чения, Y Vr-уравнениями, где Y — относитель- ная пространственная переменная, Vr — искомая относительная скорость. RA–класс уравнений. К этому классу отно- сится уравнение (93) (т.е. (3)) относительно- абсолютного движения жидкости. В нем не- зависимой пространственной переменной являе- тся относительный вектор–радиус Y, а иско- мой скоростью — абсолютная скорость Va := V∗(Y, t). Более точно элементы этого класса мож- но классифицировать как Y Va-уравнения. Уравне- ние Нариманова–Докучаева (1)) также относится к RA–классу. Замечание. Поскольку в уравнении (1) “про- межуточная” неизвестная функция Vr(Y, t) мо- жет быть исключена с помощью простой замены Vr = Va − Ve, она не учитывается при его клас- сификации. Таким образом, из основных уравнений теории относительного движения жидкости, приведенных во “Введении”, уравнения (1) и (3) относятся к RA– классу, а (2) — к RR–классу. Замечание. Описанная классификация учи- тывает свойства независимых и зависимых пере- менных в уравнениях, т. е. другими словами, она использует критерий “вектор положения—вектор скорости”. Давление P и плотность ρ являются Г. Ф. Золотенко 37 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 скалярными функциями и потому не использу- ются в этой классификации. “Дополнительные” искомые функции, которые могут быть исключе- ны из уравнений с помощью простых замен пере- менных, также не влияют на принадлежность этих уравнений к тому или иному классу. Уравнения внутри одного класса делятся на подклассы 1-го уровня по признаку формы пред- ставления в них субстанциональной производной или конвективного члена, что отражается диффе- ренциальными операторами Da Dt , (a · ∇)b, a× rotb, где a, b — различные виды вектора скорости жид- кости. Получаются подклассы уравнений, имею- щих формы, аналогичные формам Эйлера или Громеки–Ламба уравнений гидродинамки в непо- движных осях. Примером могут служить уравне- ния (2) и (6), относящиеся, как будет ясно из даль- нейшего, к RR–классу, но отличающиеся формой представления субстанциональной производной. Уравнения внутри подклассов 1-го уровня отли- чаются друг от друга значениями входящих в них известных параметров: 1) массовых сил (опре- деляются вектором F) и 2) движения подви- жной системы координат (определяются величи- нами X0(t), akl(t), Ω(t) и соответствующими про- изводными по времени). По признаку совпадения свойств некоторых из этих параметров элементы одного класса можно объединять в подклассы сле- дующего, 2-го, уровня. Например, классические уравнения (3) состав- ляют важный подкласс RA–класса. Основными признаками элементов этого подкласса являются потенциальность вектора массовых сил F, посто- янство параметра ρ и, как следствие, существова- ние интеграла Лагранжа–Коши. Будем говорить, что уравнения с отмеченными свойствами прина- длежат RAi–подклассу. Буква i (аббревиатура ан- глийского слова integrable — интегрируемый) ука- зывает на фундаментальное свойство интегрируе- мости уравнений этого класса. Пример. Проанализируем упоминавшееся во Введении уравнение (5) работы [4], относящееся к случаю колебаний жидкости в поступательно пе- ремещающемся баке, и установим класс, к кото- рому оно принадлежит. Это уравнение выведено из общего уравнения Эйлера в неподвижных осях (47) 21 в предположении что жидкость: 1) невяз- кая, 2) несжимаемая, 3) имеет постоянную плот- ность ρ = const. Кроме того, считалось, что: 4) 21Анализ выполняется при физических допущениях упо- мянутой работы, но в обозначениях настоящей работы. массовая сила сводится к силе тяжести g, направ- ленной в отрицательном направлении оси O∗ξ3, так что f (ξ, t) = g = (0, 0,−g); 5) абсолютное движение жидкости потенциально с потенциалом скорости Φ(ξ1, ξ2, ξ3, t), так что va(ξ, t) = ∇ξΦ(ξ1, ξ2, ξ3, t).22 При этих предположениях, в силу тождества ( va(ξ, t) · ∇ξ ) va(ξ, t) = = ∇ξ (1 2 v2 a(ξ, t) ) − va(ξ, t)× rotξva(ξ, t), известного свойства отсутствия вихрей у потенци- альных течений, т. е. равенства rotξva(ξ, t) = 0, и непосредстенно проверяемого соотношения g = −∇ξ(gξ3) (∇ξ = ∂ ∂ξk ek, k = 1, 2, 3), из (47) получено следующее уравнение абсолю- тного движения жидкости, отнесенное к неподви- жным осям: ∂ ∂t ∇ξΦ(ξ, t) + ∇ξ (1 2 ∇ξΦ(ξ, t) · ∇ξΦ(ξ, t) ) = = −∇ξ(gξ3) − 1 ρ ∇ξp(ξ, t). (94) Как известно, это уравнение допускает интеграл Коши–Лагранжа вида p(ξ, t) ρ + ∂Φ(ξ, t) ∂t + 1 2 ( ∇ξΦ(ξ, t) )2 + gξ3 = F (t), где F (t) — произвольная функция времени. Иско- мыми здесь tcnm потенциал абсолютной скорости Φ(ξ, t) и давление p(ξ, t), а вектор положения яв- ляется абсолютным, т. е. r := ξ. Далее вводится в рассмотрение жестко свя- занная с баком подвижная система координат OX1X2X3 с осями, параллельными соответству- ющим осям неподвижной системы координат O∗ξ1ξ2ξ3. (Основным мотивом введения подви- жной системы координат является упрощение формулировки краевых условий на стенках бака и 22В [4] введены почти не используемая в современной ги- дромеханике левые системы координат, а потенциал скоро- сти жидкости взят со знаком минус, что также нетрадици- онно. 38 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 на свободной поверхности жидкости.) Таким обра- зом, используется подход Жуковского, при кото- ром замена пространственных переменных прои- зводится не в уравнении движения, а в его инте- грале. Связь абсолютных ξk и относительных Y l коор- динат вектора положения жидкой частицы опре- деляется формулой (см. п. 3.1, комбинация 4)) ξk = akl(X l 0 + Y l), где Xl 0(t) — проекции на подвижные оси абсолю- тного вектор–радиуса точки O, а матрица из на- правляющих косинусов akl является единичной в силу параллельности осей координат. В связи с та- кой заменой изменяется и искомая функция, прев- ращаясь в функцию Φ∗(Y, t) = Φ(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=X0(t)+Y . Аналогичные изменения претерпевает также функция давления: P∗(Y, t) = p(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=X0(t)+Y . (95) Производные по времени от новой Φ∗(Y, t) и ста- рой Φ(ξ, t) функций связаны соотношением ∂Φ∗(Y, t) ∂t = ∂Φ(ξ, t) ∂ξk ∣ ∣ ∣ ξ=X0(t)+Y · dξk(t) dt + + ∂Φ(ξ, t) ∂t ∣ ∣ ∣ ξ=X0(t)+Y или, короче, ∂Φ∗(Y, t) ∂t = ( ∇ξΦ(ξ, t)·V0(t)+ ∂Φ(ξ, t) ∂t ) ∣ ∣ ∣ ξ=X0(t)+Y (96) где V0(t) = ξ̇kek = Ẋl 0(t)il(t) — вектор абсолютной скорости точки O, проекции которого на неподвижные и подвижные оси, как и следовало ожидать, совпадают. (В этом можно непосредственно убедиться, продифференцировав по t выражение для ξk через Xl 0(t) и Y l.) Кроме того, имеет место связь градиентов (по аналогии с (68)) ∇Y Φ∗(Y, t) = ∇ξΦ(ξ, t) ∣ ∣ ∣ ξ=X0(t)+Y . (97) Заметим, что ∇ξΦ(ξ, t) представляет абсолютную скорость жидкости в проекциях на ξ–оси, т. е. va := vξ = ∇ξΦ(ξ, t), а ∇Y Φ∗(Y, t) — абсолю- тную скорость жидкости в проекциях на X–оси, т. е. va := VX = ∇Y Φ∗(Y, t) (см. схему рис. 1) С учетом формул (95) — (97) интеграл Коши– Лагранжа после замены ξ = X0(t) + Y представ- ляется в виде P∗(Y, t) ρ + ∂Φ∗(Y, t) ∂t −∇Y Φ∗(Y, t) · V0(t)+ + 1 2 ( ∇Y Φ∗(Y, t) )2 + gξ3 = F (t), (98) где необходимо положить ξ3 = X3 0 (t) + Y 3. Уравнение (98) относится к RA–классу, посколь- ку в нем независимой пространственной перемен- ной служит относительный вектор–радиус Y, а искомой скоростью — абсолютная скорость va := ∇Y Φ∗(Y, t). Более того, его можно отнести к RAi– подклассу, поскольку оно является первым инте- гралом уравнения (93) (т.е. (3)) из этого подклас- са. При введении подвижной системы координат абсолютная скорость жидкой частицы может быть заменена (если это необходимо) ее относительной скоростью. В рассматриваемом случае поступа- тельного движения бака и потенциального тече- ния жидкости имеет место равенство (см. форму- лы (4) и (97)) ∇Y Φ∗(Y, t) = Vr(Y, t) + V0(t). (99) Замена (99) в (98) приводит к уравнению P∗(Y, t) ρ − 1 2 V2 r(Y, t) + gξ3 + ∂Φ∗(Y, t) ∂t + + 1 2 V2 0(t) = F (t), (100) совпадающему с точностью до обозначений 23 и знаков при двух членах (при производной по вре- мени и при квадрате относительной скорости) с анализируемым уравнением (5) работы [4]. Но это уравнение содержит три неизвестные величи- ны (потенциал абсолютной скорости Φ∗(Y, t), ве- ктор относительной скорости Vr(Y, t) и давле- ние P∗(Y, t)) вместо двух неизвестных величин (Φ∗(Y, t) и P∗(Y, t)) в уравнении (98) из RAi– подкласса. Преобразованное уравнение (100) ока- залось сложнее исходного уравнения (98). По предлагаемой классификации уравнение (5) относится к RAi–подклассу, поскольку “лишня- я” неизвестная переменная (вектор относительной скорости Vr(Y, t)) может быть исключена. 23Обозначениям настоящей работы P∗(Y, t), Vr(Y, t), Φ∗(Y, t), F (t), (Y 1, Y 2, Y 3), (ξ1, ξ2, ξ3) соответствуют обо- значения P , qrel, −Φ, C(t), (x,−y, z), (X ′,−Y ′, Z′) рабо- ты [4]. Г. Ф. Золотенко 39 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Заметим, что столь скрупулезный анализ был предпринят по причине крайней важности исхо- дных общих уравнений модели, с одной стороны, и необходимости проверки технических деталей, с другой стороны.24 Уравнение оказалось правиль- ным, упростив форму исходного уравнения (98), но увеличив при этом число неизвестных задачи. Наконец, уравнения внутри одного подклас- са могут отличаться формой представления про- странственных координат (декартовы, цилиндри- ческие, сферические, эллипсоидальные и др. коор- динаты). 5. СЛУЧАИ СОВПАДЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ Все гидродинамические уравнения, отнесенные к подвижным осям, зависят от параметров движе- ния этих осей. При этом для некоторых случаев таких движений уравнения определенных классов могут совпадать. Ранее отмечалось, например, что в том частном случае, когда начало O в любой мо- мент времени находится в неподвижной точке O∗, уравнения абсолютного и относительного движе- ний жидкости (т. е. уравнения AA- и RR-классов) совпадают. Возникает вопрос: существуют ли дру- гие случаи движений подвижной системы коор- динат, для которых уравнения различных клас- сов совпадают. Оказывается справедливым следу- ющее общее утверждение: если начало O подвижной системы координат все время движется на одном и том же расстоя- нии от неподвижной точки O∗ и проекции его вектор–радиуса r0(t) на оси этой системы коор- динат постоянны, то при любых угловых дви- жениях этой системы координат XV –уравнение (55) совпадает с Y Vr-уравнением (76) с точ- ностью до преобразования сдвига вектора про- странственных независимых переменных. Приведем примеры практических задач, в кото- рых выполнены условия этого утверждения. Пример 1. Пусть начало O движется по поверх- ности земной сферы. Оси X–системы координат направлены следующим образом: OX1 — по каса- тельной к параллели, OX2 — по касательной к ме- ридиану, OX3 — вдоль радиуса O∗O Земли (рис. 2). 24Например, в связи с заменами пространственных пере- менных и искомых функций не ясно, почему в [4] интеграл Коши–Лагранжа, отнесенный к неподвижной и подвижной системам координат, содержит одну и ту же функцию Φ (см. уравнения (1.7a) и (1.7b) цитируемой монографии). Также вызывает вопросы сохранениепеременнойZ′ в урав- нении (1.7b). Рис. 2. Случай подвижной системы координат OX1X2X3 на поверхности Земли Если принять, что земная сфера вращается, а точка O покоится на ней (как, например, в неко- торых задачах динамики атмосферы или океана), то вектор–радиус r0(t) точки O в проекциях на подвижные оси имеет вид X1 0 = X2 0 = 0, X3 0 = R, где R — радиус Земли. Эти соотношения являются следствием того, что ориентация вектор–радиуса r0(t) в любой момент времени совпадает с ориен- тацией оси OX3 подвижной системы координат. Если, наоборот, земная сфера покоится, а точка O движется по ее поверхности (как, например, в задачах о колебаниях жидкости в подвижных ци- стернах, танкерах или на борту летательных аппа- ратов), то по-прежнему и по той же причине ко- ординаты (X1 0 , X2 0 , X3 0) будут удовлетворять пре- дыдущим соотношениям. В обоих случаях проекции вектор–радиуса r0(t) на подвижные оси постоянны. Заметим, что при этом абсолютная скорость v0(t) начала O подви- жной системы координат в проекциях на подви- жные оси отлична от нуля. Это вытекает из из- вестной формулы связи между линейной скоро- стью начала O и угловой скоростью Ω подвижной системы координат [17] (стр.20): Ω1 = − VN (t) R , Ω2 = VE(t) R , Ω3 = Ω2tgϕ(t), 40 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 Рис. 3. Подвижная система координат OX1X2X3 в случае качающегося бака (оси OX2 и O∗ξ2 перпендикулярны плоскости чертежа и направлены за чертеж) где VE(t) = U cos ϕ(t) + vE(t), VN (t) = vN(t), — проекции абсолютной скорости начала O на по- движные оси; U — угловая скорость Земли, на- правленная вдоль оси O∗ξ3; vN (t), vE(t) — состав- ляющие вдоль меридиана и параллели скорости движения начала O относительно Земли, ϕ(t) — переменная географическая широта точки O. Пример 2. Рассмотрим задачу о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в прямоу- гольном баке квадратного сечения, совершающем плоские угловые колебания по углу θ(t) около не- подвижной точки O∗ в лабораторных условиях (см. рис. 3, изображающий механическую систему из работы [5]). Пусть по некоторым соображениям начало O жестко связанной с баком системы координат OX1X2X3 размещено на одном из боковых ребер бака. Тогда координаты начала O в подвижной системе координат определяются формулами X1 0 = − B 2 , X2 0 = − B 2 , X3 0 = R + H, где B — длина стороны квадрата, лежащего в пло- скости сечения бака, перпендикулярного оси OX3; R — расстояние от центра вращения O∗ до нижне- го основания бака; H — уровень жидкости в состо- янии покоя. Эти соотношения являются следстви- ем того, что подвижная система координат жест- ко связана с баком, а ориентация относительно нее направленного отрезка O∗O остается неизменной в любой момент времени, хотя сам отрезок враща- ется около точки O∗ в неподвижной системе коор- динат. Таким образом, и в этом примере начало O подвижной системы координат все время движе- тся на одном и том же расстоянии от неподвижной точки O∗, а проекции его вектор–радиуса r0(t) на оси этой подвижной системы координат постоян- ны. Доказательство сформулированного утвержде- ния сводится к вычислению переносного ускоре- ния We в Y Vr-уравнении (76) и вектора WΩ в XV -уравнении (55). При сделанных предположе- ниях ∗ X0 (t) = 0, ∗∗ X0 (t) = 0. Но тогда из (63) получается следующая форму- ла для абсолютного ускорения начала подвижной системы координат: W0 = ∗∗ X0 + ∗ Ω ×X0 + Ω × (Ω ×X0) + 2Ω× ∗ X0= = ∗ Ω ×X0 + Ω× (Ω ×X0). Учитывая это в (69), находим выражение для пе- реносного ускорения жидкой частицы, а именно: We = ∗ Ω ×(X0 + Y) + Ω × [Ω× (X0 + Y)]. (101) Подставляя выражение (101) в (76) и полагая, что X0(t) + Y := Z(Y, t), получаем уравнение относительного движения (76) в виде ∂′Vr ∂t +(Vr·∇Y )Vr+2Ω×Vr+ ∗ Ω ×Z+Ω×(Ω×Z) = = F∗(Y, t) − 1 ρ∗(Y, t) ∇Y P∗(Y, t), (102) где Vr = Vr(Y, t), Z = Z(Y, t). Рассмотрим теперь XV –уравнение (55). В нем WΩ = ∗ Ω ×X + Ω× (Ω ×X) в силу второго из соотношений (49), а ∇X (1 2 V2 ) − V × rotXV = (V · ∇X)V Г. Ф. Золотенко 41 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 в силу известного тождества. Поэтому при сформулированных в утверждении условиях абсолютно–относительное уравнение (55) прини- мает вид ∂′V ∂t +(V ·∇X)V+2Ω×V+ ∗ Ω ×X+Ω×(Ω×X) = = F(X, t) − 1 ρ(X, t) ∇XP (X, t), V = V(X, t). (103) Уравнения (102) и (103) имеют одинаковую структуру, но отличаются пространственными не- зависимыми переменными, искомыми и задан- ными функциями. Заметим, что в уравнении (102) функция Z(Y, t) относится к числу заданных. Для завершения доказательства установим соотношение, связывающее искомые функции V(X, t) и Vr(Y, t). По определению Vr(Y, t) = V∗(Y, t) − Ve(Y, t), V(X, t) = Va(X, t) − Ω(t) ×X, X = X0(t) + Y. Замечая, что V∗(Y, t) = Va(X, t) ∣ ∣ X=X0(t)+Y , из предпоследнего равенства находим выражение V∗(Y, t) = V(X, t) ∣ ∣ X=X0(t)+Y +Ω(t)× [X0(t)+ Y]. Подставляя его в формулу для Vr и учитывая, что переносная скорость Ve(Y, t) = V0(t) + Ω(t) ×Y, получаем искомое соотношение, а именно: Vr(Y, t) = V(X, t) ∣ ∣ X=X0(t)+Y + +Ω(t) × X0(t) −V0(t). (104) Формула (104) связывает V(X, t) и Vr(Y, t) в общем случае. Из нее, в частности, следует, что при совпадении точек O∗ и O, когда X0(t) ≡ 0 и V0(t) ≡ 0, имеет место равенство Vr(Y, t) = V(X, t) ∣ ∣ X=Y = V(Y, t), (105) т.е. в этом частном случае относительная скорость жидкости равна относительной производной от ее абсолютного вектор–радиуса (разумеется, все ве- кторы берутся в проекциях на подвижные оси). В условиях доказываемого утверждения, когда X0(t) = X0 = const, очевидно, V0(t) = ∗ X0 (t) + Ω(t) × X0(t) = Ω(t) ×X0. Но тогда, из соотношения (104) получается анало- гичное (105) соотношение Vr(Y, t) = V(X, t) ∣ ∣ X=X0+Y . (106) Отсюда видно, что искомые функции уравнений (102) и (103) не совпадают, но связаны преобразо- ванием сдвига пространственных переменных. Если теперь в уравнении (103) аргументы X всех функций заменить на X0 + Y, воспользо- ваться равенством (106), а также учесть форму- лы связи функций F, ρ, P и F∗, ρ∗, P∗ (см. п. 3.3.1), то получим уравнение (102) (в котором Z = X).25 Произвольность угловых движений систе- мы отсчета следует из произвольности вектора ее угловой скорости Ω(t), на который никаких огра- ничений не налагалось. Доказательство заверше- но. Обращаясь к уравнению (6) и выражая пол- ную производную через локальную и субстанцио- нальную производные, видим, что оно совпадает с также “смешанным” уравнением (102), и, следова- тельно, верно.26 Отсюда, кроме того, следует, что искомая вектор–функция vr уравнения (6) являе- тся функцией не абсолютного вектор–радиуса r, а относительного вектор–радиуса r′. Заметим, что в условиях утверждения начало подвижной системы координат может иметь сло- жные траектории в неподвижном пространстве, несмотря на постоянство вектора X0(t). ВЫВОДЫ В работе проанализирован и обобщен опыт использования общих дифференциальных уравне- ний динамики идеальной жидкости в прикладных задачах теории относительного движения жидко- сти. Предложена классификация известных форм этих уравнений и найдены их новые формы. Руко- водящими явились идеи двойственного представ- ления векторов при наличии двух систем коорди- нат и необязательности разложения X = X0(t)+Y абсолютного вектор–радиуса жидкой частицы при переходе в подвижную систему отсчета. Исходным уравнением всех построений явилось новое урав- нение (48). Цепочка замен лагранжевых и зависи- 25В частной производной по времени от функции V(X, t) можно непосредственно заменить “фиксированный” аргу- мент X на X0 +Y. Равенства же градиентов ∇X и ∇Y для давлений P и P∗ , а также для компонент векторов V и Vr следуют из формулы (68) и аналогичных соотношений. 26Соответствие обозначений в оригинале [5] и в настоя- щей статье очевидно, нужно только приравнять r из ори- гинала вектору X(Y, t). 42 Г. Ф. Золотенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 16 – 43 мых переменных a = a(X, t) −→ Va = V + Ω × X привела к также новому уравнению абсолютного движения в подвижных осях (57), аналогичному уравнению Нариманова–Докучаева (1). Попутно получены ранее не встречавшиеся уравнения (54) и (55), связанные друг с другом известным тожде- ственным преобразованием конвективного члена и имеющие, в отличие от (57), структуру урав- нения относительного движения. Указаны после- довательности замен зависимых и независимых переменных, выводящие новое уравнение (48) на классические уравнения относительного (2) и аб- солютного (3) движений жидкости. На практике эти замены позволяют пересчитывать характери- стики движения жидкости в подвижных осях при необходимости согласования данных, полученных на основе уравнений из различных классов. В терминах параметров движения систем коорди- нат сформулированы достаточно общие условия совпадения (с точностью до преобразования сдви- га пространственных переменных) нового XV – уравнения (55) и классического Y Vr-уравнения (2). На примерах показано, что эти условия выпол- няются как в задачах динамики жидкости относи- тельно вращающейся или невращающейся Земли, так и в задаче о волновых движениях жидкости в совершающем угловые колебания баке в лабора- торных условиях. Проанализированы, классифи- цированы и уточнены исходные уравнения нестан- дартного вида некоторых из современных прикла- дных работ. Полученные результаты могут быть использо- ваны при экспертизе существующих и разработке новых моделей динамики относительного движе- ния жидкости. 1. Ламб Г. Гидродинамика.– М., Л.: ОГИЗ, 1947.– 928 с. 2. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теорети- ческая гидромеханика.– М.: ГИТТЛ, 1955, ч. 1.– 556 с. 3. Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И. А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью.– М.: Машиностроение, 1977.– 208 с. 4. Ibrahim R.A. Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications.– Cambridge University Press: 2005.– 970 c. 5. La Rocca M., Sciortino G., Boniforti M.A. A fully nonlinear model for sloshing in a rotating container // Fluid Dynamics Research.– 2000.– 27.– P. 23-52. 6. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.– М.: Мир, 1973.– 757 с. 7. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей.– Л.: Гидрометеоиздат, 1975.– 304 с. 8. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, име- ющего полости, наполненные однородною капель- ною жидкостью: Собр. соч. М.,Л.: ГИТТЛ, 1949. – т. 2. – C. 152–309. 9. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинами- ка.– М.: Мир, 1964.– 655 с. 10. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с по- лостями, содержащими жидкость.– М.: Машино- строение, 1977.– 208 с. 11. Лурье А.И. Аналитическая механика.– М.: ФМ, 1961.– 824 с. 12. Kinematics and Dynamics of Multy-body Systems: Eds.: J. Angeles, A. Kecskemethy.– CISM Courses and Lectures, No.360, – 1995.– 342 c. 13. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тен- зорного исчисления.– М.: Наука, 1965.– 426 с. 14. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Сов- ременная геометрия: Методы и приложения.– М.: Наука, 1986.– 759 с. 15. Chorin A.J., Marsden J.E. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics.– Springer: 1998.– 169 p. 16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.: Наука, 1978.– 736 с. 17. Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов.– М.: ГИТТЛ, 1955.– 355 с. Г. Ф. Золотенко 43

Ähnliche Einträge