Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом

Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Королюк, Д.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88138
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88138
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-881382015-11-09T03:02:20Z Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом Королюк, Д.В. Математика Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом. Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом, марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем. We propose an approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , for which the diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck type process with continuous time is constructed. 2014 Article Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88138 519.24 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Королюк, Д.В. Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом Доповіді НАН України
description	Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом.
format	Article
author	Королюк, Д.В.
author_facet	Королюк, Д.В.
author_sort	Королюк, Д.В.
title	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_short	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_full	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_fullStr	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_full_unstemmed	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_sort	дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88138
citation_txt	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT korolûkdv difuzíjnaaproksimacíâstatističniheksperimentívznapoleglivoûnelíníjnoûregresíêûíekvílíbríumom
first_indexed	2025-07-06T15:50:50Z
last_indexed	2025-07-06T15:50:50Z
_version_	1836913316162699264
fulltext	УДК 519.24 Д.В. Королюк Дифузiйна апроксимацiя статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом (Представлено академiком НАН України I.М. Коваленком) Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = = [Nt], 0 6 t 6 T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна– Уленбека з неперервним часом. У роботi пропонується математична модель статистичних експериментiв (СЕ) з наполе- гливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом в дискретно-неперервному часi. Дифузiйна апроксимацiя моделi здiйснюється процесом типу Орнштейна–Уленбека з неперервним ча- сом. Висхiдна модель ланцюга Маркова в дискретно-неперервному часi виникає в результатi масштабування дискретного часу, а також параметрiв статистичних експериментiв. Початковим об’єктом дослiджень є послiдовнiсть бiнарних статистичних експериментiв (вимiрювань) вiдносних частот присутностi або вiдсутностi певної ознаки. А саме, розгля- дається послiдовнiсть (за k) вибiрок {δr(k) = ±1, 1 6 r 6 N} незалежних у сукупностi при кожному k > 0 i однаково розподiлених бiнарних випадкових величин. Вибiрка мiстить сукупнiсть елементарних результатiв присутностi ознаки в системi. Па- раметр r iндексує бiнарний результат ±1 у вибiрцi; параметр k можна iнтерпретувати як порядковий номер експерименту, або дискретний час. Послiдовнiсть (за k) бiнарних СЕ задається сумами вибiркових значень елементарних подiй SN (k) := 1 N N∑ r=1 δr(k), k > 0. (1) Фундаментальну роль вiдiграє умова наполегливої регресiї: умовнi ймовiрностi елемен- тарних подiй P{δr(k + 1) = ±1 \| SN (k) = s} = P±(s), \|s\| 6 1, k > 0, (2) залежать вiд сумарного попереднього значення SN (k) = s. Функцiя наполегливої регресiї (умовне математичне сподiвання СЕ (1)) E[SN (k + 1) \| SN (k) = s] := C(s) (3) не залежить вiд дискретного параметра часу k. Очевидно, що C(s) = P+(s)− P−(s). (4) Враховуючи очевидне спiввiдношення P+(s) + P−(s) = 1, ∀ s ∈ [−1,+1], © Д.В. Королюк, 2014 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8 ймовiрностi елементарних подiй виражаються через функцiю регресiї P±(s) = 1 2 [1± C(s)]. (5) Динамiка СЕ (1)–(3) дослiджується в моделi ланцюга Маркова з дискретно-неперервним часом для приростiв СЕ: ∆SN (k) = SN (k + 1)− SN (k). (6) Вiдповiдна функцiя регресiї приростiв E[∆SN (k) \| SN (k) = s] := C0(s) (7) пов’язана з висхiдною функцiєю регресiї (3)–(4) спiввiдношенням C0(s) = C(s)− s. (8) Функцiя наполегливої регресiї приростiв (7) пропонується у виглядi добутка двох спiв- множникiв. Лiнiйний спiвмножник задається флюктуацiєю СЕ (аналогiчно [1, 2]); нелiнiй- ний спiвмножник визначається функцiєю, що набуває нульових значень у граничних точках +1, −1. 1. Основне припущення. Функцiя регресiї приростiв СЕ є кубiчною параболою: C0(s) = −V (1− s2)(s− ρ), \|s\| 6 1, \|ρ\| < 1, (9) яка має три дiйсних кореня ±1 i точку рiвноваги ρ: C(ρ) = ρ, C0(ρ) = 0. (10) Зв’язок мiж функцiями регресiї C0(s), C(s) i точкою рiвноваги ρ представлений графi- ком (рис. 1). Лiнiйний член s− ρ у виразi (9) є флюктуацiєю СЕ, тобто вiдхиленням поточного зна- чення s вiд точки рiвноваги ρ. Зауваження 1. Функцiя регресiї приростiв (9) має таке зображення як функцiя флюк- туацiй: C0(s) = −V σ2(s − ρ) + V (s− ρ)2(s+ ρ), σ2 = 1− ρ2, (11) отже, Ĉ0(ŜN (k)) := C0(SN (k)), (12) де Ĉ0(ŝ) := −V σ2ŝ+ h(ŝ)ŝ2 = −V [σ2 − ŝ(2ρ+ ŝ)]ŝ, h(ŝ) = V (ŝ+ 2ρ), ŝ := s− ρ. (13) 2. Марковськi процеси, що апроксимують СЕ. Наполеглива регресiя (9) породжує рiзницеве стохастичне рiвняння для флюктуацiй ŜN (k) := SN (k) − ρ (див. [1]) ∆ŜN (k + 1) = Ĉ0(ŜN (k)) + µ̂N (k + 1)√ N , k > 0, (14) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 29 Рис. 1. C0(s) — кубiчна парабола, C(s) — нахилена кубiчна парабола де Ĉ0(ŝ) визначено у формулi (13), а мартингал-рiзницi µ̂N (k + 1) := √ N [∆ŜN (k + 1)− Ĉ0(ŜN (k))], k > 0, (15) характеризуються умовними першими двома моментами [4, 6] E[µ̂N (k + 1) \| ŜN (k)] = 0, k > 0, E[µ̂2N (k + 1) \| ŜN (k)] = B[ρ+ ŜN (k)], B(s) = 1− C2(s). (16) Рiзницеве стохастичне рiвняння (14) служить основою апроксимацiї СЕ (14) марков- ським процесом у дискретно-неперервному часi k = [Nt], t > 0. Пропозицiя 1. Марковський процес в дискретно-неперервному часi задається рiзни- цевим стохастичним рiвнянням з нелiнiйною передбачуваною частиною ∆ζN (t) = Ĉ0(ζN (t)) N + ∆µN (t)√ N , 0 6 t 6 T, (17) де прирости марковських процесiв у дискретно-неперервному часi визначаються як ∆ζN (t) := ζN ( t+ 1 N ) − ζN (t), (18) а мартингальна компонента в рiвняннi (17) характеризується нульовим середнiм i ста- лою дисперсiєю E[∆µN (t) \| ζN (t)] = 0, E[∆µ2N (t) \| ζN (t)] = σ2 := B(ρ) = 1− ρ2. (19) Зауваження 2. Нормованi СЕ (14) множником √ N ζ̂N (k) := √ NŜN (k) = √ N [SN (k)− ρ] (20) 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8 задовольняють рiзницеве стохастичне рiвняння з лiнiйною складовою передбачуваної ком- поненти ∆ζ̂N (k + 1) = −V σ2ŜN (k) + h(ŜN (k))Ŝ2 N (k)/ √ N + µ̂N (k + 1), k > 0. (21) Рiзницеве стохастичне рiвняння (21) служить основою апроксимацiї СЕ (21) марковським процесом у дискретно-неперервному часi. Пропозицiя 2. Марковський процес у дискретно-неперервному часi задається рiзни- цевим стохастичним рiвнянням з лiнiйною передбачуваною частиною ∆ζ0N (t) = −V σ 2ζ0N (t)) N + ∆µN (t)√ N , 0 6 t 6 T. (22) Зауваження 3. Зрозумiло мотивацiю побудови рiзницевих стохастичних рiвнянь (22). Нелiнiйна складова передбачуваної компоненти знехтується, бо прямує до нуля при N →∞. Мартингальна компонента залишається зi сталою дисперсiєю (19) з нормуючим множником 1/ √ N [3]. 3. Дифузiйна апроксимацiя СЕ в дискретно-неперервному часi. Марковськi процеси в дискретно-неперервному часi, що задаються рiзницевими стохастичнмим рiв- няннями (17) та (22), допускають дифузiйну апроксимацiю процесом типу Орнштейна– Уленбека в неперервному часi. Теорема 1. За умови збiжностi за ймовiрнiстю початкових значень марковських процесiв (17) та (22) ζN (0) P−→ ζ0, ζ0N (0) P−→ ζ0, N →∞, (23) має мiсце збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв процесiв ζN (t) D−→ ζ(t), ζ0N (t) D−→ ζ0(t), N →∞, (24) до граничних процесiв Орнштейна–Уленбека, що задаються генераторами Lϕ(s) = Ĉ0(s)ϕ ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s), L0ϕ(s) = −V σ2sϕ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s) (25) на класi фiнiтних числових функцiй ϕ(s) ∈ C3(R) (R := (−∞,+∞)), тричi неперервно диференцiйованих з обмеженими похiдними. Зауваження 4. Дифузiйний процес, що виражається генератором L (25), є процесом ти- пу Орнштейна–Уленбека, який задається розв’язком стохастичного диференцiального рiв- няння dζ(t) = Ĉ0(ζ(t))dt+ σdW (t), (26) в якому W (t), t > 0, є стандартним процесом броунiвського руху з характеристиками EW (t) = 0, EW 2(t) = t. (27) Доведення теореми 1. Збiжнiсть в (24) процесу ζN (t) до граничного процесу, що задається генератором L, проводиться аналогiчно випадку лiнiйної наполегливої регресiї, ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 31 яка дослiджена в [1]. Доведення збiжностi в (24) процесу ζN (t) базується на застосуван- нi збiжностi генераторiв марковського процесу на достатньо широкому класi тест-функцiй з аргументом в областi значень марковського процесу. Це забезпечує збiжнiсть скiнченно- вимiрних розподiлiв марковських процесiв [4, 5]. Введемо генератор марковського процесу в схемi серiй LNϕ(s) = NE[ϕ(s +∆ζN (t))− ϕ(s) \| ζN (t) = s]. (28) Лема 1. Нехай має мiсце збiжнiсть генераторiв (28) lim N→∞ LNϕ(s) = Lϕ(s), ϕ(s) ∈ C3(R), (29) на класi C3(R) числових фiнiтних функцiй, тричi неперервно диференцiйованих з обме- женими похiдними. Тодi граничний генератор Lϕ(s) = Ĉ0(s)ϕ ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s), σ2 = 1− ρ2, (30) задає граничний процес типу Орнштейна–Уленбека (26). Доведення леми 1. Для приростiв марковського процесу нормованих флюктуацiй ζN (t), t > 0, обчислимо першi два моменти. Враховуючи (22), маємо E[∆ζN (t) \| ζN (t) = s] = Ĉ0(s) N , (31) E[(∆ζN (t))2 \| ζN (t) = s] = σ2 N +O ( 1 N2 ) . (32) Тут, як i ранiше (див. (19)), σ2 = B(ρ) = 1− C2(ρ) = 1− ρ2. (33) Тепер застосуємо формулу Тейлора у виразi (28) генератора LN до тест-функцiї ϕ(s) ∈ ∈ C3(R): LNϕ(s) = N [ E[∆ζN (t) \| ζN (t) = s]ϕ′(s) + + E[(∆ζN (t))2 \| ζN (t) = s] 1 2 ϕ′′(s) +RNϕ(s) ] . (34) Тут залишковий член, завдяки обмеженостi компонентiв рiвняння (17), за умовою тео- реми 1, має оцiнку RNϕ(s) = O ( 1 N3/2 ) . Використовуючи вирази (31), (32) перших двох моментiв приростiв, маємо LNϕ(s) = Lϕ(s) +RNφ(s), (35) 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8 де залишковий член RNϕ(s)→ 0, N →∞, ϕ(s) ∈ C3(R). (36) Твердження леми 1 випливає з (35), (36). За теоремою 1 А. В. Скорохода [4; 2 : 1] випливає збiжнiсть (24) скiнченновимiрних розподiлiв нормованих флюктуацiй СЕ. Теорему 1 доведено. Враховуючи апроксимацiю СЕ нормальним процесом авторегресiї, сформульовану в [7, пропозицiя 4.1], доцiльно ввести конструктивну модель СЕ в дискретно-неперервному часi. Пропозицiя 3. Марковський процес у дискретно-неперервному часi, що апроксимує СЕ з нелiнiйною регресiєю приростiв (9), може бути заданий нормальним процесом ав- торегресiї ∆ζ̃0N (t) = Ĉ0(ζ̃0N (t)) N + σ∆WN (t). (37) Тут за означенням прирости вiнерiвського процесу ∆WN (t) := W ( t+ 1 N ) −W (t) мають другий момент E[∆WN (t)]2 = 1 N . Для конструктивної моделi апроксимацiї СЕ марковським процесом (37) має мiсце ана- лог теореми 1. Таким чином, за умови збiжностi за ймовiрнiстю початкових значень ζ̃0N (0) P−→ ζ̃0, N →∞, (38) має мiсце збiжнiсть за розподiлом скiнченновимiрних розподiлiв процесу нормальної авто- регресiї (37) ζ̃0N (t) D−→ ζ̃0(t), N →∞, (39) до дифузiйного процесу ζ̃0(t), t > 0, що визначається генератором (див. (25)) Lϕ(s) = Ĉ0(s)ϕ ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s) (40) на класi фiнiтних числових функцiй ϕ(s) ∈ C3(R) (R := (−∞,+∞)), тричi неперервно диференцiйованих з обмеженими похiдними. 1. Королюк Д.В. Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линей- ной регрессией и эквилибриумом // Доп. НАН України. – 2014. – № 3. – С. 18–24. 2. Королюк Д.В. Бинарные повторяющиеся статистические эксперименты с настойчивой линейной ре- грессией // Укр. мат. вестн. – 2013. – 10, № 4. – С. 497–506. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 33 3. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes: characterization and convergence. – New York: Wiley, 1986. – 534 p. 4. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1987. – 328 с. 5. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase. – Singapore; London: Space, World Scien- tific, 2005. – 331 p. 6. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 611 с. 7. Королюк Д.В. Бiнарнi статистичнi експерименти з наполегливою нелiнiйною регресiєю // Теорiя ймовiрностей i матем. статистика. – 2014. – № 91. Надiйшло до редакцiї 20.02.2014Iнститут телекомунiкацiй i глобального iнформацiйного простору НАН України, Київ Д.В. Королюк Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом, марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 6 t 6 T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштей- на–Уленбека с непрерывным временем. D.V. Koroliouk Diffusion approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium We propose an approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 6 t 6 T , for which the diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck type process with continuous time is constructed. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8

Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом

Репозитарії

Схожі ресурси