Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями

Розв'язана лiнiйна задача про вимушений стацiонарний рух двовимiрного точкового вихора в шарi скiнченої товщини лiнiйно стратифiкованої рiдини. Розв'язок одержано у виглядi квадратур. Показано, що зi зростанням градiєнта густини кiнематична картина течiї в околi i далi за вихором може iсто...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Author:	Стеценко, О.Г.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2010
Series:	Прикладна гідромеханіка
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87726
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 68-75. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87726
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-877262015-10-25T03:02:04Z Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями Стеценко, О.Г. Розв'язана лiнiйна задача про вимушений стацiонарний рух двовимiрного точкового вихора в шарi скiнченої товщини лiнiйно стратифiкованої рiдини. Розв'язок одержано у виглядi квадратур. Показано, що зi зростанням градiєнта густини кiнематична картина течiї в околi i далi за вихором може iстотно змiнюватись. Гiдродинамiчна складова сили опору, обумовлена стратифiкацiєю, з її посиленням має тенденцiю швидко зростати. Решена линейная задача о вынужденном стационарном движении двумерного точечного вихря в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости. Решение получено в виде квадратур. Показано, что с ростом градиента плотности кинематическая картина течения в окрестности и далее за вихрем может существенно изменяться. Гидродинамическая составляющая силы сопротивления, обусловленная стратификацией, с её усилением имеет тенденцию быстро возрастать. A linear problem of the forced stationary movement of a two-dimensional point vortex in the layer of finite thickness of linear stratified fluid is solved. The solution is obtained in the squaring form. It is shown that a kinematic flow pattern in the neighbourhood of the vortex and outside thereof can substantialy change while a density gradient is increased. A hydrodynamic constituent of the resistance force determined by a stratification tends to increase rapidly. 2010 Article Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 68-75. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87726 532.59 uk Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розв'язана лiнiйна задача про вимушений стацiонарний рух двовимiрного точкового вихора в шарi скiнченої товщини лiнiйно стратифiкованої рiдини. Розв'язок одержано у виглядi квадратур. Показано, що зi зростанням градiєнта густини кiнематична картина течiї в околi i далi за вихором може iстотно змiнюватись. Гiдродинамiчна складова сили опору, обумовлена стратифiкацiєю, з її посиленням має тенденцiю швидко зростати.
format	Article
author	Стеценко, О.Г.
spellingShingle	Стеценко, О.Г. Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями Прикладна гідромеханіка
author_facet	Стеценко, О.Г.
author_sort	Стеценко, О.Г.
title	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями
title_short	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями
title_full	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями
title_fullStr	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями
title_full_unstemmed	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями
title_sort	стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87726
citation_txt	Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 68-75. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT stecenkoog stacionarnijruhtočkovogovihoravšariskinčenoítovŝinistratifikovanogoseredoviŝaobmeženogotverdimigranicâmi
first_indexed	2025-07-06T15:24:35Z
last_indexed	2025-07-06T15:24:35Z
_version_	1836911666333220864
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 УДК 532.59 СТАЦIОНАРНИЙ РУХ ТОЧКОВОГО ВИХОРА В ШАРI СКIНЧЕНОЇ ТОВЩИНИ СТРАТИФIКОВАНОГО СЕРЕДОВИЩА, ОБМЕЖЕНОГО ТВЕРДИМИ ГРАНИЦЯМИ О. Г. СТЕЦ Е Н К О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 16.06.2009 Розв’язана лiнiйна задача про вимушений стацiонарний рух двовимiрного точкового вихора в шарi скiнченої товщи- ни лiнiйно стратифiкованої рiдини. Розв’язок одержано у виглядi квадратур. Показано, що зi зростанням градiєнта густини кiнематична картина течiї в околi i далi за вихором може iстотно змiнюватись. Гiдродинамiчна складова сили опору, обумовлена стратифiкацiєю, з її посиленням має тенденцiю швидко зростати. Решена линейная задача о вынужденном стационарном движении двумерного точечного вихря в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости. Решение получено в виде квадратур. Показано, что с ростом градиента плотности кинематическая картина течения в окрестности и далее за вихрем может существенно изменя- ться. Гидродинамическая составляющая силы сопротивления, обусловленная стратификацией, с её усилением имеет тенденцию быстро возрастать. A linear problem of the forced stationary movement of a two-dimensional point vortex in the layer of finite thickness of linear stratified fluid is solved. The solution is obtained in the squaring form. It is shown that a kinematic flow pattern in the neighbourhood of the vortex and outside thereof can substantialy change while a density gradient is increased. A hydrodynamic constituent of the resistance force determined by a stratification tends to increase rapidly. ВСТУП Результати вивчення стацiонарних рухiв двови- мiрних горизонтально орiєнтованих точкових ви- хорiв є базовими при розв’язаннi задач про рух плоских крилових профiлiв довiльної форми. Бi- блiографiя виконаних у цьому напрямку робiт з вiдповiдним аналiзом наведена у [1]. Початок до- слiдження стратифiкованих середовищ у задачах даного напряму пов’язаний з фундаментальними роботами Кочина М.Є. [2, 3], де розглянутi зада- чi про рух вихроджерела бiля границi роздiлен- ня напiвнескiнченних однорiдних середовищ рiзної густини (в роботi [2] верхнiй шар мав нульову гу- стину). В подальшому задачi про рух вихорiв, ви- хроджерел та плоских профiлiв виконувались для схем шарової стратифiкацiї [4]. Найбiльш повна постановка задачi про рух вихора для n-шарової схеми стратифiкацiї здiйснена в [5]. Дослiдження руху двовимiрного точкового ви- хора у необмеженому середовищi з неперервною стратифiкацiєю в лiнiйнiй постановцi вперше ви- конано в роботi [6] для випадку рiвномiрного ви- мушеного руху в середовищi з лiнiйним профiлем стратифiкацiї. Окремi дослiдження виконанi та- кож i для вiльних рухiв двовимiрних вихорiв. Так, для випадку баротропної рiдини, коли густина се- редовища змiнюється по закону ρ(z) = ρ0z 2, та за умови, що характерний перiод Брента-Вяйсяля значно бiльший характерного часу адвекцiйного переносу, обумовленого вихором, i можна знехту- вати генерацiєю внутрiшнiх хвиль, розглянутi за- дачi про поведiнку одиничного вiльного вихора [7, 8] та про взаємодiю n вiльних вихорiв [9]. Показа- но, що одиночний вихор має власну рушiйну силу у поперечному до напрямку дiї сили тяжiння на- прямку. На вiдмiну вiд випадку однорiдної рiдини лише задача про взаємодiю двох вихорiв є iнте- грованою. В цих задачах рушiйна сила вихора є логарифмiчно сингулярною при прямуваннi попе- речного перетину ядра вихора до нуля, тому цей розмiр повинен бути скiнченим. Загальна постановка лiнiйної задачi про стацiо- нарний рух точкового вихора у довiльному стiйко стратифiкованому середовищi виконана у [10]. В цiй роботi виведено рiвняння, яке описує збурений рух середовища, викликаний рухом точкового ви- хора. Воно в явнiй формi мiстить характеристики вихора, що дозволяє при розв’язаннi таких задач ефективно застосовувати методи iнтегральних пе- ретворень. З використанням цього пiдходу в ро- ботах [11–13] розв’язанi задачi про кiнематику i динамiку руху точкового вихора (а в [12] вихро- джерела) в нескiнченому лiнiйно стратифiковано- му середовищi, бiля стрибка густини та бiля го- ризонтальної твердої стiнки. Було показано, що в 68 c© О. Г. Стеценко, 2010 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 Рис. 1. Схема течiї лiнiйних задачах має мiсце аналог iнтегралу Бер- нуллi для однорiдного середовища з замiною зна- чення густини на її локальне значення, вiдповiд- не горизонту руху вихора. Це дозволило одержати вирази для визначення складових гiдродинамiчної сили, що дiє на вихор, у виглядi, аналогiчному ви- падку однорiдного середовища. Результати вико- наних у роботах [10–13] дослiджень показали, що слабка стратифiкацiя мало змiнює кiнематику об- тiкання вихора i слабо впливає на величину пiд- йомної сили, що дiє на вихор. Однак, iстотним є те, що наявнiсть стратифiкацiї обумовлює появу продольної сили опору, яка має тенденцiю швидко зростати з посиленням градiєнта густини. В данiй роботi розглянута задача про виму- шений рiвномiрний рух горизонтально орiєнтова- ного точкового вихора, який знаходиться в лi- нiйно стратифiкованому iдеальному середовищi мiж двома твердими горизонтальними границями. Скiнченiсть товщини шару дозволяє розглянути схеми з бiльшими градiєнтами густини i, таким чином, оцiнити вплив цього фактора на характер збурень (як кiнематичних, так i динамiчних), вне- сених вихором у навколишнє середовище. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Розглядається рiвномiрний горизонтальний рух плоского точкового вихора iнтенсивностi Γ у шарi стратифiкованої рiдини скiнченої товщини H на вiдстанi h вiд нижньої границi. Схема течiї зобра- жена на рис. 1. Система координат вибрана так, що вона рухається разом з вихором, причому до- датнiй напрямок горизонтальної вiсi x направлено в сторону, протилежну напрямку вектора швид- костi руху, а вiсь z, початок якої знаходиться на твердiй границi нижче вихора, направлена вгору. Вводиться збурена функцiя течiї ψ(x, z) така, що u = ∂ψ ∂z ; w = −∂ψ ∂x . Тодi лiнеаризоване рiвняння, яке описує стацiо- нарний рух такого середовища в наближеннi Буси- неска (спрощений варiант, коли в системi рiвнянь Ейлера змiннiсть незбуреної густини середовища ρ0(z) враховується лише у рiвняннi для збуреної густини ρ(x, z)), має вигляд [10] ∆ψ + N2 U2 ψ = −Γδ(x)δ(z − h) . (1) Тут N(z) – частота Брента-Вяйсяля, ∆ – оператор Лапласа, N(z) = ( − g ρ0 dρ0 dz ) 1 2 , ∆ = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂z2 ; а δ(x), δ(z − h) – дельта-функцiї Дiрака. У безрозмiрнiй формi, де в якостi масштабу дов- жини береться H , а в якостi масштабу для ψ i Γ – UH , рiвняння (1) набирає вигляду ∆ψ + α2ψ = −Γδ(x)δ(z − h) , (2) де α = NH/U . Граничнi умови задачi випливають з умов не- проникностi границь ∂ψ ∂x = 0 при z = 0 i z = 1 (3) i умови випромiнювання ψ → 0 при x→ −∞ . (4) 2. РУХ ВИХОРА В ШАРI ЛIНIЙНО СТРАТИФIКОВАНОЇ РIДИНИ Для випадку лiнiйної стратифiкацiї, коли незбу- рений профiль густини середовища задається ви- разом ρ0(z) = ρ00(1 − βz), β > 0 , N(z) = √ βg = const i, отже, α = const. Саме та- ка схема стратифiкацiї i є предметом подальшого дослiдження. Розв’язок задачi (2)–(4) знаходиться у виглядi iнтегрального перетворення Фур’є ψ(x, z) = − Γ 2π ∞ ∫ −∞ eikxψ̄(k, z)dk . (5) Застосування перетворення (5) до рiвняння (2) i граничної умови (3) приводить до звичайного ди- ференцiального рiвняння вiдносно функцiї-образу ψ̄(k, z): ψ̄′′ + (α2 − k2)ψ̄ = δ(z − h) (6) О. Г. Стеценко 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 з граничними умовами ψ̄ = 0 при z = 0 i z = 1. (7) Використання методу варiацiї сталих дозволяє одержати розв’язок для ψ̄(k, z) у виглядi ψ̄(k, z) = C1e Mz + C2e −Mz + + 1 2M H(z − h) [ eM(z−h) − e−M(z−h) ] , (8) де C1 i C2 – сталi iнтегрування, M = √ k2 − α2, а H(z−h) – одинична функцiя Хевiсайда. Сталi iнте- грування C1 i C2 визначаються з граничних умов (3). В результатi для ψ̄(k, z) має мiсце розв’язок: а) в областi z > h ψ̄(k, z) = 1 2M [ eM(z−h) − e−M(z−h) − A1 eM − e−M ] , де A1(k, z) = eM(z+1−h) − eM(z−1+h) − −e−M(z−1+h) + e−M(z+1−h); б) в областi 0 ≤ z ≤ h ψ̄(k, z) = A2 2M (eM − e−M ) , де A2(k, z) = eM(z−1+h) + e−M(z−1+h) − −eM(z+1−h) − e−M(z+1−h). Розв’язок для ψ̄(k, z) можна представити у єдинiй для всiєї областi середовища формi ψ̄ = 1 2M [ e−M(z+h) − e−M \|z−h\| + A eM − e−M ] , (9) де A(k, z) = eM(z−1+h) + e−M(z+1+h) − −eM(z−1−h) − e−M(z+1−h). Тодi розв’язок для ψ(x, z), враховуючи парнiсть ψ̄(k, z) по k, представляється у виглядi ψ(x, z) = Γ 4π Re ∞ ∫ 0 cos(kx) M × × [ e−M \|z−h\| − e−M(z+h) − A eM − e−M ] dk . (10) Пiдiнтегральна функцiя одержаного розв’язку має полюси в точках, де eM − e−M = 0 та M = 0. Другий з цих полюсiв k2 = α одночасно є i точкою розгалуження. Полюси першого рiвняння можуть бути дiйсними лише в областi 0 < Rek ≤ α. Справ- дi, в цьому випадку це рiвняння набирає вигляду eiM∗ − e−iM∗ = 0, де M∗ = √ α2 − k2, i має розв’язки kn = √ α2 − (πn)2 , n = 1, 2, 3, .. . Як видно, дiйсними полюси kn можуть бути ли- ше за умови α > π. Враховуючи, що для реаль- ної стратифiкацiї в морях i океанах N = 10−2 ÷ 10−5с−1, для шарiв рiдкого середовища з прибли- зно лiнiйною стратифiкацiєю, товщина яких скла- дає десятки – сотнi метрiв, в дiапазонi реальних швидкостей руху пiдводних об’єктiв 1–30 м/с та- ка умова не виконується. Її виконання може мати мiсце для особливих середовищ з сильною страти- фiкацiєю, коли частота Брента-В’яйсяля N є ве- личиною порядка одиницi. В таких задачах необ- хiдно використовувати повну форму наближення Бусинеска у системi рiвнянь Ейлера. Надалi розглядаються такi режими рухiв, при яких пiдiнтегральна функцiя у виразi (10) не має дiйсних полюсiв kn. В цьому випадку розв’язок задачi знаходиться прямим iнтегруванням з вра- хуванням наявностi на дiйснiй вiсi полюса i одно- часно точки розгалуження k = α. Неважко пере- конатись (розкладаючи пiдiнтегральну функцiю в ряд в околi точки розгалуження), що цей окiл не дає вкладу у вiдповiдний iнтеграл, оскiльки зна- чення пiдiнтегральної функцiї в ньому прямує до нуля. Отже, для знаходження розв’язку задачi бу- де використовуватись безпосереднє iнтегрування видiленої дiйсної частини розв’язку (10). Першi двi складовi пiдiнтегральної функцiї в (10) описують рух вихора бiля твердої стiнки у на- пiвнескiнченому лiнiйно стратифiкованому сере- довищi (у вибранiй системi координат – це нижня тверда границя). З вiдповiдного розв’язку, отри- маного в роботi [13], пiсля замiни там лiнiйного масштабу – вiддалi центра вихора вiд стiнки на товщину шару даної задачi – має мiсце таке його представлення, яке вже задовольняє умовi випро- мiнювання: ψтс(x, z) = − Γ 2π { 1 2 ln [ x2 + (z − h)2 x2 + (z + h)2 ] + ψα + ∆ψ } , де ψα = 4H(x) α ∫ 0 1 M∗ sin(M∗x) sin(kh) sin(kz)dk, 70 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 ∆ψ = 2 k∗ ∫ 0 e−k\|x\| M sin(kh) sin(kz)dk − −2 k∗ ∫ α e−M \|x\| M sin(kh) sin(kz)dk. Тут H(x) – одинична функцiя Хевiсайда, а k∗ – достатньо велике значення, при якому з заданою точнiстю виконується умова M ≈ k. Складова розв’язку (10) ψ1, яка вiдповiдає дро- бовiй функцiї у пiдiнтегральному виразi, знаходи- ться безпосереднiм iнтегруванням вздовж дiйсної вiсi k: ψ1(x, z) = − Γ 2π ∞ ∫ 0 A cos(kx) M (eM − e−M ) dk. Для виконання умови випромiнювання при x→ ∞ для цiєї складової необхiдно скоротити iнтервал iнтегрування на iнтервал 0 ≤ k ≤ α. Це вiдпо- вiдає вiдомiй процедурi присвоєння для вказаного iнтервалу хвильових чисел у виразi ψ1 замiсть x значення −x i вiднiмання одержаного виразу вiд розв’язку у всiй областi. В результатi отримаємо ψ1(x, z) = − Γ 2π ∞ ∫ α A cos(kx) M (eM − e−M ) dk. Отже, для збуреної функцiї течiї одержується такий розв’язок ψ(x, z) = ψтc(x, z) + ψ1(x, z) . (11) Складовi збуреної швидкостi середовища пред- ставляються у виглядi u(x, z) = − Γ 2π (uo + ∆u + uα + u1) , (12) w(x, z) = Γ 2π (wo + ∆w + wα +w1] , (13) де u0 = z − h x2 + (z − h)2 − z + h x2 + (z + h)2 , ∆u = 2 k∗ ∫ 0 e−k\|x\| sin(kh) cos(kz)dk − − k∗ ∫ α k M e−M \|x\| sin(kh) cos(kz)dk, uα = 4H(x) α ∫ 0 k M∗ sin(M∗x) cos(kz) sin(kh)dk, u1 = ∞ ∫ α B (eM − e−M ) cos(kx)dk, w0 = x x2 + (z − h)2 − x x2 + (z + h)2 , ∆w = 2 k∗ ∫ α e−M \|x\| sin(kh) sin(kz)dk − −2 k∗ ∫ 0 e−k\|x\| sin(kh) sin(kz)dk, wα = 4H(x) α ∫ 0 cos(M∗x) sin(kz) sin(kh)dk, w1 = − ∞ ∫ α Ak M (eM − e−M ) sin(kx)dk, B(k, z) = eM(z−1+h) − e−M(z+1+h) − −eM(z−1−h) + e−M(z+1−h) . 3. ГIДРОДИНАМIЧНА СИЛА, ЩО ДIЄ НА РУХОМИЙ ВИХОР Для визначення гiдродинамiчної сили реакцiї (горизонтальна Rx та вертикальна Rz складовi) середовища на стацiонарний рух вихора до рiдко- го об’єму рiдини, який знаходиться всерединi кола c нескiнчено малого радiуса, що оточує центр ви- хора, застосовується теорема про змiну кiлькостi руху [14]. Тодi, як показано в роботах [11, 12], ма- ють мiсце такi безрозмiрнi вирази для складових сили (в якостi масштабiв для сили взято ρ00U 2H , а для швидкостi – U): Rx = − ∮ c [ 1 2 (u2 + w2) cos θ + uw sin θ ] ds− − ∮ c (u cos θ + w sin θ)ds, (14) Rz = ∮ c [ 1 2 (u2 − w2) sin θ − uw cos θ ] ds+ + ∮ c (u sin θ −w cos θ)ds. (15) На колi нескiнчено малого радiуса, центр якого спiвпадає з центром вихора (x → 0, z → h), з на- ведених виразiв для u(x, z) i w(x, z) одержується О. Г. Стеценко 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 наступне представлення u(x, z) = − Γ 2π [ z − h x2 + (z − h)2 + ∆u0 + u10 ] , (16) w(x, z) = Γ 2π [ x x2 + (z − h)2 + wα0 ] . (17) Тут ∆u0 = k∗ ∫ α sin(2kh)dk − − √ k2 ∗ −α2 ∫ α sin(2h √ k2 − α2)dk − 1 2h , u10 = ∞ ∫ α e2Mh − e−2Mh e2M − 1 dk, wα0 = α− 1 2h sin(2hα). Пiдстановка представлень (16), (17) у вирази (14), (15) дає наступнi спiввiдношення для скла- дових гiдродинамiчної сили: Rx = Γ2 2π [ α− 1 2h sin(2hα) ] , (18) Rz = −Γ + Γ2 2π (∆u0 + u10) . (19) 4. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ РОЗРАХУНКIВ За результатами проведених теоретичних до- слiджень виконанi чисельнi експерименти з побу- дови картини обтiкання вихора та обчислення гi- дродинамiчної сили, що на нього дiє. Картина об- тiкання представляється побудовою заданих зна- чень сумарної безрозмiрної лiнiї течiї Ψ(x, z) = = z + ψ(x, z) в дiапазонi −5 ≤ x ≤ 20. При цьому сама функцiя Ψ(x, z) змiнюється вiд нуля на ни- жнiй границi до одиницi на верхнiй. Розрахунки виконанi для чотирьох значень iнтенсивностi ви- хора (Γ: 1 ; -0.2 ; -1 ; -4), чотирьох горизонтiв руху (h : 0.1 ; 0.2 ; 0.4 ; 0.5) i двох значень парамет- ра α : 0.1 ; 1.0. Використаний тут дiапазон змiни величини α для швидкостi руху вихора порядку метрiв – десяткiв метрiв та товщини шару середо- вища порядку сотень метрiв вiдповiдає дiапазону змiни N − 0.01 ÷ 0.1 c−1. Таке розширення дiапа- зону змiни парметра α можливе в рамках викори- станої тут схеми наближення Бусинеска, зважаю- чи на скiнченiсть товщини шару середовища. Воно Рис. 2. Картина течiї при Γ = 1, h = 0.1, α = 0.1 Рис. 3. Картина течiї при Γ = 1, h = 0.5, α = 0.1 дозволяє, зате, виявити тi значення параметра α, з яких починається помiтний вплив стратифiкацiї на кiнематику обтiкання вихора, а потiм i на дина- мiку його взаємодiї з потоком. На рис. 2 наведена картина течiї для Γ = 1, h = 0.1, α= 0.1 на дiлянцi −4 ≤ x ≤ 4. Як видно, для заданих параметрiв картина течiї має практично симетричний вiдно- сно центра вихора вигляд, що свiдчить про вкрай слабкий вплив стратифiкацiї для заданого α. Змi- на горизонту руху вихора при незмiнностi iнших параметрiв змiнює геометрiю картини його обтi- кання, не змiнюючи її симетричнiсть. Це видно з рис. 3, де порiвняно з рис. 2 величина h має значе- ння h = 0.5. Про змiну обтiкання вихора з посиле- нням стратифiкацiї середовища можна судити по 72 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 Рис. 4. Картина течiї при Γ = 1, h = 0.1, α = 1 Рис. 5. Картина течiї при Γ = −0.2, h = 0.4, α = 1 рис. 4, де представлена картина обтiкання вихора для Γ = 1, h = 0.1 i α = 1. Як видно, в даному випадку вже помiтний вплив стратифiкацiї на ха- рактер картини обтiкання. В ближнiй областi має мiсце асиметрiя розподiлу лiнiй течiї, яка особливо проявляється у верхнiй частинi потоку. Очевидно, що зi зростанням α вiдмiчена особливiсть буде по- силюватись. На рис. 5–7 побудованi картини течiї для вихорiв з Γ < 0. На першому з них режим те- чiї вiдповiдає умовi \|Γ\|/πU − h < 0, а на рис. 6 i 7 – умовi \|Γ\|/πU − h > 0. Як видно, для розгляну- тих режимiв процес формування атмосфери вихо- рiв аналогiчний випадку однорiдного середовища, коли формуються власна атмосфера рухомого ви- Рис. 6. Картина течiї при Γ = −4, h = 0.1, α = 0.1 хора (рис. 5), aбо половина атмосфери, вiдповiдної руху вихорової пари в необмеженому середовищi (рис. 6 i 7) [13, 15]. В останньому випадку площа атмосфери вихору значно бiльша, нiж iзольована атмосфера, а вплив стратифiкацiї такий самий, як i при Γ > 0, з замiною в ближнiй за вихором обла- стi пiдйому лiнiй течiї на їх опускання. Оскiльки при α = 1 на рис. 6 має мiсце помiтна асиметрiя течiї в околi вихора, представляє iнтерес просте- жити за еволюцiїю цiєї течiї в дальнiй областi за вихором. Для цього була побудована вiдповiдна картина течiї на дiлянцi 5 ≤ x ≤ 20. З представ- леної на рис. 8 картини обтiкання видно, що хоч збурення, викликанi стратифiкацiєю, в областi за вихором достатньо великi i можуть складати ве- личину порядку вiдсоткiв товщини шару, вони за- тухають зi збiльшенням вiдстанi вiд нього, що i має бути у вiдповiдностi з умовою α < π, для якої i одержано розв’язок задачi. Розрахунки складо- вих гiдродинамiчної сили представленi на рис. 9 i 10 у виглядi Rx/Γ2 для горизонтальної складо- вої (хвильовий гiдродинамiчний опiр) i додатку до вертикальної складової (пiд’йомної сили), обумов- леного наявнiстю стiнок i стратифiкацiї. Одержа- ний характер змiни складових гiдродинамiчної си- ли свiдчить, що наявнiсть iстотної стратифiкацiї помiтно впливає на величину горизонтальної скла- дової сили i слабо впливає на величину пiд’йомної сили, хоча цей вплив має мiсце i вiн бiльший бi- ля верхньої границi. На величину Rz, як i у одно- рiднiй рiдинi, головним чином впливає наявнiсть горизонтальних границь. Цiкаво, що величина Rx в iнтервалi змiни 0 < α < 0.4 практично не зале- О. Г. Стеценко 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 Рис. 7. Картина течiї при Γ = −1, h = 0.2, α = 1 Рис. 8. Картина течiї при Γ = −1, h = 0.2, α = 1 жить вiд h. Помiтна змiна характеру цiєї залежно- стi вiд h спостерiгається при α > 0.5, де, можли- во, вже починає вiдчуватись неточнiсть спрощеної схеми Бусинеска. Максимальних значень по моду- лю величина ∆Rz набирає при наближеннi до будь якої iз горизонтальних границь, при цьому для рiз- них границь вона має рiзнi знаки. З представлених графiкiв видно, що для випадку однорiдного сере- довища (α = 0) Rx = 0, а на горизонтi h = 0.5 при цьому i ∆Rz = 0, що повнiстю вiдповiдає вiдомим класичним результатам. Рис. 9. Залежнiсть Rx/Γ2 вiд α Рис. 10. Залежнiсть ∆Rz вiд α ЗАКЛЮЧЕННЯ Виконанi дослiдження дозволили дослiдити вплив посилення стратифiкацiї на кiнематику i ди- намiку обтiкання двовимiрного точкового вихора потоком такого середовища. Скiнченiсть товщини стратифiкованого шару дозволила навiть у рамках спрощеної схеми наближення Бусинеска розшири- ти дiапазон змiни частот Брента-Вяйсяля N за- дачi. В проведених розрахунках цей дiапазон ста- новив 0.1 ÷ 1. Розрахунки картин течiй в околi i за вихором показали, що посилення стратифiкацiї може iстотно впливати на кiнематику течiї та на горизонтальну складову гiдродинамiчної сили (си- лу опору). В околi вихора має мiсце iстотна асиме- трiя лiнiй течiї; зi зростанням вiддалi за вихором вiдповiднi збурення затухають, однак, картина те- 74 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 68 – 75 чiї в цiлому помiтно змiнюється. Сила опору з по- силенням стратифiкацiї швидко зростає. При наявностi двох горизонтальних границь по- ложення горизонту iстотно впливає на величину пiдйомної сили, що дiє на вихор, в той час як стра- тифiкацiя слабо впливає на цю величину. Харак- тер формування атмосфери вихора визначається знаком i величиною його iнтенсивностi та вiддал- лю вiд ближньої iз границь. Для вихорiв з Γ > 0 завжди має мiсце наявнiсть iзольованої атмосфе- ри. У випадку вихорiв з Γ < 0 можливi ситуацiї як наявностi навколо вихора iзольованої атмосфе- ри, так i наявностi половини однiєї спiльної атмо- сфери, яка iснує при русi вихрової пари, утворе- ної розглянутим вихором та симетричним до нього вiдносно нижньої границi з iнтенсивнiстю проти- лежного знаку. Реалiзацiя цих ситуацiй з високою точнiстю визначається знаком величини \|Γ\|πU−h. Якщо \|Γ\|πU − h < 0, то, як i при Γ > 0, вихор має свою iзольовану атмосферу. Якщо ж режим руху такий, що виконується умова \|Γ\|πU−h > 0, то реа- лiзується ситуацiя з утворенням значно бiльшої за площею половини атмосфери вiдповiдної вихрової пари з наявнiстю двох критичних точок. Виявленi особливостi впливу стратифiкацiї на кiнематику та динамiку обтiкання вихорiв обумов- люють необхiднiсть розв’язання задачi у загальнiй постановцi наближення Бусинеска у системi рiв- нянь Ейлера. 1. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович А.В. Линейная теория поверхностных и внутрен- них волн // Итоги науки и техники, МЖ, М.: ВИНИТИ.– 1987.– 21.– С. 92-179. 2. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъем- ной силе погруженного в жидкость тела.– Собр. соч. М.: Л.: Из-во АН СССР: 1949, т. 2.– 105-182 с. 3. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на поверхности раздела двух жидкостей разной плот- ности (статья вторая).– Собр. соч. М.: Из-во АН СССР: 1949, т. 1.– 467-477 с. 4. Басин М.А., Шадрин И.П. Гидродинамика крыльев вблизи границы раздела сред.– Л.: Судостроение, 1980.– 304 с. 5. Горлов С.И. Решение линейных задач о равно- мерном движении вихреисточника в многослойной жидкости // Изв.АН СССР, МЖГ.– 1995.– №31.– С. 127-132. 6. Janowitz G.S. Line singularities in inbounded strati- fied fluid // J.Fluid Mech.– 1974.– 66, 3.– P. 455-464. 7. Arendt S.C. Vorticity in stratified fluid I: general formulation // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn.– 1993.– 68.– P. 59-83. 8. Arendt S.C. Vorticity in stratified fluid II: fi- nite crjssection filaments and rings // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn.– 1993.– 70.– P. 161-193. 9. Arendt S.C. Two-dimensional vortex dynamics in a stratified barotropic fluid // J. Fluid Mech.– 1996.– 314.– P. 139-161. 10. Стеценко О.Г. Лiнiйна задача про стацiонарний рух вихора у стратифiкованому середовищi // ПГМ.– 2004.– 6(78), №1.– С. 62-68. 11. Стеценко О.Г. Гiдродинамiчна сила, що дiє на плоский точковий вихор при його стацiонарно- му русi у стратифiкованому середовищi // ДНАН України.– 2005.– №12.– С. 56-62. 12. Стеценко О.Г. Динамiка стацiонарного руху ви- хроджерела у стратифiкованому середовищi // ПГМ.– 2006.– 8(80), №4.– С. 66-77. 13. Стеценко О.Г. Стацiонарний рух вихора бiля твер- дої стiнки у стратифiкованому середовищi // ПГМ.– 2008.– 10(82), №4.– С. 58-64. 14. Повх И.Л. Техническая гидромеханика.– Л.: Ма- шиностроение, 1969.– 524 с. 15. Беляев С.Т., Краснов Ю.К. О собственной мас- се сингулярной вихревой пары // ДАН СССР.– 1989.– №3.– С. 566-570. О. Г. Стеценко 75

Стацiонарний рух точкового вихора в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями

Institution

Similar Items