Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками
Рассматриваются малые (линейные) колебания идеальной жидкости, частично заполняющей сосуд, секционированный перфорированными перегородками. В предположении большого числа перфорационных отверстий приведена математическая формулировка задачи с усредненными условиями на перегородках. Дана вариационная...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Прикладна гідромеханіка |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87730 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками / Д.И. Борисов, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 8-19. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87730 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877302015-10-25T03:02:04Z Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками Борисов, Д.И. Руднев, Ю.И. Рассматриваются малые (линейные) колебания идеальной жидкости, частично заполняющей сосуд, секционированный перфорированными перегородками. В предположении большого числа перфорационных отверстий приведена математическая формулировка задачи с усредненными условиями на перегородках. Дана вариационная формулировка усредненной спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости. Установлены некоторые общие свойства спектра частот собственных колебаний. Рассмотрен ряд конкретных примеров. Розглядаються малі (лінійни) коливання ідеальної рідини, яка частково заповнює порожнину, що секціонована перфорованими перегородками. В припущенні великої кількості перфораційних отворів наведено математичне формулювання задачі з усередненими умовами на перегородках. Наведено варіаційне формулювання усередненої задачі про власні коливання рідини. Встановлено деякі загальні властивості спектру частот власних коливань рідини. Розглянуто низку конкретних прикладів. Small (linear) oscillations of ideal fluid in partially filled vessel with rigid perforated bafflers are considered. The mathematical statement of the problem with averaged conjugation conditions on the bafflers is given in assumption of large number of perforating holes. Variational statement of the averaged normal mode problem is given as well. Some general properties of eigenfrequency spectrum are found. Several examples are considered. 2010 Article Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками / Д.И. Борисов, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 8-19. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87730 532.5 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются малые (линейные) колебания идеальной жидкости, частично заполняющей сосуд, секционированный перфорированными перегородками. В предположении большого числа перфорационных отверстий приведена математическая формулировка задачи с усредненными условиями на перегородках. Дана вариационная формулировка усредненной спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости. Установлены некоторые общие свойства спектра частот собственных колебаний. Рассмотрен ряд конкретных примеров. |
| format |
Article |
| author |
Борисов, Д.И. Руднев, Ю.И. |
| spellingShingle |
Борисов, Д.И. Руднев, Ю.И. Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками Прикладна гідромеханіка |
| author_facet |
Борисов, Д.И. Руднев, Ю.И. |
| author_sort |
Борисов, Д.И. |
| title |
Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками |
| title_short |
Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками |
| title_full |
Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками |
| title_fullStr |
Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками |
| title_full_unstemmed |
Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками |
| title_sort |
собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87730 |
| citation_txt |
Собственные колебания идеальной жидкости в сосудах с перфорированными перегородками / Д.И. Борисов, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 8-19. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT borisovdi sobstvennyekolebaniâidealʹnojžidkostivsosudahsperforirovannymiperegorodkami AT rudnevûi sobstvennyekolebaniâidealʹnojžidkostivsosudahsperforirovannymiperegorodkami |
| first_indexed |
2025-07-06T15:24:50Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:24:50Z |
| _version_ |
1836911680169181184 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
УДК 532.5
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В СОСУДАХ С ПЕРФОРИРОВАННЫМИ
ПЕРЕГОРОДКАМИ
Д. И. БО РИ С ОВ, Ю. И. РУ Д Н ЕВ
Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина
Получено 06.10.2009
Рассматриваются малые (линейные) колебания идеальной жидкости, частично заполняющей сосуд, секционирован-
ный перфорированными перегородками. В предположении большого числа перфорационных отверстий приведена
математическая формулировка задачи с усредненными условиями на перегородках. Дана вариационная форму-
лировка усредненной спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости. Установлены некоторые общие
свойства спектра частот собственных колебаний. Рассмотрен ряд конкретных примеров.
Розглядаються малi (лiнiйни) коливання iдеальної рiдини, яка частково заповнює порожнину, що секцiонована пер-
форованими перегородками. В припущеннi великої кiлькостi перфорацiйних отворiв наведено математичне форму-
лювання задачi з усередненими умовами на перегородках. Наведено варiацiйне формулювання усередненої задачi
про власнi коливання рiдини. Встановлено деякi загальнi властивостi спектру частот власних коливань рiдини.
Розглянуто низку конкретних прикладiв.
Small (linear) oscillations of ideal fluid in partially filled vessel with rigid perforated bafflers are considered. The mathemati-
cal statement of the problem with averaged conjugation conditions on the bafflers is given in assumption of large number
of perforating holes. Variational statement of the averaged normal mode problem is given as well. Some general properties
of eigenfrequency spectrum are found. Several examples are considered.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи динамики твердого тела с полостями, со-
держащими жидкость, на протяжении многих лет
привлекают к себе неослабевающее внимание [1–
6]. В последнее время основные усилия направле-
ны на исследование нелинейных движений жид-
кости с большими амплитудами колебаний свобо-
дной поверхности [5, 6]. Вместе с тем исследова-
ние колебаний жидкости в рамках линейной те-
ории по-прежнему остается актуальной задачей,
имеющей важные практические приложения.
Для длительного хранения и транспортировки
больших объемов жидкости используются баки,
содержащие, как правило, секционные перегород-
ки. Перегородки оказывают значительное влия-
ние на собственные частоты и моды колебаний
жидкости, коэффициенты присоединенных масс и
другие гидродинамические характеристики систе-
мы "твердое тело + жидкость". Во многих экспе-
риментальных и теоретических работах [2, 3, 7–
10] отмечается высокая эффективность использо-
вания перегородок для демпфирования колебаний
и нейтрализации динамического воздействия жид-
кости на стенки бака.
Наличие перегородок приводит к дополнитель-
ным трудностям при решении краевых задач, опи-
сывающих движение жидкости. Эти трудности
особенно велики, если перегородки выполнены с
определенным числом отверстий, и быстро стано-
вятся непреодолимыми с ростом числа отверстий
и усложнением их формы. Однако в том случае,
когда число отверстий велико, а их размеры и рас-
стояния между ними достаточно малы, прибли-
женное решение можно найти, переходя к более
простой задаче, получаемой путем замены точных
граничных условий на перфорированных участках
перегородок некоторыми усредненными условия-
ми сопряжения.
Аналогичные трудности возникают при иссле-
довании движения жидкости в областях, содержа-
щих пористые тела или перегородки. В [11, 12] и
ряде других работ используются граничные усло-
вия на поверхности таких тел, отвечающие фено-
менологическим законам фильтрации в пористых
средах. Проблема выбора граничных условий на
поверхности проницаемых тел, обтекаемых несжи-
маемой жидкостью, рассматривается в [13]. Мате-
матическим вопросам, возникающим при усредне-
нии краевых и начально–краевых задач в перфо-
рированных областях, посвящены монографии [14,
15].
В данной работе приведена постановка зада-
чи о малых потенциальных колебаниях идеальной
жидкости в сосуде, секционированном перфори-
рованными перегородками. При этом использую-
тся усредненные условия на перегородках, полу-
ченные в [14]. Дана вариационная формулиров-
8 c© Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев, 2010
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
Рис. 1. К постановке задачи
ка усредненной спектральной задачи о собствен-
ных нормальных колебаниях жидкости. Подробно
рассмотрен случай прямоугольного бака с гори-
зонтальными и (параллельными боковым стенкам
сосуда) вертикальными перфорированными пере-
городками. Приведены результаты расчетов соб-
ственных частот колебаний жидкости в зависимо-
сти от проницаемости перегородок и геометриче-
ских параметров сосуда. Аналогичные результаты
получены для кругового цилиндра с кольцевыми,
радиальными и горизонтальными перегородками.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваются малые (линейные) движения
идеальной жидкости в частично заполненном не-
подвижном сосуде. Предполагается, что внутри
полости сосуда установлены тонкие недеформиру-
емые перегородки (см. рис. 1).
Введем декартову систему координат Ox1x2x3,
жестко связанную с сосудом, направляя ось Ox3
вертикально вверх. Пусть Ω – область, занимае-
мая жидкостью, Γ – свободная поверхность жид-
кости, S–поверхность, ограничивающая полость
сосуда. В равновесном состоянии в поле сил тя-
жести уравнение свободной поверхности Γ имеет
вид: x3 = H(= const).
Предположим, что перегородки делят область
Ω на N подобластей (секций) Ωk, k ∈ 1, N . Пер-
форация перегородок выполнена так, что все Ωk,
k ∈ 1, N образуют единую систему сообщающихся
секций. Будем считать также, что свободная по-
верхность Γ делится перегородками на отдельные
связные части Γk, так что Γ =
⋃
k∈IΓ
Γk где IΓ–
множество номеров областей Ωk, примыкающих к
поверхности Γ. Перегородки со свободным краем
в области Ω исключим из рассмотрения.
Пусть δ –толщина перегородок, L –характерный
линейный размер сосуда. Считая δ � L, бу-
дем отождествлять перегородку между двумя сме-
жными областями Ωj , Ωk с ее срединной поверхно-
стью Sjk. Выделим на поверхности Sjk непересе-
кающиеся связные куски (перфорационные отвер-
стия) σ
(m)
jk ⊂ Sjk, m ∈ 1, mjk. Пусть S′
jk :=
⋃mjk
m=1 σ
(m)
jk . Множество S′′
jk := Sjk\S
′
ij является,
очевидно, непроницаемым участком перегородки
между областями Ωj , Ωk.
Поверхность контакта жидкости, заполняющей
область Ωk, с поверхностью, ограничивающей по-
лость сосуда, будем обозначать через Sk. Отметим,
что для некоторых номеров j, k ∈ 1, N поверхности
Sjk, Sk могут быть пустыми множествами. Мно-
жество пар целочисленных индексов (jk) таких,
что j < k и |Sjk| 6= 0 (|Sjk| – площадь поверхно-
сти Sjk), обозначим через I. Множество номеров
областей Ωk, примыкающих к поверхности S, обо-
значим через IS , так что S =
⋃
k∈IS
Sk.
Нормали ~n к поверхностям перегородок Sjk
условимся направлять в сторону области с боль-
шим номером; нормали к поверхностям Γ и S бу-
дем считать внешними по отношению к области Ω,
занимаемой жидкостью.
Пусть ζ(k)(t, x1, x2) означает отклонение движу-
щейся свободной поверхности жидкости Γk(t) от
равновесного положения Γ, ϕ(k)(t, ~x)– потенциал
скоростей жидкости в области Ωk. Предположим,
что число отверстий в каждом перфорированном
участке перегородки достаточно велико, а их ра-
змеры и расстояния между ними малы. В этих
предположениях малые потенциальные движения
жидкости вблизи равновесного состояния прибли-
женно можно описать следующими уравнениями,
граничными и начальными условиями [17]:
4ϕ(k)(t, ~x) = 0 в Ωk, k ∈ 1, N ; (1)
∂ζ(k)
∂t
=
∂ϕ(k)
∂n
на Γk, k ∈ IΓ; (2)
∂ϕ(k)
∂t
+gζ(k) = f(k)(t, ~x)+c(t) на Γk, k ∈ IΓ; (3)
∂ϕ(j)
∂n
=
∂ϕ(k)
∂n
= qjk(ϕ
(k) −ϕ(j)) на Sjk, (jk) ∈ I;
(4)
∂ϕ(k)
∂n
= 0 на Sk, k ∈ IS ; (5)
Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев 9
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
ζ(k)|t=0 = ζ
(k)
0 (x, y),
∂ϕ(k)
∂n
|t=0 = ζ
(k)
1 (x, y), k ∈ IΓ.
(6)
Здесь g – ускорение силы тяжести, f(t, ~x) – си-
ловая функция возмущений внешнего поля массо-
вых сил, ζ
(k)
0 (x, y), ζ
(k)
1 (x, y) – заданные функции,
определяющие начальные отклонения и скоро-
сти точек свободной поверхности жидкости, c(t)–
произвольная функция времени t.
Отличительной особенностью усредненной за-
дачи (1)–(6) являются условия сопряжения (4).
Функции qjk = qjk(~x), ~x ∈ Sjk в этих услови-
ях будем называть проницаемостями перегородок.
В дальнейшем проницаемости перегородок qjk(~x)
предполагаются известными.
Условия сопряжения (4) являются результатом
усреднения точных (в рамках модели идеальной
жидкости) граничных условий на перегородках
(см. [14], гл. 3):
ϕ(j) = ϕ(k),
∂ϕ(j)
∂n
=
∂ϕ(k)
∂n
на S′
jk := ∪
mjk
m=1σ
(m)
jk ;
∂ϕ(j)
∂n
=
∂ϕ(k)
∂n
= 0 на S′′
jk := Sij\S
′
ij , (ij) ∈ I.
(7)
Отметим, что условиям (7) на проницаемом участ-
ке перегородки S′
ij ∈ Sij отвечает предельный слу-
чай условий (4): qjk(~x) = ∞ ∀~x ∈ S′
jk ⊂ Sjk. На не-
проницаемом участке перегородки S′′
jk ⊂ Sjk необ-
ходимо принять qjk(~x) = 0 ∀~x ∈ S′′
jk; в этом случае
условия (4) и (7) на S′′
jk в точности совпадают.
Пусть S0
ij ⊂ Sij− отверстие больших размеров в
перегородке Sij. Из сказанного выше следует, что
S0
ij можно рассматривать как перфорированный
участок с бесконечно большой проницаемостью. В
этом случае приближенное решение задачи (1)–(6)
можно получить, полагая
qij(~x) = q0
ij (= const) ∀~x ∈ S0
ij
и выбирая константу q0
ij достаточно большой.
Аналогичный прием позволяет охватить случай
перегородок со свободным краем в области, зани-
маемой жидкостью. Продлевая такую перегород-
ку до пересечения с внешней стенкой бака или с
другими перегородками и считая проницаемость
дополнительного участка перегородки бесконечно
большой, сведем тем самым рассматриваемый слу-
чай к предыдущему.
В приведенной постановке усредненной зада-
чи (1)–(6) предполагается, что перфорирован-
ный участок S′
ij каждой перегородки, пересекаю-
щей свободную поверхность жидкости Γ, отстоит
от нее на некотором расстоянии dist(S′
ij, Γ) >
d0 > 0. Это связано с тем, что возникающие ко-
лебания жидкости в общем случае сопровождаю-
тся разрывами свободной поверхности на перего-
родках, не учитываемыми усредненными гранич-
ными условиями (4). Физически ясно, однако, что
решения усредненной задачи (1)–(6) могут быть
использованы для приближенного описания коле-
баний жидкости и в том случае, если проницаемо-
сти перегородок в окрестности линий пересечения
со свободной поверхностью достаточно малы, или,
наоборот, достаточно велики.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением сво-
бодных нормальных колебаний жидкости. Эти ко-
лебания описываются при f(t, ~x) ≡ 0 решениями
задачи (1)–(5) следующего вида:
(
ζ(t, x1, x2)
ϕ(~x)
)
= exp (iωt)
(
u(x1, x2)
φ(~x)
)
. (8)
Здесь ω – круговая частота собственных колеба-
ний жидкости, u(x1, x2), φ(~x) – амплитудные мно-
жители (моды), определяющие формы колебаний
свободной поверхности. Подставляя (8) в уравне-
ния и граничные условия задачи (1)–(5), после от-
деления экспоненциального множителя получим
спектральную краевую задачу (относительно спе-
ктрального параметра λ := ω2/g и отвечающих
ему собственных функций φ(~x)):
4φ(k)(~x) = 0 в Ωk, k ∈ 1, N ; (9)
λφ(k) −
∂φ(k)
∂n
= cΓ на Γk, k ∈ IΓ, λ := ω2/g; (10)
∂φ(j)
∂n
=
∂φ(k)
∂n
= qjk(φ
(j) − φ(k)) на Sjk, (jk) ∈ I;
(11)
∂φ(k)
∂n
= 0 на Sk, k ∈ IS , (12)
где cΓ– произвольная постоянная.
Моды колебаний свободной поверхности жидко-
сти определяются по собственным значениям λ и
отвечающим им собственным функциям φ спек-
тральной задачи (9)–(12) согласно равенству:
u(k) = a
∂φ(k)
∂n
на Γk, k ∈ IΓ , (13)
где a – произвольный амплитудный множитель.
Функции u(k), k ∈ IΓ должны удовлетворять усло-
вию
∑
k∈IΓ
∫
Γk
u(k)dΓ = 0, (14)
легко вытекающему из выражений (13), (12), (9).
10 Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
Как известно [4, 16], спектральная задача о
малых колебаниях идеальной жидкости в ча-
стично заполненном сосуде в точной постановке
имеет дискретный спектр собственных значений
{λn}
∞
n=1, все собственные значения положитель-
ны, причем λn → ∞ при n → ∞; каждому соб-
ственному значению λn отвечает конечное чис-
ло собственных функций un, система собственных
функций {un}
∞
n=1 полна в определенных функци-
ональных пространствах. В [17] показано, что все
эти свойства полностью переносятся на спектраль-
ную задачу (9)–(13).
2. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
Приведем вариационную формулировку усре-
дненной спектральной задачи (9)–(12). С этой
целью рассмотрим функционал:
F (φ) =
N
∑
k=1
∫
Ωk
(∇φ(k))2dΩ+
+
∑
(jk)∈I
∫
Sjk
qjk(φ
(j) − φ(k))2dS−
−λ
∑
k∈IΓ
∫
Γk
(φ(k))2dΓ.
(15)
Здесь и далее под φ понимаются N–компонентные
функции φ(~x) := (φ(1)(~x), ... , φ(N)(~x)).
Будем считать, что φ(k)(~x) ∀k ∈ 1, N принадле-
жат пространству Соболева H1(Ωk) квадратично
суммируемых по области Ωk функций с квадрати-
чно суммируемыми (обобщенными) производны-
ми первого порядка. Кроме того, потребуем, что-
бы функции φ(~x) удовлетворяли дополнительному
условию:
∑
k∈IΓ
∫
Γk
φ(k)(~x) dΓ = 0 . (16)
Множество функций φ(~x), удовлетворяющих усло-
вию (16), и таких, что φ(k)(~x) ∈ H1(Ωk) ∀k ∈ 1, N ,
обозначим через H1
Γ(Ω).
Варьируя функционал (15), получим:
1
2
δF (φ; δφ) =
N
∑
k=1
∫
Ωk
∇φ(k)∇δφ(k) dΩ+
+
∑
(jk)∈I
∫
Sjk
qjk(φ(j) − φ(k))(δφ(j) − δφ(k))dS−
−λ
∑
k∈IΓ
∫
Γk
φ(k)δφ(k) dΓ.
(17)
Используя формулу Грина (для оператора Лапла-
са), преобразуем первую сумму в правой части ра-
венства (17) к виду:
N
∑
k=1
∫
Ωk
∇φ(k)∇δφ(k) dΩ = −
N
∑
k=1
∫
Ωk
4φ(k) δφ(k) dΩ+
+
∑
(jk)∈I
∫
Sjk
(
∂φ(j)
∂n
δφ(j) −
∂φ(k)
∂n
δφ(k)
)
dS+
+
∑
k∈IΓ
∫
Γk
∂φ(k)
∂n
δφ(k) dΓ +
∑
k∈IS
∫
Sk
∂φ(k)
∂n
δφ(k) dS.
(18)
Подставляя (18) в (17), после несложных преобра-
зований получим:
1
2
δF (φ; δφ) = −
N
∑
k=1
∫
Ωk
4φ(k) δφ(k) dΩ+
+
∑
(jk)∈I
∫
Sjk
{[
∂φ(j)
∂n
+ qjk(φ(j) − φ(k))
]
δφ(j)−
−
[
∂φ(k)
∂n
+ qjk(φ
(j) − φ(k))
]
δφ(k)
}
dS+
+
∑
k∈IΓ
∫
Γk
(
∂φ(k)
∂n
− λφ(k)
)
δφ(k) dΓ+
+
∑
k∈IS
∫
Sk
∂φ(k)
∂n
δφ(k) dS.
(19)
Вариации δφ(k) функций φ(k) должны удовле-
творять условию:
∑
k∈IΓ
∫
Γk
δφ(k) dΓ = 0. (20)
Очевидно, что на решениях задачи (9)–(12) первая
вариация функционала F обращается в нуль:
δF (φ; δφ) = 0 ∀ δ φ ∈ H1
Γ(Ω). (21)
Верно и обратное утверждение: из условия стаци-
онарности функционала F легко следуют уравне-
ния и граничные условия задачи (9)–(12); посто-
янная cΓ в динамическом условии (10) появляе-
тся при этом как множитель Лагранжа для усло-
вия (20). Таким образом, определение частот и
мод колебаний жидкости в сосудах с тонкостен-
ными перфорированными перегородками сводит-
ся к определению стационарных точек функцио-
нала F , определенного выражением (15).
Приведем несколько видоизмененную вариаци-
онную формулировку спектральной задачи (9)–
Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
(12). Вместо F (φ) рассмотрим функционал
F1(φ) :=
[
N
∑
k=1
∫
Ωk
(∇φ(k))2dΩ +
+
∑
(ik)∈I
∫
Sjk
qjk(φ
(j) − φ(k))2dS
×
×
[
∑
k∈IΓ
∫
Γk
(φ(k))2dΓ
]−1
.
(22)
Первое (минимальное) собственное значение λ1
спектральной задачи (9)–(12) совпадает с мини-
мальным значением функционала F1(φ) на мно-
жестве функций φ ∈ H1
Γ(Ω). Следующие соб-
ственные значения, упорядоченные по возраста-
нию, определяются как последовательные мини-
мумы функционала F1(φ) на множестве функций
φ ∈ H1
Γ(Ω), удовлетворяющих некоторым дополни-
тельным условиям ортогональности. Задача опре-
деления n– го собственного значения λn имеет вид:
λn = min
φ
F1(φ), φ ∈ H1
Γ(Ω), (23)
∑
k∈IΓ
∫
Γk
φ(k) φ(k)
m dΓ = 0 ∀m ∈ 1, (n − 1),
где φm := (φ
(1)
m , . . . , φ
(N)
m ) – собственная функция
рассматриваемой спектральной задачи, отвечаю-
щая собственному значению λm.
При исследовании общих свойств спектра ча-
стот собственных нормальных колебаний жидко-
сти часто более удобным оказывается так называе-
мый максимально–минимальный принцип. Согла-
сно этому принципу собственные значения спек-
тральной задачи (9)–(12) определяются как реше-
ния следующей задачи:
λn = max
Mn−1
min
φ⊥Mn−1
F1(φ), n = 1, 2, . . . . (24)
Здесь минимум определяется на ортогональном
дополнении к (n − 1)–мерному подпространству
Mn−1 в гильбертовом пространстве H1
Γ(Ω), а ма-
ксимум берется по всем подпространствам Mn−1.
Опираясь на вариационные формулировки за-
дачи (9)–(12), можно показать, в частности, что
первая (минимальная) частота колебаний в сосу-
де с перегородками не превышает минимальную
частоту колебаний в том же сосуде без перегоро-
док. Дополнительное секционирование полости со-
суда приводит к понижению собственных частот
колебаний жидкости. Пусть {λn}
∞
n=1, {λ′
n}
∞
n=1 –
спектры собственных значений задачи (9)–(12),
отвечающие проницаемостям перегородок qjk, q
′
jk.
Если qjk < q′jk ∀(ik) ∈ I, то, как нетрудно пока-
зать, λn ≤ λ′
n, n = 1, 2, . . . . Отсюда следует, что
увеличение проницаемости перегородок приводит
к повышению собственных частот колебаний жид-
кости ωn = (gλn)1/2; некоторые из собственных ча-
стот ωn могут оставаться при этом неизменными.
Приведенные ниже примеры полностью подтвер-
ждают эти выводы.
3. ПРИМЕРЫ
3.1. Вертикальный цилиндр, секционирован-
ный горизонтальными перегородками.
Рассмотрим вертикальный цилиндрический сосуд
с плоским днищем, секционированный горизон-
тальными перфорированными перегородками. На-
чало системы координат Ox1x2x3 поместим на
днище сосуда. Будем считать, что перегородки
установлены в поперечных сечениях сосуда x3 =
Hk = const, k ∈ 1, (N − 1), плоскость x3 = HN
отвечает свободной поверхности жидкости, при-
чем 0 = H0 < H1 < . . . < HN ≡ H .
Перегородки делят область, занимаемую жид-
костью, на N слоев Ωk, k ∈ 1, N , пронумеро-
ванных в направлении от нижнего слоя к верх-
нему. Толщину k–го слоя обозначим через hk :=
Hk − Hk−1, k ∈ 1, N . Проницаемость каждой
перегородки будем считать заданной константой,
qk,k+1 = const, k ∈ 1, (N − 1).
Опуская промежуточные выкладки, приведем
решение спектральной задачи (9)–(12) для цилин-
дрических сосудов с прямоугольным и круговым
поперечными сечениями. В рассматриваемых слу-
чаях собственные частоты колебаний и отвечаю-
щие им моды потенциала скоростей можно пред-
ставить в виде:
φ(k)
s (~x) =
a us(x1, x2)
sh æshk
N
∏
j=k
γjs
×
× [ch æs(x3 − Hk−1) − γk−1,sch æs(Hk − x3)] ,
ωs =
(
g æs sh æshN
ch æshN − γN−1,s
)1/2
,
~x := (x1, x2, x3) ∈ Ωk, k ∈ 1, N, s = 1, 2, 3 . . . .
(25)
Здесь a– произвольный амплитудный множитель;
выражения для функций us(x1, x2) и величин æs,
γks приведены ниже.
Для прямоугольного бака с горизонтальными
размерами L1, L2 вдоль осей Ox1, Ox2 соответ-
ственно, функции us(x1, x2) и величины æs имеют
12 Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
вид
us(x1, x2) = cos
πmsx1
L1
cos
πnsx2
L2
,
0 < xj < Lj , j = 1, 2,
æs = π
[
(
ms
L1
)2
+
(
ns
L2
)2
]1/2
,
ms, ns = 0, 1, ..., ms + ns 6= 0, s = 1, 2, 3, ....
(26)
где целочисленные параметры ms, ns выбираются
так, чтобы волновые числа æs образовывали стро-
го возрастающую последовательность: æ1 < æ2 <
æ3 . . . . Можно показать, что в этом случае соб-
ственные частоты ωs также будут располагаться
в возрастающем порядке: ω1 < ω2 < ω3 < ... .
Принимая строгие неравенства при упорядочива-
нии ωs, необходимо иметь в виду, что в рассматри-
ваемых примерах каждой собственной частоте ωs
могут соответствовать несколько различных мод
колебаний свободной поверхности жидкости.
Коэффициенты γks в (25) определяются рекур-
рентными соотношениями:
γ0s = 0, γks = qk,k+1 sh æshk :
: {qk,k+1 [sh æs(hk + hk+1) − γk−1,ssh æshk]+
+æssh æshk sh æshk+1} ∀k ∈ 1, (N − 1), γNs = 1,
s = 1, 2, ... .
(27)
Из (27) при заданных значениях проницаемостей
перегородок и геометрических параметров сосу-
да последовательно находятся все γks от γ1s до
γN−1,s, что вместе с заданными значениями γ0s и
γNs позволяет полностью определить частоты и
моды собственных колебаний жидкости в случае
прямоугольного сосуда.
Для кругового цилиндра радиуса R равенства
(25), (27) остаются справедливыми, а вместо (26)
необходимо принять следующие выражения (в по-
лярных координатах r, ϑ):
us(r, ϑ) = Jms
(æsr)
{
cos msϑ
sin msϑ,
æs = κmsns
/R,
ms = 0, 1, . . . , ns = 1, 2, . . . ,
(28)
где Jm(·)– функция Бесселя 1–го рода m–го поряд-
ка, κmn – n–й положительный корень уравнения:
J ′
m(κmn) = 0
(
J ′
m(r) :=
dJm(r)
d r
)
. (29)
Индексы ms, ns в (28), как и в рассмотренном
выше случае прямоугольного бака, выбираются
так, чтобы æs и, следовательно, собственные ча-
стоты ωs с увеличением s располагались в возра-
стающем порядке.
Введем безразмерные собственные частоты ко-
лебаний жидкости
ω̄s := (L/g)1/2ωs, s = 1, 2, . . . , (30)
где L–характерный линейный размер сосуда. В
дальнейшем полагаем L = S1/2, где S – площадь
поперечного сечения сосуда. Такой выбор харак-
терного линейного размера удобен при сопостав-
лении собственных частот колебаний жидкости в
сосудах с одинаковой площадью поперечного се-
чения. Собственные частоты ω̄s являются, очеви-
дно, функциями безразмерных параметров kL :=
L2/L1, q̄k,k+1 = qk,k+1L, h̄k = hk/L, так что
ωs = ωs(q1,2, . . . qN−1,N , h1, . . . hN , kL)
(для кругового цилиндра параметр kL необходимо
отбросить).
Рис. 2. Зависимость первой собственной частоты ω1
от коэффициента проницаемости перегородок q̄ для
прямоугольного бака (кривые 1,2,3) и кругового
цилиндра (кривые 4,5,6) при H̄ = 0.6, kL = 0.7: 1,4 –
h̄ = 0.15; 2,5 – h̄ = 0.2; 3,6 – h̄ = 0.3
Для практических приложений наибольший ин-
терес представляют низкие собственные частоты,
прежде всего, первая (минимальная) частота ко-
лебаний жидкости. На рис. 2 показаны результаты
расчетов ω̄1 для прямоугольного бака (кривые 1, 2,
3) и кругового цилиндра (кривые 4, 5, 6) в зависи-
мости от коэффициента проницаемости q̄ = const,
одинакового для всех перегородок. Кривые 1, 2,
3, как и 4, 5, 6, отвечают соответственно трем
(N = 4), двум (N = 3) и одной (N = 2) пере-
городкам. Предполагается, что перегородки рас-
Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев 13
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
пределены равномерно по высоте H̄ := H/L слоя
жидкости с шагом h̄ := H̄/N .
Как видно из приведенных графиков, влия-
ние горизонтальных перегородок проявляется тем
сильнее, чем меньше их проницаемость. Увеличе-
ние количества перегородок приводит к пониже-
нию первой собственной частоты колебаний жид-
кости. При q̄ → ∞ величина ω̄1, монотонно во-
зрастая, стремится к значению ω̄0
1 , отвечающему
первой собственной частоте колебаний жидкости
в сосуде без перегородок. Можно показать, что
эти выводы остаются справедливыми для всех соб-
ственных частот колебаний.
Рис. 3. Зависимости ω̄1, ω̄2, ω̄3 от коэффициента
проницаемости перегородок q̄ для прямоугольного
бака (кривые 1-3) и кругового цилиндра (кривые
4-6), секционированных тремя перегородками, при
H̄ = 1, kL = 0.7, h̄ = 0.25
На рис. 3 показаны зависимости первых трех
собственных частот ω̄1−3(:= ω̄1, ω̄2, ω̄3) от прони-
цаемости перегородок q̄ для прямоугольного бака
(сплошные кривые) и кругового цилиндра (пун-
ктирные кривые). Баки секционированы тремя
перегородками, равномерно распределенными по
высоте H̄ = 1 с шагом h̄ = 0.25.
Влияние перегородок наиболее существенно для
первой собственной частоты ω̄1 и заметно ослабе-
вает для ω̄2, ω̄3 и более высоких частот. Первая
собственная частота ω̄1 в прямоугольном баке су-
щественно зависит от соотношения горизонталь-
ных размеров kL = L2/L1 и достигает максималь-
ного значения при kL = 1. Для кругового цилин-
дра ω̄1 больше, чем для прямоугольного бака с
произвольным соотношением горизонтальных раз-
меров kL. Более того, можно показать, что пер-
вая собственная частота ω̄1 колебаний жидкости в
круговом цилиндре имеет максимальное значение
по сравнению с любым другим цилиндрическим
сосудом с заданной площадью поперечного сече-
ния (все остальные параметры сравниваемых со-
судов предполагаются при этом совпадающими).
Рис. 4. Зависимость первой собственной частоты ω1
от уровня перегородки H̄1 для прямоугольного бака
при kL = 1, H̄ = 0, 5 (кривые 1–3) и H̄ = 1 (кривые
4–6): 1,4 – q̄ = 0.1; 2,5 – q̄ = 3; 3,6 – q̄ = 10.
Рис. 5. Зависимость первой собственной частоты ω1
от уровня жидкости H̄ для кругового цилиндра при
h̄ = 0.25: 1 – q̄ = 0.1; 2 – q̄ = 3; 3 – q̄ = 50
Предположим, что в сосуде установлена одна
горизонтальная перегородка на расстоянии H̄1 от
дна. На рис. 4 представлены результаты расчетов
зависимости ω̄1 от H̄1 в прямоугольном баке для
двух уровней жидкости H̄ = 0.5 и H̄ = 1 при
kL = 1 и различных значениях проницаемости пе-
регородки q̄. Влияние перегородки тем значитель-
нее, чем ближе она расположена к свободной по-
верхности жидкости. С приближением перегород-
ки к свободной поверхности частота колебаний ω̄1
понижается.
14 Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
Предположим теперь, что перегородки установ-
лены на фиксированных уровнях H̄k = kh̄, k =
1, 2, . . . ., а переменной величиной является уро-
вень жидкости H̄ . Зависимость ω̄1 от H̄ в слу-
чае кругового цилиндра показана на рис. 5 при
h̄ = 0.25 для различных значений проницаемости
перегородок q̄. Разрывы на приведенных графиках
соответствуют значениям H̄ = H̄k.
Приведенные результаты позволяют судить о
количественном влиянии горизонтальных перего-
родок на собственные частоты колебаний жидко-
сти.
3.2. Прямоугольный бак с вертикальными и го-
ризонтальными перегородками
Рассмотрим прямоугольный бак, секционирован-
ный горизонтальными и вертикальными перего-
родками. Будем считать, что область Ω, занима-
емая жидкостью, делится перегородками на N =
N1N2N3 подобластей (секций):
Ωijk = {(x1, x2, x3) : (i − 1)l1 < x1 < i l1 ,
(j − 1)l2 < x2 < j l2, Hk−1 < x3 < Hk},
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2, k ∈ 1, N3.
l1 := L1/N1, l2 := L2/N2.
(31)
Вертикальные перегородки делят при этом сво-
бодную поверхность жидкости на прямоугольные
ячейки одинаковых размеров l1 × l2 ( N1 · N2– ко-
личество ячеек):
Γij = {(x1, x2, x3) : (i − 1)l1 < x1 < i l1 ,
(j − 1)l2 < x2 < j l2, x3 = H},
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2.
(32)
В (31), (32) для удобства нумерации принята трой-
ная индексация секций и двойная индексация яче-
ек.
Проницаемости всех вертикальных перегоро-
док, параллельных боковым стенкам бака x1 =
0, L1 или x2 = 0, L2, будем считать для просто-
ты заданными константами q1, q2 соответственно.
Для горизонтальных перегородок сохраним пред-
положения и обозначения, введенные выше.
В рассматриваемом случае потенциал скоростей
φs(~x) и собственные частоты ωs, как и в предыду-
щем примере, определяются соотношениями (25),
(27) с очевидными поправками, связанными с не-
сколько изменившейся нумерацией секций. Моды
колебаний свободной поверхности жидкости и вол-
новые числа æs имеют вид:
u(ij)
s (x1, x2) = [a1i cos æ1s(x1 − (i − 1)l1)−
−a1,i−1 cos æ1s(il1 − x1)]×
×[a2j cos æ2s(x2 − (j − 1)l2)−
−a2,j−1 cos æ2s(j l2 − x2)],
æs = (æ2
1s + æ2
1s)
1/2,
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2, s = 1, 2, 3, . . . .
(33)
Коэффициенты a1i, a2j и величины æ1s, æ2s будут
определены ниже.
Функции φs(~x) удовлетворяют уравнениям (9),
условиям (11), (12) на горизонтальных перегород-
ках и днище бака, а также первому из условий
(11) на вертикальных перегородках. Удовлетворяя
второму из условий (11) на вертикальных пере-
городках и условию (12) на боковых стенках ба-
ка, получим однородную систему линейных ал-
гебраических уравнений относительно коэффици-
ентов a1i, i = 1, N1 и в точности аналогичную
систему уравнений относительно коэффициентов
a2j, j = 1, N2. Условия существования нетривиаль-
ных решений этих систем приводят к отысканию
корней уравнений (относительно æ)
(2 cos ælα −
æ
qα
sin ælα − ξα) sin ælα = 0,
α = 1, 2,
(34)
где ξα, в свою очередь, являются корнями уравне-
ний
[(Nα−1)/2]
∑
k=0
(−1)kCk
Nα−1−kξNα−1−2k
α = 0, α = 1, 2.
(35)
Квадратные скобки в уравнении (35) означают це-
лую часть заключенного в них числа, а Ck
n :=
n!/(k!(n− k)!) – биномиальные коэффициенты.
Каждое из уравнений (35) имеет (Nα − 1) веще-
ственных корней, расположенных на числовой оси
симметрично относительно нуля; если Nα – четное
число, то один из корней равняется нулю. Обозна-
чим эти корни через ξασ, σ ∈ 1, (Nα − 1), α = 1, 2.
Уравнение (34) распадается, очевидно, на Nα не-
зависимых уравнений
2 cos ælα −
æ
qα
sin ælα − ξασ = 0, sin ælα = 0,
σ ∈ 1, (Nα − 1), α = 1, 2.
(36)
Каждое из уравнений (36) имеет счетное мно-
жество вещественных неотрицательных корней
Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев 15
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
{æασm}∞m=1, σ ∈ 1, Nα, α = 1, 2, причем æασm при
σ = Nα означают корни последнего из уравнений
(36), легко определяемые в явном виде:
æαNαm := π(m − 1)/lα, m = 1, 2, . . . , α = 1, 2.
Определим теперь окончательно величины
æ1s, æ2s, æs, полагая
æ1s := æ1σsms
≥ 0, æ2s := æ2τsns
≥ 0;
æs := (æ2
1s + æ2
2s)
1/2 > 0, s = 1, 2, . . . ,
(37)
где индексы σs, ms, и τs, ns выбраны так, чтобы
волновые числа æs и вместе с ними собственные
частоты ωs образовывали возрастающие последо-
вательности.
Коэффициенты aαk в (33) связаны рекуррен-
тными соотношениями:
aα0 = 0, aα1 = 1, aα,k+1 = ξα aαk − aα,k−1,
k ∈ 1, (Nα − 1), α = 1, 2 .
(38)
Подставляя сюда ξ1 = ξ1σs
, ξ2 = ξ2τs
, легко опре-
делим коэффициенты aαk и, тем самым, собствен-
ные функции us(x1, x2), отвечающие собственной
частоте ωs.
Отметим, что одной и той же частоте ωs могут
отвечать несколько различных наборов индексов
σs, ms, τs, ns и, следовательно, несколько различ-
ных мод колебаний жидкости us(x1, x2).
Рассмотрим более подробно некоторые частные
случаи. Предположим, что вертикальные перего-
родки установлены в плоскостях симметрии бака
x1 = L1/2 и x2 = L2/2, так что свободная по-
верхность жидкости делится ими на 4 ячейки. Бу-
дем считать также, что в плоскости x3 = H1 ра-
сположена горизонтальная перегородка с прони-
цаемостью q3 = const. В рассматриваемом случае
N1 = N2 = N3 = 2, так что полость бака разделена
перегородками на 8 отсеков.
Результаты расчетов первых трех собственных
частот колебаний жидкости ω1−3 в зависимо-
сти от проницаемости вертикальных перегоро-
док q1 (при фиксированных значениях осталь-
ных параметров) показаны на рис. 6. Графи-
ки зависимостей ω1 = ω1(q1) (сплошная линия
1) и ω2 = ω2(q1) (штриховая линия 2) со-
стоят из двух различных участков, каждый
из которых отвечает определенной моде колеба-
ний свободной поверхности жидкости. Горизон-
тальным участкам отвечают одномерные моды
колебаний жидкости u
(ij)
s (x2), s = 1, 2, опреде-
ляемые соотношением (33), где необходимо поло-
жить æ1s = 0. Криволинейным участкам рассма-
триваемых графиков отвечают моды колебаний
Рис. 6. Зависимости первых трех собственных частот
ω̄1−3 от проницаемости вертикальных перегородок q̄1
при q̄2 = q̄3 = 0.3, kL = 0.7, h̄1 = h̄2 = 0.5:
Рис. 7. Зависимость первой собственной частоты ω̄1
от q̄ при q̄3 = 0.3, h̄1 = h̄2 = 0.5, N1 = 3, N2 = N3 = 2
вида u
(ij)
s (x1), s = 1, 2, зависящие от пространс-
твенной переменной x1; в этом случае в (33) необ-
ходимо принять æ2s = 0. Таким образом, изме-
нение проницаемости перегородок может приво-
дить к смене мод колебаний жидкости, отвечаю-
щих одному и тому же порядковому номеру соб-
ственной частоты.
Предположим теперь, что N1 = 3, N2 = N3 = 2.
В этом случае вертикальные перегородки делят
свободную поверхность жидкости на 6 ячеек, а
вместе с горизонтальными перегородками всю по-
лость бака – на 12 отсеков. Будем считать, что про-
ницаемости всех вертикальных перегородок оди-
наковы, q̄1 = q̄2 = q̄ = const. Результаты расчетов
первой собственной частоты ω1 от q̄ для различ-
ных значений параметра kL показаны на рис. 7.
Штриховая линия на этом рисунке проходит
через точки излома соответствующих кривых.
16 Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
Участки кривых, расположенных ниже штрихо-
вой линии, отвечают одномерным модам колеба-
ний u
(ij)
1 (x1), зависящим от координаты x1; для
участков кривых, расположенных выше штрихо-
вой линии, моды колебаний u
(ij)
1 (x2) зависят
только от координаты x2. Нетрудно показать,
что ω1 → 0 при q̄ → 0. В другом предельном слу-
чае бесконечно большой проницаемости перегоро-
док первая собственная частота колебаний стреми-
тся к значению ω0
1, отвечающему случаю бака без
вертикальных перегородок, ω1 → ω0
1 при q̄ → ∞.
3.3. Цилиндр кругового сечения с кольцевыми,
радиальными и поперечными перегородками
Рассмотрим теперь собственные колебания жидко-
сти в баке, полость которого ограничена непрони-
цаемыми вертикальными коаксиальными цилин-
драми и секционирована кольцевыми, радиаль-
ными и поперечными (горизонтальными) перего-
родками. Для отдельных секций, как и в предыду-
щем примере, примем трехиндексную нумерацию,
полагая
Ωijk = {(r, ϑ, x3) : Ri−1 < r < Ri,
θj−1 < ϑ ≤ θj , Hk−1 < x3 ≤ Hk},
0 ≤ R0 < R1 < . . . < RN1
:= R,
θ0 := 0, θj := 2πj/N2,
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2, k ∈ 1, N3.
Здесь R0, R– радиусы непроницаемых внутрен-
него и внешнего цилиндров, Ri, i ∈ 1, (N1 − 1)–
радиус i–ой перфорированной кольцевой перего-
родки, (N1 − 1)–количество кольцевых перегоро-
док. Предполагается, что радиальные перегородки
расположены регулярным образом с угловым ша-
гом θ := 2π/N2, где N2 – количество радиальных
перегородок.
Отметим, что случай R0 = 0 отвечает полости
бака, ограниченной только одной цилиндрической
боковой поверхностью r = R.
В рассматриваемом случае кольцевые и ради-
альные перегородки делят свободную поверхность
жидкости на отдельные ячейки (N1N2 – общее
число ячеек):
Γij = {(r, ϑ, x3) : Ri−1 < r < Ri,
θj−1 < ϑ < θj , x3 = H},
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2.
Будем считать для простоты, что все коль-
цевые перегородки имеют одинаковую проницае-
мость q1 = const, а проницаемость q2 всех ради-
альных перегородок определяется сооотношением
q2 = q0/r, q0 = const,
где q0 – заданная константа. Для горизонтальных
перегородок сохраним прежние предположения.
Потенциал скоростей φ
(ijk)
s и собственные часто-
ты колебаний жидкости ωs, как и ранее, определя-
ются соотношениями (25), (27), где для функций
u
(ij)
s (r, ϑ) необходимо принять следующие выраже-
ния:
u(ij)
s (r, ϑ) = [aiJνs
(æsr) + biYνs
(æsr)]×
× [cj cos νs(ϑ − θj−1) − cj−1 cos νs(θj − ϑ)] ,
Ri−1 < r < Ri, θj−1 < ϑ < θj ,
i ∈ 1, N1, j ∈ 1, N2, s = 1, 2, 3, . . . .
(39)
Здесь Jν(·), Yν(·) – функции Бесселя 1-го и 2-го
рода соответственно; ai, bi, cj – коэффициенты, по-
длежащие определению (в случае R0 = 0 следует
принять b1 = 0). Порядки νs функций Бесселя в
(39) определяются как упорядоченные определен-
ным образом корни уравнений (относительно ν)
cos νθ −
ν
2q0
sin νθ = cos mθ, m ∈ 0, [N2/2]. (40)
Коэффициенты cj в (39) выбираются равными
c′mj или c′′mj ,
c′mj = cos
2πmj
N2
, m ∈ 0, [N2/2],
c′′mj = sin
2πmj
N2
, m ∈ 1, [(N2 − 1)/2],
j ∈ 0, N2,
(41)
где индекс m определяется при упорядочивании
νs, уточняемом ниже.
Нетрудно проверить, что при таком выборе cj
решения вида (25), где u
(ij)
s (r, ϑ) определены ра-
венствами (39), удовлетворяют всем уравнениям
и граничным условиям спектральной задачи (9)–
(12), за исключением условий (11) на кольцевых
перегородках и условия (12) на непроницаемых
стенках сосуда r = R0 и r = R. Удовлетворяя
этим условиям, получим однородную систему ли-
нейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов ai, bi. Приравнивая нулю опреде-
литель этой системы, получим уравнения, опреде-
ляющие волновые числа æs.
Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев 17
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
В случае одной кольцевой перегородки (N1 = 2)
при R0 > 0 эти уравнения имеют вид:
q1 [Fνs
(æR1, æR0)Gνs
(æR1, æR2)−
−[Fνs
(æR1, æR2)Gνs
(æR1, æR0)] +
+æGνs
(æR1, æR0)Gνs
(æR1, æR2) = 0,
s = 1, 2, 3, . . . .
(42)
где
Fν(ξ, η) := Jν(ξ)Y ′
ν(η) − Yν(ξ)J ′
ν(η),
Gν(ξ, η) := J ′
ν(ξ)Y ′
ν(η) − Y ′
ν(ξ)J ′
ν(η),
J ′
ν(ξ) := dJν(ξ)/dξ, Y ′
ν(η) := dYν(η)/dη.
При R0 = 0 вместо (42) необходимо принять урав-
нения
πæ2R1J
′
νs
(æR1)
[
J ′
νs
(æR1)Y
′
νs
(æR2)−
−Y ′
νs
(æR1)J
′
νs
(æR2)
]
− 2q1J
′
νs
(æR2) = 0,
s = 1, 2, 3, ... .
(43)
Предположим, что в сосуде установлены одна
кольцевая перегородка и три радиальных пе-
регородки, расположенных в плоскостях ϑ =
2πj/3, j = 1, 3. Кроме того, будем считать, что в
поперечном сечении сосуда x3 = H1 установлена
горизонтальная перегородка с заданной проница-
емостью q3(= const). В рассматриваемом случае
N1 = 2, N2 = 3, N3 = 2, так что свободная по-
верхность жидкости разделена на 6 ячеек, а вся
полость сосуда – на 12 отсеков. Определение соб-
ственных частот колебаний жидкости сводится к
предварительному определению корней νs уравне-
ний (40), вычислению корней æs уравнений (42)
при R0 > 0 или (43) при R0 = 0 с последующим
упорядочиванием æs по возрастанию и вычисле-
нием ωs согласно (25), (27).
На рис. 8 показаны графики зависимости первой
собственной частоты ω1 от соотношения радиусов
коаксиальных цилиндров R0/R, ограничивающих
полость бака, для различных значений проница-
емости q1 кольцевой перегородки. Безразмерные
собственные частоты колебаний жидкости, как и
ранее, определены соотношениями (30), где в ка-
честве характерного линейного размера выбрана
величина L = (π(R2 − R2
0))
1/2.
Зависимость первой собственной частоты ω1 от
параметра q0, определяющего проницаемость ра-
диальных перегородок, при R0 = 0 показана на
рис. 9. Характерной особенностью приведенных
графиков являются их изломы, объясняемые, как
Рис. 8. Зависимость первой собственной частоты ω̄1
от соотношения радиусов R0/R при q̄0 = 0.3, q̄3 = 0.3,
R1/R2 = 0.7, h̄1 = h̄2 = 0, 5
Рис. 9. Зависимость первой собственной частоты ω̄1
от параметра q̄0 при R0 = 0, q̄1 = 0.1, q̄3 = 0.3,
h̄1 = h̄2 = 0.5
и в предыдущих примерах, сменой мод колеба-
ний свободной поверхности жидкости. С увеличе-
нием проницаемости радиальных перегородок мо-
ды колебаний общего вида u
(ij)
1 (r, ϑ) сменяются
осесимметричными модами колебаний свободной
поверхности u
(ij)
1 (r). Осесимметричным колебани-
ям отвечают горизонтальные участки приведен-
ных графиков.
На рис. 10 показаны графики зависимости пер-
вой собственной частоты колебаний ω1 от соот-
ношения R1/R радиусов кольцевой перегородки
и внешней стенки сосуда при R0 = 0. В рассма-
триваемом случае с увеличением проницаемости
q1 кольцевой перегородки собственная частота ко-
лебаний ω1 монотонно возрастает. Для достаточно
больших значений q1 (при фиксированных значе-
ниях остальных параметров) первой собственной
18 Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 8 – 19
Рис. 10. Зависимость первой собственной частоты ω̄1
от соотношения радиусов R1/R при R0 = 0, q̄0 = 0.3,
q̄3 = 0.3, h̄1 = h̄2 = 0.5
частоте ω1 отвечают осесимметричные моды ко-
лебаний свободной поверхности жидкости.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Переход к усредненным граничным условиям на
перегородках существенно упрощает задачу о ма-
лых колебаниях жидкости в сосуде с перфориро-
ванными перегородками. На примере цилиндриче-
ских баков с прямоуголным и круговым попере-
чными сечениями показано, в частности, что пере-
городки могут приводить к значительному изме-
нению собственных частот колебаний жидкости.
Этот эффект представляет определенный практи-
ческий интерес, так как во многих случаях по
условиям эксплуатации резервуаров с жидким на-
полнением на собственные частоты колебаний на-
кладываются достаточно жесткие ограничения. C
помощью перегородок можно ослабить, например,
резонансный отклик жидкости на внешние воздей-
ствия определенной частоты.
Полученные результаты могут быть использо-
ваны для экспериментальной проверки предлагае-
мой математической модели, уточнения эмпириче-
ских или полуэмпирические зависимостей, опреде-
ляющих коэффициенты проницаемости перегоро-
док. В связи с этим следует отметить, что теорети-
ческое определение этих коэффициентов является
сложной задачей, не имеющей удовлетворительно-
го решения в наиболее интересных для практики
случаях.
Вариационные формулировки спектральной за-
дачи могут быть положены в основу эффективных
численных методов определения собственных ча-
стот и мод колебаний жидкости.
1. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с
полостями, содержащими жидкость.– М.: Наука,
1965.– 440 с.
2. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тон-
костенных конструкций с отсеками, содержащими
жидкость.– М.: Машиностроение, 1971.– 563 с.
3. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в ди-
намике космических аппаратов.– М.: Машиностро-
ение, 1978.– 247 с.
4. Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н.
Приближенные методы решения задач динамики
ограниченного объема жидкости.– Киев: Наукова
думка, 1984.– 232 с.
5. Луковский И. А. Введение в нелинейную дина-
мику твердого тела с полостями, содержащими
жидкость.– Киев: Наукова думка, 1990.– 296 с.
6. Лимарченко О. С., Ясинский В. В. Нелинейная ди-
намика конструкций с жидкостью.– Киев: НТТУ
КПI, 1997.– 338 с.
7. Галицин Д. А., Троценко В. А. К расчету частот и
присоединенных масс жидкости в прямоугольном
контейнере с перегородками в поперечной плоско-
сти его симметрии // Прикладна гiдромеханiка.–
2000.– N 1.– С. 20–27.
8. Галицин Д. А., Троценко В. А. Колебания жид-
кости в подвижном прямоугольном контейне-
ре с упругими перегородками // Прикладна
гiдромеханiка.– 2000.– N 4.– С. 11–23.
9. Троценко В. А. О влиянии кольцевых перегоро-
док на эффективность гашения волновых движе-
ний жидкости в сосуде // Доповiдi НАНУ.– 2005.–
N 6.– С. 50–56.
10. Bisval K.C., Bhattacharyya S.K., Sinha P.K. Di-
ynamic Characteristics of Liquid Filled Rectanqular
Tank with Baffles // J. Inst. Civil Engineering.–
2003.– V.84 .– С. 145–148.
11. Chwang A.T. A porous-wavemaker theory // J. Fluid
Mech..– 1983.– V.132 .– С. 395–406.
12. Yip T.L., Sahoo T., Chwang A.T. Wave Oscillation
in a Circular Harbor With Porous Wall // J. Apll.
Mech.– 2001.– V.68(4) .– С. 603–607.
13. Рахматулин Х.А., Гувернюк С.В. О постановке за-
дач обтекания проницаемых тел несжимаемой сре-
дой // Парашюты и проницаемые тела.– М.: Изд.-
во МГУ.– 1987.– С. 5–24.
14. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в
областях с мелкозернистой границей.– Киев: Нау-
кова думка, 1974.– 280 с.
15. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Усредненные моде-
ли микронеоднородных сред.– Киев: Наукова дум-
ка, 2005.– 550 с.
16. Копачевский Н. Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Опе-
раторные методы в линейной гидродинамике.– М.:
Наука, 1989.– 416 с.
17. Борисов Д.И. Малые движения идеальной жид-
кости в сосуде с перфорированными перегородка-
ми // Вiсник Харкiвського нацiонального унiвер-
ситету. Серiя: Математика, прикладна математика
i механiка.– 2006.– № 749.– С. 85–96.
Д. И. Борисов, Ю. И. Руднев 19
|