Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной
У межах точного підходу надано постановку та розв'язок плоскої задачі стійкості шарнірно закріпленої (в інтегральній формі) пластини з центральною тріщиною. Пластина перебуває при стиску вздовж напрямку тріщини поверхневим навантаженням постійної інтенсивності у неоднорідному докритичному стані...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87764 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной / Е.Ю. Бащук, В.Ю. Бойчук // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 89-98. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87764 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877642015-10-25T03:02:27Z Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной Бащук, Е.Ю. Бойчук, В.Ю. У межах точного підходу надано постановку та розв'язок плоскої задачі стійкості шарнірно закріпленої (в інтегральній формі) пластини з центральною тріщиною. Пластина перебуває при стиску вздовж напрямку тріщини поверхневим навантаженням постійної інтенсивності у неоднорідному докритичному стані. Виявлено механічні ефекти які зумовлені наявністю неоднорідності основного напруженого стану. Within the framework of the exact approach, the statement and solution is given for the plane problem of stability of the hinged (in the integral form) plate with the central crack. The plate is compressed along the crack direction by the surface loading of constant intensity in the inhomogeneous subcritical state. The mechanical effects due to presence of inhomogeneity of the basic stress state are revealed. 2013 Article Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной / Е.Ю. Бащук, В.Ю. Бойчук // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 89-98. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87764 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
У межах точного підходу надано постановку та розв'язок плоскої задачі стійкості шарнірно закріпленої (в інтегральній формі) пластини з центральною тріщиною. Пластина перебуває при стиску вздовж напрямку тріщини поверхневим навантаженням постійної інтенсивності у неоднорідному докритичному стані. Виявлено механічні ефекти які зумовлені наявністю неоднорідності основного напруженого стану. |
| format |
Article |
| author |
Бащук, Е.Ю. Бойчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Бащук, Е.Ю. Бойчук, В.Ю. Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной Прикладная механика |
| author_facet |
Бащук, Е.Ю. Бойчук, В.Ю. |
| author_sort |
Бащук, Е.Ю. |
| title |
Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной |
| title_short |
Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной |
| title_full |
Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной |
| title_fullStr |
Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной |
| title_full_unstemmed |
Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной |
| title_sort |
влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87764 |
| citation_txt |
Влияние неоднородности основного напряженного состояния на критические параметры устойчивости пластины с трещиной / Е.Ю. Бащук, В.Ю. Бойчук // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 89-98. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT baŝukeû vliânieneodnorodnostiosnovnogonaprâžennogosostoâniânakritičeskieparametryustojčivostiplastinystreŝinoj AT bojčukvû vliânieneodnorodnostiosnovnogonaprâžennogosostoâniânakritičeskieparametryustojčivostiplastinystreŝinoj |
| first_indexed |
2025-07-06T15:26:43Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:26:43Z |
| _version_ |
1836911798590111744 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 3
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 3 89
Е .Ю . Б ащ у к , В .Ю .Б о й ч у к ,
ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ОСНОВНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ НА КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ УСТОЙЧИВОСТИ
ПЛАСТИНЫ С ТРЕЩИНОЙ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;e-mail: numer@inmech.kiev.ua
Abstract. Within the framework of the exact approach, the statement and solution is
given for the plane problem of stability of the hinged (in the integral form) plate with the
central crack. The plate is compressed along the crack direction by the surface loading of
constant intensity in the inhomogeneous subcritical state. The mechanical effects due to
presence of inhomogeneity of the basic stress state are revealed.
Keywords: hinged (in the integral form) plate, central crack, inhomogeneous subcritical
state, exact approach.
Введение.
В настоящее время решение задач устойчивости деформируемых твердых тел с тре-
щинами осуществляется, в основном, с использованием прикладных подходов, позво-
ляющих свести трехмерные уравнения к одномерным или двумерным. Наиболее часто
используется балочный подход. Суть его состоит в том, что область, содержащая трещи-
ну, заменяется областью, имеющую форму стержня (балки), длина которой принимается
равной длине трещины, а ширина выбирается, исходя из соображений физического ха-
рактера. Граничные условия на концах стержня выбирают по-разному – от шарнирного до
жесткого защемления. Таким образом, при применении балочного приближения, кроме
погрешностей приближенного подхода, имеют место неустранимые погрешности, свя-
занные с формулировкой граничных условий на торцах стержня. Отметим, что балочный
подход применим к задачам устойчивости тел с трещинами только в случае однородного
начального состояния. Оценка достоверности результатов, полученных в рамках балочно-
го приближения, является достаточно актуальной задачей как с количественной, так и с
качественной точек зрения, и она может быть выполнена с использованием уравнений
трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ)
[4, 5]. Оценка погрешности балочного приближения в задаче устойчивости пластины с
трещиной при однородном докритическом состоянии дана в работе [2].
В работах [1, 3] в рамках второго варианта ТЛТУДТ исследована задача устойчи-
вости прямоугольной пластины с центральной трещиной для случая однородного на-
чального состояния. В данной статье рассмотрена аналогичная задача устойчивости
пластины с трещиной при неоднородном начальном состоянии.
Для деформируемых тел и элементов конструкций, находящихся в условиях од-
нородного начального состояния разработана и достаточно развита методика решения
задач ТЛТУДТ, в которой применим операторный метод решения уравнений
ТЛТУДТ [4, 5]. Если начальное состояние неоднородно, то операторный метод не
применим. В этом случае не применим также и балочный подход. При неоднородном
начальном состоянии решение уравнений ТЛТУДТ существенно усложняется необ-
ходимостью определения начальных напряжений
o
ij из решений соответствующей
задачи теории упругости и использования этих напряжений в качестве переменных
параметров в уравнениях ТЛТУДТ.
90
В силу определенной трудности численного решения задач ТЛТУДТ в настоящее
время при решении задач устойчивости, в основном, рассматриваются двумерные
задачи [9 – 11].
В случае необходимости решения общих (при неоднородном начальном состоянии)
уравнений ТЛТУДТ целесообразно, для определенных классов задач, исследовать
влияние неоднородности на критические параметры устойчивости рассматриваемых тел
и в случае малого их различия заменять неоднородное состояние однородным.
Ниже рассмотрена задача ТЛТУДТ для изотропной прямоугольной пластины с
центральной трещиной при неоднородном начальном состоянии. По торцам пластины
в направлении трещины приложена сжимающая нагрузка p
постоянной интенсив-
ности. Условия закрепления торцов соответствуют в интегральной форме условиям
шарнирного закрепления [5]. Для приближенного решения задачи применен модифи-
цированный вариационно-разностный метод с использованием концепции базовой
схемы [6]. Для конкретного примера получены критические параметры устойчивости
пластины с трещиной. Получено также решение аналогичной задачи ТЛТУДТ для
однородного начального состояния и выполнено сравнение результатов. Установлено,
что для шарнирно закрепленной (в интегральной форме) пластины с центральной тре-
щиной неоднородность начального состояния можно не учитывать.
§1. Постановка задачи ТЛТУДТ.
Рассмотрим прямоугольную изотропную пластину, достаточно протяженную в
направлении 30x и имеющую в этом направлении сквозную трещину длиной 2t .
Вдоль оси 20x (в направлении трещины) пластина сжимается нагрузкой постоянной
интенсивности
o
p , обеспечивающей в теле пластины состояние плоской деформации
(плоскость 1 20x x ) (рис. 1, а). К решению задачи устойчивости применим уравнения
ТЛТУДТ и используем второй вариант теории [4].
Рис. 1
91
Для решения задачи (уравнений ТЛТУДТ) необходимо предварительно получить
решение соответствующей задачи линейной теории упругости, из которой определяем
начальные напряжения ij
в теле (пластине) с трещиной. Расчетная схема задачи, с
учетом симметрии решения, приведена на рис. 1, б. Сформулируем задачу теории уп-
ругости.
1.1.Постановка задачи. Определим функцию 1 2(u , u )
u , удовлетворяющую та-
кие соотношения:
уравнение равновесия
im
m
i
F
x
( x 0); (1.1)
граничные условия
1 0m
, 1 1 2 2x l x l ; 1 22u 0 p
, 1 1 2 2x l x l ; (1.2)
условия на трещине
1 0m
, 1 20x x t . (1.3)
Закон Гука для изотропного тела имеет вид
ii mmimA
; 12 122G
; 2iiA G ; 12A ;
1
2
i j
ij
j i
u u
x x
;
(1 ) 1 2
Ev
v v
;
2(1 )
E
G
v
. (1.4)
В соотношениях (1.1) – (1.4) обозначено: – расчетная область; mF
– компонента
массовой силы; 1 2( , )x xx – точка расчетной области; ijA – упругие постоянные (ко-
эффициенты жесткости); G – модуль сдвига; – коэффициент Ламе. В (1.3) 0x
соответствует левому берегу трещины.
Задачу (1.1) – (1.4) запишем в операторной форме
° °
u =Α Ф или u mmA Ф
; x ; (1.5)
1 1 1 2 2
1 22 1 1 2 2
1 1 2
, ;
, ;
, ;
, 0 ;
im
i
m
m
m
x
x l x lA
u x l x l
x x t
x
u mФ
=
0
0
0
mF
p
. (1.6)
92
В (1.5), (1.6) дано запись операторного уравнения в векторной и координатной
формах;
o
mF – компонента вектора объемной силы;
o
p – компонента поверхностной
силы, действующая на границе 2 constx .
1.2. Численное решение задачи упругости. Приближенное решение задачи полу-
чим на основе метода конечных разностей.
Сеточные уравнения строим при помощи модификации вариационно-разностного
метода [6]. Модификация состоит в том, что использующийся здесь функционал Ла-
гранжа рассматриваем в области h , которую занимает базовая ячейка сетки. На
шаблоне базовой ячейки функционал аппроксимируем и минимизируем. Базовая
ячейка представляет собой произвольно принятую прямоугольную ячейку на обычной
сетке. На рис. 2 показано, что область , которую занимает пластина, представлена
объединением прямоугольных областей.
Рис. 2
Пусть обычная сетка (рис. 2, а) имеет N узлов и M ячеек. Заметим, что трещина
учитывается тем, что сеточная область разделяется на четыре прямоугольные об-
ласти. При наличии большего числа трещин (параллельных координатным осям) об-
ласть разделяем на большее число прямоугольных областей.
На обычной сетке выбираем произвольную ячейку сетки (на рис. 2, а она вы-
делена), называемую базовой ячейкой. Наличие базовой ячейки предполагает, что она
однородна. Базовая ячейка, а значит и базовая схема однородны ( все ячейки сетки
обрабатываем по одному правилу).
На базовой сетке введены обозначения (рис. 2, б): 1 2( ) ( , ) ( 1, 2)i –
параметр (бииндекс) ячейки, i i , 0i . Компонента i параметра соответству-
ет направлению координаты ix . При переходе к соседней точке компонента i меняет
знак на – i , т.е. i меняется на i i (рис. 2, б); параметр упорядочен сле-
дующим образом: (1,2), ( 1, 2), ( 1, 2) , (1, 2 ) .
93
Сеточная векторная функция 1 2( ) ( , )z z z в узлах ячейки обозначена следующим
образом: 1 2
0 ( ) ( , )z z z z
– значение z в узлах 0 . Символ 0 означает рас-
сматриваемый (или несдвинутый) узел; 3 3( , ) ( , )i i i i
iz z z
– функция z в
узле, соседнем с узлом , по направлению с узлом iox (сдвинутый узел); 21z
–
функция z , сдвинутая по обеим направлениям.
Ячейку наделяем также геометрическими характеристиками (она имеет площадь
1 2h h h , где ih – шаг сетки в направлении iox ) и техническими постоянными ,E v
материала, который ее заполняет.
Ячейка сетки занимает область 1 2h h h h . На шаблоне ячейки h сетки вво-
дим величины , ,ij ij me y – аналоги континуальных величин , ,ij ij mu . Остальные
сеточные величины обозначаем так же, как и соответствующие континуальные вели-
чины. Разностный аналог закона Гука (1.4) записываем в форме
ii ik kkA e ; 12 122Ge ; 12 0,5( , , )
j ii je y y , (1.7)
,
j
j
j
ii
i
yy
y
или , sign( )
j
j
j
ii
i j
yy
y
h
(1.8)
– разностная производная по направлению iox , правая при 0i . В (1.8) обозначе-
но: sign( )
j jj h – знакопеременный шаг ячейки; sign( ) 0
j jjh – знако-
постоянный шаг. В силу знакопостоянности шага сетки имеет место соотношение
j j j
h h h > 0.
1.3. Построение сеточных уравнений задачи теории упругости. При построении
сеточных уравнений удобнее всего начинать построение произвольной задачи с пер-
вой основной задачи. После построения базовой схемы, соответствующей первой за-
даче, базовую схему реальной задачи получаем заменой аппроксимации граничного
условия в напряжениях ,
imij ijp x S на аппроксимацию реальных граничных ус-
ловий. Заменим в (1.6) условие
o ο
1 1u U на условие
ο ο
21 21p , а объемная сила 0mF .
Запишем функционал Лагранжа, соответствующий первой задаче теории упругости
(знак "
" сверху опускаем);
= ( , ) - 2( , )I Au u Φ u 2
m
m m m im m
S
A u u d p u ds
2
m
ij ij im m
S
d p u ds
.
2 2 2
1 2 1 2 1 2
11 22 12
1 2 1 2 2 1
2
u u u u u u
I A A A G d
x x x x x x
2 .
im
im
im im
S
p u dS
(1.9)
Функционал (1.9) выписываем на шаблоне базовой сетки и аппроксимируем по фор-
муле обобщенных трапеций, что приводит базовую схему к однородной. Тогда имеем
равенства:
1 2 1 2 2 1
2
2 2 2
11 1 22 2 12 1 2 1 2
0
, , 2 , , , ( , , ) .h
k
I A y A y A y y G y y h
(1.10)
94
Из минимума функционала hI в произвольном узле ячейки сетки 1 2( , ) полу-
чим однородную базовую операторную схему ( )c
( ) ( ) ( ) 0c a y , (1.11)
которую записываем так:
( ) ( )a y или ( ) ( )im h ma y . (1.12)
Разностные операторы ( )a и ( )ima называют, соответственно, базовым опера-
тором и компонентой базового оператора, а величины и m – разностной функцией
и ее компонентой.
В результате минимизации функционала получим следующие выражения для со-
ставляющих базовой схемы:
( )
i
i
im im
im ia y h
( s );
2
sign( )m i m im
i
F P
h
. (1.13)
Базовую функцию ( )m для
im
s определяем из базового оператора ( )ima раз-
ложением функции i
im
в ряд Тейлора с удерживанием двух членов разложения и
использования затем уравнения равновесия / 0im i (так называемая аппрок-
симация на решении [8]).
Получим представление ( )im . Фиксируем произвольную координату ячейки.
На шаблоне ячейки в окрестности точки 1 2( , ) разложим составляющие базовой
схемы в ряд Тейлора, удерживая два члена разложения. Получим последовательно с
точностью до 0 ( )ih
( ) ( )
( )
i
i
im im
im ma y h
( ) ( ) i
i
im imh
2
i
im
i im
i
h
h
;
( ) ( )im m ma y 2
i
im
i im
i
h
h
.
Если рассматриваемый узел принадлежит границе
im
s , то im imP в силу то-
го, что базовая ячейка прямоугольная и грани ячейки параллельны координатным
осям (рис 2, б). В соответствии с уравнениями равновесия в области h , которую за-
нимает ячейка сетки, имеем im i mF . Поэтому последнее соотношение прини-
мает вид
( ) ( )im m ma y 2
i
i imm
h
h F P
.
Последнее уравнение запишем также через переменную ih . Имеем последова-
тельно:
( )m 2
i
i imm
h
h F P
2
sign( ) i imm
i i
h
h F P
h
2
sign( )
2
sign( )
i i
i imm
i i
h h
h F P
h
=
sign( ) 2i i imm
i
h
h F P
h
sign( ) 2( )i m im ih F P h ; (1.14)
( )im ma y sign( ) 2( )i m im ih F P h .
95
Из базовой операторной схемы выписывается в явном виде глобальная разностная
схема.
Поскольку конструкция тонкостенная, то для получения достаточно точных ре-
зультатов при определении критических параметров устойчивости целесообразно ис-
пользовать процедуру оптимизации расчетов. Для этого, кроме базовой операторной
схемы, используем базовую матричную схему [1].
Базовая матричная схема. Она строится на основе базовой операторной схемы.
Запишем базовый оператор в форме ( )a y a y . Таким образом, имеем систему ал-
гебраичных (матричных) уравнений
[ ]a y . (1.15)
В (1.15) матрица [ ]a называется базовой матрицей, она блочная и записывается в
виде [ ] ima a , где ima – базовые блоки. Это – квадратные матрицы четвертого
порядка (по числу компонент бииндекса (рис 2, б). Вектор называем базовым
вектором. Компонентная форма записи (2.10) имеет вид
im i ma y , 1, 2i m , (1.16)
где m – m -ая компонента базового вектора , которая определяется из (1.14);
im ia y определяем как
( ) i
i
im i im im
h
a y
,, ) (1 ) ×i
k k
i
im ik k k im im
h
A y y G
× , , , , )i i
m m i ii i m my y y y
= (1.17)
3 3
3 3 3 3
3
,3 3 , 3 , , , , 3 ,
3
2 m i m
m m i m m m
m m
m m m m m m m m
m m
h h
A y y y G y y y
h h
.
1.4. Постановка задачи устойчивости. Для определения критических параметров
следует определить минимальное по модулю и отличное от нуля собственное реше-
ние ( , )p
u спектральной задачи, удовлетворяющей следующие уравнения:
уравнения в возмущениях
2 2 2
1 1 2 1 1
11 1211 122 2
1 2 1 2 1 1 2
u u u u u
A G A G p
x x x x x x x
1 1
21 22
2 1 2
0;
u u
x x x
2 2 2
2 1 1 2 2
11 1222 212 2
2 1 1 2 1 1 2
u u u u u
A G A G p
x x x x x x x
(1.18)
2 2
21 22
2 1 2
0, ;
u u
x x x
x
граничные условия
1 2 2
1 21 22 22
1 2 2
0 0
u u u
u A A p
x x x
1 1 2 2 ;x l x l
96
1 2 1 2
11 12
1 2 2 1
0 0
u u u u
A A
x x x x
1 1 2 2 ;x l x l
(1.19)
условия на сторонах трещины
1 2 1 2
11 12
1 2 2 1
0 0
u u u u
A A
x x x x
1 20 .x x t (1.20)
Закон Гука соответствует соотношениям (1.4), в которых следует опустить индекс «о».
Критическую нагрузку определяем согласно формуле
1
1
1 1
1
( )
2
l
кр
l
p
p p x dx
l
. (1.21)
Задача (1.18) – (1.21) является некорректной, т.к. имеется простое нулевое собствен-
ное решение
, 0, (0, ) constp c c u . (1.22)
Для разрешимости задачи (1.18) – (1.21) необходимо выполнение равенства
0d
u u , (1.23)
которое с учетом (1.23) сводится к виду
2u 0d
. (1.24)
Задача (1.18) – (1.21), (1.24) является полностью определенной и поэтому крити-
ческие параметры пластины соответствуют первым собственным решением, т. е.
1p p
и
1u u .
§2. Числовые результаты и их анализ.
Для приближенного решения задачи упругости используем метод Холецкого и метод
сопряженных градиентов [7], а для приближенного решения уравнений ТЛТУДТ ис-
пользуем метод итерирования подпространства и градиентный метод [8].
Рассматриваем изотропную линейно-упругую пластину с техническими постоян-
ными 250E ГПа, 0, 25v . Геометрические характеристики изменяются в пределах
0,05 0,3; 1a t . Результаты численного решения задачи представлены на рис. 3 – 6.
На основе результатов решения задачи установлено, что при 0,1 0,3a берега
трещины раскрываются в начальном состоянии (рис. 3) и не взаимодействуют (нет рас-
Рис. 3
Рис. 4
97
крытия и надавливания) в возмущенном состоянии. При 0,3a и 0,8t берега тре-
щины взаимодействуют в начальном состоянии и в возмущенном. На рис. 4 показаны
графики функций 1 1( )u x при 2x = const. Видно, что неоднородность сохраняется при
1 1 2( , 0 0, 475)u x x . На рис. 5 представлена форма потери устойчивости пластины.
Кривые 1, 2 соответствуют функциям 1 2( )u x в сечениях 1 constx . Функция 1 1 2( , )u x x
достаточно точно описывается формулой
1 1 2 1 2 2( , ) ( ) cos / 2u x x A x x l (2.1)
Функция четная и принимает максимальное значение в точке (0,0)x , а мини-
мальное – в точках 2(0, )x l .
Для случая однородного и неоднородного основных состояний установлены сле-
дующие результаты, являющиеся качественно различными: при однородном началь-
ном состоянии трещина не раскрывается до момента потери устойчивости, а при не-
однородном – берега трещины расходятся; в случае однородного начального состоя-
ния форма потери устойчивости (возмущения смещений) не приводит к надавлива-
нию или раскрытию берегов трещины во всем интервале ее изменения, а при неодно-
родном начальном состоянии для 0,3 0,8a t возмущения смещений представля-
ют собой раздвоенную по линии трещину пластины (рис. 6).
Для случая однородного и неоднородного основных состояний установлены следую-
щие качественно одинаковые результаты: в возмущенном состоянии берега трещины
имеют вертикальное смещение. При этом одна сторона трещины является растянутой, а
другая – сжатой. Формы потери устойчивости в сечении 1 constx для компоненты
1 2( )u x достаточно точно описывают косинусоиду; амплитуда 1( )A x является нелинейной
функцией и достигает максимума (минимума) при (0,0)x (при 2(0, )x l ).
При решении задачи установлено, что неоднородность незначительно (менее 5%)
уменьшает значения критической нагрузки. Для 0,1a имеем: H
kp 2,052P ;
o
kp 2,091P ( 2%).
Заключение.
Дана постановка и получено решение задачи о трехмерной устойчивости шарнир-
но закрепленной (в интегральной форме) пластины, находящейся в условиях одноос-
ного сжатия и неоднородного начального состояния. Приближенное решение получе-
но модифицированным вариационно-разностным методом. Проведен сравнительный
анализ результатов для однородного и неоднородного основных состояний. Выявлены
механические эффекты, обусловленные наличием неоднородности начального напря-
женного состояния.
Рис. 5
Рис. 6
98
Р Е ЗЮМ Е . У рамках точного підходу дано постановку та розв’язок плоскої задачі стійкості
шарнірно закріпленої (в інтегральній формі) пластини з центральною тріщиною. Пластина перебуває
при стиску вздовж напрямку тріщини поверхневим навантаженням постійної інтенсивності у неод-
норідному докритичному стані. Виявлено механічні ефекти, які зумовлені наявністю неоднорідності
основного напруженого стану.
1. Гладун Е.Ю. Зависимость критической нагрузки от геометрических характеристик шарнирно за-
крепленной пластины с трещиной // Прикл. механика. – 2000. – 36, № 9. – С. 112 – 122.
2. Гладун Е.Ю., Гузь А.Н., Коханенко Ю.В. Оценка погрешности балочного приближения в плоской
задаче устойчивости прямоугольной пластины с центральной трещиной // Прикл. механика. –
2004. – 40, № 11. – С. 117 – 126.
3. Гузь А.Н., Гладун Е.Ю., О трехмерной устойчивости пластин с трещиной // Прикл. механика. –
2001. – 37, № 10. – С. 53 – 62.
4. Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. – К.: Вища шк., 1986. – 512 с.
5. Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1971. – 276 с.
6. Коханенко Ю.В. Численное исследование краевых эффектов в слоистых композитах при одноос-
ном нагружении // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 5. – С. 29 – 45.
7. Парлет Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы / Пер. с англ. – М:
Мир. – 1983. – 384 с.
8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 601 с.
9. Abromovich H., Zarutskii V.A. On Influence of the Ridigity of Ribs at Oscillation and Stability of Un-
closed Cylindrical Shells // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 10. – P. 866 – 876.
10. Babich I.Yu., Zhukova H.B., Semenyuk N.P., Trach V.M. The Stability of Transverse Corrugated Cylin-
drical Shells at Outer Pressure // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 8. – P. 1101 – 1111.
11. Babich I.Yu., Zhukova H.B., Semenyuk N.P., Trach V.M. The Stability of Transverse Corrugated Pressure
// Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 9. – P. – 906 – 917.
Поступила 06.10.2010 Утверждена в печать 22.11.2012
|