Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей

Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному в интегральной метрике....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Шевченко, А.И., Миненко, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87700
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 45-49. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87700
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-877002015-10-24T03:01:41Z Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Інформатика та кібернетика Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному в интегральной метрике. Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного в iнтегральнiй метрицi. The solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is constructed using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one in the integral metric is proved. 2014 Article Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 45-49. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87700 517.9 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей Доповіді НАН України
description	Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному в интегральной метрике.
format	Article
author	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_facet	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_sort	Шевченко, А.И.
title	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей
title_short	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей
title_full	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей
title_fullStr	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей
title_full_unstemmed	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей
title_sort	осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87700
citation_txt	Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 45-49. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ševčenkoai osesimmetričnoepotencialʹnovihrevoetečeniesosvobodnojgranicej AT minenkoas osesimmetričnoepotencialʹnovihrevoetečeniesosvobodnojgranicej
first_indexed	2025-07-06T15:23:01Z
last_indexed	2025-07-06T15:23:01Z
_version_	1836911566408122368
fulltext	УДК 517.9 Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближен- ное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному в интегральной метрике. Постановка задачи. Изучается осесимметричное течение, когда ось 0x является осью симметрии потока в следующей постановке. Обозначим через D область, ограниченную снизу отрезком A = (0 6 x 6 a, y = 0), сверху — кривой P : y = g(x), 0 6 x 6 a, где g(0) = b1, g(a) = b2, b1 6 b2, а g(x) — аналитическая, монотонно возрастающая функция при x ∈ [0, a], причем g′(0) = 0, g′(a) = b. Боковую часть границы области D, состоящую из вертикалей, обозначим через Q1 = (x = 0, 0 6 y 6 b1) и Q2 = (x = a, 0 6 y 6 b2). Пусть γ — жорданова дуга в D, концы которой лежат на вертикалях Q1 и Q2, причем все точки γ, включая и концы, расположены ниже кривой P . Кривая γ разбивает область D на две односвязные области Gγ , находящиеся выше γ и Ωγ . Такие дуги будем называть допустимыми. Концы γ разбивают вертикали Q1 и Q2 на два открытых множества — R1-боковую часть границы области Gγ и R2-боковую часть границы области Ωγ . Рассматривается задача: требуется определить функции тока ψ1(x, y), ψ2(x, y) и свобод- ную границу γ по условиям ψ1xx + ψ1yy − y−1ψ1y = ωy, (x, y) ∈ Gγ , (1) ψ1x = 0, (x, y) ∈ R1; ψ1 = C, (x, y) ∈ P ; ψ1 = 1, (x, y) ∈ γ, (2) ψ2xx + ψ2yy − y−1ψ2y = 0, (x, y) ∈ Ωγ , (3) ψ2x = 0, (x, y) ∈ R2; ψ2 = 0, (x, y) ∈ A; ψ2 = 1, (x, y) ∈ γ, (4) \|∇ψ1\| = \|∇ψ2\| = 0, (x, y) ∈ γ. (5) Здесь ω = const > 0, а C = const > 1. Ранее в работе [1] отдельно изучались случаи потен- циального и вихревого течения, когда на свободной границе задавалось условие Бернулли в виде неравенства. Вариационная постановка задачи. Рассмотрим функционал Y (ψ1, ψ2, γ) = ∫∫ Gγ [ψ2 1x + ψ2 1y + 2ω(ψ1 − 1)] dxdy y + ∫∫ Ωγ [ψ2 2x + ψ2 2y] dxdy y (6) на множестве V допустимых троек (ψ1, ψ2, γ), обладающих следующими свойствами: γ — допустимая дуга; функция ψ1(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Gγ , кусочно-непрерывно дифференцируема в Gγ , равна единице на γ и постоянной C при © А.И. Шевченко, А.С. Миненко, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 45 (x, y) ∈ P ; функция ψ2(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Ωγ , кусоч- но-непрерывно дифференцируема в Ωγ , равна единице на γ и нулю при (x, y) ∈ A, причем Y (ψ1, ψ2, γ) < ∞. Лемма 1. Пусть тройка (ψ1, ψ2, γ) является классическим решением задачи (1)–(5). Тогда эта тройка будет стационарной для функционала (6) на множестве V . Обратно, каждая стационарная тройка (ψ1, ψ2, γ) функционала (6) на множестве V , где γ — до- статочно гладкая кривая, является решением задачи (1)–(5). Лемма 1 позволяет свести разрешимость нелинейной задачи (1)–(5) к проблеме мини- мума функционала (6) на множестве V . Далее можно установить существование таких последовательностей γk и ⌢ γk линий уров- ня функций ψ1(x, y) и ψ2(x, y), являющихся решением задач соответственно (1), (2) и (3), (4) так, что γk = {(x, y) : (x, y) ∈ Gγ , ψ1(x, y) = Ck}, ⌢ γk = {(x, y) : (x, y) ∈ Ωγ , ψ2(x, y) = ⌢ Ck}, а Ck и ⌢ Ck монотонно стремятся к единице при k → ∞. Симметризация областей Gγ и Ωγ. Пусть Vγ — подмножество множества V , со- стоящее из всех троек (ψ1, ψ2, γ), где γ — фиксированная допустимая кривая. С помощью вариационного подхода доказывается лемма. Лемма 2. Существует единственная тройка (ψ1, ψ2, γ), на которой функционал (6) достигает своего наименьшего значения. При этом функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y) являются единственными решениями соответственно задач (1), (2) и (3), (4). Пусть теперь γ — произвольная допустимая кривая, ψ1(x, y) — решение задачи (1), (2) в заданной области Gγ , а ψ2(x, y) — решение задачи (3), (4) в Ωγ . Введем в рассмотрение множества G1 = {(x, y) ∈ Gγ : ψ1(x, y) < 1}, L1 = {(x, y) ∈ R1 : ψ1(x, y) < 1}, G2 = {(x, y) ∈ Gγ : ψ1(x, y) > 1}, L2 = {(x, y) ∈ R1 : ψ1(x, y) > 1}. Лемма 3. Пусть (ψ1, ψ2, γ) — допустимая тройка, причем ψ1(x, y) — решение зада- чи (1), (2), а ψ2(x, y) — решение задачи (3), (4). Просимметризуем область G2 отно- сительно осей координат. Полученную область обозначим через G∗, а ее свободную гра- ницу — через γ∗. Пусть ψ∗ 1(x, y) — решение задачи (1), (2) в G∗, а ψ∗ 2(x, y) — решение задачи (3), (4) в Ω∗ = int(D \G∗). Тогда Y (ψ∗ 1 , ψ ∗ 2 , γ ∗) 6 Y (ψ1, ψ2, γ), причем ψ∗ 1y > 0 в G∗, а ψ∗ 2y > 0 в Ω∗ и γ∗ задается уравнением x = x(t), y = y(t), 0 6 t 6 T, (7) где x(t) и y(t) — неубывающие функции параметра t. Теорема существования. Пусть d — точная нижняя грань функционала (6) на мно- жестве V и (ψ1n, ψ2n, Gn,Ωn) — минимизирующая последовательность. На основании лем- мы 3 можно считать, что Gn и Ωn имеют свободную границу γn, заданную уравнениями типа (7). В силу леммы 2 в качестве функций ψ1n и ψ2n можно брать решения задач (1), (2) и (3), (4) соответственно в областях Gn и Ωn. Применяя затем метод внутренних вариаций Шиффера и симметризацию Штейнера [1–3], докажем теорему. Теорема 1. Пусть функция g(x) монотонно возрастает в [0, a], является аналитичес- кой функцией переменной x при 0 6 x 6 a и, кроме того, g′(0) = 0, g′(a) = 0. И пусть так- же выполнено условие 1− ωa2/2 > 0. Тогда существует единственное решение (ψ1, ψ2, γ) задачи (1)–(5), удовлетворяющее условиям ψ1y > 0 в Gγ , а ψ2y > 0 в Ωγ. При этом γ 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5 является монотонно-возрастающей дугой, аналитической в окрестности каждой своей внутренней точки, причем γ не имеет общих точек с кривой P и отрезком A. Функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y) непрерывны в Gγ и Ωγ, непрерывно дифференцируемы вплоть до грани- цы всюду за исключением концевых точек γ. Решение задачи (1)–(5) методом Ритца. Функционал (6) в классе функций ψ1y > 0 в Gγ и ψ2y > 0 в Ωγ представим следующим образом: Y1(z1, z2) = ∫∫ ∆1 [( z1x + gx g z1 )2 + 1 g2 + 2ω(ϕ − 1)z1z 2 1ϕ ] dxdy z1z1ϕ + + ∫∫ ∆2 [( z2x + gx g z2 )2 + 1 g2 ] dxdy z2z2ϕ , (8) где ∆1 = (0 < x < a, 1 < ϕ < C), ∆2 = (0 < x < a, 0 < ϕ < 1), z1(x, ϕ) и z2(x, ϕ) — функции, определенные соответственно в ∆1 и ∆2 и являющиеся решениями уравнений ϕ1(x, z)ϕ1 = 0, ϕ2(x, z) − ϕ2 = 0, ψ1(x, zg(x)) = ϕ1(x, z), ψ2(x, zg(x)) = ϕ2. Функционал (8) будем минимизировать на множестве допустимых функций Gz = { (z1, z2) : z1 ∈ C1(∆1), z2 ∈ C1(∆2), √ ϕz2ϕ ∈ C(∆), z2(x, 0) = 0, z1(x, 1) = z2(x, 1), min (x,ϕ)∈∆1 z1ϕ > 0, min (x,ϕ)∈∆2 z2ϕ > 0 } . (9) Обозначим через (z∗1 , z ∗ 2) пару, соответствующую решению задачи (1)–(5). Очевидно, что (z∗1 , z ∗ 2) ∈ Gz. Далее, положим w(x, ϕ) = ln z(x, ϕ). Тогда семейство допустимых функций Gz перейдет в новое семейство Gw, при этом имеем Y2(w1, w2) = ∫∫ ∆1 [( w1x + gx g )2 + e−2w1 g2 + 2ωg(ϕ − 1)ew1w2 1ϕ ] dxdy w1ϕ + + ∫∫ ∆2 [( w2x + gx g )2 + e−2w2 g2 ] dxdy w2ϕ , (10) где Y1(z1, z2) = Y1(e w1 , ew2) = Y2(w1, w2); w1ε = w∗ 1 + εδw1; w2ε = w∗ 2 + εδw2; δw1 = w1 − w∗ 1; δw2 = w2 − w∗ 2; w ∗ 1 = ln z∗1 ; w ∗ 2 = ln z∗2 ; 0 6 ε 6 1, a w1, w2 — произвольная пара из Gw. Используя теперь формулу Фридрихса [4], получим Y2(w1, w2) = Y2(w ∗ 1, w ∗ 2) + d dε Y2(w1ε, w2ε) ∣ ∣ ∣ ∣ ε=0 + 1 ∫ 0 (1− ε) d2 dε2 Y2(w1ε, w2ε). (11) Учитывая, что первая вариация функционала Y2(w1, w2), вычисленная на паре (w∗ 1, w ∗ 2), обратится в ноль, а вторая вариация этого функционала в силу [3] положительно опре- делена, заключаем, что Y1(z ∗ 1 , z ∗ 2) = Y2(w ∗ 1 , w ∗ 2) 6 Y2(w1, w2) = Y1(z1, z2) для любой пары (z1, z2) ∈ Gz. Тогда получим утверждение. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 47 Лемма 4. Пара (z∗1 , z ∗ 2) ∈ Gz, соответствующая решению задачи (1)–(5), доставляет наименьшее значение функционалу (10) на множестве (9). Будем минимизировать функционал (8) на множестве (9) при помощи сумм: z1n(x, ϕ) = 1 + c− ϕ c− 1 L ∑ k=0 Mj ∑ j=0 bkjx jϕk, z2n(x, ϕ) = √ ϕ L ∑ k=0 Mj ∑ j=0 akjx jϕk, (12) где n = sup(j + Mj) при 0 6 j 6 L. Включение (z1nz2n) ∈ Gz выделяет в евклидовом пространстве Er коэффициентов akj, bkj область допустимости Gr, где r = L ∑ k=0 (1 + 2Mk), G2 = G+ r ⋂ E0, G + r = G1 r ⊕ G2 r , E0 = E0 0 ⊕ E0 1 ⊕ . . . ⊕ E0 L, G1 r = { bkj : min z1nϕ (x,ϕ)∈∆1 > 0 } , G2 r = { akj : min z2nϕ (x,ϕ)∈∆2 > 0 } , E0 0 : M0 ∑ k=1 ako = M0 ∑ k=0 bko + 1; E0 j : Mj ∑ k=1 akj = Mj ∑ k=0 bkj , j = 1, 2, . . . , L; L = maxLk 06k6M . Неизвестные коэффициенты akj; bkj определяются из нелинейной системы Ритца [3, 5, 6]. Теорема 2. Функция Y1(akj , bkj) принимает свое наименьшее значение в некоторой внутренней точке множества Gr, лежащей на конечном расстоянии от начала коор- динат. При этом нелинейная система Ритца имеет, по крайней мере, одно решение на множестве Gr. Сходимость приближений Ритца. Решив систему Ритца при каждом фиксирован- ном n, можно затем построить последовательность приближений (12) в виде z1n(x, ϕ) = z∗1n, z2n(x, ϕ) = z∗2n. Лемма 5. Приближения (12), построенные по методу Ритца, образуют минимизиру- ющую последовательность для функционала (8) на множестве (9). Теорема 3. Пусть выполнены все предположения теоремы 1. Тогда справедливы сле- дующие предельные соотношения при n → ∞: ∫∫ D [(ψnx − ψx) 2 + (ψny − ψy) 2] dxdy y → 0, ∫∫ Gγ [(ψ1nx − ψ1x) 2 + (ψ1ny − ψ1y) 2] dxdy y → 0, ∫∫ Ωγ [(ψ2nx − ψ2x) 2 + (ψ2ny − ψ2y) 2] dxdy y → 0, где (ψ1, ψ2, γ) — точное решение задачи (1)–(5); ψ1(x, z1n(x, ϕ)g(x)) = ψ1n; ψ2(x, z2n(x, ϕ)g(x)) = ψ2n; ψn = ψ1n при (x, y) ∈ Gγ и ψn = ψ2n, если (x, y) ∈ Ωγ. 1. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 354 с. 2. Миненко А.С., Шевченко А.И. Методы исследования нелинейных математических моделей. – Киев: Наук. думка, 2012. – 130 с. 3. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 4. – С. 477–487. 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5 4. Friedrich K.O. Uber ein Minimumproblem für Potentialstromungen mit freiem Rande // Math. Ann. – 1933. – 109, No 1. – P. 60–82. 5. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294. 6. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1358–1394. Поступило в редакцию 04.11.2013Донецкий национальный технический университет Член-кореспондент НАН України А. I. Шевченко, О.С. Мiненко Осесиметрична потенцiально-вихрова течiя з вiльною межею Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного в iнтегральнiй метрицi. Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko Axially symmetric potentially rotational flow with free boundary The solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is constructed using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one in the integral metric is proved. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 49

Осесимметричное потенциально-вихревое течение со свободной границей

Репозитарії

Схожі ресурси