Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині
Розроблено чисельний алгоритм для моделювання вторинних магнітних полів, які генеруються рухами електропровідної рідини в магнітному полі Землі. На його основі одержані оцінки інтенсивностей та лінійних розмірів магнітних полів, індукованих на поверхні океану та у повітрі над ним потенційним гідроди...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладна гідромеханіка |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87732 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині / І.М. Горбань // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 31-39. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87732 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877322015-10-25T03:02:10Z Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині Горбань, І.М. Розроблено чисельний алгоритм для моделювання вторинних магнітних полів, які генеруються рухами електропровідної рідини в магнітному полі Землі. На його основі одержані оцінки інтенсивностей та лінійних розмірів магнітних полів, індукованих на поверхні океану та у повітрі над ним потенційним гідродинамічним полем, викликаним рухом тіла в морській воді. Розрахунки виявили залежність горизонтальних компонент збуреного магнітного поля від напрямку руху тіла відносно північного магнітного напрямку. Одержано також, що інтенсивність магнітних збурень згасає по експоненті з віддаленням тіла від вільної поверхні і є пропорційною до швидкості його руху. Разработан численный алгоритм для моделирования вторичных магнитных полей, которые генерируются движениями электропроводящей жидкости в магнитном поле Земли. На его основе получены оценки интенсивностей и линейных размеров магнитных полей, индуцированных на поверхности океана и в воздухе над ним потенциальным гидродинамическим полем, визванных движением тела в морской воде. В расчетах выявлена зависимость горизонтальных компонент возмущенного магнитного поля от направления движения тела относительно северного магнитного направления. Получено также, что интенсивность магнитных возмущений затухает по экспоненциальному закону с удалением тела от свободной поверхности и пропорциональна скорости его движения. A numerical algorithm is developed to simulate secondary magnetic fields induced by the motion of conductive sea water in the Earth's electromagnetic field. It is applied to derive strength and linear sizes of the fields generated on the ocean free surface and in air by a moving body. The calculations revealed the dependency of magnetic field horizontal components on the body trajectory relative to the magnetic north. The intensity of magnetic disturbances is obtained to decay as exponent when removing the body from the free surface and it is proportional to the body velocity. 2010 Article Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині / І.М. Горбань // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 31-39. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87732 532 uk Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розроблено чисельний алгоритм для моделювання вторинних магнітних полів, які генеруються рухами електропровідної рідини в магнітному полі Землі. На його основі одержані оцінки інтенсивностей та лінійних розмірів магнітних полів, індукованих на поверхні океану та у повітрі над ним потенційним гідродинамічним полем, викликаним рухом тіла в морській воді. Розрахунки виявили залежність горизонтальних компонент збуреного магнітного поля від напрямку руху тіла відносно північного магнітного напрямку. Одержано також, що інтенсивність магнітних збурень згасає по експоненті з віддаленням тіла від вільної поверхні і є пропорційною до швидкості його руху. |
| format |
Article |
| author |
Горбань, І.М. |
| spellingShingle |
Горбань, І.М. Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині Прикладна гідромеханіка |
| author_facet |
Горбань, І.М. |
| author_sort |
Горбань, І.М. |
| title |
Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині |
| title_short |
Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині |
| title_full |
Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині |
| title_fullStr |
Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині |
| title_full_unstemmed |
Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині |
| title_sort |
аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87732 |
| citation_txt |
Аналіз збурень магнітного поля, викликаних рухом тіла в електропровідній рідині / І.М. Горбань // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 31-39. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT gorbanʹím analízzburenʹmagnítnogopolâviklikanihruhomtílavelektroprovídníjrídiní |
| first_indexed |
2025-07-06T15:24:57Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:24:57Z |
| _version_ |
1836911688179253248 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
УДК 532
АНАЛIЗ ЗБУРЕНЬ МАГНIТНОГО ПОЛЯ, ВИКЛИКАНИХ
РУХОМ ТIЛА В ЕЛЕКТРОПРОВIДНIЙ РIДИНI
I. М. Г О РБ А Н Ь
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 23.07.2009
Розроблено чисельний алгоритм для моделювання вторинних магнiтних полiв, якi генеруються рухами електропро-
вiдної рiдини в магнiтному полi Землi. На його основi одержанi оцiнки iнтенсивностей та лiнiйних розмiрiв магнiтних
полiв, iндукованих на поверхнi океану та у повiтрi над ним потенцiйним гiдродинамiчним полем, викликаним рухом
тiла в морськiй водi. Розрахунки виявили залежнiсть горизонтальних компонент збуреного магнiтного поля вiд на-
прямку руху тiла вiдносно пiвнiчного магнiтного напрямку. Одержано також, що iнтенсивнiсть магнiтних збурень
згасає по експонентi з вiддаленням тiла вiд вiльної поверхнi i є пропорцiйною до швидкостi його руху.
Разработан численный алгоритм для моделирования вторичных магнитных полей, которые генерируются движе-
ниями электропроводящей жидкости в магнитном поле Земли. На его основе получены оценки интенсивностей и
линейных размеров магнитных полей, индуцированных на поверхности океана и в воздухе над ним потенциальным
гидродинамическим полем, визванных движением тела в морской воде. В расчетах выявлена зависимость горизон-
тальных компонент возмущенного магнитного поля от направления движения тела относительно северного магни-
тного направления. Получено также, что интенсивность магнитных возмущений затухает по экспоненциальному
закону с удалением тела от свободной поверхности и пропорциональна скорости его движения.
A numerical algorithm is developed to simulate secondary magnetic fields induced by the motion of conductive sea water
in the Earth’s electromagnetic field. It is applied to derive strength and linear sizes of the fields generated on the ocean free
surface and in air by a moving body. The calculations revealed the dependency of magnetic field horizontal components
on the body trajectory relative to the magnetic north. The intensity of magnetic disturbances is obtained to decay as
exponent when removing the body from the free surface and it is proportional to the body velocity.
ВСТУП
Дослiдження змiн, якi вiдбуваються в електро-
магнiтному полi Землi, мають велике значення для
вирiшення геологiчних проблем, а також для про-
гнозування розвитку природних процесiв, включа-
ючи катаклiзми. На генерацiю збурень глобально-
го електромагнiтного поля впливають рiзнi факто-
ри: змiни космiчних електромагнiтних полiв, пото-
ки метеорiв, магнiтнi бурi, магнiтогiдродинамiчнi
хвилi в iоносферi та екзосферi.
Природнi електромагнiтнi поля морiв i океанiв є
частиною вiдповiдних полiв Землi i мають значнi
особливостi, пов’язанi з тим, що морська вода є
електропровiдним середовищем. Джерела збурень
електромагнiтних полiв в океанi можна роздiли-
ти на зовнiшнi до нього i внутрiшнi. Останнi ви-
кликаються хiмiчними i бiологiчними процесами
в океанi, а також рухами морської води. Загаль-
нi проблеми формування електромагнiтних полiв
в океанi викладенi в монографiях [1 – 3], де те-
оретичними i експериментальними методами про-
ведено частотний аналiз збурень електромагнiтно-
го поля та виявлено основнi джерела цих збурень
для кожної частини спектру. Зокрема показано,
що динамiка морського середовища є важливим
фактором, який викликає збурення електромагнi-
тного поля в океанi у дiапазонi наднизьких частот.
Принципи генерацiї електромагнiтного поля руха-
ми води в океанi викладенi в роботi [4]. Важли-
вими гiдродинамiчними джерелами збурень магнi-
тного поля є поверхневi та внутрiшнi хвилi, вихо-
ри, якi утворюються при взаємодiї пiдводних течiй
або пов’язанi з обтiканням пiдводних гiр та iнших
нерiвностей дна, придоннi течiї, гiдродинамiчнi по-
ля рiзної природи, турбулентнiсть та iн. З появою
нових високочутливих приладiв для вимiрювання
збурень магнiтного поля (типу SQUID) виникла
можливiсть дослiдження слабких полiв, виклика-
них гiдродинамiчними джерелами з малими про-
сторовими та часовими масштабами, такими, на-
приклад, як потенцiйнi або вихровi поля, пов’язанi
з обтiканням тiл або нерiвностей дна [5]. Це дозво-
ляє суттєво полiпшити монiторинг морiв та оке-
анiв шляхом iдентифiкацiї гiдродинамiчних дже-
рел на основi даних магнiтних вимiрювань. Для
розв’язання задачi про визначення характеристик
гiдродинамiчного поля за результатами вимiрю-
вань електромагнiтних збурень необхiдно прове-
сти порiвняльний аналiз електромагнiтних полiв,
викликаних рiзними гiдродинамiчними джерела-
ми.
В данiй роботi проведене чисельне моделюван-
ня вторинного магнiтного поля, яке генерується
рухом тiла пiд водою. На його основi проаналiзо-
вано вплив параметрiв гiдродинамiчного поля на
iнтенсивнiсть електромагнiтних збурень та зробле-
но оцiнки лiнiйних параметрiв магнiтних полiв на
c© I. М. Горбань, 2010 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
Рис. 1. Система координат.
поверхнi океану та у повiтрi, якi можуть бути ви-
мiрянi сучасною апаратурою.
1. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ
Нехай гiдродинамiчне джерело збурень електро-
магнiтного поля розташоване на заданiй глибинi
z∗ вiд поверхнi моря. Введемо пов’язану з ним сис-
тему координат Oxyz, початок якої знаходиться
на поверхнi моря, вiсь Oz направлена вертикаль-
но вгору, вiсь Ox протилежна до напрямку руху
джерела, а напрямок осi Oy задано таким чином,
щоб ця система координат була правосторонньою
(рис. 1). Вважаємо, що амплiтуда поверхневих
хвиль є набагато меншою, нiж їхня довжина, тодi
поверхню океану можна вважати плоскою, z = 0.
Вплив дна тут не враховується, тобто вважається,
що морська вода займає всю пiвплощину z ≤ 0.
При z > 0 виконуються рiвняння для повiтря.
Напрямок магнiтного поля Землi вiдносно си-
стеми Oxyz задається вектором геомагнiтної iнду-
кцiї:
~BE = BE · ~e0, (1)
~e0 = (cosα cos β, cosα sin β,− sin α),
де α – кут магнiтного схилення; β – кут мiж
вiссю Ox i пiвнiчним магнiтним напрямком,
BE – геомагнiтна iндукцiя; BE = 5 · 104 нТ.
Рух тiла викликає перемiщення води в океанi,
внаслiдок чого генеруються вториннi електрома-
гнiтнi поля. Iндукованi магнiтне та електричне по-
ля пов’язанi мiж собою рiвняннями Максвелла, якi
в системi СI мають наступний вигляд [6]:
∇× ~E = −
∂ ~B
∂t
, (2)
∇× ~H = ~J +
∂ ~D
∂t
, (3)
∇ · ~B = 0, (4)
∇ · ~D = ρe, (5)
де ~B = µ0
~H ; ~D = ε0
~E – вектори магнiтної
та електричної iндукцiї вiдповiдно; ~H, ~E – на-
пруженостi магнiтного та електричного по-
лiв; µ0, ε0 – магнiтна та дiелектрична постiйнi
(µ0 = 4π ·10−7 Гн/м, ε0 = 107/4πc2, c = 3·108 м/с);
ρe – густина вiльних зарядiв; ~J – провiднiсть;
∂ ~D/∂t – струм змiщення.
Зв’язок мiж струмом провiдностi ~J i полями
~B, ~E встановлює узагальнений закон Ома для про-
вiдникiв, що рухаються [7]:
~J = σ(~E + ~v × ~B), (6)
де σ – електропровiднiсть середовища; ~v – швид-
кiсть руху провiдника.
Рiвняння (2) – (5) значно спрощуються, якщо
врахувати властивостi електромагнiтних полiв,
якi генеруються в океанському середовищi та у по-
вiтрi. Вiдомо [8], що об’ємна густина зарядiв у мор-
ськiй водi є близькою до нуля, тобто в рiвняннi (5)
можна покласти ρe = 0.
В роботах [3, 9] показано, що для вiдносно
повiльних рухiв морської води струм змiщення
∂D/∂t є значно меншим за струм провiдностi i ним
можна знехтувати. Внаслiдок низької провiдностi
морської води, iндукованi в океанi вториннi магнi-
тнi поля є значно меншими за глобальне магнi-
тне поле Землi. Тому з достатньо високою точнi-
стю можна вважати справедливим спiввiдношен-
ня ~v × ~B ∼= ~v × ~BE . Враховуючи також те, що еле-
ктропровiднiсть повiтря є дуже низькою, рiвняння
Максвелла набувають наступного вигляду:
∇× ~E = −µ0
∂ ~H
∂t
, (7)
∇ ~H =
σ0(~E + ~v × ~BE), z < 0,
ε0
∂ ~E
∂t
, z > 0,
(8)
∇ · ~H = 0, (9)
∇ · ~E = 0, (10)
де σ0 – електропровiднiсть морської води; ~v –
швидкiсть руху води в океанi.
Крiм того, для нестисливої рiдини, якою є мор-
ська вода, повинно виконуватися рiвняння неро-
зривностi:
∇ · ~v = 0. (11)
Застосовуючи операцiю rotor до рiвняння (8) та
враховуючи (7) i (9), одержимо рiвняння iндукцiї
32 I. М. Горбань
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
магнiтного поля у наступному виглядi:
∇2 ~H = σ0µ0
∂ ~H
∂t
− σ0µ0
[
∇× (~v × ~H◦)
]
, z < 0,
∇2 ~H = ε0µ0
∂2 ~H
∂t2
, z > 0,
(12)
де ~H◦ – напруженiсть магнiтного поля Землi,
~H◦ = H◦ · ~e0.
Враховуючи, що вода i повiтря є немагнетиками,
на поверхнi роздiлу виконується гранична умова
рiвностi магнiтних напружень:
~H(z = −0) = ~H(z = +0). (13)
Вiдзначимо, що розв’язки для збурень магнiтно-
го поля задовольняють вiдомiй граничнiй умовi
неперервностi нормальної складової електричного
струму на поверхнi моря [9]:
Jz(z = −0) = Jz(z = +0).
Крiм того, задовольняється умова затухання
збурень магнiтного поля далеко вiд тiла:
~H → 0 при x → ±∞, y → ±∞, z → +∞. (14)
Одержанi рiвняння (12) та умови (13), (14) до-
зволяють розглядати гiдродинамiчну та електро-
магнiтну задачi окремо. При розв’язаннi гiдроди-
намiчної задачi знаходиться поле швидкостi, ви-
кликане рухом тiла. Пiсля цього з рiвняння (12)
при z < 0 визначаються характеристики вторин-
ного магнiтного поля в океанi. Оберненим впливом
iндукованих магнiтних полiв на перемiщення рi-
дини можна знехтувати через низьку провiднiсть
морської води. Збурення магнiтного поля у повi-
трi (при z > 0) знаходяться по вiдомому розподiлу
напруженостi магнiтного поля на поверхнi океану
з урахуванням умов (13) на границi роздiлу во-
ди i повiтря. Враховуючи, що провiднiсть повiтря
є набагато нижчою за провiднiсть морської води,
правомiрним є припущення, що на процес форму-
вання магнiтних полiв в океанi не впливають збу-
рення цих полiв у повiтрi.
2. МЕТОДИКА РОЗРАХУНКIВ
Для розв’язаня рiвнянь (12) використовується
пiдхiд, який грунтується на їх лiнеарiзацiї [3, 5].
Якщо розкласти напруженiсть магнiтного поля ~H
на двi складовi – збурену ~H ′ та геомагнiтну: ~H◦
–
~H = ~H ′ + ~H◦,
i вважати, що збурене поле ~H ′ є малим у порiвнян-
нi з геомагнiтним полем ~H◦, то перше з рiвнянь
(12) (при z < 0) можна лiнеаризувати вiдносно
вектор-функцiї
~h(x, y, z, t) =
~H ′
~H◦
i звести до наступного вигляду:
∂~h
∂τ
−
1
Rem
∆~h = ~F . (15)
Тут ~h – збурення магнiтного поля, вiднесене до
магнiтного поля Землi; Rem = µ0σ0V L – магнi-
тне число Рейнольдса; V , L – характернi швид-
кiсть i масштаб гiдродинамiчного поля; τ = t/V L.
Функцiя ~F (Fx, Fy, Fz) = ∇×(~v×~e0) описує вплив
гiдродинамiчного поля на генерацiю збурень.
Рiвняння (15) дозволяє визначити нестацiонарнi
характеристики збурень магнiтного поля в зв’яза-
нiй системi координат Oxy, коли змiнюється швид-
кiсть руху тiла чи циркуляцiя супутньої завихре-
ної течiї або при наявностi у слiдi вихрових стру-
ктур, що рухаються нестацiонарно.
Для стацiонарного гiдродинамiчного поля рiв-
няння (15) переходить у рiвняння Пуассона:
∆~h = −Rem · ~F . (16)
Зазначимо, що кожне з векторних рiвнянь (15),
(16) розпадається на три рiвняння вiдносно компо-
нент hx, hy, hz вектор-функцiї ~h. Правi частини
цих рiвнянь описують вплив вiдповiдних складо-
вих гiдродинамiчного поля Fx, Fy, Fz. Вони зна-
ходяться з наступного виразу:
Fp = e0x
∂vp
∂x
+ e0y
∂vp
∂y
+ e0z
∂vp
∂z
. (17)
Тут i далi p позначає iндекс напрямку гiдродина-
мiчного поля, тобто p → x, y, z, vp → vx, vy, vz –
компоненти вектора швидкостi; Fp → Fx, Fy, Fz –
складовi функцiї впливу гiдродинамiчного поля.
Безрозмiрне рiвняння (12) вiдносно змiнної ~h
при z > 0 має вигляд:
ω2L2
c2
∂2~h
∂τ2
=
∂2~h
∂ξ2
+
∂2~h
∂η2
+
∂2~h
∂ζ2
, (18)
де t = Tτ ; x = Lξ; y = Lη; z = Lζ; ω = 1/T –
характерна частота процесу поширення електро-
магнiтних хвиль.
Рiвняння (18) в дiапазонi наднизьких частот пе-
реходить у рiвняння Лапласа [5]:
∇2~h = 0. (19)
I. М. Горбань 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
3. ЧИСЕЛЬНИЙ АЛГОРИТМ
Враховуючи, що рiвняння (15), (16) для збурень
магнiтного поля є лiнiйними, їхнi розв’язки мо-
жуть бути побудованi за допомогою функцiї Грiна
[3, 10]. Розв’язком рiвняння Гельмгольца (15) є на-
ступний багатовимiрний iнтеграл:
hp(x0, y0, z0, τ ) =
τ
∫
0
∫
Q
1
(
2
√
πτ ′
Rem
)3
×
× exp
[
−Rem
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + (z0 − z)2
4τ ′
]
×
×Fp(x, y, z, τ ′) dxdydzdτ ′. (20)
Розв’язок стацiонарної задачi Пуассона (16) має
вигляд:
hp(x0, y0, z0) = −
Rem
4π
×
×
∫
Q
1
√
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + (z0 − z)2
×
×Fp(x, y, z) dxdydz. (21)
Тут Q – об’єм рiдини, що рухається, тобто
область, в якiй виконується умова Fp(x, y, z) 6= 0;
(x0, y0, z0) – точка простору, в якiй обчислюються
збурення. Для поверхнi океану z0 = 0.
Для обчислення iнтегралiв (20), (21) на поле те-
чiї (при z ≤ 0 ) накладається просторова сiтка, яка
складається з однакових кубiчних елементiв Qijk.
У вузлах сiтки задаються вiдповiднi функцiї гiдро-
динамiчного поля Fp(xijk, yijk, zijk). Об’ємнi iнте-
грали обчислюються по кожному елементу Qijk
за допомогою методу Монте-Карло, який дозво-
ляє звести тривимiрний iнтеграл по простору до
послiдовного обчислення одновимiрних iнтегралiв
за схемою:
∫
Qijk
f(x, y, z) dxdydz =
=
xi+1
∫
xi
dx
yj+1(x)
∫
yj(x)
dy
zj+1(x,y)
∫
zj(x,y)
f(x, y, z) dz. (22)
Зважаючи на простоту областi iнтегрування, зна-
ходження границь внутрiшнiх iнтегралiв у (22) є
нескладною задачею, а гладкiсть пiдiнтегральних
функцiй зумовлює використання гаусовських ква-
дратур для обчислення одновимiрних iнтегралiв з
достатньо високою точнiстю.
Iнтеграл по простору знаходиться додаванням
одержаних результатiв iнтегрування по елемен-
тарним об’ємам. Для знаходження iнтегралу по
часовi використовується наступна формула [10]:
I =
T
∫
0
1
τ3/2
e(−χ/τ)dτ =
√
π
χ
[
1 − Φ
(
√
χ
τ
)]
,
де Φ(t) – функцiя похибки.
Для рiвняння Лапласа (19) у пiвпросторi z > 0
розв’язок записується за допомогою функцiї Грiна
[10]:
G(x, y, z, ξ, η, ζ) =
1
4π
{
1
√
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
−
−
1
√
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z + ζ)2
}
. (23)
Використовуючи формулу Грiна, одержуємо
розв’язок задачi для складових вектор-функцiї ~h
при z > 0 у виглядi:
hp(x0, y0, z0) =
+∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞
∂G
∂ζ
∣
∣
∣
ζ=0
hp(ξ, η, 0) dξdη,
(24)
де (x0, y0, z0) – точка над поверхнею океану, в якiй
визначаються збурення магнiтного поля.
Враховуючи, що джерелом збурень магнiтного
поля у повiтрi є область S, розташована на поверх-
нi моря, вираз (24) може бути переписаний насту-
пним чином:
hp(x0, y0, z0) =
∫
S
1
4π
2z
[(x− ξ)2 + (y − η)2 + z2]3/2
×
×hp (ξ, η, 0) dξ dη. (25)
Для обчислення поверхневого iнтегралу (25) ви-
користовується така сама методика, що i при зна-
ходженнi об’ємного iнтегралу (21). Цей пiдхiд по-
требує iнтерполяцiї функцiй hx, hy, hz в довiльних
точках поверхнi z = 0 по величинах, заданих у ву-
злах сiтки.
4. ГIДРОДИНАМIЧНЕ ПОЛЕ
Розглядається випадок, коли джерелом збурень
магнiтного поля є гiдродинамiчне поле, генероване
рiвномiрним рухом осесиметричного видовженого
тiла (овоїда). Тiло моделюється парою “джерело-
стiк”, якi розташованi вздовж осi Ox симетрично
34 I. М. Горбань
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
вiдносно початку координат. Гiдродинамiчний по-
тенцiал у системi координат Oxyz, яка зв’язана з
тiлом, має вигляд [11]:
ϕ0 =
q
4π
(
1
√
(x − a)2 + y2 + (z − z∗)2
−
−
1
√
(x + a)2 + y2 + (z − z∗)2
)
, (26)
де q – потужнiсть джерела та стоку; a – вiдстань
вiд джерела (стоку) до початку координат; z∗ –
глибина, на якiй рухається тiло.
Параметри q i a знаходяться через видовження
тiла L з наступної системи нелiнiйних рiвнянь:
(
L2 − a2
)2
=
aqL
π
, a2 + 1 =
a2q2
π2
. (27)
На незначних глибинах руху тiла z∗ (z∗ ≤ 10L)
необхiдно враховувати вплив вiльної поверхнi. В
цьому випадку при малих числах Фруда для по-
тенцiалу течiї Φ наближено виконується гранич-
на умова [12]
Φ|z=0 = 0. (28)
З (28) випливає, що задача визначення потенцiа-
лу зводиться до розгляду руху двох тiл, якi роз-
ташованi симетрично вiдносно площини z = 0 та
рухаються паралельно до неї у протилежнi боки
[12].
Якщо ϕ0 – потенцiал швидкостi тiла, центр
якого розташований у точцi (x∗, y∗, z∗), ϕ∗
0 –
аналогiчна функцiя для тiла з центром у точцi
(x∗, y∗,−z∗), то Φ можна знайти з рiвнянь [12]:
ϕ0
∗
= ϕ∗ + u+ϕ, ϕ0 = ϕ + u+ϕ∗, (29)
де u+ – швидкiсть, викликана тiлом у центрi си-
метричного тiла.
Функцiя Φ, яка описує рух двох симетричних
вiдносно площини Oxy тiл з протилежно направ-
леними швидкостями, має вигляд [12]:
Φ = ϕ − ϕ∗ =
ϕ0 − ϕ∗
0
1 − u2
+
. (30)
Враховуючи (26), одержимо наступнi вирази
для потенцiалу швидкостей Φ i швидкостi u+:
Φ(x, y, z) =
q
4π
1
1 − u+
[
1
√
(x − a)2 + y2 + (z − z∗)2
−
−
1
√
(x + a)2 + y2 + (z − z∗)2
−
−
1
√
(x − a)2 + y2 + (z + z∗)2
+
+
1
√
(x + a)2 + y2 + (z + z∗)2
]
, (31)
u+ =
q
4π
2a
(a2 + 4z∗2)3/2
. (32)
З (31) випливають наступнi формули для ком-
понент швидкостi тiла:
Vx =
q
4π
1
1 − u+
[
−
x − a
r3
1
+
x − a
r∗1
3 +
x + a
r3
2
−
x + a
r∗2
3
]
,
Vy =
qy
4π
1
1 − u+
[
−
1
r3
1
+
1
r∗1
3 +
1
r3
2
−
1
r∗2
3
]
, (33)
Vz =
q
4π
1
1 − u+
[
−
z − z∗
r3
1
+
z + z∗
r∗1
3
+
z − z∗
r3
2
−
z + z∗
r∗2
3
]
,
де
r1 =
√
(x − a)2 + y2 + (z − z∗)2,
r2 =
√
(x + a)2 + y2 + (z − z∗)2
r∗1 =
√
(x − a)2 + y2 + (z + z∗)2,
r∗2 =
√
(x + a)2 + y2 + (z + z∗)2.
Звiдси знаходимо вирази для градiєнтiв компо-
нент швидкостi, необхiднi для побудови розв’язку.
Область iнтегрування в (21) обмежується викона-
нням умови:
q
2π
(x + a
r1
−
x − a
r2
)
> (z − z∗)2 + y2 . (34)
5. АНАЛIЗ РЕЗУЛЬТАТIВ
На основi викладеної методики проведенi чи-
сельнi розрахунки збурень магнiтного поля на по-
верхнi океану (на площинi z = 0) та на заданiй
висотi у повiтрi. Джерелом цих збурень були гi-
дродинамiчнi поля, пов’язанi з рiвномiрним рухом
тiла (овоїда) на заданiй глибинi. Розглядалося тi-
ло дiаметром 10 м i довжиною 60 м. Параметри
його руху – швидкiсть та глибина занурення – змi-
нювалися.
Для електропровiдностi морської води прийма-
лось значення σ = 5 (Ом/м)−1, кут магнiтного
схилення α, який характеризує напрямок геома-
гнiтних лiнiй вiдносно меридiану, дорiвнював 60◦.
Одержанi компоненти вектора збурень магнi-
тного поля ~h = (hx, hy, hz) аналiзувалися з точки
I. М. Горбань 35
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
Рис. 2. Iзолiнiї напруженостi магнiтного поля на
поверхнi океану при z∗
= 50 м, V = 10 м/с, β = 0
◦
Рис. 3. Iзолiнiї напруженостi магнiтного поля на
поверхнi океану при z∗
= 50 м, V = 10 м/с, β = 90
◦
36 I. М. Горбань
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
Рис. 4. Iзолiнiї компоненти hx магнiтного поля на
поверхнi океану при z∗
= 150 м, V = 10 м/с, β = 0
◦.
зору можливостi їх реєстрацiї. Вiдомо [13], що су-
часнi магнiтометри реєструють магнiтнi поля iн-
тенсивнiстю 10−5 нТ. Це обмеження є головним
при оцiнцi параметрiв гiдродинамiчних та магнi-
тних полiв.
На рис. 2 зображенi iзолiнiї напруженостi скла-
дових магнiтного поля (в нТ), викликаного ру-
хом овоїда на глибинi z∗ = 50 м зi швидкiстю
V = 10 м/с у пiвденному напрямку (β = 0◦).
Отриманi результати свiдчать, що найбiльш iнтен-
сивною є складова hx вторинного магнiтного поля.
Область сигналу, який може бути зареєстрований,
простягається приблизно на 15 км вздовж трає-
кторiї тiла i на 10 км у поперечному напрямку.
Безпосередньо над тiлом збурення досягають ве-
личини 0.2 нТ. Збурення hy є найменшими за iн-
тенсивнiстю, але й вони помiтнi на вiдстанi 4 км
вiд джерела.
При змiнi напрямку руху тiла картина збурень
магнiтного поля iстотно змiнюється. В дiапазонi
кутiв β: 0◦ < β < 90◦, iнтенсивнiсть компоненти
hx падає, а збурення hy зростають. На рис. 3 наве-
денi iзолiнiї напруженостей hx, hy, hz при β = 90◦
(тiло рухається на захiд). З наведених результа-
тiв випливає, що область, в якiй є iстотними збу-
рення компоненти hy, досягає значних розмiрiв,
у той час, як вiдповiдна область для компоненти
hx магнiтного поля зменшується. При подальшому
збiльшеннi кута процес йде у зворотному напрям-
ку: iнтенсивнiсть компоненти hx зростає, а компо-
ненти hy падає. Цi результати свiдчать, що збуре-
ння магнiтного поля "вiдчувають"напрямок руху
тiла. Iнтенсивнiсть компоненти hz не залежить вiд
напрямку руху тiла, про що свiдчить порiвняння
Рис. 5. Залежнiсть максимальної iнтенсивностi
компоненти hx iндукованого магнiтного поля вiд
глибини руху тiла z∗:
1 −V = 5м/с, 2 −V = 10м/с, 3 −V = 15м/с (β = 0
◦)
вiдповiдних даних на рис. 2, 3.
Було проведено також аналiз впливу глибини,
на якiй рухається тiло, та його швидкостi на ха-
рактеристики викликаних магнiтних полiв. Про-
водилися розрахунки величин hx, hy, hz при
рiзних значеннях z∗ (25 м< z∗ < 200 м) i V
(V = 5 м/с, 10 м/с, 15 м/с) (β = 0◦). На рис. 4
наведено iзолiнiї магнiтного поля для компоненти
hx при z∗ = 150 м, V = 10 м/с. Цi результати
свiдчать про те, що при заглибленнi тiла область, в
якiй збурення магнiтного поля можуть бути заре-
єстрованi, збiльшується попереду тiла. При цьому
загальна площа областi, де помiтнi збурення, май-
же не змiнюється. Аналогiчна тенденцiя спосте-
рiгається i для iнших складових магнiтного поля
– hy та hz.
Проведенi розрахунки показали, що iнтенсив-
нiсть збурень магнiтного поля пропорцiйна до
швидкостi руху овоїда. Наприклад, при V = 5 м/с
значення величин hx, hy, hz зменшуються вдвiчi
у порiвняннi з даними, представленими на рис. 2,
3 для V = 10 м/с.
Гiдродинамiчне поле може бути iдентифiковане
не лише за розподiлом, але й за максимальними
характеристиками викликаних ним збурень магнi-
тного поля. На рис. 5 наведено залежностi вели-
чини hmax
x вiд глибини z∗ при рiзних значеннях
швидкостi тiла V (V = 5 10 15 м/с) i β = 0◦.
Цi графiки показують, що з наближенням тiла до
вiльної поверхнi величина максимального сигналу
зростає по експонентi. У той самий час, спостерi-
гається лiнiйна залежнiсть характеристики hmax
x
вiд швидкостi V . Подiбнi закономiрностi вiдзна-
чааються також для залежностей hmax
y (z∗) та
I. М. Горбань 37
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
hmax
z (z∗).
Розрахунки збурень магнiтного поля у повiтрi
показали, що сигнал, який виходить з поверхнi
океану, осереднюється. Вiдбувається також рiзке
падiння iнтенсивностi збурень. На рис. 6 наведе-
но iзолiнiї компоненти hx збурень магнiтного по-
ля, якi генеруються у повiтрi при рiзних значен-
нях висоти zair. У цьому випадку джерело збурень
рухається на глибинi 50 м зi швидкiстю 10 м/с
(zair = 300, 600, 900 м). Порiвняння рис. 6 з рис
2 свiдчить, що зi зростанням висоти zair , на якiй
проводиться реєстрацiя збурень магнiтного поля,
область, в якiй вони можуть бути зареєстрованi,
збiльшується. В той самий час, iнтенсивнiсть цих
збурень падає настiльки, що при zair = 1 км їхня
максимальна величина не перевищує 10−5 нТ.
ВИСНОВКИ
Збурення магнiтного поля, викликанi рухами
електропровiдної рiдини у магнiтному полi Зем-
лi, описуються рiвнянням магнiтної iндукцiї, яке
включає складову, пов’язану з гiдродинамiчним
полем. Аналiз цих збурень включає дослiджен-
ня гiдродинамiчних полiв, генерованих рухомими
джерелами. В роботi для розв’язання цiєї зада-
чi побудовано чисельний алгоритм, який ґрунтує-
ться на методi функцiї Грiна i зводиться до визна-
чення багатовимiрних iнтегралiв.
Джерелом гiдродинамiчних збурень був рiвно-
мiрний рух осесиметричного тiла пiд водою. Для
тiла, що моделюється системою "джерело-стiк"
побудовано гiдродинамiчний потенцiал. Вплив
вiльної поверхнi враховувався за допомогою мето-
ду дзеркальних вiдображень.
Проведено аналiз впливу параметрiв гiдродина-
мiчного поля на iнтенсивнiсть електромагнiтних
збурень, що генеруються як на поверхнi океану,
так i у повiтрi. Зроблено оцiнки розмiрiв областi,
в якiй збурення магнiтного поля можуть бути за-
реєстрованi. При цьому враховувалася чутливiсть
сучасної вимiрювальної апаратури (до 10−5 нТ).
Результати розрахункiв свiдчать, що на поверх-
нi океану можна зареєструвати збурення hx i
hy-компонент магнiтного поля. Показано, що цi
компоненти залежать вiд напрямку руху джере-
ла гiдродинамiчних збурень. Якщо тiло рухається
вздовж магнiтного меридiану, максимальних зна-
чень досягає компонента hx, а складова hy є мi-
нiмальною. Зi збiльшенням кута мiж вiссю Ox i
магнiтним напрямком iнтенсивнiсть збурень ком-
поненти hx, зменшується, а збурення компонен-
ти hy набувають максимальних значень. Збурення
поля, якi пов’язанi з вертикальною компонентою
Рис. 6. Iзолiнiї компоненти hx магнiтного поля у
повiтрi на рiзних висотах zair вiд поверхнi океану
при z∗
= 50 м, V = 10 м/с, β = 0
◦.
38 I. М. Горбань
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 31 – 39
hz, не залежать вiд напрямку руху тiла. Зi зроста-
нням заглиблення тiла iнтенсивнiсть генерованих
збурень зменшується. Розмiри областi на поверхнi
океану, в якiй сигнал може бути зареєстрований,
залишаються приблизно постiйними i слабо зале-
жать вiд напрямку руху тiла.
Розрахунки виявили також, що iнтенсивнiсть
збурень магнiтного поля є пропорцiйною до швид-
костi руху овоїду пiд водою.
Вимiрюваний у повiтрi сигнал є результатом
осереднення збурень, якi поступають вiд рiзних дi-
лянок поверхнi океану. Розмiри областi, в якiй цi
збурення можуть бути зареєстрованими, з висо-
тою збiльшуються, а iнтенсивнiсть збурень рiзко
падає.
В цiлому одержанi результати дозволяють оцi-
нити величину збурень магнiтного поля Землi, що
генеруються рухомим тiлом. Такi оцiнки можуть
бути зробленi для рiзних компонент магнiтного по-
ля як на поверхнi океану, так i у повiтрi. Виявленi
закономiрностi є корисними для iдентифiкацiї гi-
дродинамiчних полiв на основi даних вимiрювань
збурень магнiтного поля.
1. Бондаренко Н.Ф., Гак Е.З. Электромагнитные яв-
ления в природных водах.– Ленинград: Гидроме-
теоиздат, 1984.– 152 с.
2. Карнаушенко Н.Н. Естественное электромагни-
тное поле морей и океанов в диапазоне сверхниз-
ких частот.– Севастополь: 2001.– 328 c.
3. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в спло-
шных средах.– Москва: Наука, 1978.– 170 с.
4. Tyler R.H., Mysak L.A., Oberhuber J.M.
Electromagnetic field generated by a three-
dimensional global ocean circulation // J. Geophys.
Res.– 102.– 1997.– P. 5531-5551.
5. Горбань В.О., Горбань I.М., Ладiков-Роєв Ю.П. Ге-
нерацiя збурень магнiтного поля рухами води в
океанi // Доповiдi НАН України.– 2003.– 3.– P. 45
- 51.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика
сплошных сред.– М.: Гостехиздат, 1957.– 510 с.
7. Альфвен Х. Космическая электродинамика.– Мо-
сква: Иностранная литература, 1952.– 437 с.
8. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная
гидродинамика.– Москва: Мир, 1967.– 411 с.
9. Шерклиф Д. Курс магнитной гидродинамики.–
Москва: , 1967.– 320 с.
10. Бутковский A.Г. Характеристики систем c распре-
деленными параметрами.– Москва: Наука, 1979.–
224 с.
11. Лойцянский А.Г. Механика жидкости и газа.– Мо-
сква: Наука, 1987.– 639 с.
12. Костюков А.А. Взаимодействие тел, движущи-
хся в жидкости.– Ленинград: Судостроение, 1972.–
310 с.
13. Cleim T.R. Advances in sensor development
and demonstration of superconducting gradi-
ometer for mobil operation // IEEE Trans. Appl.
Superconduct.– 1997.– 7.– P. 3287 - 3293.
I. М. Горбань 39
|