Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах

Проведен анализ аналитических и численных исследований несжимаемых двумерных течений в кавернах различных конфигураций. Рассмотрены схемы течения, основные расчетные алгоритмы, а также вопросы устойчивости численного счета при больших числах Рейнольдса. Приведены результаты расчета методом конечных...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Кочубей, А.А., Кравец, Е.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2012
Schriftenreihe:	Техническая механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88288
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах / А.А. Кочубей, Е.В. Кравец // Техническая механика. — 2012. — № 1. — С. 38-55. — Бібліогр.: 60 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88288
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-882882015-11-12T03:02:11Z Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах Кочубей, А.А. Кравец, Е.В. Проведен анализ аналитических и численных исследований несжимаемых двумерных течений в кавернах различных конфигураций. Рассмотрены схемы течения, основные расчетные алгоритмы, а также вопросы устойчивости численного счета при больших числах Рейнольдса. Приведены результаты расчета методом конечных элементов течения вязкой несжимаемой жидкости в открытой и частично перекрытой каверне без дна над экраном. Проведений аналіз аналітичних і чисельних досліджень нестисливих двовимірних течій у кавернах різних конфігурацій. Розглянуті схеми течії, основні розрахункові алгоритми, а також питання стійкості чисельного рахунку при більших числах Рейнольдса. Наведені результати розрахунків методом кінцевих елементів течії в’язкої нестисливої рідини у відкритій і частково перекритій каверні без дна над екраном. The analysis of the analytical and numerical studies of incompressible two-dimensional flows in cavities of various configurations is carried out. The flow circuits, the major calculated algorithms as well as problems of the numerical computation stability at high Reynolds numbers are considered. The results of calculations of a viscous incompressible liquid flow through open and partially covered cavities without a bottom above the screen are reported using the finite element method. 2012 Article Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах / А.А. Кочубей, Е.В. Кравец // Техническая механика. — 2012. — № 1. — С. 38-55. — Бібліогр.: 60 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88288 532.517 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Проведен анализ аналитических и численных исследований несжимаемых двумерных течений в кавернах различных конфигураций. Рассмотрены схемы течения, основные расчетные алгоритмы, а также вопросы устойчивости численного счета при больших числах Рейнольдса. Приведены результаты расчета методом конечных элементов течения вязкой несжимаемой жидкости в открытой и частично перекрытой каверне без дна над экраном.
format	Article
author	Кочубей, А.А. Кравец, Е.В.
spellingShingle	Кочубей, А.А. Кравец, Е.В. Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах Техническая механика
author_facet	Кочубей, А.А. Кравец, Е.В.
author_sort	Кочубей, А.А.
title	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах
title_short	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах
title_full	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах
title_fullStr	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах
title_full_unstemmed	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах
title_sort	сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88288
citation_txt	Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах / А.А. Кочубей, Е.В. Кравец // Техническая механика. — 2012. — № 1. — С. 38-55. — Бібліогр.: 60 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT kočubejaa sravnitelʹnyjanalizčislennyhianalitičeskihissledovanijcirkulâcionnyhdvumernyhtečenijvkavernah AT kravecev sravnitelʹnyjanalizčislennyhianalitičeskihissledovanijcirkulâcionnyhdvumernyhtečenijvkavernah
first_indexed	2025-07-06T16:02:55Z
last_indexed	2025-07-06T16:02:55Z
_version_	1836914076302704640
fulltext	УДК 532.517 А.А. КОЧУБЕЙ, Е.В. КРАВЕЦ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ В КАВЕРНАХ Проведен анализ аналитических и численных исследований несжимаемых двумерных течений в ка- вернах различных конфигураций. Рассмотрены схемы течения, основные расчетные алгоритмы, а также вопросы устойчивости численного счета при больших числах Рейнольдса. Приведены результаты расчета методом конечных элементов течения вязкой несжимаемой жидкости в открытой и частично перекрытой каверне без дна над экраном. Проведений аналіз аналітичних і чисельних досліджень нестисливих двовимірних течій у кавернах різних конфігурацій. Розглянуті схеми течії, основні розрахункові алгоритми, а також питання стійкості чисельного рахунку при більших числах Рейнольдса. Наведені результати розрахунків методом кінцевих елементів течії в’язкої нестисливої рідини у відкритій і частково перекритій каверні без дна над екраном. The analysis of the analytical and numerical studies of incompressible two-dimensional flows in cavities of various configurations is carried out. The flow circuits, the major calculated algorithms as well as problems of the numerical computation stability at high Reynolds numbers are considered. The results of calculations of a viscous incompressible liquid flow through open and partially covered cavities without a bottom above the screen are reported using the finite element method. Введение. Задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с подвижной верхней крышкой чаще всего применяется исследователями в качестве теста для проверки адекватности численного алгоритма [10, 15 - 16, 18, 24 – 25, 41]. При этом рассматривается схема, в которой жидкость приво- дится в движение благодаря прилипанию к движущейся с заданной скоростью крышке (рис. 1, а). Разновидностью этой схемы является течение жидкости в каверне с локально подвижной симметрично (рис. 1, б) или несимметрично расположенной крышкой относительно центра каверны. Для открытой каверны циркуляционное течение может вызываться как внешним потоком со стороны отсутствующей крышки (рис. 1, в), так и одновременно потоками со стороны отсутствующей крышки, а также между экраном и проемом в дне каверны (рис. 1, г). Отметим, что для конфигураций каверны с крышкой (рис. 1, а – б) особенностью постановки граничных условий в окрестности угловых точек каверны является наличие разрыва скорости в двух соседних узлах расчетной области, один из которых принадлежит неподвижной стенке каверны, в котором выполняется условие прилипания, а другой – движущейся крышке с заданным ненулевым значением продольной компоненты скорости. С этим связаны получаемые завышенные значения коэффициента давления и касательного напряжения на стенке вблизи угловых точек. Кроме того, данные схемы (рис. 1, а – б) предполагают прямолинейность отрывной линии тока, соединяющей угловые точки каверны и совпадающей с подвижной крышкой. Детальный обзор моделей течения в квадратной каверне до 1976 года для схем, показанных на рис. 1, а и рис. 1, в, можно найти в [7].  А.А. Кочубей, Е.В. Кравец, 2012 Техн. механика. – 2012. – № 1. 38 а) б) в) г) Рис. 1 1. Аналитические модели. Аналитическое решение задач течения не- сжимаемой жидкости в каверне ограничивается рассмотрением нескольких частных случаев задач данного класса: невязкая модель течения, приближе- ние Стокса, применение теоремы Бэтчелора, решение линеаризованных урав- нений пограничного слоя. Невязкая модель (модель Эйлера) имеет два классических решения [17]: 1) допущение о потенциальности всего течения в каверне; 2) решение по схе- ме Кирхгофа. В первом случае задача решалась с использованием конформ- ных отображений, во втором – применялось разбиение области течения на две: над каверной, где предполагалось поступательное движение, и в самой каверне, где жидкость покоилась. В [6] была сделана попытка выделить зоны отрыва в каверне и допустить, что вне их течение потенциально, а внутри – имеет постоянную заданную завихренность. Приближение Стокса относится к вязким моделям и эквивалентно реше- нию уравнений Навье–Стокса без учета конвективных слагаемых, что соот- ветствует очень медленному течению. В [54, 58] рассмотрено медленное те- чение в каверне, для которого получены решения в виде рядов. Вариацион- ный метод для исследования медленного движения в открытой каверне при- менен автором работы [60]. Учет конвективных членов проводят авторы работ [38, 60]. В [60] с этой целью используется разложение функции тока в ряд по степеням числа Рей- нольдса, в [38] рассматривается линеаризованная постановка задачи течения в круглой каверне, для решения которой применяется метод возмущений. В [36] представлены результаты исследования течения в каверне при больших числах Рейнольдса. Автор доказал, что в случае течения в плоской каверне с замкнутыми линиями тока завихренность для всей области является постоянной величиной. Данное утверждение получило название теоремы Бэтчелора. На основе теоремы Бэтчелора в асимптотическом приближении с учетом влияния вязкости на границе вихря приводится решение в [23]. Автор [56] также использует условие постоянства завихренности и решает задачу в приближении Озеена, где на границе вихря задает постоянную скорость. Линеаризованные уравнения пограничного слоя для определения течения в каверне использовал автор [47], где на внешней границе пограничного слоя задавался профиль скорости, полученный из экспериментов. В ядре вихря найден профиль скорости в виде ряда. Течение в открытой каверне осложняется наличием зоны смешения, где происходит перемешивание внешнего потока над каверной и течения непо- средственно в каверне. Выбор границ зоны смешения, пограничного слоя, 39 положения разделяющей линии тока, а также зоны присоединения определяет ту или иную модель течения. Модель Чепмена (рис. 2). В теории Чепмена [33] допускается, что зона смешения отделена от дна каверны замкнутой областью с малой скоростью движения потока, длина зоны присоединения намного меньше толщины по- граничного слоя в отрывной области, в сечении, характеризующемся точкой отрыва потока, пограничный слой отсутствует, давление по длине погранич- ного слоя не изменяется. Принятые допущения и предположение об удален- ности верхней границы расчетной области на бесконечное расстояние приво- дят задачу течения в открытой каверне к классу автомодельных, что позволя- ет параметры потока выразить через одну обобщенную переменную, завися- щую от двух пространственных координат. Модель Денисона-Баума. Денисон и Баум [11], основываясь на теории Чепмена, исключили из рассмотрения допущение об отсутствии погранично- го слоя в сечении, характеризующемся точкой отрыва, и показали, что на- чальный профиль скорости (допускался профиль Блазиуса) в отрывном по- граничном слое сильно влияет на распределение донного давления каверны. Модель Бюргграфа (рис. 3). В отличие от модели Чепмена, Бюргграф [39], основываясь на результатах Бэтчелора, разбил всю область течения на внешний невозмущенный поток вдали от зоны смешения, внешний погра- ничный слой во внешнем потоке над каверной, внутренний пограничный слой и невязкое ядро непосредственно в каверне, а также предположил, что отрывная линия тока, соединяющая угловые точки каверны со стороны от- сутствующей крышки, является прямой и скорость вдоль нее не уменьшается до нуля в точке присоединения. Сравнение решений согласно модели Бюрг- графа с экспериментом показало ее применимость для больших чисел Рей- нольдса, когда вязкие эффекты проявляются только в тонких пограничных слоях. Рис. 2 Рис. 3 Модель Корста (рис. 4). Корст [45] предполагает, что длина зоны смеше- ния равна длине открытой части каверны. Кроме этого, в модели учитывается профиль скорости набегающего потока и делается допущение об эквивалент- ности пограничного слоя на стенках и дне каверны пограничному слою на плоской пластине, причем скорость на внешней границе пограничного слоя полагается постоянной. Модель Сквайра (рис. 5). Основываясь на идее Бэтчелора, Сквайр [56] разделил весь объем жидкости в каверне на ядро и пограничный слой вокруг 40 него. В результате решения задачи по данной схеме Сквайром было получено, что максимум скорости внутри каверны может достигать ~30% от скорости внешнего потока. Рис. 4 Рис. 5 Авторы работы [9] исследуют процессы перемешивания в прямоугольной каверне (циркуляция при малых числах Рейнольдса). Как правило, при изуче- нии процесса перемешивания ставятся две задачи: определение полей скоро- стей, а также решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференци- альных уравнений: dx dt u x y t dy dt v x y t x x y y t      ( , , ), ( , , ), ; ; ,0 0 0 (1) которые позволяют правильно описать процесс хаотического перемешивания выделенного объема жидкости. В работе построено строго аналитическое решение первой задачи перемешивания. Решение проводится в переменных «завихренность – функция тока», используя приближение Стокса (инерцион- ные силы   0   u t u u   пренебрежимо малы по сравнению с силами давле- ния и вязкости р 2 u ). Приведены линии тока течения в квадратной ка- верне при равномерном движении верхней крышки constUVе  . Найдены координаты точки («вихревого центра»), в которой скорость равна нулю: x LС  2 , (L  ширина каверны), что согласуется с данными дру- гих авторов. Отмечено, что наличие замкнутых линий тока свидетельствует о существовании вихревой зоны, которая охватывает всю каверну. Найдена также бесконечная последовательность вихрей вблизи нижних углов каверны, отделенных друг от друга нулевыми линиями тока. yC  05. 31 Рассмотренные модели не отражают реальной структуры течения в ка- верне в силу ряда факторов: решение определяется на основе линеаризован- ных уравнений; используется асимптотическое приближение при Re → ∞, но при этом течение полагается ламинарным; геометрия центрального вихря в моделях выбирается чаще всего круглой, что существенно отличается от реа- лизуемой в экспериментах; не учитываются вторичные вихри в углах. Поэто- му более достоверные результаты позволяют получить экспериментальные и численные методы. 2. Численные методы. Каверна с крышкой. Результаты численного ре- шения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне под действи- ем движения верхней крышки или внешнего течения получены в [1, 3 – 5, 7 – 9, 12 – 13, 16, 18, 24 – 25, 28 – 30, 34, 37 – 39, 41 – 42, 44, 46 – 51, 53, 55, 57 – 58, 60] методами конечных разностей, конечных элементов, при помощи чис- 41 ленно-аналитического подхода и др. в диапазоне чисел Рейнольдса до Re = 50 000. Метод конечных разностей (МКР) представляет наиболее многочис- ленную группу исследований задач течения несжимаемой жидкости в силу его универсальности и хорошо разработанной теории. Первые численные расчеты были выполнены Кавагути [44]. Для аппрок- симации производных он применял центральные разности, получаемые затем разностные уравнения он решал итерационным методом. При малых числах Рейнольдса метод оставался устойчивым (Кавагути удалось получить реше- ние до ). Re  64 В работах [48, 51 – 52] исследовалась структура течения в каверне в при- ближении Стокса. Миллс [46] (Re = 100), а также авторы работы [41] (Re = 100 и Re = 1000) применили итерационный подход для решения задачи в естественных переменных «скорость – давление». В [38] Бюргграф повысил устойчивость численного алгоритма, осуществляя последовательную ниж- нюю релаксацию (Re = 400). Авторами работ [8, 29, 37, 42, 49, 55] была ис- пользована односторонняя разностная схема «против потока» для первых производных и решения получены с помощью равномерных и неравномер- ных сеток для Re ≥ 400, что позволило уточнить структуру потока в каверне. Появление неустойчивости численного решения уравнений Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса ( ) объясняется преобразованием их в уравнения с малым параметром ( 103 1 Re ) при диффузионном члене. Использо- вание в этом случае аппроксимации по методу конечных разностей приводит к появлению схемной вязкости, что может существенно исказить решение задачи. Как установлено в [37], схемы первого порядка аппроксимации типа «против потока» позволяют смоделировать течение, сеточное число Рей- нольдса которого оказывается гораздо меньше его физического аналога. Вто- рым фактором, оказывающим воздействие на появление схемной вязкости, оказывается использование грубой расчетной сетки, в частности сетки с рав- номерным распределением узлов в областях с большими градиентами иско- мых параметров. В работе [41] разрабатывается метод решения уравнений Навье–Стокса в естественных переменных «скорость – давление» с целью возможного его усовершенствования для течений при высоких числах Рейнольдса в областях со сложной геометрией. Для моделирования эллиптической природы обтека- ния принималось, что давление Р определяется из уравнения Пуассона P P S t U Vxx yy p x y      , (2) где индексы , , , у компонент скоростей и давления обозначают операцию дифференцирования, а слагаемое имеет вид x y xx yy pS                 )VV( Re 1 )VVUV( y )UU( Re 1 )VUUU( x S yyxxyx yyxxyxp 42 и определяется в результате применения операции дивергенции к вектору ко- личества движения. В итоге полученное уравнение Пуассона заменяет урав- нение неразрывности. При интегрировании уравнений движения использовался двухшаговый неявный метод переменных направлений, а для уравнения Пуассона  метод последовательной верхней релаксации. Аппроксимация пространственных производных проводилась центральными разностями, имеющими второй по- рядок точности, поэтому решение не испытывало влияния искусственной вяз- кости, возникающей в численных схемах первого порядка в случае расчета разностями вверх по потоку. Для обеспечения сходимости использовался сле- дующий критерий: 1 1 F Fij n ij n  , (3) где в качестве F может выступать любая из зависимых переменных U, V или Р. Точность расчета достигала следующих значений: для уравнений движения , для уравнения Пуассона . U V,  10 5  Р  10 10 В [41] отмечено, что существенным требованием для сходимости числен- ного метода является сохранение в уравнении Пуассона (2) производной по времени от локального расширения потока   t U Vx y , а любая попытка приравнять этот член к нулю приводила к неустойчивости численного реше- ния. В работе представлены результаты течения в каверне на равномерных (1515, 2929, 5757) при и неравномерной (2929, ) сетках. Последняя была получена с помощью аналитических преобразований Re  100 Re , 400 1000             а tg x b c b а tg y b c b, , (4) где a, b и c  константы преобразования, определяемые из геометрических условий. Необходимо отметить, что результаты работы по определению давления представляют собой первые решения задачи Неймана при использовании преобразований координат. Представленные графически функции (профили скоростей U, V в сечении по центру вихря, горизонтального и вертикального профилей коэффициента давления в том же сечении при расчетных значениях числа Рейнольдса , а также изобары статического и пол- ного давления при ) позволяют выбрать подходящее распре- деление точек расчетной сетки и могут быть использованы для различных вариантов внутренних течений. 1000400100 ,,Re  Re  400 1000и Для расчета течения при больших числах Рейнольдса в [8, 29] была при- менена модель турбулентности Колмогорова–Прандтля, в [30] – модифициро- ванная гипотеза пути смешения Прандтля, в [50] – k-ε модель турбулентно- сти, где устойчивое решение было получено при Re = 3·103. В [49] удалось продолжить расчет до Re = 10 000. Повышение скорости сходимости итерационных алгоритмов особенно актуально для случаев больших чисел Рейнольдса, когда учет вязких эффек- 43 тов является определяющим для правильного описания глобального поведе- ния течений. В связи с ограничением на оперативную память ЭВМ, а также в целях экономии времени счета, использование равномерных расчетных сеток в данном случае представляется неэффективным. Использование сеток, сгу- щающихся в областях пограничных слоев, требуют повышения точности схе- мы. Авторы работ [3 – 4] попытались уменьшить искусственную вязкость пу- тем использования схем повышенного порядка аппроксимации в сочетании с неравномерными сетками. Исходная система нестационарных уравнений На- вье–Стокса записывалась в переменных «завихренность – функция тока» в новой системе координат, которая обеспечивала сгущение сеточных линий. Связь физических координат ( х у, ) с новыми координатами ( ) имела вид:  ,   z D b Sin z D b Sin                            2 2 0 2 2 0 5 0 5 ( ) , . ( . ) , .  0 5 1 ; ; (5) здесь               , , , ; D для z x D H L для z y 1 ; H ,  глубина и ширина каверны соответственно. L Дискретный аналог уравнения переноса вихря строился посредством яв- ной трехслойной схемы Адамса–Бэшфорта второго порядка аппроксимации. Конвективные члены аппроксимировались схемами Аракавы второго и чет- вертого порядков, остальные производные представлялись центральными разностями. Расчеты производились пошаговым интегрированием по времени урав- нения переноса вихря при числах Рейнольдса , таким образом, удалось получить устойчивое решение при достаточно высоких чис- лах Рейнольдса. Re ; ; 400 1000 2500 Анализ точности решений проведен в [1, 55], где на различных расчетных сетках исследованы: центрально-разностная схема, односторонние разности «против потока» первого и второго порядка точности, экспоненциальная схе- ма. В [26] использование противопоточных конечных разностей третьего по- рядка для аппроксимации конвективных членов уравнений Навье–Стокса по- зволило повысить точность решения и расширить диапазон расчетных чисел Рейнольдса (Re ≤ 20 000). В работе исследованы характеристики вязкого те- чения внутри и в окрестности двумерных открытых каверн в зависимости от толщины вытеснения пограничного слоя перед каверной, числа Рейнольдса, а также соотношения длины и глубины каверны. Исаевым [13] проведено численное исследование по определению влия- ния вязкости на интегральные аэродинамические характеристики течения в прямоугольной выемке (А H L  05 2. , где H, L  глубина и ширина вы- емки соответственно), вызванного движением верхней границы при . Анализ движения несжимаемой жидкости ограничивался рассмотрением плоских ламинарных течений на основе численного решения Re  100 2500 44 уравнений Навье–Стокса в переменных –. Автором предлагается инте- гральный критерий оценки качества численных расчетов циркуляционного движения жидкости (максимальная величина функции тока max y ). Так же, как в работах [3 – 4], для записи уравнения переноса вихря в конечноразност- ной форме на неравномерной сетке была использована схема Адамса– Бэшфорта второго порядка аппроксимации. Полученное разностное уравне- ние связи  и  решалось на каждом временном шаге итерационным методом Гаусса–Зейделя с использованием техники верхней релаксации. На основе установившихся полей завихренности рассчитывалось распределение давле- ния по стенкам выемки: – на передней боковой поверхности выемки ( P A A1 0 0( ) ,   ): P y x dy xА y 1 0 2 ( ) Re      ; (6) – на дне выемки ( P P x2 10 0 0( ) ( ),  1 ): P x P y dx y x 2 2 00 0 2 ( ) ( ) Re       ; (7) – на задней боковой поверхности выемки ( P P y3 20 1( ) ( ), 0 A   ): P y P x dy x y 3 3 00 0 2 ( ) ( ) Re       . (8) Коэффициент сопротивления давления и коэффициент сопротивле- ния трения С выемки рассчитывались по формулам СР f С N US P y P y dyР P A   0 5 3 1 0. ( ) ( )   , (9) С N US x dxf f   0 5 2 0 0 1 . Re ( , )   , (10) где – суммарная по площади сила сопротивления давления, S – площадь дна выемки, – суммарная по площади сила трения. N P N f Общий коэффициент сопротивления имел вид Сx PC Cf  . Решение задачи прекращалось, когда изменение во времени параметров, определяющих течение (главным образом, завихренности) становилось дос- таточно малым, то есть в случае реализации установившегося режима тече- ния. Исаевым представлены результаты расчетов величины max Re , аэродина- мических коэффициентов давления и трения для квадратной выемки от числа Рейнольдса, а также зависимость коэффициента суммарного аэроди- намического сопротивления выемки от отношения А при СР С f Сx  1000 . Выполнено сравнение полученных расчетных данных с результатами других 45 авторов, а также представлен результат, соответствующий асимптотическому приближению для течения в выемке при Re   . Численному и экспериментальному изучению турбулентного течения при обтекании выемки с относительной длиной от 1 до 3 в твердой стенке плоско- го канала посвящена также работа [14]. При численном исследовании приме- нялись двухпараметрические модели турбулентности k–ε и k–ω, гипотеза Буссинеска о линейной зависимости компонент тензора напряжений Рей- нольдса от тензора скоростей деформаций осредненного движения и «уни- версальный закон стенки» в пристенных областях, где турбулентная вязкость жидкости близка к молекулярной. В [5] дан краткий обзор работ, посвященных исследованию течения в ка- верне с движущейся крышкой. Авторами делается акцент на качественном различии течения в пристеночной зоне больших градиентов и в ядре  зоне умеренных градиентов, образующихся уже при Re  400 . Проводится срав- нение различных конечно-разностных схем относительно точности и устой- чивости получаемого решения. В приведенной таблице даны выражения для коэффициентов С уравнения C C C CP P N N S S W W PCE E R         , (11) описывающего все рассматриваемые разностные схемы, а также максималь- ные числа Рейнольдса, при которых решение с помощью итерационного ме- тода Гаусса–Зейделя остается устойчивым. Делается вывод [5], что «для задачи течения в каверне при больших чис- лах Рейнольдса ( 103) наиболее экономичной является центрально- разностная схема второго порядка точности. Неэкономичной из всех схем второго порядка точности является односторонняя (против потока) схема, ос- таваясь, однако, устойчивой даже при числах Рейнольдса , тогда как пределом устойчивости для центрально-разностной схемы является число Рейнольдса Re  5000 Re  1000 ». По мнению авторов, под экономичностью разност- ных схем следует понимать затраты машинного времени при заданной точно- сти расчета. Влияние схемных эффектов, возникающих в уравнениях Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса, показано в работе [24]. Течение в квадрат- ной каверне с подвижной верхней стенкой рассчитывалось при на равномерных разностных сетках 20  17, 39  33. Приве- дены изолинии функции тока, соответствующие четырем рассмотренным случаям, а также профили горизонтальной и вертикальной составляющих скорости в различных вертикальных сечениях выемки при . Полу- чено, что при малых числах Рейнольдса ( Re ) интенсивность циркуляционного течения, определяемая по плотности расположения линий тока, наибольшая в верхней части области, где жидкость вовлекается в движение движущейся крышкой за счет сил трения. В связи с увлечением жидкости крышкой движение несимметрично: центр вихря, в котором значение функции тока максимально, смещен по направлению движения, т. е. в сторону верхнего правого угла. В правом нижнем углу заметно вторичное движение в виде небольшого вихря. Re , 300 1000 Re  1000 0 30 Существенно иная картина реализовывалась при . На прежней грубой сетке происходит дробление основного вихря, вызванное схемными эффектами, в результате чего наблюдается образование вторичного движения, Re  1000 интенсивность которого более чем на порядок ниже основного. На более мел- 46 кой сетке картина линий тока отличается. Различие состоит в отсутствии дробления основного вихря, в большем его смещении вправо и вверх, а также в увеличении интенсивности вторичного движения в правом нижнем углу. Баден и Паккет [35] для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в огра ния ниченных двумерных областях при больших числах Рейнольдса предла- гают «быстрый» алгоритм, основанный на гибридном методе ввода вихревой пелены с одновременным разбиением области интегрирования на две зоны: зону пограничного слоя и зону, далекую от границы. В работе показано, что затраты машинного времени для достижения устойчивого стационарного ре- шения при этом оказались пропорциональными числу используемых вихрей. Интерес представляет работа [10]. Предлагается новый способ построе- разностных схем для решения уравнений Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса. В случае течения вязкой несжимаемой жидкости способ подразумевает представление основных уравнений в дивергентной форме:  p)uu()u( ijii  , (1jii 2) ),pu()pu()pu( )uuu()puu(tu ij j k k iji j kji kj jiji j i   (13) где – некоторое характерное время,  iii uh (в случае несжимаемой ротяженнос но жид сти), ih , iu – соответственно п ть разностной ячейки и компонента оро и в i -м направлении; jip – тензор вязких напряжений. Как известно, из уравнения неразрыв сти ко ск ст 0udivt   и условия const непосредственно следует уравнение div u   0 . div(div При этом (12) стано- ивалентным следующему уравнению: 0)pgraduвится экв   . В слу- чае const последнее уравнение переходит в для дав- лени внении (13) авторы ограничиваются лишь первым слагаемым в правой части. Тогда система уравнений Навье–Стокса принимает вид: div u   0 , уравнение Пуассона я. В ура (14) ).uuu(divdivupgrad)uu(divtu    (15) Для построения дискретной модели полученной системы применялась цен трально-разностная аппроксимация с использованием разнесенной сетки: функция u определялась в узлах ( , )x yi k1 2 , v  в узлах ( , )x yi k1 2 , дав- ление р в серединах ячеек  (xi k  . Полученные разно урав- нения р шались методом «пред ор». Расчеты течения в каверне проводились в ди , y1 2 1 2 стные е иктор-коррект апазоне чисел Рейнольдса ) Re  100 3200 на сетках 21 21 и 41 41 . Была выделена обширная цен- циркуляци дв . При исследовании коэффици- ента трения С f обнаружены зоны возвратного течения в нижних углах ка- верны («вторичные угловые вихри»), которые имеют более низкую интенсив- ность циркуляции по сравнению с центральным вихрем. Начиная с Re  1500 , замечено возникновение одного вторичного вихря около л - тральная область онного ижения еще е 47 вой части подвижной стенки, а также подтвержден факт увеличения циркуля- ционного движения с увеличением числа Рейнольдса. В отличие от большинства работ по исследованию течения в каверне при больших числах Re, в которых на одной из ее стенок («крышке») задается по- стоянная продольная скорость, авторы работы [43] на крышке каверны задают постоянное напряжение трения. В ходе численного эксперимента получено, что неустойчивость расчета по такой модели наступает на порядок позднее ( ), чем неустойчивость стандартного течения в каверне, индуциро- ванного движением крышки. Re  104 Уже отмечалось, что учет эффектов вязкости в зонах больших градиентов предполагает использование более мелкой разностной сетки, чем в прочих областях, причем шаг сетки в этой зоне необходимо уменьшать пропорцио- нально росту толщины зоны больших градиентов  при увеличении числа Рейнольдса. В этой связи становится необходимым использование численных схем, обеспечивающих аппроксимацию на существенно неравномерных сет- ках, что само по себе является проблемой, так как не все разностные схемы обладают таким свойством. В подобных случаях не является выходом и пере- ход к новым независимым переменным, так как поставленные условия сохра- няются для коэффициентов преобразованных уравнений. Как один из спосо- бов решения указанной проблемы предлагается [15] сплайновая схема, кото- рая обеспечивает достаточно высокий порядок аппроксимации (четвертый порядок аппроксимации на равномерных сетках, третий  в противном слу- чае, для первой производной от функции по координате; второй порядок ап- проксимации для вторых производных). Согласно указанной методике было рассчитано течение в квадратной ка- верне на неравномерной сетке 2727 при Re , 100 400 . Для сравнения были также рассчитаны варианты с использованием равномерных сеток 2121 и 2929. Полученные результаты показали, что для использованных разностных схем уже при Re  400 равномерные сетки позволяют достигать достаточно высокой точности лишь при N  40 40 . Профиль скорости u u y ( ) на прямой x = 0,5, полученный для неравномерного разбиения, практически не отличался от профиля, рассчитанного на существенно более мелкой равно- мерной сетке с N  51 51. Работоспособность неравномерной сетки под- твердили не только расчеты для Re  400 , но и дополнительные результаты, полученные при Re  103 . Поиску разностных схем, сохраняющих повышенный порядок аппрокси- мации на неравномерных сетках, посвящена также работа [16]. Отмечено, что схемы такого типа можно разделить на два класса: методы, использующие алгоритмы сплайн-аппроксимации [15], что позволяет достигать как минимум третьего порядка на равномерных сетках, и методы, использующие компакт- ные разности. Огромным преимуществом этих подходов является использо- вание стандартного трехточечного разностного шаблона, в то время как обычные соотношения того же порядка требуют не менее четырех точек на разностной сетке. Построение компактных аппроксимаций основывалось на неявной связи между значениями функции и ее производными 48    k i k k i k k i k k l N l h f h r h q h x x N i N ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ,..., ,            1 0 2 3 1  (16) где  значения функции в точках разностного шаблона, и  значения, соответственно, первой и второй производных от данной функции, fi ri q i   k k k, ,  коэффициенты, значения которых зависят от требуемого порядка аппрокси- мации выражения (16), N  число узлов сетки, h  ее шаг. Делался акцент на использовании однородных компактных разностей, в которых содержатся либо только первые, либо только вторые производные, ввиду возможности вычислений производных по значениям функций с помо- щью стандартных подходов типа скалярных прогонок. При расчетах исполь- зовались симметричные однородные компактные разности следующего вида ( ) ( ) , ( ) ( f f h r r r f f f h q q q i i i i i i i i i i i         ) .          1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 6 2 10 12 (17) Неявная разностная схема первого порядка аппроксимации по времени, соответствующая системе дифференциальных уравнений  U t AU  0, где  вектор зависимых переменных, А  некоторый диф- ференциальный оператор, имела вид U u um ( ,..., )1    U A U A U U U U n n n n n n n        1 1 1 1, n1 . (18) Полученная система алгебраических уравнений решалась итерационным методом Гаусса–Зейделя. В [15] для расчета течения использовалась система уравнений Навье– Стокса, записанная в переменных «завихренность – функция тока». Расчеты осуществлялись для двух типов сеток  равномерной и неравномерной. Число узлов по обоим типам сеток и по координатам Х, У было одинаковым. Нерав- номерная сетка строилась по закону геометрической прогрессии с постоян- ным и одинаковым для обоих направлений коэффициентом, одним и тем же для сеток с различным числом узлов: h qh h x x h h h qh h y y h h i j N xi x i xi i i xi x N i yj y j yj j j yj y N j                 , , , , , , , , , , , , , ,..., 1 1 1 1 1 1 2 3 2 , (19) где N  число расчетных узлов в одном направлении, q  1. Расчеты проводились на сетках с последовательно возрастающим числом узлов (2020, 3030, 4040) при следующих числах Рейнольдса . Минимальный размер ячейки выбирался обратно пропорционально корню квадратному из числа Рейнольдса. Кроме того, сетка строилась таким образом, чтобы в вязком слое присутствовало 20 – 25 ячеек сетки при общем количестве узлов по одному направлению 80. Такой алго- ритм построения сетки позволял правильно отследить влияние вязких эффек- тов на течение в целом. Re , 100 1000 4000 Исаевым [12] на основе решения конечно-объемным факторизованным методом нестационарных уравнений Рейнольдса, замкнутых с помощью 49 дифференциальных уравнений переноса сдвиговых напряжений, при Re = 50 000 рассчитывались: эволюция вихревой структуры в квадратной ка- верне с подвижной крышкой, а также нестационарный турбулентный тепло- обмен в воздушной среде при поддержании постоянных температур горячей подвижной и холодных неподвижных стенок. Численно-аналитический подход, примененный к задаче о движении жидкости в каверне с подвижной крышкой, приведен в [34] и позволяет све- сти исходную систему дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Сопряженная задача гидродинамики и теплообмена при движении жид- кости в мелкой, квадратной и глубокой кавернах с отношением высоты к ши- рине 1/2; 1; 2 решена в [59]. Числа Рейнольдса и Прандтля полагались посто- янными и равными Re = 100, Pr = 1; число Грасгофа варьировалось Gr = 0, ±104, ±106. Проведено сравнение полученных полей скорости и темпе- ратур с аналогичными данными других авторов. В [2], где рассматривается гидродинамика и теплообмен в квадратной и прямоугольной каверне с полностью и частично подвижной крышкой, чис- ленно подтверждена гипотеза Бэтчелора [36] о разделе вихревого течения в замкнутой полости на потенциальное течение в ядре основного вихря и не- вязкое в пограничном слое на стенках каверны. Приведены кривые распреде- ления трения и теплового потока к неподвижным стенкам каверны, представ- лены линии изотерм, показаны профили скорости и завихренности при Re ≤ 1000. В работе указывается на постоянство значений завихренности в центральной части рассмотренных областей для Re ≥ 500, что свидетельству- ет о невязком ядре в каверне и о справедливости гипотезы Бэтчелора для вы- соких чисел Рейнольдса. Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время является наибо- лее перспективным направлением развития численного моделирования в ме- ханике сплошных сред. В работах [18, 25] задача о течении в каверне рассматривалась в качестве тестовой и решалась методом конечных элементов. Полежаевым и Федосее- вым [25] для приведения исходной дифференциальной задачи к алгебраиче- ской в качестве формулировки МКЭ использовался метод Галеркина. Полу- чаемая система линейных алгебраических уравнений решалась методом ис- ключения Гаусса. Для проведения расчетов генерировалась равномерная ко- нечно-элементная сетка (сетка Куранта), содержащая 1515 узлов, 98 тре- угольных элементов; система алгебраических уравнений имела 564 неизвест- ных. Отмечена важная качественная особенность аппроксимационной схемы МКЭ, проявившейся в данной задаче, содержащей разрывы скорости в угло- вых точках каверны. Она заключается в отсутствии преждевременного пара- доксального разбиения поля течения на вторичные вихри, отмечавшиеся в ряде работ МКР [24], при увеличении числа Рейнольдса от 400 до 1000. При- ведены результаты расчета течения: картины линий тока и профиль горизон- тальной составляющей скорости в сечении 50,x при . Показаны также нестационарные картины линий тока при переходе от к Re , , 10 100 400 Re  400 Re  1000 . При таких же числах Рейнольдса ( Re , , 10 100 400 ) выполнен расчет те- чения в квадратной каверне и в работе [18]. Построение равномерной конеч- но-элементной сетки (2121; 441 узел; 800 элементов) осуществлялось по- 50 средством триангуляции расчетной области. Локально-одномерная экспонен- циальная аппроксимация искомой функции на элементах строилась в виде линейной комбинации решений модельного уравнения переноса. Приведены графики горизонтальной составляющей вектора скорости в центральном се- чении, картины линий тока для каждого из режимов течения, а также распре- деление изолиний компонент вектора скорости и изобары для Re  400 . В [57] с помощью метода конечных элементов удалось получить устой- чивое решение при Re = 10 000. Идея метода расщепления многомерных задач на примере двумерной за- дачи течения в каверне применена в [53]. На каждом временном шаге с при- менением метода конечных элементов вычисляется вспомогательное поле скоростей без учета давления, в дальнейшем с помощью аналога уравнения неразрывности определяется поле давления, после чего корректируются най- денные поля скоростей. 3. Численные методы. Открытая каверна. В работах [27 – 28, 32] осу- ществлены первые попытки численно смоделировать вихревое течение в от- крытой каверне. Задача решалась методом конечных разностей для трех видов каверн: мелкой, квадратной и глубокой с отношениями глубины каверны к ее ширине 020150 ,;,;,LH соответственно. Диаметр канала над каверной АВ = HG, а также длина входного ВС и выходного FG участков во всех случа- ях равнялись единице (рис. 6). Режимы течения соответствовали числам Рей- нольдса . Re ; ; 0 100 500 Рис. 6 Для квадратной каверны при (без учета инерционных членов) во все моменты времени наблюдалась симметричная картина течения относи- тельно линии симметрии каверны. В начальные моменты времени линии тока не замкнуты и существовал обмен жидкости всего объема каверны с внешним потоком. С увеличением времени в пристеночной области каверны появля- лась область возвратного течения, которая и захватывала постепенно всю ка- верну. Движение в начальные моменты при Re  0 Re  100 повторяло движение при , однако зарождение обратных токов происходило, в первую оче- редь, у левой стенки. Развитие течения происходило несимметрично, и ядро вторичного потока смещено вправо. При Re  0 Re  500 общая картина течения оставалась без изменений, в установившемся течении заметны вторичные вихри в углах каверны. В глубокой каверне при в начальные моменты времени проис- ходило движение всей жидкости в одну сторону, как для квадратной каверны. Постепенно основной вихрь разделялся на две области возвратного течения, расположенные одна над другой по высоте каверны. При Re  100 Re  500 область придонного течения больше, чем для Re  100 . 51 В мелкой каверне линия раздела циркуляционного течения в каверне от внешнего течения не являлась прямолинейной и имела выпуклость в сторону течения в канале. При Re  100 ядро вторичного течения сдвинуто в направ- лении движения подвижной плоскости. При Re  500 ядро вторичного тече- ния смещено еще больше, а в противоположном углу обнаружено появление еще одной области замкнутого течения. Скорости течения у стенки CD малы, и движение близко к застойному. В результате анализа полученных результатов замечены следующие осо- бенности: вторичные течения возникают раньше для больших чисел Рей- нольдса (по безразмерному времени); безразмерная скорость на линии CF при увеличении числа Рейнольдса уменьшается. Спектральный метод как модификация МКЭ [31] был применен в [40], где было рассчитано до Re = 800 плоское течение в мелкой каверне с наличи- ем канала над ней. Соотношение высоты каверны к ее ширине выбиралось равным 1:2, высота канала над каверной, а также длина его входного и выход- ного участков полагались равными ширине каверны. В работе также пред- ставлены результаты расчета течения в плоском канале с двумя последова- тельно расположенными кавернами базовой геометрии. В обеих задачах ис- следовалась зависимость от времени пульсаций скорости в фиксированных точках каверны. Метод конечных элементов применен в работах [19 – 22] для решения задачи о ламинарном и турбулентном течении (до Re = 10 000) вязкой несжи- маемой жидкости в закрытой каверне с полностью и частично подвижной крышкой (рис. 1, а, б), в открытой каверне с учетом внешнего течения (рис. 1, в), а также в открытой и частично перекрытой каверне без дна над экраном (рис. 1, г). Для расчета турбулентного движения система осреднен- ных уравнений Рейнольдса замыкалась уравнениями k–ε модели турбулент- ности с применением пристеночных функций вблизи неподвижных границ каверны. При проведении двумерных расчетов ставилась задача по определению конфигурации частичного перекрытия каверны, минимизирующей ее аэроди- намическое сопротивление. Варьировалась протяженность частичного пере- крытия 01805020 ,;,;,;, BLL как отношение открытой части каверны к ее ширине при значениях скорости на бесконечности чкм14010060V ;; . Рассчитанные варианты перекрытий представлены на рис. 7. 52 а) в) д) ж) б) г) е) з) Рис. 7 Расчетами установлено, что с началом перекрытия каверны над экраном вплоть до значений параметра L/B ≈ 0,8 ее коэффициент аэродинамического сопротивления интенсивно снижается, и при полном перекрытии (L/B = 0) уменьшается в 18…20 раз. Получено также, что применение рассмотренных типов перекрытия ка- верны приводит к снижению коэффициента сопротивления в среднем в 1,5 раза для параметра L/B = 0,8 и в 5 раз для L/B = 0,2. Причем, тип пере- крытия «д» целесообразно применять с параметром L/B ≤ 0,5, а тип перекры- тия «з» – с L/B ≥ 0,5. Выводы. Проведенный анализ методов и результатов исследований задач внутреннего и внешнего течений несжимаемой жидкости в каверне позволил установить следующее. 1. Теоретические модели течения в каверне, допускающие аналитическое решение, основаны на ряде допущений, не отражающих реальной картины течения. 2. Численные методы являются наиболее универсальным методом реше- ния задач динамики жидкости. Вычислительную неустойчивость алгоритма, связанную с расчетом течений при больших числах Рейнольдса, а также по- грешность численных методик уменьшают применением неравномерных се- ток со сгущением вблизи неподвижных стенок, а также использованием схем повышенного порядка точности. 1. Атиас М. Эффективность численных методов решения уравнений Навье–Стокса / М. Атиас, М. Вольфштейн, М. Израэли // Ракетн. техн. и космон.  1977.  Т. 15, № 2.  С. 161 – 164. 2. Белов И. А. Движение и теплообмен в замкнутой области при наличии подвижных границ / И. А. Белов, И. П. Гинзбург, С. А. Исаев // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. Механика. – 1976. – № 13. – С. 41 - 50. 3. Белов И. А. Циркуляционное движение жидкости в прямоугольной каверне при средних и высоких чис- лах Рейнольдса / И. А. Белов, С. А. Исаев // Ж. прикл. мех. и техн. физики.  1982.  № 1.  С. 41 – 45. 4. Белов И. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости / И. А. Белов, С. А. Исаев, В. А. Коробков. – Л. : Судостроение, 1989. – 256 с. 5. Беляев Н. М. Численные методы конвективного теплообмена : Учебное пособие / Н. М. Беляев, А. А. Приходько. – Днепропетровск : ДГУ, 1983. – 104 с. 6. Гольдштик М. А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости / М. А. Гольдштик // Доклады АН СССР. – 1962. – Т. 147, № 6. – С. 36 – 41. 7. Горин А. В. Обзор моделей расчета течения несжимаемой жидкости в квадратной каверне / А. В. Горин // Градиентные и отрывные течения. – Новосибирск, 1976. – С. 85 – 116. 8. Госмен А. Д. Численные методы исследования течений вязкой жидкости / А. Д. Госмен, В. М. Пан, А. К. Ранчел, Д. Б. Сполдинг, M. Вольфштейн. – М. : Мир, 1972. – 324 с. 9. Грінченко В. Т. Двовимірна течія в'язкої рідини у прямокутній порожнині при малому числі Рейнольдса / В. Т. Грінченко, Т. Л. Ісаєва, В. В. Мелешко // Доповіді АН УкрРСР. – 1991. – № 8. – С. 64 – 70. 53 10. Гуров Д. Б. Об одном способе построения алгоритма расчета течений вязкой несжимаемой жидкости / Д. Б. Гуров, Т. Г. Елизарова // Ж. выч. матем. и мат. физики. – 1990. – Т. 30, № 11. – С. 1719 – 1727. 11. Денисон А. К. Сжимаемый свободный струйный пограничный слой с ненулевой начальной толщиной / А. К. Денисон, В. В. Баум // Ракетная техника и космонавтика  1963.  Т. 1, № 2. – С. 178 – 183. 12. Исаев С. А. Численный анализ вихревой динамики и нестационарного турбулентного теплообмена в квадратной каверне с подвижной крышкой / С. А. Исаев, П. А. Баранов, А. Г. Судаков, Н. А. Мордынский // Теплофизика и аэромеханика. – 2008. – Т. 15, № 3. – С. 10 – 25. 13. Исаев С. А. Численное исследование интегральных характеристик течения в прямоугольной выемке / С. А. Исаев // Численные методы механики сплошной среды. – Новосибирск, 1983. – Т. 14, № 5. – С. 70 – 78. 14. Кабаков Я. И. Турбулентное течение в прямоугольной выемке в стенке плоского канала / Я. И. Кабаков, А. И. Майорова // ИФЖ. – 1984. – Т. 46, № 3. – С. 363 – 371. 15. Копченов В. И. К использованию существенно неравномерных сеток при численном решении уравне- ний Навье–Стокса / В. И. Копченов, А. Н. Крайко, М. П. Левин // Ж. выч. матем. и мат. физики. – 1982. – Т. 22, № 6. – С. 1457 – 1467. 16. Копченов В. И. Неявная итерационная схема для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости / В. И. Копченов, Д. А. Никифоров // Ж. выч. матем. и мат. физики. – 1994. – Т. 34, № 8–9. – С. 1335 – 1343. 17. Кочин Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, М. А. Кибель, Н. В. Розе. – М. : Физматгиз, 1963. – Ч. 1. – 583 с. 18. Кочубей А. А. Численное моделирование процессов конвективного переноса на основе метода конеч- ных элементов / А. А. Кочубей, А. А. Рядно.  Днепропетровск : Изд-во ДГУ, 1991.  228 с. 19. Кравец Е. В. Гидродинамика течения между прямоугольными призмами, расположенными тандемом над экраном : дисс. на соиск. канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 / Кравец Елена Владимировна. – Днепропет- ровск, 2009. – 229 с. 20. Кравец Е. В. Влияние типа обтекателя на аэродинамическое сопротивление межвагонного пространства скоростного поезда / Е. В. Кравец // Вісник Дніпропетровського університету, сер. «Механіка».  2006.  Вып. 10.  Том 1, № 2/1.  С. 113 – 119. 21. Кравец Е. В. Математическое моделирование турбулентных течений вязкой несжимаемой среды в меж- вагонном пространстве с крышным обтекателем / Е. В. Кравец // Вісник Дніпропетровського університе- ту, сер. «Механіка».  2005.  Вып. 10.  Том 1, № 10/1.  С. 66 – 73. 22. Кравец Е. В. Сравнительный анализ течения в открытом и частично перекрытом межвагонном про- странстве при движении скоростного поезда / Е. В. Кравец // Вісник Дніпропетровського університету, сер. «Механіка».  2004.  Вып. 8.  Том 1, № 6.  С. 26 – 33. 23. Нейланд В. Я. К теории течений в стационарных срывных зонах / В. Я. Нейланд, В. В. Сычев // Ученые записки ЦАГИ. – 1970. – Т. 1, № 1 – С. 156 – 163. 24. Пасконов В. М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена / В. М. Пасконов, В. И. Полежаев, Л. А. Чудов.  М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.  288 с. 25. Полежаев В. И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики, тепло- и массообмена / В. И. Полежаев, А. И. Федосеев.  М., 1980. – 72 с.  Препринт/ АН СССР. Ин-т проблем механики; № 160. 26. Розумнюк Н. В. Мгновенные и осредненные характеристики вязкого потока около прямоугольной каве- рны / Н. В. Розумнюк // Прикладная гидромеханика. – 2007. – Т. 9, № 4. – С. 49 – 58. 27. Симуни Л. М. Конечно-разностное решение уравнений Навье–Стокса / Л. М. Симуни. – Сб. : Современ- ные вопросы гидродинамики. – К. : Наук. думка, 1967. – С. 344 – 350. 28. Симуни Л. М. Численное решение задачи движения жидкости в прямоугольной яме / Л. М. Симуни // Ж. прикл. мех. и техн. физики.  1965.  № 6.  С. 106 – 108. 29. Симуни Л. М. Численное решение некоторых задач вязкой жидкости / Л. М. Симуни // Инж. журн. – 1964. – Т. 4, Вып. 3. – С. 446 – 450. 30. Тзинь А. Расчет распределений скоростей и температур при турбулентном течении в пристеночной прямоугольной полости / А. Тзинь , П. Рафийнеяд, С. Себан // Прикладная механика. – 1972. – Т. 32, № 2. – С. 76 – 85. 31. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер.  М. : Мир, 1988.  352 с. 32. Цой П. И. Применение вычислительной математики к решению инженерных и кибернетических задач / П. И. Цой. – Тула : изд-во Тульск. политехн. ин-та, 1975. – 148 с. 33. Чжен П. Отрывные течения. В 3 частях / П. Чжен. – М. : Мир, 1973. – Ч. 1. – 299 с. – Ч. 2. – 280 с. – Ч. 3. – 333 с. 34. Шмукин А. А. Градиентный численно-аналитический метод решения уравнений Навье–Стокса для вяз- кой несжимаемой жидкости / А. А. Шмукин, Р. А. Посудиевский // ИФЖ. – 1989. – Т. 56, № 5. – С. 730 – 734. 35. Baden S. B. A fast vortex code for computing 2-d flow in a box / S. B. Baden, E. G. Puckett // AIAA / ASME / SIAM / APS 1st Nat. Fluid Dyn. Congr. – Cincinnati, Ohio. – July, 25-28. – 1988 : Collect. Techn. Pap. – Pt. 1 – New York. – Р. 185 – 192. 36. Batchelor G .K. On steady laminar flow with close streamlines at large Reynolds number / G. K. Batchelor // J. Fluid. Mech. – 1956. – V. 1. – Part 2. – P. 392 – 398. 37. Bozeman J. D. Numerical study of viscous flow in a cavity / J. D. Bozeman, C. Dalton // J. Comput. Phys. – 1973. – Vol. 12, № 3. – P. 125 – 131. 54 55 38. Burggraf O. R. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows / O. R. Burggraf // J. Fluid Mech. – 1966. – V. 24, Рt. 1. – P. 143 – 147. 39. Burggraf O. R. Model of steady separated flow in rectangular cavities at high Reynolds number / O. R. Burggraf // Proc. Heat Transfer and Fluid Mech. Inst, June, 21 – 23,1965, Los Angeles, Calif. – P. 190 – 229. 40. Ghaddar N. K. Numerical investigation of incompressible flow in grooved channels / N. K. Ghaddar, K. Z. Korczak, B. B. Mikic, A. T. Patera // J. Fluid Mech. – 1986. – V. 163. – P. 99 – 127. 41. Ghia K. N. Study of Incompressible Navier–Stokes Equations in Primitive Variables Using Implicit Numerical Technology / K. N. Ghia, Jr. W. L. Hankey, J. K. Hodge // AIAA Paper, 77-648. – 1977. – P. 156 –167. Пере- вод : Гхиа К.Н. Решение уравнений Навье–Стокса с учетом несжимаемости в обычных переменных / К. Н. Гхиа, В. Л. Хэнки, Дж. К. Ходж // Ракетная техн. и космонавтика. – 1979. – Т. 17, № 3. – С. 89 – 92. 42. Grand D. Courants de recirculation dans une cavity. Lere partie: ecoulement isotherme / D. Grand, A. Latrobe, Ph. Vernier. – Rapport CEA-R-4448 (I). – Grenoble. – 1973. – P. 153 – 165. 43. Huser A. Calculation of wind driven cavity flow at high Reynolds numbers / A. Huser, S. Biringen // AIAA Pap. – 1990. – № 1531. – Р. 1 – 11. 44. Kawaguti M. Numerical solution of the Navier–Stokes equations for the flow in a two-dimensional cavity / М. Kawaguti // J. Phys. Soc. Jap.  1961.  V. 16, № 11.  P. 79 – 85. 45. Korst H. H. Dynamics and thermodynamics of flow with separation, single and multi-component flow processes / H. H. Korst // A symposium-proceedings. Ed. By R.L. Peskin, C.F. Chen. – New Brunswick, New Yersey. – 1965. – P. 75 – 81. 46. Mills R. D. Numerical solution of the viscous flow equations for a class of closed flows / R. D. Mills // Journal of Royal Aeronautical Society.  Dec.  1965.  V. 69.  P. 714 – 718. 47. Mills R. D. On closed motion of a fluid in a square cavity / R. D. Mills // J. Roy. Aero. Soc.  1965.  V. 69.  P. 116 – 121. 48. O‘Brien V. Closed streamlines associated with channel flow over a cavity / V. O‘Brien // Phys. Fluids. – 1972. – V. 15, № 12. – P. 35 – 42. 49. Oka S. N. Stacionarno dvodimenziono vrtlozno strnjanje u oblastima za zatvorenim strujnicama / S. N. Oka. – Dokt. Disertacija, Masin. Fak. Unw. u Beogradu. – Beograd. – 1971. – 294 p. 50. Orlandi P. Numerical simulation of turbulent flows over a square cavity / P. Orlandi, R. Piva // Proceedings of Gamm-conference on numerical method of fluid mechanics. – Koln. – 1975. – P. 85 – 88. 51. Pan F. Steady flows in rectangular cavities / F. Pan, A. Acrivos // J. of Fluid Mech. – 1967. – Vol. 28, Рart 4. – P. 643 – 655. 52. Pierre R. Simple C0 approximations for the computation of incompressible flows / R. Pierre // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Ing. – 1988. – V. 68. – P. 205 – 227. 53. Ramaswamy B. Finite element solution for advection and natural convection flows / В. Ramaswamy // Comput. and Fluids. – 1988. – V. 16, No. 4. – P. 349 – 388. 54. Ratkowsky D. A. Viscous flow in a rectangular cut-out / D. A. Ratkowsky, Z. Rottem // Phys. Fluids. – 1968. – V. 12, № 12. – P. 1822 – 1825. 55. Runchal A. K. Transfer process in steady two-dimensional separated flows / A. K. Runchal // D. Ph. Thesis, Coll. Of Sci. And Techn. – London. – Jan., 1969. – P. 77 – 78. 56. Squire H. B. Note on the motion inside a region of recirculation (cavity flow) / H. B. Squire // J. Roy. Aero. Soc. – 1956. – V. 60. – P. 203 – 205. 57. Tabata M. Two upwind-type finite element approximations for Navier-Stokes equations / M. Tabata, S. Fujima, A. Morita // Дэнки цусин дайгаку кие. – Bull. Univ. Elec. – Commun. – 1988. – V. 1, No. 1. – P. 129 – 136. 58. Takematsu M. Viscous flow in a two-dimension cavity / M. Takematsu // J. Phys. Soc. Jap.  1965.  V. 20.  P. 283 – 285. 59. Cavity flows driven by buoyancy and shear / K. Torrance, R. Davis, K. Eike, P. Gill, D. Gutman, A. Hsui, S. Lyons, H. Zien // J. Fluid Mech. – 1972. – V. 51, Part 2. – P. 221 – 231. 60. Weiss R. F. Flow in a cavity at low Reynolds number / R. F. Weiss, B. H. Florsheim // Phys. Fluids. – 1965. – V. 8, № 9. – P. 1631 – 1635. Днепропетровский национальный университет Получено 30.09.2011, имени Олеся Гончара, в окончательном варианте 04.01.2012 Днепропетровск

Сравнительный анализ численных и аналитических исследований циркуляционных двумерных течений в кавернах

Institution

Ähnliche Einträge