Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости
В работе приведены результаты исследования совместной эволюции пары вихрей разных масштабов в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости с учётом силы Кориолиса. Меньший из вихрей находится внутри большего. В зависимости от различных безразмерных параметров, получаются типичные ситуац...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Прикладна гідромеханіка |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87735 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 58-69. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87735 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877352015-10-25T03:02:13Z Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости Лукьянов, П.В. В работе приведены результаты исследования совместной эволюции пары вихрей разных масштабов в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости с учётом силы Кориолиса. Меньший из вихрей находится внутри большего. В зависимости от различных безразмерных параметров, получаются типичные ситуации: вращение меньшего вихря вокруг большего с более быстрым вырождением меньшего вихря; зависимость "циклон-антициклон'', которая в случае разного вращения приводит к изменению радиальной структруры большего вихря; совместная эволюция двух вихрей с масштабами одного и того же порядка - приводит к сложной картине трансформации поля завихренности; совместный эффект планетарного вращения и возмущения большего вихря меньшим - трансформации монополя в триполь, в зависимости от соотношения энергии меньшего и большего вихрей, а также положения (горизонта) их в слое. Масштабы большего вихря варьировались в пределах сотен - первых километров по горизонтали и десятков метров - первых сотен по вертикали. Математическое моделирование основывалось на известных моделях турбулентной диффузии, а численная реализация - на методе конечных разностей. У роботі чисельно досліджується сумісна еволюція пари вихорів різних масштабів в шарі скінченої товщини лінійно стратифіцированої рідини в врахуванням сили Коріоліса.Один з вихорів знаходиться усередені іншого. Наводятся характерні приклади пар вихорів. В залежності від різних безрозмірних параметрів, отримуються типові ситуації: обертання меншого вихора навколо більшого з більш швидким виродженням меншого вихора; залежність "циклон-антициклон'', яка у випадку різного обертання призводить до зміни радіальної струтури більшого вихора; сумісна еволюція двох вихорів з масштабами одного і то го ж порядку - призводить до складної картини трансформації поля завихореності; сумісний ефект планетарного обертання та збурення більшого вихора меншим - трансформації монополя у триполь в залежності від співвідношення енергій меншого та більшого вихорів, а також положення (горизонту) іх у шарі. Масштаби більшого вихора варіювались від сотень метрів до кількох кілометрів по горизонталі та від десятків метрів до перших сотень - по вертикалі. Математичне моделювання грунтувалось з використанням відомих моделей турбулентної диффузії, а чисельна реалізація --на методі скінчених різниць. Taking into account Coriolis force, a joint evolution of two vortexes one of which is inside other in finite depth linear stratified fluid layer has been numerically investigated in the paper. Typical examples are given. Depending on different non-dimensional parameters, typical situations are obtained: smaller vortex rotation around larger one when smaller vortex decays faster than larger one; the "circling - anti-circling'' dependence that is in the case of different rotation results into larger vortex radial structure's changing; joint evolution of vortexes with the same order of scales leads to complex picture of vorticity field's transformation; joint effect of planetary rotation and disturbing of larger vortex by smaller one leads to monopole's transformation to tripole depending on relationship between energies of smaller and larger vortexes and their position (horizon) in layer. Horizontal scale of larger vortex varied from few hundreds to several kilometers and vertical scales set in the range from few dozens to few hundreds of meters. Mathematical simulation is based on known models of turbulent diffusion and numerical realization done by finite differences. 2010 Article Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 58-69. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87735 301.17.15; 301.07.13 ru Прикладна гідромеханіка Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе приведены результаты исследования совместной эволюции пары вихрей разных масштабов в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости с учётом силы Кориолиса. Меньший из вихрей находится внутри большего. В зависимости от различных безразмерных параметров, получаются типичные ситуации: вращение меньшего вихря вокруг большего с более быстрым вырождением меньшего вихря; зависимость "циклон-антициклон'', которая в случае разного вращения приводит к изменению радиальной структруры большего вихря; совместная эволюция двух вихрей с масштабами одного и того же порядка - приводит к сложной картине трансформации поля завихренности; совместный эффект планетарного вращения и возмущения большего вихря меньшим - трансформации монополя в триполь, в зависимости от соотношения энергии меньшего и большего вихрей, а также положения (горизонта) их в слое. Масштабы большего вихря варьировались в пределах сотен - первых километров по горизонтали и десятков метров - первых сотен по вертикали. Математическое моделирование основывалось на известных моделях турбулентной диффузии, а численная реализация - на методе конечных разностей. |
| format |
Article |
| author |
Лукьянов, П.В. |
| spellingShingle |
Лукьянов, П.В. Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости Прикладна гідромеханіка |
| author_facet |
Лукьянов, П.В. |
| author_sort |
Лукьянов, П.В. |
| title |
Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_short |
Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_full |
Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_fullStr |
Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_full_unstemmed |
Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_sort |
эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87735 |
| citation_txt |
Эволюция пары "вихрь в вихре'' в слое устойчиво стратифицированной жидкости / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 58-69. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Прикладна гідромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT lukʹânovpv évolûciâparyvihrʹvvihrevsloeustojčivostratificirovannojžidkosti |
| first_indexed |
2025-07-06T15:25:08Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:25:08Z |
| _version_ |
1836911699205029888 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
УДК 301.17.15; 301.07.13
ЭВОЛЮЦИЯ ПАРЫ "ВИХРЬ В ВИХРЕ"В СЛОЕ
УСТОЙЧИВО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
П. В. Л У К Ь Я Н ОВ
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 19.02.2009 � Пересмотрено 16.02.2010
В работе приведены результаты исследования совместной эволюции пары вихрей разных масштабов в слое конечной
толщины линейно стратифицированной жидкости с учётом силы Кориолиса. Меньший из вихрей находится внутри
большего. В зависимости от различных безразмерных параметров, получаются типичные ситуации: вращение мень-
шего вихря вокруг большего с более быстрым вырождением меньшего вихря; зависимость “циклон-антициклон”,
которая в случае разного вращения приводит к изменению радиальной структруры большего вихря; совместная
эволюция двух вихрей с масштабами одного и того же порядка – приводит к сложной картине трансформации поля
завихренности; совместный эффект планетарного вращения и возмущения большего вихря меньшим – трансформа-
ции монополя в триполь, в зависимости от соотношения энергии меньшего и большего вихрей, а также положения
(горизонта) их в слое. Масштабы большего вихря варьировались в пределах сотен – первых километров по горизон-
тали и десятков метров – первых сотен по вертикали. Математическое моделирование основывалось на известных
моделях турбулентной диффузии, а численная реализация - на методе конечных разностей.
У роботi чисельно дослiджується сумiсна еволюцiя пари вихорiв рiзних масштабiв в шарi скiнченої товщини лiнiйно
стратифiцированої рiдини в врахуванням сили Корiолiса.Один з вихорiв знаходиться усереденi iншого. Наводятся
характернi приклади пар вихорiв. В залежностi вiд рiзних безрозмiрних параметрiв, отримуються типовi ситуацiї:
обертання меншого вихора навколо бiльшого з бiльш швидким виродженням меншого вихора; залежнiсть “циклон-
антициклон”, яка у випадку рiзного обертання призводить до змiни радiальної струтури бiльшого вихора; сумiсна
еволюцiя двох вихорiв з масштабами одного i то го ж порядку – призводить до складної картини трансформацiї
поля завихореностi; сумiсний ефект планетарного обертання та збурення бiльшого вихора меншим – трансформацiї
монополя у триполь в залежностi вiд спiввiдношення енергiй меншого та бiльшого вихорiв, а також положення (го-
ризонту) iх у шарi. Масштаби бiльшого вихора варiювались вiд сотень метрiв до кiлькох кiлометрiв по горизонталi
та вiд десяткiв метрiв до перших сотень – по вертикалi. Математичне моделювання грунтувалось з використанням
вiдомих моделей турбулентної диффузiї, а чисельна реалiзацiя – на методi скiнчених рiзниць.
Taking into account Coriolis force, a joint evolution of two vortexes one of which is inside other in finite depth linear
stratified fluid layer has been numerically investigated in the paper. Typical examples are given. Depending on different
non-dimensional parameters, typical situations are obtained: smaller vortex rotation around larger one when smaller vortex
decays faster than larger one; the “circling – anti-circling” dependence that is in the case of different rotation results
into larger vortex radial structure’s changing; joint evolution of vortexes with the same order of scales leads to complex
picture of vorticity field’s transformation; joint effect of planetary rotation and disturbing of larger vortex by smaller one
leads to monopole’s transformation to tripole depending on relationship between energies of smaller and larger vortexes
and their position (horizon) in layer. Horizontal scale of larger vortex varied from few hundreds to several kilometers and
vertical scales set in the range from few dozens to few hundreds of meters. Mathematical simulation is based on known
models of turbulent diffusion and numerical realization done by finite differences.
ВВЕДЕНИЕ
В природе, как правило, локализированные обла-
сти завихренности, эволюционирующие (выро-
ждающиеся под действием турбулентной диффу-
зии) сами по себе втречаются очень редко. Обычно
вихрь находится в движении вместе с внешним
течением или в относительном движении внутри
вихря с гораздо большими размерами. Возникает,
прежде всего, вопрос существования локализиро-
ванной области завихренности в поле внешнего те-
чения. Для этого обратимся к существующим ре-
зультатам исследований в этой области.
Сюда можно отнести работу Бёртона и Никан-
дера [1]. В ней доказывается теорема существова-
ния решения в виде локализированного (по сути –
компактного) вихря во внешнем сдвиговом потоке.
Течение может быть трёхмерным, но есть ограни-
чения – квазигеострофичность. Область неограни-
ченная в горизонтальных направлениях. Внешнее
течение направлено в одну сторону с линейным
горизонтальным и вертикальным сдвигом. Такое
течение сохраняет бесконечное семейство интегра-
лов Казимира и называется изовихревым течени-
ем, а поля потенциальной завихренности (ПЗ) пе-
рестраиваются, благодаря стратификации, друг в
друга. Теорема гарантирует существование тече-
ния с максимальной энергией в любой семье изо-
вихревых течений, которые удовлетворяют следу-
ющим условиям: ПЗ должна иметь компактную
основу, она должна быть везде одного знака и
этот знак должен совпадать со знаком завихрен-
ности внешнего горизонтального сдвига в верти-
кальном диапазоне, где основание ПЗ (компактная
область дополнительной потенциальной завихрен-
ности) ограничено. Это течение представляет ста-
ционарный и ограниченный вихрь, а свойство
максимальности энергии подразумевает устойчи-
58 c© П. В. Лукьянов, 2010
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
вость вихря. ПЗ затухает монотонно с растоянием
от центра вихря в каждой горизонтальной плоско-
сти, но вдалеке от этого профиль завихренности –
произвольный.
Карневале и др. [2] рассмотрели вопросы устой-
чивости колонообразного вихря во вращающемся
внешнем течении. При числах Россби порядка еди-
ницы антициклонический вихрь (с гауссовским ра-
спределением завихренности) оказывался неустой-
чивым и полностью разрушался. Роль большего
вихря играло внешнеее вращение, а сам колоно-
oбразный вихрь – аналог меньшего вихря в дан-
ной работе. В модели [2] не учитывались вязкие
эффекты, а инерционная устойчивость анализиро-
валась на основе критерия Клустерциля–Ван Хей-
ста [3] устойчивости на f-плоскости.
В работе [4] экспериментально и теоретически
исследованы эволюционные характеристики моно-
польных вихрей в невращающемся круговом те-
чении. Исследования продемонстрировали окон-
чательное разрушение вихря в ходе процесса, на-
зываемого "vortex stripping" (разрушение вихря),
то есть когда длинные полоски пассивных трассе-
ров сбрасывались с края вихря. В противополо-
жность однородным сдвиговым течениям, эти по-
лоски были прикреплены к ядру вихря нессиме-
тричным образом. Более того, наблюдалась квази-
стационарная эволюция вихря до окончательного
его разрушения в неопределённую форму.
Следует особо отметить работу [5], посвящен-
ную динамике монополя в поле деформации: ка-
чественные результаты, полученные в этой рабо-
те, во многом напоминают результаты, представ-
ленные ниже. В этой работе исследована эволюция
компенсированного монополя в стратифицирован-
ной жидкости с течением со сдвигом. Устойчивое
деформационное течение создавалось c помощью
вращающихся горизонтальных дисков, в то время
как монополь генерировался маленькой, вращаю-
щейся вокруг оси сферой. Наблюдалась деформа-
ция вихря в похожую на триполь структуру. По-
сле чего имел место процесс компенсирования ви-
хрей – сателлитов: вокруг указанных вихрей обра-
зовывались области противоположной завихрен-
ности. Во время этой стадии оставшееся вихревое
ядро эволюционировало в целом устойчиво. Более
того, было показано, что разрушение окружаю-
щего начальный монополь кольца завихренности
противоположного знака вызывает ускоренный го-
ризонтальный рост вихревого ядра. Из-за диффу-
зионного вырождения завихренности вихрь, в кон-
це концов, был разорван на части вдоль горизон-
тальной деформации.
Изучению изолированных вихрей во вращаю-
щейся жидкости конечной толщины посвящена ра-
бота [6]. Полученные в ней результаты (трансфор-
мация монополя в триполь и пару диполей) каче-
ственно схожи с приведенными ниже. Это относи-
тся к примерам, где числа Россби порядка едини-
цы.
Можно также указать работу [7], в которой рас-
смотрена эволюция интрузионного пятна (пассив-
ной примеси) в поле стационарного вихря. Одна-
ко используемая в ней математическая модель, да
и сама задача достаточно далека от данной ра-
боты. Математическая модель в [7] основана на
одном нелинейном уравнении, описывающем не-
турбулентную стадию вырождения турбулентно-
сти – эволюцию слоистых структур, в то время как
в данной работе моделирование основано на си-
стеме уравнений квазигоризонтальных вихревых
движений. Более того, используются уравнения
Рейнольдcа и подсеточная модель турбулентности
Смагоринского.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задан слой жидкости конечной толщины с
линейным распредeлением плотности вдоль глуби-
ны. Стратификация устойчивая, то есть плотность
растет с глубиной. Отклонения поля плотности
от невозмущенного состояния незначительные, по-
этому имеет место приближение Буссинеска. В
этом слое, имеющем дно и свободную поверхность,
требуется изучить поведение двух вихрей разных
масштабов. При этом меньший вихрь находится
внутри большего. Оба вихря вращаются в началь-
ный момент только вокруг вертикальной оси – ка-
ждый вокруг своей. Больший вихрь с вертикаль-
ным lv1 и горизонтальным lh1 масштабами счи-
тается квазигоризонтальным, то есть lv1 << lh1.
Горизонтальный и вертикальный масштабы мень-
шего вихря могут быть одного порядка (когда го-
ризонтальные масштабы вихрей разнятся на поря-
док). Рассматриваются вихри с горизонтальными
масштабами в диапазоне O(102) − O(103) м и вер-
тикальными масштабами – O(10) − O(102) м. По-
этому в общем случае учитывается планетарное
вращение. Вихри с указанными масштабами, хоть
и редко, но обнаруживаются [8].
Для замыкания уравнений Рейнольдса нужно
выбрать модель аппроксимации вертикальной и
горизонтальной диффузии и вязкости. Известны
разные подходы. Так, для аппроксимации вер-
тикальной турбулентной вязкости и диффузии
в настоящее время часто используется модель
П. В. Лукьянов 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Меллора-Ямады [9, 10]. Рассматриваемая в дан-
ной работе задача носит модельный характер. Де-
ло в том, что в условиях устойчивой вертикальной
стратификации коэффициент вертикальной диф-
фузии можно приближенно считать константой.
Во всех случаях, кроме специально оговореных, в
приведенных ниже примерах величина вертикаль-
ной турбулентной диффузии задавалась одним из
типичных значений – 0.0005 м2/с [11]. Хотя изве-
стно, что реальные значения зависят от района ми-
рового океана и других условий и могут быть как
меньше, так и больше. Поэтому были проведены
дополнительные численные эксперименты, в ко-
торых варьировалось значение вертикальной диф-
фузии при неизменных остальных данных.
Коэффициенты горизонтального турбулентного
обмена аппроксимируются в соответствии с мо-
делью Смагоринского [12]. Согласно этой моде-
ли, коэффициенты горизонтальной турбулентной
диффузии определяются следующими соотноше-
ниями:
Am =
1
2
Cm∆x∆y ×
×
[
(
∂Vx
∂x
)2
+
1
2
(
∂Vx
∂y
+
∂Vy
∂x
+
)
+
(
∂Vy
∂y
)2
]
1
2
;
Ah =
AmCh
Cm
,
где Cm, Ch – постоянные, Cm = 0.1, Ch = 0.2Cm;
∆x, ∆y – масштабы мелких движений, то есть
размеры сетки. Индексы m, h относятся соответ-
ственно к диффузии поля скорости и плотности.
Размеры сетки выбирались из условия сходимо-
сти решения. Костанта Cm = 0.1 – эмпирическая
[13, 14] и выбиралась сравнением данной модели с
решением, полученным по спектральному методу.
Рассматриваемый тип движения описывается
классом квазигоризонтальных вихревых движе-
ний с характерными для него балансами и без-
размерными параметрами [15]. В качестве гори-
зонтального и вертикального пространственных
масштабов выбираются соответствующие величи-
ны для большего вихря. Масштаб скорости V0
– максимальное абсолютное значение азимуталь-
ной скорости. Масштаб времени lh/V0 – отноше-
ние горизонтального пространственного масштаба
к масштабу скорости. Масштабы остальных вели-
чин выбираются из указанных в [15] балансов. За-
дача формулируется и решается в прямоугольной
декартовой системе координат, вертикальная ось
которой направлена вверх, а центр находится на
дне.
Исходя из вышесказанного, эволюция пары ви-
хрей описывается следующей системой безразмер-
ных уравнений:
∂Vx
∂t
+ Vx
∂Vx
∂x
+ Vy
∂Vx
∂y
+ F2
vW
∂Vx
∂z
= −
∂p
∂x
+
+
1
Ro
Vy +
1
Reh
∇2
HVx +
1
Revδ2
∂2Vx
∂z2
, (1)
∂Vy
∂t
+ Vx
∂Vy
∂x
+ Vy
∂Vy
∂y
+ F2
vW
∂Vy
∂z
= −
∂p
∂y
−
−
1
Ro
Vx +
1
Reh
∇2
HVy +
1
Revδ2
∂2Vy
∂z2
, (2)
F2
vδ
2
(
δ
∂W
∂t
+ Vx
∂W
∂x
+ Vy
∂W
∂y
+ F2
vW
∂W
∂z
)
=
= −
∂p
∂z
+ b + F2
v
(
1
Reh
∇2
HW +
1
Revδ2
∂2W
∂z2
)
, (3)
∂Vx
∂x
+
∂Vy
∂y
+ F2
v
∂W
∂z
= 0, (4)
∂b
∂t
+ Vx
∂b
∂x
+ Vy
∂b
∂y
+ F2
vW
∂b
∂z
− W =
=
1
Sc
(
1
Reh
∇2
Hb +
1
Revδ2
∂2b
∂z2
)
, (5)
где (Vx, Vy, W ) – безразмерные значения компо-
нент вектора скорости; p, b – отклонения по-
лей давления и плавучести от состояния невозму-
щенной устойчивой вертикальной стратификации;
Reh = V0lh/Am, Rev = Rehδ, Fv = V0/Nlv,
Ro = V0lh/2Ω, δ = lv/lh, N2 = ∂b/∂z, Sc =
Am/Ah = Kz/χz – соответственно горизонтальное
и вертикальное числа Рейнольдса, число Фруда,
число Россби, квадрат частоты Брента-Вяйсяля,
число Струхаля; lh = lh1 , lv = lv1, b – распределе-
ние невозмущeнной плавучести, соответствующее
устойчивой стратификации.
1.1. Граничные условия задачи
На дне. Условия прилипания:
Vx = 0; Vy = 0; W = 0.
Условие отсутствия градиента плавучести:
∂b
∂z
= 0.
На свободной поверхности. Отсутствие каса-
тельных напряжений ветра, что в условии про-
странственной анизотропии и, как следствие,
60 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
относительной малости горизонтальных градиен-
тов вертикальной скорости, можно представить в
следующем виде:
∂Vx
∂z
= 0;
∂Vy
∂z
= 0.
Равенство нулю возмущения давления p = 0 и
плавучести b = 0.
Условие непокидания частицами жидкости сво-
бодной поверхности, которое в терминах отклоне-
ния свободной поверхности η и вертикальной ско-
рости W имеет вид [16]:
dη
dt
= W,
можно заменить, в силу малости η, на приближен-
ное условие
W = 0.
Более подробно о формулировке граничных
условий можно найти в [16].
В начальный момент каждый из вихрей задае-
тся азимутальной компонентой скорости Vϑ в ком-
пактном виде:
V i
ϑ = 2V i
0 α2 exp
[
−α2
(
(r − ξi)
2
L2
0
)]
×
×
(
a1 + a2
2
)
−4
(z − (z0 + a1))
2
(z − (z0 − a2))
2
, (6)
где V i
0 , L0, z0 – соответственно начальные значе-
ния скорости, горизонтального масштаба вихря и
положения центра вихря (горизонт); a1, a2 – то-
лщины верхней и нижней частей вихря; ξi – по-
ложение центра i-го вихря; α – константа, хара-
ктеризующая внутреннюю структуру вихря. Соо-
тветственно, масштабы и интенсивность вихрей –
разные.
Прежде всего отметим, что можно условно раз-
бить работу на две части: когда влияние планетар-
ного вращения пренебрежимо (Ro >> 1) и когда
оно оказывает воздействие (Ro ≤∼ O(1)).
Выделим совокупности безразмерных параме-
тров, от которых зависит задача. Поскольку рас-
сматриваются два вихря разных масштабов и
взаимного расположения, основными безразмер-
ными параметрами будут:
1) δ1 = V02/V01 – отношение маскимума абсолю-
тного значения скорости в меньшем вихре к соо-
тветствущей величине в большем вихре;
2) δh
2 = lh2/lh1 – отношение горизонтальных мас-
штабов вихрей;
3) δv
2 = lv2/lv1 – отношение вертикальных мас-
штабов вихрей (равно 1 для всех примеров в дан-
ной работе);
4) δh
3 – отношение координаты центра меньшего
вихря к радиусу большего вихря;
5) δv
3 – отношение координаты центра меньшего
вихря к толщине большего вихря;
6) ∆ω = Ω02/Ω01 – отношение максимальных ве-
личин завихренности в паре вихрей в начальный
момент времени;
зависимость эффектов от:
7) числа Фруда Fv ;
8) горизонтального числа Рейнольдса Reh;
9) вертикального числа Рейнольдса Rev
10) числа Россби Ro;
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Вкратце изложим численную процедуру решения
уравнений (1)–(5). Она основана на полунеявной
схеме. Возьмем в качестве примера уравнение для
Vx. Вместо функции Vx в этом уравнении исполь-
зуем формальное обозначение – φ. Уравнения для
двух других компонент скорости и для плавучести
– аналогичные, за исключением добавки, связан-
ной с плавучестью в уравнении для вертикальной
компоненты скорости. Однако численная схема та
же. Пусть шаг по времени будет равен ∆t. Если
решение на предыдущем шаге по времени равно
(U0, V0, W0), то имеем:
φ = ∆t
(
U0
∂φ
∂x
+ V0
∂φ
∂y
+ W0
∂φ
∂z
)
−
−
∆t
Re
(
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
Kz
KL
∂2φ
∂z2
)
= −∆t
∂p
∂x
+ φ0. (7)
Вторые производные аппроксимируются по ме-
тоду центральных разностей. Производные перво-
го порядка вычисляются вверх по потоку. В ре-
зультате получаем:
φi,j,k
[
1 + ∆t
(
| U0 |
∆x
+
| V0 |
∆y
+
| W0 |
∆z
)
+
+
2∆t
Re
+
(
1
∆x2
+
1
∆y2
+
Kz
KL
1
∆z2
)]
=
= −∆t
∂p
∂x
+ φ0 +
∆t
Re
(
φi+1,j,k + φi−1,j,k
∆x2
+
+
φi,j+1,k + φi,j−1,k
∆y2
+
φi,j,k+1 + φi,j,k−1
∆z2
)
−
−∆t
(
U0
∆x
[
H(U0)φi−1,j,k + H(−U0)φi+1,j,k
]
+
П. В. Лукьянов 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
+
V0
∆y
[
H(V0)φi,j−1,k + +H(−V0)φi,j+1,k
]
+
+
W0
∆z
[
H(W0)φi,j,k−1 + H(−W0)φi,j,k+1
])
, (8)
где H(x) – функция Хэвисайда.
Уравнениe (8) решалось с помощью расщепле-
ния по пространственным переменным с использо-
ванием формул прогонки. Полученное таким обра-
зом решение может не удовлетворять уравнению
неразрывности. Поэтому был применен стандар-
тный метод коррекции давления. Он состоит в
том, что функция давления представляется в виде
p = p0 + p
′
,
где p0 – значение на каком-то шаге по времени; p
′
– коррекция давления. Для этого компоненты ско-
рости представляют в виде сумм значений на пре-
дыдущем шаге (U0, V0, W0) и добавки (U
′
, V
′
, W
′
)
– коррекции:
U = U0 + U
′
, V = V0 + V
′
, W = W0 + W
′
,
таким образом, чтобы выполнялись равенства:
U
′
= −
∆t∂p
′
∂x
, V
′
= −
∆t∂p
′
∂y
, W
′
= −
∆t∂p
′
∂z
.
Удовлетворяя уравнение неразрывности, для
коррекции давления получаем:
∇2p
′
= −
1
∆t
(
∂U
∂x
+
∂V
∂y
+
∂W
∂z
)
. (9)
Используя конечно-разностный метод, после-
днее уравнение преобразуется следующим обра-
зом:
p
′
i,j,k
(
2
∆x2
+
2
∆y2
+
Kz
KL
2
∆z2
)
=
=
p
′
i+1,j,k + p
′
i−1,j,k
∆x2
+
p
′
i,j+1,k + p
′
i,j−1,k
∆y2
+
+
p
′
i,j,k+1
+ p
′
i,j,k−1
∆z2
+
1
∆t
(
∂U0
∂x
+
∂V0
∂y
+
∂W0
∂z
)
.
Результаты, полученные по методу конечных
разностей, сравнивались со своими аналогами,
полученными с помощью спектрального метода.
Точность и сходимость контролировались вариа-
цией величин шагов пространственно-временной
сетки. Коррекция давления проводилась с точно-
стью 0.001 – в безразмерных величинах.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
В данной работе оба вихря, и меньший и больший,
задаются в начальный момент в компактном ви-
де. При этом поля их завихренности имеют ядра
одного знака, а периферию – противоположного.
Со временем периферийные области завихренно-
сти большего вихря трансформируются, а меньше-
го - исчезают, так что условие "одного знака" [1]
для всей области меньшего вихря выполняется.
Сначала рассмотрим случай, когда отношение
горизонтальных масштабов вихрей такое, что один
вихрь на порядок меньше другого. В качестве пер-
вого примера задавалась пара компактных вихрей
с горизонтальными масштабами 500 и 50 м. То-
лщина обоих вихрей равна 20 м. Глубина слоя
жидкости 40 м и вертикальное положение цен-
тров вихрей (горизонт) - 20 м. Горизонтальное
положение центра меньшего вихря – 250 м, то
есть посредине радиуса большего вихря. Часто-
та Брента-Вяйсяля всегда выбиралась равной 0.01
c−1. Безразмерные параметры, соответствующие
этим данным, указаны на рис. 1.
Из картины изолиний завихренности, представ-
ленных на рис. 1, видно, что имеет место некото-
рое движение (вращение) меньшего вихря относи-
тельно большего. Действительно, к моменту без-
размерного времени t = 1 угол расположения цен-
тра меньшего вихря увеличивается, но он уже по-
чти исчез. Напомним, что коэффициенты горизон-
тального турбулентного обмена – функции коор-
динат и времени (так как поле скорости меняется
во времени).
Одним из основных параметров задачи является
положение меньшего вихря в срединной плоскости
основного вихря. Поэтому логичной оказывается
проверка зависимости поведения системы от поло-
жения меньшего вихря. С этой целью был прове-
ден следующий численный эксперимент: меньший
вихрь был помещен ближе к оси вращения – на
расстояние 0.2 от радиуса вихря. В данном приме-
ре – на 100 м. В результате к моменту безразмер-
ного времени 0.5 меньший вихрь повернулся отно-
сительно большего на угол ≈ 45◦. Но главное – ма-
ксимальное значение завихренности малого вихря
больше, чем в предыдущем случае. Следователь-
но, не только относительная скорость поворота, но
и скорость диссипации малого вихря меньше. Это
можно объяснить тем, что с приближением к оси
вращения вихря влияние турбулентной диффузии
ослабевает.
Возникает логичный вопрос: как изменится кар-
тина движения, если больший вихрь будет враща-
62 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Рис. 1. Вертикальная компонента завихренности ωz
на горизонте z0 = 20 м при t = 0.5, Reh = 14000,
Rev = 4000, Fv = 1.75, δ = 0.04, Ro = 7.
a – изолинии ωz; b – распределение ωz вдоль оси
абсцисс
ться наоборот. Результаты вычислений во втором
типичном примере, приведенные на рис. 2, показа-
ли, что при антициклоническом вращении основ-
ного вихря меньший вихрь движется относительно
большего в противоположную сторону.
Приведенные рисунки указывают на следую-
щую картину движения пары вихрей. В зависимо-
сти от направления и интенсивности каждого из
вихрей могут получаться разные сценарии. Так,
на рис. 1 можно увидеть пример, когда меньший
и больший вихри вращаются в одну и ту же сто-
рону. Распределение завихренности как функция
радиальной координаты вдали от меньшего вихря
такое же, как если бы мы рассматривали движение
Рис. 2. Изолинии вертикальной компоненты
завихренности ωz на горизонте z0 = 20 м (a) и её
распределение вдоль оси ординат (b) там же
одного (большего) вихря. Иное дело, когда вихри
вращаются в разные стороны (см. рис. 2). В этом
случае максимум завихренности смещается и на-
ходится не на оси вращения, а внутри вихря: на
это указывает сгущение изолиний на рис. 2 сверху
и явно – снизу.
Увеличивая масштаб и интенсивность меньше-
го вихря, можно получить сложную, асимметри-
чную картину. Так, в третьем примере горизон-
тальные масштабы большего и меньшего вихрей в
начальный момент составляли 200 и 100 м соответ-
ственно при тех же вертикальных масштабах. Та-
кая система вихрей движется сложным образом.
На это указывает рис. 3. Особенностью рассмо-
тренных выше примеров является слабость вли-
П. В. Лукьянов 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Рис. 3. Изолинии ωz на горизонте z0 = 20 м при
Fv = 1, Rev = 8000, δ = 0.1, Ro = 9.7, δh
2 = 0.5 в
моменты времени t = 0.25 (a) и t = 1 (b).
яния планетарного вращения из-за относительной
малости горизонтальных масштабов вихрей.
Рассмотрим теперь примеры эволюции пар ви-
хрей, когда сила Кориолиса вносит свой вклад в
развитие событий. В качестве четвёртого приме-
ра задавались масштабы большего вихря прибли-
зительно равными тем, что наблюдаются в при-
роде [8]: l1h = 2000 м, lv = 70 м, H = 140 м,
z0 = 35 м; V 2
h = V 1
h = 0.1 м/c. Как и ранее, на-
чнем с относительно малого возмущения – второ-
го вихря, задав l2h = 100 м и разместим его на
расстоянии ξ = 1000 м. Результаты взаимной эво-
люции пары вихрей показаны на рис. 4. Форми-
руется слабый триполь. Следовательно, меньший
вихрь играет роль малого возмущения и эволю-
ция большого вихря та же, что и без малого ви-
хря: трансформация под действием планетарного
вращения в триполь. Следует отметить, что если
начальное максимальное значение завихренности
меньшего вихря задать таким же, как и большого,
триполь не образуется. Получается лишь ситуации
примеров 1 и 2.
Увеличим теперь горизонтальный масштаб
меньшего вихря. В пятом примере была рассмо-
трена пара вихрей с l1h = 2000 м, l2h = 300 м.
Меньший вихрь располагался в начальный момент
внутри большего (ξ = 1000 м), а величины скоро-
сти – одинаковыми. Вертикальные масштабы ви-
хрей в начальный момент были равны 70 м, а
толщина слоя жидкости – 140 м. Горизонт вихря
– 105 м. То есть вихрь находился у поверхности.
Образование триполя (см. рис. 5) при отношении
энергий меньшего вихря к энергии большего как
1:50 – характерный результат для данной задачи.
То, что триполь образовался в случае, когда ви-
хри находятся ближе к поверхности, – объясняется
одним порядком толщин вихрей и слоя жидкости.
Для выяснения зависимости процесса от расстоя-
ния до дна был проведен численный эксперимент,
когда при прочих предыдущих параметрах задава-
лась толщина вихрей 60 м в слое жидкости 300 м.
Вихри размещались у поверхности (на горизонте
270 м). Полученные результаты указывают на бо-
лее слабый процесс формирования триполя.
При дальнейшем увеличении относительного
масштаба меньшего вихря последний не выро-
ждается полностью. В качестве шестого примера
были рассмотрены два вихря с размерами 2 км и
400 м. Величины максимальной завихренности у
них, при прочих данных из предыдущего приме-
ра, совпадали. Получается довольно сложная кар-
тина. Еe особенностью является наличие на про-
межуточном этапе по времени трех областей за-
вихренности разного знака у большего вихря (см.
рис. 6) вне пространства нахождения меньшего ви-
хря. При больших значениях времени формируе-
тся триполь.
Если масштаб меньшего вихря (1000 м) уже
одного порядка, что и большего (2000 м) вихря
(седьмой пример), то на фоне процесса образова-
ния триполя наблюдается сохранение значитель-
ной части области меньшего вихря (рис. 7). Со сто-
роны, противоположной к меньшему вихрю, полу-
чается поле, характерное для триполя. С проти-
воположной стороны картина напоминает диполь.
Безразмерные параметры те же, что и в примерах
5 и 6, за исключением отношения масштаба мень-
64 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Рис. 4. Изолинии ωz на горизонте z0 = 35 м при
Ro = 0.488, Fv = = 0.143, Rev = 14000,
δ2
= 0.035, δh
2 = 0.05 в моменты t = 0 (a,b) t = 2 (c)
Рис. 5. Изолинии ωz при z0 = 105 м, δh
2 = 0.15 в
моменты времени t = 0 (a) и t = 2 (b)
шего вихря к большему, который равен 0.5.
В восьмом примере увеличим горизонтальные
размеры большего и меньшего вихря до 5 км
и 1 км соответственно при толщине вихрей
200 м. Максимальные амплитуды скоростей рав-
ны 0.1 м/c. Центр меньшего вихря расположен на
расстоянии 4 км от оси вращения большего. На-
чальный горизонт центра вихря – 100 м. Рис. 8
показывает, что при увеличении влияния плане-
тарного вращения образование триполя станови-
тся более выражено (сравните с рис. 6), хотя ядро
меньшего вихря все ещё остаётся на фоне триполя.
Во всех рассмотренных выше случаях началь-
ные тощины вихрей были одного порядка с глу-
биной слоя жидкости. Поэтому, чтобы свести, по
П. В. Лукьянов 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Рис. 6. Изолинии ωz при z0 = 105 м, δh
2 = 0.2 в
моменты времени t = 0 (a) и t = 2 (b)
возможности, к минимуму влияние дна, был рас-
смотрен девятый пример, где вихри располагались
у самой поверхности – вдали от дна: l1h = 2000 м,
l2h = 300 м, l1v = l2v = 60 м, H = 300 м, z0 = 270 м,
ξ = 1000 м . Хотя теперь дно находится вдали от
вихрей, наличие в поле скорости ассиметрии все
равно, из-за планетарного вращения, приводит к
формированию триполя. Но, в отличие от пятого
примера, где вихри находятся у самого дна, что
генерирует вторичные течения, при тех же значе-
ниях числа Россби и горизонтальных масштабов
вихрей в данном случае процеесс формирования
триполя существенно слабее.
Ранее, в третьем примере были рассмотрены
два вихря с масштабами одного порядка (200 м
Рис. 7. Изолинии ωz при δh
2 = 0.5 в моменты времени
t = 0 (a, b) и t = 2 (c)
66 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Рис. 8. Изолинии ωz при Fv = = 0.05, Rev = 40000,
δ = 0.04, Ro = 0.194, δh
2 = 0.2 в моменты времени
t = 0 (a) и t = 2 (b)
и 100 м) и завихренностью ядер одного знака.
Как изменится картина движения, когда вихри бу-
дут иметь горизонтальные масштабы, при кото-
рых планетарное вращение оказывает существен-
ное влияние на их динамику? В качестве де-
сятого примера были рассмотрены два вихря с
l1h = 2000 м, l2h = 1000 м, l1v = l2v = 60 м в
слое толщиной H = 75 м; z0 = 30 м, ξ = 1000 м.
И пусть завихренность в ядре каждого из вихрей
отрицательна. На рис. 10 показано, как со време-
нем формируется триполь.
Как уже было отмечено выше, значение ко-
эффициента вертикальной турбулентной диффу-
зии различное для разных районов океана. По-
Рис. 9. Изолинии ωz при H = 300, z0 = 270,
Fv = 0.166, Rev = 12000, δ = 0.03, Ro = 0.486,
δh
2 = 0.15 в момент времени t = 2
Рис. 10. Изолинии ωz при Ro = 0.486, δh
2 = 0.5 в
момент t = 2
этому важым моментом моделирования является
ответ на вопрос, как будут зависеть представлен-
ные выше результаты от величины коэффициен-
та вертикальной турбулентной диффузии. С этой
целью был проведен дополнительный ряд числен-
ных экспериментов, где варьировался Kz в преде-
лах 0.001 – 0.00005 м2/c. Общий вывод, который
можно сделать по результатам этих дополнитель-
ных вычислений, состоит в том, что качествен-
но картина течения остается прежней при изме-
нении величины вертикальной турбулентной диф-
П. В. Лукьянов 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
фузии в пределах одного порядка. Количественно
поля течений разнятся – и тем сильнее, чем боль-
ше изменяется вертикальная турбулентная диф-
фузия. Так, на рис. 11 представлен модельный
случай Kz = 0.001 м2/c. Сранение с рисунком 7
подтверждает сказанное выше – количественное
различие. В условиях сильной устойчивой стра-
тификации значение коэффициента вертикальной
турбулентной диффузии гораздо меньше рассмо-
тренных выше. Поэтому рассмотрим ещё один
пример, когда, при прочих предыдущих данных,
Kz = 0.00005 м2/c. Соответствующие изолинии
поля завихренности представлены на рис. 12. Ви-
дно, что область течения также представлена тре-
мя зонами, как и ранее (рис. 7 и 11), но количе-
ственно это уже другое течение.
Рис. 11. Изолинии ωz для случая Kz = 0.001 м2/c в
момент времени t = 2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе численных экспериментов выяснилось, что
меньший вихрь внутри вихря больших размеров,
если последний имеет масштабы, на которые вли-
яние планетарного вращения пренебрежимо мало,
вращется вместе с большим вихрем, диффунди-
руя в последнем. При этом подтверждается очеви-
дное: чем энергетически сильнее меньший вихрь,
тем дольше его время жизни.
В зависимости от соотношения вращения па-
ры вихрей (в одну сторону или в противополо-
жную) распределение завихренности в основном
вихре может оставaться прежним или изменяться:
если завихренности малого и большего вихря ра-
зного знака, то больший вихрь видоизменяется в
Рис. 12. Изолинии ωz для случая Kz = 0.00005 м2/c
в момент времени t = 2
том смысле, что максимум завихренности переме-
щается от оси вихря во внутреннюю область.
При соотношении масштабов вихрей 1:2 (вихри
одного масштаба) получаются две картины дви-
жения. Если ядра вихрей имеют одинаковый знак
завихренности, то со временем образуется один
вихрь завихренностью того же знака. А пара ви-
хрей, ядра которых имеют завихренность проти-
воположного знака, со времнем образуют структу-
ру, со стороны большего вихря имеющую поле, со-
ответствующее триполю, а со стороны меньшего
вихря – диполю.
Если больший вихрь имеет масштаб, при кото-
ром планетарным вращением уже нельзя прене-
бречь, то малый вихрь играет роль возмущения,
которое приводит к трансформации большего ви-
хря, монополя, в триполь. При этом форма трипо-
ля зависит от соотношения большего и меньшего
вихря.
Для пары вихрей, вращающихся в одну сторо-
ну, горизонтальные размеры которых имеют один
порядок (1:2), а масштабы, при которых планетар-
ное вращение существенно, происходит образова-
ние триполя, а не слияние двух вихрей в один.
Выявлена количественная зависимость процес-
са эволюции пары вихрей от величины коэффици-
ента вертикальной турбулентной диффузии Kz.
В данной работе изучен ряд примеров модель-
ной задачи эволюции пары вихрей разных мас-
штабов. Представляет также интерес анализ таких
случаев, когда вихри имеют разные начальные то-
лщины и разные горизонты расположения и т. п.
68 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 58 – 69
Выражаю огромную признательность докт.
физ.-матем. наук А. Г. Стеценко за ряд критиче-
ских замечаний, приведших к существенной дора-
ботке статьи.
1. Burton G. R., Nycander J. Stationary vortices in
three-dimensional quasi-geostrophic flow // J. Fluid
Mech.– 1999.– V. 389.– P. 255–274.
2. Carnevale G.F., Briscolini M., Kloosterziel R.C.,
Vallis G.K. Three-dimensially perturbed vortex tubes
in a rotating flow // J. Fluid Mech.– 1997.– V. 341.–
P. 127–163.
3. Kloosterziel R.C., Heijst, G.J.F. An experimental
study of unstable barotropic vortices in a rotating
fluid // J. Fluid Mech.– 1991.– V. 223.– P. 1–24.
4. Trilling R.R., Linssen A.H., van Heijst G.J.F.
Monopolar vortices in an irrotational annular shear
flow // J. Fluid Mech.– 1998.– V. 360.– P. 273–294.
5. Trilling R.R., Beckers M., Van Heijst G.J.F. Dynami-
cs of monopolar vortices in a strain flow // J. Fluid
Mech.– 1997.– V. 345.– P. 165–201.
6. Orlandi P., Carnevale G.F. Evolution of isolated
vortices in a rotating fluid of finite depth // J. Fluid
Mech.– 1999.– V. 381.– P. 239–269.
7. Галактионов А.В., Мадерич В.С. Динамика слои-
стых структур на конечной стадии затухания
турбулентности в устойчиво стратифицированной
среде // Известия АН Физика атмосферы и океана
.– 1999.– Т. 35, № 6.– С. 829–837.
8. Alfredo Abrayma, Estore Salusti Observation of
Small Scale shelf-Trapped Dipolar Vortices near the
Eastern Sicilian Coast // J.Phys. Oceanogr.– 1990.–
V. 20, № 7.– P. 1105–1112.
9. Mellor G.L., Yamada T. A Hierarchy of Turbulence
Closure Models for Planetary Boundary Layers
// Journal of Atmospheric Sciences.– 1974.–V. 31.–
C. 1791–1806
10. Mellor G.L., Yamada T. Development of Turbulence
Closure Models for Geophysical Fluid Problems. //
Reviews in Geophysics and Space Physics.– 1982.–
V. 20.– P. 851–857.
11. Озмидов Р.В. Динамика примесей в океанe.– Л.:
Гидрометеоиздат, 1986.– 280 с.
12. Smagorinsky J. General circulation experiments with
primitive equation // Mon. Wether.– 1963.– V. 91.–
P. 99–105.
13. Кошебуцский В., Мадерич В., Нестеров А., Хелинг
Р. Моделирование рапространения тепла во вну-
тренних водах и прибрежных областей морей //
Прикл. гiдром.– 2004.– T. 6 (78), N 4.– С. 34–44.
14. Kantha L.H., Clayson C.A. Numerical models of
Oceans and Oceanic Processes.– San-Diego – London:
Academic Press, 2000.– 940 p.
15. Lukianov P.V., Maderich V.S. Restratification
processes in the final stage of turbulence decay
in a stably stratified medium // Доповiдi НАН
України.– 1995.– 5.– С. 46–49.
16. Лукьянов П.В. Диффузия изолированного квази-
двумерного вихря в слое устойчиво стратифици-
рованной жидкости // Прикл. гiдром.– 2006.– T. 8
(80), N3.– С. 63–77.
17. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. T.1.– М.:
Мир, 1986.– 397 с.
П. В. Лукьянов 69
|