Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей

Представлены результаты численного исследования структуры течения в плоском канале в зоне его внезапного расширения. Расчеты выполнены на основе решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-даление методом разностей на установление. В результате исследованы п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Борисов, И.Д., Пославский, С.А., Руднев, Ю.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2010
Назва видання:	Прикладна гідромеханіка
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87720
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей / И.Д. Борисов, С.А. Пославский, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 3-10. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87720
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-877202015-10-25T03:01:48Z Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И. Представлены результаты численного исследования структуры течения в плоском канале в зоне его внезапного расширения. Расчеты выполнены на основе решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-даление методом разностей на установление. В результате исследованы поля скоростей и давления, изучена вихревая структура циркуляционного течения в области за уступом и определена протяженность этой зоны в зависимости от числа Рейнольдса и параметра расширения. Полученные результаты сравниваются с известными экспериментальными и расчетными данными. Представлені результати чисельного дослідження структури течії у плоскому каналі на ділянці його раптового розширення. Розрахунки виконані на основі рішення повної системи нестаціонарних рівнянь Навьє-Стокса у змінних швидкість-тиск. Рішення одержано методом кінцевих відмінностей на основі використання універсального дискретного аналогу рівнянь ламінарних течій. В результаті вивчені поля швидкостей тиску, вихорова структура циркуляційної течії в області за уступом і визначений простір цієї зони в залежності від числа Рейнольса та параметру розширення. Одержані результати порівнюються з відомими експериментальними та розрахунковими даними. Numerical results are presented of flow structure investigation in a flat channel in a feald of its sudden expansion. The calculations are based on a solution of full nonstationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables using the finite difference method for identification. As a result, fields of pressure and velocities are investigated, a vortical structure of the circulation flow is studied behind a step, and an extension of this zone is determined depending on the Reynolds number and an expansion parameter. The obtained results are compared with known experimental and calculating data. 2010 Article Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей / И.Д. Борисов, С.А. Пославский, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 3-10. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87720 537.84 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Представлены результаты численного исследования структуры течения в плоском канале в зоне его внезапного расширения. Расчеты выполнены на основе решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-даление методом разностей на установление. В результате исследованы поля скоростей и давления, изучена вихревая структура циркуляционного течения в области за уступом и определена протяженность этой зоны в зависимости от числа Рейнольдса и параметра расширения. Полученные результаты сравниваются с известными экспериментальными и расчетными данными.
format	Article
author	Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И.
spellingShingle	Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И. Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей Прикладна гідромеханіка
author_facet	Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И.
author_sort	Борисов, И.Д.
title	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей
title_short	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей
title_full	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей
title_fullStr	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей
title_full_unstemmed	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей
title_sort	экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87720
citation_txt	Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей / И.Д. Борисов, С.А. Пославский, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 3-10. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT borisovid éksperimentalʹnoeissledovanievolnovyhprocessovvdvuhslojnojsistemenesmešivaûŝihsâtokonesuŝihžidkostej AT poslavskijsa éksperimentalʹnoeissledovanievolnovyhprocessovvdvuhslojnojsistemenesmešivaûŝihsâtokonesuŝihžidkostej AT rudnevûi éksperimentalʹnoeissledovanievolnovyhprocessovvdvuhslojnojsistemenesmešivaûŝihsâtokonesuŝihžidkostej
first_indexed	2025-07-06T15:24:14Z
last_indexed	2025-07-06T15:24:14Z
_version_	1836911642461339648
fulltext	НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 УДК 537.84 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ТОКОНЕСУЩИХ ЖИДКОСТЕЙ И. Д. Б О РИ С ОВ , С. А. П ОСЛ А В СК И Й , Ю. И. РУ Д Н ЕВ Харьковский национальный университет им.В.Н.Каразина, Харьков Получено 06.09.2009 Приведены результаты экспериментальных исследований волновых процессов в двухслойной системе несмешиваю- щихся электропроводных жидкостей, заполняющих прямоугольную ячейку и ограничиченных сверху и снизу го- ризонтальными пластинами–электродами. В однородном вертикальном магнитном поле с увеличением силы тока, пропускаемого через рассматриваемую МГД–систему, равновесное состояние жидкостей теряет устойчивость, сме- няясь волновым режимом движения. Определены критические значения силы тока, отвечающие режиму возбуж- дения волн на поверхности раздела жидкостей. Проведены расчеты границы области устойчивости в пространстве основных параметров МГД–системы. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными данными. Наведено результати експериментальних дослiджень хвильових процесiв у двошаровiй системi незмiшуваних еле- ктропровiдних рiдин, якi заповнюють прямокутну комiрку й обмеженi зверху i знизу горизонтальними пластинами– електродами. В однорiдному вертикальному магнiтному полi зi збiльшенням сили струму, що пропускається через дану МГД–систему, рiвноважний стан рiдин втрачає стiйкiсть, змiнюючись хвильовим режимом руху. Визначено критичнi значення сили струму, якi вiдповiдають режиму збудження хвиль на поверхнi роздiлу рiдин. Проведено розрахунки межi областi стiйкостi у просторi основних параметрiв МГД–системи. Результати розрахункiв порiвню- ються з експериментальними даними. The results of experimental studies of wave processes in the two-layer system of immiscible conducting fluids bounded by horizontal plates-electrodes are presented. The fluids fill a rectangular cell situated in the uniform vertical magnetic field. With increase of current passing through fluids the equilibrium state of the MHD–system becomes unstable. Such instability appears as arising of interfacial waves. The critical values of current strength corresponding to the regime of interfacial waves excitation are found. Computation of the stability region boundary in the space of basic parameters of the MHD–system is carried out. Calculation results are compared with experimental data. ВВЕДЕНИЕ Исследование волновых процессов в двухслой- ной системе несмешивающихся токонесущих жид- костей представляет большой практический инте- рес в связи с МГД–проблемами алюминиевых эле- ктролизеров. Современное промышленное производство алю- миния осуществляется электролизом криолито– глиноземных расплавов [1]. В электролизной ван- не, выполненной из углеродистых материалов, внизу на подине находится слой расплавленного алюминия, сверху - слой электролита. В электро- лит (расплав криолита Na3AlF6 и растворенного в нем глинозема Al2O3) частично погружен уголь- ный анод. Расплав алюминия и подовые блоки ванны являются катодным узлом электролизера. Через указанную двухслойную систему жидко- стей пропускается электрический ток с объемной плотностью порядка 1 А/см2. В процессе электро- литического разложения глинозема на нижнем слое (катоде) осаждается алюминий, на уголь- ном аноде идут реакции окисления с образованием углекислого и других газов. Стремление к минимизации затрат на производ- ство алюминия привело к созданию электроли- зеров большой мощности, рассчитанных на силу тока 200–300 кА; в последнее время ведутся ра- зработки электролизеров на силу тока до 500 кА. Как показала практика эксплуатации таких агре- гатов, увеличение мощности обычно сопровождае- тся рядом нежелательных эффектов. Электрома- гнитные силы могут приводить к значительным перекосам (отклонениям от горизонтального уров- ня) поверхности раздела расплавленного метал- ла и электролита, возрастанию (выше допустимо- го уровня) скорости вихревых течений расплава. При определенных условиях на поверхности ра- здела "металл–электролит"генерируются крупно- масштабные волны. Это приводит к резкому сни- жению основных технико–экономических показа- телей работы электролизеров. Исследованию МГД–процессов в алюминиевых электролизерах посвящена обширная литература (см. [1–24] и указанную в них библиографию). Эк- c© И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев, 2010 3 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 спериментальные исследования проводились в [3, 5, 6] и ряде других работ. Следует отметить, что проведение экспериментов на промышленных эле- ктролизерах представляет значительные труднос- ти, связанные с высокой температурой, химиче- ской агрессивностью и труднодоступностью зоны расплава. По этой причине особое значение при- обретает математическое моделированию МГД– процессов. Проверка адекватности математических моде- лей проводилась, как правило, на однослойных физических моделях [7, 9] с использованием ртути или сплава In - Ga - Sn. Такие модели дают воз- можность исследовать вихревые течения жидко- го металла, вызываемые электромагнитными си- лами. Для моделирования волновых процессов в [21] предложена установка, представляющая собой ячейку квадратного сечения 30×30 см2, заполнен- ную сплавом In – Ga – Sn, имитирующим слой жидкого алюминия. Слой электролита имитируе- тся системой 900 тонких вертикальных стержней– электродов, равномерно распределенных по пло- щади ячейки. Такая "мультиэлектродная модель электролизера"позволяет пропускать ток до 2 кА с незначительным джоулевым тепловыделением, практически не влияющим на температуру жид- кого металла In – Ga – Sn. Ячейка помещается во внешнее однородное магнитное поле с индукцией до 100 мТл, создаваемое с помощью двух прямоу- гольных катушек Гельмгольца с током до 600 А. С увеличением индукции внешнего магнитного поля и/или тока, пропускаемого через металл, на свобо- дной поверхности металла генерировались волны. Появление волн регистрировалось по колебаниям напряжения на датчиках, расположенных на бо- ковых стенках ячейки. Физическое моделирование волновых процессов в системе несмешивающихся токонесущих жид- костей, взаимодействующих с внешним магни- тным полем, по–видимому, впервые было осу- ществлено авторами данной статьи в [10]. Ни- же приведено описание установки, предложенной в [10] и позволяющей воспроизводить практичес- ки весь комплекс МГД–процессов, протекающих в промышленных алюминиевых электролизерах. Основное внимание уделено изложению результа- тов исследования волновых процессов в двухслой- ной системе электропроводных жидкостей, запол- няющих прямоугольную ячейку, помещаемую в однородное вертикальное магнитное поле. Показа- но, что возбуждение волн на поверхности раздела жидкостей носит пороговый характер. Определе- ны критические значения параметров расматрива- Рис. 1. Схема экспериментальной устaновки емой МГД–системы, отвечающие режиму генера- ции волн. Приведены результаты расчетов волно- вых процессов на основе математической модели, предложенной в [23, 24]. Проведено сравнение эк- спериментальных и численных результатов. 1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Экспериментальное исследование МГД– процессов проводилось на установке, принци- пиальная схема которой показана на рис. 1. В проведенных экспериментах в качестве ни- жней жидкости 1 использовался водный раствор азотной кислоты HNO3, в качестве верхней жидко- сти 2 – раствор азотной кислоты в амиловом спир- те (1–пентаноле) C5H12O. Используемые раство- ры обладают близкими плотностями, достаточно малой вязкостью и значительно различающимися удельными электропроводностями. Это позволяет наблюдать появление волн на поверхности разде- ла жидкостей в сравнительно слабом магнитном поле, достижимом в лабораторных электромагни- тах малой мощности. Анод 3 выполнен из листовой нержавеющей ста- ли толщиной 1.5–2 мм. В аноде предусмотрена сис- тема отверстий малого диаметра, служащих для отвода газа, образующегося в результате химиче- ских реакций при пропускании тока через жид- кости. Катодный узел установки состоит из съем- ной вставки 4 и стальной пластины 5 толщиной 1.5–2 мм. Вставка 4, имитирующая подину эле- 4 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 ктролизной ванны, выполнялась из пористого ма- териала и пропитывалась водным раствором азо- тной кислоты. Эффективная (усредненная) удель- ная электропроводность вставки была на 1–2 по- рядка меньше удельной электропроводности ра- створа 1. Использование вставок с различной эле- ктропроводностью дает возможность эксперимен- тально исследовать влияние электрофизических свойств подины электролизной ванны на МГД– процессы в расплаве. Ванна 6, содержащая жидкости, выполнена из оргстекла. В экспериментах использовались ванны с площадью поперечного сечения 20 − 30 см2 при различных соотношениях горизонталь- ных размеров kL := Lx/Ly. Анод крепится к бо- ковым стенкам ванны с помощью специальной по- двески, позволяющей регулировать его положение относительно катода. Электрическая цепь экспериментальной уста- новки содержит низковольтный источник питания постоянного тока (не показан на рис. 1), перемен- ное сопротивление 7, амперметр 8. Включение в цепь переменного сопротивления позволяет плав- но регулировать силу тока J в цепи и избежать резких колебаний тока при возбуждении колеба- ний поверхности раздела жидкостей. Ванна с жидкостями помещалась между полю- сами электромагнита постоянного тока 9. В ме- ждуполюсном зазоре электромагнита создавалось вертикальное магнитное поле с достаточно высо- кой степенью однородности. Индукция магнитно- го поля B варьировалась в пределах 0.15−0.25 Тл. В силу относительно низкой электропроводно- сти раствора азотной кислоты в амиловом спир- те пропускание тока вызывало довольно значи- тельный разогрев жидкостей. Замеры темпера- туры осуществлялись с помощью предваритель- но отградуированных термопар (не показаны на рис.1). Результаты этих замеров использовались в расчетах для определения физических характери- стик жидкостей при температуре, соответствую- щей условиям эксперимента. Основной объем приведенных ниже экспери- ментальных результатов получен с использовани- ем 10 %-го (по массе) водного раствора азотной кислоты и 15 %-го раствора кислоты в амило- вом спирте. Для этих растворов были проведе- ны измерения плотности, коэффициентов вязко- сти и удельной электропроводности в температур- ном диапазоне 20 − 60 ◦C, зафиксированном в эк- спериментах. Удельные электропроводности σ1, σ2 растворов определялись методом четырехэлектродных яче- ек [25]. Измерения показали, что σ1, σ2 в диа- пазоне от 20◦C до 60◦C практически не зависят от температуры и имеют следующие значения: σ1 = 47.5 См/м – для 10 %-го водного раствора, σ2 = 0.67 См/м – для 15 %-го раствора азотной кислоты в амиловом спирте. Плотности растворов с указанными выше массо- выми долями кислоты при температуре t◦ 0 = 20◦C составляли: ρ01 = 1054 кг/м3 – для водного ра- створа, ρ02 = 875 кг/м3 – для раствора на осно- ве амилового спирта. Для аппроксимации тем- пературных зависимостей плотностей растворов использовалась формула ρi = ρ0i 1 + ki1(t◦ − t◦ 0 ) + ki2(t◦ − t◦ 0 )2 + ki3(t◦ − t◦ 0 )3 , (1) где t◦− температура в градусах Цельсия; индекс i = 1 относится к водному раствору, i = 2 – к ра- створу азотной кислоты в амиловом спирте. Ко- эффициенты kij в (1) принимались равными k11 = 0.204 · 10−3, k21 = 1.145 · 10−3, k12 = 5.124 · 10−6, k22 = 6.930 · 10−6, k13 = −1.709 · 10−8, k23 = 1.160 · 10−8. Измерения коэффициентов вязкости раство- ров проводились с использованием вискозиметра Освальда закрытого типа, помещаемого в жидко- стный термостат, в котором с помощью электрона- гревательной спирали поддерживалась заданная температура. Экспериментальные зависимости ко- эффициентов кинематической вязкости растворов ν1, ν2 от температуры t◦ достаточно хорошо аппро- ксимируются формулами: νi = ν0i 1 + æi1(t◦ − t◦ 0 ) + æi2(t◦ − t◦ 0 )2 , i = 1, 2 (2) æ11 = 0.021, æ21 = 0.029, æ12 = 1.598 · 10−4, æ22 = 4.199 · 10−4. При t◦0 = 20◦C в (2) следует принять: ν01 = 0.996 · 10−6 м2/с – для 10 %-го водного раствора, ν02 = = 4.43 · 10−6 м2/с – для 15 %-го раствора азотной кислоты в амиловом спирте. При горизонтальном расположении пластин анода и катода, перекрывающих всю площадь по- перечного сечения ванны, объемная плотность то- ков ~j в жидкостях имеет преимущественно вер- тикальное направление. Взаимодействие этих то- ков с вертикальным магнитным полем рабочего пространства электромагнита не приводит к по- явлению перекосов поверхности раздела и эле- ктровихревых течений жидкостей. Отметим так- же, что в проведенных экспериментах протекание И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 5 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 электрического тока не вызывало сколь-нибудь су- щественных термоконвективных течений жидко- стей. Таким образом, при достаточно малых значе- ниях тока J жидкости находятся в состоянии механического равновесия, поверхность раздела жидкостей остается практически горизонтальной. Однако при постепенном увеличении тока по до- стижению им некоторого критического (порогово- го) значения Jкр равновесное состояние системы сменяется волновым режимом движения жидко- стей. В этом режиме на поверхности раздела жид- костей генерируются волны, длина которых сои- змерима с горизонтальными размерами ванны. Экспериментальное определение порогово- го значения силы тока Jкр, соответствующего появлению поверхностных волн, проводилось следующим образом. Наращиванием силы тока, пропускаемого через ячейку, вызывалось появ- ление волн на поверхности раздела жидкостей. Затем осуществлялось постепенное уменьшение силы тока и фиксировалось ее максимальное значение Jкр, при котором происходило полное затухание поверхностных волн. С увеличением 4J := J − Jкр > 0 амплитуда генерируемых поверхностных волн возрастала (и могла до- стигать значений, сопоставимых с толщинами слоев жидкостей h1, h2), тогда как при 4J → 0 амплитуда волн стремилась к нулю. Повторное увеличение J с последующим его уменьшением позволяло уточнять критическое значение силы тока Jкр. Колебания поверхности раздела жидкостей до- статочно быстро приобретали периодический по времени характер, если значение тока J поддер- живалось постоянным и превосходило Jкр. С выхо- дом волновых процессов на периодический режим проводились измерения периода T и круговой ча- стоты колебаний ω := 2π/T . Одновременно осу- ществлялась фото– и киносъемка поверхностных волн на протяжении 30–40 периодов колебаний. Анализ фотоснимков позволял получать дополни- тельную информацию о волновых процессах. Появлениe волн на поверхности раздела жидко- стей можно вызвать, увеличивая индукцию B вне- шнего магнитного поля при фиксированном зна- чении тока J , пропускаемого через жидкости. В этом случае определялось критическое значение индукции магнитного поля Bкр. Забегая вперед, отметим,что в обоих случаях критические значе- ния параметра МГД–взаимодействия, определен- ного в следующем разделе, совпадали (в пределах погрешности измерений). 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Пусть ~v− поле скоростей, ~j− плотность тока в областях, занимаемых жидкостями, ζ− отклоне- ние поверхности раздела жидкостей от горизон- тального уровня. Равновесному состоянию жид- костей отвечает тривиальное решение уравнений магнитной гидродинамики: ~v = 0, ζ = 0, ~j = −~ezj0, ~B = ~ezB0 , (j0, B0 = const), где ~ez− орт вертикальной оси Oz. Формально условия равновесия выполняются при любых зна- чениях плотности тока j0 и индукции магнитного поля B0. Появление волн на поверхности разде- ла жидкостей означает, что при J > Jкр решения, отвечающие равновесному состоянию жидкостей, теряют устойчивость относительно начальных во- змущений поля скоростей и отклонений поверхно- сти раздела жидкостей от горизонтального уров- ня. Для малых значений 4J = (J − Jкр) > 0 гене- рируемые поверхностные волны имеют малую ам- плитуду, что позволяет привлечь к их описанию линеаризованные уравнения магнитной гидроди- намики. Полная формулировка эволюционной за- дачи о малых колебаниях токонесущих жидкостей в окрестности равновесного состояния приведена в работах [23, 24]. В них же подробно описана проце- дура метода Галеркина, применяемого к исследо- ванию устойчивости равновесия и волновых про- цессов в рассматриваемой МГД–системе. Опуская подробности, укажем основные этапы реализации метода Галеркина. В качестве бази- сных функций ~vk(~x), ζk(x, y) для поля скоростей ~v(t, ~x) и отклонений ζ(t, x, y) поверхности раздела жидкостей от горизонтального уровня выбирались собственные функции задачи о свободных колеба- ниях системы вязких жидкостей в отсутствие ма- гнитного поля и токов. Решение последней задачи отыскивалось в приближении пограничного слоя. Базисные функции ~jk(~x) для возмущений объем- ной плотности токов в жидкостях определялись по функциям ~vk, ζk как решения некоторых краевых задач (см. [23, 24]). Приближенное решение эволюционной задачи о малых колебаниях системы токонесущих жидко- стей во внешнем магнитном поле отыскивалось в виде (~v,~j, ζ)(t, ~x) ' N ∑ k=1 qk(t)(~vk(~x),~jk(~x), ζk(x, y)). (3) 6 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 Метод Галёркина редуцирует исходную эволюци- онную задачу к задаче Коши для системы обыкно- венных дифференциальных уравнений относи- тельно функций qk(t): A d2q(t) dt2 + D dq(t) dt + (B + M)q(t) = 0, (4) q(0) = q0, dq(0) dt = q1, (5) q(t) := (q1(t), q2(t), . . . , qN(t))T . Здесь A, B – матрицы кинетической и потенци- альной энергий; D – матрица диссипации энер- гии; M – матрица МГД–взаимодействия; q0, q1− N−компонентные векторы, определяющие на- чальные возмущения равновесного состояния. Яв- ные выражения для всех указанных матриц при- ведены в [23, 24]. Число N базисных функций определялось из условий практической сходимо- сти вычислительного процесса. Отыскивая решения системы уравнений (4) ви- да q(t) = exp(λt) c, приходим, как обычно, к алге- браической спектральной задаче: ( λ2A + λD + (B + M) ) c = 0, c := (c1, c2, . . . , cN)T . (6) Пусть λN k := γN k + i ωN k (i − мнимая единица), k = 1, 2N – собственные значения квадратичного пу- чка матриц (6). Условие устойчивости (неустой- чивости) решений уравнения (4) относительно на- чальных возмущений, как известно, имеет вид: max k=1,2N γN k < 0 (> 0) − условие (не)устойчивости. (7) Пусть cN k := (cN k1 , cN k2 , . . . , cN kN)T , k = 1, 2N - соб- ственный вектор спектральной задачи (6), отвеча- ющий собственному значению λN k . В общем случае компоненты cN ks собственных векторов cN k прини- мают комплексные значения, cN ks := aN ks + ibN ks, k = 1, 2N, s = 1, N. Зная λN k , cN k , нетрудно выписать общее решение системы уравнений (4) и, тем самым, приближен- ное решение исходной эволюционной задачи. Для функций ζ(t, ~x), описывающих колебания поверх- ности раздела жидкостей, будем иметь, в частнос- ти, ζ ' ζN (t, ~x) := := 2N ∑ k=1 N ∑ s=1 Ak exp(γN k t)(aN ks cosωN k t − bN ks sin ωN k t)ζs, (8) ζs ' cos πmsx Lx cos πnsy Ly (0 < x < Lx, 0 < y < Ly), ms, ns = 0, 1, 2, . . . , ms + ns 6= 0, где Ak – постоянные, определяемые начальными условиями (5). Пару целых чисел (ms, ns) будем называть номером моды колебаний ζs. Условие (7) устойчивости решений системы (4) естественно принять в качестве условия устой- чивости равновесного состояния рассматриваемой МГД–системы. Действительно, как видно из (8), при выполнении условия устойчивости (7) откло- нения ζ поверхности раздела жидкостей от равно- весного положения стремятся к нулю при t → ∞ для любых значений коэффициентов αk, опреде- ляющих начальные возмущения поверхности. При выполнении условия неустойчивости (7) существу- ют возмущения, отвечающие неограниченному ро- сту ζ при t → ∞. Введем безразмерный параметр МГД– взаимодействия W = JB g(ρ1 − ρ2)S , характеризующий соотношение электромагни- тных и гравитационных сил. Одним из основных геометрических безразмерных параметров явля- ется введенное ранее отношение горизонтальных размеров ванны kL := Ly/Lx. Выбирая величину L := S1/2 в качестве характерного линейного размера, введем безразмерные толщины сло- ев нижней и верхней жидкостей: h1 := h1/L, h2 := h2/L. Определим также числа Галилея Gak := gL3/ν2 k, k = 1, 2, характеризующие отно- шение сил тяжести к силам вязкости в k-ой жидкости. В дальнейшем ограничимся исследованием вли- яния перечисленных параметров на пороги воз- буждения и формы поверхностных волн. Полная совокупность безразмерных (физических и геоме- трических) параметров, определяющих поведение рассматриваемой МГД–системы, приведена в [23]. Граница области устойчивости равновесных со- стояний жидкостей в пространстве безразмерных параметров определяется уравнением: max k=1,2N γN k (W, kL, h1, h2, Ga1, Ga2) = 0. (9) Разрешая (численно) уравнение (9), полу- чим критические значения параметра МГД– взаимодействия Wкр в зависимости от остальных параметров. Это позволяет представить уравнение границы области устойчивости в виде: W = Wкр(kL, h1, h2, Ga1, Ga2). (10) И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 7 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 Рис. 2. Зависимость Wкр от соотношения горизонтальных размеров ванны kL при h1 = h2 = 0.3 Для значений параметров, принадлежащих гра- нице области устойчивости, колебания поверхно- сти раздела жидкостей независимо от начальных возмущений выходят на периодический режим: ζ = N ∑ s=1 (αs cos(ωk∗t) − βs sin(ωk∗t)) ζs(x, y), (11) αs := Ak∗ak∗s, βs := Ak∗bk∗s. Здесь k∗− номер собственной частоты λN k∗ , для ко- торой достигается максимум в левой части урав- нения, (9). Круговая частота периодических коле- баний определяется равенством: ωk∗ = Im λk∗(kL, h1, h2, Ga1, Ga2). (12) Процедура численного определения границы обла- сти устойчивости и частоты (периода) колебаний описана в [23, 24]. 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ВЫЧИСЛЕНИЙ На рис. 2 сопоставлены теоретические и экспе- риментальные значения Wкр в зависимости от со- отношения горизонтальных размеров ванны kL = Ly/Lx. Приведенные результаты относятся к ван- нам без подовой вставки 4. Эксперименты прово- дились, в основном, на ваннах с площадью попе- речного сечения 20 см2 при высоте слоев нижней и верхней жидкостей h1 = h2 = 14 мм. Поскольку в экспериментах не удавалось обеспе- чить постоянство температуры (в силу разогрева жидкостей электрическим током), то расчеты про- ведены при температурах 35, 45, 55◦C. Как видно из представленных результатов, эксперименталь- ные значения параметра Wкр достаточно хорошо укладываются в расчетный диапазон. Вычисления показали, что в уравнении (11), определяющим периодические колебания поверх- ности раздела жидкостей, как правило, две пары коэффициентов αs, βs значительно превосходят по величине все остальные коэффициенты. Физиче- ски это означает, что раскачка поверхности разде- ла жидкостей происходит преимущественно в ре- зультате взаимодействия двух мод колебаний, на- званных в [23] главными взаимодействующими мо- дами. Графики зависимостей Wкр(kL) претерпевают характерные изломы, объясняемые сменой глав- ных взаимодействующих мод колебаний при изме- нении kL. Номера этих мод (ms, ns) указаны на рис. 2 над соответствующими гладкими участка- ми графиков. Отличительной особенностью главных мод яв- ляется совпадение или близость отвечающих им собственных частот колебаний жидкостей в отсут- ствие магнитного поля. Магнитное поле "выравни- вает"эти частоты, приводя, тем самым, к резонан- сному взаимодействию главных мод колебаний. Результаты обработки фотоснимков позволяют утверждать, что расчетные номера главных взаи- модействующих мод колебаний совпадают с реа- 8 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 лизуемыми в эксперименте. Иначе говоря, фор- ма наблюдаемых в экспериментах поверхностных волн качественно совпадает с расчетной картиной волновых процессов. Изменение параметра kL (при сохранении значе- ний остальных параметров) сопровождается ска- чком частоты (периода) колебаний жидкостей. Этот факт, обнаруженный в расчетах, полностью подтвердился в экспериментах. Рис. 3. Зависимость периода колебаний T от соотношения горизонтальных размеров ванны kL при h1 = h2 = 14 мм, S = 20 см2 На рис. 3 приведены экспериментальные и ра- счетные значения периодов колебаний T в зависи- мости от соотношения горизонтальных размеров ванны с площадью поперечного сечения S = 20 см2 при h1 = h2 = 14 мм; расчеты проведены для температуры t◦ = 45◦C. Вертикальные штриховые прямые на рис. 3 выделяют зоны непрерывного изменения частоты (периода) колебаний. В пре- делах этих зон главные взаимодействующие моды колебаний имеют одни и те же номера (указанные в круглых скобках под соответствующим участком графика). Расхождение экспериментальных и расчетных значений периодов колебаний для различный зна- чений kL, как правило, не превышало 10%. Исклю- чение составляют значения kL, попадающие на границу двух соседних зон. В этом случае наблю- далась смена режимов колебаний МГД–системы, сопровождающаяся сменой частот и форм поверх- ностных волн. Исследования влияния глубины h1 слоя нижней жидкости на пороги возбуждения поверхностных волн показали, что при наличии съемной вставки 4, имитирующей подину электролизера, значения Wкр существенно понижаются с уменьшением h1. Качественно иная картина наблюдается в отсут- ствие подовой вставки 4. В этом случае возбужде- ние поверхностных волн происходит при тем боль- ших значениях Wкр, чем меньше h1. Для доста- точно больших значений уровня нижней жидкости (h1 ≥ 0.5) значения Wкр выходят на насыщение, т. е. практически перестают зависить от h1. Проведенные измерения не позволили обнару- жить сколь–нибудь четкую зависимость значений Wкр от толщины слоя верхней жидкости h2. Отли- чия значений Wкр при изменении h2 не превышали погрешности измерений. Из других результатов экспериментальных на- блюдений отметим следующие. Изоляцией части поверхности анода можно было вызвать интенсив- ные вихревые течения жидкостей и значительные перекосы их поверхности раздела. К такому же эффекту приводило нарушение горизонтальности пластины анода 3. С увеличением силы тока стати- ческие перекосы и вихревые течения дополнялись колебаниями поверхности раздела жидкостей. Внесение ванны с жидкостями в однородное го- ризонтальное магнитное поле не позволило обна- ружить возбуждение волн на поверхности раздела жидкостей. Параметр МГД–взаимодействия при этом практически на порядок превышал значе- ния Wкр, отвечающие вертикальному магнитному полю. Тем самым, экспериментально подтвержде- на определяющая роль вертикального магнитного поля в механизме генерации волн на поверхности раздела жидкостей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенные эксперименты были направлены, в основном, на проверку математической модели волновых процессов в МГД–системе несмешиваю- щихся токонесущих жидкостей, представляющей собой упрощенную физическую модель электроли- зера для производства алюминия. К несомненным достоинствaм физической модели следует отнести максимально возможную визуализацию исследуе- мых процессов. Это дало возможность получить достаточно полную информацию об условиях во- зникновения и форме волн, генерируемых на по- верхности раздела жидкостей. Экспериментально установлен пороговый ха- рактер волновых процессов. Определены крити- ческие значения параметра МГД-взаимодействия (пропорционального силе тока и индукции ма- гнитного поля), отвечающие режиму возбуждения волн. Показано, что форма поверхностных волн определяется, в основном, линейной комбинацией И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 9 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 3 – 10 двух основных мод колебаний. В отсутствие ма- гнитного поля и токов этим модам отвечают совпа- дающие или близкие по величине собственные ча- стоты колебаний жидкостей. Резонансное взаимо- действие этих мод является основной причиной возбуждения волн на поверхности раздела жид- костей. Сравнительный анализ численных и экспери- ментальных результатов позволяет утверждать, что пороги волнообразования с достаточной для практических целей точностью определяются на основе линейной теории поверхностных волн. Пре- длагаемая математическая модель волновых про- цессов и методы их анализа могут быть использо- ваны для оптимизации конструктивных и техно- логических параметров алюминиевых электроли- зеров большой мощности. 1. Ветюков М. М., Цыплаков А. М., Школьни- ков С. Н. Электрометаллургия алюминия и магния.– М.: Металлургия, 1987.– 320 с. 2. Мещеряков С. М. О влиянии магнитных полей ошиновки на работу электролизных ванн // Цве- тные металлы.– 1955.– N 6.– С. 22–25. 3. Urata N., Mori S., Ikeuchi H. Behaviour of bath and molten metal in aluminium electrolytic cell // Keikinzoku.– 1976.– 26, N 11.– P. 573–600. 4. Sele T. Instabilities of the metal surface in electrolytic aluminia reduction cells // Metallurgical transactions.– 1977.– 8B.– P. 613–618. 5. Cherchi S., Degan G. Oscillation of liguid in industrial reduction cells // Light Metals. – 1983. – P. 457–467. 6. Абрамов А. А., Скворцов А. П., Пряхин Г. С. Ана- лиз причин нестабильной работы мощных алю- миниевых электролизеров // Цветные металлы.– 1985.– N 6.– С. 44–47. 7. Lee H., Evans J.W. Physical model for electromagneticflly driven flow in Hall cells Light Metals. – 1985. – P. 569–579. 8. Sneyd A. D. Stability of fluid layers carrying a normal electric current // J.Fluid Mech.– 1985.– 156.– P. 223–236. 9. Горбачев Е.В., Кравцов В.Г., Чайковский А.И. Фи- зическое моделирование МГД-процессов в алю- миниевых электролизерах // Цветные металлы.– 1988.– № 1.– С. 38–41. 10. Исследование МГД – явлений в алюминиевых эле- ктролизерах большой мощности: Отчет о НИР (промежуточн.) / Харьковский гос. ун-т им. А.М.Горького; №ГР 0186.0130987.– Харьков, 1988. – 82 с. 11. Sneyd A. D., Wang A. Interfacial instability due to MHD mode coupling in aluminium reduction cells // J.Fluid Mech.– 1994.– 263.– P. 243–259. 12. Bojarevich V., Romerio M. V. Long waves instability of liquid metal–electrolyte interface in aluminium electrolysis cells: a generation of Sele’s criterion // Euro.J.Mech., B/Fluids.– 1994.– 13 № 1.– P. 33–56. 13. Davidson P. A. An energy analysis of unstable, alumi- nium reduction cells // Euro.J.Mech., B/Fluids.– 1994.– 13 N 1.– P. 15–32. 14. Lindsay J. R., Davidson P. A. Application of new stability criteria to industrial cell design // Light Metals. – 1997. – P. 423–428. 15. Davidson P. A., Lindsay J. R. A new model of interfacial waves in aluminium reduction cells // Li- ght Metals. – 1997. – P. 437–442. 16. Davidson P. A., Lindsay J. R. Stability of interfacial waves in aluminium reduction cells // J.Fluid Mech.– 1998.– 362.– P. 273–295. 17. Lukyanov A., El G., Molokov S. Instability of MHD- modified interfacial gravity waves revisited // Phisics Letters A.– 2001.– 290.– P. 165–172. 18. Kurenkov A., Thess A., Zikanov O., Segatz M., Droste Ch., Vogelsang D. Stability of alumi- num reduction cells with mean flow // Magnetohydrodynamics.– 2004.– 40 N 2.– P. 203– 212. 19. Алаторцев А. В., Кузьмин Р. Н., Савенкова Н. П., Проворова О. Г. Динамическая модель магнитно- гидродинамических процессов в алюминиевом эле- ктролизере // Прикладная физика.– 2004.– N 5.– С. 33–41. 20. Алаторцев А. В., Кузьмин Р. Н., Савенкова Н. П., Проворова О. Г. Повышение эффективности эле- ктролиза алюминия с помощью математического моделирования // Прикладная физика.– 2007.– N 4.– С. 34–42. 21. Pedcenko A., Molokov S., Thomas P. J. , Lukyanov A., Priede J. Experimental study of interfacial instability in aluminium reduction cells // Proc. 7th PAMIR Conference on Fundamenatl and Applied MHD.– Presquile de Giens, France 8th-12th September, 2008.– P. 923–927. 22. Борисов И. Д., Никифоров С. А., Пацегон Н. Ф., Руднев Ю. И., Скворцов А. П. Математическое мо- делирование МГД–процессов в алюминиевых эле- ктролизерах // Вiсник Донецького унiверситету, Сер. А: Природничi науки.– 2002.– № 1.– С. 195– 199. 23. Борисов И. Д., Пославский С. А., Руднев Ю. И. Устойчивость равновесия системы несмешиваю- щихся токонесущих жидкостей в магнитном по- ле // Прикладная гидромеханика.– 2006.– 8(80), № 4.– С. 3–14. 24. Борисов И. Д., Пославский С. А., Руднев Ю. И. Волновые процессы в двухслойной системе несме- шивающихся токонесущих жидкостей // Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету iм. В. Н. Каразiна, Сер.: Математика, прикладна математи- ка, механiка.– 2008.– № 826.– С. 165–184. 25. Багоцкий В.С. Основы электрохимии.– М.: Химия, 1988.– 400 с. 26. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.– М.: Наука, 1972.– 320 с. 27. Кикоин И.К. Таблицы физических величин. Справочник.– М.: Атомиздат, 1976.– 1008 с. 10 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев

Экспериментальное исследование волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся токонесущих жидкостей

Репозитарії

Схожі ресурси