Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома

С позиций транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома обсуждаются такие свойства графена как плотность электронных состояний и плотность носителей тока, число мод и максимальная проводимость, рассеяние в графене, подвижность в графене в связи с формулой Друде, циклотронная частота и эффективная м...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Кругляк, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2015
Назва видання:	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87988
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 2. — С. 215–242. — Бібліогр.: 39 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87988
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-879882015-11-07T03:01:21Z Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома Кругляк, Ю.А. С позиций транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома обсуждаются такие свойства графена как плотность электронных состояний и плотность носителей тока, число мод и максимальная проводимость, рассеяние в графене, подвижность в графене в связи с формулой Друде, циклотронная частота и эффективная масса в графене, плотность фононных состояний, сравнительный вклад электронов и фононов в теплопроводность графена. В заключение в справочных целях даётся сводка термоэлектрических коэффициентов для графена в баллистическом и диффузионном режимах проводимости со степенным законом рассеяния. З позицій транспортної моделі Ландауера–Датти–Лундстрома обговорюються такі графенові властивості як густина електронних станів і густина носіїв струму, число мод і максимальна провідність, розсіяння в графені, рухливість у графені у зв’язку з формулою Друде, циклотронна частота і ефективна маса в графені, густина фононних станів, порівняльний внесок електронів і фононів у графенову теплопровідність. На закінчення в довідкових цілях дається зведення термоелектричних коефіцієнтів для графену в балістичному та дифузійному режимах провідности зі степеневим законом розсіяння. On the basis of the Landauer–Datta–Lundstrom transport model, the following properties of graphene such as the electron density of states and the density of carriers, the number of modes and maximum conductivity, scattering in graphene, mobility in graphene in connection with the Drude formula, the cyclotron frequency and the effective mass in graphene, phonon density of states, the relative contribution of electrons and phonons in the thermal conduction of graphene are discussed. In conclusion, for reference purposes, a summary of thermoelectric coefficients for graphene in ballistic and diffusion conduction regimes with the power law of scattering is given. 2015 Article Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 2. — С. 215–242. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. 1816-5230 PACS numbers: 61.48.Gh, 63.22.Rc, 65.80.Ck, 68.65.Pq, 72.80.Vp, 73.22.Pr, 85.80.Fi http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87988 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	С позиций транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома обсуждаются такие свойства графена как плотность электронных состояний и плотность носителей тока, число мод и максимальная проводимость, рассеяние в графене, подвижность в графене в связи с формулой Друде, циклотронная частота и эффективная масса в графене, плотность фононных состояний, сравнительный вклад электронов и фононов в теплопроводность графена. В заключение в справочных целях даётся сводка термоэлектрических коэффициентов для графена в баллистическом и диффузионном режимах проводимости со степенным законом рассеяния.
format	Article
author	Кругляк, Ю.А.
spellingShingle	Кругляк, Ю.А. Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet	Кругляк, Ю.А.
author_sort	Кругляк, Ю.А.
title	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_short	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_fullStr	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full_unstemmed	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_sort	свойства графена в транспортной модели ландауэра–датты–лундстрома
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87988
citation_txt	Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 2. — С. 215–242. — Бібліогр.: 39 назв. — рос.
series	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv	AT kruglâkûa svojstvagrafenavtransportnojmodelilandauéradattylundstroma
first_indexed	2025-07-06T15:41:08Z
last_indexed	2025-07-06T15:41:08Z
_version_	1836912707418193920
fulltext	215 PACS numbers: 61.48.Gh, 63.22.Rc, 65.80.Ck, 68.65.Pq, 72.80.Vp, 73.22.Pr, 85.80.Fi Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома Ю. А. Кругляк Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, 65016 Одесса, Украина С позиций транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома обсуж- даются такие свойства графена как плотность электронных состояний и плотность носителей тока, число мод и максимальная проводимость, рас- сеяние в графене, подвижность в графене в связи с формулой Друде, цик- лотронная частота и эффективная масса в графене, плотность фононных состояний, сравнительный вклад электронов и фононов в теплопровод- ность графена. В заключение в справочных целях даётся сводка термо- электрических коэффициентов для графена в баллистическом и диффу- зионном режимах проводимости со степенным законом рассеяния. З позицій транспортної моделі Ландауера–Датти–Лундстрома обговорю- ються такі графенові властивості як густина електронних станів і густина носіїв струму, число мод і максимальна провідність, розсіяння в графені, рухливість у графені у зв’язку з формулою Друде, циклотронна частота і ефективна маса в графені, густина фононних станів, порівняльний внесок електронів і фононів у графенову теплопровідність. На закінчення в дові- дкових цілях дається зведення термоелектричних коефіцієнтів для гра- фену в балістичному та дифузійному режимах провідности зі степеневим законом розсіяння. On the basis of the Landauer–Datta–Lundstrom transport model, the follow- ing properties of graphene such as the electron density of states and the den- sity of carriers, the number of modes and maximum conductivity, scattering in graphene, mobility in graphene in connection with the Drude formula, the cyclotron frequency and the effective mass in graphene, phonon density of states, the relative contribution of electrons and phonons in the thermal con- duction of graphene are discussed. In conclusion, for reference purposes, a summary of thermoelectric coefficients for graphene in ballistic and diffu- sion conduction regimes with the power law of scattering is given. Ключевые слова: нанофизика, наноэлектроника, графен, число мод, мак- Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2015, т. 13, № 2, сс. 215–242  2015 ІÌÔ (Інститут металофізики ім. Ã. В. Курдюмова НАН Óкраїни) Надруковано в Óкраїні. Ôотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 216 Ю. А. КРÓÃЛЯК симальная проводимость, эффективная масса, фононные состояния, теп- лопроводность, термоэлектрические коэффициенты. (Получено 18 марта 2015 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ Ìодель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома (ЛДЛ) в режиме линейного отклика сводится к паре транспортных уравнений [1]  / F x d E q dT J S dx dx     [А/м2], (1)   0 / F Qx d E q dT J k dx dx    [Вт/м2] (2) или в обращённой форме ( / ) F x d E q dT J S dx dx    , (3) Qx x dT J J k dx    (4) с транспортными коэффициентами для 2D-проводников 1/ ( )E dE     , (5) 2 02 ( ) ( ) ( ) fq M E E E h W E          , (6) 1 ( )F T E E sk S E dE q kT T              , (7) 2 2 0 ( )F E Ek k T E dE k S q kT                  . (8) Óравнения (1)–(8) справедливы для диффузионных резисторов любой размерности и любого масштаба, любого типа проводимости, включая биполярную проводимость. Óравнение (6) выписано для 2D-проводника; это видно по множителю ( ) /M E W , где W — ши- рина 2D-проводника. При рассмотрении 3D-проводников этот множитель нужно заменить на M(E)/A, где A — площадь попереч- ного сечения 3D-проводника, а для 1D-проводника заменить просто на число мод проводимости M(E). При рассмотрении транспорта во всех режимах от диффузионного до баллистического среднюю дли- СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 217 ну свободного пробега ( )E нужно заменить кажущейся длиной по уравнению 1/ 1/ 1/ app L    , где L — длина проводника. Ôакти- чески в этих уравнениях нужно задаться только двумя параметра- ми, ( )M E и (E). Число мод для проводников любой размерности с параболической дисперсией определяется формулами (72)–(74) в [2], но сами уравнения (1)–(8) справедливы для любой зонной структуры, нужно лишь корректно задать число мод проводимости. Зависимость (E) нужно определить в соответствии с характером рассеяния в проводнике; часто используется степенной закон рас- сеяния [1]. В настоящем обзоре рассматривается применение транспортной модели ЛДЛ к графену. 2. ГРАФЕН Пожалуй, сегодня нет другого объекта, который вызывал бы столь пристальное и широкое внимание физиков, химиков и технологов, как графен. Опубликованы подробные обзоры по физике графена [3–9]. В приближении эффективной массы поведение электрона в графене даётся уравнением Дирака–Вейля для безмассовых нейтрино [10–12]. В такой необычной электронной системе особый интерес вызывают её транспортные свойства [13–17]. После демон- страции получения образцов графена микромеханическим методом расщепления графита [18] качество образцов графена оказалось настолько высоким, что удалось реализовать баллистический транспорт на этих образцах [18, 19] и наблюдать квантовый эффект Холла, что в свою очередь явилось фактическим подтверждением справедливости «нейтринной» трактовки электронных состояний графена [20, 21]. Это обстоятельство послужило «спусковым крюч- ком» взрывного интереса к всесторонним исследованиям графена вплоть до включения расчётов зонной структуры графена в универ- ситетские курсы, например, в Стэндфордском университете [22] и в Óниверситете Пердью [23–25]. Вначале дадим сжатое изложение простейшей -модели зонной структуры графена в рамках теории сильной связи [26] и приведём необходимые сведения о его зонной структуре, что послужит осно- вой для расчёта транспортных и не только свойств графена в модели ЛДЛ. В Приложении дадим сводку всех термоэлектрических свойств графена как в баллистическом, так и в диффузионном ре- жиме. Кристаллическая решётка графена представляет собой совокуп- ность двух взаимно проникающих решёток Браве А и В с элемен- тарной ячейкой в виде правильного ромба (рис. 1). Период этих ре- шёток равен 0 3 2,46a a  Å, где длина связи СС a01,42 Å. Зона Бриллюэна представляет собой правильный шестиугольник со сто- 218 Ю. А. КРÓÃЛЯК роной 4/3a (Приложение I). Примитивные векторы трансляции (рис. 2) выбраны следующим образом: (1,0)aa и ( 1 2, 3 2)a b . Векторы, связывающие соседние атомы, равны 1 (0,1 3)a  , 2 ( 1 2, 1 2 3)a    , 3 (1 2, 1 2 3)a   . Вектора обратной решётки равны * (2 )(1,1 3)a a и * (2 )(0,2 3)a b . Первая зона Брил- люэна имеет две узловые точки K и K. Соответствующие волновые векторы даются выражениями (2 )( 2 3,0)a  K и (2 )(2 3,0)a  K . Далее:             1 1 2 3 1 1 2 3 exp , exp , exp 1, exp 1, exp , exp , i i i i i i                           K K K K K K (9) где exp(2 /3)i   и удовлетворяет условию 1 1 0.     Пусть ( ) r обозначает 2pz-АО атома углерода С. Периодический потенциал решётки создаётся двумя смещёнными друг относитель- но друга подрешётками А и В. Волновая функция электрона в та- ком потенциале даётся линейной комбинацией двух блоховских волн, построенных на этих подрешётках:           A B A A A B B B           R R r R r R R r R ; (10) Рис. 1. Элементарная ячейка графена и вектор трансляции решёток Браве А и В. а б Рис. 2. Решётка графена (а) и его первая зона Бриллюэна (б). СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 219 амплитуды  A A  R и  B  B R берутся в точках 1A a b n n   R a b и B a b n n R a b при целочисленных значениях na и nb. Пренебрежём интегралом перекрывания двух соседних АО (  2 ( ), 2 ( ) 0 z z S p A p B  ) и учтём резонансный интеграл только между соседними атомами (03 эВ), что позволит получить все решения в аналитическом ви- де. Тогда                        3 3 0 0 1 1 , A A B A l B B A B l l l E ER R R R , (11) где за нуль отсчёта энергии принята энергия 2pz-АО атома С. Положив    ( )exp A A A A f i  R k k R ,    ( )exp B B B B f i  R k k R , получим:                   * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) AB A A AB B B h f f E h f f k k k k k k ,         3 0 1 ( ) exp AB l l h ik k . (12) Тогда для энергии зон имеем:   3 0 1 ( ) exp l l E i       k k . (13) В соответствии с уравнением (10) имеем  ( ) 0E E    K K , т.е. в так называемых дираковских точках K и K отсутствует щель меж- ду валентной зоной  и зоной проводимости  * (рис. 3). Посмотрим на поведение энергии в окрестности точки K. Пере- пишем k как Kk и разложим энергию E(k) по степеням ak . В наинизшем, первом порядке получим: Рис. 3. Симметричная зонная структура графена в приближении Хюккеля (S0, 00). 220 Ю. А. КРÓÃЛЯК     3 1 0 1 exp ( ) l x y l i k ik           K k (14) 0 3 2 a   . (15) Поэтому, переопределив ( ) ( ) A A f f K k k и ( ) ( ) B B f f  K k k , имеем: 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) x y A A x y B B k ik f f E k ik f f                     k k k k . (16) Используя матрицы Паули 0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i                        , (17) предыдущее уравнение (16) можно переписать в виде ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) A B f E f              k k f k f k f k k , (18) где  , x y     . Аналогичным образом получаем уравнение для точки K. Ôактически достаточно лишь заменить на  . Таким образом, в окрестностях точек K и K дисперсия энергии даётся простым выражением ( ) , 1 s E s s   k k , (19) а плотность состояний равна  2 2 , ( ) 2 v sv s s k g g Eg g D E E s L        k , (20) где LxLy — площадь графена, вырождение по спину gs2, а наличие двух долин K и K приводит к пространственному (долинному) вы- рождению gv2. Полученные результаты иллюстрируются рис. 4. Плотность состояний исчезает в точке E0. Поэтому графен часто рассматривают как двумерный полупроводник с нулевой запре- щённой зоной или же как полуметалл. В рассматриваемом приближении эффективной массы (иначе, схемы kp), движение электрона вблизи точек K и K описывается уравнением Шредингера, в котором вектор k заменяется операто- ром ˆ i  k . Имеем: СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 221    ˆ ˆ( ) ( ), ( ) ( ) K K K KE E          k F r F r k F r F r , (21) где ( ) KF r и ( ) K F r являются двухкомпонентной волновой функцией ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) K K K KA A K K B B F F F F                 r r F r F r r r . (22) Óравнения (21) — это уравнения Дирака–Вейля для нейтрино, исключая разве что изотропную скорость 1 F E v k      , (23) меньшую скорости света всего приблизительно в 300 раз. Столь вы- сокая скорость электронов в графене привлекла внимание специа- листов по наноэлектронике. Итак, вблизи точки Дирака 2 2 ( ) F F x y E k v k v k k     . (24) Ãрафен с 0 F E  назовём n-проводником, а с 0 F E  — р- проводником. Щели между зоной проводимости и валентной зоной нет. Обе зоны всегда спарены (рис. 5). Электроны в графене описываются двухкомпонентной волновой функцией  1 11 2 x yi k y x i k B yA x sL L e e                , (25) где arctg( / ) y x k k  , что влечёт за собой важные следствия; напри- мер, поскольку электроны вдоль x k и x k описываются ортого- нальными волновыми функциями, то вероятность обратного рассе- Рис. 4. Дисперсия энергии и плотность состояний D(E) в окрестности точек K и K′. 222 Ю. А. КРÓÃЛЯК яния на 180 в графене нулевая. 2.1. Плотность состояний и плотность носителей тока В конечном итоге нужно вычислить проводимость графена. Прово- димость зависит от EF, а положение уровня Ôерми зависит от плот- ности носителей тока, определяемой плотностью состояний D(E). Опуская подробности вычисления плотности состояний [27, 28], имеем для 2D-проводника число состояний между k и k dk :     2 ( ) 2 / 2 / s v x y kdk N k dk g g L L     , (26) где x y L L A есть площадь графена, для которой вычисляется чис- ло состояний. В знаменателе стоит площадь k-пространства, заня- тая k-состояниями. Для дисперсии (24) —   2 ( ) v F EdE N k dk g A v   . (27) Определяя ( )D E dE как плотность состояний на единицу поверхно- сти графена в интервале энергий между E и E dE и учитывая, что энергия может быть как положительной, так и отрицательной, для плотности состояний графена окончательно получаем: 2 2 2 \| \| ( ) F E D E v   , (28) а для образца графена с площадью поверхности WL это удельное выражение нужно умножить на WL. Число электронов в зоне проводимости Рис. 5. Зонная структура графена. Óвеличенным масштабом показан ли- нейный спектр носителей тока в точке Дирака. СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 223   0 0 ( ) ( ) S F n E D E f E dE    , (29) где индексом S пометим свойство, отнесённое к поверхности. По- скольку графен вырожден, то T0 К будет неплохим приближени- ем даже при комнатной температуре. Óравнение (29) становится следующим:   2 2 0 0 2 ( ) F FE E S F F n E D E dE dE v     , (30) так что окончательно для плотности носителей тока имеем:   2 2 2 F S F F E n E v   . (31) 2.2. Число мод и проводимость Для 2D-проводника число мод (формула (63) в [2]) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 D x D h M E WM E W v E D E  , (32) где W — ширина проводника. Для графена 2 ( ) x F v E v   , (33) а плотность состояний даётся формулой (28), так что для числа мод окончательно имеем: 2 \| \| ( ) F E M E W v   . (34) В отличие от параболической дисперсии, для которой поведение числа мод и плотности состояний с энергией различное (рис. 8 в [2]), в графене оба эти свойства пропорциональны энергии: ( ), ( )D E M E E . (35) Теперь можно сразу вычислить проводимость. Согласно (6) с учё- том вырожденности (T0 К)   2 2 02 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) F fq M E q M E E E E E E h W E h W              , (36) 224 Ю. А. КРÓÃЛЯК так что окончательно поверхностная проводимость (5)   2 22 ( ) F S F F Eq E dE E h v            . (37) Для не зависящей от энергии средней длины свободного пробега проводимость графена пропорциональна энергии Ôерми, а по (31), стало быть, линейно зависит от S n . 2.3. Рассеяние в графене Характер зависимости проводимости от энергии Ôерми или от по- верхностной плотности носителей тока диктуется зависимостью среднего пути свободного пробега от энергии ( )E , который в свою очередь определяется временем релаксации импульса согласно [29]: ( ) 2 F p E v     . (38) Там же показано, что для короткодействующих потенциалов рассе- яния и рассеяния на акустических фононах скорость рассеяния пропорциональна плотности состояний: 1 ( ) p D E E   , (39) так что в итоге 1 ( ) p E E    (40) и не зависит от температуры. Согласно же (37), теперь нужно при- знать, что для короткодействующих потенциалов рассеяния и рас- сеяния на акустических фононах поверхностная проводимость S должна быть константой, независящей от F E или nS. Поскольку S S qn   , (41) то подвижность  должна быть обратно пропорциональна nS. Это — необычная ситуация. Ведь обычно, чем больше плотность носите- лей тока, тем больше проводимость. Ìожно заключить, что, если доминируют короткодействующие потенциалы рассеяния или рас- сеяние на акустических фононах, можно ожидать независимости проводимости от nS [13] (рис. 6). В случае рассеяния на экранированных и неэкранированных ионизированных примесях для ( )E можно ожидать линейную за- висимость от энергии [15–17]: СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 225 ( ) ii E E   , (42) что после подстановки в (37) дает квадратичную зависимость от EF. Плотность носителей тока (31) также квадратична по EF. Таким об- разом, рассеяние на заряженных примесях ведёт к проводимости, линейно зависящей от nS, и, согласно (41), к постоянному значению подвижности [14]. На рисунке 6 качественно иллюстрируются два рассмотренных выше механизма рассеяния: случай короткодействующих потенци- алов рассеяния (sr—short range) и рассеяние на ионизированных примесях (ii—ionized impurities). Скорости рассеяния складывают- ся, так что суммарное значение средней длины свободного пробега 1 1 1 tot ii sr      (43) и 1 1 1 tot ii sr      . (44) Для выбранного значения nS наименьший из двух вкладов лимити- рует суммарное значение S, из чего следует нелинейная суммарная зависимость  S S n . Ещё несколько механизмов рассеяния могут оказаться важными в графене. Это, например, короткодействующее рассеяние на де- фектах сотовой структуры графена и рассеяние на полярных опти- Рис. 6. Качественная картина зависимости проводимости от плотности но- сителей тока для графена: (а) для короткодействующих потенциалов рас- сеяния и рассеяния на акустических фононах зависимость отсутствует; (б) рассеяние на заряженных примесях дает линейную зависимость; (в) сум- марная картина; показан также баллистический режим. 226 Ю. А. КРÓÃЛЯК ческих фононах в SiO2, часто служащем подложкой для графена [15–17]. 2.4. Подвижность и формула Друде Подвижность в графене находим уравниванием выражений (37) и (41):   22 1 F F S F Eq E h n v         . (45) После подстановки выражения для nS (31) получаем   2 F F F qv E E     . (46) Часто пишут, что электроны в графене «безмассовые». Это утверждение не лишено смысла, поскольку линейная дисперсия в графене (24) похожа на частотную дисперсию для фотонов (k). Со- ответственно этому для нахождения подвижности не стоит пользо- ваться формулой Друде с некой эффективной массой * p q m    , (47) а пользоваться напрямую формулой (46). Вместе с тем, связь между двумя подходами можно установить. Для этого выразим длину сво- бодного пробега в (46) через время релаксации по (38). Тогда  2 / p F F F q E E v    , (48) что напоминает формулу Друде для подвижности (47), если под так называемой эффективной массой в графене подразумевать * 2 F F E m v  , (49) что напоминает релятивистское выражение для энергии 2E mc . 2.5. Циклотронная частота в графене При помещении графена в магнитное поле, направленное перпен- дикулярно его поверхности, циклотронная частота 2 / c T   , (50) СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 227 где Т — период обращения электрона по круговой орбите вокруг вектора магнитного поля (рис. 7) ˆ z B zB , (51) для слабых полей связана со средним временем свободного пробега p соотношением    1 c p , (52) * z c qB m   . (53) Тогда условие для слабых полей (52) с учётом (47) можно перепи- сать ещё так:   1 z B . (54) Из (50) и (52) следует, что для слабых полей   p T ; (55) другими словами, период обращения электрона намного превышает время между столкновениями, в результате чего лишь редкие орби- ты оказываются замкнутыми, что и приводит к наблюдению клас- сического эффекта Холла. В противном случае, когда    1 c p , (56) Рис. 7. К вычислению циклотронной частоты. Крестиком на траектории отмечены акты рассеяния. 228 Ю. А. КРÓÃЛЯК что соответствует сильным магнитным полям, наблюдается кванто- вый эффект Холла. Получим общее выражение для циклотронной частоты, пригод- ное для произвольной дисперсии. Для силы Лоренца, действующей на электрон в магнитном поле, имеем d q dt  p B (57) Óчтём, что импульс p k , (58) и распишем (57) покомпонентно: x y z dk qv B dt   , y x z dk qv B dt   , что даёт (рис. 7): (cos ) ( sin ) z d k q v B dt     , (59а) (sin ) ( cos ) z d k q v B dt     . (59б) Дифференцируя (59а) по времени и используя (59б), получим 2 2 2 (cos ) cos c d dt     , (60) где искомая циклотронная частота для изотропной зонной структу- ры c z qv B k   . (61) Для параболической дисперсии * k v m  , (62) что и даёт для этой дисперсии циклотронную частоту (53). Для интересующего нас случая графена F v v , F E v k , и для циклотронной частоты в графене из (61) получаем 2 / z c F F qB E v   . (63) Таким образом, и здесь справедливо полученное ранее выраже- СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 229 ние (49) для эффективной массы. 2.6. Эффективная масса в графене Выражение для эффективной массы в графене из подвижности (49) и циклотронной частоты (63) указывает на то, что должен быть бо- лее общий подход к понятию эффективной массы, чем традицион- ное определение её через кривизну дисперсионного соотношения         2 * 2 2 0k d E m dk . (64) Разные способы записи проводимости для 2D-проводников при- ведены в [31]. В общем случае имеем два эквивалентных выраже- ния для проводимости [32], одно из которых выражает проводи- мость через произведение плотности состояний ( )D E и коэффици- ента диффузии D : 2 ( ) 1 1 ( ) 1, , D E E q D L W A         , (65) а другое — через произведение числа мод ( )M E в канале проводи- мости и средней длины пробега ( )E : 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1, , q E M E E h W A          , (66) где выражение в фигурных скобках показывает множители для проводников разной размерности. Применимость модели Друде ограничена, в то время как уравне- ния для проводимости (65) и (66) имеют самое общее значение. Ôундаментальное различие между этими уравнениями и теорией Друде состоит в том, что усреднение (5), (6)   0 f E dE E             , (67) делает проводимость свойством поверхности Ôерми: проводимость определяется уровнями энергии, близкими к 0F E E . А согласно теории Друде проводимость зависит от общей электронной плотно- сти, суммированной по всему спектру энергий, что и приводит к ограниченной применимости модели Друде. Проводимость веществ меняется в очень широких пределах, не- смотря на то, что число электронов в разных веществах приблизи- тельно одинаково. Низкая проводимость стекла объясняется не тем, что в стекле мало так называемых «свободных» электронов, а 230 Ю. А. КРÓÃЛЯК потому, что для стекла характерна очень низкая плотность состоя- ний и числа мод вблизи 0F E E . Понятие же «свободных» электро- нов относится к интуитивным понятиям. Для произвольных проводников, как с кристаллической струк- турой, так и аморфных, и для молекулярных проводников показано [32], что независимо от функциональной зависимости дисперсион- ного соотношения Е(р) плотность состояний D(E), скорость v(E) и импульс p(E) связаны с числом электронных состояний N(E) c энер- гией, меньшей значения E, фундаментальным соотношением ( ) ( ) ( ) ( )D E E p E N E d  , (68) где d — размерность проводника. Используя (68) для вычисления проводимости (65) с учётом коэффициента диффузии [33] 2 x p D    (69) для 3D-проводника получим 2 ( )( ) ( ) ( ) p EN E E q AL m E    . (70) где масса определена как ( ) ( ) ( ) p E m E E   . (71) Легко убедиться, что фундаментальное соотношение (68) спра- ведливо и для параболической дисперсии, и для линейной. Для па- раболической зависимости масса носителей тока от энергии не за- висит, что в общем случае не так. Ôормула (70) выглядит как в теории Друде, если N/(AL) считать электронной плотностью n. При низких температурах это действи- тельно так, поскольку усреднение (67) при 0F E E даёт 0 2 2( ) / F p p E E N E q q n m AL m           , (72) так как N(E) при 0F E E есть полное число электронов. При нену- левой температуре ситуация тем более сложнее, поскольку плот- ность состояний непараболическая. Отметим, что ключевым мо- ментом в сведении общего выражения для проводимости (65) к вы- ражению (70), похожему на формулу Друде, есть фундаментальное соотношение (68), связывающее плотность состояний D(E), ско- рость v(E) и импульс p(E) для данного значения энергии с полным числом состояний N(E), полученных интегрирование плотности со- СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 231 стояний:     E N E D E dE    . (73) 2.7. Плотность фононных состояний в графене Плотность фононных состояний и фононные моды для проводников разной размерности подробно рассмотрены в [34]. В качестве при- мера обратимся к вычислению плотности состояний для фононных акустических мод в графене, ход которых качественно показан на рис. 8. Вычислим плотность фононных состояний для конкретных ча- стот 1, 2 и 3. Если продольные LA- и поперечные TA- акустические моды можно аппроксимировать линейной зависимо- стью (k), а именно, LA g v k  , (74а) TA g v k  , (74б) то изгибные моды (flexural—ZA) ближе всего аппроксимируются квадратичной зависимостью частоты  ZA 2 const k , (74в) где для графена [35, 36]  LA 4 2 10 м/с g v ,  TA 4 1,5 10 м/с g v ,  ZA 7 2 const 5 10 м /с . (75) Подстановка (74а) в (62б) работы [34] окончательно для плотно- Рис. 8. К вычислению плотности фононных состояний на разных частотах. 232 Ю. А. КРÓÃЛЯК сти фононных LA-мод даёт       LA 2 2 LA ( ) 2 D g D v (76а) и аналогично для TA-мод       TA 2 2 TA ( ) 2 D g D v . (76б) Для ZA-мод с учётом (59б) работы [34] и (74в) окончательно имеем      ZA 2 2 2 ZA ( )1 1 ( ) 4 const D D dN k dk D dk dL . (76в) На частоте 1 вклад в плотность фононных состояний дают все три моды (рис. 8):                            LA TA ZA 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 ZA LA TA 1 , 4 const2 2 tot D D D D g g D D D D v v (77а) на частоте 2 — только моды LA и TA:                      LA TA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 LA TA 2 2 tot D D D g g D D D v v , (77б) а на частоте 3 — только мода LA:             LA 3 2 3 2 3 2 LA 2 tot D D g D D v . (77в) 2.8. Вклад электронов и фононов в теплопроводность графена Óникальная зонная структура графена в точках Дирака порождает исключительно высокую электронную проводимость графена, что в свою очередь привело к множеству разнообразных предложений и идей по применению графена в различных и порой необычных электронных устройствах [37]. В отличие от большинства известных материалов линейность зонной структуры графена напоминает поведение длинноволновых акустических фононов. В отличие от исключительного внимания к электрическим свойствам графена его термические свойства менее СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 233 изучены. Вместе с тем именно фононы ответственны за его тепло- физические свойства. Приведём качественное объяснение причин такой ситуации. Для этого нужно обратиться к фононным модам. Согласно (34), в случае электронов для плотности числа мод име- ем: 2 2 \| \| ( ) D F E M E v   . (78) Для плотности числа фононов, согласно (67б) работы [34], имеем: 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) D g D k M v D        . (79) Для LA- и TA-акустических фононов воспользуемся, согласно (74а), (74б), линейным дебаевским приближением, а для ZA- фононов — квадратичной аппроксимацией (74в). Тогда для плотно- сти фононных состояний имеем:     LA 2 LA ( ) D g M v , (80а)     TA 2 TA ( ) D g M v , (80б)     ZA 2 ZA 1 ( ) const D M (80в) с параметрами LA g v , TA g v и ZA const по (75). Сравнивая плотность числа электронных мод (78) с плотностью LA- и TA-фононных состояний (80а), (80б), мы фактически имеем одно и то же выражение (E   ) за исключением двойки, учиты- вающей вырождение по спину. Отличаются эти выражения лишь скоростью: скорость электронов F на два порядка больше группо- вой скорости фононов vg. В результате плотность электронных мод намного меньше плотности фононных мод. Это наглядно видно из рис. 9, где зависимость плотности всех акустических фононных мод отложена вместе с плотностью электронных мод в интервале 0 50E  мэВ с максимальным значением, соответствующим 2kT при комнатной температуре. Как следствие, нужно ожидать намного более существенный вклад фононов в передачу тепла по сравнению с электронами. А среди фононных акустических мод наиболее важную роль в переда- че тепла играют изгибные моды ZA [34], по крайней мере, вплоть до комнатных температур. 234 Ю. А. КРÓÃЛЯК 2.9. Максимальная проводимость графена Рассмотрим идеально чистый графен без дефектов и без заряжен- ных примесей, рассеивающих электроны. Какую проводимость можно ожидать? При высоких температурах имеет место рассеяние на фононах; вблизи же комнатной температуры доминирует рассе- яние на акустических фононах. Скорость рассеяния пропорцио- нальна плотности состояний, а для времени рассеяния получено следующее выражение [28]: 3 2 2 2 4 1 ( ) m F S p A v v E D kT E          , (81) где m — массовая плотность; vS — скорость звука; DA — акустиче- ский деформационный потенциал, служащий мерой электрон- фононной связи. Тогда для среднего пути свободного пробега, со- гласно (38), получаем: 3 3 2 2 2 1 ( ) m F S A v v E D kT E           (82) и далее из уравнения (37) для поверхностной проводимости имеем: 2 2 2 2 4 1m F S S A q v v D kT E           . (83) Подставляя следующие значения свойств для графена [29]      4 7 2 2,1 10 м/с, 7,6 10 кг/м , 18эВ S m A v D , Рис. 9. Плотность электронных и фононных состояний в графене вплоть до 50 мэВ [36]. СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 235 получаем    1 30 Ом/ S S . (84) Оценка (84) дает ожидаемый нижний предел для удельного поверх- ностного сопротивления (верхний предел для удельной поверхност- ной проводимости). В реальности другие механизмы рассеяния увеличат поверхностное сопротивление. Как соотносится получен- ная оценка с поверхностным сопротивлением для других материа- лов? Рассмотрим, например, Si MOSFET с 13 3 10 см S n  и подвиж- ностью в инверсионном слое 2 eff 250 см /В с   . Для такого 2D- проводника 2500 Ом/ S   . Для высокопроводящего InGaAs с 12 3 2 10 см S n   и подвижностью 5 2 eff 1 10 см /В с    находим, что 300 Ом/ S   . Действительно, для графена можно ожидать ис- ключительно высокую проводимость. В заключение в справочных целях приводим в Приложении II термоэлектрические коэффициенты для графена в баллистическом и диффузионном режимах [29, 38]. ПРИЛОЖЕНИЕ I. Обратная решётка и зона Бриллюэна графена Построим обратную решётку графена и его зону Бриллюэна. При- митивные векторы трансляции можно выбрать любым приемле- мым способом. В отличие от выбора на рис. 2, а, пусть сейчас векто- ры трансляции выберем иначе (рис. ПI-1). Эти базисные векторы, очевидно, таковы:      1 0 0 2 0 0 3 3 3 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 2 2 2 2 a x a y a x a y cza a a где вектор a3 играет вспомогательную роль: периодичность перпен- дикулярно плоскости графена отсутствует, величина этого вектора, как будет видно ниже, даётся большим числом. Произвольные векторы прямой 1 1 2 2 3 3 n n n  R a a a и обратной 1 1 2 2 3 3 k k k  G b b b решёток связаны соотношением: 2 Int  R G , где Int есть произвольное целое число, а трансляционные векторы обратной решётки — 1 2 3 2 ( ) j k i      a a b a a a , где знаменатель есть объём элементарной ячейки. Вычисляем век- торы обратной решётки: 236 Ю. А. КРÓÃЛЯК                                2 3 1 2 3 0 3 1 2 2 3 0 1 2 3 2 3 2 1 1 ˆ ˆ2 , ( ) 3 3 2 1 1 ˆ ˆ2 , ( ) 3 3 2 ˆ2 , ( ) x y a x y a z c 1 1 1 a a b a a a a a b a a a a a b a a a (ПI) где 3 \| 0 c b , что соответствует двухмерности обратной решётки. Относительно центра  первой зоны Бриллюэна строим векторы b1, b2, b1b2 и им обратные (рис. ПI-2). Концы векторов А, С, Е и B, D, F образуют два симметрично пере- секающихся треугольника, образующих первую зону Бриллюэна в виде правильного шестиугольника с особыми точками Ì и K. Из геометрических построений для стороны зоны Бриллюэна получа- ем   0 2 4 (3 3)MK a . Сопоставление прямой и обратной решёток показано на рис. ПI- 3. Обращает на себя внимание взаимное расположение векторов трансляции обеих решёток:   2 1 , , 1 2 b a b a что следует из (ПI). Рис. ПI-1. Выбор примитивных векторов трансляции. Рис. ПI-2. Построение первой зоны Бриллюэна. СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 237 ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ ГРАФЕНА В приведённых ниже формулах предполагается линейная диспер- сия (24). Число мод даётся выражением (34). Рассеяние описывает- ся степенным законом 0 ( ) r E E kT          . Положение уровня Ôерми EF относительно дна зоны проводимо- сти EC определяется параметром F C F E E kT    . Проводимость /G W L  приведена в Сименсах:  [ ] 1 См . Ана- логично для остальных удельных термоэлектрических коэффици- ентов (5)–(8): / ; T T s S L W 0 0 / ;к K L W / .k KL W Интегралы Ôерми–Дирака порядка j определяются следующим образом [31]:    0 ex 1 ( 1) p 1 j F F j d j             . 1. Баллистический режим     2 0 0 2 2ball F F F q kT G W h v              ;         1 1 0 0 2 F Fball F F F k S q                     ; Рис. ПI-3. Прямая (слева) и обратная (справа) решётки графена; первая зона Бриллюэна затенена. 238 Ю. А. КРÓÃЛЯК                                          2 1 1 0 0 2 2 2 ; ball T F F F F F F S q kT k W h v q                                                  222 1 1 2 2 0 0 42 2 6 ; ball F F F F F F F K q kT k WT h v q                                                      22 0 2 2 2 1 1 0 0 2 2 6 4 . ball F F F F F F F F F q kT k K WT h v q 2. Диффузионный режим       2 02 2 2 diff r F r F F q kT G W r h v L                     ;           1 1 2 r F r Fdiff F r F r F rk S q                        ;                                                    2 0 1 1 2 2 3 2 ; diff T F r F r F F r F r F q k kT S W h q v L r r                                                                      22 0 2 1 1 2 2 2 2 3 2 3 ; F r F r F r F r F r F r F q k kT K WT r h q v L r r                    22 0 0 2 2 1 1 2 2 2 4 2 3 2 . F r F r F F r F r F F r F r F q k kT K W T h q v L r r r                                                          СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 239 В основу настоящего обзора положены лекции Ìарка Лундстро- ма ‘Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications’ [29], Суприе Датты ‘Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts’ [39] и Тимоти Ôишера ‘Thermal Energy at the Nanoscale’ [36], прочитанных в 2011–2013 годах в рамках инициативы Purdue University/nanoHUB-U [www.nanohub.org/u]. Благодарю Н. Е. Кругляк за помощь в подготовке рукописи к пе- чати. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Yu. Kruglyak, J. Nanoscience, 2014, Article ID 725420, 15 pp.; www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420. 2. Ю. А. Кругляк, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 11, № 3: 519 (2013); Erratum, ibidem, 12, № 2: 415 (2014). 3. Ì. В. Стріха, Sensor Electronics Microsys. Techn., 7, No. 3: 5 (2010). 4. A. K. Geim, Science, 324: 1530 (2009). 5. K. S. Novoselov, Physics World, 22, No. 8: 27 (2009). 6. Ю. Е. Лозовик, С. П. Ìеркулова, А. А. Соколик, УФН, 178, No. 7: 757 (2008). 7. С. В. Ìорозов, К. С. Новоселов, А. К. Ãейм, УФН, 178, No. 7: 776 (2008). 8. T. Ando, Prog. Theor. Phys. Suppl., No. 176: 203 (2008). 9. A. K. Geim and K. S. Novoselov, Nature Mat., 6: 183 (2007). 10. J. W. McClure, Phys. Rev., 104: 666 (1956). 11. J. C. Slonczewski and P. R. Weiss, Phys. Rev., 109, No. 2: 272 (1958). 12. T. Ando, J. Phys. Soc. Japan, 74: 777 (2005). 13. N. Y. Shon and T. Ando, J. Phys. Soc. Japan, 67: 2421 (1998). 14. N. M. R. Peres, J. M. B. Lopes dos Santos, and T.Stauber, Phys. Rev. B, 76, No. 7: 073412 (2007). 15. W. Zhu, V. Perebeinos, M. Freitag, and P. Avouris, Phys. Rev. B, 80: 235 (2009). 16. V. Perebeinos and P. Avouris, Phys. Rev. B, 81: 195442 (2010). 17. S. D. Sarma, S. Adam, E. H. Hwang, and E. Rossi, Rev. Mod. Phys., 83: 407 (2011). 18. R. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science, 306: 666 (2004). 19. S. V. Morozov, K. S. Novoselov, F. Schedin, D. Jiang, A. A. Firsov, and A. K. Geim, Phys. Rev. B, 72, No. 20: 201401 (2005). 20. R. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov, Nature, 438: 197 (2005). 21. Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer, and P. Kim, Nature, 438: 201 (2005). 22. R. B. Laughlin, Condensed Matter Theory (II): Graphene Band Structure / Graphene Density of States: http://large.stanford.edu/courses/. 23. S. Datta, Graphene Bandstructures (Purdue University: 2008: www.nanohub.org/resources/5710). 24. S. Datta, Graphene Density of States I (Purdue University: 2008: www.nanohub.org/resources/5721). 25. S. Datta, Graphene Density of States II (Purdue University: 2008: http://www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420 http://large.stanford.edu/courses/ http://www.nanohub.org/resources/5710 http://www.nanohub.org/resources/5721 240 Ю. А. КРÓÃЛЯК www.nanohub.org/resources/5722). 26. Ю. А. Кругляк, Н. Е. Кругляк, Вісник Одеського державного екологічного університету, № 13: 207 (2012). 27. M. Lundstrom, Sums in k-space / Integrals in Energy Space (Purdue University: 2009: www.nanohub.org/resources/7296). 28. D. Berdebes, T. Low, and M. Lundstrom, Lecture Notes on Low Bias Transport in Graphene: An Introduction (Purdue University: 2009: www.nanohub.org/resources/7435). 29. M. Lundstrom and C. Jeong, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/resources/11763. 30. Ю. О. Кругляк, Ì. В. Стріха, Sensor Electronics Microsys. Tech. 11, No. 1: 5 (2014). 31. Ю. А. Кругляк, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 11, № 4: 655 (2013). 32. Ю. А. Кругляк, Н. Е. Кругляк, Физич. образов. в ВУЗах, 19, № 3: 99 (2013). 33. Ю. А. Кругляк, Н. Е. Кругляк, Физич. образов. в ВУЗах, 19, № 2: 161 (2013). 34. Yu. A. Kruglyak, Proceedings of the International Conference ‘Nanomaterials: Applications and Properties’, 3, No. 2: 02NAESF02 (2014). 35. D. Singh, J. Y. Murthy, and T. S. Fisher, J. Appl. Phys., 110, No. 9: 094312 (2011). 36. T. S. Fisher, Thermal Energy at the Nanoscale (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/courses/2. 37. S. D. Sarma, S. Adam, E. H. Hwang, and E. Rossi, Rev. Mod. Phys., 83, No. 2: 407 (2011). 38. R. S. Kim. Physics and Simulation of Nanoscale Electronic and Thermoelectric Devices (West Lafayette: Purdue University: 2011). 39. S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2012); www.nanohub.org/courses/FoN1. REFERENCES 1. Yu. Kruglyak, J. Nanoscience, 2014, Article ID 725420, 15 pp.; www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420. 2. Yu. A. Kruglyak, Nanosistemi, Nanomateriali, Nanotehnologii, 11, No. 3: 519 (2013) (in Russian); Erratum, ibid, 12, No. 2: 415 (2014) (in Russian). 3. M. V. Strikha, Sensor Electronics Microsys. Techn., 7, No. 3: 5 (2010) (in Ukrainian). 4. A. K. Geim, Science, 324: 1530 (2009). 5. K. S. Novoselov, Physics World, 22, No. 8: 27 (2009). 6. Yu. E. Losovik, S. P. Merkulova, and А. А. Sokolik, Uspekhi Fiz. Nauk, 178, No. 7: 757 (2008) (in Russian). 7. S. V. Morosov, K. S. Novoselov, and A. K. Geim, Uspekhi Fiz. Nauk., 178, No. 7: 776 (2008) (in Russian). 8. T. Ando, Prog. Theor. Phys. Suppl., No. 176: 203 (2008). 9. A. K. Geim and K. S. Novoselov, Nature Mat., 6: 183 (2007). 10. J. W. McClure, Phys. Rev., 104: 666 (1956). http://www.nanohub.org/resources/5722 http://www.nanohub.org/resources/7296 http://www.nanohub.org/resources/7435 http://www.nanohub.org/resources/11763 http://www.nanohub.org/courses/2 http://www.nanohub.org/courses/FoN1 http://www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420 СВОЙСТВА ÃРАÔЕНА В ÌОДЕЛИ ЛАНДАÓЭРА–ДАТТЫ–ЛÓНДСТРОÌА 241 11. J. C. Slonczewski and P. R. Weiss, Phys. Rev., 109, No. 2: 272 (1958). 12. T. Ando, J. Phys. Soc. Japan, 74: 777 (2005). 13. N. Y. Shon and T. Ando, J. Phys. Soc. Japan, 67: 2421 (1998). 14. N. M. R. Peres, J. M. B. Lopes dos Santos, and T. Stauber, Phys. Rev. B, 76, No. 7: 073412 (2007). 15. W. Zhu, V. Perebeinos, M. Freitag, and P. Avouris, Phys. Rev. B, 80: 235 (2009). 16. V. Perebeinos and P. Avouris, Phys. Rev. B, 81: 195442 (2010). 17. S. D. Sarma, S. Adam, E. H. Hwang, and E. Rossi, Rev. Mod. Phys., 83: 407 (2011). 18. R. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science, 306: 666 (2004). 19. S. V. Morozov, K. S. Novoselov, F. Schedin, D. Jiang, A. A. Firsov, and A. K. Geim, Phys. Rev. B, 72, No. 20: 201401 (2005). 20. R. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov, Nature, 438: 197 (2005). 21. Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer, and P. Kim, Nature, 438: 201 (2005). 22. R. B. Laughlin, Condensed Matter Theory (II): Graphene Band Structure / Graphene Density of States: http://large.stanford.edu/courses/. 23. S. Datta, Graphene Bandstructures (Purdue University: 2008: www.nanohub.org/resources/5710). 24. S. Datta, Graphene Density of States I (Purdue University: 2008: www.nanohub.org/resources/5721). 25. S. Datta, Graphene Density of States II (Purdue University: 2008: www.nanohub.org/resources/5722). 26. Yu. A. Kruglyak and N. E. Kruglyak, Visnyk Odeskogo Derzhavnogo Ekologichnogo Universytetu, No. 13: 207 (2012) (in Russian). 27. M. Lundstrom, Sums in k-space / Integrals in Energy Space (Purdue Universi- ty: 2009: www.nanohub.org/resources/7296). 28. D. Berdebes, T. Low, and M. Lundstrom, Lecture Notes on Low Bias Transport in Graphene: An Introduction (Purdue University:2009: www.nanohub.org/resources/7435). 29. M. Lundstrom and C. Jeong, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/resources/11763. 30. Yu. O. Kruglyak and M. V. Strikha, Sensor Electronics Microsys. Tech., 11, No. 1: 5 (2014) (in Ukrainian). 31. Yu. A. Kruglyak, Nanosistemi, Nanomateriali, Nanotehnologii, 11, No. 4: 655 (2013) (in Russian). 32. Yu. A. Kruglyak and N. E. Kruglyak, Fizich. Obrazovanie v VUZakh, 19, No. 3: 99 (2013) (in Russian). 33. Yu. A. Kruglyak and N. E. Kruglyak, Fizich. Obrazovanie v VUZakh, 19, No. 2: 161 (2013) (in Russian). 34. Yu. A. Kruglyak, Proceedings of the International Conference ‘Nanomaterials: Applications and Properties’, 3, No. 2: 02NAESF02 (2014). 35. D. Singh, J. Y. Murthy, and T. S. Fisher, J. Appl. Phys., 110, No. 9: 094312 (2011). 36. T. S. Fisher, Thermal Energy at the Nanoscale (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/courses/2. http://large.stanford.edu/courses/ http://www.nanohub.org/resources/5710 http://www.nanohub.org/resources/5721 http://www.nanohub.org/resources/5722 http://www.nanohub.org/resources/7296 http://www.nanohub.org/resources/7435 http://www.nanohub.org/resources/11763 http://www.nanohub.org/courses/2 242 Ю. А. КРÓÃЛЯК 37. S. D. Sarma, S. Adam, E. H. Hwang, and E. Rossi, Rev. Mod. Phys., 83, No. 2: 407 (2011). 38. R. S. Kim, Physics and Simulation of Nanoscale Electronic and Thermoelectric Devices (West Lafayette: Purdue University: 2011). 39. S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2012); www.nanohub.org/courses/FoN1. http://www.nanohub.org/courses/FoN1

Свойства графена в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома

Репозитарії

Схожі ресурси