Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду

Вивчаються проблеми мiнiмiзацiї обчислювальних витрат при чисельному розв’язуваннi жорстко некоректних задач. Запропонована проекцiйна схема дискретизацiї, економiчна у сенсi об’єму задiяних гармонiк, за допомогою якої обчислюються порядковi оцiнки величин, що характеризують iнформацiйну та алгоритм...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Солодкий, С.Г., Милейко, Г.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88247
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду / С.Г. Солодкий, Г.Л. Милейко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 33-39. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88247
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-882472015-11-12T03:02:10Z Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду Солодкий, С.Г. Милейко, Г.Л. Математика Вивчаються проблеми мiнiмiзацiї обчислювальних витрат при чисельному розв’язуваннi жорстко некоректних задач. Запропонована проекцiйна схема дискретизацiї, економiчна у сенсi об’єму задiяних гармонiк, за допомогою якої обчислюються порядковi оцiнки величин, що характеризують iнформацiйну та алгоритмiчну складнiсть. Изучаются проблемы минимизации вычислительных затрат при численном решении жестко некорректных задач. Представлена проекционная схема дискретизации, экономичная в смысле объема задействованных гармоник, с помощью которой вычисляются порядковые оценки величин, характеризующих информационную и алгоритмическую сложность. The problems of minimization of computational efforts for the numerical solving of severely ill-posed problems are studied. A projection scheme of discretization, which is economical in a sense of used harmonics, is presented. Due to the scheme, the order estimates of the quantities characterizing the informational and algorithmic complexities are obtained. 2014 Article Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду / С.Г. Солодкий, Г.Л. Милейко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 33-39. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88247 519.642 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Солодкий, С.Г. Милейко, Г.Л. Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду Доповіді НАН України
description	Вивчаються проблеми мiнiмiзацiї обчислювальних витрат при чисельному розв’язуваннi жорстко некоректних задач. Запропонована проекцiйна схема дискретизацiї, економiчна у сенсi об’єму задiяних гармонiк, за допомогою якої обчислюються порядковi оцiнки величин, що характеризують iнформацiйну та алгоритмiчну складнiсть.
format	Article
author	Солодкий, С.Г. Милейко, Г.Л.
author_facet	Солодкий, С.Г. Милейко, Г.Л.
author_sort	Солодкий, С.Г.
title	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду
title_short	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду
title_full	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду
title_fullStr	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду
title_full_unstemmed	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду
title_sort	про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь фредгольма першого роду
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88247
citation_txt	Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду / С.Г. Солодкий, Г.Л. Милейко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 33-39. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT solodkijsg proínformacíjnutaalgoritmíčnuskladnístʹdeâkihklasívrívnânʹfredgolʹmaperšogorodu AT milejkogl proínformacíjnutaalgoritmíčnuskladnístʹdeâkihklasívrívnânʹfredgolʹmaperšogorodu
first_indexed	2025-07-06T16:00:35Z
last_indexed	2025-07-06T16:00:35Z
_version_	1836913930048372736
fulltext	УДК 519.642 С.Г. Солодкий, Г. Л. Милейко Про iнформацiйну та алгоритмiчну складнiсть деяких класiв рiвнянь Фредгольма першого роду (Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком) Вивчаються проблеми мiнiмiзацiї обчислювальних витрат при чисельному розв’язуван- нi жорстко некоректних задач. Запропонована проекцiйна схема дискретизацiї, еконо- мiчна у сенсi об’єму задiяних гармонiк, за допомогою якої обчислюються порядковi оцiн- ки величин, що характеризують iнформацiйну та алгоритмiчну складнiсть. Останнiм часом iз зростанням потреб обчислювальної математики значну увагу при вивчен- нi наближених методiв придiляють їх оптимiзацiї. Одним з основних об’єктiв бiльшостi сучасних дослiджень з оптимiзацiї наближень є складнiсть (complexity). Вiдзначимо, що вивченню iнформацiйної та алгоритмiчної складностi рiзного роду задач присвяченi монографiї [1, 2], де викладенi основи IBC-теорiї (Information Based Complexi- ty). У рамках цiєї теорiї пiд iнформацiйною складнiстю задачi розумiється найменший об’єм дискретної iнформацiї, необхiдної для знаходження наближеного розв’язку iз заданою то- чнiстю, а пiд алгоритмiчною складнiстю — мiнiмальне число арифметичних дiй, що потрi- бно виконати для побудови такого розв’язку. Варто також вiдзначити, що проблема складностi некоректних задач у сенсi IBC-теорiї до недавнього часу залишалася вiдкритою. Бiльш того, в роботi [3] висловлювалося при- пущення, що для рiвнянь I роду задача складностi взагалi не може бути поставлена. А в своєму оглядi [4] X. Вожьняковський, коментуючи це висловлювання, зробив зауваження щодо необхiдностi коректної постановки такого роду задач. Тому результати робiт [5, 6], що мiстять першi точнi порядковi оцiнки iнформацiйної та алгоритмiчної складностi деяких класiв помiрно некоректних задач, можна вважати вiдповiддю на останнє зауваження. Що стосується жорстко некоректних задач, то дослiдження в цьому напрямку довгий час вза- галi не проводилися. У данiй роботi дослiджуються величини, що характеризують iнформацiйну та алго- ритмiчну складнiсть широких класiв жорстко некоректних задач. Далi наведемо строгу постановку задачi, що дослiджується. Отже, розглянемо рiвняння Фредгольма I роду Ax = f (1) з iнтегральним оператором вигляду Ax(t) = 1∫ 0 a(t, τ)x(τ) dτ, t ∈ [0; 1], (2) що неперервно дiє в L2 = L2(0; 1). Припускатимемо, що Range(A) не замкнена в L2 й f ∈ Range(A). Також будемо вважати, що права частина рiвняння (1) задана з деякою похибкою δ > 0, тобто замiсть f вiдомо її збурення fδ ∈ L2 : ‖f − fδ‖ 6 δ. © С. Г. Солодкий, Г.Л. Милейко, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 33 Добре вiдомо, що точний розв’язок жорстко некоректних задач (1) має задовольняти деяку умову джерела логарифмiчного типу. Метою наших дослiджень є наближене знаход- ження розв’язку x† (1) з мiнiмальною нормою в L2, що належить множинi Mp(A) := {u : u = ln−p(A∗A)−1v, ‖v‖ 6 ρ}. (3) Як зазвичай, A∗ означає оператор, спряжений до A, тобто A∗u(t) = 1∫ 0 a(τ, t)u(τ) dτ, а величини p, ρ > 0 вважаються вiдомими. Нехай далi {e1, e2, . . . , em, . . .} — деякий ортонормований базис у L2. Через Pm позначимо ортопроектор на span{e1, e2, . . . , em}, тобто Pmϕ(t) = m∑ i=1 (ϕ, ei)ei(t). Введемо в розгляд такий клас операторiв (2): Hr,s γ := { A : ‖A‖ 6 γ0, ∞∑ n+m=1 â2n,mn 2r ·m2s 6 γ21 } , γ = (γ0; γ1), γ0 6 e−1/2, де ân,m = 1∫ 0 1∫ 0 en(t)em(τ)a(t, τ) dτdt, n,m ∈ Z+, n = 1 при n = 0 та n = n у протилежному випадку. Зауважимо, що за базис можуть бути використанi, зокрема, ортонормована система функцiй Хаара (r = 1), пiдпростiр тригонометричних многочленiв (перiодичний випадок), а також ортонормована система полiномiв Лежандра, що розглядається на вiдрiзку [0; 1]. Вiдомо, що якщо ядро a(t, τ) оператора A вигляду (2) має мiшанi частиннi похiднi й для всiх i = 0, 1, . . . , r, j = 0, 1, . . . , s справджується 1∫ 0 1∫ 0 [ ∂i+ja(t; τ) ∂ti∂τ j ]2 dtdτ <∞, то A ∈ Hr,s γ при деякому наборi γ = (γ0; γ1) й будь-якому з вище перерахованих базисiв. Надалi клас рiвнянь (1) iз операторами (2) з Hr,s γ й розв’язками з (3) позначатимемо (Hr,s γ ,Mp(A)). У данiй роботi обмежимося дослiдженням проекцiйних методiв розв’язування рiвнянь iз (Hr,s γ ,Mp(A)) при r > s. Вiдомо (див., наприклад, [7]), що довiльний лiнiйний неперервний оператор A : L2 → L2 можна зобразити за допомогою нескiнченної матрицi {(Aej , ei)}∞i,j=1 у виглядi Ag = ∞∑ i,j=1 (Aej , ei)(g, ej)ei. Вiзьмемо тепер довiльну обмежену область Ω ⊂ [1;∞) × [1;∞) координатної площини й позначимо ω1 = {i : (i; j) ∈ Ω}. За допомогою цiєї областi Ω здiйснюємо перехiд вiд (1) до дискретизованого рiвняння AΩx = Pω1fδ, 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9 де AΩx = ∑ (i,j)∈Ω (Aej , ei)(x, ej)ei, Pω1fδ = ∑ k∈ω1 (fδ, ek)ek. (4) Набiр скалярних добуткiв вигляду (Aej , ei), (fδ, ek), (i, j) ∈ Ω, k ∈ ω1, (5) що використовуються при побудовi (4), прийнято називати гальоркiнською iнформацiєю про (1), а пiд card(Ω) розумiємо загальну кiлькiсть скалярних добуткiв вигляду (Aej , ei) з (5). Зокрема, якщо Ω = [1;n]× [1;m], ω1 = [1, n], то ми одержуємо стандартну гальоркiнську схему дискретизацiї з card(Ω) = n ·m. Дослiдження рiзних класiв задач за допомогою саме такої схеми були проведенi у низцi робiт, серед яких видiлимо [8, 9]. Пiд проекцiйним методом розв’язування (1) надалi будемо розумiти будь-яке вiдображе- ння P = P(Ω): L2 → L2, яке за допомогою гальоркiнської iнформацiї (5) про рiвняння (1) зiставляє правiй частинi розв’язуваного рiвняння элемент P(AΩ)fδ. Цей елемент приймаєть- ся за наближений розв’язок (1). Вiдмiтимо, що вiд методу P не вимагається анi лiнiйностi, анi неперервностi. Таке загальне розумiння методу корисне, зокрема, при порiвняннi апрок- симацiйних властивостей усiх можливих способiв розв’язування (1). Пiд похибкою методу P(Ω) на класi рiвнянь (Hr,s γ ,Mp(A)), як зазвичай, будемо розумiти його найбiльше вiдхилення εδ(Hr,s γ ,Mp(A),P(Ω)) = sup A∈Hr,s γ sup x†∈Mp(A) sup fδ : ‖f−fδ‖6δ ‖x† − P(AΩ)fδ‖. Мiнiмальний радiус гальоркiнської iнформацiї задамо величиною RN,δ(Hr,s γ ,Mp(A)) = inf Ω: card(Ω)6N inf P(Ω) εδ(Hr,s γ ,Mp(A),P(Ω)). Ця величина характеризує iнформацiйну складнiсть класу задач (Hr,s γ ,Mp(A)). Позначимо через ΠM множину всiх можливих проекцiйних методiв, якi для побудови наближеного розв’язку потребують виконання не бiльш нiжM елементарних арифметичних операцiй (е. а. о.). Мiнiмальний радiус об’єму обчислювальних витрат задамо величиною RM,δ(Hr,s γ ,Mp(A)) = inf Ω: card(Ω)6M inf P(Ω)∈ΠM εδ(Hr,s γ ,Mp(A),P(Ω)). Ця величина характеризує алгоритмiчну складнiсть класу задач (Hr,s γ ,Mp(A)). Нагадаємо, що ранiше в роботi [10] було встановлено, що похибка довiльного наближено- го методу на класi жорстко некоректних задач з розв’язками з (3) та δ-збуреними правими частинами не може бути меншою, нiж O(ln−p δ−1). Тому методи, що гарантують для вели- чини εδ(Hr,s γ ,Mp(A),P(Ω)) вказаний порядок точностi, будемо називати оптимальними за порядком. Отже, серед усiх проекцiйних методiв, доцiльно розглядати насамперед такi, що є оптимальними за порядком на класах (Hr,s γ ,Mp(A)). Зауважимо також, що iсторiю дослiдження складностi некоректних задач було висвiт- лено у попереднiй роботi (див. [11]), де розглядалися задачi з класiв (Hr,r γ Mp(A)), випадок ядер iзотропної гладкостi. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 35 Дана робота продовжує дослiдження, розпочатi в [11], та розширює клас операторiв, що дослiджуються, на всю шкалу Hr,s γ , r > s. Бiльш того, в цiй роботi вперше будуть знайденi оцiнки величин, що характеризують алгоритмiчну складнiсть на класах жорстко некоректних задач. Для економiчної дискретизацiї рiвнянь з (Hr,s γ ,Mp(A)), r > s, замiсть стандартної схеми Гальоркiна PnAPm застосуємо її модифiкацiю, у межах якої за область Ω береться гiпер- болiчний хрест вигляду Γb,n = {1} × [1; 2bn] n⋃ k=1 (2k−1; 2k]× [1; 2bn−rk/s] ⊂ [1; 2n]× [1; 2bn], r s < b 6 2r s , n > 1. (6) Для спрощення тут i надалi будемо вважати r/s цiлим числом. Наближений розв’язок шукатимемо у виглядi xnα,δ = gα(A ∗ nAn)A ∗ nP2nfδ, (7) де An = Abn := P1AP2bn + n∑ k=1 (P2k − P2k−1)AP 2bn− r s k , (8) а твiрна функцiя gα задовольняє умови sup 0<λ6γ20 √ λ\|gα(λ)\| 6 κ∗√ α , sup 0<λ6γ20 \|1− λgα(λ)\| ln−µ λ−1 6 κµ ln −µ 1 α (9) при деяких сталих κ∗, κµ > 0 й довiльному µ > 0. Зазначимо, що бiльшiсть вiдомих регуляризаторiв (у тому числi й стандартний метод Тiхонова) задовольняють (9). Проекцiйний метод (7)–(9) з правилом вибору параметра регуляризацiї α : lnp α−1 = = δ/ √ α позначимо через P ′ g(Γb,n) = P ′(Γb,n). Теорема 1. При N таких, що N−s ln−pN2s ≍    δ lns+1 δ−1 , r = s, δ ln δ−1 , r > s, (10) вiрно RN,δ(Hr,s γ ,Mp(A)) 6 eδ(Hr,s γ ,Mp(A),P ′(Γb,n)) 6 Cp ln −p δ−1 6 C̃p ln −pN2s, де сталi Cp, C̃p > 0 не залежать вiд δ. При цьому card(Γb,n) ≍    δ−1/s(ln δ−1)(1−p+s)/s, r = s, δ−1/s(ln δ−1)(1−p)/s, r > s. 36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9 Нагадаємо, що ранiше в роботi [9] на основi стандартної гальоркiнської схеми дискрети- зацiї PnAPm були побудованi проекцiйнi методи розв’язування широких класiв некоректних задач. Для класiв (Hr,s γ ,Mp(A)) результат теореми 2 [9] можна переформулювати в наших позначеннях таким чином. Теорема А [9]. Нехай наближений розв’язок задачi (1) шукається у виглядi xn,mα,δ = = gα(A ∗ n,mAn,m)A ∗ n,mPnfδ, де An,m = PnAPm, й твiрна функцiя gα задовольняє умови (9). Тодi на класi рiвнянь (Hr,s γ ,Mp(A)) є вiрною оцiнка ‖x† − xn,mα,δ ‖ 6 6 κpρ [ ln−p 1 α + (1+ d1) ln −p m 2s γ21 + d ln−p n2r γ21 ] + κ∗√ α [ δ+ γ1ρm −s ln−p m2s γ21 ] , (11) де d, d1 > 0 деякi сталi, що не залежать вiд δ. Аналiз оцiнки (11) показує, що для збереження оптимального порядку точностi O(ln−p δ−1) на всьому класi (Hr,s γ ,Mp(A)) параметри регуляризацiї та дискретизацiї слiд обирати згiдно з правилами √ α ln−p 1 α = O(δ), m−s ln−p m2s γ21 = O(δ), n = O(δ−ε/r), де ε > 0. Тодi оцiнка (11) набуває вигляду ‖x† − xn,mα,δ ‖ 6 C ln−p δ−1 εp . (12) Очевидно, що величина ε не може бути як завгодно близькою до нуля, щоб не допустити iстотного зростання похибки. Залишилося пiдрахувати об’єм задiяної гальоркiнської iнформацiї (5): card([1;n]× [1;m]) = n×m ≍ δ−1/sδ−ε/r ln−p/s δ−1 2p/s . (13) Порiвняння отриманих оцiнок (12), (13) для методiв з [9] з результатами теореми 1 показує, що обидва пiдходи гарантують оптимальний порядок точностi на всьому класi жорстко некоректних задач, що дослiджуються, у той же час задiяна нами модифiкацiя гальор- кiнського методу дає можливiсть iстотно скоротити об’єм дискретної iнформацiї. Далi буде встановлено, що використана нами схема дискретизацiї (7) не просто є еконо- мiчною, а й дозволяє реалiзувати найменшi порядки величин, що характеризують iнформа- цiйну та алгоритмiчну складнiсть проекцiйних методiв розв’язування жорстко некоректних задач. Теорема 2. При N таких, що N−s ln−pN2s 6 δ, є вiрною оцiнка RN,δ(Hr,s γ ,Mp(A)) > Ĉp ln −pN2s, де Ĉp = 2−p−1. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 37 Комбiнуючи теореми 1 i 2, одержуємо таке твердження. Теорема 3. При N , що задовольняють (10), вiрно RN,δ(Hr,s γ ,Mp(A)) ≍ ln−pN2s ≍ ln−p δ−1. Зазначений оптимальний порядок на класi (Hr,s γ ,Mp(A)) реалiзується в рамках проекцiй- ного методу P ′(Γb,n) (7)–(9). Сформулюємо твердження, яке дає порядкову оцiнку об’єму обчислювальних витрат для проекцiйного методу з [9], що полягає в комбiнуваннi ординарного тiхоновського методу регуляризацiї зi стандартною гальоркiнскою схемою дискретизацiї. Отже: Теорема 4. Нехай наближений розв’язок задачi (1) знаходиться шляхом розв’язування рiвняння αxdisc +A∗ n,mAn,mxdisc = A∗ n,mfδ, (14) де An,m = PnAPm, (15) а α, як i ранiше, обирається згiдно з правилом: ln−p α−1 = δ/ √ α. Тодi для побудови набли- женого розв’язку в рамках проекцiйного методу (14), (15) достатньо виконати O ( δ−1/sδ−2ε/r ln −p/s δ−1 2p/s ) е. а. о. над значеннями функцiоналiв (ei, Aej), (ek, fδ), (i, j) ∈ [1, n] × [1,m], k = 1, n. З iншого боку, є вiрною Теорема 5. Покладемо в (6) b = 1 + r/s. Тодi має мiсце спiввiдношення RN,δ(Hr,s γ ,Mp(A)) ≍ ln−p δ−1 ≍ ln−pN2s, де N — об’єм обчислювальних витрат. При цьому N =    O ( δ−1/s(ln δ−1)(1−p+s)/s ) , r = 2s, O ( δ−1/s(ln δ−1)(1−p)/s ) , r > 2s. Зазначений оптимальний порядок реалiзується в рамках проекцiйного методу P ′(Γb,n) (7)– (9). Зауваження 1. Порiвнюючи результати теорем 4 та 5, можна зробити висновок, що запропонована нами схема дискретизацiї (8) дає можливiсть не тiльки скоротити об’єм об- числень вiдносно стандартної гальоркiнської схеми дискретизацiї, але й реалiзувати поряд- ковi оцiнки мiнiмального радiуса обчислювальних витрат на класах рiвнянь (Hr,s γ ,Mp(A)), r > 2s. 1. Traub J. F., Wasilkowski G., Wozniakowski H. Information-Based Complexity. – Boston: Acad. Press, 1988. – 523 p. 38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9 2. Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов. – Москва: Мир, 1983. – 382 с. 3. Werschulz A.G. What is the complexity of ill-posed problems? – New York: Columbia Univ., 1985. – 352 p. 4. Wozniakowski H. Information based complexity // Ann. Rev. Comput. Sci. – 1986. – 1. – P. 319–380. 5. Pereverzev S. V., Solodky S.G. The minimal radius of Galerkin information for the Fredholm problems of first kind // J. Complexity. – 1996. – 12, No 4. – P. 401–415. 6. Солодкий С.Г. Информационная сложность проекционных алгоритмов решения уравнений Фред- гольма I рода. II // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 6. – С. 838–844. 7. Функциональный анализ (сер. Справочная математическая библиотека) / Под ред. С. Г. Крейна. – Москва: Наука, 1972. – 544 с. 8. Plato R., Vainikko G.M. On the regularization of projection methods for solving ill-posed problems // Numer. Math. – 1990. – 57. – P. 63–79. 9. Mathe P., Pereverzev S. V. Discretization strategy for ill-posed problems in variable Hilbert scales // Inverse Problems. – 2003. – 19, No 6. – P. 1263–1277. 10. Tautenhahn U. Optimality for ill-posed problems under general source condition // Numer. Funct. Anal. and Optimiz. – 1998. – 19, No 3–4. – P. 377–398. 11. Солодкий С.Г., Милейко Г.Л. Гiперболiчний хрест i складнiсть жорстко некоректних задач // Доп. НАН України. – 2013. – № 8. – С. 21–27. Надiйшло до редакцiї 25.04.2014Iнститут математики НАН України, Київ C. Г. Солодкий, А. Л. Милейко Об информационной и алгоритмической сложности некоторых классов уравнений Фредгольма первого рода Изучаются проблемы минимизации вычислительных затрат при численном решении жестко некорректных задач. Представлена проекционная схема дискретизации, экономич- ная в смысле объема задействованных гармоник, с помощью которой вычисляются поряд- ковые оценки величин, характеризующих информационную и алгоритмическую сложность. S.G. Solodky, G. L. Myleiko On the informational and algorithmic complexities of some classes of Fredholm equations of the first kind The problems of minimization of computational efforts for the numerical solving of severely ill-posed problems are studied. A projection scheme of discretization, which is economical in a sense of used harmonics, is presented. Due to the scheme, the order estimates of the quantities characterizing the informational and algorithmic complexities are obtained. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 39

Про інформаційну та алгоритмічну складність деяких класів рівнянь Фредгольма першого роду

Institution

Ähnliche Einträge