Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера

Приведены сравнительно простые достаточные условия на мультипликатор Фурье для того, чтобы он отображал функции, удовлетворяющие условию Гельдера по части переменных в функции, удовлетворяющей условию Гельдера по всем переменным. С использованием этих достаточных условий доказана разрешимость в кла...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Дегтярев, С.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87808
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера / С.П. Дегтярев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 17-22. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87808
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-878082015-10-27T03:02:05Z Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера Дегтярев, С.П. Математика Приведены сравнительно простые достаточные условия на мультипликатор Фурье для того, чтобы он отображал функции, удовлетворяющие условию Гельдера по части переменных в функции, удовлетворяющей условию Гельдера по всем переменным. С использованием этих достаточных условий доказана разрешимость в классах Гельдера начально-краевых задач для линеаризованного уравнения Кана–Хилларда с динамическими граничными условиями двух типов. Получены оценки Шаудера решений указанных задач. Наведено порiвняно простi достатнi умови на мультиплiкатор Фур’є для того, щоб вiн вiдображав функцiї, якi задовольняють умову Гельдера за частиною змiнних у функцiї, яка задовольняє умову Гельдера за всiма змiнними. З використанням цих достатнiх умов доведено розв’язнiсть у класах Гельдера початково-крайових задач для лiнеаризованого рiвняння Кана–Хiлларда з динамiчними граничними умовами двох типiв. Одержано оцiнки Шаудера розв’язкiв вказаних задач. We give relatively simple sufficient conditions for a Fourier multiplier in order that it maps functions with the H¨older property in a part of the variables into functions with the H¨older property in all variables. With the use of these sufficient conditions, we prove the solvability in H¨older classes of the initial-boundary-value problems for a linearized Cahn–Hilliard equation with dynamic boundary conditions of two types. For the solutions of these problems, the Schauder estimates are obtained. 2014 Article Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера / С.П. Дегтярев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 17-22. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87808 517.956,517.953,517.518.5 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Дегтярев, С.П. Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера Доповіді НАН України
description	Приведены сравнительно простые достаточные условия на мультипликатор Фурье для того, чтобы он отображал функции, удовлетворяющие условию Гельдера по части переменных в функции, удовлетворяющей условию Гельдера по всем переменным. С использованием этих достаточных условий доказана разрешимость в классах Гельдера начально-краевых задач для линеаризованного уравнения Кана–Хилларда с динамическими граничными условиями двух типов. Получены оценки Шаудера решений указанных задач.
format	Article
author	Дегтярев, С.П.
author_facet	Дегтярев, С.П.
author_sort	Дегтярев, С.П.
title	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера
title_short	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера
title_full	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера
title_fullStr	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера
title_full_unstemmed	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера
title_sort	мультипликаторы фурье в пространствах с частичным свойством гельдера и их применение к оценкам шаудера
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87808
citation_txt	Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера / С.П. Дегтярев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 17-22. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT degtârevsp mulʹtiplikatoryfurʹevprostranstvahsčastičnymsvojstvomgelʹderaiihprimeneniekocenkamšaudera
first_indexed	2025-07-06T15:28:34Z
last_indexed	2025-07-06T15:28:34Z
_version_	1836911914782818304
fulltext	УДК 517.956,517.953,517.518.5 С.П. Дегтярев Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера (Представлено академиком НАН Украины А.М. Ковалевым) Приведены сравнительно простые достаточные условия на мультипликатор Фурье для того, чтобы он отображал функции, удовлетворяющие условию Гельдера по части пере- менных в функции, удовлетворяющей условию Гельдера по всем переменным. С исполь- зованием этих достаточных условий доказана разрешимость в классах Гельдера началь- но-краевых задач для линеаризованного уравнения Кана–Хилларда с динамическими гра- ничными условиями двух типов. Получены оценки Шаудера решений указанных задач. Отправной точкой для написания данной работы послужила статья О.А. Ладыженской [1] (см. также [2]). Пусть для натурального N γ ∈ (0, 1), α = (α1, α2, . . . , αN ), α1 = 1, αk ∈ (0, 1], k = 2, N. (1) Определим пространство Cγα(RN ) как пространство непрерывных в R N функций u(x) с ко- нечной нормой ‖u‖Cγα(RN ) ≡ \|u\| (γα) RN = \|u\| (0) RN + N∑ i=1 〈u〉 (γαi) xi,RN , (2) где (0) RN = sup x∈RN \|u(x)\|, 〈u〉 (γαi) xi,RN = sup x∈RN ,h>0 \|u(x1, . . . , xi + h, . . . , xN )− u(x)\| hγαi . (3) Наряду с пространствами Cγα(RN ) с показателями γαi < 1 мы будем также рассмат- ривать пространства C l(RN ), где l = (l1, l2, . . . , lN ), li — произвольные положительные не- целые числа. Норма в этом пространстве определяется равенством ‖u‖ Cl(RN ) ≡ \|u\| (l) RN = \|u\| (0) RN + N∑ i=1 〈u〉 (li) xi,RN , (4) 〈u〉 (li) xi,RN = sup x∈RN ,h>0 \|D [li] xi u(x1, . . . , xi + h, . . . , xN )−D [li] xi u(x)\| hli−[li] , (5) где [li] — целая часть числа li, D [li] xi u — производная порядка [li] по переменной xi от функ- ции u. Полунорма (5) может быть определена эквивалентным образом, как 〈u〉 (li) xi,RN ≃ sup x∈RN ,h>0 \|∆k h,xi u(x)\| hli , k > li, (6) © С. П. Дегтярев, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 17 где ∆h,xi u(x) = u(x1, . . . , xi+h, . . . , xN )−u(x) — разность от функции u(x) по переменной xi с шагом h, ∆k h,xi u(x) = ∆h,xi (∆k−1 h,xi u(x)) = (∆h,xi )ku(x) — k раз примененная разность, т. е. разность степени k. Отметим, что функции из пространства C l(RN ) обладают также смешанными производными до определенных порядков, которые удовлетворяют условиям Гельдера по всем переменным с некоторыми показателями — в зависимости от соотношения показателей li. Определим далее пространство функций Hγα(RN ) ⊂ Cγα(RN ) ⋂ L2(R N ) как замыкание множества финитных функций u(x) из Cγα(RN ) в норме ‖u‖Hγα(RN ) ≡ \|u\|L2(RN ) + N∑ i=1 〈u〉 (γαi) xi,RN . (7) Аналогично определим пространство Hl(RN ) с произвольными нецелыми положитель- ными li с нормой ‖u‖ Hl(RN ) ≡ ‖u‖L2(RN ) + N∑ i=1 〈u〉 (li) xi,RN . (8) В [1] показано, что \|u\| (0) RN 6 C‖u‖H γα(RN ), так что \|u\| (γα) RN 6 C‖u‖H γα(RN ). (9) Здесь и всюду ниже мы будем обозначать через C, ν все абсолютные константы либо кон- станты, зависящие только от раз и навсегда зафиксированных данных. Пусть функция m̃(ξ), ξ ∈ R N , определена в R N , измерима и ограничена. Определим оператор M : Hγα(RN ) → L2(R N ) по формуле Mu ≡ F −1(m̃(ξ)ũ(ξ)), (10) где для u(x) ∈ L1(R N ) ũ(ξ) ≡ F (u) = ∫ RN e−ixξu(x)dx — (11) преобразование Фурье от функции u(x), которое распространено на L2(R N ), F −1ũ(ξ) — обратное преобразование Фурье от функции ũ(ξ). Так как u(x) ∈ L2(R N ), а функция m̃(ξ) ограничена, то оператор M корректно определен, и при этом функция m̃(ξ) называется мультипликатором Фурье. Пусть множество переменных (ξ1, . . . , ξN ) = ξ разбито на r групп длины Ni, i = 1, r, так что N1 + · · · +Nr = N, ξ = (y1, . . . , yr), y1 = (ξ1, . . . , ξN1), . . . , yr = (ξN1+···+Nr−1+1, . . . , ξN ). Пусть далее ωi, i = 1, r, означают мультииндексы длины Ni ω1 = (ω1,1, . . . , ω1,N1), . . . , ωr = (ωr,1, . . . , ωr,Nr), ωi,k ∈ N ⋃ {0}, 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 а символ Dωi yi ũ(ξ) означает некоторую производную от функции ũ(ξ) порядка \|ωi\| = ωi,1 + + · · · + ωi,Ni по группе переменных yi = (ξk1 , . . . , ξkNi ), т. е. Dωi yi ũ(ξ) = D ωi,1 ξk1 · · ·D ωi,Ni ξkNi ũ(ξ). Обозначим для ν > 0 Bν = {ξ ∈ R N : ν 6 \|ξ\| 6 ν−1}. Пусть функция m̃(ξ) ∈ C(RN \ {0}) и ограничена. Пусть x ∈ R N , K ∈ (0, N) — целое число, x = (x(1), x(2)), x(1) = (x1, . . . , xK), x(2) = (xK+1, . . . , xN ) и аналогично ξ = (ξ(1), ξ(2)), ξ(1) = (ξ1, . . . , ξK), ξ(2) = (ξK+1, . . . , ξN ). Пусть α = (α1, . . . , αK), β = (βK+1, . . . , βN ), αi ∈ ∈ (0, 1], βk > 0 и γ ∈ (0, 1). Для x ∈ R N и целого j ∈ Z обозначим Ajx ≡ ( 2j/α1x1, . . . , 2 j/αKxK , 2j/βK+1xK+1, 2 j/βNxN ) , aj = detAj . (12) Обозначим m̃j(ξ) = m̃(ξ)χ(A−1 j ξ), mj(x) — обратное преобразование Фурье от функции m̃j(ξ), nj(x) = a−1 j mj(A −1 j x). (13) Пусть с некоторым µ > 0 выполнены условия m̃(ξ)\|ξ(1)=0 = m̃(0, ξ(2)) ≡ 0, ξ(2) ∈ R N−K , (14) ∫ RN ( 1 + K∑ k=1 \|xk\| αkγ ) \|nj(x)\| dx 6 µ, j ∈ Z. (15) Пусть, наконец, задана финитная функция u(x) ∈ C αγ x(1)(R N ), т. е. u(x) имеет компактный носитель в R N и удовлетворяет условиям Гельдера по части переменных 〈u〉 (αγ) x(1),RN = K∑ k=1 〈u〉 (αkγ) xk,RN < ∞. Обозначим v(x) ≡ Mu ≡ m(x) ∗ u(x) ≡ F−1(m̃(ξ)ũ(ξ)). Теорема 1. Пусть выполнены условия (14), (15). Тогда функция v(x) удовлетворяет условию Гельдера по всем переменным, причем 〈v〉 (αγ,βγ) x(1),x(2),RN 6 Cµ〈u〉 (αγ) x(1),RN , (16) где 〈v〉 (αγ,βγ) x(1),x(2),RN = K∑ k=1 〈v〉 (αkγ) xk ,RN + N∑ k=K+1 〈v〉 (βkγ) xk ,RN . Справедливо также следующее утверждение. Обозначим Hαγ x(1)(R N ) = C αγ x(1)(R N ) ⋂ L2(R N ), Hαγ,βγ x(1),x(2)(R N ) = C αγ x(1),x(2)(R N ) ⋂ L2(R N ) — ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 19 замыкания множества финитных функций в нормах ‖u‖Hαγ x(1) (RN ) ≡ ‖u‖L2(RN ) + 〈u〉 (αγ) x(1),RN , ‖u‖ Hαγ,βγ x(1) ,x(2) (RN ) ≡ ‖u‖L2(RN ) + 〈u〉 (αγ,βγ) x(1),x(2),RN . Теорема 2. Пусть выполнено условие (14). Пусть далее выполнено условие si > Ni p + γ, i = 1, r, p ∈ (1, 2]. (17) Пусть еще выполнено условие sup λ>0 ∑ \|ωi\|6si ‖Dω1 y1 D ω2 y2 · · ·Dωr yr m̃(Aλξ)‖Lp(Bν) 6 µ. (18) Тогда оператор M является ограниченным линейным оператором из Hαγ x(1)(R N ) в Hαγ,βγ x(1),x(2)(R N ), причем ‖Mu‖ Hαγ,βγ x(1),x(2) (RN ) 6 Cµ‖u‖Hαγ x(1) (RN ). (19) Приведем применение доказанных результатов к линеаризованному уравнению Кана– Хилларда с двумя типами динамических граничных условий. Пусть Ω — произвольная область в R N с границей Γ = ∂Ω класса C4+γ , γ ∈ (0, 1), T > 0, ΩT = Ω × [0, T ], ΓT = Γ × [0, T ]. В области ΩT рассмотрим следующую начально-краевую задачу для неизвестной функции u(x, t) ∂u ∂t +∆2u+ ∑ \|α\|63 bα(x, t)D α xu = f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (20) ∂∆u ∂n ∣∣∣∣ x∈∂Ω = g(x, t), (x, t) ∈ ΓT , (21) u(x, 0) = u0(x), t = 0, x ∈ Ω, (22) ∂u ∂t − a(x, t)∆Γu+ N∑ i=1 bi(x, t) ∂u ∂xi + c(x, t)u = h1(x, t), (x, t) ∈ ΓT . (23) Здесь n — внешняя нормаль к поверхности Γ, ∆Γ — оператор Лапласа–Бельтрами на поверх- ности Γ, bα(x, t), a(x, t), bi(x, t), c(x, t), f(x, t), g(x, t), u0(x), h1(x, t) — заданные функции, причем a(x, t) > ν > 0 и bα ∈ Cγ,γ/4(ΩT ), a, bi, c ∈ C2+γ,(2+γ)/4(ΓT ), f ∈ Cγ,γ/4(ΩT ), g ∈ C1+γ,(1+γ)/4(ΓT ), h1 ∈ C2+γ,(2+γ)/4(ΓT ). (24) Вместо динамического условия (23) на границе мы будем рассматривать также условие ∂u ∂t + d(x, t) ∂u ∂n + b(x, t)u = h2(x, t), (x, t) ∈ ΓT , (25) 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 где заданные функции d(x, t), b(x, t), h2(x, t) удовлетворяют условиям d(x, t), b(x, t), h2(x, t) ∈ C3+γ,(3+γ)/4(ΓT ), d(x, t) > ν > 0. (26) Мы предполагаем также выполненными условия согласования на данные задачи до пер- вого порядка включительно при t = 0, x ∈ ∂Ω. А именно, мы предполагаем, во-первых, что ∂∆u0(x) ∂n ∣∣∣∣ x∈∂Ω = g(x, 0), x ∈ Γ. (27) Кроме того, в случае граничного условия (23) предполагается, что при x ∈ Γ ∆2u0(x) + ∑ \|α\|63 bα(x, 0)D α xu0 − f(x, 0) = = −a(x, 0)∆Γu0 + N∑ i=1 bi(x, 0) ∂u0 ∂xi + c(x, 0)u0 − h1(x, 0), (28) а в случае условия (25) мы предполагаем, что при x ∈ Γ ∆2u0(x) + ∑ \|α\|63 bα(x, 0)D α xu0 − f(x, 0) = d(x, 0) ∂u0 ∂n + b(x, 0)u0 − h2(x, 0). (29) Справедливы следующие утверждения. Теорема 3. При выполнении условий (24), (27), (28) задача (20)–(23) имеет единствен- ное решение из класса C4+γ,(4+γ)/4(ΩT ) такое, что ut\|ΓT ∈ C2+γ,(2+γ)/4(ΓT ), для которого справедлива оценка \|u\| (4+γ) ΩT + ∣∣∣∣ ∂u ∂t ∣∣∣∣ ΓT ∣∣∣∣ (2+γ) ΓT 6 C1(\|f \| (γ) ΩT + \|g\| (1+γ) ΓT + \|h1\| (2+γ) ΓT ), (30) где константа C1 зависит только от T , ν, и норм коэффициентов bα(x, t), a(x, t), bi(x, t), c(x, t) в соответствующих пространствах. Теорема 4. При выполнении условий (24), (26), (27), (29) задача (20)–(22), (25) имеет единственное решение из класса C4+γ,(4+γ)/4(ΩT ) такое, что ut\|ΓT ∈ C3+γ,(3+γ)4(ΓT ), для которого справедлива оценка \|u\| (4+γ) ΩT + ∣∣∣∣ ∂u ∂t ∣∣∣∣ ΓT ∣∣∣∣ (3+γ) ΓT 6 C2(\|f \| (γ) ΩT + \|g\| (1+γ) ΓT + \|h2\| (3+γ) ΓT ), (31) где константа C2 зависит только от T , ν, и норм коэффициентов bα(x, t), d(x, t), b(x, t) в соответствующих пространствах. 1. Ладыженская О.А. Теорема о мультипликаторах в неоднородных пространствах Гельдера и неко- торые ее приложения // Зап. науч. семинаров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2000. – 271. – С. 156–174. 2. Ladyzhenskaya O.A. On multiplicators in Hölder spaces with nonhomogeneous metric // Methods. Appl. Anal. – 2000. – 7, No 3. – P. 465–472. Поступило в редакцию 05.12.2013Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 21 С.П. Дегтярьов Мультиплiкатори Фур’є в просторах з частковою властивiстю Гельдера та їх застосування до оцiнок Шаудера Наведено порiвняно простi достатнi умови на мультиплiкатор Фур’є для того, щоб вiн вiдображав функцiї, якi задовольняють умову Гельдера за частиною змiнних у функцiї, яка задовольняє умову Гельдера за всiма змiнними. З використанням цих достатнiх умов дове- дено розв’язнiсть у класах Гельдера початково-крайових задач для лiнеаризованого рiвняння Кана–Хiлларда з динамiчними граничними умовами двох типiв. Одержано оцiнки Шаудера розв’язкiв вказаних задач. S. P. Degtyarev Fourier multipliers in the spaces with partial Hölder property and their application to the Schauder estimates We give relatively simple sufficient conditions for a Fourier multiplier in order that it maps func- tions with the Hölder property in a part of the variables into functions with the Hölder property in all variables. With the use of these sufficient conditions, we prove the solvability in Hölder classes of the initial-boundary-value problems for a linearized Cahn–Hilliard equation with dynamic boundary conditions of two types. For the solutions of these problems, the Schauder estimates are obtained. 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6

Мультипликаторы Фурье в пространствах с частичным свойством Гельдера и их применение к оценкам Шаудера

Institution

Ähnliche Einträge