Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением
Используя полные нестационарные уравнения Навье-Стокса в переменных скорость-давление, численно решается задача о движении жидкости в плоском канале с внезапным односторонним сужением. Для решения применяется метод конечных разностей с использованием разнесенной сетки. Полученный универсальный дискр...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Прикладна гідромеханіка |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87656 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87656 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-876562015-10-23T03:01:58Z Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Используя полные нестационарные уравнения Навье-Стокса в переменных скорость-давление, численно решается задача о движении жидкости в плоском канале с внезапным односторонним сужением. Для решения применяется метод конечных разностей с использованием разнесенной сетки. Полученный универсальный дискретный аналог исходных уравнений решается итерационным методом на установление. Исследованы особенности структуры течения в области участка внезапного одностороннего сужения поперечного сечения канала. Определены поля скоростей, давления и протяженности зоны подпора течения перед уступом в зависимости от числа Рейнольдса и параметра сужения. Використовуючи повнi нестацiонарнi рiвняння Нав`є-Стокса у змiнних швидкiсть-тиск, чисельно вирiшується задача про рух рiдини у плоскому каналi з раптовим одностороннiм звуженням. Для вирiшення застосовується метод кiнцевих вiдмiнностей з використанням рознесеної сiтки. Одержаний унiверсальний дискретний аналог вихiдних рiвнянь вирiшується iтерацiйним методом на встановлення. Дослiдженi особливостi структури течiї в областi дiлянки раптового одностороннього звуження поперечного перерiзу каналу. Визначенi поля швидкостей, тиску i тривалостi зони пiдпору течiї перед уступом у залежностi вiд числа Рейнольдса i параметру звуження. Using full nonstationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables, a problem is being solved on fluid motion in a flat channel with a sudden one-side contraction. For that, the finite difference method is used with a diversed grid. The obtained universal discrete analogue of initial equations is being solved using the iteration method for identification. Peculiarities of flow structure are analyzed in a section of sudden one-side contraction of the channel cross-section. There are determined fields of velocity, pressure and the pressure zone extension of the flow in front of the step depending on Reynolds numbers and a contraction parameter. 2009 Article Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87656 532.543 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Используя полные нестационарные уравнения Навье-Стокса в переменных скорость-давление, численно решается задача о движении жидкости в плоском канале с внезапным односторонним сужением. Для решения применяется метод конечных разностей с использованием разнесенной сетки. Полученный универсальный дискретный аналог исходных уравнений решается итерационным методом на установление. Исследованы особенности структуры течения в области участка внезапного одностороннего сужения поперечного сечения канала. Определены поля скоростей, давления и протяженности зоны подпора течения перед уступом в зависимости от числа Рейнольдса и параметра сужения. |
| format |
Article |
| author |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. |
| spellingShingle |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением Прикладна гідромеханіка |
| author_facet |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. |
| author_sort |
Бруяцкий, Е.В. |
| title |
Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением |
| title_short |
Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением |
| title_full |
Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением |
| title_fullStr |
Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением |
| title_full_unstemmed |
Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением |
| title_sort |
расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87656 |
| citation_txt |
Расчет полей скорости и давления для течения в плоском канале с внезапным односторонним сужением / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT bruâckijev rasčetpolejskorostiidavleniâdlâtečeniâvploskomkanalesvnezapnymodnostoronnimsuženiem AT kostinag rasčetpolejskorostiidavleniâdlâtečeniâvploskomkanalesvnezapnymodnostoronnimsuženiem |
| first_indexed |
2025-07-06T15:18:55Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:18:55Z |
| _version_ |
1836911468272943104 |
| fulltext |
НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
УДК 532.543
РАСЧЕТ ПОЛЕЙ СКОРОСТИ И ДАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ВНЕЗАПНЫМ
ОДНОСТОРОННИМ СУЖЕНИЕМ
Е. В. БР У Я ЦК И Й, А. Г. КО СТИ Н
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 18.12.2008
Используя полные нестационарные уравнения Навье-Стокса в переменных скорость-давление, численно решается
задача о движении жидкости в плоском канале с внезапным односторонним сужением. Для решения применяется
метод конечных разностей с использованием разнесенной сетки. Полученный универсальный дискретный аналог
исходных уравнений решается итерационным методом на установление. Исследованы особенности структуры те-
чения в области участка внезапного одностороннего сужения поперечного сечения канала. Определены поля ско-
ростей, давления и протяженности зоны подпора течения перед уступом в зависимости от числа Рейнольдса и
параметра сужения.
Використовуючи повнi нестацiонарнi рiвняння Нав‘є-Стокса у змiнних швидкiсть-тиск, чисельно вирiшується зада-
ча про рух рiдини у плоскому каналi з раптовим одностороннiм звуженням. Для вирiшення застосовується метод
кiнцевих вiдмiнностей з використанням рознесеної сiтки. Одержаний унiверсальний дискретний аналог вихiдних рiв-
нянь вирiшується iтерацiйним методом на встановлення. Дослiдженi особливостi структури течiї в областi дiлянки
раптового одностороннього звуження поперечного перерiзу каналу. Визначенi поля швидкостей, тиску i тривалостi
зони пiдпору течiї перед уступом у залежностi вiд числа Рейнольдса i параметру звуження.
Using full nonstationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables, a problem is being solved on fluid motion
in a flat channel with a sudden one-side contraction. For that, the finite difference method is used with a diversed grid.
The obtained universal discrete analogue of initial equations is being solved using the iteration method for identification.
Peculiarities of flow structure are analyzed in a section of sudden one-side contraction of the channel cross-section. There
are determined fields of velocity, pressure and the pressure zone extension of the flow in front of the step depending on
Reynolds numbers and a contraction parameter.
ВВЕДЕНИЕ
Течение вязкой жидкости в канале с внезапным
сужением его поперечного сечения в виде уступа
встречается во многих технических устройствах и
аппаратах. Наличие такой геометрической неодно-
родности на стенке канала существенно влияет на
кинематическую структуру потока, процессы те-
плообмена и уровень акустических шумов гидро-
динамического происхождения. Поэтому разрабо-
тка методов расчета таких течений представля-
ет большой практический интерес. Особенность и
сложность расчета таких течений связана с обра-
зованием перед уступом специфической области
подпора, которую часто называют застойной зо-
ной.
Для понимания механизмов вихреобразования в
сложных потоках жидкости, включая области вне-
запного сужения канала, необходимо уметь пред-
сказывать поля скорости и давления. Поэтому
структура таких течений и протяженность зоны
подпора изучались теоретически и эксперимен-
тально как для ламинарных, так и для турбулен-
тных режимов течения [1].
При теоретическом исследовании таких течений
важную роль играет учет переменности давления
в области участка сужения канала. Поэтому для
их изучения нужно использовать полные уравне-
ния Навье-Стокса. Сложность их решения хоро-
шо известна. Одна из них в случае несжимаемой
жидкости связана с трудностью расчета давле-
ния, так как оно не является основной перемен-
ной в исходных уравнениях. В силу этого мно-
гие исследователи при математическом модели-
ровании используют уравнения Навье-Стокса, за-
писанные в переменных функция тока–вихрь, а
не в физических переменных скорость–давление.
Преимущество такого подхода состоит в возмож-
ности исключения давления из системы исходных
уравнений. Но наряду с этим преимуществом во-
зникает и трудность, связанная с постановкой гра-
ничных условий для вихря скорости на твердой
стенке. Кроме того, при таком подходе отсутству-
ет возможность его обобщения на трехмерные и
турбулентные режимы течения. Поэтому исполь-
зование уравнений Навье-Стокса в физических пе-
ременных скорость-давление является более пред-
почтительным. Однако этот путь связан с трудно-
стью не только расчета поля давления, но и его
согласования с полем скорости.
В настоящее время для численного решения
нелинейных уравнений Навье-Стокса существуют
и используются несколько десятков разновидно-
стей разностных схем. Недавно в нашей рабо-
c© Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, 2009 3
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 1. Физическая схема рассматриваемого течения
в плоском канале с внезапным односторонним
сужением
те [2] предложен эффективный метод численно-
го интегрирования полной системы нестационар-
ных уравнений Навье-Стокса в физических пере-
менных скорость–давление. Общий принцип реше-
ния использует метод конечных разностей и ра-
знесенную сетку подобно изветному "МАС"методу
Ф.Х. Харлоу [3] и модифицированному алгорит-
му "SIMPLE"С.В. Патанкара и П.В. Сполдинга
[4]. Основу нашего метода составляет получен-
ный универсальный дискретный аналог уравнений
Навье-Стокса [2].
Цель данной работы состоит в применении это-
го метода для решения задачи о движении несжи-
маемой жидкости в плоском канале с односторон-
ним внезапным сужением его поперечного сече-
ния. Хотя расчет чисто ламинарного течения мо-
жет иметь ограниченную область прямого практи-
ческого использования, однако он позволяет со-
вершенствовать численные схемы расчета, кото-
рые затем обобщаются на расчеты турбулентных
режимов течения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим задачу о двумерном течении несжи-
маемой жидкости в плоском канале с внезапным
сужением его поперечного сечения в виде уступа.
Физическая схема рассматриваемого течения, кон-
фигурация расчетной области D1FEА и система
декартовых координат показаны на рис. 1.
Течение жидкости происходит слева направо.
Левая AB и правая CD1 границы расчетной обла-
сти считаются достаточно удаленными от сечения
с внезапным сужением C1FE, чтобы на них мож-
но было принять условия, соответствующие нево-
змущенному потоку. Внутри плоскопараллельного
канала течет жидкость с постоянными свойства-
ми. Течение является ламинарным. Ширина кана-
ла в левом входном сечении AB имеет размер h,
а в правом выходном сечении CD1 – размер h1.
Высота уступа FE равна b = h−h1. Предполагае-
тся, что во входном сечении канала AB выполняе-
тся условие полностью развитого течения и гори-
зонтальная скорость U имеет параболический про-
филь Пуазейля в виде
U(Y )|AB = 6(1− Y )Y, (1)
а вертикальная скорость V в этом сечении равна
нулю. Длина расчетной области L = X1 + X2, где
X1 – длина области перед уступом; X2 – длина
области над уступом.
Характерной особенностью течения в каналах
является то, что движение жидкости происходит
под действием продольного перепада давления.
Однако заданной величиной в рассматриваемой
задаче следует принять не перепад давления, а
расход жидкости Q = u0 ·h через поперечное сече-
ние канала AB. При такой постановке задачи чис-
ло Рейнольдса Re = u0 · h/ν задается, а давление
определяется в процессе решения задачи.
Для описания движения жидкости использу-
ются нестационарные уравнения Навье-Стокса
без каких-либо упрощающих предположений. При
введении безразмерных величин за масштаб дли-
ны принимается ширина канала h, за масштаб ско-
рости принята среднерасходная скорость в кана-
ле u0 = Q/h, за масштаб времени принята вели-
чина t0 = h/u0, а за масштаб давления принят
скоростной напор p0 = ρ0u
2
0. В безразмерных ве-
личинах Vi, P, Xi система нестационарных уравне-
ний Навье-Стокса с постоянными плотностью ρ0
и кинематической вязкостью. ν в консервативной
тензорной форме в прямоугольной декартовой си-
стеме координат записывается в виде
∂Vi
∂τ
= −
∂P
∂Xi
+
+
∂
∂Xk
[
−ViVk +
1
Re
(
∂Vi
∂Xk
+
∂Vk
∂Xi
)]
, (2)
∂Vk
∂Xk
= 0.
Здесь по повторяющемуся индексу подразуме-
вается суммирование. Такая компактная запись
исходных уравнений позволяет изучать и трехмер-
ные течения. Для рассматриваемой двумерной за-
дачи i, k = 1, 2; X1 = X; X2 = Y ; V1 = U ; V2 =
V. При этом U = u/u0; V = = v/u0; X =
x/h; Y = y/h; τ = tu0/h; P = = p/ρ0u
2
0.
Здесь U и V – горизонтальная и вертикальная
компоненты скорости соответственно.
Для завершения постановки задачи необходимо
задать начальные и краевые условия на всех гра-
4 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
ницах расчетной области ABD1FE. Предполага-
ется, что в начальный момент времени в расче-
тной области ABC1 горизонтальная скорость U
имеет параболический профиль Пуазейля в фор-
ме (1), а вертикальная скорость V и давление P
равны нулю. В области над уступом FC1CD1 го-
ризонтальная скорость имеет также параболиче-
ский профиль, который зависит от параметра B
и в соответствии с условием сохранения расхода
описывается следующим выражением:
U = 6
[
Y (1 + B) − Y 2 − B ]/(1 − B3).
Вертикальная скорость V и давление P в этой
области в начальный момент времени принимаю-
тся равными нулю. Граничные условия для скоро-
сти на входе уже рассматривались выше. На всех
неподвижных твердых стенках выполняются оче-
видные граничные условия прилипания U | = 0 и
непротекания V | = 0 , где – твердая граница. В
выходном сечении канала CD1 для горизонталь-
ной и вертикальной скоростей выполняются стан-
дартные "мягкие"условия Неймана.
Таким образом, решение системы уравнений (2)
будем искать в области 0 ≤ X ≤ L, 0 ≤ Y ≤ 1 с
начальными и граничными условиями в виде:
начальные условия:
U(X, Y, 0) = 6(1 − Y )Y, (0 ≤ < 1);
U(X, Y, 0) =
6[Y (1 + B) − Y 2 − B]
(1 − B3)
(1 ≤ < 2);
V (X, Y, 0) = 0, P (X, Y, 0) = 0 (0 ≤ < (1 + 2);
граничные условия:
U |AB = 6(1 − Y )Y ; U |BC = 0;
∂U
∂x
|CD1
= 0;
U |D1F = 0; U |FE = 0; U |EA = 0;
V |AB = 0; V |BC = 0;
∂V
∂x
|CD1
= 0; (3)
V |D1F = 0; V |FE = 0; V |EA = 0.
Основныe параметры задачи – число Рейнольд-
са и геометрическая высота уступа B = b/h. Сле-
дует подчеркнуть, что давление P в рассматривае-
мой системе уравнений не является основной пере-
менной ни в одном из этих уравнений. При нашем
подходе необходимое уравнение для определения
давления выводится из уравнения неразрывности
в виде уравнения типа Пуассона. При этом необхо-
димые для его решения значения давления в гра-
ничных узлах определяются с помощью уравнений
движения в комбинации с граничными условиями
для компонентов скорости [5]. В процессе реше-
ния задачи требуется определить поля скорости
и давления в расчетной области и оценить влия-
ние числа Рейнольдса и геометрического размера
уступа B на структуру течения в канале и протя-
женность зоны подпора, которая образуется перед
уступом. Стационарное течение в канале характе-
ризуется тем, что искомые переменные U, V, P не
зависят от времени.
2. РАЗНОСТНАЯ СЕТКА
Общий принцип используемого метода решения
уравнений Навье-Стокса рассмотрен в нашей ра-
боте [2]. Решение системы исходных нестационар-
ных уравнений (2) выполняется методом конечных
разностей на установление. Из-за сложностей со-
гласования полей скорости и давления для дис-
кретизации уравнений движения в X, Y направ-
лениях и уравнения неразрывности использова-
лась сетка с разнесенной структурой расположе-
ния сеточных узлов для зависимых переменных.
Это означает, что компоненты скоростей и давле-
ния определяются в различных узлах. Такой под-
ход аналогичен методам МАС [3], SIMPLE [4] и да-
ет определенные преимущества при расчете поля
давления [5]. Конечно-рзностные аппроксимации
рассматриваемых уравнений строятся на пятито-
чечном шаблоне в соответствии с известной схемой
"крест"[6].
Локальная геометрия расположения узлов се-
тки показана на рис. 1 нашей работы [2]. Сето-
чные функции давления P расположены в узлах
основной сетки S0(j, i, n). Сеточные функции ком-
понентов скоростей U и V определены в узлах
вспомогательных полуцелых сеток S1(j +1/2, i, n)
и S2(j, i + 1/2, n) соответственно:
S1(Xj+1/2, Yiτ
n), Xj+1/2 = (j + 1/2) · ∆x,
Yi = i ·∆y, τn = n · ∆τ,
S2(Xj , Yi+1/2, τ
n), Xj = j · ∆x,
Yi+1/2 = (i + 1/2) · ∆y, τn = n ·∆τ.
Шаги сеток hxj и hyi могут быть как равномер-
ными, так и переменными в обоих направлениях:
∆x = 0, 5(hxj + hxj+1), ∆y = 0, 5(hyj + hyj+1).
В соответствии с выбранным сеточным шабло-
ном вводятся следующие компактные обозначе-
ния:
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
P (Xi, Yi, τ
n) = P n
j,i,
U((j + 1/2) · ∆x, i · ∆y, n · ∆τ ) = Un
j+1/2,i,
V (j · ∆x, (i + 1/2) ·∆y, n · ∆τ ) = V n
j,i+1/2,.
3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ
Для конечно-разностной аппроксимации исходных
уравнений движения и неразрывности использу-
ются неявный метод и обычные схемы первого
порядка точности для производных по времени
и второго порядка точности для производных по
пространству. При этом диффузионные слагаемые
аппроксимируются по схеме с центральными ра-
зностями, а для конвективных слагаемых исполь-
зуются схемы с односторонними разностями "про-
тив потока". Особенностью дискретизации явля-
ется то, что конечно-разностная аппроксимация
центрируется в соответствии с выбранным шабло-
ном. При этом сеточные индексы для зависимых
переменных оказываются сдвинутыми.
Подстановка конечно-разностных формул в
исходную систему уравнений движения позволя-
ет записать их дискретные аналоги для X и Y
направлений. Эти уравнения, после соответствую-
щей групировки слагаемых, дополненные уравне-
нием неразрывности, имеют следующий конечно-
разностный вид:
dU
j+1/2,iU
n+1
j+1/2,i + cU
1 Un+1
j+3/2,i + cU
0 Un+1
j−1/2,i+
+bU
1 Un+1
j+1/2,i+1
+ bU
0 Un+1
j+1/2,i−1
= (4)
= −∆y(P n+1
j+1,i − P n+1
j,i ) + fU ,
dV
j,i+1/2V
n+1
j,i+1/2
+ cV
1 V n+1
j,i+3/2
+ cV
0 V n+1
j,i−1/2
+
+bV
1 V n+1
j+1,i+1/2
+ bV
0 V n+1
j−1,i+1/2
= (5)
= −∆x(P n+1
j,i+1 − P n+1
j,i ) + fV ,
Un+1
j+1/2,i
− Un+1
j−1/2,i
∆x
+
V n+1
j,i+1/2
− V n+1
j,i−1/2
∆y
= 0, (6)
где коэффициенты дискретизации
dj+1/2,i, dj,i+1/2, c1, c0, b1, b0 и свободные члены f с
верхними индексами U, V являются известными
величинами по данным с предыдущего шага
и находятся по определенным алгебраическим
формулам.
Хотя полученная система уравнений (4)-(6) –
основная, однако она пока незамкнута, так как со-
держит неизвестное давление.
4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ
В данной работе в качестве вычислительной схе-
мы для определения давления будем следовать из-
вестной процедуре SIMPLE[4] и преобразуем урав-
нения (4) и (5) к следующему виду:
dU
j+1/2,iU
n+1
j+1/2,i =
= −∆y
(
P n+1
j+1,i − P n+1
j,i
)
+ GU
j+1/2,i; (7)
dV
j,i+1/2V
n+1
j,i+1/2
=
= −∆x
(
P n+1
j,i+1
− P n+1
j,i
)
+ GV
j,i+1/2
, (8)
где выражения GU
j+1/2,i и GV
j,i−1/2
известны, так
как они зависят от скоростей с предыдущего шага
n. Далее для получения необходимого уравнения
для давления на (n+1) шаге используем уравнение
неразрывности (6). Учитывая его структуру, пред-
варительно в выражениях (7) и (8) для скоростей,
понизим индексы j и i на единицу соответственно.
Тогда получим необходимые выражения для соо-
тветствующих компонентов скоростей в виде:
Un+1
j−1/2,i =
[
−∆y
(
P n+1
j,i − P n+1
j−1,i
)
+ GU
j−1/2,i
]
dU
j−1/2,i
, (9)
V n+1
j,i−1/2
=
[
−∆x
(
P n+1
j,i − P n+1
j,i−1
)
+ GV
j,i−1/2
]
dV
j,i−1/2
. (10)
Подставляя значения соответствующих компо-
нентов скорости в уравнение неразрывности (6),
получим выражение, в котором неизвестными ве-
личинами являются лишь сеточные функции дав-
ления в узле с номером (j, i) и окружающих его со-
седних узлах. Выполнив простые преобразования,
после группировки соответствующих слагаемых
получим следующий конечно-разностный аналог
для вычисления сеточных функций давления:
dP
j,iP
n+1
j,i + cP
1 P n+1
j+1,i + cP
0 P n+1
j−1,i+
+bP
1 P n+1
j,i+1 + bP
0 P n+1
j,i−1 = fP , (11)
где свободный член fP известен, а коэффициенты
дискретизации dP
j,i, c
P
1 , cP
0 , bP
1 , bP
0 определены соо-
тношениями:
cP
1 = −
hy1
hx1
1
dU
j+1/2,i
; cP
0 = −
hy1
hx1
1
dU
j−1/2,i
;
6 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
bP
1 = −
hx1
hy1
1
dV
j,i+1/2
; bP
0 = −
hx1
hy1
1
dV
j,i−1/2
; (12)
dP
j,i = −cP
1 − cP
0 − bP
1 − bP
0 ,
hx1 = (hxj + hxj+1), hy1 = (hyj + hyj+1).
Полученное разностное уравнение для давления
(11) является замаскированным уравнением Пуас-
сона и представляет собой систему линейных ал-
гебраических уравнений. Используя уравнения (7)
и (8), выпишем выражения для компонентов ско-
рости на (n+1) шаге, явно связывающие их с дав-
лением, в следующем окончательном виде:
Un+1
j+1/2,i =
[
∆y
(
P n+1
j,i − P n+1
j+1,i
)
+ GU
j+1/2,i
]
dU
j+1/2,i
; (13)
V n+1
j,i+1/2
=
[
∆x
(
P n+1
j,i − P n+1
j,i+1
)
+ GV
j,i+1/2
]
dV
j,i+1/2
. (14)
Система уравнений (11), (13), (14) связывает
давление со скоростями на (n+1) шаге по времени
и является фундаментальным результатом, пред-
ставляющим универсальный дискретный аналог
системы общих уравнений движения несжимае-
мой жидкости. Совершенно очевидно, что решение
рассматриваемых систем алгебраических уравне-
ний значительно проще, чем исходных интеграль-
ных или дифференциальных уравнений. Отметим,
что уравнение Пуассона для давления фактиче-
ски заменяет уравнение неразрывности и система
уравнений оказывается замкнутой.
Хотя общее число уравнений, подлежащих ре-
шению, значительно возросло, но на современном
этапе развития вычислительной техники это уже
не принципиально, так как для решения таких си-
стем алгебраических уравнений разработаны эф-
фективные итерационные методы.
5. ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ
Важной особенностью полученного стационарного
разностного уравнения для давления (11) являе-
тся то, что благодаря использованию разнесенных
сеток граничные условия для его решения могут
быть определены из уравнений движения (13) и
(14) в комбинации с граничными условиями для
компонентов скоростей [5]. В настоящем методе
компоненты скорости и давления расщеплены так,
что на любом этапе расчета решаются уравнения
относительно одной зависимой переменной. Это
упрощает применение стандартных методов реше-
ния систем линейных алгебраических уравнений
полученного вида.
В нашем случае эффективным способом ре-
шения рассматриваемого двумерного разностного
уравнения второго порядка для давления являе-
тся его редукция к двум одномерным системам
уравнений второго порядка с трехдиагональными
матрицами, которые решаются методом "прогон-
ки" [6]. В зарубежной литературе его часто на-
зывают алгоритмом Томаса [7].
В данном методе расчеты проводятся для двух
основных физических переменных – скорости,
давления. Итерационный вычислительный про-
цесс состоит из шагов по времени. Уравнение
для давления решаeтся на каждом временном
шаге. В начале каждого временного цикла
предполагаются известными поля скорости и
давления. Вычислительная процедура расчета
каждого шага по времени разбивается на три
этапа и выполняется в следующей последова-
тельности. На первом этапе при заданных на
предыдущем временном шаге значениях Un
j+1/2,i
и V n
j,i+1/2
по соответствующим алгебраическим
формулам рассчитываются коэффициенты дис-
кретизации GU
j+1/2,i(U
n, V n), GV
j+1/2,i(U
n, V n),
dU
j+1/2,i(U
n, V n), dV
j,i+1/2
(Un, V n), dP
j,i,
cP
1 , cP
0 , bP
1 , bP
0 , включая свободный член
fp(j, i). На втором этапе, зная коэффициенты
уравнения Пуассона, путем его решения нахо-
дится поле давления P n+1
j,i . Далее, на третьем
этапе, зная коэффициенты дискретизации и
поле давления P n+1
j,i , по уравнениям (13), (14),
рассчитываются поля скорости Un+1
j+1/2,i
V n+1
j,i+1/2
на
(n + 1) шаге. На этом первый временной цикл
заканчивается, и далее он повторяется. Задача
решается на установление. Критерием окончания
решения служит заданный временной интервал
или условие, когда максимальная разность между
значениями искомых переменных на предыдущем
и следующем временном шаге не превышает
заданную величину ошибки ε.
Используемая конечно-разностная схема аппро-
ксимирует рассматриваемые уравнения с первым
порядком точности по времени и со вторым по-
рядком точности по пространственным перемен-
ным O(∆τ, h2) и можно показать, что она устой-
чива [8]. На каждом шаге по времени контролируе-
тся сходимость расчетов как основных уравнений,
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
так и граничных условий. Алгоритм решения на
установление позволяет получить как стационар-
ное решение, так и исследовать эволюцию течений
во времени.
Важным моментом расчетов является переход
в граничных условиях для U и V к конечным
разностям и контроль за выполнением уравне-
ния неразрывности. Описанный алгоритм реше-
ния системы двумерных нестационарных урав-
нений Навье-Стокса реализован в виде компью-
терной программы UDAMEL (Universal Discrete
Analogue Momentum Equation Liquid), которая по-
зволяет решать эволюционную задачу гидродина-
мики ламинарных течений.
6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Решение задачи начинается с удовлетворения на-
чальных условий для скорости и давления. Да-
лее итерационным методом решается система ал-
гебраических уравнений до получения сходящего-
ся решения. Некоторые результаты расчетов кине-
матической структуры течения в плоском канале
с внезапным сужением представлены ниже на соо-
тветствующих рисунках. Основные численные ра-
счеты были проведены для высоты уступа B=0.4
при пяти различных числах Рейнольдса (Re =100,
400, 600, 800, 1000) на равномерных сетках с ша-
гами по X и Y , равными 0.02. Шаг по времени
и длина расчетной области варьировались в зави-
симости от числа Рейнольдса. Естественно, были
выполнены расчеты и для других значений пара-
метра B, но здесь они не обсуждаются вследствие
ограниченности объема статьи.
На рис. 2 приведены результаты расчетов в ви-
де векторного поля скоростей в расчетной области
канала с высотой уступа B=0.4 при пяти числах
Рейнольдса. Наглядно видно изменение картин ве-
кторного поля скоростей в зависимости от числа
Рейнольдса при заданном параметре сужения ка-
нала, а также то, что при Re=100 в области перед
уступом вихреобразование только зарождается.
С ростом числа Рейнольдса кинематическая
структура потока в этой области изменяется и при
Re=400 появляются четкие признаки зарождения
вихря в угловой области с направлением вращения
по часовой стрелкe. При числах Re=800 и Re =
1000 в угловой области четко наблюдаются малые
вихри с тем же направлением вращения жидкости.
Кроме того, видно, что в ближней области над
угловой точкой уступа проявляются эффекты за-
рождения отрыва потока.
С целью полноты представления картины ско-
ростного поля в канале с внезапным сужением
на рис. 3 приведены расчетные профили горизон-
тальной скорости U(Y )в различных сечениях ка-
нала по оси при пяти числах Рейнольдса. Расче-
ты показывают, что при рассмотренных умерен-
ных числах Рейнольдса течение остается устано-
вившимся в предположении, что входной профиль
скорости является параболическим.
Наряду с векторным полем скоростей на рис. 4
приведены данные расчетов в виде изолиний рав-
ных скоростей при B=0.4 для пяти различных чи-
сел Рейнольдса.
Их расположение, подобно функции тока, на-
глядно показывает особенности движения жидко-
сти в канале с внезапным односторонним сужени-
ем. Нетрудно видеть, что при числах Re < 400 вяз-
кие эффекты являются преобладающими и скоро-
стная структура течения во всей расчетной обла-
сти безвихревая и определяется параболическим
профилем продольной скорости.
Начиная с Re≥ 400, непосредственно перед усту-
пом в угловой области проявляются эффекты за-
рождения вихревых образований. Их наличие и
формирует "застойную зону"перед уступом. На
рис. 4 легко видеть, что линия, отделяющая зону
подпора от основного потока, носит вогнутый ха-
рактер, а значение координаты "замыкания"этой
линии на вертикальную стенку уступа зависит от
числа Рейнольдса. Численные расчеты показали,
что с ростом числа Рейнольдса горизонтальный
размер этой зоны увеличивается, но он небольшой
и при Re=1000 составляет 1.025 от высоты уступа.
На рис. 5 приведена расчетная зависимость дли-
ны зоны подпора XP = xP /h и LP = XP /B в за-
висимости от числа Рейнольдса при B=0.4. В ка-
честве критерия определения координаты XP при-
нималось то значение координаты X, при котором
ближайшее к нижней стенке AE значение U(Y )
меняло свой знак.
В целом полученные результаты расчетов полей
скорости в области внезапного сужения попереч-
ного сечения плоского канала хорошо согласуются
с известными представлениями картины течения,
наблюдаемой в физических и численных экспери-
ментах [1]. Однако, наряду с этим на верхней стен-
ке уступа FD1 вблизи угла наблюдается ускорение
потока, которое стимулирует процесс зарождения
отрыва потока, но при числах Re≤ 1000 он еще не
происходит.
Использование в данной работе универсально-
го дискретного аналога системы уравнений Навье-
Стокса в переменных скорость–давление позволя-
ет, в отличие от предшествующих работ этого на-
правления, рассчитать значения полей давления.
8 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 2. Расчетное векторное поле скоростей в плоском внезапно сужающемся канале (B=0.4) при Re =100,
400, 600, 800, 1000
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 9
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 3. Расчетные профиля горизонтальных скоростей в различных сечениях оси в плоском внезапно
сужающемся канале (B=0.4) при Re =100, 400, 600, 800, 1000
10 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 4. Расчетные изолинии равных скоростей в плоском внезапно сужающемся канале (B=0.4) при Re=100,
400, 600, 800, 1000
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 5. Расчетная зависимость длины зоны подпора XP = xP /h и LP = XP /B в плоском канале с внезапным
сужением в зависимости от числа Рейнольдса при B=0.4
Результаты расчетов, относящиеся к распределе-
нию поля давления, представлены на рис 6–9.
В качестве первого примера на рис. 6 приведены
результаты расчетов поля давления в виде изоли-
ний коэффициента давления CP
CP =
p − p1
ρu2
0
/2
для высоты уступа B=0.4 при пяти различных чи-
слах Рейнольдса (Re =100, 400, 600, 800, 1000).
Здесь p1 – характерное давление в середине вхо-
дного сечения канала. Из рисунка видно, что для
Re≥ 400 при ламинарном режиме обтекания усту-
па, обращенного навстречу потоку, вниз по пото-
ку на достаточном удалении от сечения с суже-
нием имеются области с постоянным давлением
по вертикали. На участке вблизи внешнего угла
уступа существует область, где изолинии давле-
ния носят сложный веерный характер, а угол усту-
па является как бы источником возмущения поля
давления. Эта картина имеет место при различ-
ных числах Рейнольдса. Таким образом, из расче-
тов следует, что при умеренных числах Рейнольд-
са (Re≤ 1000) установление течения в зоне подпо-
ра перед уступом происходит монотонно. Набегаю-
щий на вертикальную стенку поток создает на ней
повышенное давление, которое затем распростра-
няется навстречу потоку и формирует его стру-
ктуру в зоне подпора.
Обратимся теперь к рассмотрению результатов
расчета локальных значений давления на трех
характерных границах расчетной области. Сюда
относится участок верхней стенки канала C1C,
давление вдоль оси X на высоте уступа (Y =
0.4), то есть в сечении A1FD1, и давление вдоль
вертикальной стенки уступа, то есть в сечении
C1FE(X = 2).
Характер изменения давления вдоль вертикаль-
ной стенки уступа (0 ≤ Y ≤ 0.4) при различных
числах Re и B = 0.4 приведен на рис. 7. Как и сле-
довало ожидать, на этом участке давление вбли-
зи нижней стенки канала сначала постоянно, а за-
тем по мере приближения значений Y к коорди-
нате Y = 0.4 давление резко уменьшается. В це-
лом давление в зоне подпора несколько выше, чем
в основном потоке канала на этой вертикали. На
участке течения в канале в вертикальном сечении
C1F давление вблизи верхней стенки канала то-
же сначала постоянно, а затем по мере прибли-
жения к уступу (Y = 0.4) плавно уменьшается и
сравнивается с локальным давлением в зоне под-
пора в этой точке. Нетрудно заметить, что харак-
тер распределения давления по вертикали в сече-
нии X = 2, приведенный на рис. 7, при различных
числах Рейнольдса одинаков, но отличается вели-
чиной коэффициента давления.
На рис. 8 представлено расчетное распределение
давления вдоль оси X на верхней стенке канала
C1C при B = 0.4 для четырех значений числа Рей-
нольдса. Как видно из рисунка, вначале (X ≤ 2)
давление монотонно убывает подобно давлению в
прямолинейном канале без уступа, однако в обла-
сти расположения уступа, в силу сохранения ра-
схода, поток ускоряется и давление падает интен-
сивнее в зависимости от параметров B и Re, а за-
тем, по мере удаления от сечения с уступом, дав-
ление снова падает монотонно.
На рис. 9 приведены кривые, которые соответ-
ствуют расчетному распределению коэффициен-
та давления Cp вдоль оси X на высоте уступа
(Y = 0.4), то есть в сечении A1FD1.
Расчеты показывают, что сначала на участке
12 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 6. Расчетное поле давления в виде изолиний коэффициентов в плоском внезапно сужаяющемся канале
(B=0.4) при Re=100, 400, 600, 800, 1000
A1F давление остается постоянным при всех че-
тырех числах Рейнольдса. Далее при приближе-
нии к угловой верхней точке уступа, в силу умень-
шения поперечного сечения канала и ускорения
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 13
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
Рис. 7. Распределение коэффициента давления p по оси Y в сечении внезапного сужающегося канала EFC1
при Re=100, 200, 400, 600 и B=0.4
Рис. 8. Распределение коэффициента давления С по оси на верхней стенке C1C внезапно сужающегося
канала для Re=100, 200, 400, 600 при B=0.4
Рис. 9. Распределение коэффициента давления вдоль оси на высоте уступа (Y =0.4) в канале с внезапным
сужением для Re=100, 200, 400, 600 при B=0.4
потока, давление при всех четырех числах Рей-
нольдса резко падает, а затем снова незначительно
повышается и далее плавно переходит к монотон-
ному падению, соответствующему характеру тече-
ния в плоском канале без уступа. Общий анализ
расчетных кривых показывает, что изменение дав-
ления на участке A1F практически не звисит от
числа Рейнольдса, а на участке FD1 такая зави-
симость наблюдается.
14 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 3 – 15
ВЫВОДЫ
С помощью универсального дискретного аналога
системы нестационарных уравнений Навье-Стокса
численно исследованы особенности течения в пло-
ском канале с внезапным сужением для высоты
уступа B=0.4 при малых и умеренных числах Рей-
нольдса. Основные результаты систематических
расчетов детальной структуры полей скорости и
давления в зоне внезапного сужения канала широ-
ко представлены в графическом виде. Построена
зависимость протяженности зоны подпора потока
перед уступом при различных числах Рейнольд-
са. Показано, что используемый универсальный
дискретный аналог уравнений ламинарных тече-
ний обеспечивает высокое качество моделирова-
ния сложных течений с вихреобразованием и яв-
ляется эффективным инструментом для расчетов
сложных течений.
1. Чжен П. Отрывные течения.– М.: Мир, 1972-1973.
– Т. 1.– c.300; Т. 2. – c. 280; Т. 3.– c. 354.
2. Бруяцкий Е.В., Костин А.Г., Никифорович Е.И.,
Розумнюк Н.В. Метод численного решения урав-
нений Навье-Стокса в переменных скорость-
давление // Прикладна гiдромеханiка.– 2008.–
10(82).– P. N2.13-23
3. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках
для задач гидродинамики; Вычислительные мето-
ды в гидродинамике.– М.: Мир, 1967.– 316–342 с.
4. Патанкар С. Численные методы решения задач те-
плообмена и динамики жидкости.– М.: Энергоато-
миздат, 1984.– 152 с.
5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике
жидкостей.– М.: Мир, 1991.– 1.-501c.; 2.-552 с.
6. Самарский А.А. Теория разностных схем.– М.: На-
ука, 1977.– 656 с.
7. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычи-
слительная гидромеханика и теплообмен.– М.:
Мир, 1990.– Т. 1.– c. 384; Т. 2.– c. 392.
8. Белоцерковский О.М. Численное моделирование
в механике сплошных сред, 2-е изд., перераб. и
доп..– М.: Физматлит, 1994.– 448 с.
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 15
|