Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку

Доведено, що повною групою точкових симетрiй системи вiльних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку є загальна проективна група, що дiє у просторi незалежних i залежних змiнних....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Шаповал, Н.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87810
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку / Н.М. Шаповал // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 32-36. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87810
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-878102015-10-27T03:01:46Z Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку Шаповал, Н.М. Математика Доведено, що повною групою точкових симетрiй системи вiльних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку є загальна проективна група, що дiє у просторi незалежних i залежних змiнних. Доказано, что полной группой точечных симметрий системы свободных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка является общая проективная группа, действующая в пространстве независимых и зависимых переменных. It is proved that the complete point symmetry group of a system of free second-order ordinary differential equations is a projective general linear group acting in the space of independent and dependent variables. 2014 Article Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку / Н.М. Шаповал // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 32-36. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87810 517.95 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Шаповал, Н.М. Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку Доповіді НАН України
description	Доведено, що повною групою точкових симетрiй системи вiльних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку є загальна проективна група, що дiє у просторi незалежних i залежних змiнних.
format	Article
author	Шаповал, Н.М.
author_facet	Шаповал, Н.М.
author_sort	Шаповал, Н.М.
title	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку
title_short	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку
title_full	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку
title_fullStr	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку
title_full_unstemmed	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку
title_sort	група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87810
citation_txt	Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку / Н.М. Шаповал // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 32-36. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT šapovalnm grupatočkovihsimetríjsistemivílʹnihrívnânʹdrugogoporâdku
first_indexed	2025-07-06T15:28:41Z
last_indexed	2025-07-06T15:28:41Z
_version_	1836911922139627520
fulltext	УДК 517.95 Н.М. Шаповал Група точкових симетрiй системи вiльних рiвнянь другого порядку (Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним) Доведено, що повною групою точкових симетрiй системи вiльних звичайних диферен- цiальних рiвнянь другого порядку є загальна проективна група, що дiє у просторi неза- лежних i залежних змiнних. Груповi властивостi звичайних диференцiальних рiвнянь (ЗДР) добре вивченi, чого, на жаль, не можна сказати про системи ЗДР. Важливим результатом про розмiрнiсть мак- симальних алгебр iнварiантностi систем ЗДР другого порядку є твердження, одержане Л. Маркусом [1, с. 68–69]. А саме, ним доведено, що для будь-якої системи ЗДР друго- го порядку xtt = f(t,x,xt), (1) де x = (x1(t), . . . , xn(t))T, xt = dx/dt, xtt = dxt/dt, розмiрнiсть її максимальної алгебри iнварiантностi не перевищує (n + 2)2 − 1. Пiзнiше це твердження було перевiдкрито у ро- ботi [2]. Необхiдну та достатню умову зведення лiнiйних систем вигляду (1) до системи вiльних рiвнянь другого порядку xtt = 0 (2) отримано в [3]. Вiдзначимо, що система (2) iнварiантна вiдносно алгебри sl(n + 2,F) з ба- зисними елементами (див. [2]) ∂t, ∂a, t∂t, xa∂t, t∂a, xa∂b, txa∂t + xaxc∂c, t2∂t + txc∂c, де F = R або F = C для дiйсного або комплексного випадку вiдповiдно. Тут i далi a, b, c, i = 1, n, µ, ν, σ, σ′ = 0, n, i за iндексами, що повторюються, розумiємо пiдсумовування за всiма їх можливими значеннями, а ∂t = ∂/∂t, ∂a = ∂/∂xa . Нижнi iндекси функцiй озна- чають диференцiювання за вiдповiдними змiнними. Питання еквiвалентностi систем (1) i (2) вiдносно точкових перетворень розглянуто Дж. Меркером у роботi [4]. Усi вищенаведенi результати для систем ЗДР другого порядку є нетривiальними узагальненнями класичних результатiв С. Лi [5] щодо ЗДР другого порядку. Бiльш детальний огляд вiдомих результатiв щодо групового аналiзу систем ЗДР другого порядку наведено в [6]. Основним результатом цiєї роботи є строге доведення нижченаведеної теореми. Теорема. Повною групою точкових симетрiй системи (2) є загальна проективна група PGL(n+2,F) у просторi Fn+1, що складається з невироджених проективних перетворень x̃µ = αµ,0x 0 + · · ·+ αµ,nx n + αµ,n+1 β0x0 + · · ·+ βnxn + βn+1 , (3) © Н.М. Шаповал, 2014 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 де α0,0, . . . , αn,n+1 та β0, . . . , βn+1 — груповi параметри, причому один з цих параметрiв є несуттєвим, а x0 = t. Той факт, що система (2) iнварiантна вiдносно групи PGL(n+2,F), давно вiдомий (див., наприклад, [2]). Його можна довести, вiдновивши групу PGL(n+ 2,F) з вищенаведеної ал- гебри векторних полiв sl(n+ 2,F). У дiйсному випадку необхiдно також врахувати, додат- ково до неперервної компоненти одиницi, очевидне дискретне перетворення, що вiдповiдає замiнi знаку однiєї зi змiнних. Проблема полягає в тому, щоб показати, що перетворення вигляду (3) вичерпують усi можливi точковi симетрiї системи (2). Доведення теореми. Використаємо прямий метод знаходження точкових симетрiй [7]. Припустимо, що замiна змiнних t̃ = T (t,x), x̃ = X(t,x) зводить вихiдну систему (2) до тiєї ж системи x̃t̃t̃ = 0 у нових змiнних (t̃, x̃) i якобiан перетворення J = \|∂(T,X)/∂(t,x)\| не дорiвнює нулю. Запишемо вираз для другої похiдної x̃t̃t̃ у старих змiнних (t,x): x̃t̃t̃ = 1 DtT Dt ( DtX DtT ) , де Dt — оператор повної похiдної за змiнною t, Dt = ∂t + xat ∂xa + xatt∂xa t + · · · . Пiдставивши цей вираз у систему (2) та перейшовши на її многовид, отримаємо систему визначальних рiвнянь (Tt + xctTc)(X i tt + 2xatX i ta + xat x b tX i ab) = (Xi t + xatX i a)(Ttt + 2xbtTtb + xbtx c tTbc) (4) для знаходження невiдомих функцiй T та X , яку необхiдно додатково розщепити за похiд- ними xat . Введемо позначення D̂t = ∂t + xat ∂xa для оператора повної похiдної за змiнною t на многовидi системи (2), при цьому D̂2 t = ∂tt + 2xat ∂xa + xat x b t∂xaxb . Використавши це по- значення, запишемо систему рiвнянь (4) у бiльш компактнiй формi (D̂tT )D̂ 2 tX i = (D̂tX i)D̂2 t T. (5) Зауважимо, що обидвi частини рiвностi є добутком полiномiв вiд похiдних xat . Розглянемо один з множникiв, а саме D̂tT = Tt + xctTc. Оскiльки лiва частина (5) дiлиться на цей многочлен, то й права частина також дiлиться на нього. Покажемо, що D̂tT дiлить D̂2 t T , а вiдповiдна частка є полiномом степеня не вище першого вiд xat . Якщо Tc = 0 для всiх значень c, то D̂tT — полiном нульового степеня вiдносно xat , а такий полiном дiлить обидва множники правої частини (5). Нехай Tc 6= 0 для деякого значення c. Тодi D̂tT є полiномом першого степеня вiд xat , а тому дiлить один з множникiв у правiй частинi рiвняння (5). Припустимо, що D̂tT дiлить D̂tX i для деякого i. Тодi вiдповiдна частка λi(t,x) не залежить вiд похiдних xat , тобто D̂tX i/D̂tT = λi(t,x) або D̂tX i = λi(t,x)D̂tT . Зiбравши коефiцiєнти при похiдних xat в останнiй рiвностi, маємо Xi t = λi(t,x)Tt, Xi a = λi(t,x)Ta. Звiдси випливає, що деякi рядки якобiана J пропорцiйнi, тобто J = 0, а це неможливо. Отже, D̂tT дiлить D̂2 t T , при цьому D̂2 tX i дiлиться на D̂tX i, i вiдношення цих полiномiв не залежить вiд значення iндексу i, тобто iснують функцiї λµ = λµ(t,x) такi, що D̂2 t T D̂tT = D̂2 tX i D̂tXi = λ0 + xatλ a ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 33 для кожного фiксованого значення i. Перепишемо цю рiвнiсть у виглядi системи D̂2 t T = (λ0 + xat λ a)D̂tT, D̂ 2 tX i = (λ0 + xatλ a)D̂tX i. Зручно позначити t = x0, T = X0. Тодi останню систему можна зобразити у бiльш ком- пактному виглядi xνt x σ t X µ νσ = xνt λ νXµ σx σ t . Зауважимо, що хоча x0t = 1, однак при розщепленнi за похiдними xat можна i зручно вва- жати, що похiдна x0t також варiюється. Розщеплення дає систему Xµ νσ = 1 2 (λνXµ σ + λσXµ ν ). (6) Розглянемо два рiвняння iз системи для фiксованих значень трiйки iндексiв (µ, ν, σ), а саме рiвняння вигляду (6) та рiвняння Xµ νσ′ = 1 2 (λνXµ σ′ + λσ′ Xµ ν ). (7) Виконаємо перехресне диференцiювання, тобто продиференцiюємо рiвняння (6) за змiн- ною xσ ′ , а рiвняння (7) — за змiнною xσ. У результатi отримаємо рiвняння Xµ νσσ′ = 1 2 (λν σ′Xµ σ + λνXµ σσ′ + λσ σ′Xµ ν + λσXµ νσ′), Xµ νσ′σ = 1 2 (λν σX µ σ′ + λνXµ σ′σ + λσ′ σ Xµ ν + λσ′ Xµ νσ), лiвi частини яких рiвнi. Вiднявши одне рiвняння вiд iншого та пiдставивши замiсть других похiдних функцiй Xµ вiдповiднi вирази з (6) та (7), отримаємо рiвнiсть (λσ σ′ − λσ′ σ )Xµ ν − ( λν σ − 1 2 λνλσ ) Xµ σ′ + ( λν σ′ − 1 2 λνλσ′ ) Xµ σ = 0. (8) Зафiксуємо попарно рiзнi значення iндексiв ν, σ i σ′. Виберемо трiйку (µ1, µ2, µ3) так, що ∣∣∣∣ ∂(Xµ1 ,Xµ2 ,Xµ3) ∂(xν , xσ, xσ′) ∣∣∣∣ 6= 0. Розглянемо пiдсистему (8) з вiдповiдними iндексами як систему алгебраїчних рiвнянь на коефiцiєнти при похiдних функцiй Xµ. Внаслiдок своєї невиродженостi вона має тiльки нульовий розв’язок, тобто λσ σ′ = λσ′ σ , λν σ = 1 2 λνλσ. З рiвнянь λσ σ′ = λσ′ σ випливає, що локально iснує така функцiя Φ = Φ(t,x), що λσ = Φσ. Далi розглянемо рiвнiсть (8) при ν = σ: (λσ σ′ − λσ′ σ )Xµ ν − ( λν ν − 1 2 (λν)2 ) Xµ σ′ + ( λν σ′ − 1 2 λνλσ′ ) Xµ ν = 0. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 Виберемо пару iндексiв (µ1, µ2) таку, що ∣∣∣∣ ∂(Xµ1 ,Xµ2) ∂(xν , xσ′) ∣∣∣∣ 6= 0. Тодi, аналогiчно до попереднього випадку, отримаємо λν ν = (λν)2/2. Беручи до уваги цю рiв- нiсть, можна стверджувати, що рiвняння λν σ = λνλσ/2 виконуються для будь-яких значень iндексiв ν та σ, у тому числi i рiвних. Перепишемо рiвняння λν σ = λνλσ/2 та систему (6) у термiнах функцiї Φ: Φνσ − 1 2 ΦνΦσ = 0, Xµ νσ − 1 2 (ΦνX µ σ +ΦσX µ ν ) = 0. Домножимо кожне з цих рiвнянь на e−Φ/2 i згорнемо їх правi частини в окремi похiднi: (e−Φ/2)νσ = 0, (e−Φ/2Xµ)νσ = 0. Оскiльки цi рiвностi виконуються для будь-яких значень iндексiв ν i σ, то e− 1 2 Φ = β0x 0 + β1x 1 + · · · + βnx n + βn+1, e− 1 2 ΦXµ = αµ,0x 0 + αµ,1x 1 + · · ·+ αµ,nx n + αµ,n+1, де (αµ,0, . . . , αµ,n+1), (β0, . . . , βn+1) — набори сталих, що утворюють невироджену (n+ 2)× × (n + 2) матрицю. Отже, Xµ = αµ,0x 0 + αµ,1x 1 + · · · + αµ,nx n + αµ,n+1 β0x0 + β1x1 + · · · + βnxn + βn+1 , тобто Xµ є дробово-лiнiйними функцiями вiд змiнних xν та збiгаються з правими части- нами (3). Таким чином, теорему доведено. Застосований метод доведення можна поширити на довiльнi системи лiнiйних ЗДР дру- гого порядку. Вiн також буде корисним при обчисленнi групоїда еквiвалентностi класу таких систем з довiльною фiксованою кiлькiстю залежних змiнних. Було б також цiкаво довести теорему цiєї роботи в рамках алгебраїчного пiдходу [7–10]. Автор висловлює щиру подяку Р.О. Поповичу та В.М. Бойко за постановку задачi, постiйну увагу та допомогу в роботi. 1. Markus L. Group theory and differential equations. – Minneapolis: Univ. of Minnesota, 1960. – 227 p. 2. González-Gascón F., González-López A. Symmetries of differential equations. IV // J. Math. Phys. – 1983. – 24. – P. 2006–2021. 3. González-López A. Symmetries of linear systems of second-order ordinary differential equations // Ibid. – 1988. – 29. – P. 1097–1105. 4. Merker J. Characterization of the Newtonian free particle system in m > 2 dependent variables // Acta Appl. Math. – 2006. – 92. – P. 125–207. 5. Lie S. Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen. – Leipzig: Teubner, 1891. – 568 s. 6. Boyko V.M., Popovych R.O., Shapoval N.M. Lie symmetries of systems of second-order linear ordinary differential equations with constant coefficients // J. Math. Anal. Appl. – 2013. – 397. – P. 434–440. 7. Bihlo A., Popovych R.O. Point symmetry group of the barotropic vorticity equation // Proc. of 5th Workshop “Group Analysis of Differential Equations and Integrable Systems” (Protaras, Cyprus, June 6–10, 2010). – 2011. – P. 15–27. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 35 8. Hydon P. E. How to construct the discrete symmetries of partial differential equations // Eur. J. Appl. Math. – 2000. – 11. – P. 515–527. 9. Bihlo A., Popovych R.O. Lie symmetry analysis and exact solutions of the quasi-geostrophic two-layer problem // J. Math. Phys. – 2011. – 52. – 033103, 24 p. 10. Dos Santos Cardoso-Bihlo E., Popovych R.O. Complete point symmetry group of vorticity equation on rotating sphere // J. Engrg. Math. – 2013. – 82. – P. 31–38. Надiйшло до редакцiї 09.12.2013Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Н.Н. Шаповал Группа точечных симметрий системы свободных уравнений второго порядка Доказано, что полной группой точечных симметрий системы свободных обыкновенных диф- ференциальных уравнений второго порядка является общая проективная группа, действую- щая в пространстве независимых и зависимых переменных. N.M. Shapoval The point symmetry group of a system of free second-order equations It is proved that the complete point symmetry group of a system of free second-order ordinary differential equations is a projective general linear group acting in the space of independent and dependent variables. 36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6

Група точкових симетрій системи вільних рівнянь другого порядку

Institution

Ähnliche Einträge