Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций

На основе гармонического анализа предложен простой способ оценки достоверности решения граничной обратной задачи. Используется априорная информация о монотонности или выпуклости искомых зависимостей при заданном уровне случайных погрешностей экспериментальных данных....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Лазученков, Н.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2010
Schriftenreihe:	Техническая механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88101
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций / Н.М. Лазученков // Техническая механика. — 2010. — № 2. — С. 103-109. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88101
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-881012015-11-08T03:02:41Z Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций Лазученков, Н.М. На основе гармонического анализа предложен простой способ оценки достоверности решения граничной обратной задачи. Используется априорная информация о монотонности или выпуклости искомых зависимостей при заданном уровне случайных погрешностей экспериментальных данных. На основі гармонійного аналізу запропонований простий спосіб оцінювання вірогідності рішення граничної зворотної задачі. Використовується апріорна інформація про монотонність або опуклість шуканих залежностей при заданому рівні випадкових погрішностей експериментальних даних. Based on harmonic analysis, a simple approach to solution reliability estimation for a boundary-value inverse problem is proposed. Use is made of a priory information on the monotony or convexity of the desired fanctions at a given level of random errors in experimental data. 2010 Article Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций / Н.М. Лазученков // Техническая механика. — 2010. — № 2. — С. 103-109. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88101 536.24.02 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе гармонического анализа предложен простой способ оценки достоверности решения граничной обратной задачи. Используется априорная информация о монотонности или выпуклости искомых зависимостей при заданном уровне случайных погрешностей экспериментальных данных.
format	Article
author	Лазученков, Н.М.
spellingShingle	Лазученков, Н.М. Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций Техническая механика
author_facet	Лазученков, Н.М.
author_sort	Лазученков, Н.М.
title	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций
title_short	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций
title_full	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций
title_fullStr	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций
title_full_unstemmed	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций
title_sort	анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88101
citation_txt	Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций / Н.М. Лазученков // Техническая механика. — 2010. — № 2. — С. 103-109. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT lazučenkovnm analizdostovernostirešenijobratnojzadačidlâuravneniâparaboličeskogotipasispolʹzovaniemapriornojinformaciioharaktereizmeneniâiskomyhfunkcij
first_indexed	2025-07-06T15:48:24Z
last_indexed	2025-07-06T15:48:24Z
_version_	1836913163352670208
fulltext	УДК 536.24.02 Н.М. ЛАЗУЧЕНКОВ АНАЛИЗ ДОСТОВЕРНОСТИ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ХАРАКТЕРЕ ИЗМЕНЕНИЯ ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ На основе гармонического анализа предложен простой способ оценки достоверности решения гра- ничной обратной задачи. Используется априорная информация о монотонности или выпуклости искомых зависимостей при заданном уровне случайных погрешностей экспериментальных данных. На основі гармонійного аналізу запропонований простий спосіб оцінювання вірогідності рішення граничної зворотної задачі. Використовується апріорна інформація про монотонність або опуклість шука- них залежностей при заданому рівні випадкових погрішностей експериментальних даних. Based on harmonic analysis, a simple approach to solution reliability estimation for a boundary-value inverse problem is proposed. Use is made of a priory information on the monotony or convexity of the desired fanctions at a given level of random errors in experimental data. В практике инженерных и научных исследований нашли широкое при- менение граничные обратные задачи (ОЗ) для уравнений параболического типа – восстановление условий на границе в процессах нестационарного пе- реноса массы или тепла по результатам измерений характерных параметров в отдельных точках области [1, 2]. Для таких некорректно поставленных задач особое значение приобретает достоверность получаемых решений. В настоя- щей работе рассматривается простой подход, позволяющий получить оценки допустимых отклонений решений граничных ОЗ по имеющейся априорной информации о качественном поведении искомых функций – монотонность, выпуклость. Такого рода информация имеется, например, для характерных процессов теплообмена с окружающей средой – нагрев, охлаждение тел, опи- сываемые граничными условиями I – III-го рода [3]. Пусть некоторый непрерывный физический процесс описывается про- стейшей краевой задачей без начальных условий (прямая задача) 2 2 x uu      ,  10,x ; (1)   0 1  xxuuG ,, ; (2) 0 0    xx u , (3) где – линейная относительно искомой величины  xuuG  ,,   ,xu и ее про- странственной производной и непрерывная по xu  функция. При этом ре- шение задачи и функция всюду ограничены, откуда следует единственность решения [4].  ,xu   G Пусть в результате наблюдений в граничной точке 0x получены с не- которой случайной погрешностью, не превышающей  , значения искомой величины )(э  fu x 0 . (4)  Н.М. Лазученков, 2010 Техн. механика. – 2010. – № 2. 103 Рассмотрим ОЗ восстановления величины и ее производной u xu в гра- ничной точке 1x по результатам наблюдений в граничной точке 0x за физическим процессом (1) – (3). При этом полагаем, что условие (4) получено вдали от начального значения 0 и ОЗ можно рассматривать как задачу без начальных условий. Т.е., математическая постановка граничной ОЗ, соответ- ствующая прямой задаче (1) – (3), включает уравнение (1) для и ус- ловия (3), (4) на границе  10,x 0x . Обозначив через  ,т xu точное решение прямой задачи (1) – (3) и через  ,э xu – решение граничной ОЗ (1), (3), (4), рассмотрим функцию      , эт uxu,xv ,x . В силу линейности задач функция удовлетворяет уравнениям (методическую погрешность решения ОЗ не учитываем) v 2 2 x vv      ,  10,x ; (5) 0 0    xx v (6)   ,)(00x v , (7) где )()( эт0   fu x 0 – случайная погрешность наблюдений (4). Т.о., вве- денная функция  ,xv определяет погрешность восстановления решения прямой задачи  ,xтu для  10,x решением граничной ОЗ .  ,э xu Известно, что для некорректных по Адамару задач [5], к которым при- надлежит и рассматриваемая ОЗ, увеличение частоты возмущений функции )(э f при неизменном уровне погрешности  приводит к неограниченному росту ошибки  ,xv восстановления функции  ,xu . Практически все ме- тоды решения граничных ОЗ основаны на ограничении высокочастотных со- ставляющих экспериментально полученных функций. Из постановки прямой задачи следует [6], что функция )(0  достаточно гладкая. Для ее аппрокси- мации воспользуемся тригонометрическими многочленами степени . В этом случае решение задачи (5) – (7) будет представлять собой тригономет- рический многочлен той же степени по переменной n  и при . Известное неравенство Бернштейна [7], позволяющее оценить производные тригоно- метрического многочлена, точно выполняется, когда такой многочлен пред- ставляется лишь одним слагаемым с наивысшей гармоникой. Поэтому для получения верхних оценок допустимых изменений искомых величин и 1x u xu в граничной точке 1x при аппроксимации функции ) достаточно ис- пользовать одну наивысшую гармонику. (0  Представим случайную погрешность наблюдений (4) в виде     2 0 2cos , (8) где , – соответственно частота и сдвиг фазы колебаний. Из решения задачи (5) – (8) [4] найдем соответствующие изменения в точке 22  1x иско- мой величины . u 104             22 1 22 2 1 coscos, eev , (9) и пространственной производной – xu             4242 2 1 22 2 coscos, eevx . (10) Параметр в (8) может принимать произвольные значения из интервала , что моделирует случайную погрешность в локальной точке наблюде- ний  .    ,  Очевидно, что наибольшая амплитуда гармонических функций  1 и достигается при максимально возможной частоте . Пусть априори известно, что точное решение (или  2 22   ,т 1u    ,т, 1xu ) и найденное  ,э 1u (или ) описываются монотонной или (и) выпуклой функциональной зависимостью от . Параметр   ,э, 1xu    определим как наибольший, при котором соответствующее возмущение (8) искомой величины при u 0x не выво- дит в точке функцию 1x     11,эu или     21,э,xu из соответст- вующего множества функций. В рамках принятого нами гармонического ана- лиза для этого достаточно выполнения при каждом  соответствующих ус- ловий:      n n C n u    ,э 1 1 или      n n C n x u     ,э 2 11 , 21 ,n , (11) где верхний индекс обозначает производную -го порядка по  n n  (n=1 для монотонной и =2 для выпуклой зависимости от n  функций  ,1эu или   ,э, 1xu ). Расписывая выражения для соответствующих производных функций (9), (10), оценивая их амплитуды и подставляя в (11), получим соотношения для предельных значений параметра  :                                             nnek nne nk nkknkn 232221 23222 2321 2321221 ctgcthArctgcos ctgcthArctgcos        nk nk x u ,э 1 , (12) Здесь параметр определяет тип априорной информации – n= 1 для монотонной и = 2 для выпуклой функции, а параметр определяет функ- цию, для которой используется априорная информация – k = 0 для n n k  ,1эu и = 1 для k  ,1 э,xu . 105 Таким образом, имея приближенное решение ОЗ и зная уровень случайных погрешностей наблюдений (4), из соотношения (12) можем оп- ределить величину  ,э xu    для каждого значения переменной . Зная значение   , из (9), (10) найдем оценки допустимых отклонений решения ОЗ при нали- чии априорной информации (11):            tgthArctgcos*tgthArctgcos ,,max эт      ee uu C 2 11 1 , (13)            tgcthArctgcostgcthArctgcos* ,,max ** э,т,      ee uu Cxx 2 11 2 . (14) Левые части соотношений (12) представляют собой гладкие, монотонно возрастающие, выпуклые вниз функ- ции переменной (  >0) при всех рассматриваемых значениях парамет- ров k и n, правые же части этих соот- ношений постоянны для каждого зна- чения переменной  . Корни нели- нейных уравнений (12) эффективно вычисляются методом Ньютон  а. На рис. 1 приведены зависимости предельных значений параметра  от значений \|B\| соответствующих произ- водных функции , отнесенных к уровню случайных погрешностей наблюдений , для априорной ин- формации о монотонности и выпук- лости искомой величины  ,э 1u    ,т 1u и производной   ,т, 1xu . Сплошная кривая соответствует монотонному изме- нению по функции   ,т 1u – B    ,э 1u ; штриховая кривая – выпук- лости по функции   ,1тu – B   22 1 ,эu ; пунктирная кривая – моно- тонному изменению по  функции   ,т, 1xu – B    xu ,э 1 2 ; штрих- пунктирная кривая – выпуклости по  функции  xu ,т, 1 – B   23  xu 1 ,э . На рис. 2, 3 представлены зависимости предельных изменений решения граничной ОЗ  ,э 1u (рис. 2, формула (13)) и   ,э, 1xu u (рис. 3, формула (14)) от значений соответствующих производных функции , отнесенных к уровню случайных погрешностей наблюдений , для априорной информа- ции о монотонности и выпуклости искомой величины и производной  ,э 1u  ,т 1    ,т, 1xu . Кривые на рис. 2 и рис. 3 соответствуют обозначениям рис. 1. 0 1 2 3 4 5 1 100 10000 \|B\|/ε γ Рис. 1 106 Анализ показывает, что при > 2,5 с точностью до долей процента вместо соотношений (12) для определения предельно допустимых значений пара- метра *   можно использовать уравнение 0 10 20 30 40 1 100 10000 \|B\|/ε \|\|δ1\|\|/ε 0 20 40 60 80 1 100 10000 \|B\|/ε \|\|δ2\|\|/ε Рис. 2 Рис. 3         nk nk knkn x u e ,э 12 221 , (n= 1, 2; k= 0, 1) , а оценки погрешности решений ОЗ при допущениях (11) проводить по соот- ношениям:       ch,,max эт  C uu 111 ;       sh*,,max э,т,  211 2 Cxx uu . Для практического применения предлагаемого способа оценки достовер- ности восстановления искомых зависимостей  ,т 1u и   ,т, 1xu по результа- там наблюдений (4) требуются оценки значений производных функции до первого порядка по и второго порядка по  ,э xu  x  (см. соотношение (12)). Такие оценки производных могут быть получены либо простым диффе- ренцированием при аналитическом решении ОЗ [8] или использовании мажо- рантной (с наиболее "напряженными" граничными условиями) прямой задачи [9], либо методами численного дифференцирования при численном решении ОЗ [2, 8]. Для иллюстрации возможностей предлагаемого способа оценки досто- верности результатов решения граничных ОЗ рассмотрим процесс теплопе- реноса (величины , – соответственно безразмерные температура и теп- ловой поток), описываемый задачей с граничными условиями третьего рода [3] – задача (1) – (3) с нулевым начальным распределением температур =0 и функцией u xu G 0,xu   xuu  ,, =     11401  ,, u,ux . Такого рода режи- мы теплообмена широко распространены в теплофизической практике и ха- рактеризуются монотонностью и выпуклостью функций изменения во време- 107 τ Рис. 4 \|\|δ1\|\| u 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 1 10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ни температуры  ,1u и теплового потока   ,1xu . Поэтому соответствую- щая граничная обратная задача восстановления нестационарной температуры  ,1u и теплового потока   ,1xu по результатам измерений температуры (4) может быть дополнена априорной информацией о монотонности и выпук- лости искомых функций. При таком определении граничного условия (2) –   1  xxu uG ,, =0 – функции  ,1u и   ,1xu   оказываются линейно зависи- мыми. Поэтому ограничимся восстановлением только функции ,1u . Как правило, получаемые решения граничных ОЗ по "сложности" функ- циональной зависимости от времени не превосходят искомые (точные) зави- симости, поскольку в основе большинства методов их решения заложен принцип "наибольшей гладкости". Поэтому исследование эффективности ап- риорной информации о характере изменения искомых величин при известном уровне случайных погрешностей измерений для рассматриваемого примера проведем полагая, что найденное решение граничной ОЗ совпало с точным –  ,э 1u = , т.е. методическую погрешность решения ОЗ не рассматри- ваем. Тогда, воспользовавшись точным аналитическим решением задачи [3], нетрудно вычислить значения производных, входящих в правые части урав- нений (12), и воспользоваться полученными соотношениями (12), (13) для оценивания допустимых изменений функции  ,т 1u   ,э 1u в зависимости от уров- ня случайных погрешностей измерений температуры (4). Полученные ре- зультаты такого оценивания для восстанавливаемой температуры при уровне случайных погрешностей измерений  =0,01 и 0,03 приведены на рис. 4. По- скольку соотношения (12) – (14) получены для задачи без начальных условий, малые времена (  <0,2) не рассматривались. Приведенные кривые характери- зуют допустимые изменения температуры поверхности (сплошная кривая) для различных видов априорной информации. Штрихпунктирные  ,э 1u  108 кривые определяют допустимые коридоры изменения функции  ,э 1u , не выводящие решение прямой задачи в точке 0x за уровни погрешностей наблюдений =0,01 и 0,03, для априорной информации о монотонности ис- комой величины . Пунктирными кривыми показаны допустимые от- клонения решения ОЗ при наличии априорной информации о монотонности, штриховыми кривыми – о выпуклости искомой величины . Тонкие линии соответствуют уровню случайных погрешностей на- блюдений = 0,01, толстые линии –  = 0,03.    ,1  ,т 1u     1  тu  ,э 1u  ,т 1u Анализ приведенных на рис. 4 результатов показывает, что использова- ние априорной информации о выпуклости искомой зависимости (штриховые линии) позволяет для рассмотренного примера существенно повысить досто- верность решений ОЗ по сравнению с использованием информации о моно- тонности (пунктирные линии). Таким образом, полученные на основе гармонического анализа оценки позволяют при наличии априорной информации о монотонности и (или) вы- пуклости искомых функций строить допустимый коридор изменения реше- ний граничных ОЗ в зависимости от уровня случайных погрешностей наблю- дений. Предложенный способ оценки достоверности результатов решения нетрудно распространить на другие постановки граничных ОЗ для линейных уравнений параболического типа с постоянными и переменными коэффици- ентами. Полученные результаты могут быть использованы при планировании и интерпретации экспериментальных исследований процессов нестационар- ного тепломассопереноса. 1. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена / О. М. Алифанов. – М. : Машиностроение, 1988. – 284 с. 2. Шмукин А. А. Об использовании сплайнов при решении граничных обратных задач теплопроводности / А. А. Шмукин, Н. М. Лазученков // Инж.-физ. журн. – 1978. – 34, № 2. – С. 338 – 343. 3. Лыков А. В. Теория теплопроводности. / А. В. Лыков. – М. : Высшая школа, 1967. – 599 с. 4. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1972. – 735 с. 5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар.– М. : Наука, 1978. – 352 с. 6. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О .А. Ладыженская, В.А.Солонников, Н. Н.Уральцева. – М. : Наука, 1967. – 454 с. 7. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1977. – 456 с. 8. Бек Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности. / Дж. Бек, Б. Блэкуэлл, Ч. Сент-Клэр. – М. : Мир, 1989. – 312 с. 9. Лазученков Н. М. О влиянии погрешностей экспериментальных данных на результаты решения гранич- ной обратной задачи теплопроводности / Н. М. Лазученков // Гидрогазодинамика и тепломассообмен ле- тательных аппаратов : Сб. науч. тр. – Киев : Наук. думка, 1988. – C.132 – 137. Институт технической механики Получено 06.04.10, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 06.04.10 Днепропетровск 109

Анализ достоверности решений обратной задачи для уравнения параболического типа с использованием априорной информации о характере изменения искомых функций

Institution

Ähnliche Einträge