Кінетичні рівняння активної м'якої речовини

Побудовано немарковське узагальнення кiнетичного рiвняння для системи взаємодiючих стохастичних марковських процесiв, якими моделюється еволюцiя активної м’якої конденсованої речовини. Для таких систем обгрунтовано кiнетичне рiвняння в скейлiнговiй границi самоузгодженого поля i встановлено властив...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Герасименко, В.І., Федчун, Ю.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87694
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини / В.I. Герасименко, Ю.Ю. Федчун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 11-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87694
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-876942015-10-24T03:01:50Z Кінетичні рівняння активної м'якої речовини Герасименко, В.І. Федчун, Ю.Ю. Математика Побудовано немарковське узагальнення кiнетичного рiвняння для системи взаємодiючих стохастичних марковських процесiв, якими моделюється еволюцiя активної м’якої конденсованої речовини. Для таких систем обгрунтовано кiнетичне рiвняння в скейлiнговiй границi самоузгодженого поля i встановлено властивiсть поширення початкового хаосу активної м’якої речовини. Построено немарковское обобщение кинетического уравнения для системы взаимодействующих стохастических марковских процессов, которыми моделируется эволюция активного мягкого конденсированного вещества. Для таких систем обосновано кинетическое уравнение в скейлинговом пределе самосогласованного поля и установлено свойство распространения начального хаоса активного мягкого вещества. We construct a non-Markovian generalization of the kinetic equation for a system of interacting stochastic Markovian processes modeling the evolution of soft active matter. For such systems, we substantiate the kinetic equation in the mean field scaling limit and establish the property of the initial chaos to propagate in soft active matter. 2014 Article Кінетичні рівняння активної м'якої речовини / В.I. Герасименко, Ю.Ю. Федчун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 11-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87694 517.9+531.19+530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Герасименко, В.І. Федчун, Ю.Ю. Кінетичні рівняння активної м'якої речовини Доповіді НАН України
description	Побудовано немарковське узагальнення кiнетичного рiвняння для системи взаємодiючих стохастичних марковських процесiв, якими моделюється еволюцiя активної м’якої конденсованої речовини. Для таких систем обгрунтовано кiнетичне рiвняння в скейлiнговiй границi самоузгодженого поля i встановлено властивiсть поширення початкового хаосу активної м’якої речовини.
format	Article
author	Герасименко, В.І. Федчун, Ю.Ю.
author_facet	Герасименко, В.І. Федчун, Ю.Ю.
author_sort	Герасименко, В.І.
title	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини
title_short	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини
title_full	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини
title_fullStr	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини
title_full_unstemmed	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини
title_sort	кінетичні рівняння активної м'якої речовини
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87694
citation_txt	Кінетичні рівняння активної м'якої речовини / В.I. Герасименко, Ю.Ю. Федчун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 11-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gerasimenkoví kínetičnírívnânnâaktivnoímâkoírečovini AT fedčunûû kínetičnírívnânnâaktivnoímâkoírečovini
first_indexed	2025-07-06T15:22:39Z
last_indexed	2025-07-06T15:22:39Z
_version_	1836911545270927360
fulltext	УДК 517.9+531.19+530.145 В. I. Герасименко, Ю.Ю. Федчун Кiнетичнi рiвняння активної м’якої речовини (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Побудовано немарковське узагальнення кiнетичного рiвняння для системи взаємодiю- чих стохастичних марковських процесiв, якими моделюється еволюцiя активної м’якої конденсованої речовини. Для таких систем обгрунтовано кiнетичне рiвняння в скейлiн- говiй границi самоузгодженого поля i встановлено властивiсть поширення початкового хаосу активної м’якої речовини. Одна з актуальних проблем сучасної математичної фiзики i математичної бiологiї полягає в строгому обгрунтуваннi нелiнiйних кiнетичних рiвнянь для активної м’якої конденсованої речовини [1, 2], зокрема таких систем, як популяцiї клiтин та бактерiй, розчини клiтин, наприклад кровi, i т. п. В сучасних працях з теорiї цих систем в основу опису покладено апрiорi сформульованi еволюцiйнi рiвняння типу рiвнянь суцiльного середовища [1] або кiнетичнi рiвняння [2, 3]. Вiдкритою залишається проблема математичного опису еволюцiї активної м’якої кон- денсованої речовини на мiкроскопiчному рiвнi [1]. В роботi [4] для моделювання колективної поведiнки таких систем запропонована динамiчна система багатьох взаємодiючих стохас- тичних процесiв марковського типу. Така мiкроскопiчна модель динамiки дає можливiсть описати характернi властивостi активної м’якої речовини, якi вiдрiзняються вiд статистич- ної поведiнки звичайної речовини, що складається iз взаємодiючих частинок, якi рухаються за iнерцiєю. Як зазначено в роботi [5], еволюцiю активної м’якої конденсованої речовини на мiкро- скопiчному рiвнi природно описувати в термiнах еволюцiї маргiнальних спостережуваних. З цiєю метою в роботi [5] була побудована скейлiнгова асимптотика (границя самоузго- дженого поля) розв’язку задачi Кошi для iєрархiї еволюцiйних рiвнянь для маргiнальних спостережуваних i в такому наближеннi встановлено зв’язок з описом еволюцiї в термiнах кiнетичних рiвнянь. Оскiльки ряд типових нерiвноважних властивостей активної м’якої конденсованої речо- вини обумовлений ефектами пам’ятi еволюцiйних процесiв у таких системах, метою роботи є обгрунтування кiнетичного рiвняння немарковського типу на основi iєрархiї еволюцiйних рiвнянь для маргiнальних спостережуваних величин. Розглянемо систему не фiксованої, але скiнченної середньої кiлькостi частинок (скла- дових) N рiзних субпопуляцiй, з яких складається активна речовина. Кожна i-та частинка характеризується змiнними ui = (ji, ui) ∈ J × U , де ji ∈ J ≡ (1, . . . , N) — номер субпопу- ляцiї частинки i ui ∈ U ⊂ R d — величини, якими описується її мiкроскопiчний стан [4]. Динамiка частинок, з яких складається активна речовина, описується пiвгрупою etΛ = = ⊕∞ n=0e tΛn марковських стрибкоподiбних процесiв, визначеною на просторi Cγ послiдовнос- тей b = (b0, b1, . . . , bn, . . .) вимiрних обмежених функцiй bn(u1, . . . ,un), якi є симетричними вiдносно перестановки аргументiв u1, . . . ,un, з нормою ‖b‖Cγ = max n>0 γn n! ‖bn‖Cn , де γ < 1 — © В. I. Герасименко, Ю.Ю. Федчун, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 11 параметр та ‖bn‖Cn = max j1,...,jn max u1,...,un ∣∣bn(u1, . . . ,un) ∣∣. Iнфiнiтезимальний генератор Λn пiвгру- пи etΛn визначено на пiдпросторi Cn ⊂ Cγ (Λnbn)(u1, . . . ,un) = N∑ k=1 εk−1 n∑ i1 6=...6=ik=1 (Λ[k](i1, . . . , ik)bn)(u1, . . . ,un) . = . = N∑ k=1 εk−1 n∑ i1 6=...6=ik=1 a[k](ui1 , . . . ,uik) ( ∫ J×U A[k](v;ui1 , . . . ,uik)× × bn(u1, . . . ,ui1−1,v,ui1+1, . . . ,un)dv − bn(u1, . . . ,un) ) , (1) де ε > 0 — скейлiнговий параметр та ∫ (J×U)n du1 · · · dun ≡ ∑ j1∈J · · · ∑ jn∈J ∫ Un du1 · · · dun. Функцiї a[k](ui1 , . . . ,uik), k > 1, характеризують взаємодiю мiж активними частинками, зокрема, у випадку k = 1 — взаємодiю частинок з оточенням, i є вимiрними позитивними обмеженими функцiями, визначеними на (J × U)n, такими, що 0 6 a[k](ui1 , . . . ,uik) 6 a [k] ∗ , де a [k] ∗ — деяка стала. Вимiрнi iнтегрованi позитивнi функцiї A[k](v;ui1 , . . . ,uik), k > 1, описують iмовiрнiсть переходу i1-ї активної частинки з мiкроскопiчного стану ui1 в стан v в результатi взаємодiї з активними частинками, якi знаходяться в станах ui2 , . . . , uik . Функ- цiї A[k](v;ui1 , . . . ,uik), k > 1, задовольняють такi умови: ∫ J×U A[k](v;ui1 , . . . ,uik)dv = 1, k > 1. У роботi [4] наведено приклади функцiй a[k] i A[k], якi мають вiдповiдну iнтерпрета- цiю для систем математичної бiологiї. У випадку k = 1 генератор (1) має таку структуру: n∑ i1=1 Λ [1] n (i1), i вiн описує еволюцiю невзаємодiючих складових (стохастичних процесiв) сис- теми. Випадок k > 2 вiдповiдає системi стохастичних процесiв з k-арною взаємодiєю. Такий тип взаємодiї є характерним для бiологiчних систем у порiвняннi з системами багатьох ча- стинок кiнетичної теорiї, наприклад газiв атомiв з парним потенцiалом взаємодiї. У просторi Cn однопараметрична сiм’я вiдображень etΛn є ∗-слабко неперервною пiв- групою операторiв. Послiдовнiсть маргiнальних спостережуваних B(t) = (B0, B1(t,u1), . . . , Bs(t,u1, . . ., us), . . .) у довiльний момент часу t > 0 визначається такими розкладами [6, 7]: Bs(t,u1, . . . ,us) = s∑ n=0 1 n! s∑ j1 6=···6=jn=1 A1+n(t, {Y \ Z}, Z)× ×B 0,ε s−n(u1, . . . ,uj1−1,uj1+1, . . . ,ujn−1,ujn+1, . . . ,us), s > 1, (2) де B(0) = (B0, B 0,ε 1 (u1), . . . , B 0,ε s (u1, . . . ,us), . . .) — послiдовнiсть початкових маргiнальних спостережуваних. Твiрний оператор A1+n(t) розкладу (2) є кумулянтом (1 + n)-го порядку пiвгруп операторiв {etΛk}t>0, k > 1, який визначається формулою [7] A1+n(t, {Y \ Z}, Z) . = ∑ P: ({Y \Z},Z)= ⋃ i Zi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! ∏ Zi⊂P etΛ\|θ(Zi)\| , (3) 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5 де множини iндексiв позначено вiдповiдними символами: Y ≡ (1, . . . , s), Z ≡ (j1, . . . , jn) ⊂ ⊂ Y ; множина {Y \ Z} складається з одного елемента Y \ Z = (1, . . . , j1 − 1, j1 + 1, . . . , jn − −1, jn+1, . . . , s); символ ∑ P — сума за всiма можливими розбиттями P множини ({Y \Z}, Z) на \|P\| непорожнiх пiдмножин Zi ∈ ({Y \ Z}, Z), якi взаємно не перетинаються, та вiдобра- ження θ(·) є оператором декластеризацiї елементiв множини: θ({Y \ Z}, Z) = Y . Найпростiшi приклади маргiнальних спостережуваних (2) зображуються такими роз- кладами: B1(t,u1) = A1(t, 1)B 0,ε 1 (u1), B2(t,u1,u1) = A1(t, {1, 2})B 0,ε 2 (u1,u2) + A2(t, 1, 2)(B 0,ε 1 (u1) +B 0,ε 1 (u2)), де кумулянти першого i другого порядку (3) визначаються вiдповiдно такими формулами: A1(t, {1, 2}) = etΛ2 , A2(t, 1, 2) = etΛ2 − etΛ [1](1)etΛ [1](2). Зауважимо, що послiдовнiсть функцiй (2) є непертурбативним розв’язком задачi Кошi для рекурсивних еволюцiйних рiвнянь (дуальної iєрархiї рiвнянь Боголюбова–Борна–Грiна– Кiрквуда–Iвона), сформульованих у роботi [5]. Нехай L1(J ×U) — простiр iнтегрованих функцiй f1(u1), визначених на множинi J ×U з такою нормою: ‖f1‖L1(J×U) = ∑ j1∈J ∫ U du1 ∣∣f1(u1) ∣∣. Розглянемо стани системи статистично незалежних багатьох марковських процесiв, тобто стани, якi в початковий момент часу описуються послiдовнiстю маргiнальних функцiй розподiлу, що задовольняють умову хао- су [8]: F (c) = ( 1, F 0,ε 1 (u1), . . . , s∏ i=1 F 0,ε 1 (ui), . . . ) , де F 0,ε 1 ∈ L1(J ×U). У цьому випадку середнi значення (математичнi сподiвання) маргiнальних спостережуваних (2) визначаються за до- помогою такого функцiонала: 〈B(t) ∣∣F (c)〉 = ∞∑ s=0 1 s! ∫ (J×U)s du1 · · · dusBs(t,u1, . . . ,us) s∏ i=1 F 0,ε 1 (ui). (4) Оскiльки для функцiй (2) за умови γ < e−1 справедлива оцiнка ‖B(t)‖Cγ 6 e2(1 − − γe)−1‖B(0)‖Cγ , функцiонал (4) iснує за умови, що ‖F 0,ε 1 ‖L1(J×U) < γ. Сформулюємо основний результат роботи. Для функцiонала (4) справедливе зображе- ння 〈B(t) ∣∣F c〉 = 〈B(0) ∣∣F (t \| F1(t))〉, (5) де F (t \| F1(t)) = (1, F1(t), F2(t \| F1(t)), . . . , Fs(t \| F1(t)), . . .) — послiдовнiсть маргiнальних функцiоналiв стану, якi є функцiоналами вiдносно одночастинкової (маргiнальної) функцiї розподiлу F1(t,u1) = ∞∑ n=0 1 n! ∫ (J×U)n du2 · · · dun+1A ∗ 1+n(t, 1, . . . , n+ 1) n+1∏ i=1 F 0,ε 1 (ui). (6) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 13 Твiрний еволюцiйний оператор A ∗ 1+n(t), n > 0, ряду (6) — кумулянт (1 + n)-го порядку пiвгруп операторiв {etΛ ∗ n}t>0, n > 1, iнфiнiтезимальний генератор Λ∗ n яких є спряженим оператором до оператора (1) у сенсi функцiонала (4), та в просторi L1((J × U)n) вiн ви- значається за формулою (Λ∗ nfn)(u1, . . . ,un) = N∑ k=1 εk−1 n∑ i1 6=...6=ik=1 (Λ∗[k](i1, . . . , ik)bn)(u1, . . . ,un) . = . = N∑ k=1 εk−1 n∑ i1 6=...6=ik=1 ( ∫ J×U A[k](ui1 ;v,ui2 , . . . ,uik)a [k](v,ui2 , . . . ,uik)× × fn(u1, . . . ,ui1−1,v,ui1+1, . . . ,un)dv − a[k](ui1 , . . . ,uik)fn(u1, . . . ,un) ) , (7) де функцiї A[k] i a[k] визначено вище у формулi (1). Iншi елементи послiдовностi F (t \| F1(t)) визначаються розкладами в такi ряди: Fs(t,u1, . . . ,us \| F1(t)) . = . = ∞∑ n=0 1 n! ∫ (J×U)n dus+1 · · · dus+nV1+n(t, {Y },X \ Y ) s+n∏ i=1 F1(t,ui), (8) де твiрнi еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, визначаються такими розкладами: V1(t, {Y }) = Â1(t, {Y }) . = etΛ ∗ s s∏ i=1 e−tΛ∗[1](i), V2(t, {Y }, s + 1) = Â2(t, {Y }, s + 1)− Â1(t, {Y }) s∑ i1=1 Â2(t, i1, s+ 1), V3(t, {Y }, s+1, s+2) = Â3(t, {Y }, s+1, s+2) − 2!Â2(t, {Y }, s+1) s+1∑ i1=1 Â2(t, i1, s+2)− − Â1(t, {Y }) ( s∑ i1=1 Â3(t, i1, s+ 1, s + 2)− 2! s∑ i1=1 s+1∑ i2=1 Â2(t, i1, s+ 1)Â2(t, i2, s + 2) + + 2! s∑ 1=i1<i2 Â2(t, i1, s+ 1)Â2(t, i2, s+ 2) ) , де оператори Ân(t), n > 1, з наведених розкладiв є кумулянтами вiдповiдного порядку пiвгруп операторiв розсiяння { etΛ ∗ k k∏ i=1 e−tΛ∗[1](i) } t>0 , k > 1. Твiрнi еволюцiйнi оператори довiльного порядку V1+n(t), n > 0, визначаються розкладами, подiбними до аналогiчних розкладiв твiрних еволюцiйних операторiв у випадку систем багатьох квантових части- нок [9]. За умови ‖F1(t)‖L1(J×U) < e−(3s+2), для довiльного t > 0 ряд (8) є збiжним за нормою простору L1((J × U)s). 14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5 Зауважимо, що маргiнальними функцiоналами стану (8) описуються всi можливi коре- ляцiї, якi виникають у процесi еволюцiї активної м’якої конденсованої речовини. Для доведення основного результату встановимо справедливiсть рiвностi (5) у випадку спецiальних класiв маргiнальних спостережуваних. Оскiльки у випадку маргiнальних спостережуваних B(1)(0) = (0, bε1(u1), 0, . . .), тобто маргiнальних спостережуваних адитивного типу [7], розклад (2) набуває вигляду B(1) s (t,u1, . . . ,us) = As(t, Y ) s∑ i=1 bε1(ui), s > 1, то для функцiонала (4) справедливе таке зображення: 〈B(1)(t) ∣∣F c〉 = 〈B(1)(0) ∣∣F (t \| F1(t))〉 = ∫ (J×U) du1b ε 1(u1)F1(t,u1), де одночастинкова функцiя розподiлу F1(t,u1) визначається розкладом у ряд (6). Для маргiнальних спостережуваних k-арного типу, тобто B(k)(0) = (0, . . . , 0, bεk(u1, . . ., uk), 0, . . .), k > 2, справедлива така рiвнiсть: 〈B(k)(t) ∣∣F c〉 = 〈B(k)(0) ∣∣F (t \| F1(t))〉 = = 1 k! ∫ (J×U)k du1 · · · dukb ε k(u1, . . . ,uk)Fk(t,u1, . . . ,uk \| F1(t)), де маргiнальний функцiонал стану Fk(t \| F1(t)) визначається розкладом у ряд (8). Доведення цiєї рiвностi грунтується на застосуваннi кластерних розкладiв кумулянтiв пiвгруп операторiв, якi є двоїстими до кiнетичних кластерних розкладiв кумулянтiв пiвгруп операторiв, введених у роботi [9] у випадку квантових систем багатьох частинок. У просторi L1(J × U) одночастинкова маргiнальна функцiя розподiлу (6) задовольняє таку задачу Кошi для немарковського кiнетичного рiвняння: ∂ ∂t F1(t,u1) = Λ∗[1](1)F1(t,u1) + N−1∑ k=1 εk k! ∫ (J×U)k du2 · · · duk+1 × × ∑ j1 6= · · · 6= jk+1 ∈ ∈ (1, . . . , k + 1) Λ∗[k+1](j1, . . . , jk+1)Fk+1(t,u1, . . . ,uk+1 \| F1(t)), (9) F1(t,u1)\|t=0 = F 0,ε 1 (u1), (10) де функцiонали Fk+1(t \| F1(t)), k > 1, визначаються розкладами в ряд (8). У просторi L1(J × U) для абстрактної задачi Кошi (9), (10) справедливе таке твердження. Якщо F 0,ε 1 ∈ L1(J × U), то за умови, що ‖F 0,ε 1 ‖L1(J×U) < C < +∞, iснує єдиний гло- бальний сильний розв’язок задачi Кошi для немарковського кiнетичного рiвняння (9), (10), який визначається розкладом у ряд (6). Таким чином, якщо стан системи взаємодiючих стохастичних процесiв, якими моде- люється еволюцiя активної м’якої конденсованої речовини, в початковий момент часу ви- значається одночастинковою маргiнальною функцiєю розподiлу, то всi можливi стани систе- ми в довiльний момент часу можуть бути описанi в термiнах одночастинкової маргiнальної ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 15 функцiї розподiлу, яка є роз’язком задачi Кошi для немарковського кiнетичного рiвнян- ня (9), (10). За допомогою немарковського кiнетичного рiвняння (9) в скейлiнгових границях можна обгрунтувати кiнетичнi рiвняння марковського типу для активної м’якої речовини. Розгля- немо асимптотичну поведiнку розв’язку (6) задачi Кошi для немарковського кiнетичного рiвняння (9), (10) в границi самоузгодженого поля для системи, яка складається з двох субпопуляцiй, тобто випадок N = 2. Нехай функцiя розподiлу f0 1 ∈ L1(J ×U) — границя самоузгодженого поля початкових даних (10), тобто iснує така границя: lim ε→0 ‖εF ε,0 1 − f0 1 ‖L1(J×U) = 0. Тодi на скiнченному промiжку часу t ∈ (0, t0) у такому ж сенсi iснує границя самоузгодже- ного поля розв’язку (6) задачi Кошi для немарковського кiнетичного рiвняння (9), (10) lim ε→0 ‖εF1(t)− f1(t)‖L1(J×U) = 0, (11) яка зображується розкладом у ряд f1(t,u1) = ∞∑ n=0 t∫ 0 dt1 · · · tn−1∫ 0 dtn ∫ (J×U)n du2 · · · dun+1e (t−t1)Λ∗[1](1)Λ∗[2](1, 2) × × 2∏ j1=1 e(t1−t2)Λ∗[1](j1) · · · n∏ jn−1=1 e(tn−1−tn)Λ∗[1](jn−1) n∑ in=1 Λ∗[2](in, 1 + n)× × 1+n∏ jn=1 etnΛ ∗[1](jn) 1+n∏ i=1 f0 1 (ui). (12) Якщо f0 1 ∈ L1(J ×U), то гранична функцiя розподiлу (12) є сильним розв’язком задачi Кошi для кiнетичного рiвняння самоузгодженого поля [5]: ∂ ∂t f1(t,u1) = Λ∗[1](1)f1(t,u1) + ∫ J×U du2Λ ∗[2](1, 2)f1(t,u1)f1(t,u2), (13) f1(t,u1)\|t=0 = f0 1 (u1). (14) У випадку системи, яка складається з довiльної кiлькостi взаємодiючих субпопуляцiй N > > 1, кiнетичне рiвняння самоузгодженого поля має вигляд ∂ ∂t f1(t,u1) = Λ∗[1](1)f1(t,u1) + N−1∑ k=1 1 k! × × ∫ (J×U)k du2 · · · duk+1 ∑ j1 6=···6=jk+1∈(1,...,k+1) Λ∗[k+1](j1, . . . , jk+1) k+1∏ i=1 f1(t,ui). (15) Розглянемо в наближеннi самоузгодженого поля поведiнку нерiвноважних кореляцiй активної м’якої конденсованої речовини. Оскiльки розв’язок (6) задачi Кошi для немарков- 16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5 ського кiнетичного рiвняння (9), (10) збiгається до розв’язку (12) задачi Кошi (13), (14) в сенсi (11), то для маргiнальних функцiоналiв (8) маємо lim ǫ→0 ∫ (J×U)s du1 · · · dus ∣∣∣εsFs(t,u1, . . . ,us \| F1(t))− s∏ j=1 f1(t,uj) ∣∣∣ = 0, де гранична функцiя розподiлу визначається розкладом у ряд (12). Це твердження iнтер- претується як властивiсть поширення початкового хаосу в наближеннi самоузгодженого поля, тобто в цьому наближеннi складовi активної м’якої речовини в процесi еволюцiї за- лишаються статистично незалежними. Доведення сформульованого твердження грунтується на застосуваннi вiдповiдних фор- мул для кумулянтiв асимптотично збурених пiвгруп операторiв розсiяння. Таким чином, у роботi на основi непертурбативного розв’язку (2) рекурсивних еволю- цiйних рiвнянь для маргiнальних спостережуваних системи багатьох взаємодiючих стохас- тичних процесiв розвинуто метод виведення немарковського кiнетичного рiвняння (9), яким описуються колективнi властивостi активної м’якої речовини. Одна з переваг такого пiдходу полягає в можливостi побудови кiнетичних рiвнянь у скей- лiнгових границях у випадку початкових станiв активної м’якої речовини в конденсованих станах, якi характеризуються наявнiстю кореляцiй [10]. Також зазначимо, що метод виве- дення кiнетичного рiвняння самоузгодженого поля (15) з немарковського кiнетичного рiв- няння (9) дає можливiсть будувати поправки за малим параметром до iнтеграла зiткнень кiнетичного рiвняння (15), що може бути суттєвим для опису нерiвноважних властивостей систем математичної бiологiї. Робота частково пiдтримана проектом “Mathematics for Life Sciences”, FP7-People-2011-IRSES No. 295164. 1. Marchetti M.C., Joanny J. F., Ramaswamy S. et al. Hydrodynamics of soft active matter // Rev. Mod. Phys. – 2013. – 85. – P. 1143–1195. 2. Bellouquid A., Delitala M. Mathematical modeling of complex biological systems: a kinetic theory app- roach. – Boston: Birkhäuser, 2006. – 195 p. 3. Lachowicz M. Links between microscopic and macroscopic descriptions // Multiscale Problems in the Life Sciences. From Microscopic to Macroscopic. – Berlin: Springer, 2008. – P. 201–215. 4. Lachowicz M. Individually-based Markov processes modeling nonlinear systems in mathematical biology // Nonlinear Analysis: Real World Applications – 2011. – 12. – P. 2396–2408. 5. Gerasimenko V. I., Fedchun Yu.Yu. On kinetic models for the evolution of many-entity systems in mathema- tical biology // J. Coupled Syst. Multiscale Dyn. – 2013. – 1, No 2. – P. 273–279. 6. Gerasimenko V. I., Fedchun Yu.Yu. Nonperturbative solution expansions of hierarchies of evolution equa- tions in functional derivatives // Proc. Inst. Math. NASU. – 2012. – 9, No 2. – P. 347–375. 7. Borgioli G., Gerasimenko V. I. Initial-value problem of the quantum dual BBGKY hierarchy // Nuovo Cimento C. – 2010. – 33, No 1. – P. 71–78. 8. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. – Dord- recht: Kluwer, 1997. – 252 p. 9. Gerasimenko V. I., Tsvir Zh. A. A description of the evolution of quantum states by means of the kinetic equation // J. Phys. A: Math. Theor. – 2010. – 43, No 48. – 485203. 10. Gerasimenko V. I., Tsvir Zh. A. On quantum kinetic equations of many-particle systems in condensed states // Physica A: Stat. Mech. Appl. – 2012. – 391, No 24. – P. 6362–6366. Надiйшло до редакцiї 19.12.2013Iнститут математики НАН України, Київ Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 17 В.И. Герасименко, Ю.Ю. Федчун Кинетические уравнения активного мягкого вещества Построено немарковское обобщение кинетического уравнения для системы взаимодействую- щих стохастических марковских процессов, которыми моделируется эволюция активного мягкого конденсированного вещества. Для таких систем обосновано кинетическое уравне- ние в скейлинговом пределе самосогласованного поля и установлено свойство распростране- ния начального хаоса активного мягкого вещества. V. I. Gerasimenko, Yu.Yu. Fedchun Kinetic equations of soft active matter We construct a non-Markovian generalization of the kinetic equation for a system of interacting stochastic Markovian processes modeling the evolution of soft active matter. For such systems, we substantiate the kinetic equation in the mean field scaling limit and establish the property of the initial chaos to propagate in soft active matter. 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5

Кінетичні рівняння активної м'якої речовини

Institution

Ähnliche Einträge