Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений
В работе предлагается вывод закона распределения по крупности, основанный на наилучшем согласовании с экспериментальными данными теоретически найденных зависимостей....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2009
|
| Series: | Техническая механика |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88072 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений / В.Ф. Пожидаев, О.В. Грачев // Техническая механика. — 2009. — № 4. — С. 111-114. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88072 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-880722015-11-08T03:02:24Z Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений Пожидаев, В.Ф. Грачев, О.В. В работе предлагается вывод закона распределения по крупности, основанный на наилучшем согласовании с экспериментальными данными теоретически найденных зависимостей. У роботі пропонується вивід закону розподілу за великістю, заснований на найкращому узгодженні з експериментальними даними теоретично знайдених залежностей. This work provides the derivation of the size distribution law, based on the best agreement of the experimental data with the theoretical dependences. 2009 Article Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений / В.Ф. Пожидаев, О.В. Грачев // Техническая механика. — 2009. — № 4. — С. 111-114. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88072 622.7 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе предлагается вывод закона распределения по крупности, основанный на наилучшем согласовании с экспериментальными данными теоретически найденных зависимостей. |
| format |
Article |
| author |
Пожидаев, В.Ф. Грачев, О.В. |
| spellingShingle |
Пожидаев, В.Ф. Грачев, О.В. Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений Техническая механика |
| author_facet |
Пожидаев, В.Ф. Грачев, О.В. |
| author_sort |
Пожидаев, В.Ф. |
| title |
Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений |
| title_short |
Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений |
| title_full |
Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений |
| title_fullStr |
Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений |
| title_full_unstemmed |
Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений |
| title_sort |
моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88072 |
| citation_txt |
Моделирование гранулометрического состава и анализ его уравнений / В.Ф. Пожидаев, О.В. Грачев // Техническая механика. — 2009. — № 4. — С. 111-114. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT požidaevvf modelirovaniegranulometričeskogosostavaianalizegouravnenij AT gračevov modelirovaniegranulometričeskogosostavaianalizegouravnenij |
| first_indexed |
2025-07-06T15:46:18Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:46:18Z |
| _version_ |
1836913030472925184 |
| fulltext |
111
УДК 622.7
ПОЖИДАЕВ В.Ф., ГРАЧЕВ О. В.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКОГО СОСТАВА И
АНАЛИЗ ЕГО УРАВНЕНИЙ
В работе предлагается вывод закона распределения по крупности, основанный на наилучшем согла-
совании с экспериментальными данными теоретически найденных зависимостей.
У роботі пропонується вивід закону розподілу за великістю, заснований на найкращому узгодженні з
експериментальними даними теоретично знайдених залежностей.
This work provides the derivation of the size distribution law, based on the best agreement of the
experimental data with the theoretical dependences.
Значительные трудности, а в ряде случаев невозможность определения
опытным путем распределения зерен угля и руды, особенно в мелких клас-
сах, явились причиной многочисленных исследований. Поискам аналитиче-
ских выражений способствовала замеченная в случайном процессе измельче-
ния устойчивость распределения зерен статистической совокупности по
классам крупности.
Стремление к расширению диапазона применимости уравнения может
привести к противоречивым суждениям о степени его пригодности. Нередко
причиной этого является применение уравнения к интервалу крупности, не
исследованному и не рекомендованному автором.
Многие исследователи неоднократно обращались к фундаментальному
результату А. Н. Колмогорова о предельном распределении [1]. Как известно,
предельным законом при дроблении независимо от способа измельчения яв-
ляется логарифмически-нормальное распределение. Истинный закон распре-
деления асимптотически приближается к предельному распределению. Было
показано [2, 3], что реальная смесь частиц описывается законом распределе-
ния, физически обуславливающим свойства, которым обладает только лога-
рифмически нормальный закон.
В то же время логично для конкретных интервалов крупности предло-
жить семейство функций, которые наилучшим образом решают задачу
сплайн-интерполяции. Это снимает проблему поиска общего закона, который
необходим для решения задач, касающихся всей смеси, или в случае, когда
искусственно созданная результирующая смесь не подчиняется закону рас-
пределения Вейбулла.
Исчисление средних характеристик смеси зерен всегда наталкивается на
одно принципиальное затруднение: неопределенность значения самого тер-
мина. Так, для вычисления среднего диаметра смеси зерен в диапазоне круп-
ности ( , )a b существует очень большое число формул.
Задача исчисления среднего диаметра становится определенной и вполне
разрешимой, если исходить из следующего определения средней величины:
Средней аргумента x по рассматриваемому определяющему свойству кол-
лектива S мы назовем то одинаковое для всех членов коллектива значение
аргумента x , которое им можно придать, не изменяя определяющего свой-
ства коллектива. То есть, средняя есть величина x , характеризующая объек-
тивно уравненный коллектив , , , x x x , но при этом имеющий то же, что
и он, количественное выражение определяющего свойства.
В.Ф. Пожидаев, О.В. Грачев, 2009
Техн. механика. – 2009. – № 4.
112
Таким образом, каждое свойство коллектива зерен отражается своей
особой средней. В зависимости от того, какое свойство мы стремимся отоб-
разить в средней, нам приходится вычислять ее то одним, то другим спосо-
бом. Из этого вытекает, что средний диаметр должен быть заранее рассчитан
на отображение какого-либо свойства, которое мы и будем называть “опре-
деляющим”.
Для того чтобы определяющее свойство было отображено в среднем
диаметре, нужно уметь выразить это свойство в виде функции ( )f x , завися-
щей от диаметра частиц данного класса ( , )a b . Тогда если x означает сред-
ний размер частиц этого класса, то ( ) ( ) ( )
b
a
f x dP x f z . Решая полученное
таким образом уравнение относительно z , получим надлежащую для данно-
го конкретного случая формулу вычисления среднего диаметра.
Вопрос о том, какой характер имеет распределение частиц по размерам
внутри узкого класса крупности, неотделим от вопроса об эквивалентном
диаметре частиц этого класса. Обычно считается, что средний диаметр ча-
стиц узкого класса крупности суть среднее арифметическое его граничных
диаметров. Это означает не что иное, как допущение того, что внутри этого
класса справедливо равномерное распределение частиц по размерам. Не все-
гда такие предположения могут быть удовлетворительными. Можно доста-
точно точно решить задачу об отыскании эквивалентных диаметров и плот-
ности распределения частиц узкого класса крупности. Будем считать извест-
ными величины , ,a b , где a и b – граничные диаметры класса крупности
( , )a b и – выход этого класса.
Пусть F x – кумулятивная характеристика по минусу. Будем ее также
называть функцией распределения в весовых долях (сокращенно ф.р. в.д.),
которая описывает распределение во всем диапазоне крупности (0, )D , где D
– крупность максимального куска. Обозначим далее через ( )x и ( )x соот-
ветственно истинную плотность и истинную функцию распределения слу-
чайной величины x . Между функциями ( )F x и ( )x существует взаимно
однозначная связь. Если известна ( )F x , то известной является и ( )x во
всем диапазоне крупности (0, )D . Нашей задачей является отыскание доста-
точно простых и точных представлений функций и Ф, справедливых толь-
ко внутри интервала ( , )a b .
Средний диаметр частиц ( )z x в интервале ( , ) ( , )a x a b можно опреде-
лить как математическое ожидание случайной величины x при условии по-
падания ее в интервал ( , )a x ( ) ( ) ( )
x x
a a
z x x dx x x dx . Это же уравнение дает
нам возможность отыскать плотность распределения ( )x , если известна эк-
вивалентная крупность ( )z x .
Если в качестве определяющих признаков остановиться на наиболее ха-
рактерных – совокупном объеме и совокупной поверхности частиц, то имеем
для этого случая
113
( )
( ) ( )
x x
a a
f x dx
f x dx z x
x
.
Наиболее точное значение z можно получить, если известна ( )F x .
Представляется целесообразным получить хотя и более приближенную, од-
нако удобную для практических применений формулу для вычисления вели-
чины z . Разобьем интервал ( , )a b на два равновесных подынтервала. По-
прежнему считая, что определяющими признаками являются совокупный
объем и совокупная поверхность частиц, получим
1
1 1 1
2
z a b . Разби-
вая на три интервала, найдем аналогично
1 1 1 2 1
3Z a a b b
.
Дробя диапазон ( , )a b на k интервалов, т.е. полагая, что в этом диапа-
зоне существует k -компонентная смесь, получим обобщенную формулу для
среднего
2
1
1 1 1 1
( )
k
i
k
Z k a k i a ib b
.
Устремляя k , т.е. переходя от дискретного распределения величины
x к непрерывному, получим эквивалентный диаметр интервала ( , )a b из
предела
2
1
ln1 1 1 1
lim
( )
k
k
i
b ak
z k a k i a ib b b a
.
Таким образом, средний диаметр смеси частиц в интервале ( , )a b полу-
чен в виде
ln b
a
b a
z
. Формула проста и удобна для расчетов, поэтому пред-
ставляет интерес оценить ее точность. Результаты вычислений показывают,
что она дает несколько завышенные значения средних диаметров по сравне-
нию с их точными значениями. Однако, относительные погрешности от при-
менения этой формулы более чем в два раза ниже по сравнению с z, рассчи-
танным по средним арифметическим.
Для восстановления функции распределения частиц по размерам, с уче-
том сохранения выхода класса ( , )a b , получим для функции ( )x
1
1
( )
ln b
a
x
x
. Если же принимать средний размер частиц в интервале
( , )a b равным / 2z a b , то это эквивалентно условию равномерного рас-
пределения в этом интервале 0( )x b a .
Естественным обобщением для приближений функции ( )x на отрезке
( , )a b является рассмотрение ее в виде ( )x C x . Из условия норми-
ровки и сохранения выхода , получим
1 1
1 1
( 1)
( )
a b
x x
b a
. Найдем
114
z из формулы
1
( )
b
a
z x x dx
. Получим
2 2
1 1
1
2
ab b a
z
b a
или,
что то же самое,
2
1
1 1
2 1
t
z a
t
.
Последние три формулы верны при 1 и 2 . Для 2
2
2( )
ab
x x
b a
, а ( )z x , соответственно 2( ) ln
ax x
z x
x a a
.
Рассмотрим поведение функции ( )x на отрезке ( , )a b . На концах этого
отрезка она принимает значения
11
2
1
( )
1
aa a e
,
11
2
1
( )
1
bb b e
. Функция ( )x принимает значения aC и bC .
Если потребовать одинакового прироста этих функций на отрезке ( , )a b , то,
приравнивая отношение функций на концах интервала ( , )a b , получим
2
expb a b a b a
. Логарифмируя это равенство, найдем
2
ln b
a
b a
.
Анализ численных алгоритмов, применимых к интервальной интерполя-
ции распределения сыпучей смеси по крупности, приводит к аналитическому
представлению семейством гипербол с переменной степенью , зависящей
от границ интервала. Полученное выражение решает задачу о наилучшем
приближении на отрезке плотности распределения ( )x степенными функ-
циями. Степень находится в зависимости от границ интервала ( , )a b и па-
раметров и . Полученные результаты проверялись на эксперименталь-
ных рассевах углей Донецкого бассейна.
1. Колмогоров А. Н. О логарифмическом нормальном законе распределения размеров частиц при дробле-
нии / А. Н. Колмогоров // ДАН СССР. Новая Серия. – 1941. – Т. 31 – № 2. – С. 99 – 101.
2. Пожидаев В.Ф. Статистическое описание распределений смеси зерен / В. Ф. Пожидаев // Изв. вузов.
Горн. журн. – 1974. – № 8. – С. 150 – 153.
3. Пожидаев В.Ф. Особенности поведения кривой гранулометрического состава в области мелких классов
/ В. Ф. Пожидаев // Збагачення корисних копалин : Науково-технічний збірник. – 1999. – № 3 (44). –
С. 45 – 52.
Восточноукраинский национальный Получено 26.02.09,
университет им. В.Даля, в окончательном варианте 11.03.09
Луганск
|