Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами

На примере модели экспериментальной тросовой системы проведен сравнительный анализ использования пакетов MATLAB, Maple и MapleSim для исследования динамики системы и выработаны рекомендации по рациональному использованию этих программных средств....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Храмов, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2011
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88212
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами / Д.А. Храмов // Техническая механика. — 2011. — № 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88212
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-882122015-11-10T03:02:08Z Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами Храмов, Д.А. На примере модели экспериментальной тросовой системы проведен сравнительный анализ использования пакетов MATLAB, Maple и MapleSim для исследования динамики системы и выработаны рекомендации по рациональному использованию этих программных средств. На прикладі моделі експериментальної тросової системи проведено порівняльний аналіз використання пакетів MATLAB, Maple і MapleSim для дослідження динаміки системи і вироблено рекомендації з раціонального використання цих програмних засобів. The comparative analysis of MATLAB, Maple, and MapleSim packages for studying the system dynamics is carried out using the model of an experimental tethered system, and recommendations for rational using this software are made. 2011 Article Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами / Д.А. Храмов // Техническая механика. — 2011. — № 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88212 629-78 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На примере модели экспериментальной тросовой системы проведен сравнительный анализ использования пакетов MATLAB, Maple и MapleSim для исследования динамики системы и выработаны рекомендации по рациональному использованию этих программных средств.
format	Article
author	Храмов, Д.А.
spellingShingle	Храмов, Д.А. Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами Техническая механика
author_facet	Храмов, Д.А.
author_sort	Храмов, Д.А.
title	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами
title_short	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами
title_full	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами
title_fullStr	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами
title_full_unstemmed	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами
title_sort	особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88212
citation_txt	Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами / Д.А. Храмов // Техническая механика. — 2011. — № 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT hramovda osobennostimodelirovaniâdinamikiéksperimentalʹnojtrosovojsistemysovremennymikompʹûternymiprogrammami
first_indexed	2025-07-06T15:58:05Z
last_indexed	2025-07-06T15:58:05Z
_version_	1836913781830057984
fulltext	91 УДК 629-78 Д. А. ХРАМОВ ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ СОВРЕМЕННЫМИ КОМПЬЮТЕРНЫМИ ПРОГРАММАМИ На примере модели экспериментальной тросовой системы проведен сравнительный анализ использо- вания пакетов MATLAB, Maple и MapleSim для исследования динамики системы и выработаны рекомен- дации по рациональному использованию этих программных средств. На прикладі моделі експериментальної тросової системи проведено порівняльний аналіз використан- ня пакетів MATLAB, Maple і MapleSim для дослідження динаміки системи і вироблено рекомендації з раціонального використання цих програмних засобів. The comparative analysis of MATLAB, Maple, and MapleSim packages for studying the system dynamics is carried out using the model of an experimental tethered system, and recommendations for rational using this software are made. Одним из перспективных направлений современной космической техни- ки является создание космических тросовых систем (КТС) – систем, состоя- щих из спутников, соединенных протяженными гибкими нитями [1 – 3]. Мате- матические модели динамики КТС, как правило, достаточно громоздки, поэто- му верификация компьютерных программ, реализующих эти модели, представ- ляет собой серьезную проблему [4]. Надежность результатов расчетов может быть обеспечена благодаря использованию различных программных средств и различных подходов к моделированию динамики подобных систем. В связи с этим возникает задача выбора программных средств, позволяющих создавать математические модели и исследовать динамику КТС с наименьшими затрата- ми усилий на рутинную работу. Рассмотрим систему, состоящую из твердого тела, подвешенного на не- весомой упругой нити (рис. 1). Она представляет собой частный случай экс- периментальной тросовой системы [5] и может служить для проверки про- грамм расчета динамики последней. Рис. 1  Д.А. Храмов, 2011 Техн. механика. – 2011. – № 3. 92 В качестве программных средств моделирования динамики рассматри- ваются: MATLAB1 (разработчик: The MathWorks, США), Maple (Waterloo Maple Inc., Канада) и MapleSim2 (Waterloo Maple Inc., Канада)3. Целью на- стоящей статьи является сравнительный анализ особенностей моделирования рассматриваемой системы каждым из программных средств и выработка ре- комендаций по рациональному использованию этих средств. Последовательность этапов моделирования динамики рассматриваемой системы представлена на рис. 2. Рис. 2 Запишем уравнения движения системы. Предполагая, что массой нити в сравнении с массой тела можно пренебречь, получим , , 2! g2! FrL emgFRm     (1) где – масса тела; m R  – радиус-вектор центра масс тела (точка ) относи- тельно точки подвеса нити ; ŠO oO 2!F  – сила натяжения нити; ge  – единичный вектор по направлению действия ускорения земного тяготения g  ; KTOOr   (рис. 1); L  – кинетический момент движения тела относи- тельно центра масс. Предположим далее, что упругие свойства нити описываются законом Гука, а рассеивание энергии движения системы происходит за счет вязкого трения в материале нити 1 Ограниченные рамки статьи не позволили рассмотреть SimMechanics – библиотеку Simulink для физического моделирования механических систем. Подробнее о SimMechanics можно уз- нать в [6]. 2 MapleSim является дополнением к Maple и использует возможности последнего для выпол- нения расчетов, однако предлагает другой способ построения математических моделей и по- тому заслуживает отдельного рассмотрения. 3 В работе над статьей использовались trial-версии указанных программ. 93                 , , , dl dl l l l d dl l l “F2! 0 1     (2) где l  – вектор, направленный из точки в точку крепления нити к телу : oO jO KoOOl   , ll   , llll       , ; – номинальная длина нити; – ко- эффициент жесткости; – коэффициент демпфирования. d “  Необходимые для описания движения системы координат (СК), а также кинематические уравнения, замыкающие систему (1), (2), приведены в [5]. Рассмотрим теперь особенности моделирования динамики системы каж- дым из программных средств. Полный код рассматриваемых ниже программ доступен по адресу [7]. MATLAB. Перед тем как приступить к использованию MATLAB, необ- ходимо спроецировать уравнения (1), (2), дополненные кинематическими уравнениями [5], на оси выбранных СК, записать их в удобном для численно- го интегрирования виде (форме Коши), а также выполнить ряд вспомогатель- ных вычислений (в частности, найти равновесную длину нити ). Как пра- вило, эти действия выполняются вручную или с использованием сторонних программ. 0l В результате получим уравнения движения, записанные в матричном виде ),tF(xx  , (3) которые затем реализуется в программном коде (x – обобщенные координа- ты системы). Блок-схема MATLAB-программы (рис. 3) типична для всех языков про- граммирования высокого уровня, поскольку ее основой является численное интегрирование уравнений движения. Преимущества MATLAB при выполнении расчетов динамики систем твердых тел заключаются в удобстве операций с матрицами, благодаря чему программный код становится значительно компактнее; богатых графических возможностях и большом количестве встроенных функций. Это позволяет значительно быстрее, в сравнении с другими языками, приступить непосред- ственно к моделированию динамики. Рис. 3 94 Наибольшие трудности при использовании MATLAB представляет собой «ручной» вывод уравнений движения в матричном виде. Поскольку матрицы перехода между СК являются ортогональными (т. е. матрица, обратная дан- ной, получается транспонированием), то достаточно просто, перепутав знаки в элементах матрицы, перепутать и направление преобразования координат. Вероятность таких ошибок увеличивается с ростом числа элементов системы. При внесении в систему изменений необходимо вновь вручную выводить уравнения движения. При этом неизбежно возникают ошибки, как в ходе вы- вода уравнений, так и при переводе полученных формул в программный код. Решением этих проблем в рамках MATLAB может служить разработка специального пакета расширения (toolbox), позволяющего создавать системы на основе типовых элементов. Такой подход реализован в пакете Neweul-M2, разработанном в Институте инженерной и вычислительной механики при университете г. Штутгарт [8]. Другим возможным решением является ис- пользование Simulink и его расширения SimMechanics [6]. MATLAB обладает весьма ограниченными возможностями по докумен- тированию работы. Запись уравнений в векторном виде, чертеж системы и введенных СК, ход вывода уравнений в матричном виде, наконец, графики полученных результатов – все это необходимо создавать и хранить с помо- щью сторонних программ (например, MS Word), что не всегда удобно. Maple. В отличие от MATLAB, ориентированного, в первую очередь, на выполнение численных расчетов, основное назначение Maple – выполнение символьных преобразований, т. е. преобразований формул. Maple можно использовать, начиная с самых ранних этапов исследования системы (рис. 2) – записи уравнений движения (рис. 4) и выражений основ- ных сил и моментов в векторном виде. Причем записанные выражения можно использовать в дальнейших преобразованиях. Рис. 4 Все необходимые матрицы перехода вычисляются автоматически пере- множением матриц поворотов осей СК (рис. 5). Рис. 5 95 Кроме того, в документ Maple можно импортировать графические файлы, например чертеж системы (рис. 1). Таким образом, все этапы, предваряющие исследование системы с помощью MATLAB, можно осуществлять средства- ми Maple, сохраняя результаты работы в едином документе. Подставляя в исходные уравнения (1) выражения действующих сил и моментов и выполняя ряд вспомогательных преобразований, в частности вы- числение производных во вращающихся СК (рис. 6), Рис. 6 получим уравнения движения в проекциях оси заданных СК. Полученные уравнения необходимо упростить, приводя подобные члены и удаляя тривиальные соотношения вида 0 = 0. Последние появляются, на- пример, когда рассматриваются частные случаи движения системы (напри- мер, случай движения системы в плоскости наблюдения – рис. 7). Рис. 7 Затем уравнения движения приводятся к форме Коши (рис. 8). Рис. 8 Далее можно конвертировать полученные уравнения в программный код на языке программирования высокого уровня (в частности, MATLAB) и дальнейшие вычисления выполнять вне Maple. Однако возможности для про- ведения численных расчетов, которыми располагают современные версии Maple, позволяют выполнять с его помощью и этот этап моделирования. Работа с Maple и другими системами аналитических вычислений (САВ) имеет ряд особенностей по сравнению с использованием систем, ориентиро- ванных на выполнение численных расчетов. Как мы уже видели, исследование задачи с помощью Maple может на- чинаться «раньше», чем становится возможным программирование в тра- диционном смысле. Вывод уравнений движения и их приведение к форме 96 Коши осуществляются не на бумаге, а с помощью САВ. При этом цен- тральную роль в создаваемой программе играет не численное интегрирова- ние уравнений, а процедуры их преобразования к необходимому для иссле- дований виду. При традиционном программировании, последовательность выполнения команд, реализующих математические выражения, диктуется не физическим смыслом или значимостью этих выражений для рассматриваемой модели, а логикой вычислений: чтобы получить численное значение выражения, необ- ходимо вычислить значения всех входящих в него величин. В САВ, помимо этого подхода, может быть реализован и другой, близкий к традиционной ра- боте исследователя «с карандашом и бумагой». Вначале записываются (на языке САВ) наиболее общие уравнения, описывающие поведение системы. Затем входящие в них величины расписываются подробно, делаются оценки и упрощения, результаты которых подставляются в исходные уравнения. Кроме того, Maple обладает развитыми возможностями по оформлению результатов расчетов и подготовке научных публикаций, в частности воз- можностью экспорта подготовленных документов в форматы PDF, TeX, RTF и HTML. По сути, Maple является не только средством создания расчетных про- грамм, но и инструментом, который можно использовать на всех этапах мо- делирования, сведя «бумажную» работу к минимуму. MapleSim. До сих пор уравнения движения рассматриваемой системы в векторном виде необходимо было получать вручную. В MapleSim эти урав- нения формируются автоматически, на основе механической схемы системы. Моделирование физических процессов в MapleSim заключается в создании блок-схемы рассматриваемой системы. Библиотека готовых компонентов (бло- ков) MapleSim позволяет исследовать механические, электротехнические, гид- равлические и тепловые системы, а также системы управления. Связи между компонентами имитирует физические соединения в реальной системе. В нашем случае используются компоненты из раздела Multibody (Систе- мы твердых тел). Они делятся на пять видов:  Bodies and Frames (Тела и системы отсчета) – для моделирования сис- тем отсчета, абсолютно твердых тел и гибких балок;  Forces and Moments (Силы и моменты) – имитируют кинематические пары, образованные телами рассматриваемой системы;  Joints and Motions (Связи и виды перемещений) – для имитации при- ложенных к системе внешних сил и моментов;  Sensors (Датчики) – для имитации измерительных устройств парамет- ров движения;  Visualization (Визуализация) – имитируют внешний вид системы. Блок-схема рассматриваемой системы состоит из следующих компонен- тов (рис. 9). Fixed Frame – задает расположение неподвижной СК. Каждая механиче- ская модель MapleSim должна содержать хотя бы один подобный компонент. Universal – представляет собой шарнир с двумя вращательными степеня- ми свободы вокруг взаимно перпендикулярных осей. Параметры одного из подобных компонентов (Universal 2) представлены на рис. 10. Помимо на- правлений осей вращения ( и ) можно задавать также начальные усло-1e€ 2e€ 97 вия: угол отклонения 0 и угловую скорость 0 . Эти условия могут приме- няться к компоненту обязательно (когда в выпадающем меню выбрано Strictly Enforce); применяться, если это возможно (Treat As Guess) или игно- рироваться (Ignore). ,IC Рис. 9 Prismatic (рис. 11) – шарнир с одной поступательной степенью свободы (движением вдоль заданной оси ) – имеет следующие параметры: – коэффициент жесткости пружины; – длина нерастянутой пружины; – коэффициент демпфирования. Кроме того, можно задать начальные условия: перемещение и линейную скорость 1ê sK dK 0L 0s 0 . Рис. 10 Рис. 11 Компонент Rigid Body имитирует твердое тело с заданной массой (m ) и тензором инерции ( I ). Начало связанной с телом СК расположено в центре масс тела. Параметр (рис. 12) указывает, относительно какой из СК отсчитывается начальная скорость: связанной с телом (inboard) или внешней по отношению к телу (outboard), в данном случае – неподвижной СК. vType 0r за- дает начальное смещение центра масс тела относительно начала неподвиж- ной СК, измеряемое в координатах связанной СК. 0 задает начальную ли- нейную скорость центра масс. , определяют применимость на-,rIC ,IC 98 чальных условий для линейных и угловых характеристик движения соответ- ственно. задает последовательность поворотов, определяющих ориен- тацию неподвижной СК (outboard) по отношению к СК, связанной с телом (inboard). Например, запись Type  321 ,, x говорит о том, что повороты производятся последовательно вокруг осей , и – последовательность, соответст- вующая углам Брайнта [9]. y z 0 задает начальную ориентацию тела (точнее, неподвижной СК относительно связанной СК). указывает, задается ли начальная угловая скорость в проекциях на оси связанной СК или на оси не- подвижной СК (выбор значения Euler означает, что начальная угловая ско- рость задается как матрица производных углов ориентации тела). Type Rigid Body Frame – система координат с заданным смещением и ориента- цией относительно связанной с телом СК. Этот компонент удобен для зада- ния точек крепления в системах связанных тел. Параметры Rigid Body Frame (рис. 13) имеют следующий смысл: XYZr – смещение относительно осей свя- занной СК (в нашем случае 0,1 м); Type указывает, определяется ли ориен- тация компонента при помощи матрицы ориентации (Rotation Matrix) или последовательностью поворотов на углы R R  ,, (Euler Angles) соответствен- но; имеет тот же смысл, что и в Rigid Body (принятая по умолчанию последовательность поворотов Type  32,,1 соответствует углам Брайнта, хотя в MapleSim эти углы называются Euler Angles);  ,, – углы поворота компо- нента. Рис. 12 Рис. 13 Компонент Cylindrical Geometry предназначен для визуализации цилиндров заданного цвета и радиуса и служит в нашем случае для отображения троса. Кроме возможностей, предоставляемых компонентами Multibody / Visualization, MapleSim позволяет загружать данные о геометрии рассматриваемых систем из CAD-программ, обеспечивая высокую реали- стичность изображений. Кроме того, на схеме (рис. 9) присутствуют два датчика (Sensors): Absolute Rotation и Relative Rotation, измеряющие ориентацию (R), угловую скорость (w) и угловое ускорение (dw). Absolute Rotation измеряет характери- 99 стики вращения тела относительно неподвижной СК, Relative Rotation — ха- рактеристики вращения внешней по отношению к телу СК относительно свя- занной СК. Ориентация тела описывается матрицей ориентации R. Для вывода результатов показаний датчиков на графики используются зонды (probes). В нашей модели их три: Link Attitude и Body Attitude выводят характеристики вращательного движения троса и тела, а Length — изменение длины троса. MapleSim полностью интегрирован со средой Maple, так что можно ис- пользовать команды, компоненты, инструменты для построения графиков и многие другие возможности Maple для анализа и управления поведением мо- делей MapleSim (или отдельных подсистем этих моделей). Например, можно получить доступ к сгенерированным автоматически уравнениям движения системы, а затем преобразовать их с помощью Maple. Для работы с MapleSim-моделью в Maple используются так называемые «шаблоны» (templates). Шаблоны представляют собой рабочие документы Maple с встроенными в них средствами решения различных задач. Доступ к шаблонам в MapleSim осуществляется через меню View/Create Attachment. Далее, из появившегося списка выбирается требуемый шаблон. Шаблоны, среди прочего, позволяют решать следующие задачи:  доступ к сгенерированным уравнениям движения (шаблон Equations);  линеаризация уравнений (Linearization);  анализ линейных систем (Analysis);  оптимизация параметров системы (Optimization) (позволяет использо- вать возможности Global Optimization Toolbox из Maple.)  анализ чувствительности (Sensitivity Analysis)  трансляция кода модели в язык C (Code Generation);  создание пользователем собственных компонент MapleSim (Custom Component). Следует отметить, что уравнения движения, сгенерированные MapleSim, весьма неудобны для дальнейшего анализа, даже когда речь идет о сравни- тельно простой системе. Принятая система обозначений компонентов ориен- тирована на удобство выполнения автоматических преобразований, но не на понимание смысла полученных уравнений (для этого необходимо выполнить ряд нетривиальных замен обозначений). Таким образом, преимущество MapleSim перед другими средствами физического моделирования, не позво- ляющими выводить уравнения (в частности, перед SimMechanics из MATLAB) оказывается весьма незначительным. Результаты расчетов. Тестовые расчеты проводились при следующих значениях параметров системы: 1m кг; моменты инерции тела кг·м2; 1 zyx JJJ 1d  м; Н; 100c 0 ;  0010 ; ;,r (проекция вектора r на оси связанной с телом СК). Каждым из рассматриваемых пакетов строились графики зависимостей углов (угол отклонения вектора  l  от местной вертикали в плоскости, пер- пендикулярной вектору мгновенной угловой скорости движения тела; на- чальное значение ) и (угол отклонения главной центральной оси X инерции тела от направления 100  )(  l  ; ), а также длины нити 00  )( l 100 ( м) от времени. Результаты расчетов, выполненных в MATLAB, при- ведены на рис. 14 – 16. 10 )(l Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16 101 Результаты расчетов, выполненных в Maple и MapleSim, практически совпали с приведенными выше: максимальная относительная погрешность не превышала относительной погрешности численного интегрирования. Для сопоставления результатов, полученных в MapleSim, с результатами, полученными в других пакетах, необходимо выполнить некоторые дополни- тельные преобразования. Дело в том, что датчики, сообщающие данные об ориентации троса и тела, выводят не значения углов, а элементы матриц ори- ентации. Поэтому необходимо было осуществить переход от элементов мат- рицы R к углам ориентации. Помимо графиков, в MapleSim движение системы демонстрируется на видео (кадр из такого видео приведен на рис. 17). Рис. 17 Выводы. Преимущество MATLAB перед двумя другими рассмотренны- ми пакетами заключается в более низком «пороге вхождения»: работа в MATLAB мало чем отличается от использования других языков программи- рования. В случае, когда уравнения движения приведены к виду, удобному для программирования, MATLAB позволяет быстрее выполнять численные расчеты4. Представляется целесообразным использовать MATLAB для вы- полнения оценочных расчетов, целью которых является принципиальная проверка работоспособности модели, а также в тех случаях, когда механиче- ская схема системы уже устоялась и не потребует в будущем существенных изменений. Преобразование уравнений движения с помощью Maple, как правило, требует разработки процедур упрощения исходных уравнений. Однако затра- ченное на это время окупается при проведении многократных расчетов, тре- бующих внесения изменений в модель. К тому же уравнения движения в ска- 4 Это преимущество существенно сократилось благодаря реализации в современных версиях Maple более эффективных численных алгоритмов, а также возможности использовать сторонние библиотеки алгорит- мов, в частности библиотеку NAG. 102 лярном виде, полученные с помощью Maple, могут затем быть использованы в других программных средствах (в частности, в MATLAB). Сфера возможных применений Maple не ограничивается проведением расчетов, но охватывает все этапы исследования, начиная с вывода уравнений математической модели и проведения оценочных расчетов и кончая оформ- лением полученных результатов в виде публикации в печатных изданиях или Интернет. MapleSim позволяет быстро создавать модели механических систем, в том числе и весьма сложных. Особенно удобно применение MapleSim в тех случаях, когда модели создаются из готовых элементов, имеющихся в биб- лиотеке системы. Особое внимание при моделировании с использованием MapleSim необ- ходимо уделять механической схеме исследуемой системы, так как вывод уравнений движения и дальнейшее изучение поведения системы осуществля- ется на основе именно этой схемы. Поскольку работа идет на более «высо- ком» уровне по сравнению с непосредственным выводом уравнений, то и це- на ошибки здесь выше. Хотя MapleSim и отсеивает случаи, когда уравнения движения невозможно составить (проверяет синтаксические ошибки, если воспользоваться аналогией с трансляторами), но вполне возможно получить в итоге уравнения, описывающие поведение системы, отличной от задуманной (т. е. совершить логическую ошибку). Для уменьшения риска появления по- добных ошибок можно формировать систему постепенно, небольшими обо- зримыми блоками, каждый из которых должен быть доступен непосредст- венной проверке. 1. Белецкий В. В. Динамика космических тросовых систем / В. В. Белецкий, Е. М. Левин. – М. : Наука, 1990. – 329 с. 2. Lorenzini E. C. Tethers in Space Handbook : 3rd edition. / E. C. Lorenzini., M. L. Cosmo. – Smithsonian Astrophysical Observatory, 1997. – 241 p. 3. Levin E. M. Dynamic analysis of space tether missions / E. M. Levin. – San Diego : American Astronautical Society, 2007. – 453 p. 4. Храмов Д. А. Использование пакета символьных вычислений Maple для моделирования динамики кос- мической тросовой системы со сферическим шарниром // Системные технологии. – 2004. – № 3 (32) – С. 110 – 116. 5. Волошенюк О. Л. Модель процессов стабилизации движения концевых тел вращающейся космической тросовой системы в наземных экспериментах / О. Л. Волошенюк, А. В. Пироженко // Техническая меха- ника. – 2010. – № 3. – С. 106 – 116. 6. Modeling Flexible Bodies in SimMechanics and Simulink / V. Chudnovsky , D. Kennedy , A. Mukherjee, J. Wendlandt // [Электронный ресурс] – Режим доступа : http://www.mathworks.com/company/newsletters/digest/2006/may/ simmechanics.html 7. Dkhramov.dp.ua // Режим доступа : http://dkhramov.dp.ua/ uploads/Sci/HomePage/test3paks_code.rar 8. Neweul-M2: software package for the dynamic analysis of mechanical systems in Matlab // Режим доступа : http://www.itm.uni-stuttgart.de/research/neweul/neweulm2_en.php. 9. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й. Виттенбург. – М. : Мир, 1980. – 292 с. Институт технической механики НАН Украины и НКА Украины, Днепропетровск Получено 29.06.2011, в окончательном варианте 06.09.2011

Особенности моделирования динамики экспериментальной тросовой системы современными компьютерными программами

Репозитарії

Схожі ресурси