Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении

Досліджено нестаціонарні осесиметричні деформації незамкненої сферичної біморфної (метал - п'єзокераміка) оболонки, механічні граничні умови для якої відповідають умовам жорсткого защемлення, електричні умови - змішані. Для опису перехідних процесів використано рівняння теорії тонких електропру...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Кубенко, В.Д., Янчевский, И.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2013
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87761
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении / В.Д. Кубенко, И.В. Янчевский // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 60-73. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87761
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-877612015-10-25T03:02:09Z Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении Кубенко, В.Д. Янчевский, И.В. Досліджено нестаціонарні осесиметричні деформації незамкненої сферичної біморфної (метал - п'єзокераміка) оболонки, механічні граничні умови для якої відповідають умовам жорсткого защемлення, електричні умови - змішані. Для опису перехідних процесів використано рівняння теорії тонких електропружних оболонок. Визначення початкової різниці потенціалів, як і додаткових навантажень, що вводяться для задоволення механічних граничних умов, здійснено чисельно на основі одержаної системи інтегральних рівнянь Вольтерра з використанням регуляризуючого алгоритму Тихонова. Наведено числові результати, вірогідність яких оцінено на основі зіставлення їх зі скінченно-елементними розв'язками задач. The non-stationary axisymmetric deformations of a non-closed spherical bimorphic (metal-piezoceramics) shell are studied. The mechanical boundary conditions correspond to the rigidly supported edges conditions, whereas the electric conditions are the mixed ones. The equations of the theory of thin electroelastic shells are used to describe the transient processes. An output potential difference determination as well as the additional loads engaged for the boundary conditions fulfilling are carried out numerically on the basis of the obtained system of Volterra integral equations with using the Tikhonov regularization algorithm. The numerical results are presented. Their reliability is estimated by comparison with the finite-element solutions of the problem. 2013 Article Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении / В.Д. Кубенко, И.В. Янчевский // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 60-73. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87761 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Досліджено нестаціонарні осесиметричні деформації незамкненої сферичної біморфної (метал - п'єзокераміка) оболонки, механічні граничні умови для якої відповідають умовам жорсткого защемлення, електричні умови - змішані. Для опису перехідних процесів використано рівняння теорії тонких електропружних оболонок. Визначення початкової різниці потенціалів, як і додаткових навантажень, що вводяться для задоволення механічних граничних умов, здійснено чисельно на основі одержаної системи інтегральних рівнянь Вольтерра з використанням регуляризуючого алгоритму Тихонова. Наведено числові результати, вірогідність яких оцінено на основі зіставлення їх зі скінченно-елементними розв'язками задач.
format	Article
author	Кубенко, В.Д. Янчевский, И.В.
spellingShingle	Кубенко, В.Д. Янчевский, И.В. Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении Прикладная механика
author_facet	Кубенко, В.Д. Янчевский, И.В.
author_sort	Кубенко, В.Д.
title	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении
title_short	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении
title_full	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении
title_fullStr	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении
title_full_unstemmed	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении
title_sort	колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87761
citation_txt	Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении / В.Д. Кубенко, И.В. Янчевский // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 60-73. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT kubenkovd kolebaniânezamknutojdvuhslojnojélektrouprugojsferičeskojoboločkipriimpulʹsnomélektromehaničeskomnagruženii AT ânčevskijiv kolebaniânezamknutojdvuhslojnojélektrouprugojsferičeskojoboločkipriimpulʹsnomélektromehaničeskomnagruženii
first_indexed	2025-07-06T15:26:32Z
last_indexed	2025-07-06T15:26:32Z
_version_	1836911787810750464
fulltext	2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 3 60 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 3 В .Д .К у б е н к о , И .В . Я н ч е в с к и й КОЛЕБАНИЯ НЕЗАМКНУТОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: vdk@inmech.kiev.ua Abstract. The non-stationary axisymmetric deformations of a non-closed spherical bi- morphic (metal-piezoceramics) shell are studied. The mechanical boundary conditions cor- respond to the rigidly supported edges conditions, whereas the electric conditions are the mixed ones. The equations of the theory of thin electroelastic shells are used to describe the transient processes. An output potential difference determination as well as the additional loads engaged for the boundary conditions fulfilling are carried out numerically on the basis of the obtained system of Volterra integral equations with using the Tikhonov regularization algorithm. The numerical results are presented. Their reliability is estimated by comparison with the finite-element solutions of the problem. Keywords: electroelasticity, non-closed spherical shell, non-stationary process, elec- tromechanical load. Введение. Широкое применение в различных технических устройствах пьезокерамических преобразователей в виде тонких сферических оболочек обуславливает повышенный интерес к исследованиям их поведения при динамических нагрузках. К настоящему времени получены многочисленные результаты для замкнутых оболочек. В частности, в [5] приведены выражения для амплитуд колебаний под действием гармонически изменяющейся во времени разности электрических потенциалов. Элек- троупругие колебания сферических оболочек со сплошными электродами при их воз- буждении электрическими и акустическими импульсами рассмотрены в [9, 10], а ре- шения задач управления этими колебаниями представлены в [18, 19]. Из публикаций последних лет, в которых изучены переходные процессы в конструктивных элементах из электроупругих материалов, отметим [15, 17, 20]. Заметим, что большинство используемых на практике сферических пьезопреобра- зователей, в частности, в прикладной гидроакустике, имеют отверстие с горловиной под крепление. Этим была продиктована необходимость проведения эксперименталь- ных исследований [7] по оценке адекватности применения существующей математи- ческой модели замкнутой сферической оболочки для описания поведения реальных сферических пьезоизлучателей с указанными конструктивными особенностями. Оче- видно, что с увеличением размеров отверстия отклонения параметров колебательного процесса от результатов решения на основе вышеуказанной модели будут все более значительными. Это свидетельствует об актуальности разработки подходов и на их основе решения динамических задач для незамкнутых биморфных оболочек, края которых различным образом закреплены. Отметим, что этому вопросу посвящены единичные публикации. В работе [5], в частности, описано общее решение задачи об установившихся осесимметричных колебаниях электрически нагруженной пьезоке- рамической оболочки со свободным отверстием. В монографии [4] методом конечных 61 элементов исследовано термомеханическое поведение вязкоупругих пьезокерамичес- ких полых шаров с отверстием и цилиндрическим патрубком при гармоническом электрическом нагружении. Целью данной работы является решение задачи о неустановившихся осесиммет- ричных деформациях незамкнутой сферической пьезокерамической оболочки с жест- ко защемленным краем при импульсном электромеханическом ее нагружении. Рас- смотрено биморфное конструктивное исполнение пьезопреобразователя, т.е. при на- личии дополнительного слоя из пьезоэлектрически пассивного упругого материала. Использование слоев с различными функциональными свойствами, как отмечено в [8, 16], позволяет существенно расширить перечень практических приложений пьезопре- образователей вследствие многообразия геометрических и физических характеристик, высоких эксплуатационных параметров и др. 1. Постановка задачи. Рассмотрим незамкнутую в нижнем полюсе сферическую оболочку, составлен- ную из тонких, жестко соединенных между собой, электроупругого и упругого слоев с толщинами, соответственно, ph и mh . Радиус поверхности соединения слоев обозначим как 1R , а размер кругового отверстия определим сферическим углом раствора 0  (рис. 1). На равномерно поляризованный вдоль нормали к срединной поверхности пьезокерамический слой нанесены бесконечно тонкие токопроводящие покрытия (электроды), из которых внутренний сплошной электрод заземлен, а внешний элек- трод имеет выполненный в окружном направле- нии разрез при 1  (рис. 1). В конкретно полученном решении предпола- гаем, что колебания оболочки, край которой жестко защемлен, возбуждаются импуль- сом давления интенсивностью 0p , зона приложения которой определяется углом 2 (рис. 1). Также к электроду нижней секции ( 1  ) подводится заданный электричес- кий потенциал iV , а электроды пьезокерамического слоя верхней секции ( 1  ) принимаем разомкнутыми. До момента приложения нагрузки 0t  оболочка нахо- дится в состоянии покоя. 2. Уравнения движения и граничные условия. При описании переходного процесса используем уравнения линейной теории электроупругих оболочек, основанных на обобщенных гипотезах Кирхгофа – Лява [1, 6]. Тогда в рамках принятых для механических переменных допущений исходная про- странственная задача о деформировании двухслойного пакета сводится к двумерной о колебаниях поверхности приведения, положение которой определяется расстоянием  2 2 0 1p p 1m m 2 Nz c h c h D  [8] относительно поверхности соединения слоев (рис. 1). Здесь  j 2 1j j111 1c s   ; j 11s , j – упругие податливости и коэффициенты Пуассона материалов; 1p p 1m mND c h c h  – жесткость на растяжение; j m, p – индекс, опре- деляющий принадлежность параметра упругому или электроупругому слою. В результате вывод уравнений движения рассматриваемой биморфной оболочки методически подобен выводу уравнений для однослойных пьезокерамических оболо- чек [1], записанных в рамках обобщенных гипотез Кирхгофа – Лява. Эти уравнения окончательно принимают вид V i h p O z0 R1  hm 0 V d 1 z  0 Рис. 1 62 2 p0 1 0 2 2 0 1 au V D u D w q Rt               ; 2 2 p 3 0 4 2 2 0 2 ctgz aw V V D u D w q V Rt                     . (1) Здесь  ,w t и  0 ,u t – составляющие вектора перемещений точек поверхности приведения ( 0z  );  ,q t  и  ,zq t – меридиональная и нормальная составляю- щие внешней нагрузки;  ,V t – электрический потенциал на внешнем токопрово- дящем покрытии ( 0 pz z h  ); p 0 p 2a z h  – смещение срединной поверхности пьезокерамического слоя от поверхности приведения; 0 1 0R R z  – радиус кривизны поверхности 0z  ; t – время; z ,  – толщинная координата, отсчитываемая от по- верхности приведения, и меридиональная координата, отсчитываемая от оси симмет- рии (рис. 1). В системе (1) использованы дифференциальные операторы:     2 2 1 2 1 ctg ctgD                  ;     3 2 2 2 3 2 ctg ctg 1D                         ;     3 2 2 2 3 3 2 2ctg 1 ctg 2 ctg ctgD                           +  1 ctg        ;       4 3 2 2 2 4 4 3 2 2ctg 1 ctg 2 ctg ctg 2 1D                                , причем  ( ) / (1 )        ; 2 0/ ( )ND D R  ;   /1 D D     – приведенный коэффициент Пуассона [8]; D  1p pc J  1m mc J D ; D   2 1 3e  p0J ; pJ  =   33 0 0 pz z h  /3 ;   3 3 m 0 m 0 3J z h z   ; 3 p0 p 12J h . Задачу решаем с использованием безразмерных переменных: время t отнесено к 0 h NR D ( p p m mh h h    ; j – плотности материалов), перемещения w и 0u – к 0R , усилия q – к 0ND R , тангенциальные усилия N – к ND , изгибающие момен- ты M – к 0D R , электрический потенциал V – к 1ND e (  1 1p 31 p1e c d   , 31d – пьезомодуль), индукция электрического поля tD – к 1e . Для интегральных характеристик напряженного состояния (тангенциальных уси- лий и изгибающих моментов) имеем следующие равенства:  0 0 ctg 1 u N u w V             ;  0 0 ctg 1 u N u w V             ; 63 2 p0 0 2 0 1 ctg ctg au w w M u V R                        ; 2 p0 0 2 0 1 ctg ctg au w w M u V R                        . Распределение электростатического потенциала аппроксимируем выражением        0 0 2 0 0 p p p , z z R V t z z z z h h h                 , которое удовлетворяет электрическим условиям на поверхностях пьезокерамического слоя ( 0 0z z   и 0 pz z h V    , см. рис. 1) и допущению о постоянстве по его тол- щине нормальной компоненты вектора электрической индукции, т.е.    p p 2 0 1 z V a aD R             , (2) где 2 2 1 3/p Ne h D  ;  2 3 33 1T pk   ; 2 31 1 332 T pk d e  – квадрат планарного коэф- фициента электромеханической связи [1, 6, 8] ( 33 T – диэлектрическая проницаемость пьезокерамики);    и    – деформации растяжения и изгиба поверхности приве- дения, которые выражаются через компоненты перемещений w и 0u согласно из- вестных зависимостей [6]. Исходные уравнения движения (1) следует дополнить граничными условиями. Механическая группа условий для жесткого защемления края имеет вид 0 0w    ; 0 0 0u    ; 0 0 w       . (3) Форма электрических граничных условий зависит от вида электродирования и способа подвода (съема) электрической энергии. Для представленной на рис. 1 схемы потенциал V определяется следующим равенством:    d 1 i 1V V H V H         , (4) где H – единичная функция Хевисайда. Если принять, что электроды пьезокерамического слоя в секторе 1  подклю- чены к генератору напряжений, то функция iV является заданной. Если его электроды при 1  разомкнуты, то должно выполняться равенство нулю тока смещения через срединную поверхность пьезокерамического слоя, т.е. 12 0 0 0 sin 0zI D R d d t           . С учетом (2) соотношение для разности потенциалов dV имеет вид   1 p p 22 d 0 1 0 00 1 2 sin 1 cos a a V u w w d R R                            ; (5) 64       ctg        и      2 2 2 ctg         . Совокупность равенств (1) – (5) совместно с однородными начальными условия- ми 0 0 0 0 0 0 0t t t t uw w u t t            образует полную систему уравнений рассмат- риваемой начально-краевой задачи об осесимметричных колебаниях биморфной обо- лочки металл – пьезокерамика. Полученная математическая модель может быть легко сведена к случаю одно- слойной пьезокерамической оболочки, если положить толщину упругого слоя равной нулю ( m 0h  ). Очевидно, что при этом поверхность 0z  представляет собой сре- динную поверхность оболочки ( p 0a  ). Принятие p 0h  и 31 33 0Td   позволяет записать уравнения движения однослойной оболочки в рамках теории Кирхгофа – Лява, изготовленной из упругого материала. Посредством равенства (4) можно формулировать электрические граничные усло- вия и при сплошном электродировании пьезокерамического слоя оболочки. В частно- сти, для механически нагруженной оболочки имеем 1 0  и dV V . При электриче- ском возбуждении колебаний такой оболочки ( 1 0  ) функция iV V является из- вестной функцией времени. На основании выражений (1), (4), (5) несложно также получить уравнения пуль- сирующих колебаний замкнутой сферической оболочки со сплошными электродами, нагруженной равномерно распределенным давлением  0p t (одномерная постанов- ка), т.е.   2 02 2 1 2 w w p V t        . (6) При этом, в случае работы пьезокерамического слоя в режиме прямого пьезоэлек- трического эффекта ( 1  ) неизвестную разность потенциалов dV V на основании соотношения (5) можно записать через перемещения w ( 22V w ), что позволяет исключить ее из дифференциального уравнения (6). 3. Метод решения. Решение рассматриваемой задачи строим в виде рядов по собственным функциям замкнутой оболочки     0 k k k w c t P y     ;    1 0 1 k k k u b t P y     , (7) где cosy  ; kP , 1 kP – присоединенные функции Лежандра I-го рода, а kc , kb – ко- эффициенты, подлежащие определению. Для удовлетворения граничных условий (3), представленных в виде    0 0 0k k k c t P y    ;    1 0 1 0k k k b t P y    ;    1 0 1 0k k k c t P y     0 0cosy  , (8) используем прием, изложенный в монографиях [2, 13] при решении задач о неустано- вившихся осесимметричных деформациях упругих механически нагруженных круг- лой пластины и незамкнутой сферической оболочки при произвольных кинематиче- ских граничных условиях. Согласно этому приему, вводим систему дополнительных 65 механических нагрузок 0q и 1q (рис. 2), равномерно распределенных на узкой полосе шириной 0R  ( 0  ) в окрестности параллели 0   , близ- кой к месту защемления оболочки ( 0 ). В результате этого входящие в правую часть сис- темы (1) составляющие внешней механической на- грузки равны:        0 0, , 2zq t p t q t H          ;      1 0, 2q t q t H          , (9')      0 2,p t p t H      – интенсивность заданной механической нагрузки (рис. 1). С использованием разложения обратной тригонометрической функции в степен- ной ряд 2 1 1 1 2 1 arccos 2 2 1 2 n n n j y j y y n j            , приближенного равенства   0 1 1 n b b nb     , записи (9') несложно переопределить через координату y :          0 2 0 0, 2zq y t p t H y y q t H y y y          ; (9'')      1 0, 2q y t q t H y y y        , в которых 2 2cosy  , а для величин y и  при 0  (    0 2   –  0 2    ) и 0 получены такие соотношения: y K   ; K   , где 2 0 1 1 2 1 1 2 n n n j j K y j        . При этом функции zq и q (9'') могут быть представлены в виде рядов, аналогич- ных (7), т.е.                0 8 9 0 0 0 0 ,z k k k k k q y t p t Q t M t P y          ;        7 1 0 1 , k k k q y t N t P y      (10)       1 07 2 0 2 1 2 k k P y k R K k k       ;    8 0 0 1 2 1 2k k k P y R K     ;    1 09 2 2 2 0 0 1 2 1 21 k k P y k R K y      ;      1 2 1 20 2 k k k P y P y        . Выражения (10) получены: на основании свойства ортогональности сферических функций на интервале (–1; 1); равенства O 0  y 0 q0  R 0 y 0+ q1 Рис. 2 66            1 1 1 12 1 b k k k k k a k P y dy P b P b P a P a        ; разложения функции kP в ряд Тейлора в окрестности точки 0y y , в котором огра- ничивались первыми двумя его членами –     0 0 0 k k k y y P P y P y y          и уже выполнен предельный переход к сосредоточенным в точке 0  ( 0y y ) ра- диальной 0Q , тангенциальной 0N и моментной 0M нагрузкам на основании соотно- шений 0 0 00 q R Q     ; 0 0 00 Q R M    и 1 0 00 q R N     . Электрическая переменная V также представлена в виде ряда по полиномам Ле- жандра   0 k k k V v P y     , (11) коэффициенты которого, в соответствии с равенством (4), равны:    10d 10i d ik k kv V V   , причем  10d 1 0 1 2 y    ;  10i 1 0 1 2 y    ;      1 1 1 110d 2 k k k P y P y     ;    10i 10d k k   ; 1 1cosy  . Соотношение (5) и представления (7) позволяют выразить неизвестную разность потенциалов dV через коэффициенты kb и kc :    11 122 d 011 k k k k k V c b y           ; (12)    11 6d2 2 1k kk     ;      12 5d 22 2 1k k k k k      ;     p5 10 0 1k k a R          ;      p6 10 2 0 2k k a k k R            . Тогда, учитывая разложения (7), (10) и (11), равенства [12]       221 1 mmmm k k m d P P y y dy    ;              1 22 2 12 1 1 1m m m k k kP y m y y P y k m k m P y          , исходная система уравнений (1) в пространстве изображений по Лапласу [3] при ну- левых начальных условиях примет такой вид:            1 2 2 7 5d 5i 0 d i L L L L L k k k k k k ks b c N V V         ; 67                 3 4 2 0 8 9 6d 6i 0 0 0 d i L L L L L L L k k k k k k k k kb s c p Q M V V             . (13) Здесь индекс L обозначает изображения соответствующих функций (     LL f t f s ); s – комплексный параметр преобразования, а для постоянных ко- эффициентов в левой части имеем формулы:      1 21 1k k k       ;        3 2 2 21 1k k k k k k k              ;      2 2 1 1k k k            ;        4 2 2 1 2 1k k k k k          . Решив систему (13) относительно трансформант L kb и L kc , получим    0 0 2 2 0 c L D s c s s    ;       c L k k k D s c s D s  ;       b L k k k D s b s D s  ( 1k  ), (14) где использованы такие обозначения:      4 1 2 2 k k kD s s s    ;        0 8 6d 6i 0 0 0 0 0 0 d 0 i c L L L LD p Q V V         ;                     0 2 8 8 2 8 9 2 8 3 7 0 0 0 0 c L L L L k k k k k k k k kD s p s Q s M s N                        6d 2 6 6i 2 6 d i L L k k k kV s V s       ;                   2 0 2 8 2 9 7 2 7 0 0 0 0 b L L L L k k k k k k k k kD s p Q M N s                       5d 2 5 5i 2 5 d i L L k k k kV s V s       (  2 4 0 0  ;      1 1 4 k k k    ;          2 1 4 2 3 k k k k k      ;    7 4 k k  ;    8 1 k k  ;          5 4 2 6 5 k k k k k      ;          6 1 3 5 6 k k k k k      ). Корни уравнения   0kD s  являются чисто мнимыми, поэтому для удобства по- следующего обращения выражение для  kD s представим в форме  kD s  =   2 1 2 ks    2 2 2 ks  , где  j k – модули упомянутых корней. Таким образом, выражения (14) являются дробно-рациональными функциями па- раметра s и переход в пространство оригиналов для них не вызывает принципиальных затруднений. Для коэффициентов разложений тангенциальных 0u и радиальных w перемещений (7) получаем равенства                      0 8 6d 6i 8 0 0 0 0 0 0 d 0 i 0 0 t c t p Q V V I t d                ;                  0 8 9 8 0 0 0 0 t k k k k kc t p Q M I t d              68                      3 7 1 6d 6i 6 0 d i 0 0 t t k k k k k kN I t d V V I t d                  ; (15)                    2 0 8 9 1 0 0 0 0 t k k k k k kb t p Q M I t d                                   7 7 5d 5i 5 0 d i 0 0 t t k k k k kN I t d V V I t d                 . Здесь подынтегральные функции    r kI t определяются формулами          8 6 0 0 0 0 1 sinI t I t t    ;            ,2 1 sin r j jr k k kj j k I t t      при 1k        1, 22 1j k j k k          ;           2 , 22 jr r j k k k j k k          ( , 1,2j   ; j  ; 5,8)r  . Входящие в (15) неизвестные функции 0Q , 0M , 0N и dV должны быть такими, чтобы были удовлетворены механические граничные условия (8) и равенство (12). В результате подстановки (15) в (8) получим систему интегральных уравнений Вольтер- ра типа свертки относительно указанных неизвестных. Если ввести способствующие более компактному дальнейшему изложению обозначения 1 0F p ; 2 0F Q ; 3 0F M ; 4 0F N ; 5 dF V ; 6 iF V , то указанную систему можно представить в виде       6 1 3 5 1 20 1 0 t j i i j i y F t d F          ( 0,3j  ), где ij – символ Кронекера, а для ядер получены выражения ( 0,1j  )            0 8 01 0 j j k kk k t P y I t      ;            8 8 02 0 j j k kk k t P y I t      ;            9 8 03 1 j j k kk k t P y I t      ;              3 7 1 04 1 j j k k kk k t P y I t       ;            6d 6 05 0 j j k kk k t P y I t      ;            6i 6 06 0 j j k kk k t P y I t      ;              2 2 0 1 1 1 0 1 k k k k k t P y I t       ;              2 2 8 1 1 2 0 1 k k k k k t P y I t       ;              2 2 9 1 1 3 0 1 k k k k k t P y I t       ;            2 7 1 7 4 0 1 k k k k t P y I t      ;            2 5d 1 5 5 0 1 k k k k t P y I t      ;            2 5i 1 5 6 0 1 k k k k t P y I t      ; 69        3 0 1 0 k k k t t       ;        3 8 2 0 k k k t t      ;        3 9 3 1 k k k t t      ;                11 8 2 12 1 k k k k k kt I t I t     ;                    3 7 12 7 3 11 1 4 1 k k k k k k k t I t I t           ;                    3 6d 11 6 5d 12 5 5 0 k k k k k k k t I t I t           ;                    3 6i 11 6 5i 12 5 6 0 k k k k k k k t I t I t           . Ее решение выполняется численно, для чего на основании метода квадратур по- строен конечно-мерный аналог в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матричное представление её имеет вид                                                   d i 11 12 13 14 0 15 14 d i 21 22 23 24 0 25 24 0 d i 31 32 13 34 0 35 34 i d i 41 42 43 44 d 45 44 M M M M Q M M M M M M M M M p M M M M N M M V M M M M V M M . (16) Здесь блоки матриц являются нижними треугольными ( max maxm m )-матрицами ( max invm t t  , invt – время исследования; t – шаг дискретизации временного ин- тервала), а в вектор-столбцы входят кусочно-постоянные аппроксимации известных ( 0p и iV ) и искомых функций. Для построения устойчивого к счету решения (16) применен метод регуляризации А.Н. Тихонова, численная сторона реализации кото- рого дана в [11, 14]. На последующем этапе были вычислены компоненты перемеще- ний и деформаций и другие характеристики рассматриваемого переходного процесса. Для полусферической оболочки ( 0 0y  ) решение задачи существенно упрощает- ся, если представить перемещения w и 0u в виде разложения по полиномам Лежанд- ра четных степеней (см. (7)). При этом последние два условия системы (3) выполня- ются тождественно. Для удовлетворения оставшегося равенства, неизвестное попе- речное усилие 0Q определяется из СЛАУ, получаемой из исходной (16) после исклю- чения пустых блоков –                              id 0 15 1411 14 0 id d 45 4441 44 i Q M MM M p V M MM M V . Для замкнутой оболочки к уравнениям движения (1) следует присоединить только электрические граничные условия. В результате, кусочно-постоянная аппроксимация выходной разности потенциалов dV может быть вычислена из СЛАУ вида  d i 44 d 45 0 44 iM V M p M V , при решении которой эффективными являются и классические подходы [13, 14]. Методом вариаций произвольных постоянных с учетом нулевых начальных усло- вий из дифференциального уравнения (6) несложно получить формулу для пульси- 70 рующих колебаний замкнутой оболочки со сплошными электродами при электроме- ханическом ее возбуждении, т.е.        0 0 i 0 2 t w p V I t d         . Если электроды пьезокерамического слоя разомкнуты ( dV V ), то нестационар- ные колебания механически нагруженной сферической оболочки ( 0 0p  ) определя- ются выражением     * 0 0* 00 1 sin t w p t d       (  * 0 22 1 2     ). Очевидно, что при приложении к такой оболочке статического давления 0p ра- диальное перемещение будет равным 2 0 0pw p  . Из (6) также получим значение  i 1Vw V    , соответствующее случаю подведения к ее электродам постоянного электрического сигнала iV , когда 0 0p  . Совместное приложение механической и электрической нагрузок при 0 i2p V является уравновешенным ( 0w  ). 4. Числовые результаты. В качестве примера рассмотрим поведение биморфной сферической оболочки с граничными условиями (3) при следующих исходных данных: 0R =50 мм; ph =2 мм; m p 2h h ; p =7600 кг/м3; 11 Es =15,410–12 м2/Н; 12 Es = –5,110–12 м2/Н; 31d = = – 17810–12 Кл/H; 33 T =1750 0 ; 0 =8,8510-12 Ф/м; m =4450 кг/м3; mE =11,31010 Н/м2 (физические данные материалов соответствуют свойствам титанового сплава ВТ-6 и пьезокерамики марки PZT-5). При решении данной задачи в рядах (7) учтены первые 400 членов, при этом вклад последнего не превышает 0,5 % от суммарного значения перемещения. Шаг по времени при составлении СЛАУ (16) принят равным 0,125t  . Параметр регуляри- зации, согласно методу Тихонова, подобран на основании принципа невязки [11]. Расчеты проведены для электрического сиг- нала ступенчатого профиля  iV H t в интерва- ле времени  0; 3T ( 02T   – период пуль- сирующих колебаний биморфной оболочки, пье- зокерамический слой которой находится в режи- ме обратного пьезоэффекта). При этом принято, что внешнее механиче- ское воздействие отсутствует ( 0 0p  ). На пред- ставленных рисунках величины w отнесены к Vw , соответствующему действию единичной статической электрической нагрузки ( i 1V  ). На рис. 3 и 4 приведены результаты исследований переходных процессов в би- морфных оболочках, внешнее токопроводящее покрытие которых имеет разрез, при- чем на электроде с 1  обеспечивается заданный электрический потенциал  iV H t , а электроды в секторе 1  – разомкнутые (имеют место смешанные электрические условия). T 2T t -0.30 0 -0.15 0.15 V d(t) 0 11' Рис. 3 71 Результаты определения выходной разности потенциалов dV для незамкнутой жестко защемленной при 0 3 4  оболочки с 1 4  и для замкнутой оболочки с 1 2  (площади генераторной и выходной секций пьезокерамического слоя равны) представлены на рис. 3 (кривые 1 и 0, соответственно). Для оценки их достоверности задача в рассматриваемой постановке для оболочки с 0 3 4  решена методом ко- нечных элементов (кривая 1', рис. 3). Очевидно, что численно-аналитическое (кривая 1) и конечно-элементное (кривая 1') решения хорошо согласуются на начальном этапе деформирования открытой оболоч- ки (рис. 3) и незначительно различаются при 2t T . Перемещения w в двух характерных точках ( 1y  и 0y  ) для указанных обо- лочек отражены на рис. 4, при этом рис. 4, а соответствует случаю незамкнутой обо- лочки, рис. 4, б – оболочка замкнута (разрез при 1 2  ). Как и ранее, цифрой 1' обозначены результаты, вычисленные на основании МКЭ. T 2T t -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 w(y ,t) y=0 1' (y=1) 1 (y=1) -0.5 0.5 0 w(y ,t) y=0 1' (y=1) 1 (y=1) 1.0 -1.0 а б Рис. 4 На основе данных рис. 4, а можно сделать вывод, что при  iV H t радиальные перемещения точки 2  при t T практически выходят на статический уровень деформаций. Колебания в том же экваториальном сечении замкнутой сферической оболочки с разрезным в точке y = 0 ( 2  ) электродом (рис. 4, б) подобны элек- трически возбуждаемым пульсирующим колебаниям оболочки со сплошными элек- тродами, представляющие собой решение уравнения (6) при iV V и 0 0p  . Однако, в этом случае перемещения 0yw  имеют вдвое меньшую амплитуду, что обусловле- но, по-видимому, меньшей подводимой извне энергией, и происходят с несколько большей частотой, значение которой находится в диапазоне между частотой пульси- рующих колебаний механически нагруженной оболочки при разомкнутых электродах пьезокерамического слоя ( 01  ) и частотой колебаний оболочки, возбуждаемой элек- трическим путем ( 01  ). На рис. 4 также четко выражены запаздывания по времени начала радиальных ко- лебаний полюсной точки оболочки ( 1y  ). Этот временной промежуток примерно соответствует времени прохождения фронта волны деформации от границы зоны электрического нагружения к исследуемой точке. Выводы. 1. В рамках теории тонких электроупругих оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа – Лява, получены общие выражения для характеристик переходного про- цесса в незамкнутой биморфной сферической оболочке типа металл – пьезокерамика, возникающих при осесимметричном импульсном электромеханическом ее нагруже- 72 нии. При этом принято, что импульс давления действует на некоторой площадке в окрестности полюса, а электрический сигнал подводится к одной из секций электро- дов пьезокерамического слоя (электроды второй секции – разомкнуты). Для прибли- женного удовлетворения механических граничных условий вдоль края оболочки вве- дена система дополнительных нагрузок, значения которых определены из системы интегральных уравнений Вольтерра. Для построения устойчивого решения системы использован регуляризирующий алгоритм. 2. Числовые результаты представлены для наиболее простого случая – жесткого закрепления края сферической оболочки. Однако, располагая полученными выраже- ниями можно рассмотреть и другие механические и электрические граничные усло- вия, что позволит качественно оценить влияние различных вариантов закрепления и геометрии электродирования. 3. Эффективность методики и достоверность результатов оценена путем сопос- тавления с решениями тестовых задач с помощью МКЭ. В целом получено хорошее качественное, а также количественное совпадение численно-аналитических и конеч- но-элементных решений (относительное расхождение результатов находится в преде- лах 15 %). 4. Предложенная методика может быть использована для решения задачи управ- ления электроупругими колебаниями сферической оболочки и при идентификации временной составляющей осесимметричной механической нагрузки по результатам регистрации разности потенциалов между электродами выходной секции пьезокера- мического слоя, возникающей в результате деформирования оболочки. Р Е ЗЮМ Е . Досліджено нестаціонарні осесиметричні деформації незамкненої сферичної бі- морфної (метал – п’єзокераміка) оболонки, механічні граничні умови для якої відповідають умовам жорсткого защемлення, електричні умови – змішані. Для опису перехідних процесів використано рівняння теорії тонких електропружних оболонок. Визначення початкової різниці потенціалів, як і додаткових навантажень, що вводяться для задоволення механічних граничних умов, здійснено чисе- льно на основі отриманої системи інтегральних рівнянь Вольтерра з використанням регуляризуючого алгоритму Тихонова. Наведено числові результати, вірогідність яких оцінено на основі зіставлення їх зі скінченно-елементними розв’язками задач. 1. Борисейко В.А., Мартыненко В.С., Улитко А.Ф. К теории пьезокерамических оболочек // Матем. физика. – 1977. – Вып. 21. – С. 71 – 76. 2. Голоскоков Е.Г., Филиппов А.П. Нестационарные колебания деформируемых систем. – К.: Наук. думка, 1977. – 339 с. 3. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 466 с. 4. Карнаухов В.Г., Михайленко В.В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел при моногармоническом нагружении. – Житомир: Изд-во ЖГТУ, 2005. – 428 с. 5. Механика связанных полей в элементах, конструкций: В 5-ти т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 5. Электроупругость / Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. – К.: Наук. думка, 1989. – 280 с. 6. Методы расчета оболочек: В 5-ти т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 5. Теория нестационарной аэро- гидроупругости оболочек / Гузь А.Н., Кубенко В.Д. – К.: Наук. думка, 1982. – 400 с. 7. Моргун И.О., Савин В.Г. Экспериментальные исследования переходных режимов работы одномо- довых сферических пьезокерамических преобразователей // Электроника и связь. – 2009. – № 1. – С. 54 – 57. 8. Рудницкий С.И., Шарапов В.М., Шульга Н.А. Колебания дискового биморфного преобразователя типа металл – пьезокерамика // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 10. – С. 64 – 72. 9. Савин В.Г., Моргун И.О. Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой // Электроника и связь. – 2006. – № 6. – С. 36 – 42. 73 10. Савин В.Г., Моргун И.О. Преобразование электрических импульсов в акустические экранирован- ной сферической пьезокерамической оболочкой // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 2. – С. 133 – 142. 11. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некоррект- ных задач. – М.: Наука, 1990. – 229 с. 12. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы. – М.: Наука, 1964. – 344 с. 13. Янютин Е.Г. Импульсное деформирование упругих элементов конструкций. – К.: Наук. думка, 1993. – 146 с. 14. Янютин Е.Г., Янчевский И.В. Импульсные воздействия на упругодеформируемые элементы кон- струкций. – Харьков: Изд-во ХАДИ, 2001. – 184 с. 15. Babaev A.E., Yanchevskii I.V. Identification of the shock load on an electroelastic bimorph disk // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 5. – P. 560 – 567. 16. Dobrucki A.B., Pruchnicki P. Theory of piezoelectric axisymmetric bimorph // Sensors and Actuators A: Physical. – 1997. – 58, Iss. 3. – P. 203 – 212. 17. Karnaukhov V.G., Tkachenko Ya.V. Active damping of the resonant vibrations of a flexible viscoelastic rectangular plate // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 4. – P. 457 – 464. 18. Paul J., Titterton Jr. Synthesis of optimal, single-frequency, passive control laws with application to reducing the acoustic radiation from a submerged spherical shell // J. Acoust. Soc. Am. – 1999. – 105, N·4. – P. 2261 – 2268. 19. Scandrett C. Scattering and active acoustic control from a submerged spherical shell // J. Acoust. Soc. Am. – 2002. – 111, Iss. 2. – P. 893 – 907. 20. Shul'ga N.A., Grigor'eva L.O. Electroelastic two-dimensional nonstationary vibrations of a piezoceramic body under mechanical loading // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 493 – 499. 21. Wang C.-Y., Vaicaitis R. Active control of vibrations and noise of double wall cylindrical shells // J. of Sound and Vibration. – 1998. – 216, Iss. 5. – P. 865 – 888. Поступила 01.12.2011 Утверждена в печать 22.11.2012

Колебания незамкнутой двухслойной электроупругой сферической оболочки при импульсном электромеханическом нагружении

Institution

Ähnliche Einträge