Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением

В некоторых механических системах с кулоновым трением может возникать явление, получившее название “wedging”. Хотя оно известно уже около 40 лет, в настоящее время все еще отсутствуют не только скольнибудь стройная развитая теория, но и общепринятое формальное определение данного явления. В данной с...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Жечев, М.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2010
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88105
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением / М.М. Жечев // Техническая механика. — 2010. — № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88105
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-881052015-11-08T03:02:30Z Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением Жечев, М.М. В некоторых механических системах с кулоновым трением может возникать явление, получившее название “wedging”. Хотя оно известно уже около 40 лет, в настоящее время все еще отсутствуют не только скольнибудь стройная развитая теория, но и общепринятое формальное определение данного явления. В данной статье исследованы определения и условия возникновения “wedging” в системах с кулоновым трением. Показана эквивалентность двух различных существующих определений для систем с различным числом фрикционных контактов. Получены наглядные геометрические условия заклинивания для плоских систем с тремя фрикционными контактами и аналитические условия для пространственных систем с произвольным числом фрикционных контактов. Эффективность применения полученных условий проиллюстрирована на различных примерах. В деяких механічних системах з кулоновим тертям може виникати явище, що отримало назву “wedging”. Хоча воно відомо вже біля 40 років, у нинішній час все ще відсутні не тільки скільки-небудь розвинута теорія, а й загальноприйняте визначення цього явища. У даній статті досліджено визначення й умови виникнення “wedging” в системах з кулоновим тертям. Показано еквівалентність двох різних існуючих визначень для систем з різним числом фрикційних контактів. Отримано наочні геометричні умови заклинювання для плоских систем з трьома фрикційними контактами та аналітичні умови для просторових систем з довільним числом фрикційних контактів. Ефективність застосування отриманих умов проілюстровано на різних прикладах. In some mechanical systems a phenomenon referred to as wedging can occur. Although this phenomenon has been known as long as about forty years, its generally accepted formal definition is still lacking, to say nothing of its coherent theory. In this paper, definitions of wedging and conditions for its possibility in systems with the Coulomb friction are analyzed. The equivalence of two different definitions of wedging for systems with different numbers of frictional contacts is examined. Clear geometrical wedging conditions for two-dimensional systems with three frictional contacts and analytical wedging conditions for three-dimensional systems with an arbitrary number of frictional contacts are obtained. The efficiency of these conditions is illustrated using various examples. 2010 Article Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением / М.М. Жечев // Техническая механика. — 2010. — № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88105 531.44: 625.2.001: 629.2: 629.46.015 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В некоторых механических системах с кулоновым трением может возникать явление, получившее название “wedging”. Хотя оно известно уже около 40 лет, в настоящее время все еще отсутствуют не только скольнибудь стройная развитая теория, но и общепринятое формальное определение данного явления. В данной статье исследованы определения и условия возникновения “wedging” в системах с кулоновым трением. Показана эквивалентность двух различных существующих определений для систем с различным числом фрикционных контактов. Получены наглядные геометрические условия заклинивания для плоских систем с тремя фрикционными контактами и аналитические условия для пространственных систем с произвольным числом фрикционных контактов. Эффективность применения полученных условий проиллюстрирована на различных примерах.
format	Article
author	Жечев, М.М.
spellingShingle	Жечев, М.М. Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением Техническая механика
author_facet	Жечев, М.М.
author_sort	Жечев, М.М.
title	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением
title_short	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением
title_full	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением
title_fullStr	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением
title_full_unstemmed	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением
title_sort	формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88105
citation_txt	Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением / М.М. Жечев // Техническая механика. — 2010. — № 3. — С. 14-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT žečevmm formalʹnoeopredelenieiusloviâvozniknoveniâzaklinivaniâvsistemahskulonovskimtreniem
first_indexed	2025-07-06T15:48:42Z
last_indexed	2025-07-06T15:48:42Z
_version_	1836913181764616192
fulltext	УДК 531.44: 625.2.001: 629.2: 629.46.015 М.М. ЖЕЧЕВ ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЗАКЛИНИВАНИЯ В СИСТЕМАХ С КУЛОНОВЫМ ТРЕНИЕМ В некоторых механических системах с кулоновым трением может возникать явление, получившее название “wedging”. Хотя оно известно уже около 40 лет, в настоящее время все еще отсутствуют не толь- ко сколь-нибудь стройная развитая теория, но и общепринятое формальное определение данного явления. В данной статье исследованы определения и условия возникновения “wedging” в системах с кулоновым трением. Показана эквивалентность двух различных существующих определений для систем с различным числом фрикционных контактов. Получены наглядные геометрические условия заклинивания для плоских систем с тремя фрикционными контактами и аналитические условия для пространственных систем с про- извольным числом фрикционных контактов. Эффективность применения полученных условий проиллюст- рирована на различных примерах. В деяких механічних системах з кулоновим тертям може виникати явище, що отримало назву “wedging”. Хоча воно відомо вже біля 40 років, у нинішній час все ще відсутні не тільки скільки-небудь розвинута теорія, а й загальноприйняте визначення цього явища. У даній статті досліджено визначення й умови виникнення “wedging” в системах з кулоновим тертям. Показано еквівалентність двох різних існую- чих визначень для систем з різним числом фрикційних контактів. Отримано наочні геометричні умови заклинювання для плоских систем з трьома фрикційними контактами та аналітичні умови для просторових систем з довільним числом фрикційних контактів. Ефективність застосування отриманих умов проілюст- ровано на різних прикладах. In some mechanical systems a phenomenon referred to as wedging can occur. Although this phenomenon has been known as long as about forty years, its generally accepted formal definition is still lacking, to say nothing of its coherent theory. In this paper, definitions of wedging and conditions for its possibility in systems with the Coulomb friction are analyzed. The equivalence of two different definitions of wedging for systems with different numbers of frictional contacts is examined. Clear geometrical wedging conditions for two-dimensional systems with three frictional contacts and analytical wedging conditions for three-dimensional systems with an arbitrary number of frictional contacts are obtained. The efficiency of these conditions is illustrated using various examples. Введение. В некоторых положениях (конфигурациях) механических сис- тем с кулоновым трением может возникать явление, получившее название “wedging”. Хотя с момента первого упоминания о “wedging” прошло уже около 40 лет (этот момент принято связывать с публикацией [1]), а число публикаций исчисляется многими десятками (см., к примеру, список литера- туры в [2 – 12]), в настоящее время все еще отсутствует общепринятое фор- мальное определение данного явления, что серьезно тормозит развитие соот- ветствующей теории. Зачастую вместо определения “wedging” авторы попросту используют свои представления об отдельных свойствах этого явления. К примеру, как отмечается в [13]:  S. Simunovic понимал под заклиниванием такое статическое явле- ние, при котором "любая возможная активная сила уравновеши- вается контактными (реактивными) силами" [1];  P.E. Dupont и S.P. Yamajako говорят о заклинивании как о “стати- ческом явлении, которое возникает, когда реакции связей линей- но зависимы” [4];  J.P. Baartman пишет, что "заклинивание характеризуется таким геометрическим расположением точек контакта, при котором возникающие в результате упругих деформаций реактивные силы могут значительно возрастать по абсолютной величине, оставаясь внутри соответствующих конусов трения" [5];  М.М. Жечев, 2010 Техн. механика. – 2010. – № 3. 14  M. Callegari и A. Suardi указывают, что "заклинивание является следствием геометрически неточной установки деталей, поэтому оно не может быть устранено изменением активных сил и момен- тов" [6]. Ясно, что с использованием таких понятий сложно исследовать формаль- ные условия возможности (или невозможности) возникновения данного яв- ления. В данной статье исследованы определения и условия возникновения “wedging” в системах с кулоновым трением. Показана эквивалентность двух различных существующих определений для систем с различным числом фрикционных контактов. Получены наглядные геометрические условия за- клинивания для плоских систем с тремя фрикционными контактами и анали- тические условия для пространственных систем с произвольным числом фрикционных контактов. Эффективность применения полученных условий проиллюстрирована на различных примерах. 1. Два определения системы, допускающей заклинивание. Приведен- ные ниже результаты получены в предположении, что все входящие в систе- му тела являются абсолютно твердыми. Это предположение, однако, не явля- ется критичным и использовано только для простоты изложения. Подобные же результаты можно было бы получить и для деформируемых тел, если только деформации достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их влиянием на геометрические и инерционные характеристики системы. Связи в фрикционных контактах считаются односторонними, а трение – кулоновым. Традиционно (см., к примеру, [1 – 6]) полагается, что силы инер- ции пренебрежимо малы по сравнению с силами реакции, что позволяет ис- пользовать при анализе заклинивания уравнения равновесия. Для таких систем, как показано в [13], можно указать лишь необходимые условия заклинивания. Поэтому в дальнейшем будем говорить не о системах, в которых заклинивание возникает, а о системах, в которых оно при опреде- ленных условиях может возникнуть, то есть о системах, допускающих закли- нивание. 1.1. Определение I. Одним из наиболее удачных, по-видимому, следует считать понятие wedging как явления, "при котором контактирующие тела могут оставаться в самоподдерживающемся напряженном состоянии даже после прекращения действия внешних сил" ("in which the contacting bodies may remain in a self-sustaining stressed state even when the externally applied forces are removed") [12]. И хотя в общем случае такая формулировка вряд ли может рассматриваться как строгая (поскольку, в принципе, допускает раз- личную трактовку, в частности слов "may remain"), она может быть уточнена так, чтобы рассматриваться как формальное определение. Если приведенную выше цитату понимать как то, что в отсутствие ак- тивных (внешних) сил система может находиться в состоянии покоя не толь- ко при нулевых, но и при некоторых ненулевых значениях сил реакции во фрикционных контактах (в пределах соответствующих конусов трения), то понятие wedging из [12] можно привести к следующему определению. Определение I. Система допускает заклинивание, если в отсутствие ак- тивных сил ее равновесие может быть обеспечено не равными одновременно нулю силами реакции. 15 Примечание 1. Здесь и далее конусы трения рассматриваются без своих границ. 1.2. Определение II. Проведенные в [13, 14] исследования условий равно- весия системы peg-in-hole позволили ввести отличное от предыдущего опре- деление системы, допускающей заклинивание. Использование этого понятия сделало возможным строгое обоснование известного условия заклинивания в механических системах с двумя фрикционными контактами, а также форму- лировку и обоснование условия заклинивания для механических систем с тремя фрикционными контактами. Несколько расширив, это определение можно сформулировать следующим образом. Определение II. Система допускает заклинивание, если не существует ак- тивных сил, которые бы гарантированно (т.е. независимо от того, какие именно значения сил реакции будут реализованы во фрикционных контактах в пределах соответствующих конусов трения) вывели систему из состояния покоя. Отметим, что данное определение наиболее близко к упомянутой во вве- дении трактовке заклинивания S. Simunovic. 2. Плоские системы с двумя и тремя фрикционными контактами. Рассмотрим систему, состоящую из абсолютно твердого тела (втулки), кон- тактирующего в двух (рис. 1) или трех (рис. 2) точках с неподвижным основанием. Действующие на сис- тему активные силы приведем к главному вектору F и главному моменту M . Реактивную силу в - ой точке контакта будем обозначать через , а соответствующий конус трения – через . i iR  iK Для данной системы заклини- вание в смысле определения I, оче- видно, означает, что в пределах ко- нусов трения существуют не рав- ные одновременно нулю силы ре- акции, образующие равновесную систему сил. Покажем эквивалентность оп- ределения I и II при двух и трех фрикционных контактах. Рис. 1 2.1. Два фрикционных контакта. Как доказано в [13], система с двумя фрикционными контактами допускает заклинивание в смысле определения II в том и только в том случае, если конусы трения накладываются, то есть если отрезок, соединяющий точки контакта (рис. 3), лежит внутри обоих конусов трения ( и ).  21 K  12 K 16 Пусть система допускает заклинивание в смысле определения II. По- скольку в этом случае конуса накладываются, то в пределах конусов трения, очевидно, существуют ненулевые силы реакции , , образующие равновесную систе- му сил – это лежащие на указан- ном отрезке равные по величине и противоположно направленные векторы. Следовательно, система допускает заклинивание также и в смысле определения I.  ii KR 2,1i Предположим теперь, что система допускает заклинивание в смысле определения I. Тогда со- гласно этому определению суще- ствуют ненулевые силы реакции и , образующие равновес- ную систему сил. Поскольку две силы образуют равновесную сис- тему сил в том и только в том случае, если они лежат на одной линии, то эти силы реакции лежат на отрезке, соединяющем точки контакта. А поскольку каждая из сил реакции принадлежит оему конусу трения, то есть  ii KR , 2,1i , то каждый конус содержит указанный отрезок, то есть конуса накла- дываются и, значит, система допускает 1R 2R Рис. 2 св заклинивание в смысле определения II. о в ожн ми контакта- ми. и и также допускает заклинивание, поскольку тремя фрикционными контактами могут допускать заклинивание и в случае, 2.2. Три фрикционных контакта. Две плоские фигуры могут иметь 3 контакта только в особых случаях. И только в исключительных случаях ко- личество контактов сохраняется таким же после взаимного перемещения этих тел. Тем не менее, рассматривать плоские системы с 3 фрикционными кон- тактами все же имеет смысл [13]. Во-первых, если система имеет в состоянии покоя 3 контакта, а по- сле начала движения число кон- тактов уменьшается, то для ответа на вопрос озм ости закли- нивания в указанном состоянии покоя следует рассматривать сис- тему в исходном состоянии, то есть с 3 фрикционны А, во-вторых, указанные вы- ше исключительные случаи все- таки могут иметь место. Пр наложени любых двух из трех конусов трения система c тремя фрикционными контактами равновесие втулки может быть обеспечено реактивными силами в соответст- вующих двух контактах при нулевой реакции в третьем. Однако системы с Рис. 3 17 когда ни одна пара конусов трения не накладывается. Рассмотрим далее именно такой случай. Заклинивание в смысле определения I означает, что в пределах конусов трения существуют не равные одновременно нулю силы реакции  ii KR , 3,2,1i , образующие равновесную систему сил, то есть , (1) 0 3 1  i iM 0 3 1  i iR , (2) где – моменты сил iM iR относительно некоторой точки. Покажем, что условия (1), (2) являются необходимыми и достаточными и для того, чтобы система допускала заклинивание в смысле определения II. Необходимость. Пусть система допускает заклинивание в смысле опре- деления II. Отсутствие активных сил, которые бы гарантированно вывели систему из состояния покоя, означает, что для любых активных сил найдутся уравновешивающие их силы реакции (в пределах своих конусов трения). По- этому, если к системе в некоторой точке приложена ненулевая активная сила  1F , то найдутся такие не равные одновременно нулю ,    ii KR 1 3,2,1i , что и , где    1 3 1 1 FR i i     0 3 1 1  i iM  1Mi – момент сил относительно точки приложения силы  1 iR  1F . А если в той же точке приложена другая нену- левая сила  2F , тогда точно так же найдутся такие не равные одновременно нулю ,    ii KR 2 3,2,1i , что и , где   F  2 1 2Ri 3 i     3 1 2 i iM 0  2 iM 0 – мо- мент сил относительно той же точки. Складывая соответствующие ра- венства, получим  2 iR , (3) 3 1  i iM , (4)    21 3 1 FFR i i   где    21 iii RRR  ,    21 iii MMM  . Ясно, что силы не равны одновре- менно нулю. Кроме этого, поскольку iR    ii KR 1 и , то, очевидно, и , . Выбирая    iiR 2 K  iK 3,2,1iiR    12 FF  и iRiR  , получим из (3), (4) ра- венства (1), (2), что и требовалось доказать. Достаточность. Пусть система допускает заклинивание в смысле опре- деления I, то есть пусть выполняются условия (1) и (2). Покажем, что в этом 18 случае для любых активных сил, всегда найдутся уравновешивающие их си- лы реакции , .  ii KR 3,2,1i Будем искать эти силы реакции в виде iii RkR  , где – произ- вольный коэффициент, а 0k i – некоторые неизвестные 2- векторы. Для того чтобы главный вектор и главный момент всех действующих на систему сил (и активных, и реактивных), равнялись нулю, очевидно, необходимо и доста- точно, чтобы удовлетворяли соотношениям: i ,0 ,0 321 321    MMMM F (5) где – момент силы  iM i относительно точки пересечения сил 1R , 2R , 3R . Соотношения (5) представляют собой 3 скалярных уравнения относительно шести неизвестных проекций векторов i , и, как несложно видеть, всегда имеют решение. Поэтому всегда найдутся силы реакции , iR 3,2,1i , при которых главный вектор и главный момент всех сил, действующих на систе- му (и активных, и реактивных), равны нулю. При этом выбором коэффициен- та всегда можно добиться, чтобы . Действительно, поскольку при угол между векторами и k   iR  iK k iR iR стремится к нулю, а  ii K 3,2,1 R  , то при достаточно большом будут выполняться условия , k  ii KR i . Таким образом, для рассмотренной системы определения I и II эквива- лентны. 2.3. Геометрическое условие заклинивания в случае трех фрикцион- ных контактов. Как уже отмечалось, условие заклинивания для систем с двумя фрикционными контактами имеет наглядную геометрическую форму – наложение конусов трения. В [13] также наглядное геометрическое условие заклинивания было по- лучено для одной конкретной системы peg-in-hole с тремя фрикционными контактами. В данной работе данное условие распространяется на плоские системы peg-in-hole более общего вида. В силу эквивалентности определений I и II далее в пределах этого пункта термин "система допускает заклинивание" используется без уточнения. В дальнейшем через будем обозначать конус, состоящий из всех век- торов из , взятых с противоположным знаком, то есть  iK  iK    ii RRK : i KK   ii K  iK . Объединение и обозначим через , иными словами .  iK  iK iK  i Как известно, для того чтобы главный момент любых трех сил равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы линии действия всех трех сил пересе- кались в одной точке. Поэтому для выполнения (1) необходимо и достаточно, чтобы конусы имели непустое пересечение, то есть iK . (6)    3 1i iK 19 Для одновременного выполнения (1) и (2) необходимо и достаточно, чтобы непустое множество  содержало такую точку, что для некоторых проходящих через нее ненулевых векторов  ii KR , выполняется равенство 3,2,1i 0 3 1  i iR . (7) Таким образом, система допускает заклинивание в том и только в том случае, если выполняются условия (6) и (7) [13]. Обозначим через  область (без границы), ограниченную сторонами треугольника с вершинами в точках контакта 1, 2 и 3, а через пересечение конусов , то есть (рис. 4).   iK  3 1  i i K  Теорема 1. Если втулка представляет собой выпуклое тело и каждый из конусов трения ,  iK 3,2,1i пересекается с областью , то система допус- кает заклинивание в том и только в том случае, если  (см. рис. 4). (8)   Доказательство. Достаточность данных условий очевидна. Действи- тельно, условие (6) следует из (8), а условие (7) выполняется для любой точки из  . Необходимость. Пусть система допускает заклинива- ние. Тогда в силу (6)  . Выберем произвольную точку из . Если эта точка при- надлежит , то     , откуда в силу выпуклости втулки следует (8). Рассмотрим подробно случай, когда точка  лежит вне . Нетрудно видеть, что любая точка плоскости обяза- тельно принадлежит либо не- которому углу треугольника , либо некоторому внешне- му по отношению к нему углу.   В первом случае (в силу выпуклости втулки) условие (7) может быть удовлетворено только при таких направлениях сил реакции, как это показано на рис. 5 (на этом рисунке  принадлежит углу треугольника  с вершиной в точке 1). Это (учитывая, что по условию теоремы каждый конус пересекается с ) означает, что точка контакта 1 принадлежит обоим конусам и , откуда следует, что все три конуса пересекаются внутри   2K  3K  iK  , то есть следует условие (8). Рис. 4 20 Во втором случае, при- веденном на рис. 6 (на этом рисунке  принадлежит углу, внешнему по отно- шению к углу треугольника  с вершиной в точке 3), рассуждая подобным обра- зом, получим, что точка контакта 3 принадлежит обоим конусам и , откуда также следует спра- ведливость условия (8).  1K  2K Рис. 5 Примечание 2. Требо- вание выпуклости втулки является несколько избы- точном. Вместо него дос- таточно было потребовать, чтобы конусы ,  iK 3,2,1i не пересекались с областью  . 3. Системы тел с произвольным числом фрикционных контактов. Исследуем общий случай пространственных систем тел, с произвольным ( n ) числом фрикционных контактов. Освободимся от связей в фрикционных контактах и рассмотрим получившуюся систему с степенями свободы. Очевидно, что в этом слу- чае . k nk  Рис. 6 Введем обозначения:  kqqqq ,,, 21   iR – вектор независимых обобщенных координат системы;  qrr ii  – радиус-вектор, соединяющий начало инерциальной системы коор- динат с точкой приложения силы реакции в - ом контакте; i              nR R R T  2 1 – вектор, где – трехмерные векторы сил реакции;                q r q r q r q n21 – якобиева матрица размера  nk 3 ;  – -вектор обобщенных (активных) сил. k В этих обозначениях уравнение равновесия системы можно представить в виде 0T . (9) Заклинивание в смысле определения I означает, что при 0 уравнение 21 (9) имеет нетривиальное решение, то есть, что существует 02 1                 nR R R T  ,  ii KR , , удовлетворяющее уравнению ni ,,1 0T . Заклинивание в смысле определения II означает, что для любого вектора найдется вектор  T , ,  ii KR ni ,,1 , удовлетворяющий уравнению (9). Отсюда следует, что для того чтобы система допускала заклинивание в смыс- ле определения II, прежде всего необходимо, чтобы уравнения равновесия были совместны при любых обобщенных силах  . В рассмотренных выше случаях тела с двумя и тремя фрикционными контактами это условие выпол- нялось. В случае систем нескольких тел это имеет место только в случае, если . Действительно, если krank kr  rank , то найдется   krk  - мат- рица B , такая что 0B , откуда следует, что уравнение (9) совместно только для , удовлетворяющих условию 0 B . К примеру, krank , если в системе есть изолированное тело, не имеющее фрикционных контак- тов. Ясно, что активные силы, действующие на изолированное тело, не могут быть скомпенсированы силами реакции в фрикционных контактах между другими телами. При сравнении определений исключим такого рода экзоти- ческие случаи и будем полагать, что krank . 3.1. Эквивалентность определений. Пусть система допускает заклинива- ние в смысле определения II. Покажем, что в этом случае она допускает за- клинивание и в смысле определения I. Согласно определению II, для любых   и   найдутся такие нену- левые                nR R R     T  2 1 R,  ii K и                nR R R T      2 1 ,  iK  iR  , n,i ,1 , что 0   T и 0  T . Тогда для очевидно ненулевого вектора TTT   справедливо (9), где   . Выбирая   , получим 0T , где  ii KR , . ni ,,1 Пусть теперь система допускает заклинивание в смысле определения I, и пусть при этом krank . Покажем, что в этом случае она допускает закли- нивание и в смысле определения II. Будем искать , iR ni ,,1 в виде: iii RkR  , где . Подставляя это выражение в (9), получим уравнение для определения неизвестных 3-х векторов , i 0k i ,1 n, 0  , где . (10)                 n  2 1 22 Поскольку , то уравнение (10) совместно. Выбором достаточ- но большого угол между векторами и krank k iR iR , очевидно, можно сделать сколь угодно малым, а поскольку  i ii KR , n,,1 , то это означает, что при достаточно большом векторы не только будут удовлетворять уравне- нию равновесия (9), но и будут лежать внутри своих конусов трения, то есть , i . k n, iR  ii KR ,1 3.2. Аналитические условия заклинивания. В разделе 2 были приведены простые геометрические условия заклинивания для плоского тела с двумя и тремя фрикционными контактами. Для систем тел вряд ли можно указать по- добные условия, однако в некоторых случаях можно привести достаточно простые аналитические условия заклинивания. Далее будем рассматривать системы с фиксированными линиями дейст- вия сил трения [15], когда в каждой точке контакта однозначно определено направление не только нормальной силы, но и силы трения, благодаря чему реакция связи в фрикционном контакте однозначно характеризуется дву- мя скалярными величинами: нормальной силой iR i и силой кулонова трения ( – коэффициент трения). iiif  i Поскольку контактные силы зависят от iR i и линейно, то заменой переменных уравнение равновесия (9) можно преобразовать к виду if 0 , (11) где – - матрица,   nk   n ,,, 21  ,  n ,,, 21  . Как и в предыдущем пункте, будем считать, что krank . Тогда, учи- тывая, что , в общем случае nk  nrank . В связи с эквивалентностью оп- ределений I и II далее будем говорить только об определении I. Заклинивание в смысле определения I в этом случае означает, что урав- нение (10) имеет при 0 нетривиальное решение, то есть, существует , удовлетворяющее при некоторых 0 i : iii  , ni ,,1 ( i – коэффициент трения скольжения) уравнению   0 . (12) Поскольку , то уравнение (12), очевидно, может иметь при некотором нетривиальное решение в том и только в том случае, когда nk     при этих значениях является матрицей неполного ранга. То есть, справедлива теорема.  Теорема 2. Чтобы система допускала в положении заклинивание в смысле определения I, необходимо, чтобы при некоторых q i : iii  , ni ,,1   nrank . (13) Примечание 3. В силу односторонности фрикционных контактов нор- мальные реакции удовлетворяют условию 0 , . (14) i ni ,,1 23 Поскольку условие (13) не гарантирует, что среди ненулевых решений урав- нения (12) найдется решение, удовлетворяющее условию (14), то теорема 2 дает только необходимые условия. Подобное утверждение впервые было приведено в [4]. Однако в [4] отсутствует формальное определение wedging, в связи с чем данное утверждение приведено без должного доказательства, один из вариантов которого был предложен в [16]. Примечание 4. Достаточным условием в случае (13) является наличие ненулевого решения  уравнения (12), удовлетворяющего (14). В случае, ко- гда все фрикционные контакты двусторонние, условие (14) не обязано вы- полняться, поэтому в этом случае условие (13) является как необходимым, так и достаточным. 4. Анализ возможности заклинивания в конкретных системах 4.1. Два фрикционных контакта. На рис. 7 приведена простейшая рас- четная схема фрикционной системы демпфирования одного из типов трех- элементных тележек грузового вагона (в частности тележки Barber S-2H-D), состоящей из надрессорной балки (НБ) и фрикционных клиньев. В данной расчетной схеме клинья считаются неподвижными, а трение в фрикционных контактах (1 и 2) – кулоновым с коэффициентами трения скольжения 1 и 2 , соответственно. Как несложно видеть из рисунка, чтобы конусы трения накладывались, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство    ctg2tg, 21 . К примеру, для тележки Barber S-2H-D , поэтому фрикционная система демпфирования этой тележки допускает за- клинивание, если 58 62,058ctg, 21   . 4.2. Три фрикционных контакта. Если для остановки грузового вагона дополнительно к штатному торможению (с использованием тормозных коло- док) используется также тормозной башмак, то соответствующее колесо ва- гона имеет три фрикционных контакта (рис. 8). В этом случае система удов- летворяет условиям теоремы 1, то есть допускает заклинивание. Как видно из рис. 8, это возможно даже при малых значениях коэффициента трения скольжения, причем добавление к трем имеющимся каких-либо других фрикционных контактов сохраняет данное свойство.   НБ Wedge Клин 1 2  2 Клин 1 Рис. 7 24 Примечание 5. Несложно видеть, что при достаточно больших коэффициентах трения скольжения система допускает за- клинивание и в отсутствие башмака, т.е. когда в нижней части имеется только один контакт (между колесом и рель- сом). 4.3. Четыре фрикционных контакта. На рис. 9 приведена более детальная (по сравнению с п. 4.1) расчетная схема фрик- ционной системы демпфирования тележки грузового вагона. На этой схеме фрикци- онные клинья могут перемещаться (с тре- нием) в вертикальном направлении. Ис- следуем возможность заклинивания в дан- ной системе с помощью теоремы 2. Башмак Колодка Рис. 8 После освобождения от связей во фрикционных контактах ( 4n ) по- лучим систему с степенями свободы. Составив уравнения равновесия для случая, изображенного на рис. 9, найдем, что с точностью до постоянного множителя матрица может быть представлена в виде 7k   Рис. 9  НБ Клин Клин 1 2 43 Пружин Пружи                                 00 10cossin0 0sincos0 010cossin 00sincos 00sincossincos 00cossincossin 21 2 42 1 31 21 21 . Непосредственной проверкой легко установить, что при  ctg21 , и 043    sec,sec,1,1 справедливо   0 . Это означает, что при указанных значениях i 4 . Отсюда в силу теоремы 2 (с учетом примечания 4) следует, что система допускает заклинивание в смысле опре- rank  25 деления I (а значит, и в смысле определения II в силу их эквивалентности), если коэффициенты трения скольжения удовлетворяют неравенствам  ctg21 , 043  , что очевидно согласуется с результатом п. 4.1. 5 Заключение. В традиционной постановке задачи о заклинивании, когда тела полагаются абсолютно твердыми, а трение – кулоновым, понятие "сис- темы, допускающей заклинивание" может быть определено по-разному. В статье детально рассмотрены два определения, одно из которых характеризу- ет поведение системы с фрикционными контактами при отсутствии активных сил (определение I), а другое – при произвольных активных силах (определе- ние II), и доказана эквивалентность этих определений. Полученные в статье условия заклинивания, как показывают рассмотренные примеры, могут эф- фективно использоваться при анализе различных технических систем с фрик- ционными контактами. 1. Simunovic S. H. Force information in assembly processes / S. H. Simunovic // The 5th International Symposium on Industrial Robots, Chicago, Illinois : 1975 : the Proceedings. – Chicago, 1975. – P. 415 – 431. 2. Whitney D. E. Quasi-static assembly of compliantly supported rigid parts / D. E. Whitney // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. – 1982. – № 104. – P. 65 – 77. 3. Mason M. T. 23. Assembly. Mechanics of Manipulation [Электронный ресурс] / M. T. Mason. – Режим дос- тупа к ресурсу http://www.cs.rpi.edu/ ~ trink/Courses/Robot/Manipulation/lectures/lecture23.pdf. 4. Dupont P. E. Jamming and Wedging in Constrained Rigid-body Dynamics / P. E. Dupont, S. P. Yamajako // IEEE International Conference on Robotics and Automation, May, 1994, San Diego : the Proceedings. – San Diego, 1994. – P. 2349 – 2354. 5. Baartman J. P. Automation of assembly operations on parts [Электронный ресурс] / J. P. Baartman. – Режим доступа к ресурсу http://www.wbmt. 6. Callegari M. On the force-controlled assembly operations of a new parallel kinematics manipulator / M. Callegari, A. Suardi // Mediterranean Conf. on Control and Automation : June 18 – 20, 2003, Rhodes : the Proceedings. – Rhodes, 2003. – IV06 – 02. 7. Nguyen T. A. Analysis of dynamic assembly using passive compliance / Nguyen T., Betemps M. and Jutard // IEEE International Conference on Robotics and Automation. – 1995 : the Proceedings. – 1995. – Р. 1997 – 2002. 8. De Meester. Conditions for initiating the translation of a rigid cylinder in a tube / De Meester B., Raucent B. and Dumont E. // Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME. – 1996.– № 118(2). – Р. 235 – 242. 9. Sturges R. H. Virtual Wedging in Three Dimensional Peg Insertion Tasks / R. H. Sturges, S. Laowattana // IEEE / RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems : 1992 : the Proceedings. – American Society of Mechanical Engineers, Design Engineering Division (Publication) DE, 1992. – V. 48. – P. 49 – 55. 10. Maeda Y. Analysis of internal force in robotic contact tasks / Maeda Y., Aiyama Y. and Arai T. // Journal of the Japan Society for Precision Engineering. – 2001. – № 67(12). – Р. 1996 – 1999. 11. Xia Y. Dynamic analysis for peg-in-hole assembly with contact deformation / Xia Y., Yin Y. and Chen Z. // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. – 2006. – № 30(1 – 2). – Р. 118 – 128. 12. Barber J. R. On wedged configurations with Coulomb friction / Barber J. R. and Hild P. // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. – 2006. – № 27. – Р. 205 – 213. 13. Zhechev M. M. Geometrical conditions for wedging in mechanical systems with coulomb friction / M. M. Zhechev, M. V. Khramova // Proc. Instn Mech. Engrs, Part C : J. Mechanical Engineering Science. – 2009. – № 223(C5). – P. 1171 – 1179 (доступна на электронном ресурсе http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 14. Zhechev M. M. Formal definition of wedging and conditions for its possibility in systems with coulomb friction / Zhechev M. M. // International Journal of Mechanical Sciences. – 2010. – № 52. – Р. 541 – 547. 15. Иванов А. П. Условия однозначной разрешимости уравнений динамики систем с трением / Иванов А. П. // Прикладная математика и механика. – 2008. – № 72 (4). – С. 531 – 546. 16. Скатенок М. В. Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами / М. В. Скатенок // Механика твёрдого тела. – 2005. – № 35. – С. 145 – 153. Институт технической механики Получено 07.05.10, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 07.05.10 Днепропетровск 26 http://www.wbmt/ http://www.scopus.com/scopus/search/submit/author.url?author=Barber%2c+J.R.&authorId=14011925000&origin=recordpage http://www.scopus.com/scopus/search/submit/author.url?author=Barber%2c+J.R.&authorId=14011925000&origin=recordpage http://www.scopus.com/scopus/search/submit/author.url?author=Hild%2c+P.&authorId=7004278093&origin=recordpage http://www.scopus.com/scopus/source/sourceInfo.url?sourceId=4900153201 http://www.scopus.com/scopus/source/sourceInfo.url?sourceId=4900153201 http://mzhecheve.web.optima.com.ua/

Формальное определение и условия возникновения заклинивания в системах с кулоновским трением

Репозитарії

Схожі ресурси