Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги
Запропоновано підхід до побудови оптимальних траєкторій міжпланетних перельотів з комбінуванням великої та малої тяги, оснований на застосуванні модифікованого методу транспортуючої траєкторії для оптимізації геліоцентричної ділянки. На прикладі перельоту Земля - Марс за 180 діб проведено порівняльн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87802 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги / А.М. Харитонов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 108-121. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87802 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-878022015-10-26T03:02:10Z Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги Харитонов, А.М. Запропоновано підхід до побудови оптимальних траєкторій міжпланетних перельотів з комбінуванням великої та малої тяги, оснований на застосуванні модифікованого методу транспортуючої траєкторії для оптимізації геліоцентричної ділянки. На прикладі перельоту Земля - Марс за 180 діб проведено порівняльний аналіз траєкторій і параметрів космічного апарату, оптимальних під час застосування класичного та модифікованого методів транспортуючої траєкторії. An approach is proposed to construct the optimal trajectories of interplanetary transfers with combination of the high trust and low trust. It is based on using the modified method of carrying trajectory to optimize the heliocentric part of trajectory. On an example of transfer Earth – Mars with duration of 180 astronomical days, a comparative analysis is carried out for trajectories and parameters of spacecraft, which are optimal, when the classic and modified methods of carrying trajectory are using. 2013 Article Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги / А.М. Харитонов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 108-121. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87802 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано підхід до побудови оптимальних траєкторій міжпланетних перельотів з комбінуванням великої та малої тяги, оснований на застосуванні модифікованого методу транспортуючої траєкторії для оптимізації геліоцентричної ділянки. На прикладі перельоту Земля - Марс за 180 діб проведено порівняльний аналіз траєкторій і параметрів космічного апарату, оптимальних під час застосування класичного та модифікованого методів транспортуючої траєкторії. |
| format |
Article |
| author |
Харитонов, А.М. |
| spellingShingle |
Харитонов, А.М. Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги Прикладная механика |
| author_facet |
Харитонов, А.М. |
| author_sort |
Харитонов, А.М. |
| title |
Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги |
| title_short |
Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги |
| title_full |
Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги |
| title_fullStr |
Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги |
| title_full_unstemmed |
Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги |
| title_sort |
применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87802 |
| citation_txt |
Применение модифицированного метода транспортирующей траектории при оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги / А.М. Харитонов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 108-121. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT haritonovam primeneniemodificirovannogometodatransportiruûŝejtraektoriiprioptimizaciimežplanetnyhpereletovskombinirovaniembolʹšojimalojtâgi |
| first_indexed |
2025-07-06T15:28:11Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:28:11Z |
| _version_ |
1836911891027329024 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 5
108 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, №5
А .М . Х а р и т о н о в
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА
ТРАНСПОРТИРУЮЩЕЙ ТРАЕКТОРИИ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ
МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ С КОМБИНИРОВАНИЕМ
БОЛЬШОЙ И МАЛОЙ ТЯГИ
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,
пр. Глушкова, 4е, 03127, Киев, Украина; e-mail kharytonov@univ.kiev.ua
Abstract. An approach is proposed to construct the optimal trajectories of interplane-
tary transfers with combination of the high trust and low trust. It is based on using the modi-
fied method of carrying trajectory to optimize the heliocentric part of trajectory. On an ex-
ample of transfer Earth – Mars with duration of 180 astronomical days, a comparative
analysis is carried out for trajectories and parameters of spacecraft, which are optimal, when
the classic and modified methods of carrying trajectory are using.
Key words: bi-modal nuclear rocket engine, optimal trajectories of interplanetary trans-
fers, modified method of carrying trajectory.
Введение.
Среди приоритетных направлений современной космонавтики, относящихся к освое-
нию ближнего космоса, следует выделить пилотируемые экспедиции к Луне и Марсу [8,
12, 14]. При планировании таких экспедиций выдвигаются весьма жесткие требования
относительно временных и топливных затрат, необходимых для их осуществления. Удов-
летворить этим требованиям можно, применяя перспективные двигательные системы,
оснащенные ядерными источниками энергии, прежде всего − ядерные ракетные двигате-
ли, которые могут использоваться для генерирования как большой, так и малой тяги [1, 9
− 12]. В этой связи задачи оптимизации межпланетных перелетов с комбинированием
большой и малой тяги представляют значительный практический интерес.
Расчет межпланетных траекторий космических аппаратов (КА) с двухрежимными
ядерными ракетными двигателями (ДЯРД) осложняется рядом факторов. Прежде всего,
отметим необходимость учета ограниченности тяги при расчете участков большой тяги.
Для получения предварительных оценок эффективности применения ДЯРД был пред-
ложен [5, 7, 13] упрощенный подход к построению оптимальных траекторий межпла-
нетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги, основанный на модифи-
цированном методе сфер влияния (ММСВ) [4]. При этом принято, что траектория КА
имеет три участка, на каждом из которых учитывается гравитационное влияние только
одного небесного тела. Необходимым для применения указанного подхода условием
является использование аналитического решения для задачи гелиоцентрического дви-
жения с малой тягой. Такое решение получено [5, 7,1 3] с помощью метода транспорти-
рующей траектории (МТТ) [2] в его «нулевом» приближении. Для небольших угловых
дальностей перелета, характерных для пилотируемых полетов, применение такого под-
хода в целом оправдано. В то же время, согласно полученным оценкам [13], выигрыш в
полезной нагрузке от комбинирования большой и малой тяги по сравнению с вариантом
перелета без использования малой тяги не превосходит 8%. При этом погрешность в
значениях функционала при использовании «нулевого» приближения МТТ составляет
около 20% [2], что приводит к погрешности определения массы полезной нагрузки в 2 −
3%. Таким образом, повышение точности определения топливных затрат на выполне-
ние маневра с малой тягой оказывается важной задачей.
109
В данной работе для расчета движения с малой тягой на гелиоцентрических уча-
стках использован модифицированный метод транспортирующей траектории
(ММТТ), предложенный в [6]. Это позволило, сохранив возможность использования
аналитического решения, значительно повысить точность расчета. Сравнение резуль-
татов применения подходов, основанных на МТТ и ММТТ, проведено на примере
оптимизации перелета КА с круговой орбиты спутника Земли на круговую орбиту
спутника Марса за 180 суток.
§1. Постановка задачи.
Рассмотрим задачу о доставке максимальной полезной нагрузки при выполнении
межпланетного перелета (например, перелета Земля − Марс), сформулированную с
помощью плоской круговой модели движения планет вокруг Солнца (рис. 1).
Рис. 1
На рис. 1 e
tv
и m
tv
– планетоцентрические скорости на границах сфер влияния
Земли и Марса, соответствующие перелету по транспортирующей траектории; ev
и
mv
– планетоцентрические скорости на границах сфер влияния, соответствующие
перелету с комбинированием большой и малой тяги; e
orbv
и m
orbv
– орбитальные скоро-
сти Земли и Марса. Штриховой линией, соединяющей точки на круговых гелиоцен-
трических орбитах планет старта и назначения, показана транспортирующая траекто-
рия, а сплошной линией – расчетная траектория перелета.
Общая задача оптимального комбинирования большой и малой тяги сводится к
определению законов управления двухрежимной двигательной системой и распреде-
лению массовых затрат на генерирование тяги (включающих топливные затраты и
массу двигательной системы) между участками большой и малой тяги с целью мак-
симизации полезной нагрузки при заданных стартовой массе КА и времени выполне-
ния перелета [5]. Оптимизируемыми параметрами, определяющими распределение
топливных затрат между участками большой и малой тяги, являются вектора скоро-
стей ev
и mv
. При этом задача оптимизации межпланетного перелета формулируется
как задача оптимального управления динамической системой с разрывами и сменой
фазового пространства, изменение фазовых координат которой описывается уравне-
tO
e
v
x
Орбита
Земли
Орбита
Марса
e
orbv
e
tv
m
orbv
m
v
y
)(tr
)(trt
)(t
m
tv
110
ниями для активных участков в сферах влияния планет старта и назначения. Смена
фазового пространства происходит в момент окончания активного участка маневра в
сфере влияния планеты старта (Земли) и начала второго активного участка в сфере
влияния планеты назначения (Марса). При этом масса КА в момент начала второго
активного участка определяется через конечную массу первого активного участка и
скорости ev
, mv
[5]
1
2
1
( )
( )
1 ( ) ( , )e m
m t
m t
m t J v v
, (1.1)
где 2
* * max *2 elM V N t ( maxelN – максимальная электрическая мощность питания
двигателя малой тяги; * * *, ,M V t – масштабы массы, скорости и времени) – безразмер-
ный энергетический параметр, представляющий собой отношение характерной кине-
тической энергии КА к характерной энергии, потребляемой двигателем малой тяги от
источника энергии; 1( )m t , 2( )m t − безразмерные массы КА в момент окончания пер-
вого и начала второго активного участка, соответственно; ( , )e mJ v v
− оптимальное
значение функционала задачи движения на гелиоцентрическом участке, представ-
ляющего собой интеграл от квадрата абсолютного значения вектора реактивного ус-
корения ( )a t
(
2
1
2
t
t
J a dt ). Это значение зависит от параметров общей задачи оптими-
зации межпланетного перелета ev
и mv
, входящих в краевые условия задачи об оп-
тимизации движения на гелиоцентрическом участке.
В [5] предложены необходимые условия оптимального выбора законов управле-
ния и параметров задачи, включающие соответствующие условия трансверсальности
и условия скачка, позволяющие свести задачу оптимального управления к двухточеч-
ной краевой задаче. Решение краевой задачи выполнено методом стрельбы, т.е путем
минимизации абсолютных значений невязок в граничных условиях на правом конце
траектории за счет выбора оптимизируемых параметров. Для построения алгоритма
численного решения краевой задачи необходимо иметь возможность аналитического
задания входящих в условия скачка производных 2( ) ,e
xm t v 2( ) ,e
ym t v
2( ) ,m
xm t v 2( ) m
ym t v (или, при использовании выражения (1.1), производных
, , ,e e m m
x y x yJ v J v J v J v ) в виде функций оптимизируемых параметров –
компонентов векторов скоростей , , ,e e m m
x y x yv v v v .
При решении задачи движения на гелиоцентрическом участке в точной постанов-
ке аналитически определить указанные производные невозможно, поэтому необходи-
мо использовать упрощенные подходы, одним из которых является МТТ. Согласно
МТТ (рис. 1), радиус-вектор центра масс КА в гелиоцентрической системе координат
( )r t
представляем в виде [2]
( ) ( ) ( ),tr t r t t
(1.2)
где tr
– радиус-вектор начала транспортирующей системы координат, движущейся по
кеплеровской дуге (штриховая линия на рис. 1); ( )t – радиус-вектор центра масс КА
в транспортирующей системе координат tO .
Если отклонение ( , )
истинной траектории КА (сплошная линия на рис. 1)
от транспортирующей кеплеровской дуги невелико, можно выполнить линеаризацию
111
членов уравнений движения, описывающих гравитационное воздействие Солнца и
записать эти уравнения в виде [2]
0 0
2 2
2
;x
U U
a
x yx
0 0
2 2
2
,y
U U
a
x y y
(1.3)
где через U обозначен потенциал гравитационного поля Солнца; ,x ya a − компонен-
ты вектора реактивного ускорения.
При небольших угловых дальностях перелета реактивное ускорение значительно
превосходит возмущения гравитационного ускорения и в уравнениях (1.3) членами,
описывающими эти возмущения, можно пренебречь. При этом, в так называемом
«нулевом» приближении МТТ, задача оптимизации движения на гелиоцентрическом
участке формулируется следующим образом [5]:
2 2
2; ; ; ; ; ( ) min;x y x yv v v a v a J a a J t
1 1 1 1( ) 0; ( ) 0; ( ) ; ( ) ;e e e e
x tx y tyt t v t v v v t v v
2 2 2 2( ) 0; ( ) 0; ( ) ; ( ) ;m m m m
x tx y tyt t v t v v v t v v
1( ) 0,J t (1.4)
где ,v v – компоненты вектора скорости КА в транспортирующей системе коорди-
нат; 1 2,t t – моменты начала и окончания движения на гелиоцентрическом участке,
при этом 2 1T t t − фиксированное время выполнения гелиоцентрического маневра.
Использование «нулевого» приближения МТТ позволяет получить аналитическое
выражение для оптимального значения функционала в задаче (1.4) [5]
2 2
2 1
4
( , ) {( ) ( )( ) ( ) }e m m m m m e e e e
tx x tx x tx x tx xJ v v v v v v v v v v
t t
2 2{( ) ( )( ) ( ) } .m m m m e e e e
ty y ty y ty y ty yv v v v v v v v (1.5)
Возникающие вследствие линеаризации погрешности определяются величинами
отбрасываемых членов уравнений движения, описывающих возмущения гравитаци-
онного ускорения при переходе от транспортирующей траектории к истинной. Как
следует из уравнений (1.3), влияние указанных возмущений тем больше, чем больше
абсолютные значения компонентов вектора ( , )
. На рис. 1 показано характер-
ное расположение оптимальных траекторий перелета относительно транспортирую-
щей кеплеровской дуги. В каждом конкретном случае оптимальная траектория опре-
деляется соответствующими граничными условиями в задаче (1.4). Как следует из
рис. 1, в достаточно широком угловом секторе, относящемся к конечной фазе манев-
ра, отклонения оптимальных траекторий от транспортирующей весьма значительны.
Именно это обстоятельство и определяет существенные (20−25%) погрешности при
определении оптимальных значений функционала при использовании «нулевого»
приближения МТТ [2]. Таким образом, очевидно, что для повышения точности расче-
та транспортирующую траекторию следует сдвинуть так, чтобы уменьшить указан-
ные отклонения. Эта идея лежит в основе модификации метода транспортирующей
траектории [6]. Согласно ММТТ транспортирующая траектория представляет собой
кусочно-гладкую кривую, образованную отрезками кеплеровских дуг, соединяющих
заранее выбранные точки пространства. При выборе опорных точек, в данном случае
112
следует учесть необходимость выполнения параметрической оптимизации, заклю-
чающейся в выборе оптимальных значений максимальной тяги maxP , определяющей
массу подсистемы большой тяги и максимальной электрической мощности maxelN ,
определяющей массу подсистемы малой тяги. Параметрическая оптимизация выпол-
няется численно, путем перебора значений параметров. Каждой паре значений
max max, elP N соответствуют свои оптимальные векторы ev
, mv
и, следовательно, своя
оптимальная траектория движения на гелиоцентрическом участке. Учитывая, что при
выполнении параметрической оптимизации, с целью уменьшения объема расчетов,
целесообразно использовать общую для всех пар параметров max max, elP N транспор-
тирующую траекторию, в качестве опорных, естественно, выбрать точки, распола-
гающиеся на оптимальной траектории, соответствующей значениям 0 0
max max, elP N , оп-
тимальным при решении задачи с помощью «нулевого» приближения МТТ. Как сле-
дует из приведенных ниже результатов, указанный выбор транспортирующей траек-
тории позволяет обеспечить приемлемую для получения предварительных оценок
точность определения топливных затрат на гелиоцентрическом участке в достаточно
широкой области изменения параметров, окружающей 0 0
max max, elP N .
§2. Применение модифицированного метода транспортирующей траектории.
Прежде всего, отметим, что в случае круговых планетоцентрических орбит старта
и назначения при постановке внутренних задач ММСВ направления векторов асим-
птотических скоростей ev
и mv
могут задаваться произвольно. Эти направления оп-
ределяются, исходя из решения внешней задачи, а именно – из решения следующей
задачи на условный экстремум [5]:
( , , , ) min;e e m m
x y x yJ v v v v 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) .e e e m m m
x y x yv v v v v v (2.1)
Из необходимых условий минимума соответствующей функции Лагранжа могут
быть получены следующие соотношения:
1 1 1 1
;
e e e e m m m m
x x y y x x y y
J J J J
v v v v v v v v
. (2.2)
Согласно (2.2) только две из четырех компонентов векторов скоростей
( , )e e e
x yv v v
и ( , )m m m
x yv v v
являются независимыми. Таким образом, применение
необходимых условий оптимальности для общей задачи оптимизации межпланетного
перелета требует определения оптимального значения функционала J в виде функции
двух независимых параметров оптимизации (например, ( , )e m
x xJ J v v ) и вычисления со-
ответствующих производных ( ,e m
x xJ v J v ) [5]. Опишем алгоритм определения ука-
занных величин при описании движения на гелиоцентрическом участке с помощью ММТТ.
Следуя ММТТ [6], примем, что начало транспортирующей системы координат
tO движется по кривой (транспортирующей траектории), состоящей из n гладких
участков, каждый из которых представляет собой кеплеровскую дугу. В 1n момент
сопряжения этих дуг , 1, 1it i n , транспортирующая траектория непрерывна, однако
скорость движения начала координат tO имеет разрыв. Обозначим
; ( 1, 1),i i i i i i
x x x y y yv v v v v v i n (2.3)
где индексом «+» обозначены компоненты векторов скоростей справа, а индексом «–»
− слева от точки сопряжения. Кроме того, обозначим через 0 0t момент начала
движения, а через nt T − момент его окончания.
113
При использовании «нулевого» приближение МТТ уравнения движения и гра-
ничные условия распадаются на две независимые части, содержащие проекции на оси
tO и tO . Для каждой из частей независимо может быть сформулирована своя ва-
риационная задача. Запишем постановку задачи для части, содержащей проекции на
ось tO . Для части, содержащей проекции на tO , постановка имеет совершенно
аналогичный вид, только индексы « x » и « » следует, соответственно, заменить на
« y » и « ».
На произвольном i -ом участке движения начала транспортирующей системы ко-
ординат уравнения движения в проекции на ось tO запишем в виде
2; ; .i
x x xv v a J a (2.4)
Форма граничных условий зависит от расположения соответствующего участка.
При этом отдельно следует выделить первый и последний участки, поскольку только
для этих участков в запись граничных условий входят параметры оптимизации ,e m
x xv v .
Для первого участка ( 0 1[ , ]t t t ) имеем
0 1 1( ) 0; ( ) ;t t 1
0 1( ) ; ( ) ;ev t v v t v 1 1
0 1( ) 0; ( ) min,x xJ t J t (2.5)
( )e e e
x txv v v . (2.6)
Для внутренних участков ( 1[ , ], 1, 2,i it t t i n ) −
1 1( ) ; ( ) ;i i i it t 1
1( ) ; ( ) ;i i i
i x iv t v v v t v
1( ) 0; ( ) min .i i
x i x iJ t J t (2.7)
Для завершающего n -го участка ( 1[ , ]n nt t t ) −
1 1
1 1 1( ) ; ( ) 0; ( ) ;n n
n n n n xt t v t v v
1( ) ; ( ) 0; ( ) minm n n
n x n x nv t v J t J t (2.8)
( m m m
x txv v v ). (2.9)
Для одномерной задачи оптимизации перехода КА из начального положения
0 0( , )v в конечное 1 1( , )v при движении в бессиловом поле можно получить аналити-
ческое выражение для оптимального значения интегрального функционала J [3]
2
2 2 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 2
1 0 1 01 0
( ) ( )( )4
3 3
( )( )
v v
J v v v v
t t t tt t
. (2.10)
В соответствии с ММТТ [6], параметры i и iv , определяющие положение и ско-
рость в момент перехода от i -го участка транспортирующей траектории к 1i -ому,
следует выбирать, исходя из условия минимума общего функционала задачи
1
( )
n
i
x x i
i
J J t
. Выражение, определяющее ( )i
x iJ t , строится путем выбора соответст-
вующих условий из (2.5), (2.7), (2.8) и их подстановки в (2.10).
Составляя производные x iJ и i
xJ v и приравнивая их к нулю, приходим
к системе из 2( 1)n линейных уравнений относительно 2( 1)n неизвестных i и iv
( 1, 1i n )
114
xAx b
, (2.11)
где 2( 1)n -мерный вектор x
строится следующим образом:
1 2 1
1 2 1( , , , ,..., , )n T
nx v v v
. (2.12)
Компоненты матрицы
11 1,2 2
2 2,1 2 2,2 2
...
. . .
...
n
n n n
a a
A
a a
и вектора 1 2 2( ,..., )T
x x x nb b b
имеют такой вид:
2 1,
2 ,
0,
( 1,2 4, 3, 2);
0,
i j
i j
a
j i i n
a
3 2
2 1,2 3 , 1 2 1,2 2 , 1
2
2 ,2 3 , 1 2 ,2 2 , 1
2 ; 1 ;
( 2, 2);
3 ; 1 ;
i i i i i i i i
i i i i i i i i
a t a t
i n
a t a t
3 3 2 2
2 1,2 1 1, , 1 2 1,2 1, , 1
2 2
2 ,2 1 1, , 1 2 ,2 1, , 1
2 1 1 ; 1 1 ;
( 1, 1);
3 1 1 ; 2 1 1 ;
i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i
a t t a t t
i n
a t t a t t
3 2
2 1,2 1 1, 2 1,2 2 1,
2
2 ,2 1 1, 2 ,2 2 1,
2 ; 1 ;
( 1, 2);
3 ; 1 ;
i i i i i i i i
i i i i i i i i
a t a t
i n
a t a t
2 1,
2 ,
0;
( 2 3,2 2, 1, 3);
0;
i j
i j
a
j i n i n
a
(2.13)
2 2 1 1
1 1 21 2 1 211 1 ; 1 2 ;e e
x x x xb t v t v b t v t v
2 2 1
2 1 1, , 1
1
2 1, , 1
1 1 ;
( 2, 2);
2 1 ;
i i
x i i i x i i x
i i
x i i i x i i x
b t v t v
i n
b t v t v
2 1 2 2 2
2 3 , 1 1, 2 , 11 1 1 ;n n m
x n n n x n n x n nb t v t v t v
1 2
2 2 , 1 1, 2 , 1 , 1 12 1 1 , ( , 1, ).n n m
x n n n x n n x n n k k k kb t v t v t v t t t k n
(2.14)
Таким образом, функционал J (2.1) может быть представлен в виде
; ( , , ( , ), ( , ));e m e m i e m
x y x x x x i x x x xJ J J J J v v v v v v v
( , , ( , ), ( , )) ( 1, 1),e m e m i e m
y y y y i y y y yJ J v v v v v v v i n (2.15)
115
где i и iv ( 1, 1i n ) определяются через параметры ,e m
x xv v путем решения сис-
темы (2.11).
Исходя из (2.15), производные , ,e e e e
x x x y y yJ v J v J v J v
,m m m m
x x x y y yJ v J v J v J v запишем в виде:
1 1 1
1
1 1
( )
;
in n
x x x i x
e e e i e
i iix x x x
vJ J t J J
v v v v v
1 1
1 1
( )
;
in n n
x x n x i x
m m m i m
i iix x x x
vJ J t J J
v v v v v
1 1 1
1
1 1
( )
;
in n
y y y yi
e e e i e
i iiy y y y
J J t J J v
v v v v v
1 1
1 1
( )n in n
y y n y yi
m m m i m
i iiy y y y
J J t J J v
v v v v v
. (2.16)
Поскольку значения , i
i v , и , i
i v ( 1, 1i n ) определяются из условий
0, 0i
x i xJ J v и 0, 0i
y i yJ J v , соответственно, в правых частях
(2.16) ненулевыми оказываются только первые слагаемые. В результате вычислений,
с учетом выражений (2.6), (2.9), получим
1 1
1 1
34
2( ) ;e ex
x txe
x
J
v v v
t tv
1 1 1
, 1 , 1
34
2( ) ;m m n nx n
x tx xm
n n n nx
J
v v v v
t tv
1 1
1 1
34
2( ) ;y e e
y tye
y
J
v v v
t tv
1 1 1
, 1 , 1
34
2( ) .y m m n n n
y ty ym
n n n ny
J
v v v v
t tv
(2.17)
Исходя из условий (2.2), предложим следующий алгоритм определения неизвест-
ных величин , , , , ,i i e m
i i y yv v v v ( 1, 1i n ) через величины ,e m
x xv v . Вначале из сис-
темы (2.11) определяем значения , i
i v ( 1, 1i n ). Используя эти значения, можем
вычислить левые части уравнений (2.2). Введем обозначения:
1 1
; .e m
e e m m
x x x x
J J
K K
v v v v
(2.18)
Используя обозначения (2.18) и учитывая (2.17), перепишем уравнения (2.2) в виде
1
12
1 1 11
8 12 4 8
;e e e
y tyK v v v
t t tt
1 1
12
, 1 , 1 , 1. 1
8 12 4 4
(2 ).m m n m n
y n ty y
n n n n n nn n
K v v v v
t t tt
(2.19)
116
Необходимые условия минимума функционала J по переменным , i
i v
( 1, 1i n ) приводят к системе линейных уравнений, аналогичной (2.11). Однако,
если в системе (2.11) компоненты асимптотических скоростей ,e m
x xv v приняты из-
вестными и поэтому содержащие их члены входили в состав компонентов вектора
правых частей, то в новой системе компоненты ,e m
y yv v уже неизвестны. Поэтому эта
система должна быть дополнена уравнениями (2.19). В результате получаем следую-
щую систему из 2n линейных уравнений:
yAy b
, (2.20)
где матрица A имеет вид
2
1 11
11 12 1,2 22
1
21 22 2,2 2
1
2
, 1
2 2,1 2 2,2 2 2,2 2
, 1
2
, 1, 1 , 1
2 3 1
0 ... 0
1
... ...
1
... 0
;
1
0 ... ... ... ...
1
... ...
3 1 2
0 0
e
n
n
n n
n n n n
n n
m
n nn n n n
K
t tt
a a a
t
a a a
t
A
t
a a a
t
K
tt t
(2.21)
компоненты ( 1, 2 2, 1, 2 2)ija i n j n определяем формулами (2.13)
Компоненты вектора правых частей задаем выражениями
2 2 1 1
1 1 2 1 21 3 1 21(2 ) ; (1 ) (1 ) ; (1 ) (2 ) ;e e e
y ty y ty y y ty yb t v b t v t v b t v t v
2 2 1 1
2 1, , 1 2 1 1, , 1(1 ) (1 ) ; (2 ) (1 ) ( 2, 2);i i i i
y i i i y i i y y i i i y i i yb t v t v b t v t v i n
2 1 2 2 2
2 2 , 1 1, 2 , 1(1 ) (1 ) (1 ) ;n n m
y n n n y n n y n n tyb t v t v t v
1 2
2 1 , 1 1, 2 , 1(2 ) (1 ) (1 ) ,n n m
y n n n y n n y n n tyb t v t v t v
1
2 , 1(1 )(2 ).m n
y n n n ty yb t v v
(2.22)
Вектор неизвестных y
имеет вид
1 2 1
1 2 1( , , , , , ... , , , )e n m T
y n yy v v v v v
. (2.23)
Решение системы (2.20) завершает процедуру вычисления параметров, опреде-
ляющих движение на гелиоцентрическом участке межпланетного перелета (компо-
нентов векторов x
(2.12) и y
(2.23)). Если задать значения ,e m
x xv v , то из условий
(2.15) и (2.17) определим оптимальное значение функционала ( , )e m
x xJ v v и производ-
ные ,e m
x xJ v J v , необходимые для записи условий скачка и решения общей
вариационной задачи оптимизации межпланетного перелета в соответствии с алго-
ритмом [5].
117
§3. Результаты и их анализ.
Исследование эффективности комбинирования большой и малой тяги и точности
учета топливных затрат на выполнение гелиоцентрического маневра с помощью мо-
дифицированного метода транспортирующей траектории выполним на примере задачи
оптимизации межпланетного перелета Земля − Марс за 180 суток, рассмотренной в [5].
Высоты круговых орбит старта и назначения заданы и равны 400 км. Перелет выпол-
няется по схеме, общий вид которой представлен на рис. 1. Все параметры КА приня-
ты в соответствии с [13]. Рассмотрены варианты использования двухрежимной двига-
тельной системы на основе ядерного ракетного двигателя, использующей термоэмис-
сионный преобразователь тепловой энергии в электрическую и турбомашинный пре-
образователь, работающий по циклу Брайтона. Модели, принятые для оценок масс
подсистем большой и малой тяги, описаны в [13]. Учитывая сложность численного
решения задачи, оптимизация параметров, определяющих массы подсистем большой
и малой тяги (соответственно − максимальной тяги maxP и максимальной электриче-
ской мощности maxelN ), была проведена путем перебора. При этом, так же, как и в
работе [13] для обоих вариантов подсистемы малой тяги оптимальным оказалось зна-
чение максимальной тяги max 261,1optP кН, что соответствует максимальной тепло-
вой мощности 1300 МВт. Таким образом, оптимальный выбор подсистемы большой
тяги определяется, прежде всего, схемой перелета. В то же время, оптимальные зна-
чения максимальной электрической мощности существенно зависят и от типа подсис-
темы малой тяги и от точности оценки затрат топлива на гелиоцентрическом участке.
Эффективность комбинирования участков большой и малой тяги определяется соот-
ношением между массой сэкономленного за счет использования малой тяги топлива и
массой подсистемы малой тяги. Сравнение значений полезной нагрузки, соответст-
вующих различным значениям максимальной электрической мощности и рассчитан-
ных при применении МТТ и ММТТ, удобно выполнить с помощью рис. 2 (для под-
системы малой тяги с преобразованием энергии по циклу Брайтона) и рис. 4 (для под-
системы с термоэмиссионным преобразованием энергии). Оценить точность опреде-
ления функционала вариационной задачи для гелиоцентрических участков можно с
помощью рис. 3 и 5, где для указанных типов подсистем малой тяги приведены зна-
чения погрешности в определении функционала в зависимости от максимальной
электрической мощности. В этом случае погрешность определяем, используя форму-
лу: погрешность ( )ММТТ exact exactJ J J 100% , где MMTTJ − значение функциона-
ла, определенное с помощью ММТТ; exactJ − значение, полученное при точном ре-
Рис. 2
118
шении вариационной задачи гелиоцентрического движения, соответствующее тем же
граничным условиям, что и при применении ММТТ. Здесь также принято оптималь-
ное значение максимальной тяги двигательной системы большой тяги. В расчетах с
помощью ММТТ использованы два варианта транспортирующей траектории: траек-
тория, состоящая из двух участков, и траектория, состоящая из 14 участков. Точки
сопряжения участков выбраны на оптимальной траектории, соответствующей значе-
ниям 0 0
max max, elP N , оптимальным при решении задачи с помощью «нулевого» при-
ближения МТТ, таким образом, чтобы движущаяся по траектории точка попадала в
данные точки пространства в заданные моменты времени. В случае двух участков
точка сопряжения соответствовала моменту 0,8T , где T − время движения на гелио-
центрическом участке, а в случае 14 участков моменты, соответствующие точкам со-
пряжения, распределены равномерно в отрезке [0, ]T . Отметим, что при использова-
нии количества участков, большего, чем 14, значения функционала изменяются не-
значительно (меньше, чем на 1%).
Рис. 3
Рис. 4
119
Для подсистемы малой тяги с преобразованием энергии по циклу Брайтона опти-
мальные значения максимальной электрической мощности составили maxel optN =
= 3260 кВт при использовании МТТ, maxel optN =3580 кВт − при использовании ММТТ
(2 участка) и maxel optN =3640 кВт − при использовании ММТТ (14 участков). Очевид-
но, что при использовании «нулевого» приближения МТТ получаем завышенные
оценки полезной нагрузки, что связано с погрешностями в определении функционала
вариационной задачи движения на гелиоцентрическом участке вследствие пренебре-
жения членами уравнений (1.4), отвечающими за возмущения гравитационного уско-
рения. Для оптимальных параметров при использовании МТТ абсолютное значение
погрешности составляет 20,2%.
При использовании ММТТ отклонения оптимальной траектории от транспорти-
рующей оказываются существенно меньше, что приводит к уменьшению указанных
погрешностей (для оптимальных параметров абсолютные значения погрешности со-
ставляют 1,5% и 3,5% при использовании транспортирующей траектории, состоящей,
соответственно, из 14 и 2 участков, (см. рис. 3)) и снижению оптимальных значений
полезной нагрузки примерно на 2,5%. Отметим, что при значениях maxelN , далеких от
оптимального, существенную погрешность в определении функционала дает и ММТТ,
однако эта погрешность все же меньше получаемой при расчете по МТТ (последняя
составляет 20 – 25% [2, 13]). Абсолютные значения погрешности возрастают при умень-
шении maxelN , что обусловлено тем, что при малых электрических мощностях опти-
мальные асимптотические скорости e
optv
и m
optv
незначительно отличаются от скоро-
стей e
tv
и m
tv
, соответствующих перелету только с помощью двигателя большой тяги
и оптимальная траектория проходит близко к соответствующей кеплеровской дуге, уда-
ляясь от транспортирующей траектории, построенной по ММТТ. Поэтому для малых
электрических мощностей следует использовать МТТ, поскольку в качестве транспор-
тирующей может быть принята кеплеровская дуга перелета с большой тягой. С указан-
ным обстоятельством связаны и меньшие погрешности в определении функционала при
использовании транспортирующей траектории, состоящей из двух участков. В то же
время в области оптимальных значений maxelN преимущества ММТТ очевидны.
Рис. 5
120
Следствием повышения точности являются более реалистичные оценки выигры-
ша в полезной нагрузке за счет комбинирования движения с большой и малой тягой
по сравнению с применением только двигателя большой тяги: при расчете с помощью
ММТТ (14 участков) выигрыш оценивается в 4,3%, тогда как при использовании МТТ
– в 7%. Оптимальные значения компонентов векторов планетоцентрических скоро-
стей на границах сфер влияния составляют: e
opt xv =2137 м/с, e
opt yv =251 м/с,
m
opt xv =1401 м/с, m
opt yv =417 м/с при использовании МТТ, e
opt xv =2066 м/с,
e
opt yv =331 м/с, m
opt xv =1431 м/с, m
opt yv =411 м/с при использовании ММТТ (2 участ-
ка) и e
opt xv = 2067 м/с, e
opt yv = 246 м/с, m
opt xv = 1442 м/с, m
opt yv = 414 м/с при исполь-
зовании ММТТ (14 участков). При реализации перелета только за счет двигательной
системы большой тяги эти скорости равны: e
txv = 3459 м/с, e
tyv =0, m
txv = 4664 м/с,
m
tyv = 1713м/с. Таким образом, указанный выигрыш в полезной массе достигается за
счет переноса значительной части необходимых для выполнения перелета энергоза-
трат на участок движения с малой тягой. Для подсистемы малой тяги с преобразова-
нием энергии по циклу Брайтона масса сэкономленного за счет использования малой
тяги топлива превосходит массу подсистемы малой тяги, что обусловливает эффек-
тивность перелета с комбинированием большой и малой тяги.
Для подсистемы малой тяги с термоэмиссионным преобразованием энергии оп-
тимальные значения максимальной электрической мощности составили
maxel optN =1740 кВт при использовании МТТ, maxel optN =1920 кВт − при использова-
нии ММТТ (2 участка) и maxel optN =1960кВт − при использовании ММТТ (14 участ-
ков). При расчете с помощью ММТТ для оптимальных параметров абсолютные зна-
чения погрешности в определении функционала вариационной задачи движения на
гелиоцентрическом участке составляют 1,5% и 5,3% при использовании транспорти-
рующей траектории, состоящей, соответственно, из 14 и 2 участков (рис. 5). При ис-
пользовании МТТ для оптимальных параметров погрешность составляет 23%. Опти-
мальные значения полезной нагрузки по сравнению с расчетом с помощью МТТ сни-
жаются примерно на 3%. Это приводит к тому, что если при расчете с помощью МТТ
комбинирование большой и малой тяги позволяло получить 1,5% выигрыша в полез-
ной нагрузке по сравнению с вариантом перелета только с помощью двигателя боль-
шой тяги, то при расчете с помощью ММТТ комбинирование большой и малой тяги
приводит к уменьшению полезной нагрузки примерно на 1,5%.
Иначе, если масса сэкономленного за счет использования малой тяги топлива
меньше, чем масса подсистемы малой тяги, то комбинирование большой и малой тяги
неэффективно. Оптимальные значения компонентов векторов планетоцентрических
скоростей на границах сфер влияния составляют e
opt xv =2730 м/с, e
opt yv =309 м/с,
m
opt xv =2052 м/с, m
opt yv =636 м/с при использовании МТТ, e
opt xv =2666 м/с,
e
opt yv =382 м/с, m
opt xv =2085 м/с, m
opt yv =621 м/с −при использовании ММТТ (2 уча-
стка) и e
opt xv =2668 м/с, e
opt yv =322 м/с, m
opt xv =2112 м/с, m
opt yv =624 м/с − при ис-
пользовании ММТТ (14 участков).
Таким образом, применение ММТТ позволяет эффективно решать задачи оптими-
зации межпланетных перелетов с комбинированием большой и малой тяги в прибли-
жении ММСВ. Точность оценок топливных затрат на гелиоцентрическом участке су-
щественно зависит от выбора транспортирующей траектории. Поэтому при необхо-
димости параметрической оптимизации целесообразно использовать итерационный
подход. На первом шаге получить оценки оптимальных параметров 0 0
max max, elP N , ис-
121
пользуя обычный МТТ, а на втором − провести уточненный поиск оптимальных зна-
чений по ММТТ, построив транспортирующую траекторию по точкам, принадлежа-
щим траектории, оптимальной для параметров, определенных на первом шаге. Как
следует из рис. 3 и 5, указанный выбор транспортирующей траектории позволяет
обеспечить высокую точность определения топливных затрат на гелиоцентрическом
участке в достаточно широкой области изменения параметров, окружающей
0 0
max max, elP N и, таким образом, значительно уточнить результаты решения общей за-
дачи оптимизации. Отметим также, что при удачном выборе точек сопряжения, удов-
летворительную точность оценок топливных затрат на гелиоцентрическом участке по
ММТТ можно получить уже в случае применения транспортирующей траектории,
состоящей из двух участков.
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано підхід до побудови оптимальних траєкторій міжпланетних
перельотів з комбінуванням великої та малої тяги, оснований на застосуванні модифікованого методу
транспортуючої траєкторії для оптимізації геліоцентричної ділянки. На прикладі перельоту Земля-
Марс за 180 діб проведено порівняльний аналіз траєкторій і параметрів космічного апарату, опти-
мальних при застосуванні класичного та модифікованого методів транспортуючої траєкторії.
1. Акимов В.Н., Конюхов В.Г., Коротеев А.А. Эффективность применения многорежимных ядерных
электродвигательных установок с машинным преобразованием энергии // Изв. РАН. Сер. Энер-
гетика. – 2008. – №3. – С. 20 – 27.
2. Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности // Косми-
ческие исследования. – 1964.– 2, № 3. – С. 303–330.
3. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптими-
зации. – М.: Наука, 1975. – 704 с.
4. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой
тяги. М.: Наука, 1976. 744с.
5. Кифоренко Б.Н., Харитонов А.М. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двухрежимны-
ми ядерными двигателями // Прикл. механика. – 2010. – 46, №10. – С. 78 – 89.
6. Суханов А.А., де А. Прадо А.Ф.Б. Модификация метода транспортирующей траектории // Космиче-
ские исследования. – 2004. – 42, №1.– С.107–112.
7. Харитонов А.М. Оптимизация межпланетных траекторий космических аппаратов с двухрежимны-
ми ядерными ракетными двигателями // Проблемы управления и информатики. – 2009. – №4.
С. 126 141.
8. Barbieri S. Europe’s Approach to Human Space Missions // Proceedings of the 61st Int. Astronautical
Congress, Prague, Czech Republic, September 27 – October 1, 2010. Paper IAC-10-B3.8 – E7.7.2.
9. Borowski S.K. “Bimodal” nuclear thermal rocket (BNTR) propulsion for future human Mars exploration
missions // NASA/CP – 2004 – 212963. – 2004. – 1. – P.305 – 323.
10. Borowski S.K., Corban R.R., McGuire M.I., Beke E.G. Nuclear thermal rocket/vehicle design options for
future NASA missions to the Moon and Mars // AIAA Paper. – 1993. – N4170. – 36p.
11. Borowski S.K., Dudzinski L.A., McGuire M.L. Vehicle and mission design options for the human explo-
ration of Mars/Phobos using “Bimodal” NTR and LANTR propulsion // NASA/TM – 1998 – 208834,
Lewis Research Center. – 1998. – 47p.
12. Howe S. Recent Activities at the CSNR for Developing Nuclear Thermal Rockets // Proceedings of the
61st Int. Astronaut. Congress. – Prague, Czech Republic, September 27 – October 1, 2010. Paper IAC –
10 – C4.7 – C3.5.2.
13. Kharytonov O.M., Kiforenko B.M. Finite-thrust optimization of interplanetary transfers of space vehicle
with bimodal nuclear thermal propulsion // Acta Astronautica. – 2011. – 69 – P. 223 – 233.
14. Krikalev Yu.A. Manned Spaceflights: Past Experience, Look into the Future // Proceedings of the 61st Int.
Astronaut. Congress. – Prague, Czech Republic, September 27-October 1, 2010. Paper IAC – 10 –
B3.1.1.
Поступила 01.11.2011 Утверждена в печать 06.06.2013
|