Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса
Приведены результаты экспериментальных исследований волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся электропроводных жидкостей, заполняющих прямоугольную ячейку и ограничиченных сверху и снизу горизонтальными пластинами-электродами. В однородном вертикальном магнитном поле с увеличением сил...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладна гідромеханіка |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 11-27. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87721 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877212015-10-25T03:01:57Z Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Приведены результаты экспериментальных исследований волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся электропроводных жидкостей, заполняющих прямоугольную ячейку и ограничиченных сверху и снизу горизонтальными пластинами-электродами. В однородном вертикальном магнитном поле с увеличением силы тока, пропускаемого через рассматриваемую МГД-систему, равновесное состояние жидкостей теряет устойчивость, сменяясь волновым режимом движения. Определены критические значения силы тока, отвечающие режиму возбуждения волн на поверхности раздела жидкостей. Проведены расчеты границы области устойчивости в пространстве основных параметров МГД-системы. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными данными. Наведено результати експериментальних досліджень хвильових процесів у двошаровій системі незмішуваних електропровідних рідин, які заповнюють прямокутну комірку й обмежені зверху і знизу горизонтальними пластинами-електродами. В однорідному вертикальному магнітному полі зі збільшенням сили струму, що пропускається через дану МГД-систему, рівноважний стан рідин втрачає стійкість, змінюючись хвильовим режимом руху. Визначено критичні значення сили струму, які відповідають режиму збудження хвиль на поверхні розділу рідин. Проведено розрахунки межі області стійкості у просторі основних параметрів МГД-системи. Результати розрахунків порівнюються з експериментальними даними. The results of experimental studies of wave processes in the two-layer system of immiscible conducting fluids bounded by horizontal plates-electrodes are presented. The fluids fill a rectangular cell situated in the uniform vertical magnetic field. With increase of current passing through fluids the equilibrium state of the MHD-system becomes unstable. Such instability appears as arising of interfacial waves. The critical values of current strength corresponding to the regime of interfacial waves excitation are found. Computation of the stability region boundary in the space of basic parameters of the MHD-system is carried out. Calculation results are compared with experimental data. 2010 Article Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 11-27. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87721 532.526.5 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Приведены результаты экспериментальных исследований волновых процессов в двухслойной системе несмешивающихся электропроводных жидкостей, заполняющих прямоугольную ячейку и ограничиченных сверху и снизу горизонтальными пластинами-электродами. В однородном вертикальном магнитном поле с увеличением силы тока, пропускаемого через рассматриваемую МГД-систему, равновесное состояние жидкостей теряет устойчивость, сменяясь волновым режимом движения. Определены критические значения силы тока, отвечающие режиму возбуждения волн на поверхности раздела жидкостей. Проведены расчеты границы области устойчивости в пространстве основных параметров МГД-системы. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными данными. |
| format |
Article |
| author |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. |
| spellingShingle |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса Прикладна гідромеханіка |
| author_facet |
Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. |
| author_sort |
Бруяцкий, Е.В. |
| title |
Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса |
| title_short |
Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса |
| title_full |
Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса |
| title_fullStr |
Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса |
| title_full_unstemmed |
Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса |
| title_sort |
прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений навье-стокса |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87721 |
| citation_txt |
Прямое численное моделирование течения в плоском внезапно расширяющемся канале на основе уравнений Навье-Стокса / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 11-27. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT bruâckijev prâmoečislennoemodelirovanietečeniâvploskomvnezapnorasširâûŝemsâkanalenaosnoveuravnenijnavʹestoksa AT kostinag prâmoečislennoemodelirovanietečeniâvploskomvnezapnorasširâûŝemsâkanalenaosnoveuravnenijnavʹestoksa |
| first_indexed |
2025-07-06T15:24:18Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:24:18Z |
| _version_ |
1836911646240407552 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
УДК 532.526.5;
ПРЯМОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ
В ПЛОСКОМ ВНЕЗАПНО РАСШИРЯЮЩЕМСЯ КАНАЛЕ
НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
Е. В. БР У Я ЦК И Й, А. Г. КО СТИ Н
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 25.05.2009
Представлены результаты численного исследования структуры течения в плоском канале в зоне его внезапного
расширения. Расчеты выполнены на основе решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в
переменных скорость-даление методом разностей на установление. В результате исследованы поля скоростей и
давления, изучена вихревая структура циркуляционного течения в области за уступом и определена протяженность
этой зоны в зависимости от числа Рейнольдса и параметра расширения. Полученные результаты сравниваются с
известными экспериментальными и расчетными данными.
Представленi результати чисельного дослiдження структури течiї у плоскому каналi на дiлянцi його раптового роз-
ширення. Розрахунки виконанi на основi рiшення повної системи нестацiонарних рiвнянь Навьє-Стокса у змiнних
швидкiсть-тиск. Рiшення одержано методом кiнцевих вiдмiнностей на основi використання унiверсального дискре-
тного аналогу рiвнянь ламiнарних течiй. В результатi вивченi поля швидкостей тиску, вихорова структура цирку-
ляцiйної течiї в областi за уступом i визначений простiр цiєї зони в залежностi вiд числа Рейнольса та параметру
розширення. Одержанi результати порiвнюються з вiдомими експериментальними та розрахунковими даними.
Numerical results are presented of flow structure investigation in a flat channel in a feald of its sudden expansion. The
calculations are based on a solution of full nonstationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables using the
finite difference method for identification. As a result, fields of pressure and velocities are investigated, a vortical structure
of the circulation flow is studied behind a step, and an extension of this zone is determined depending on the Reynolds
number and an expansion parameter. The obtained results are compared with known experimental and calculating data.
ВВЕДЕНИЕ
Фрагменты течения жидкости во внезапно ра-
сширяющихся каналах встречаются в различных
технических устройствах и сооружениях. Резкое
изменение геометрии стенки канала или поверх-
ности обтекаемого тела способно вызвать отрыв
потока и существенно изменить его кинематиче-
скую структуру. Течение в плоском канале с внеза-
пным расширением относится к наиболее просто-
му классу отрывных течений, когда точка отрыва
потока является фиксированной. Теоретический
расчет таких течений представляет большие труд-
ности из-за образования сложных отрывных и
возвратно-циркуляционных течений в области за
уступом.
Первые расчеты стационарных двумерных ла-
минарных отрывных течений несжимаемой жид-
кости в каналах были получены Блазиусом еще в
1910 году аналитически в виде рядов [1]. В даль-
нейшем эта задача использовалась многими ис-
следователями для изучения механизмов отрыв-
ных течений и для тестирования разностных схем
решения уравнений Навье-Стокса. В силу боль-
шой практической значимости такие течения изу-
чались теоретически и экспериментально как для
ламинарных [2–4], так и для турбулентных [5–
7] режимов движения несжимаемой и сжимаемой
жидкости.
Во многих работах этого направления рассма-
триваются течения в каналах с двусторонним вне-
запным расширением [8–14]. Экспериментальные
данные для этого случая в плоском канале полу-
чены в работах [8, 9], в которых отмечается образо-
вание циркуляционной зоны за уступом. В работе
[10] сообщаются экспериментальные данные для
круглой трубы с внезапным расширением. Ряд ис-
следователей для рассчетов течений с внезапным
расширением использовали уравнения движения в
приближении пограничного слоя [14, 15]. В рабо-
те [15] рассматривается вопрос о пределах приме-
нимости такого приближения к анализируемому
классу задач. В настоящее время очевидно, что
при постановке задач расчета отрывных течений
с вихревыми образованиями необходимо исполь-
зовать не приближенные уравнения пограничного
слоя, а полные уравнения Навье-Стокса.
Хорошо известно, что численное решение за-
дач о движении вязкой несжимаемой жидкости
на основе уравнений Навье-Стокса осложнено не
только их нелинейностью, но и отсутствием яв-
ного уравнения для определения давления. Для
преодоления этой трудности существуют два под-
хода. Один из них состоит в исключении давле-
c© Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, 2010 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
ния из системы определяющих исходных урав-
нений с помощью перехода к переменным функ-
ция тока–вихрь (ψ,Ω). Преимущества и недоста-
тки этого подхода хорошо известны [16]. Глав-
ный недостаток связан с трудностью постановки
граничных условий для вихря скорости и отсут-
ствием возможности обобщения этого подхода на
трехмерные задачи и турбулентные режимы тече-
ния. Поэтому предпочтительней выглядит подход,
использующий естественные физические перемен-
ные скорость–давление. Однако в этом случае для
несжимаемой жидкости необходимо иметь допол-
нительное уравнение для определения давления.
Тейлор Т. Д. и Ндефа Э. [17] решали подобную
задачу о движении полуограниченного потока вяз-
кой несжимаемой жидкости у твердой стенки с
уступом. При этом они использовали уравнения
Навье-Стокса в переменных скорость-давление, а
решали их методом расщепления Н. Н. Яненко
[18].
Следует отметить, что многие предыдущие эк-
спериментальные и теоретические исследования
проведены для турбулентного движения жидко-
сти, а режим ламинарного течения в каналах с
внезапным расширением обычно рассматривался
при малых значениях чисел Рейнольдса. Совре-
менный прогресс в области компьютерной гидро-
механики позволяет повысить качество модели-
рования физических процессов вихреобразования
и получить устойчивые численные решения при
умеренных чиселах Рейнольдса.
В работе [19] нами предложен эффективный ме-
тод численного интегрирования полной системы
нестационарных уравнений Навье-Стокса в физи-
ческих переменных скорость–давление для несжи-
маемой жидкости.
Цель данной работы состоит в применении ука-
занного метода для решения внутренней задачи
гидродинамики о течении жидкости в плоском ка-
нале с внезапным односторонним расширением.
При этом наряду с изучением структуры течения
вблизи уступа, в зависимости от числа Рейнольд-
са и высоты уступа, преследовалась цель аппроба-
ции эффективности данного метода для расчета
сложных течений, характеризующихся наличием
возвратно-вихревых областей течения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И
ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассматривается двумерное ламинарное течение
в плоском канале с внезапным расширением в
виде уступа. Физическая картина анализируемо-
го течения и конфигурация расчетной области
A1B1CDEFA1 представлены на рис. 1.
Начало введенной декартовой системы коорди-
нат находится в левом нижнем углу в точке 0.
Ширина канала в левом входном сечении A1B1
имеет размер h1, а в правом выходном сечении
CD размер h. Высота уступа FE равна соответ-
ственно b = h − h1. Левая A1B1 и правая CD
границы расчетной области считаются достаточно
удаленными от сечения с внезапным расширением
C1FE, чтобы на них можно было принять усло-
вия, соответствующие невозмущенному течению.
Кроме того, предполагается, что в канале в обла-
сти A1B1C1F перед уступом выполняются усло-
вия полностью развитого течения. Тогда в сече-
нии A1B1 для горизонтальной скорости реализуе-
тся параболический профиль, форма которого за-
висит от параметра B = b/h. В выходном сечении
CD расчетной области вдали от уступа профиль
горизонтальной скорости по предположению уста-
новившийся и описывается параболой Пуазейля в
виде
U(Y )|AB1
= 6(1 − Y )Y. (1)
Тогда, используя условие сохранения расходов в
сечениях A1B1 и CD, для профиля горизонталь-
ной скорости в сечении A1B1 находим
U(Y )|A1B1
= 6
[
Y (1 + B) − Y 2 − B
]
/(1 −B)3 , (2)
где B = b/h – безразмерная высота уступа. Легко
видеть, что при B = 0 выражение (2) совпадает с
профилем Пуазейля (1).
Характерной особенностью течений в каналах
является то, что движение жидкости происходит
под действием продольного перепада давления.
Однако заданной величиной в рассматриваемой
задаче следует принять не перепад давления, а
расход жидкости Q = u0 · h через поперечное се-
чение канала CD. При такой постановке задачи
число Рейнольдса Re=u0 · h/ν задается, а давле-
ние определяется в процессе решения задачи.
Для описания движения жидкости использу-
ются нестационарные уравнения Навье-Стокса
без каких-либо упрощающих предположений. При
введении безразмерных величин за масштаб дли-
ны принимается ширина канала h, за масштаб ско-
рости принята среднерасходная скорость в кана-
ле u0 = Q/h, за масштаб времени – величина
t0 = h/u0, а за масштаб давления – скоростной на-
пор p0 = ρ ·u2
0. В безразмерных величинах Vi, P, Xi
система нестационарных уравнений Навье-Стокса
с постоянными плотностью ρ0 и кинематической
вязкостью ν в консервативной тензорной форме в
12 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 1. Физическая схема течения во внезапно расширяющимся плоском канале
прямоугольной декартовой системе координат за-
писывается в виде
∂Vi
∂τ
= −
∂P
∂Xi
+
+
∂
∂Xk
[
−ViVk +
1
Re
(
∂Vi
∂Xk
+
∂Vk
∂Xi
)]
, (3)
∂Vk
∂Xk
= 0.
Здесь по повторяющемуся индексу подразуме-
вается суммирование. Такая компактная запись
исходных уравнений позволяет рассматривать и
трехмерные течения. Для рассматриваемой дву-
мерной задачи i, k = 1, 2; X1 = X; X2 =
Y ; V1 = U ; V2 = V. При этом U = u/u0, V =
v/u0, X = x/h, Y = y/h, τ = tu0/h, P =
p/ρ0u
2
0. Здесь U и V – горизонтальная и верти-
кальная компоненты скорости соответственно.
Для завершения постановки задачи необходимо
задать начальные и краевые условия на всех гра-
ницах расчетной области. Пусть жидкость движе-
тся слева направо. Граничное условие для гори-
зонтальной скорости в начальном сечении A1B1
задается выражением (2), а вертикальная ско-
рость V в сечении A1B1 принимается равной нулю.
На всех неподвижных твердых стенках выполня-
ются очевидные граничные условия прилипания
U |Γ = 0 и непротекания V |Γ = 0 , где Γ – твердая
граница. На выходе из расчетной области в сече-
нии CD для горизонтальной и вертикальной ско-
ростей принимаются стандартные условия выте-
кания Неймана. В начальный момент времени го-
ризонтальная скорость в расчетной области имеет
соответсвующий параболический профиль, а попе-
речная скорость и давление равны нулю.
Таким образом, решение системы уравнений (3)
будем искать в области 0 ≤ X ≤ L, 0 ≤ Y ≤ 1 со
следующими начальными и граничными условия-
ми.
Начальные условия:
U(X, Y, O) =
6[Y (1 +B) − Y 2 − B]
(1 − B)3
, (0 ≤ X ≤ X1),
U(X, Y, O) = 6(1 − Y )Y, (X1 < X ≤ X2),
V (X, Y, O) = 0, P (X, Y, O) = 0, (0 < X ≤ (X1+X2)).
Граничные условия:
U |A1B1
=
6[Y (1 +B) − Y 2 −B
(1 − B)3
;
U |B1C = 0;
∂U
∂x
|CD = 0;
U |DE = 0; U |EF = 0; U |FA1
= 0;
V |A1B1
= 0; V |B1C = 0;
∂V
∂x
|CD = 0;
V |DE = 0; V |EF = 0; V |FA1
= 0.
Основными параметрами задачи являются чис-
ло Рейнольдса и геометрическая высота уступа
B = b/h. Следует подчеркнуть, что давление P в
рассматриваемой системе уравнений не является
основной переменной ни в одном из этих уравне-
ний. При нашем подходе необходимое уравнение
для давления выводится из уравнения неразрыв-
ности в виде уравнения типа Пуассона. При этом
необходимые для его решения значения давления
в граничных узлах определяются с помощью урав-
нений движения в комбинации с граничными усло-
виями для компонентов скорости [20]. В процессе
решения задачи требуется определить поля ско-
рости и давления в расчетной области и исследо-
вать влияние числа Рейнольдса и геометрического
размера уступа B на структуру течения в канале
и протяженность циркуляционной области, кото-
рая образуется вниз по потоку за уступом. Ста-
ционарное течение в канале характеризуется тем,
что искомые переменные U, V, P не зависят от вре-
мени.
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 13
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
2. РАЗНОСТНАЯ СЕТКА
Общий принцип используемого метода решения
уравнений Навье-Стокса рассмотрен в нашей ра-
боте [19]. Решение системы исходных нестационар-
ных уравнений (3) выполняется методом конечных
разностей на установление. Из-за сложностей со-
гласования полей скорости и давления для дискре-
тизации уравнений движения в X, Y направлени-
ях и уравнения неразрывности использовалась се-
тка с разнесенной структурой расположения сето-
чных узлов для зависимых переменных. Это озна-
чает, что компоненты скоростей и двления опреде-
ляются в различных узлах. Такой подход аналоги-
чен методам МАС [21], SIMPLE [22] и дает опре-
деленные преимущества при расчете поля давле-
ния [20]. Конечно-рзностные аппроксимации рас-
сматриваемых уравнений строятся на пятиточе-
чном шаблоне в соответствии с известной схемой
"крест" [23].
Локальная геометрия расположения узлов се-
тки показана на рис. 1 нашей работы [19]. Сето-
чные функции давления P расположены в узлах
основной сетки S0(j, i, n). Сеточные функции ком-
понентов скоростей U и V определены в узлах
вспомогательных полуцелых сеток S1(j + 1/2, i, n)
и S2(j, i+ 1/2, n) соответственно:
S1(Xj+1/2, Yiτ
n), Xj+1/2 = (j + 1/2) · ∆x,
Yi = i · ∆y, τn = n · ∆τ ;
S2(Xj , Yi+1/2, τ
n), Xj = j · ∆x,
Yi+1/2 = (i+ 1/2) · ∆y, τn = n · ∆τ.
Шаги сеток hxj и hyi могут быть как равномер-
ными, так и переменными в обoих направлениях:
∆x = 0, 5(hxj + hxj+1), ∆y = 0, 5(hyj + hyj+1).
В соответствии с выбранным сеточным шабло-
ном вводятся следующие компактные обозначе-
ния:
P (Xi, Yi, τ
n) = P n
j,i,
U((j + 1/2) · ∆x, i · ∆y, n · ∆τ ) = Un
j+1/2,i,
V (j · ∆x, (i+ 1/2) ·∆y, n · ∆τ ) = V n
j,i+1/2,.
Вся расчетная область разбивается на прямо-
угольные ячейки. Схема их расположения и соо-
тветствующие узлы сеток приведены в нашей ра-
боте [19].
3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ
Для конечно-разностной аппроксимации исходных
уравнений движения и неразрывности использую-
тся неявная схема и обычные аппроксимации пер-
вого порядка точности для производных по време-
ни и второго порядка точности для производных
по пространству. При этом диффузионные сла-
гаемые аппроксимируются по схеме с централь-
ными разностями, а для конвективных слагаемых
используются схемы с односторонними разностя-
ми "против потока". Особенностью дискретиза-
ции является то, что конечно-разностная аппро-
ксимация центрируется в соответствии с выбран-
ным шаблоном. При этом сеточные индексы для
зависмых переменных оказываются сдвинутыми.
Подстановка конечно-разностных формул в
исходную систему уравнений движения позволя-
ет записать их дискретные аналоги для X и Y
направлений. Эти уравнения, после соответствую-
щей групировки слагаемых, дополненные уравне-
нием неразрывности, имеют следующий конечно-
разностный вид:
dU
j+1/2,iU
n+1
j+1/2,i + cU1 U
n+1
j+3/2,i + cU0 U
n+1
j−1/2,i+
+bU1 U
n+1
j+1/2,i+1
+ bU0 U
n+1
j+1/2,i−1
= (4)
= −∆y(P n+1
j+1,i − P n+1
j,i ) + fU ,
dV
j,i+1/2V
n+1
j,i+1/2
+ cV1 V
n+1
j,i+3/2
+ cV0 V
n+1
j,i−1/2
+
+bV1 V
n+1
j+1,i+1/2
+ bV0 V
n+1
j−1,i+1/2
= (5)
= −∆x(P n+1
j,i+1
− P n+1
j,i ) + fV ,
Un+1
j+1/2,i
− Un+1
j−1/2,i
∆x
+
V n+1
j,i+1/2
− V n+1
j,i−1/2
∆y
= 0, (6)
где коэффициенты дискретизации
dj+1/2,i, dj,i+1/2, c1, c0, b1, b0 и свободные члены
f с верхними индексами U, V – известныe вели-
чины по данным с предыдущего шага, которые
находятся по определенным алгебраическим
формулам.
Хотя полученная система уравнений (4)–(6) яв-
ляется основной, однако она пока незамкнута, так
как содержит неизвестное давление.
14 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ
Необходимое уравнение для вычисления давления
можно получить из уравнения неразрывности. С
этой целью будем следовать известной процедуре
SIMPLE [22] и преобразуем уравнения (4) и (5) к
следующему виду:
dU
j+1/2,iU
n+1
j+1/2,i =
= −∆y
(
P n+1
j+1,i − P n+1
j,i
)
+GU
j+1/2,i; (7)
dV
j,i+1/2V
n+1
j,i+1/2
=
= −∆x
(
P n+1
j,i+1 − P n+1
j,i
)
+GV
j,i+1/2, (8)
где введенные выражения GU
j+1/2,i и GV
j,i+1/2
изве-
стны, так как они зависят от скоростей с пре-
дыдущего шага n. Далее для получения необхо-
димого уравнения для давления на (n + 1) ша-
ге используем уравнение неразрывности (6). Учи-
тывая его структуру, предварительно в выраже-
ниях (7) и (8) для скоростей понизим индексы j и
i на единицу соответственно. Тогда получим необ-
ходимые выражения для соответствующих компо-
нентов скоростей в виде:
Un+1
j−1/2,i
=
−∆y
(
P n+1
j,i − P n+1
j−1,i
)
+GU
j−1/2,i
dU
j−1/2,i
, (9)
V n+1
j,i−1/2
=
−∆x
(
P n+1
j,i − P n+1
j,i−1
)
+GV
j,i−1/2
dV
j,i−1/2
. (10)
Подставляя теперь значения соответствующих
компонентов скорости в уравнение неразрывности
(6), получим выражение, в котором неизвестными
величинами являются лишь сеточные функции
давления в узле с номером (j, i) и окружающих
его соседних узлах. Выполнив простые преобразо-
вания, после группировки соответствующих сла-
гаемых получим следующий конечно-разностный
аналог для вычисления сеточных функций давле-
ния:
dP
j,iP
n+1
j,i + cP1 P
n+1
j+1,i + cP0 P
n+1
j−1,i+
+bP1 P
n+1
j,i+1
+ bP0 P
n+1
j,i−1
= fP , (11)
где свободный член fP известен, а коэффициенты
дискретизации dP
j,i, c
P
1 , c
P
0 , b
P
1 , b
P
0 определены соо-
тношениями:
cP1 = −
hy1
hx1
1
dU
j+1/2,i
; cP0 = −
hy1
hx1
1
dU
j−1/2,i
;
bP1 = −
hx1
hy1
1
dV
j,i+1/2
; bP0 = −
hx1
hy1
1
dV
j,i−1/2
; (12)
dP
j,i = −cP1 − cP0 − bP1 − bP0 ,
hx1 = (hxj + hxj+1), hy1 = (hyj + hyj+1).
Полученное разностное уравнение для давления
(11) является замаскированным уравнением Пуас-
сона и представляет собой систему линейных ал-
гебраических уравнений. Используя уравнения (7)
и (8), выпишем выражения для компонентов ско-
рости на (n+1) шаге, явно связывающие их с дав-
лением, в следующем окончательном виде:
Un+1
j+1/2,i =
∆y
(
P n+1
j,i − P n+1
j+1,i
)
+GU
j+1/2,i
dU
j+1/2,i
; (13)
V n+1
j,i+1/2
=
∆x
(
P n+1
j,i − P n+1
j,i+1
)
+GV
j,i+1/2
dV
j,i+1/2
. (14)
Система уравнений (11), (13), (14) связывает
давление со скоростями на (n+1) шаге по времени
и является фундаментальным результатом, пред-
ставляющим универсальный дискретный аналог
системы общих уравнений движения несжимае-
мой жидкости. Совершенно очевидно, что решение
рассматриваемых систем алгебраических уравне-
ний значительно проще, чем исходных интеграль-
ных или дифференциальных уравнений. Отметим,
что уравнение Пуасона для давления фактиче-
ски заменяет уравнение неразрывности и система
уравнений оказывается замкнутой.
Хотя общее число уравнений, подлежащих ре-
шению, значительно возросло, но на современном
этапе развития вычислительной техники это уже
не принципиально, так как для решения таких си-
стем алгебраических уравнений разработаны эф-
фективные итерационные методы.
5. ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ
Важной особенностью полученного стационарного
разностного уравнения для давления (11) являе-
тся то, что благодаря использованию разнесенных
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 15
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
сеток, граничные условия для его решения могут
быть определены из уравнений движения (13) и
(14) в комбинации с граничными условиями для
компонентов скоростей [20]. В настоящем мето-
де компоненты скорости и давления расщеплены
так, что на любом этапе расчета решаются урав-
нения относительно одной зависимой переменной,
что упрощает применение стандартных методов
решения систем линейных алгебраических урав-
нений полученного вида.
В нашем случае эффективным способом ре-
шения рассматриваемого двумерного разностного
уравнения второго порядка для давления является
его редукция к двум одномерным системам урав-
нений второго порядка с трехдиагональными ма-
трицами, которые решаются методом "прогонки"
[23]. В зарубежной литературе его часто называют
алгоритмом Томаса [24].
В данном методе расчеты проводятся для двух
основных физических переменных – скорости,
давления. Итерационный вычислительный про-
цесс состоит из шагов по времени. Уравнение
для давления решается на каждом времен-
ном шаге. В начале каждого временного шага
предполагаются известными поля скорости и
давления. Вычислительная процедура расчета
каждого шага по времени разбивается на три
этапа и выполняется в следующей последова-
тельности. На первом этапе при заданных на
предыдущем временном шаге значениях Un
j+1/2,i
и V n
j,i+1/2
по соответствующим алгебраическим
формулам рассчитываются коэффициенты дис-
кретизации GU
j+1/2,i(U
n, V n), GV
j+1/2,i(U
n, V n),
dU
j+1/2,i(U
n, V n), dV
j,i+1/2
(Un, V n), dP
j,i,
cP1 , cP0 , bP1 , b
P
0 включая свободный член
fp(j, i). На втором этапе, зная коэффициенты
уравнения Пуассона, путем его решения нахо-
дится поле давления P n+1
j,i . Далее, на третьем
этапе, зная коэффициенты дискретизации и
поле давления P n+1
j,i , по уравнениям (13), (14)
рассчитываются поля скорости Un+1
j+1/2,iV
n+1
j,i+1/2
на
(n + 1) шаге. На этом первый временной цикл
заканчивается и далее начинается следующий.
Задача решается на установление. Критерием
окончания решения служит заданный временной
интервал или условие, когда максимальная раз-
ность между значениями искомых переменных
на предыдущем и следующем временном шаге не
превышает заданную величину ошибки ε.
Используемая конечно-разностная схема аппро-
ксимирует рассматриваемые уравнения с первым
порядком точности по времени и со вторым поряд-
ком точности по пространственным переменным
O(∆τ, h2), и можно показать, что она устойчива
[25]. На каждом шаге по времени контролируе-
тся сходимость расчетов как основных уравнений,
так и граничных условий. Алгоритм решения на
установление позволяет получить как стационар-
ное решение, так и исследовать эволюцию течений
во времени.
Важным моментом расчетов является переход
в граничных условиях для U и V к конечным
разностям и контроль за выполнением уравне-
ния неразрывности. Описанный алгоритм реше-
ния системы двумерных нестационарных урав-
нений Навье-Стокса реализован в виде компью-
терной программы UDAMEL (Universal Discrete
Analogue Momentum Equation Liquid), которая по-
зволяет решать эволюционную задачу гидродина-
мики ламинарных течений.
6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Данная работа преследовала две основные це-
ли. Первая состояла в апробации численной схе-
мы интегрирования двумерных нестационарных
уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-
давление на примере расчета ламинарного тече-
ния в плоском канале с внезапным расширением.
Вторая – в изучении детальной структуры тече-
ния и поля давления в плоском канале, на ни-
жней стенкe которого имеется уступ с вертикаль-
ным размером B = b/h. Некоторые результаты
расчетов полей скорости, давления и протяжен-
ности циркуляционной области за уступом в за-
висимости от числа Рейнольдса и значения пара-
метра B представлены ниже на соответствующих
рисунках. Основные численные расчеты были про-
ведены при значении параметра B = 0.4 на равно-
мерных сетках с шагами ∆X = ∆Y = 0.02. Шаг
по времени и длина расчетной области варьирова-
лись в зависимости от числа Рейнольдса. Расчеты
выполнены для шести чисел Рейнольдса (Re=100,
400, 600, 800, 1000, 2000). Время счета на ПК с ча-
стотой процессора 3.00 ГГц занимало от 0.5 до 5
часов в зависимости от длины расчетной области
и числа Рейнольдса.
На рис. 2 приведены результаты расчетов в ви-
де векторного поля скоростей в расчетной обла-
сти плоского канала с высотой уступа B = 0.4
при различных значениях числа Рейнольдса для
τ = 100. Приведенные рисунки наглядно демон-
стрируют изменение общей картины течения в за-
висимости от числа Re при заданном параметре
расширения потока B.
Из приведенных рисунков видно, что для ука-
16 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 2. Расчетное векторное поле скоростей в плоском внезапно расширяющемся канале (B = 0.4)
при шести различных числах Рейнольдса для τ = 100
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 17
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
занных шести чисел Рейнольдса, вычисленных по
выходной ширине канала h, в зоне за уступом
характерно образование возвратных течений, а
протяженность этой зоны и структура циркуля-
ционного течения в ней зависят от числа Рей-
нольдса и высоты уступа B. Нетрудно видеть,
что при Re=100 и B = 0.4 наблюдается хоро-
шо выраженная зона с установившимся возвратно-
циркуляционным течением в виде одного вихря,
вытянутого вдоль по потоку за уступом. С ростом
числа Рейнольдса кинематическая структура по-
тока качественно меняется как в зоне за уступом,
так и ниже циркуляционной области. Уже при Re
≥ 400 циркуляционная зона за уступом дробится
на две области. При этом основной вихрь занима-
ет лишь правую часть циркуляционной зоны, а на
верхней стенке канала ниже нее образуется вто-
ричная вихревая область с направлением враще-
ния против часовой стрелки, то есть противополо-
жным основному направлению движения жидко-
сти в канале. Физически ее появление объясняется
явлением отрыва потока за уступом. Полученная
расчетом тонкая структура течения в этой втори-
чной области свидетельствует о высоком качестве
используемой численной схемы. Нетрудно видеть,
что с ростом числа Рейнольдса, то есть при Re
≥ 800, горизонтальный размер вторичной вихре-
вой области растет, а ее структура усложняется
и приводит к образованию нескольких локальных
вихревых областей, которые отчетливо видны на
рис 2. Следовательно, в зависимости от числа Рей-
нольдса при заданной высоте уступа B может су-
ществовать как стационарный режим течения, так
и нестационарный с отрывом
Таким образом, когда канал имеет внезапное
расширение, то вследствии отрыва при числах Re
≥ 400 на верхней стенке канала образуется вто-
ричная вихревая зона. Наложение вертикальных
скоростей на основной поток приводит к перера-
спределению скоростей по ширине канала в зоне
уступа. Эти вертикальные составляющие скорости
увеличивают перенос количества движения между
отдельными слоями потока, что вызывает дефор-
мацию вертикального профиля продольной скоро-
сти.
С целью полноты представления картины ско-
ростного поля в плоском канале с внезапным рас-
ширением на рис. 3 приведены расчетные профили
горизонтальной скорости U(Y ) в различных сече-
ниях по оси Х при шести числах Рейнольдса (Re
=100,400, 600, 800, 1000, 2000). Вместе с рис. 2 они
наиболее полно иллюстрируют структуру течения
и искривление линии максимальных скоростей в
канале при больших числах Рейнольдса, которое
обусловлено возникновением системы вихрей не
только в зоне за уступом, но и на верхней стен-
ке канала.
Анализ расчетов показывает, что с ростом чис-
ла Рейнольдса в угловой точке уступа происходит
отрыв потока, который является причиной образо-
вания вихревых циркуляционных зон в области за
уступом и сноса вихревых сгустков вниз по пото-
ку. Это явление сопровождается наличием допол-
нительных потерь энергии основного потока и уси-
лением обмена количества движения между слоя-
ми жидкости, что и обуславливает изменение ки-
нематической структуры потока. Переформирова-
ние скоростной структуры по высоте приводит к
возникновению на определенных участках канала
положительных градиентов давления, что служит
причиной образования вторичных вихревых зон.
Когда это происходит у верхней стенке канала ни-
же уступа, то имеет место отжим основного по-
тока, и на этом участке он ускоряется, что и на-
блюдается в приведенных на рис. 2 результатах
расчетов.
Указанные особенности потоков в каналах с вне-
запным расширением имеют важное значение при
проектировании различных устройств и аппара-
тов, например, с точки зрения процессов тепло-
обмена и шумообразования.
Наряду с векторным полем скоростей на рис. 4
приводятся данные расчетов в виде изолиний рав-
ных скоростей для B = 0.4 при шести различных
значениях чисел Рейнольдса.
Здесь особенно четко прослеживается образова-
ние мультивихревой структуры течения и количе-
ственные значения скоростей в области за уступом
в зависимости от параметра Re при B = 0.4.
Изолинии равных скоростей и их векторное
представление позволяют отметить несколько ха-
рактерных моментов в формировании кинемати-
ческой структуры течения в зависимости от чис-
ла Рейнольдса. При малых числах Рейнольдса (Re
≤ 100) вязкие эффекты являются преобладающи-
ми и скоростная структура течения во всей расче-
тной области оказывается простейшей и определе-
на фактически параболой Пуазейля, за исключе-
нием циркуляционной зоны за уступом. Рост чис-
ла Рейнольдса приводит к увеличению роли кон-
вективного переноса.
При Re ≥ 400 происходит отрыв потока с кром-
ки уступа. В результате этого позади уступа цир-
куляционное вихревое течение интенсифицируе-
тся, а на верхней стенке канала появляется вто-
ричная вихревая область, которая хорошо видна
на рис. 2 и 4.
Анализ векторного поля и расположение линий
18 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 3. Расчетные профили горизонтальных скоростей в различных сечениях оси Х
в плоском внезапно расширяющемся канале (B = 0.4)
при шести различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 600, 800, 1000, 2000) для τ = 100
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 19
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 4. Расчетные изолинии равных скоростей в плоском внезапно расширяющемся канале (B = 0, 4)
при шести различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 600, 800, 1000, 2000) для τ = 100
20 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 5. Зависимость длины циркуляционной зоны за уступом XC = x/h и LC = XC/B от числа Рейнольдса
в плоском канале с внезапным расширением:
сплошная – наш расчет, B = 0.4; штриховая – расчет [4], B = 0.48
равных скоростей, подобных линиям тока, нагля-
дно показывает особенности и структуру цирку-
ляционного движения жидкости. Из-за прилипа-
ния жидкости на нижней стенке канала движе-
ние в циркуляционной зоне несимметрично. С рос-
том числа Рейнольдса центр основного вихря сме-
щается вправо по направлению основного пото-
ка в канале. Очевидно, что зона рециркуляции
в рассмотренных случаях подпитывается жидко-
стью из основного потока благодаря образованию
возвратного течения в зоне за уступом, как пока-
зано на рис. 3.
Нетрудно заметить, что обратное течение в
области отрыва достигает значительной высоты
над нижней стенкой канала, а с ростом числа Рей-
нольдса ее горизонтальный размер увеличивается,
при этом вихревая область остается в правой ча-
сти области отрыва, а основную левую часть обла-
сти занимает обратное слоистое течение. Таким
образом, вблизи нижней стенки канала имеют ме-
сто как положительные, так и отрицательные зна-
чения продольной скорости.
С удалением от уступа вниз по течению верти-
кальный размер основной циркуляционной зоны
уменьшается и при некотором значении Xc ее гра-
ница замыкается на нижнюю стенку канала. За
этим сечением профиль горизонтальной скорости
U(Y ) в канале начинает постепенно деформирова-
ться в параболу Пуазейля, которая реализуется на
достаточно большом удалении от уступа.
На рис. 5 представлены расчетные зависимости
длины циркуляционной зоны за уступом XC =
xC/h и Lc = Xc/B в зависимости от числа Рей-
нольдса с различной их нормировкой при значе-
нии высоты уступа B = 0.4. В качестве критерия
определения координаты Xc принималось то зна-
чение X, при котором ближайшее к нижней стенке
канала значение U(Y ) меняло свой знак.
Анализ полученной расчетной зависимости Lc
от числа Рейнольдса показывает, что длина цир-
куляционной зоны Lc нелинейно зависит от числа
Re, а с его увеличением Lc стремится к предельно-
му значению Lc = 7.7 для B = 0.4. При Re=800 и
Re=1000 расчетные значения Lc практически уже
совпадают. Это можно объяснить тем, что при чи-
слах Рейнольдса Re=1000 конвективные эффекты
уже доминируют над вязкими и длина Lc переста-
ет зависеть от числа Re. Геометрические параме-
тры циркуляционной зоны имеют важное значение
для различных прикладных задач.
В целом полученные результаты расчетов полей
скорости в области внезапного расширения попе-
речного сечения плоского канала хорошо согласу-
ются с известными представлениями картины те-
чения, наблюдаемой в физических и численных
экспериментах [10, 13]. Однако наряду с этим, на
верхней стенке канала ниже циркуляционной зо-
ны возникают вторичные вихревые области, ин-
дуцируемые явлением отрыва и обратной связью
полей давления. Кроме того, ниже по потоку за
основной циркуляционной зоной на нижней стен-
ке канала при числах Re=800 и Re=1000 имеют-
ся еще две дополнительные небольшие вихревые
области. На рис. 2 они сами и их размер хоро-
шо видны. Такие результаты ранее встречались в
работе [4], где теоретически и экспериментально
исследовано распределение полей скорости, дли-
ны циркуляционной зоны за уступом и координа-
ты вторичных вихревых зон в плоском канале с
внезапным расширением. Измерения выполнялись
с помощью лазерно-доплеровского анемометра в
диапазоне чисел Рейнольдса 70 ≤ Re ≤ 8000. При-
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 21
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 6. Расчетное поле давления в виде коэффициентов Cр в плоском внезапно расширяющемся канале
(B = 0.4) при шести различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 600, 800, 1000, 2000) для τ = 100
22 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 7. Распределение коэффициента давления Cp по оси Y в сечении внезапного расширения канала
EFC1(X = 1.02) для четырех значений чисел Рейнольдса при B = 0.4
чем область измерения охватывала не только цир-
куляционную зону, но и значительную область за
участком расширения. При этом на верхних и ни-
жних стенках канала зафиксированы вторичные
вихревые области. В наших расчетах эти зоны на-
блюдаются при числах Re ≥ 400. С ростом числа
Рейнольдса горизонтальный размер верхней вто-
ричной зоны увеличивается, а вихревая структура
усложняется. Это хорошо видно на рис. 2 и 4. Нам
удалось сопоставить расчитанную нами и в рабо-
те [4] длину основной циркуляционной зоны в за-
висимости от числа Рейнольдса. Результаты этих
расчетов приведены на рис. 5 (справа). Сплошная
кривая соответствует нашим расчетам, а штрихо-
вая – работе [4]. Качественно эти результаты хоро-
шо согласуются, но в нашем случае высота уступа
B = 0.4, а в работе [4] B = 0.48. Это может объяс-
нить количественное отличие результатов.
Так как используемый в данной работе универ-
сальный дискретный аналог уравнений движения
Навье-Стокса реализован в переменных скорость-
давление, то, в отличие от предыдущих работ,
он дает возможность рассчитывать и поля дав-
ления, которые позволяют объяснить полученный
результат, связанный с появлением вторичных ви-
хрей у верхней стенки канала.
Результаты расчетов, относящиеся к распреде-
лению поля давлений, представлены на рис. 6–8.
В качестве первого примера на рис. 6 приведены
результаты расчетов поля давления в виде изоли-
ний коэффициента давления Cр,
Cp =
p− p1
ρu2
0
/2
,
для высоты уступа B = 0.4 при шести различных
числах Рейнольдса (Re =100, 400, 600, 800, 1000,
2000). Здесь p1 – характерное давление на геоме-
трической оси входного сечения канала.
Картина этих изолиний весьма сложна и харак-
терна для отрывных течений, когда область цир-
куляционного течения за уступом мала по сравне-
нию с протяженностью основного течения в кана-
ле. Анализ рис. 6 показывает, что наличие усту-
па и циркуляционной зоны при всех рассматрива-
емых числах Рейнольдса влияет на формирование
поля давления. Легко видеть, что при Re=100 это
влияние существенно лишь в ближней области за
уступом, так как вниз по течению давление по вер-
тикали при небольших X становится постоянным.
С ростом числа Рейнольдса это влияние распро-
страняется на значительную область за уступом.
При Re ≥ 400 существенно изменяется картина
поля давления в канале, включая образование его
ячеистой структуры.
Для объяснения механизма образования вихре-
вых течений в канале с внезапным расширением
обратимся к рассмотрению результатов расчета
локальных значений давления в четырех хара-
ктерных сечениях расчетной области (см. рис. 1).
Сюда относится участок верхней стенки канала
B1C (Y = 1.0), осевая линия канала (Y = 0.5),
участок на уровне высоты уступа (Y = 0.4), уча-
сток нижней стенки канала ED(Y = 0) и левая
вертикальная граница уступа C1FE(X = 1.0).
Характер изменения давления в сечении
C1FE(X = 1) вдоль вертикальной стенки уступа
при различных числах Рейнольса для B = 0.4
приведен на рис. 7. Как и следовало ожидать,
на вертикальной стенке уступа давление вблизи
нижней стенки канала постоянно, а затем по
мере приближения значений Y к углу уступа,
то есть координате Y = 0.4, значение давления
падает и стремиться к значению давления вблизи
угловой точки уступа. В основном потоке на
вертикальном участке C1F локальное значение
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 23
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 8. Распределение коэффициента давления Cp вдоль оси Х в плоском внезапно расширяещемся канале
на четырех уровнях по вертикали (Y = 1.0; 0.5; 0.4; 0)
при различных значениях чисел Рейнольдса для B = 0.4 и τ = 100
24 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
коэффициента давления вблизи верхней стенки
канала максимально и сначала постоянно, а
по мере приближения к уступу (Y = 0.4) оно
плавно уменьшается и стремится к локальному
давлению в угловой зоне уступа. Описанная
картина распределения давления в сечении C1FE
имеет место при различных числах Рейнольдса.
Поэтому характер этих кривых, представлен-
ных на рис. 7, идентичен, а различие состоит
лишь в количественном значении безразмерного
коэффициента давления Cр.
Рис. 9. Схема расположения пяти реперных точек
На комплексном рис. 8 представлено расчетное
распределение коэффициента давления Cр вдоль
оси X для четырех различных уровней по высоте
Y. Расчеты показывают, что при заданном параме-
тре расширения канала B изменение коэффициен-
та давления Cр вдоль оси X зависит от величины
числа Рейнольдса.
Обращает на себя внимание, что при Re=1000
изменение коэффициента давления вдоль оси X
носит волновой характер на всех четырех уровнях
по высоте:
а) – вдоль верхней стенки канала В1С(Y = 1.0);
b) – вдоль оси канала (Y = 0.5);
c) – вдоль канала на уровне высоты уступа
А1D1(Y = 0.4);
d) – вдоль нижней стенки канала ED(Y = 0).
Данные расчетов коэффициента давления Cр
вдоль оси X, представленные на рис. 8, a, b, c, по-
казывают, что при Re ≤ 400 давление над уступом
при 0 < X ≤ 1 линейно убывает с расстоянием
X, а при Re> 1000 оно остается почти постоян-
ным. Далее за уступом давление возрастает вслед-
ствие расширения потока. Это увеличение давле-
ния происходит до тех пор, пока противодейству-
ющий отрицательный градиент основного потока
в канале не уравновесит возмущенное давление.
Этот механизм действует при числах Re ≤ 400, а
при числах Re> 400 вследствиe явления отрыва
потока характер поведения давления с расстояни-
ем X изменяется.
Уже при Re=400 наблюдается его повышение и
низкочастотная осцилляция, а при Re=1000 оно на
всех четырех рассматриваемых уровнях по Y воз-
растает и носит волновой характер. Это обуслов-
лено наличием сложной вихревой структуры тече-
ния, которая хорошо видна на рис. 4 и 6.
Для выяснения процессов стационарности хара-
ктеристик течения интересно рассмотреть их зави-
симость от времени. В качестве примера рассмо-
трим поведение продольной U , поперечной скоро-
сти V и избыточного давления Cp в пяти характер-
ных точках потока, первая из которых находится
перед кромкой уступа, вторая – сразу за уступом,
четвертая находится под ней, несколько смещен-
ная вниз, третья точка находится во вторичной ви-
хревой зоне вблизи верхней стенки канала, а пятая
точка находится в области присоединения основ-
ной циркуляционной зоны вблизи нижней стенки
канала. Расположение указанных реперных точек
схематически показано на рис. 9.
В качестве примера расчета поведения основных
характеристик течения на комплексном рис. 10
представлены зависимости скоростей U, V и дав-
ления Cp от времени в указанных пяти точках при
числе Re=1000. Анализ рисунков показывает, что
в первой, второй и четвертой точках сдвиговый
слой за кромкой уступа остается устойчивый и ха-
рактеристики течения в нем U, V и Cp выходят на
стационарный режим и при τ > 30 практически не
изменяются.
В точках 3 и 5, находящихся в вихревых зо-
нах, наблюдается более сложная динамика тече-
ния. Расчеты показывают, что в точках 3 и 5 ра-
звивается неустойчивость в виде колебания значе-
ний соответствующих характеристик потока. Это
связано с вихревой структурой течения.
Амплитуда этих колебаний носит нерегулярный
характер. В пятой точке характерно появление
вторых гармоник для обеих компонент скорости и
коэффициента давления. Естественно, здесь при-
ведены лишь некоторые типичные примеры расче-
та, но они показывают возможность дальнейше-
го корреляционного и спектрального анализа соо-
тветствующих динамических рядов.
ВЫВОДЫ
Универсальный дискретный аналог общих неста-
ционарных уравнений Навье-Стокса в переменных
скорость-давление успешно применен для реше-
ния задачи о течении в плоском канале с внеза-
пным односторонним расширением. Разработан-
ный численный метод решения системы разно-
стных уравнений движения показал эффектив-
ность используемой численной схемы для расчета
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 25
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
Рис. 10. Зависимость мгновенных значений компонентов скоростей U, V и давления Cp
в точкax 1–5 (см. рис. 9) во времени при числе Рейнольдса Re=1000
26 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 11 – 27
сложных течений с рециркуляциями и высокое ка-
чество моделирования тонкой структуры течения
в вихревых зонах до чисел Рейнольдса Re≤ 2000.
В результате детального исследования полей ско-
рости и давления изучены закономерности форми-
рования вихревой структуры течения в плоском
канале с внезапным расширением, включая вто-
ричные вихревые образования и нестационарные
отрывные режимы течения.
В заключение следует отметить, что хотя при
Re= 2000 численное решение оставалось устойчи-
вым, но относиться к нему следует осторожно и
рассматривать его нужно как численный экспе-
римент, полезный для более глубокого понимания
свойств решений полных уравнений Навье-Стокса.
1. Blasius H. Laminare Stromung in Kanalen
Wecselnder Briete // Zeitschrift fuer Mathematik
und Physik.– 1910.– 10.– S. 225.
2. Honji H. The starting flow down a step // J. Fluid
Mech.– 1975.– 69, Pt. 2.– P. 229–240.
3. Синха С. Н., Гупта А. К., Оберай М. М. Ла-
минарное отрывное обтекание уступов и каверн.
Ч 1. Течение за уступом // Ракетная техника и
космонавтика.– 1981.– 19, N 12.– С. 33–37.
4. Armaly B. F., Durst F., Pereira J. C. F., Schonung
B. Experimental and theoretical investigation of
backward-facing stap flow // J. Fluid Mech.– 1983.–
127.– P. 473–496.
5. Чжен П. Отрывные течения.– М.: Мир, 1972-1973.–
Т.1.– с.300, Т.2.– 280 c.,Т.3.– 354 c.
6. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрыв-
ные течения.– М.: Наука, 1979.– 368 с.
7. Le H., Moin P., Kim J. Direct numerical simulation
of turbulent flow a backward-facing stap // J. Fluid
Mech.– 1997.– 330.– P. 349–374.
8. Durst F., Melling A., Whitelow J.H. Low Reynolds
Number Flow-over a Plane Symmetric Sudden
Expansion // J. Fluid Mech.– 1974.– 64, N 1.–
P. 111–118.
9. Cherdron W., Durst F., Whitelow J.H. Assymmetric
Flow and Instabilities in Symmetric Ducts with
Sudden Expansion // J. Fluid Mech.– 1978.– 84.–
P. 13–31.
10. Macadno E.O., Hung T.K. Computational and
Experimental Study of a laptive Annular Eddy //
J. Fluid Mech.– 1967.– 28, N 1.– P. 43–64.
11. Kumar A., Yajnik K.S. Internal Separated Flow at
large Reynolds Number // J. Fluid Mech.– 1980.–
97, N 1.– P. 27–51.
12. Плоткин. Расчеты спектральным методом некото-
рых отрывных ламинарных течений в каналах //
Аэрокосмическая техника.– 1983.– N 7.– С. 75–85.
13. Acrivos A., Schrader M. L. Steady Flow in a Sudden
Expansion at High Reynolds Number // Phys.
Fluids.– 1982.– 25, N 6.– P. 923–930.
14. Куон и др. Расчет течений с внезапным расшире-
нием при помощи уравнений пограничного слоя //
Теор. основы инж. расч.– 1984.– N 3.– С. 116.
15. Льюис, Плетчер. Пределы применимости урав-
нений пограничного слоя для расчета ламинар-
ных течений с симметричным внезапным расши-
рением // Теор. основы инж. расч.– 1986.– N 2.–
С. 284–294.
16. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.– М.:
Мир, 1980.– 616 с.
17. Тейлор Т. Д., Ндефо Э. Расчет течения вязкой
жидкости в канале при помощи метода расщепле-
ния. Численные методы в механике жидкости.–
М.: Мир, 1973.– 304 с.
18. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения мно-
гомерных задач математической физики.– Ново-
сибирск: Наука, 1967.– 196 с.
19. Бруяцкий Е.В., Костин А.Г., Никифорович Е.И.,
Розумнюк Н.В. Метод численного решения урав-
нений Навье-Стокса в переменных скорость-
давление // Прикладна гiдромеханiка.– 2008.–
10(82).– С. N2.13-23
20. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике
жидкостей.– М.: Мир, 1991.– 1.-501, 2.-552 с.
21. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках
для задач гидродинамики; Вычислительные мето-
ды в гидродинамике.– М.: Мир, 1967.– 316–342 с.
22. Патанкар С. Численные методы решения задач те-
плообмена и динамики жидкости.– М.: Энергоато-
миздат, 1984.– 152 с.
23. Самарский А.А. Теория разностных схем.– М.: На-
ука, 1977.– 656 с.
24. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычи-
слительная гидромеханика и теплообмен.– М.:
Мир, 1990.– Т.1– 384c.; Т.2 – 392c.
25. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в
механике сплошных сред.– М.: Физматлит, 1984.–
519 с.
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 27
|