Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс

Предложена модель термомеханического поведения пространственно армированной пенопластмассы без привлечения критериев энергетической эквивалентности. Показано, что на основе полученных уравнений можно определить напряженно-деформированные состояния во всех фазах композиции, используя известные осредн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Янковский, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2010
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88084
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс / А.П. Янковский // Техническая механика. — 2010. — № 1. — С. 71-82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88084
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-880842015-11-08T03:02:16Z Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс Янковский, А.П. Предложена модель термомеханического поведения пространственно армированной пенопластмассы без привлечения критериев энергетической эквивалентности. Показано, что на основе полученных уравнений можно определить напряженно-деформированные состояния во всех фазах композиции, используя известные осредненные деформации и температуру в композите, что имеет принципиальное значение при расчетах армированной пенопластмассы с использованием структурных теорий прочности. Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик с экспериментальными данными и с результатами расчетов по другим методикам. Запропоновано модель термомеханічного поводження просторово армованої пінопластмаси без залучення критеріїв енергетичної еквівалентності. Показано, що на основі отриманих рівнянь можна визначити напруженно-деформовані стани у всіх фазах композиції, використовуючи відомі осереднені деформації й температуру в композиті, що має принципове значення при розрахунках армованої пінопластмаси з використанням структурних теорій міцності. Проведено порівняльний аналіз розрахункових характеристик з експериментальними даними й з результатами розрахунків по інших методиках. The model of a thermomechanical behaviour of 3-D reinforced expanded plastics without criteria of the power equivalence is proposed. It is shown that on a basis of the derived equations it is possible to determine the stressed-strained conditions in all composition phases using known mean composite deformations and temperatures. This is important for calculations of reinforced expanded plastics using structural theories of strength. The comparative analysis of estimated characteristics with the experimental data and with other calculated results is conducted. 2010 Article Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс / А.П. Янковский // Техническая механика. — 2010. — № 1. — С. 71-82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88084 539.3 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложена модель термомеханического поведения пространственно армированной пенопластмассы без привлечения критериев энергетической эквивалентности. Показано, что на основе полученных уравнений можно определить напряженно-деформированные состояния во всех фазах композиции, используя известные осредненные деформации и температуру в композите, что имеет принципиальное значение при расчетах армированной пенопластмассы с использованием структурных теорий прочности. Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик с экспериментальными данными и с результатами расчетов по другим методикам.
format	Article
author	Янковский, А.П.
spellingShingle	Янковский, А.П. Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс Техническая механика
author_facet	Янковский, А.П.
author_sort	Янковский, А.П.
title	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс
title_short	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс
title_full	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс
title_fullStr	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс
title_full_unstemmed	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс
title_sort	построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88084
citation_txt	Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс / А.П. Янковский // Техническая механика. — 2010. — № 1. — С. 71-82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT ânkovskijap postroenieopredelâûŝihuravnenijtermouprugogopovedeniâsložnoarmirovannyhpenoplastmass
first_indexed	2025-07-06T15:47:06Z
last_indexed	2025-07-06T15:47:06Z
_version_	1836913081619316736
fulltext	УДК 539.3 А. П. ЯНКОВСКИЙ ПОСТРОЕНИЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ СЛОЖНО АРМИРОВАННЫХ ПЕНОПЛАСТМАСС Предложена модель термомеханического поведения пространственно армированной пенопластмассы без привлечения критериев энергетической эквивалентности. Показано, что на основе полученных уравне- ний можно определить напряженно-деформированные состояния во всех фазах композиции, используя известные осредненные деформации и температуру в композите, что имеет принципиальное значение при расчетах армированной пенопластмассы с использованием структурных теорий прочности. Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик с экспериментальными данными и с результатами расче- тов по другим методикам. Запропоновано модель термомеханічного поводження просторово армованої пінопластмаси без за- лучення критеріїв енергетичної еквівалентності. Показано, що на основі отриманих рівнянь можна визна- чити напруженно-деформовані стани у всіх фазах композиції, використовуючи відомі осереднені деформа- ції й температуру в композиті, що має принципове значення при розрахунках армованої пінопластмаси з використанням структурних теорій міцності. Проведено порівняльний аналіз розрахункових характеристик з експериментальними даними й з результатами розрахунків по інших методиках. The model of a thermomechanical behaviour of 3-D reinforced expanded plastics without criteria of the power equivalence is proposed. It is shown that on a basis of the derived equations it is possible to determine the stressed-strained conditions in all composition phases using known mean composite deformations and temperatures. This is important for calculations of reinforced expanded plastics using structural theories of strength. The comparative analysis of estimated characteristics with the experimental data and with other calculated results is conducted. В самолетостроении и в некоторых других областях техники в последние десятилетия широко применяются слоистые конструкции с заполнителем. В качестве заполнителей используются пенопластические массы – неармиро- ванные и армированные пластинками или проволокой, а также разного рода ребристые конструкции (сотовые, складчатые, типа гофра и др.). Возможности пенопластмасс как легких заполнителей значительно рас- ширяются, если использовать их в виде армированных слоистых структур, представляющих собой пенопласты с прослойками конструкционных мате- риалов (металл, фанера и др.), чаще всего в виде полос [1]. В этом случае при приложении нагрузки вдоль усиливающего материала прочность и жесткость армированного пенопласта значительно выше, чем неармированного с такой же плотностью. Использование современных пенопластмасс (например вспенивающихся) позволяет создавать такие типы заполнителей, в которых полости в ребри- стых конструкциях (сотовых, складчатых и др.) заполнены пенопластической массой. Подобные заполнители, благодаря наличию в них пенопластмассы, обладают хорошими вибрационными характеристиками, так как пенопласти- ческая масса работает как демпфер и обеспечивает высокий градиент затуха- ния колебаний. Кроме того, пенопластмасса, заполняющая полости ребристой конструкции, обеспечивает лучшую совместную работу элементов этой кон- струкции, поддерживает их и препятствует их потере устойчивости при сжа- тии и сдвиге, что во многом определяет жесткостные и прочностные характе- ристики заполнителей типа сотовых, складчатых и т.п. [2]. Подобные конст- рукции заполнителей можно рассматривать как пенопластмассы со сложны- ми (пространственными) структурами армирования. Целью настоящей работы является построение модели механического поведения пенопластмассы со сложным пространственным армированием, 71  А.П. Янковский, 2010 Техн. механика. – 2010. – № 1. позволяющей определять эффективные термоупругие характеристики экви- валентного композитного материала. Пусть имеется упругий слой единичной толщины , армированный ре- гулярно в плоскости ( h 1 2,x x ) объемной решеткой (элементы объемной решет- ки – ребристой конструкции – представляют собой цилиндрические оболо- чечные элементы, образующие которых параллельны координате 3x прямо- угольной декартовой системы координат 1 2 3, ,x x x ; координата 3x направле- на по толщине слоя). Выделим из такого композитного материала простей- ший представительный элемент (ячейку) объемом (рис. 1) так, чтобы любой другой элемент композита можно было получить параллельным переносом по направлению V a b h 1x на расстояние , а по направлению an 2x – на расстояние (bm , 3...n m 1, 2,    ). На рис. 1 изображена ячейка с достаточно общим типом армирования. Из такой структуры заданием геометрии армирующих элементов можно получить ребристые конструкции всех видов, ис- пользуемых на сегодняшний день на практике [3] (сотовые, складчатые, типа гофра и др.). Согласно рис. 1, рассмат- риваемая ячейка усилена четырьмя ар- мирующими элементами, два из которых криволинейные (1 и 2) и два – плоские (3 и 4). (Возможно использование ячеек с более сложным армированием, в рамках настоящего исследования это не прин- ципиально.) С каждым -м (1 k 4k K   ) армирующим элементом свяжем свою локальную прямоугольную систему координат ( ) ( ) ( ) 3, ,k k kx y z x (как показано на рис. 1), которая получа- ется поворотом глобальной системы ко- ординат 1 2 3, ,x x x на угол  k l вокруг вертикальной оси 3x , причем , а 3 4   / 2  1 и 2 являются функциями естественной координаты , откладываемой вдоль направляющих линий криволинейных элементов 1 и 2 (оси l (k )x являются касательными к направляющим линиям, а оси пер- пендикулярны этим линиям). ( )ky Рис. 1 Для соблюдения общности все фазы композиции предполагаются орто- тропными материалами, причем главные оси анизотропии пенопластмассы совпадают с направлениями 1 2 3, ,x x x k глобальной системы координат, а глав- ные направления анизотропии -го армирующего элемента – с направления- ми ( ) ( ) ( ), ,k k kx y z локальной системы координат. Так как при затвердевании вспенивающихся пенопластмасс объем их многократно увеличивается, то при заполнении ими полостей ребристых кон- струкций в армирующих элементах, в самой затвердевшей пенопластической массе и, как следствие, в композиции в целом могут возникнуть начальные напряжения. (Определение начальных напряженных состояний в пенопласт- 72 массе и элементах ребристой конструкции представляет собой самостоятель- ную задачу, выходящую за рамки настоящего исследования. Далее в данной работе предполагаем, что эти напряжения известны.) Согласно вышеизло- женному, определяющие уравнения для эквивалентной композитной среды и фаз композиции в матричной форме имеют вид [4, 5]     , , 0, 1, 2, ...,k k k k k k p A T ,p A T k              K (1) где – отклонение температуры композита и -й фазы композиции со- ответственно от температуры естественного состояния; , kT T k  , , , ,A p   – матрица жесткости и векторы-столбцы напряжений, начальных напряжений, деформаций и коэффициентов линейного теплового расширения рассматри- ваемого композита, имеющие компоненты 11 12 1611 11 11 11 21 22 2622 22 22 22 33 33 33 33 3 12 12 12 12 23 23 23 23 31 31 31 31 ... ... , , , , A A Ap A A Ap p A p A p p p                                                                                                       1 32 36 41 42 46 51 52 56 61 62 66 ... , ... ... ... ( , 1, 6);ij ji A A A A A A A A A A A A A i j                       (2) , , , ,k k k k kA p   – то же для -й фазы композиции (индексом «0» помеча- ются характеристики пенопласта, а индексом « k » (1 k k K  ) – характери- стики -го армирующего элемента); – количество армирующих элемен- тов в ячейке. Матрицы и векторы-столбцы k K kA , , ,k kk kp   имеют структу- ру, аналогичную (2), но записываются в разных системах координат: для пе- нопласта ( 0 ) – в глобальной системе координат k  1 2 3, ,x x x ( ) ( )k k , для -го арми- рующего элемента (1 ) – в локальной системе k ( )kk  K 3, ,x y z x . Так как установить фактическое распределение напряжений и деформа- ций в композите, где основной материал (пенопластмасса) имеет многочис- ленные более жесткие включения сложной формы, весьма затруднительно [5], то при нахождении практически пригодных зависимостей для определе- ния всех независимых термоупругих постоянных рассматриваемого компози- та необходимо сделать некоторые допущения в виде исходных предпосылок. 1. Количество представительных элементов как в направлении 1x , так и в направлении 2x достаточно велико, что позволяет рассматривать экви- валентный композит как квазиоднородный материал, одна из главных осей анизотропии которого совпадает с направлением 3x . 2. Между пенопластмассой и каждым армирующим элементом существу- ет полное сцепление. 73 3. В пределах представительного элемента деформации, напряжения и температуры во всех фазах и в композиции кусочно-постоянны. Эф- фектами высших порядков, связанными с изменением полей деформа- ций, напряжений и температур в малых окрестностях границ контакта пенопластмассы и армирующих элементов, пренебрегаем. 4. Осредненные поля напряжений, деформаций и температуры в компози- ции определяются по правилу простой смеси – пропорционально объ- емному содержанию каждого составляющего. 5. Все фазовые материалы линейно упруги, ортотропны и однородны; связь между деформациями, напряжениями и температурой в них зада- ется определяющими уравнениями (1). В силу второго и третьего допущений и условий сопряжения полей на- пряжений, перемещений и температур на лицевых поверхностях контакта k- го армирующего элемента с пенопластмассой получим (см. рис. 1) 0 (1 );kT T k K   (3) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0, , (1k k kk k k yy xy yzyy xy yz );p p p p p p k K     ); ), (4) (5) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0, , (1k k kk k k yy xy yzyy xy yz k K           (6) ( ) ( ) (0) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 33 0, , (1k k kk k k xx zz xzxx zz xz k K             где , , ( )k ij ( )k ij ( )k ijp ( , , ,i j x y z ) – компоненты тензоров деформаций, на- пряжений и начальных напряжений в -м армирующем элементе в локаль- ной системе координат k 3 ( ) ( ), ,k k ( )kx y z x ; ( ) 0 k ij , ( ) 0 k ij , ( ) 0 k ijp ( ) – то же в пенопластмассе в системе координат , , ,i j x y z ( ) ( ), ,k k ( )kx y z . Кроме того, из тех же допущений помимо равенств (3) в пределах представительного элемента с учетом закона теплопроводности Фурье тождественно выполняются и усло- вия сопряжения по тепловым потокам на лицевых поверхностях контакта - го армирующего элемента со связующим (пенопластмассой). k Согласно четвертому допущению, осредненные поля температуры, де- формаций и напряжений в рассматриваемом композите определяются так: 0 0 ;k k k T V T V V T V  (7)  0 0 0 ; kl k k k V h e l d V V      l (8)  0 0 0 , kl k k k V h s l dl V V      (9) где 74       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 22 33 12 23 31 11 22 33 12 23 31 0 0 , , , , , , , , , , , , ; k k k k k k k k k k k k k k k l k k k k e e e e e e e s s s s s s s V h l dl V V V        , (10) 0V , – объемное содержание пенопластмассы и армирующего элемента - го семейства в ячейке; – толщина и длина (вдоль направляющей) -го армирующего элемента, причем толщина kV k ,k kl k  min ,k a b ( )k ije в общем случае может быть переменной (но с малой изменяемостью); , ( )k ijs – компонен- ты тензоров деформаций и напряжений -го армирующего элемента в гло- бальной системе координат k 1 2 3, ,x x x ; суммирование производится от 1 до ; «звездочка» означает операцию транспонирования. K Из равенства (7) с учетом (3) и последнего соотношения (10) следует (11) (0 ),kT T k K   т. е. средняя температура композита в пределах ячейки равна температуре каждого фазового материала. Компоненты вектор-столбцов k , k и ks , ke определяют напряженное и деформированное состояние -го армирующего элемента в локальной k ( ) ( ) ( ), ,k k kx y z и глобальной 1 2, , 3x x x системах координат соответственно, и поэтому связаны матричными равенствами [4, 5] ;k k ks D  (12) , 1 ,k k ke D k K    (13) где – матрица ортогональных преобразований размером 6 6 ( )k k ijD D   с ненулевыми компонентами (14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 11 22 12 12 14 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5533 41 42 44 66 ( ) ( ) 56 65 cos , sin , sin 2 , 1, 0,5sin 2 , cos2 , cos , sin . k k k k k k k k k k k k k k k k k k k D D D D D D D D D D D D D D                         k k Используя связь (12) и определяющие уравнения (1), из соотношения (9) получим         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . k k k k l l k k k k k k k k k l l k k k k k k k k k V Vh h l D dl A l D A dl V V V V V Vh h A l D A dl T p l V V V V                                 D p dl (15) Выразим в (15) деформации k через 0 . Для этого воспользуемся равен- ствами (5), (6), правые части которых распишем в развернутом виде, исполь- 75 зуя правило преобразования тензоров второго ранга [4, 5] при повороте сис- темы координат на угол k вокруг оси ( ) 3 kx z (0) sin 2 , sin 2 k k     (0)2 12 (0) 23os k k      : (16)   (0) (0)( ) 2 2 ( ) 11 12 13 (0) (0) (0) (0)( ) 23 22 11 12 sin cos sin cos , cos2 (1 ); k k yy k k yz k k k xy k k K                       (0) 22 0,5   2 ( ) cos k k xz (17) (0) (0)( ) 11 22 (0) (0)( ) 33 13 sin sin 2 , , c sin (1 k xx k k zz k k K               ), где (i, j = 1, 2, 3) – компоненты тензоров деформаций и напряже- ний в связующем в глобальной системе координат    00 ijij  , 321 xxx ,, . Преобразуем равенства (16) с учетом (1), (4), (17), (11):               ( ) (0)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 33 (0) (0) (0) 0) (0) (0 (0) (0) 2 11 11 1 2 22 2 33 3 (0) (0) (0) 0) (0) (0 (0) (0) 2 21 11 1 2 22 2 33 3 sin cos kk k k k k xx x yy y z k A T A T A T A T A T A T A T                                                (0) (0) 12 12 ) (0) (0) (0) (0)( ) ( ) 11 1 22 2 (0) (0) (0) (0 0) (0) (0) (0) 13 33 3 21 22 22 2 (0) (0) (0) (0) (0) 23 33 3 12 12 2 sin 2 2 s sin 2 2 co k k k k xy xy k k G A T A T T A A T G     ( ) 23 ) (0) 13 ) (0) 23 A T A T       (0) 12 ) (0) ( 11 1 s T A ( ) 22 ( 1 ( 2 k k   (0 11 , in 2 / 2 / 2 G A T                                    (0) ( (0)( ) ( ) 13 13 232 2 sin 2 s ,k k yz yz kG G      (18)   0)    (0) 23 2 , co k kG    kA 0Aгде , – компоненты матриц , в (1), причем, согласно пятому допущению: ( )k ijA (0) ijA ( ) ( ) ( ) (0) (0)( ) ( ) ( ) (0) 2 (1 0 при k k xz ij A G A 5544 66 44 12 (0) (0) (0 0) ( ) 55 23 66 2 , 2 , ), 2 , 2 , 2 , 4, 6, 1, 6, и при 1, 3, k kk k xy yz k ij A G k K A G A G A i j j i i j               ) ( 31 4, 6; A G A G ) (19) ( )k ijG ( ), (, , ,i j x y z (0 ijG , 1, 2, 3i j  ) – модули сдвига материалов -го ар- мирующего элемента и пенопластмассы соответственно; k ( )k x , , (k y ) ( )k z и , , – компоненты векторов (0) 1 (0) 2 (0) 3 k и 0 в (1), причем    (0) (0) (0)( ) ( ) ( ) 0 1 2 3, ,k k k y  , 0, 0, 0 , , , , 0, 0, 0 .k x z           (20) В случае изотропных материалов фаз композита в (18) – (20) имеем 76         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0)( ) ( ) ( ) ( ) (0) 1 2 3 2 1 / 1 2 , 2 / 1 2 , 2 / 1 ( , 1, 2, 3, , 4, 5, 6, 0 ), (1 ), , k k k k k k k k ii ij k k k k ll n n n n x y z A G A G A G E i j j i l k K n K                                   (21) остальные компоненты равны нулю; ( )k ijA ( )kE , ( )k , ( )k – модуль упруго- сти, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного теплового расширения -й фазы композиции. k Из соотношений (17), (18) можно однозначно определить все деформа- ции ( ) в -м армирующем элементе через деформации свя- зующего ( i j ); соответствующее равенство запишем в матрич- ной форме ( )k ij , , ,i j x y z (0) ij , 1, k 32, 0 ,k k kB C T    (22) где       (0) (0) (0) (0) (0) (0)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 11 22 33 12 23 31 ( ) ( ) 2 4 , , , , , , , , , , , 0, , 0, , 0, 0 , 1, 2, 3 ... ; k k k k k k k xx yy zz xy yz zx k k kC C C k K                      ,  2 k k k  (23)  ( )k k ijB B – матрица размером 6 6 с ненулевыми компонентами      ( ) ( ) ( ) ( ) (0)2 2 2 11 12 14 21 11 (0) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( )2 2 21 21 22 22 22 21 21 22 ( ) (0) (0) ( ) ( ) (2 2 23 13 23 23 22 24 cos , sin , sin 2 , sin cos / , cos sin / , sin cos / , k k k k k k k k k k k k k k k k k k k B B B B A A A A B A A A A B A A A A B                                         ) (0) 12 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( )( ) 21 22 33 41 21 11 42 (0) (0) ( ) (0) (0) ( )( ) ( ) 22 12 43 23 13 44 (0) ( ) (0)( ) 5512 23 sin 2 2 (24) / , 1, sin 2 / 4 , sin 2 / 4 , sin 2 / 4 , cos2 / , cos k k k k k k kk k xy k kk k xy k xy k kk xy k G A A B B A A G B A A G B A A G B G G B G                      ( ) (0) ( )( ) ( ) 56 13 65/ , sin / , sin ,k kk k yz k yz kG B G G B            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0)( ) ( ) ( ) 2 66 2 21 22 23 11 1 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) ( ) ( )2 12 2 13 3 21 1 22 2 23 3 22 4 (0) (0) (0) (0) (0) ( 1 21 11 2 22 12 cos , sin cos / , sin 2 k k k k kk k k k x y z k k k k k B C A A A A A A A A A A C A A A A                                     0) (0) (0) (0) ( ) 3 23 13 / 4 .k xyA A G     Подставим (22) в (15), тогда после элементарных преобразований полу- чим 77         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . k k k l l k k k k k k k k k l k k k k k k V Vh h A l D A B dl p l D V V V V V h A l D A C dl T V V                                p dl  (25) Выразим в (25) деформации связующего 0 через осредненные деформа- ции  . С этой целью подставим соотношения (13) в (8) и учтем равенство (22), после чего будем иметь       0 0 0 0 0 0 0 , k k k l l k k k k k k k k l k k k k V Vh h l D dl I l D B dl V V V V h l D C dl T V                                (26) где – единичная матрица размером 6 6I  . Из соотношения (26) следует 0 ,E TG    (27) где E – матрица размером 6 6 , G – вектор-столбец вида     1 0 0 0 , . k kl l k k k k k k k k V h h E I l D B dl G E l D C V V V                     dl     (28) Подставим (27) в равенство (25), тогда после элементарных преобразова- ний будем иметь           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . k k k l l k k k k k k k k k l k k k k k k k V Vh h A l D A B dl E p l D p V V V V V h A G l D A C B G dl T V V                                      dl      (29) Из сравнения (29) и первого равенства (1) с учетом первого допущения вытекают матричные соотношения    0 0 0 0 0 0 , ; k kl l k k k k k k k k k V Vh h A A l D A B dl E p p l D p V V V V                 dl (30)     1 0 0 0 0 , kl k k k k k k k V h A A G l D A C B G dl V V                   (31) где – матрица, обратная матрице из (30). В (30), (31) нужно учесть выражения для матриц и векторов (14), (24), (28), причем компоненты матриц 1A A 78 kB , и векторов kD kC зависят от естественной координаты вдоль направ- ляющей линии -го армирующего элемента, поэтому в общем случае инте- гралы в (28) – (31) следует определять численно. l k Первое равенство (30) определяет эффективные жесткости композиции; второе соотношение (30) – осредненное начальное напряженное состояние в армированной пенопластмассе. Равенство же (31) задает эффективные коэф- фициенты линейного теплового расширения рассматриваемого композита. Таким образом, соотношения (30), (31) определяют все эффективные термоупругие характеристики пенопластмассы, армированной пространст- венными элементами. Важной особенностью предложенной модели рассматриваемого компо- зита является возможность определения напряжений k и деформаций k в фазах композиции по известным средним деформациям  . Действительно, пусть известны деформации  и температура , тогда из (11), (22), (27) из- вестны , T kT k , а из второго равенства (1) можно получить k . Знание напря- жений k и деформаций k ( 0 ) имеет принципиальное значение при использовании в дальнейшем структурных теорий прочности, и кроме того, для изотропных фазовых материалов позволяет построить структурные фор- мулы для эффективных характеристик композита при нелинейно-упругом деформировании материалов фаз композиции, так как реальные материалы часто имеют нелинейные зависимости k K    [6]. Для этого можно использо- вать деформационную теорию пластичности и метод переменных параметров упругости [6], причем на каждой итерации этого метода приближения для эффективных характеристик исследуемого композита можно определить по изложенной выше схеме, заменив лишь , (kG ) ( )k в (21) на значения (при , 0T  0k p )         ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) k i k i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 2 1 2 / 3 , , 0 , 3 1 1 2 / 3 k k k k i ik k k k k k i i E G k K E                 ( )k i где , – интенсивности напряжений и деформаций в -й фазе компо- зиции, известные из решения на предыдущей итерации (на первой итерации все материалы предполагаются линейно-упругими). ( )k i k Если в рамках построенной модели для изотропного связующего (пено- пластмассы) осуществить предельные переходы (0) 0  и , то по формулам (30), (31) получим эффективные термоупругие характеристики ребристой конструкции. Ранее, на основе принципиально другого подхода (методами строительной механики), интегральные упругие характеристики таких конструкций были получены, например, в [3] и др. Поэтому представ- ляется целесообразным сравнить эффективные характеристики, например сотового заполнителя, рассчитанные по этим двум методикам и сопоставить их с известными экспериментальными данными [2]. (0) 0E Представительная ячейка сотовой ребристой конструкции изображена на рис. 2. Такая ребристая конструкция характеризуется наличием лишь двух ( 2 ) криволинейных армирующих элементов постоянной толщины ( , см. рис. 1), а диаметр соты равен: K    1 2 0,05 мм 3 4 0    8 ммd  [2]. Сотовый заполнитель изготовлен из дуралюмина Д16АТВ с механиче- 79 скими характеристиками [2]: ; ; ( ) 67,7 ГПаkE  ( ) 24 ГПаkG  1, 2k  (см. (21)). В табл. 1 приведены расчетные (в расчетах по предложенной модели принималось: (0) (0)0, 11 (1)10E E , ,i ijE G   ) и экспериментальные значения эффективных упругих технических констант рассматриваемой сотовой конструкции. (В таблицах: ij – модули упругости пер- вого и второго рода и коэффициенты Пуассона соответственно для ортотропного эквивалентно- го материала.) Из сравнения чисел, приведенных во втором и третьем столбцах, следует хорошее совпадение расчетных значений модулей упругости первого и второго рода, определен- ных по обеим обсуждаемым методикам, и их удовлетворительное согласова- ние с экспериментом. (Из табл. 1 видно: экспериментальные данные получа- ются меньше расчетных. В [2] авторы объясняют это тем, что в расчетах ис- пользуется идеально правильная форма соты, а в реальности (в эксперименте) наблюдается наличие начальной погиби ребристых элементов соты. Послед- нее обстоятельство сказывается на понижении жесткости реального сотового заполнителя.) Рис. 2 Таблица1 Эффективные упругие технические константы сотового заполнителя Метод расчета Технические константы Предложенная модель Метод строительной механики [3, стр. 109] Экспериментальные данные [2] 1, МПаE 2 , МПаE 3, МПаE 21 12 12, МПаG 23, МПаG 31, МПаG 398,99 717,62 1302,89 0,21326 0,11834 148,84 290,77 175,31 410,56 / 407,99 768,61 / 759,64 — 0,34592 / 0,35355 0,18478 / 0,18988 — 263,55 173,21 — — — — — — 216 – 246 83,5 – 131,0 ) В числителе: расчет при толщине заполнителя ; в знаменателе: расчет при . (Расчетные значения , определенные по методике из [3], зависят от толщины заполнителя. Значения толщины заполнителя при этом выбраны такими, какие использовались в [2] при проведении экспериментов.) 8 ммh 1 2, ,E E13 ммh  21 12,  h Сравнительный анализ результатов, приведенных в табл. 1, позволяет за- ключить, что предложенный в настоящей работе метод определения эффек- тивных характеристик ребристой конструкции вполне может быть использо- ван при практических расчетах. Достоинство этого метода заключается в том, что он, в отличие от метода, изложенного в [3], позволяет вычислить не толь- 80 ко упругие, но и термоупругие эффективные характеристики рассматривае- мой конструкции (в общем случае, композиции). Выше уже отмечалось, что на практике давно используются армирован- ные пенопласты, но, как правило, такое армирование является прямолиней- ным. Сравним эффективные характеристики прямолинейно и пространствен- но армированных пенопластмасс с одинаковым удельным объемным содер- жанием армирующих элементов. Случай прямолинейного армирования полу- чается, если в представительной ячейке отсутствуют криволинейные элемен- ты 1 и 2 (см. рис. 1), а в качестве варианта пространственного армирования выберем сотовую ребристую конструкцию (рис. 2) с полостями, заполненны- ми пенопластмассой. Материал, размер соты и толщину ее стенки оставим прежними, а в качестве связующего используем кремнийорганическую пено- пластмассу с механическими характеристиками , при и при (здесь (0) 0,25  (0) 200 кг /  (0) 40 МПаE  3 (0)(0) 3100 кг /м  (0) 168,5 МПаE  м  – объемная плотность материала связующего, см. табл. 1.21 в [1]). В прямоли- нейно армированном пенопласте усиливающий элемент (выполненный из сплава Д16АТВ) сориентируем в направлении 2x (т. е. 1 / 2   ), а толщину этого элемента зададим соотношением: 1 8 1 / 3   , что, согласно рис. 2, обес- печивает такой же удельный расход арматуры, как и в случае пространствен- ного армирования в виде сот (здесь – толщина стенки сотовой ребристой конструкции). 1 В табл. 2 приведены расчетные значения эффективных упругих техниче- ских констант рассматриваемых армированных пенопластмасс. Сопоставле- ние значений, приведенных в третьем и пятом столбцах табл. 2, с соответст- вующими значениями во втором столбце табл. 1 показывает, что заполнение полостей сотовой ребристой конструкции пенопластмассой приводит к уве- личению ее жесткости, причем для некоторых эффективных констант это увеличение может быть значительным (так, при величины (0) 3200 кг /м  1E , увеличиваются на 43,5 % и 37,9 % соответственно). 31G Таблица 2 Эффективные упругие технические константы прямолинейно и пространственно армированной пенопластмассы (0) 3100 кг /м  (0) 3200 кг /м  Характеристика композиции Прямолинейное армирование Пространственное армирование Прямолинейное армирование Пространственное армирование 1, МПаE 2 , МПаE 3, МПаE 21 12 12, МПаG 23, МПаG 31, МПаG 47,78 1342,4 1342,4 0,202 37,191 10 16,0 477,27 16,0 440,50 756,83 1344,28 0,217 0,127 164,65 306,39 191,08 198,41 1469,01 1469,01 0,206 22,783 10 67,41 526,73 67,41 572,73 882,67 1474,78 0,227 0,148 215,42 356,57 241,75 81 Сравнение же значений, приведенных в третьем и пятом столбцах табл. 2, с аналогичными значениями во втором и четвертом столбцах соответственно той же таблицы позволяет сделать вывод о том, что замена прямолинейного армирования пенопластмассы на пространственное приводит к уменьшению эффективных констант 2E , в 1,5 – 1,8 раза, но зато увеличивает осталь- ные эффективные жесткости композиции, причем для некоторых характери- стик на порядок и более (см., например, значения модулей Юнга и сдвига 23G 1E , , , приведенные во втором и третьем столбцах табл. 2). 12G 31G Таким образом, пространственное армирование пенопластмасс позволяет значительно повысить ряд жесткостных характеристик такой композиции по сравнению с прямолинейно армированным пенопластом при относительно незначительной потере жесткости в направлении, в котором сориентированы плоские усиливающие элементы в прямолинейно армированном композит- ном материале. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун- даментальных исследований (код проекта 08-01-90403-Укр_а) и Президиума СО РАН (Постановление № 10 от 15.01.09, номер проекта 72). 1. Александров А. Я. Конструкции с заполнителями из пенопластов / А. Я. Александров, М. Я. Бородин, В. В. Павлов. – М. : Машиностроение, 1972. – 212 с. 2. Александров А. Я. Расчет трехслойных панелей / А. Я. Александров, Л. Э. Брюккер, Л. М. Куршин, А. П. Прусаков. –М. : Оборонгиз, 1960. – 271 с. 3. Брюккер Л. Э. Испытания трехслойных стержней при нормальных и повышенных температурах / Л. Э. Брюккер, А. С. Ракин // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. научн. тру- дов. – Новосибирск : Изд-во НГУ, НЭТИ, 1978. – Вып. 4. – С. 73 – 79. 4. Малмейстер А. К. Сопротивление полимерных и композитных материалов. / А. К. Малмейстер, В. П. Тамуж, Г. А. Тетерс. – Рига : Зинатне, 1980. – 572 с. 5. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. – М. : Машиностроение, 1968. – 400 с. 6. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. – М. : Мир, 1975. – 872 с. Институт теоретической и прикладной Получено 18.06.09, механики им. С.А. Христиановича СО РАН в окончательном варианте 18.06.09 82

Построение определяющих уравнений термоупругого поведения сложноармированных пенопластмасс

Репозитарії

Схожі ресурси