Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости

Рассматривается задача о распространении волновых пакетов на границе раздела двух жидких слоев с разной плотностью. Жидкость предполагается идеальной несжимаемой, на поверхности раздела учитывается поверхностное натяжение. Проводится анализ влияния геметрических и физических параметров на асимметрию...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Авраменко, О.В., Гуртовый, Ю.В., Селезов, И.Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Прикладна гідромеханіка
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87684
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости / О.В. Авраменко, Ю.В. Гуртовый, И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 3-8. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87684
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-876842015-10-24T03:01:37Z Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. Селезов, И.Т. Рассматривается задача о распространении волновых пакетов на границе раздела двух жидких слоев с разной плотностью. Жидкость предполагается идеальной несжимаемой, на поверхности раздела учитывается поверхностное натяжение. Проводится анализ влияния геметрических и физических параметров на асимметрию гребней и подошв волновых пакетов. Показано, что учет второго приближения приводит к возникновению асимметрии гребней и подошв. В частности, в случае модуляционной неустойчивости имеет место затупление или заострение огибающих. Розглянуто задачу про поширення хвильових пакетiв на межi роздiлу двох рiдких шарiв з рiзною густиною. Рiдина вважається iдеальною нестисливою, на поверхнi роздiлу враховується поверхневий натяг. Проводиться аналiз впливу геoметричних та фiзичних параметрiв на асиметрiю гребенiв i пiдошв хвильових пакетiв. Показано, що врахування другого наближення призводить до появи асиметрiї гебенiв i пiдошв. Зокрема, у випадку модуляцiйної нестiйкостi має мiсце затуплення обо загострення огинаючих. The problem of wave packets propagation at the interface between the two liquid layers of different densities, is considerwd. The liquid is assumed to be ideal and incompressible and the surface tension is taken into account at the interface. The analysis of the influence of geometric and physical parameters on the crest and bottom scewness of wave packets. It is shown that taking into account the second approximation leads to apperance of the scewness of crests and bottoms. In particular, in the case of modulation instability, the blunting or sharpening of envelope takes place. 2009 Article Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости / О.В. Авраменко, Ю.В. Гуртовый, И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 3-8. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87684 532.59 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается задача о распространении волновых пакетов на границе раздела двух жидких слоев с разной плотностью. Жидкость предполагается идеальной несжимаемой, на поверхности раздела учитывается поверхностное натяжение. Проводится анализ влияния геметрических и физических параметров на асимметрию гребней и подошв волновых пакетов. Показано, что учет второго приближения приводит к возникновению асимметрии гребней и подошв. В частности, в случае модуляционной неустойчивости имеет место затупление или заострение огибающих.
format	Article
author	Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. Селезов, И.Т.
spellingShingle	Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. Селезов, И.Т. Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости Прикладна гідромеханіка
author_facet	Авраменко, О.В. Гуртовый, Ю.В. Селезов, И.Т.
author_sort	Авраменко, О.В.
title	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости
title_short	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости
title_full	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости
title_fullStr	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости
title_full_unstemmed	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости
title_sort	характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87684
citation_txt	Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости / О.В. Авраменко, Ю.В. Гуртовый, И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 3-8. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT avramenkoov harakternyesvojstvarasprostraneniâvolnovyhpaketovvdvuhslojnojžidkosti AT gurtovyjûv harakternyesvojstvarasprostraneniâvolnovyhpaketovvdvuhslojnojžidkosti AT selezovit harakternyesvojstvarasprostraneniâvolnovyhpaketovvdvuhslojnojžidkosti
first_indexed	2025-07-06T15:21:32Z
last_indexed	2025-07-06T15:21:32Z
_version_	1836911489208811520
fulltext	НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 3 – 8 УДК 532.59 ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ О. В. А В РА МЕН К О∗, Ю. В. Г У РТО В ЫЙ,∗ И. Т. С ЕЛ ЕЗ ОВ∗∗ ∗ Кировоградский государственный педагогический университет ∗∗ Институт гидромеханики НАН Украины Получено 10.10.2008 Рассматривается задача о распространении волновых пакетов на границе раздела двух жидких слоев с разной плотностью. Жидкость предполагается идеальной несжимаемой, на поверхности раздела учитывается поверхно- стное натяжение. Проводится анализ влияния геметрических и физических параметров на асимметрию гребней и подошв волновых пакетов. Показано, что учет второго приближения приводит к возникновению асимметрии гребней и подошв. В частности, в случае модуляционной неустойчивости имеет место затупление или заострение огибающих. Розглянуто задачу про поширення хвильових пакетiв на межi роздiлу двох рiдких шарiв з рiзною густиною. Рi- дина вважається iдеальною нестисливою, на поверхнi роздiлу враховується поверхневий натяг. Проводиться аналiз впливу геoметричних та фiзичних параметрiв на асиметрiю гребенiв i пiдошв хвильових пакетiв. Показано, що вра- хування другого наближення призводить до появи асиметрiї гебенiв i пiдошв. Зокрема, у випадку модуляцiйної нестiйкостi має мiсце затуплення обо загострення огинаючих. The problem of wave packets propagation at the interface between the two liquid layers of different densities, is considerwd. The liquid is assumed to be ideal and incompressible and the surface tension is taken into account at the interface. The analysis of the influence of geometric and physical parameters on the crest and bottom scewness of wave packets. It is shown that taking into account the second approximation leads to apperance of the scewness of crests and bottoms. In particular, in the case of modulation instability, the blunting or sharpening of envelope takes place. ВВЕДЕНИЕ Изучению внутренних волн конечной амплиту- ды большое внимание уделялось в работах Бен- ни [10], Бенджамина [9], Онo [7], Девиса и Акриво- са [13], Кубота, Ко и Добс [16] и др. Большинство работ связано с анализом волновых движений в системах, где внутренние волны являются слабо- нелинейными и длинными по отношению к пол- ной толщине жидких слоев. Такое моделирование приводит к уравнениям типа Кортевега-де Ври- за, описывающим эволюцию волновых движений и основанным на балансе между нелинейностью и дисперсией. Эти уравнения достаточно хорошо изучены, найдены методы построения точных ре- шений для произвольно определенных начальных условий (Сегур [20]). Дополнительно к классиче- ским теориям мелкой воды был проведен анализ нелинейных внутренних волн в бесконечной жид- кости (Бенджамин [9]; Оно [7]). Здесь длина вол- ны отнесена к верхнему слою термоклина, а не к полной глубине жидкости. В этой гидродинамиче- ской системе "слой–полупространство" проблема дисперсии учтена таким образом, что эволюцион- ное уравнение содержит дисперсионный член, ко- торый является преобразованием Гильберта. Кубота [16] вывел эволюционное уравнение, ко- торое интерполирует ситуацию между мелкой и глубокой водой. Это уравнение справедливо при толщине верхнего слоя значительно меньшей, чем вся глубина. Оно имеет дисперсионный член в виде трансцендентного интегрального оператора, который приводится или к третьей производной уравнений Кортевега-де Вриза, или к преобразо- ванию Гильберта для мелкой и глубокой воды со- ответственно. Выделим некоторые более поздние работы, ка- сающиеся проблемы нелинейных явлений в жид- кости: Г.Сегур и Дж.Хаммак [21], Г.Йен и Б.Лейк [24], М.Абловиц и Г.Сегур [6], Дж.Уизем [4], П.Бхатнагар [11], И.Т.Селезов и С.В.Корсунский [22]. Статья Найфэ [19] содержит обстоятельный анализ волновых движений на поверхности кон- такта двух полубесконечных жидкостей с учетом поверхностного натяжения. Аналогичная задача о распространении волновых пакетов на поверхно- сти контакта жидкого полупространства и жид- кого слоя над ним изучалась в [8], где обсужда- лась проблема устойчивости волновых пакетов в системе "слой–полупространство" методом много- масштабных разложений до третьего порядка. Отметим также некоторые из исследований дву- хслойных систем, опубликованые в последнее вре- мя. В статье Бьюика и Мартина [12] представлено физико-математическое моделирование внутрен- них волн на границе раздела двух вязких несжи- маемых слоев. Результаты моделирования волно- вых движений сравнивались с полученными в ла- бораторных условиях, и установлено достаточно хорошое соответствие теоретических и экспери- c© О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, И. Т. Селезов, 2009 3 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 3 – 8 ментальных результатов. Заслуживают внимания также теоретические исследования Чоя и Камас- сы [14], где решаются модельные уравнения, выве- денные из уравнений Эйлера. Они описывают эво- люцию внутренних гравитационных волн в невяз- кой и несжимаемой двухслойной жидкости, при- чем никакие ограничения на амплитуду не накла- дываются. Эти же исследователи указали области пригодности асимптотических приближений для сильнонелинейных волновых пакетов внутренних волн в системе “слой–слой” [2, 15]. Таким образом, анализ нелинейного распростра- нения волн в стратифицированных системах пред- ставляет собой важную проблему. Отметим, что несмотря на интенсивность исследований, задача о распространении внутренних волн решена да- леко не полностью. Во многих работах выведены эволюционные уравнения в предположении, что характерная длина волны является большой по сравнению с толщиной жидкостей. Но длины волн могут быть не только большими, но и малыми или сравнимыми с параметрами жидкости. Поэто- му решенные в рамках разных моделей задачи о распространении внутренних волн не охватывают всех явлений и эффектов, которые наблюдаются в действительности. В настоящей работе рассматривается распро- странение нелинейных волновых пакетов с дли- нами волн, которые меньше или сравнимы с то- лщиной слоев, а также качественно и количествен- но анализируется их устойчивость и зависимость формы от физических и геометрических параме- тров системы. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается распространение волновых па- кетов в системе “слой-слой”. Верхняя и нижняя жидкости предполагаются идеальными и несжи- маемыми и учитываются силы поверхностного на- тяжения. Волновые движения рассматриваются потенциальными и характеризуются малой, но ко- нечной амплитудой (рис. 1). Математическая мо- дель задачи о распространении волновых паке- тов вдоль поверхности контакта двух жидких сло- ев Ω1 = {(x, y, z) : \|x\| < ∞,−h1 ≤ z < 0} и Ω2 = {(x, y, z) : \|x\| < ∞, 0 ≤ z ≤ h2} с плотностями ρ1 и ρ2, определяется системой, которая включает уравнения Лапласа для потенциалов скоростей ϕ1 и ϕ2 каждого из слоев, кинематические и динами- ческие условия и граничные условия на верхней и нижней твердых крышках. Вводятся безразмерные величины с помощью характерной длины L, которая равна толщине Рис. 1. Геометрия задачи верхнего слоя, максимального отклонения поверх- ности раздела a, характерного времени (L/g)1/2, плотности нижней жидкости ρ1, где g – ускоре- ние свободного падения. Безразмерный коэффи- циент поверхностного натяжения при этом имеет вид T ∗ = T/(L2ρg) (звездочка опущена). Матема- тическая постановка задачи имеет вид ∇2ϕj = 0 в Ωj, η,t − ϕj,z = −αϕj,xη,x на z = αη (x, t) , ϕ1,t − ρϕ2,t + (1 − ρ) η + 1 2 α [ (∇ϕ1) 2 − ρ (∇ϕ2) 2 ] − −T ( 1 + α2η2 ,x )−3/2 η,xx = 0 на z = αη (x, t) , ϕ1,z = 0 при z = −h1, ϕ2,z = 0 при z = h2, где j = 1, 2, ρ = ρ2/ρ1 – отношение плотностей верхнего и нижнего слоев; α = a/L – коэффици- ент нелинейности; η(x, t) – отклонение поверхно- сти контакта. 2. АНАЛИЗ МОДУЛЯЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Для определения приближенного решения зада- чи для малых, но конечных амплитуд, применялся метод многомасштабных разложений: η(x, t) = 3∑ n=1 αn−1ηn(x0, x1, x2, t0, t1, t2) + O(α3), ϕj(x, z, t)= 3∑ n=1 αn−1ϕjn(x0, x1, x2, z, t0, t1, t2)+O(α3), где xn = αnx, tn = αnt – масштабные переменные. 4 О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, И. Т. Селезов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 3 – 8 На основе решений, полученных данным мето- дом [2], выведено нелинейное уравнение Шредин- гера для огибающей волнового пакета в системе “слой-слой” во втором приближении A,t + ω′A,x − 0.5iω′′A,xx = = −ikω−1α2(cthkh1 + ρcthkh2) −1IA2A, (1) где I = 0.5{Λω2[3cth2kh2 − 1 − ρ(3cth2kh2 − 1)]− −1.5Tk4 + 2kω2[(2cthkh1 − cth3kh1)+ +ρ(2cthkh2 − cth3kh2)] − (2) − ω4 (1 − ρ) (1 − cth2kh1 − ρ(1 − cth2kh2)) 2}, где k – волновое число; ω – частота центра вол- нового пакета. Далее переходим к системе коор- динат, которая движется с групповой скоростью ω′ = dω dk , и нормируем уравнение (1) с помощью формул X = x − ω′t, ω′′t 2 = T, √ α2I0 ωω′′ A = r. В результате нелинейноe уравнение Шрединге- ра можно представить в каноническом виде: r,T − ir,XX = 2isr2r, где s=sign(I0ω ′′). Это дает возможность использо- вать результаты решенной обратной задачи рас- сеяния задачи для канонического вида уравнения [1]. При этом условие неустойчивости имеет вид I0ω ′′ > 0, (3) где I0 = −k(cthkh1 +ρcthkh2) −1I. Модуляционная неустойчивость (неустойчивость Бенджамина– Фейра) [5] имеет место во многих физических системах (нелинейная оптика, волны в плазме). При данной неустойчивости уравнение Шредин- гера имеет решение в виде солитонов огибающей или групповых солитонов [1]. В системе (k, ρ) найдены кривые, которые устанавливают пре- делы областей модуляционной устойчивости и неустойчивости, и определяются соотношениями I0ω ′′ = 0, I0ω ′′ → ∞ [3]. При формировании волн нелинейность и дисперсия противодействуют друг другу и огибающая пакета волн модулируется в солитоны, после чего происходит баланс нелиней- ности и дисперсии. Огибающая такого солитона описывается гиперболическим секансом: A(x, t) = 2iδ √ ωω′′ α2I0 × × exp [ −2iϑ(x − ω′t) − 4i(ϑ2 − δ2)t − iϕ0 ] ch 2δ [x − (ω′ − 4ϑ)t − x0] , (4) где ϕ0 и x0 – начальные фазы, δ определяет ам- плитуду и ширину солитона, а ϑ – скорость. Пара- метры солитона определяются начальными усло- виями A(x, 0). Солитоны огибающей (4) представ- ляют собой конечную форму эволюции волн при условии, что в начале был ограниченный в про- странстве волновой пакет. При этом, они устойчи- вы относительно взаимодействий с другими волно- выми пакетами. Скорость распространения такого солитона не зависит от амплитуды. Итак, если условие модуляционной неустойчи- вости (3) выполняется, то начальный волновой па- кет распадается на совокупность солитонов огиба- ющей (4). В этом случае подстановка (4) в выраже- ние для отклонения поверхности контакта жидких сред дает разложение η(x, t) по малому параметру в виде η(x, t) = δ √ ωω” α2I0 cos(ǩx − ω̌t − iϕ0) ch 2δ [x − (ω′ − 4ϑ)t − x0] + + δ2ωω” αI0ch 22δ [x − (ω′ − 4ϑ)t − x0] × × [ ω2 [ 1 − cth2kh1 − ρ(1 − cth2kh2) ] 1−ρ + +0.5Λ cos2(ǩx − ω̌t) ] + O(α), (5) где ǩ = k − 2ϑ, ω̌ = ω − 2ϑω′ + 4(ϑ2 − δ2). В слу- чае же модуляционной устойчивости, если подста- вить простейшее решение A = a exp(iα2ω−1I0a 2t) в выражение для отклонения поверхности конта- кта жидких сред, то разложение η(x, t) по малому параметру во втором приближении имеет вид: η(x, t) = a cos(kx − ω̂t)+ +αa2 (ω2(1 − cth2kh1 − ρ(1 − cth2kh2)) 1−ρ + +0.5Λ cos 2(kx− ω̂t) ) + O(α2), (6) где ω̂ = ω − α2ω−1a2I0. 3. АНАЛИЗ ФОРМЫ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА 3.1. Области с различной формой волн В статье [2] проведен первичный анализ формы волнового пакета. Во втором приближении она определяется формулами (5)–(6). Легко видеть, что для определения формы поверхности контакта О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, И. Т. Селезов 5 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 3 – 8 Рис. 2. Области с различной формой волн при толщине нижнего слоя h2 = 1 и толщинах верхнего слоя: а – h1 = 10, б – h1 = 2 η (x, t) важен знак величины Λ Λ1 Λ2 , который изме- няется при переходе через кривую L1, вдоль кото- рой Λ (ρ, k, h) = 0, или при переходе через кривую L2, вдоль которой Λ (ρ, k, h) → ∞. Уравнения этих кривых в неявной форме имеют вид L1 : (1.5cth2kh1−0.5−ρ(1.5cth2kh2−0.5))ω2 = 0, L2 : 2ω2(cth2kh1+ρcth2kh2)−k(1−ρ+4Tk2) = 0. Например, при значениях h1 = 10 и h2 = 1 (рис. 2, а) кривые пересекаются и разделяют плоскость ρ, k на четыре области, в S1 и S3 имеют место вол- ны с заостренными гребнями и затупленными по- дошвами, а в S2 и S4 – волны с затупленными гре- бнями и заостренными подошвами. При уменьшении толщины нижнего слоя точ- ка пересечения кривых L1 и L2 (ρ′, k′) опускается ниже. Поэтому при значениях толщины h1 = 2 и h2 = 1 (рис. 2, б) областей с характерной формой Рис. 3. Отклонение поверхности раздела при значении Λ(ρ, k, h1, h2) < 0: а – первые две гармоники η1(x, t) и η2(x, t), б – η(x, t) = η1 + αη2 остается три. Каждая из них имеет те же свойства, что и в случае больших толщин нижнего слоя. Как известно [17, 18], в окрестности кривой L2 = 0 возникает так называемый резонанс второй гар- моники, когда амплитуда второй гармоники ра- стет по сравнению с амплитудой первой гармони- ки. Отметим, что области резонанса указывают на те параметры двухслойной системы, при которых вторая гармоника приобретает как угодно боль- шие значения. Это обусловлено пренебрежением в математической модели задачи вязкостью и, соо- тветственно, диссипацией энергии, а также отсут- ствием третьего приближения для огибающей вол- нового пакета. 3.2. Форма пакета при модуляционной устойчивости Рассмотрим систему при условии модуляционной устойчивости в тот момент, когда уже состоялся баланс линейности и дисперсии. Такое явление на- блюдается при параметрах системы, соответству- ющих точкам P и R на рис. 2, б. При указанных условиях отклонение поверхности контакта пред- ставляет собой сумму двух косинусоид (5), одна из которых сжата в два раза относительно второй, амплитуда первой гармоники значительно больше амплитуды второй гармоники. На рис. 3 представлены первые две гармоники η1(x, t) и η2(x, t) (рис. 3, а) и отклонение свобо- дной поверхности η(x, t) (рис. 3, б) при значениях параметров h2 = 1, h1 = 2, k = 0.2, t = 0, α = 0.2, a = 1, ρ = 0.13(Λ = −1.4), соответствующих точке P на рис. 2, б. В рассматриваемом случае Λ < 0, минимумы η1(x, t) и η2(x, t) совпадают (рис. 6 О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, И. Т. Селезов ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 3 – 8 Рис. 4. Отклонение поверхности раздела при значении Λ(ρ, k, h1, h2) > 0: а – первые две гармоники η1(x, t) и η2(x, t), б – η(x, t) = η1 + αη2 3, а), а максимум η1(x, t) налагается на следующий минимум η2(x, t). Таким образом, волна имеет ⋂ - подобную форму, как показано на рис. 3,б. На рис. 4 представлены первые две гармоники η1(x, t) и η2(x, t) (рис. 3, а) и отклонение свобо- дной поверхности η(x, t) (рис.3, б) при значениях параметров h2 = 1, h1 = 2, k = 0.2, t = 0, α = 0.2, a = 1, ρ = 0.1(Λ = 0.9), соответствующих точке R на рис. 2, б. В случае, когда Λ > 0, максимумы η1(x, t) и η2(x, t) совпадают (рис. 4, а), а минимум η1(x, t) налагается на следующий максимум η2(x, t). Следовательно, волна имеет ⋃ -подобную форму, как показано на рис. 4, б. 3.3. Форма пакета при модуляционной неустойчивости Исследуем, как изменяется форма волнового паке- та в случае модуляционной неустойчивости в зави- симости от величины второй гармоники. При этом считаем, что процесс образования солитонов оги- бающей уже завершился. Такое явление наблюдается при параметрах сис- темы, соответствующих точкам M и N на рис. 2, а. Из формулы (7) следует, что в случае моду- ляционной неустойчивости существуют такие па- раметры двухслойной гидродинамической систе- мы, при которых влияние амплитуды второй гар- моники приводит к заострению или затуплению форм солитонов огибающей. На рис. 5 изображены два варианта формы солитонов огибающей с уче- том второй гармоники для таких значений пара- метров двухслойной системы h2 = 1, h1 = 10, t = Рис. 5. Форма солитона огибающей при значении: а – Λ(ρ, k, h1, h2) > 0, б – Λ(ρ, k, h1, h2) < 0 0, α = 0.14, δ = 0.5, ϑ = 6.5, h2 = 1. Когда k = 0.5, ρ = 0.1(точка М на рис.2, а), Λ = 10 > 0, тогда верхняя огибающая заостряется, а нижняя наоборот затупляется (рис. 5, а). На рис. 5, б по- казан аналогичный эффект влияния второй гар- моники на форму солитонов огибающей при зна- чениях k = 0.7, ρ = 0.1, Λ = −10 < 0 (точка N на рис.2, а), в этом случае верхняя огибающая зату- пляется, а нижняя становится заостренной. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Из проведенного анализа распространения волн в двухслойной жидкости следует, что учет второго приближения для отклонения поверх- ности раздела двух жидких слоев приводит к возникновению асимметрии гребней и подошв модуляционно устойчивого волнового пакета. В случае модуляционной неустойчивости при образовании солитонов огибающей наблюдается затупление или заострение формы огибающей волнового пакета. Для фиксированной толщины слоев в зависимости от отношения плотностей сред и волнового числа существуют несколь- ко областей, где возможна заостренная или затупленная форма волн. Если нижний слой значительно толще верхнего, то имеются четыре такие области, две из которых вырождаются при уменьшении толщины нижнего слоя. О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, И. Т. Селезов 7 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 3 – 8 1. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумер- ной самофокусировки и одномерной автомодуля- ции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. – 1971. - 61. - С. 118–134. 2. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовый Ю.В. Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины // При- кладная гидромеханика.– 2005.– 7(79), N 1.– P. 80- 89. 3. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовый Ю.В. Нелинейная устойчивость распространения волно- вых пакетов в двухслойной жидкости // Прикла- дная гидромеханика. – 2006. – 8(80), N 4. – С. 60– 65. 4. Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны.– М.: Мир, 1977.– 622 с. 5. Фейр Дж. Некоторые результаты опытов с вол- новыми импульсами // В сб. Нелинейная теория распространения волн.– М.: Мир, 1970.– С. 77–105. 6. Ablowitz M.J. , Segur H. Long internal waves in fluids of great depth // Stud. Appl. Maths. – 1980. – 62. - P. 249–262. 7. Algebraic solitary waves in stratified fluids // J. Phys. Soc. Japan. – 1975. – 39. - P. 1082. 8. Avramenko O. V., Selezov I. T. Nonlinear wave propagation in a fluid layer based on semi-infinite fluid // Доповiдi НАНУ.– 1997.– N10.– P. 61–66. 9. Benjamin T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. – 1966. – 25, Part 2. – P. 241–270. 10. Benney C.J. Long nonlinear waves in fluid flows // J. Math. Phys. – 1966. – 45. – P. 52. 11. Bhatnagar P.L. Nonlinear waves in one-dimensional dispersive systems.– Oxford: Clarendon Press, 1979.– 199 p. 12. Buick J.M., Martin A.J. Comparison of a lattice Boltzmann simulation of steep internal waves and laboratory measurements using particle image veloci- metry // Eur. J. Mech. B/Fluids. – 2003. – 22, No 1. – P. 27–38. 13. Davis R.E., Acrivos A. Solitary internal waves in deep water // J. Fluid Mech. – 1967. – 29, Part 3. – P. 593–607. 14. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system // J. Fluid Mech. – 1999. – 396. – P. 1–36. 15. Camassa R., Choi W., Michallet H., Rusas P.-O., Sveen J. On the realm of validity of strongly nonlinear asymptotic approximations for internal waves // J. Fluid Mech. – 2006. – 549. – P. 1–23. 16. Kubota T., Ko D. R. S., Dobbs L.D. Propagation of weakly nonlinear internal waves in a stratified fluid of finite depth // AIAA J. Hydrodyn. – 1978. – 12. – P. 157–165. 17. McGoldric L.F. On the replying of the small waves: a harmonic nonlinear resonant interaction // J. Fluid Mech. – 1972. – 52, Part 4. – P. 725–751. 18. Nayfeh A.H. Second-harmonic resonance in the interaction of an air stream with capillary-gravity waves // J. Fluid Mech. – 1973. – 59, Part 4. – P. 803–816. 19. Nayfeh A. Nonlinear propagation of wave-packets on fluid interface // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E.– 1976.– 43, No 4.– P. 584–588. 20. Segur H. The Korteweg-de Vries equation and water waves. Solutions of the equations. Part 1 // J. Fluid Mech. – 1973. – 59, Part 4. – P. 721. 21. Segur H., Hammack J.L. Soliton models of long internal // J. Fluid Mech. – 1982. – 118. – P. 285–304. 22. Selezov I.T., Korsunsky S.V. Wave propagation along the interface between the liquid metal-electrolyte // Int. Conf. MHD Proc. to Protection of Environment, Kiev-Odessa, Ukraine, 24-29 June 1992, Part 1. – P. 111–117. 23. Selezov I. T., Avramenko O. V., Gurtovy Yu. V. Features of wave-packet propagation in two-layer fluid of finite depth // Int. J. Fluid Mechanics Research. – 2007. – 34, N 5, – P. 475–491. 24. Yuen H.C., Lake B.M. Nonlinear dynamics of deep- water waves // Advances in Appl. Mech. – New York, London. – 1982. – 22. – P. 33-45. 8 О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, И. Т. Селезов

Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости

Institution

Ähnliche Einträge