Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом

Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом

Рассматривается задача оптимального управления изменением вектора тяги космического аппарата (КА) по критерию минимума расхода топлива при переходе между компланарными эллиптическими и круговыми орбитами или между компланарными круговыми орбитами в ньютоновском поле сил притяжения. Допуская определе...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2012
1. Verfasser: Комаров, В.Г.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2012
Schriftenreihe:Техническая механика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88333
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом / В.Г. Комаров // Техническая механика. — 2012. — № 3. — С. 98-111. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-88333
record_format dspace
spelling irk-123456789-883332015-11-12T03:02:48Z Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом Комаров, В.Г. Рассматривается задача оптимального управления изменением вектора тяги космического аппарата (КА) по критерию минимума расхода топлива при переходе между компланарными эллиптическими и круговыми орбитами или между компланарными круговыми орбитами в ньютоновском поле сил притяжения. Допуская определенные предположения относительно параметров движения КА, получены решения рассматриваемой задачи в квадратурах и, соответственно, найдены значения начальных параметров, определяющих оптимальное управление в зависимости от начальных параметров движения. Эти параметры, определяющие оптимальное управление, могут быть приняты в качестве значений первого приближения в задачах, решение которых можно получить только путем численного интегрирования. Розглядається задача оптимального керування зміною вектора тяги космічного апарату (КА) за критерієм мінімуму витрат палива при переході між компланарними еліптичними і круговими орбітами або між компланарними круговими орбітами в ньютонівському полі сил тяжіння. Допускаючи певні припущення щодо параметрів руху КА, отримані рішення розглянутої задачі в квадратурах і, відповідно, знайдено значення початкових параметрів, що визначають оптимальне управління в залежності від початкових параметрів руху. Ці параметри, що визначають оптимальне управління, можуть бути прийняті в якості значень першого наближення в задачах, розв'язання яких можна одержати тільки шляхом чисельного інтегрування. An optimal control problem of changing the thrust vector of the spacecraft (SC) on the criterion of minimum fuel consumption during the transition between coplanar elliptical and circular orbits, or between coplanar circular orbits in the Newtonian field of attractive forces is considered. Allowing for certain assumptions about the motion parameters of the spacecraft, the problem under consideration is solved in quadratures and correspondingly the values of initial parameters that determine the optimal control depending on the initial motion parameters are found. These parameters determining the optimal control can be taken as the values of the first approximation for problems whose solution can only be obtained by numerical integration. 2012 Article Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом / В.Г. Комаров // Техническая механика. — 2012. — № 3. — С. 98-111. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88333 521.629 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассматривается задача оптимального управления изменением вектора тяги космического аппарата (КА) по критерию минимума расхода топлива при переходе между компланарными эллиптическими и круговыми орбитами или между компланарными круговыми орбитами в ньютоновском поле сил притяжения. Допуская определенные предположения относительно параметров движения КА, получены решения рассматриваемой задачи в квадратурах и, соответственно, найдены значения начальных параметров, определяющих оптимальное управление в зависимости от начальных параметров движения. Эти параметры, определяющие оптимальное управление, могут быть приняты в качестве значений первого приближения в задачах, решение которых можно получить только путем численного интегрирования.
format Article
author Комаров, В.Г.
spellingShingle Комаров, В.Г.
Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
Техническая механика
author_facet Комаров, В.Г.
author_sort Комаров, В.Г.
title Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
title_short Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
title_full Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
title_fullStr Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
title_full_unstemmed Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
title_sort решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом
publisher Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88333
citation_txt Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппаратом / В.Г. Комаров // Техническая механика. — 2012. — № 3. — С. 98-111. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series Техническая механика
work_keys_str_mv AT komarovvg rešenievkvadraturahnekotoryhzadačoptimalʹnogoupravleniâkosmičeskimapparatom
first_indexed 2025-07-06T16:05:33Z
last_indexed 2025-07-06T16:05:33Z
_version_ 1836914241813086208
fulltext УДК 521.629 В.Г.КОМАРОВ РЕШЕНИЕ В КВАДРАТУРАХ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ Рассматривается задача оптимального управления изменением вектора тяги космического аппарата (КА) по критерию минимума расхода топлива при переходе между компланарными эллиптическими и круговыми орбитами или между компланарными круговыми орбитами в ньютоновском поле сил притя- жения. Допуская определенные предположения относительно параметров движения КА, получены реше- ния рассматриваемой задачи в квадратурах и, соответственно, найдены значения начальных параметров, определяющих оптимальное управление в зависимости от начальных параметров движения. Эти парамет- ры, определяющие оптимальное управление, могут быть приняты в качестве значений первого приближе- ния в задачах, решение которых можно получить только путем численного интегрирования. Розглядається задача оптимального керування зміною вектора тяги космічного апарату (КА) за кри- терієм мінімуму витрат палива при переході між компланарними еліптичними і круговими орбітами або між компланарними круговими орбітами в ньютонівському полі сил тяжіння. Допускаючи певні припу- щення щодо параметрів руху КА, отримані рішення розглянутої задачі в квадратурах і, відповідно, знайде- но значення початкових параметрів, що визначають оптимальне управління в залежності від початкових параметрів руху. Ці параметри, що визначають оптимальне управління, можуть бути прийняті в якості значень першого наближення в задачах, розв'язання яких можна одержати тільки шляхом чисельного інтегрування. An optimal control problem of changing the thrust vector of the spacecraft (SC) on the criterion of minimum fuel consumption during the transition between coplanar elliptical and circular orbits, or between coplanar circular orbits in the Newtonian field of attractive forces is considered. Allowing for certain assumptions about the motion parameters of the spacecraft, the problem under consideration is solved in quadratures and correspondingly the values of initial parameters that determine the optimal control depending on the initial motion parameters are found. These parameters determining the optimal control can be taken as the values of the first approximation for problems whose solution can only be obtained by numerical integration. Задачи оптимального управления космическими аппаратами (КА) при переходе между орбитами в ньютоновском поле земного притяжения сводят- ся к необходимости рассмотрения и решения краевых задач [1 – 5]. Харак- терной особенностью этих задач является то, что они описываются обыкно- венными дифференциальными уравнениями, для которых известны началь- ные и конечные значения параметров движения КА. При этом, обеспечение конечных значений параметров движения КА достигается соответствующим выбором определенного количества неизвестных параметров в начальный момент времени, определяющих оптимальную программу управления движе- нием. Сложность нахождения решения таких дифференциальных уравнений при численном интегрировании состоит в том, что необходимо знать хотя бы близкие значения неизвестных параметров, определяющих оптимальное управление, с тем, чтобы при использовании рекуррентных методов поиска оптимального решения получать сходящуюся последовательность траекторий к искомой. Математическая модель, которая описывает траекторию перехода КА между компланарными кеплеровыми орбитами в ньютоновском поле сил притяжения совместно с оптимальной программой управления величиной и направлением силы тяги, обеспечивающую минимальный расход топлива на переход, может быть представлена в следующем виде [6]: r VV u m V rn n    cos ,  В.Г.Комаров, 2012 Техн. механика. – 2012. – № 3. 98 2 2 rr V u m V n r     sin , (1) , rVr  r Vn , um  , 4121 1 2  rr V r V rn , 312  r Vn , 4212232 2 3 2           r V r VV rr V nrnn , (2)  04   u m P )sincos( 2125   где 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 cos,sin       , (3)  (4)        , 0 Ф если 0, 0 > Ф если 1, u  5 2 2 2 1  m P – функция переключения. (5) Здесь – трансверсальная и радиальная составляющие вектора ско- рости; rn VV , r – модуль радиуса-вектора; – центральный угол, отсчитываемый от начального радиуса-вектора; – масса КА;  m  – максимальный массовый секундный расход топлива; – тяга двигателя; P  – угол между вектором тяги и местным горизонтом; u – параметр управления модулем вектора тяги; – дополнительные переменные, вводимые для определе- ния необходимых условий оптимальности управления, исходя из принципа максимума; – гравитационная постоянная Земли. 521, 43 ,,   , Функция Гамильтона H , из требования максимума которой выводятся необходимые условия оптимальности управления, в рассматриваемой задаче может быть записана в виде: 99 .432 2 21 constA r V V rr V r VV uH n r nrn           (6) В момент времени 0tt  задаются начальные условия: .)( ,)( ,)( ,)( ,)( 00 00 00 0 0 0 0 mtm t rtr VtV VtV rr nn      (7) Условия, которым должны удовлетворять параметры движения КА в мо- мент времени ktt  , определяются конечной орбитой. Переход КА с орбиты, определяемой начальными условиями (7), на за- данную конечную орбиту, будем рассматривать при условии, что конечный момент времени и центральный угол kt  kk t не фиксированы. В этом случае из необходимых условий оптимальности на конце следует, что .04 A (8) Так как минимизируется расход массы на переход, то граничное значение дополнительной переменной  t5 (условие трансверсальности) в момент времени равно единице, т.е. ktt    15  kt . (9) Однако, для этой переменной (исключая частный случай   005  t ) ус- ловие (9) можно перевести в начальный момент времени и принять   105  t . (10) Это возможно, т.к. функция ),...,( 51 H и уравнения (2) однородны по пе- ременным )5,...,1(  jj . Разделив все соотношения на , получим (10).  05 t Граничные значения дополнительных переменных ,  kt1  kt2 , или условия трансверсальности в момент времени находятся из соотношений, определяющих конечную орбиту. Если эта орбита кониче- ское сечение с эксцентриситетом и параметром  kt3 ktt  e p , то значение парамет- ров движения  kn tV ,  kr tV ,  ktr удовлетворяют соотношениям:     0)1( )( 2 222      e ptr tVtV k krkn , (11)     0 ptrtV kkn . Соответствующие ограничениям (11) условия трансверсальности запишутся в виде:   )()(2 211 kknk trtVt  , 100   )(2 12 krk tVt  , (12)   )( )( 2 2213 kn k k tV tr t    , где , – неопределенные множители Лагранжа. 1 2 Для конечной круговой орбиты радиуса имеем равенства: 0rrk    k kn r tV   ,   0kr tV ,   kk rtr  , (13) которые следуют из равенств (11), если положить 0e и krp  , так как круговая орбита является коническим сечением с такими эксцентриситетом и параметром. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (1), (2) в общем слу- чае не интегрируется в квадратурах и поэтому решение этой системы можно определить одним из численных методов. Для этого наряду с начальными усло- виями (7) необходимо знать начальные значения дополнительных переменных     . , 0220 0110 t t   (14) Начальное значение  0330 t выражается через 10 и 20 из пер- вого интеграла (6). Эти параметры (14) определяют начальные значения оптимальной про- граммы управления (3) (являются начальными условиями для дифференци- альных уравнений (2)) и должны быть такими, чтобы в определяемый момент времени конечные параметры движения КА принимали заданные зна- чения (13). Имеем краевую задачу, в которой необходимо определить значе- ния , и , соответствующие заданным концевым условиям. ktt  2010 kt Трудность нахождения решения таких задач заключается в том, что зара- нее неизвестны (в начальный момент времени) значения (14) и их необходи- мо каким-либо способом определять. Получение же решения системы (1), (2) при известных начальных условиях (7), (14) (задача Коши ) не представляет труда для современных вычислительных средств. На основании результатов, полученных в |7|, можно сделать вывод, что оптимальные траектории перехода между соосными эллиптическими и, в ча- стности, круговыми орбитами для КА с ограниченной тягой могут состоять из конечного числа активных и пассивных участков. При этом, по мере уве- личения числа этих участков, уменьшается величина затрат топлива на пере- ход между орбитами и в пределе стремится к минимальной затрате топлива, которая соответствует топливу, необходимому для приобретения приращения скорости в задаче оптимального перехода между орбитами в импульсной постановке |2|. Наиболее энергоемкой, очевидно, является траектория пере- хода, состоящая из одного активного участка. Траектория, состоящая из двух активных участков и одного пассивного между ними, является менее энерго- емкой, чем первая, и представляет наибольший интерес с точки зрения прак- тического использования. Следует отметить, что такая структура оптимальной траектории перехода в предельном случае, когда приращения вектора скорости происходят мгно- 101 венно, а координаты центра масс КА не меняются, представляет известную схему Гомана [8] при переходе между круговыми орбитами. Определим для такой структуры траектории перехода (два активных и один пассивный участки) параметры оптимальной траектории и оптимально- го управления, введя вместо неизвестных начальных значений ,10 20 , 30 также неизвестные в начальный момент времени, но геометрически и физи- чески наглядные величины [9]: 0 – начальное значение угла между векто- ром тяги и местным горизонтом; 0 – начальное значение угловой скорости вращения вектора тяги относительно местного горизонта; 2 20 2 0 b 10  – коэффициент пропорциональности. Замена осуществляется по формулам: 0010 cos b , 0020 sin b , (15)                 0 0 0 0 0 0 0 0 2 030 sin cos )sin1( r Vr V b r n  . Используя первый интеграл (6), значение выражается через , 0b 0 0 , т.е.                       00 2 0 002 00 22 0 0 0 0 sin2cossincos cos 0 0 00  r V V rr VV m P b r r rn . (16) Таким образом, краевая задача, решение которой определяет оптималь- ную траекторию перехода принятой структуры между компланарными эл- липтическими и круговыми орбитами в ньютоновском поле притяжения, бу- дет состоять в следующем. Найти начальные значения , и промежуток времени перехода 0 0 0ttt kk  , такие, чтобы в момент времени ktt  в ре- зультате интегрирования системы (1), (2) в промежутке времени  при начальных условиях (7), (15) выполнялись равенства (13), т.е.: ktt ,0 0) ,,( 00    k kn r ΔtV  , 0) ,,( 00  kr ΔtV  , (17) 0) ,,( 00  kk rΔtr  . В общем случае соотношения (17) опосредственно выражают зависи- мость от параметров 0 , 0 , kt . Если система (1), (2) преобразуется таким образом, что ее можно проинтегрировать в квадратурах, то эти соотношения переходят в систему трех трансцендентных уравнений с тремя неизвестными. 102 Для преобразования системы дифференциальных уравнений (1) к виду, позволяющему проводить ее интегрирование в квадратурах, примем следую- щее предположение: протяженность активных участков траектории перехода в угловом измерении значительно меньше единицы, т.е. , 1)( 01011  tt 1)( 2  ttkkkk , (18) где – момент времени выключения двигателя на первом активном участке траектории; – момент времени включения двигателя на третьем заключи- тельном активном участке траектории; – момент времени выхода КА на заданную конечную орбиту; 1t 2t kt 3 0  0 r  ; 3 k k r   . 1 , k – угловые дальности активных участков траектории перехода. Это позволяет считать, что движение на каждом активном участке про- исходит в «тонком» кольце, т.е. 1 )( 0 01   r rtr , 1 )( 2   k k r rtr (19) и, следовательно, текущие параметры движения можно представить в виде: ,    tVVtV nin  )()( tVtV rr  , )()( trrtr i  , (20) где 1 )(   i n V tV , 1 )(   i r V tV , 1 )(   ir tr , i i r V    ki ,0 . Учитывая (18), (19), (20) систему (1) на активных участках траектории перехода можно преобразовать к следующему виду: rin V m Pu V  cos , rV m Pu V inir  22sin , , , ii n i r r r V V Vr        (21) , um  ),0( ki  . При этом система (2) на этих участках так же изменится и принимает вид: 21 2  i , 312  i , , 2 2 3  i 2 2 2 125  m Pu  . (22) В (21), (22) функции u и  определяются по соотношениям (3), (4). 103 Интегрирование систем дифференциальных уравнений (21) и (22) в про- межутках времени  10 , tt и  ktt ,2 приводит к следующим соотношениям: ; ),(2sin)(cos)(sincos ,cos)(sin)(cossin ),(sin)(cos)( 2 1 sincos 00 )( 3 )( 2 )( 11 )( 2 )( 1 )( 3 )( 2 )( 1 dt r r V V tFtFtFCBAr tFtFBAV tFtFtFCBAV t t n ii i i i i i iiiii i i i i iiiir i i i i i iiiiin i               (23) , ),sincos( ,cossin ,sin2cos2 2 2 2 2 1 55 3 2 1 dt m P GED ED GED t t iiiiii iiii iiiii i i       (24) где ,)(,)(,)(),( 332211 dtftFdtftFdtftFtt t t i t t i t t i iii iii   ),0( ki  , ,cos),sincoscossin(),sinsincoscos(  m P f m P f m P f iiii 321 22 iiiiii GEDCBA ,,,,, – константы интегрирования. На первом участке (активном) 0,1  iu и функция переключения (5), для 0)(  t  10 , ttt  . Значения , , в соотношениях (23) бу- дут равны: 0A 0B C0 0 20 nVA  , 00 rVB  , 0 20 nVC  , где следует отметить отсутствие начального приращения . Это объясняет- ся тем, что в момент времени 0r 0tt  центр масс (ц.м.) КА находится на круго- вой орбите радиуса и, поэтому, 0r 00 r . При этом принято , )( 00 tVV nn  )0( 0 tVr Vr . Для констант , , в (24) имеем: 0D E0 0G , sin)sin(cos cos , cos sin ,sin, cos sin 00000 2 0 0 0 0 0 0 00 2 00000 0 0 2 0 00 22 2312 00          nr VV T w b bGbEbD   (25) где 0 0 0     . Момент времени 1tt  определяется из равенства нулю функции пере- ключения, которую в промежутке времени  10 ; tt , используя предположение 104 (18), можно разложить в ряд по степеням малого параметра 10   и аппрок- симировать параболой, отбросив члены третьего порядка малости и выше. Будем иметь: 2 000000 2 1 δΦδΦΦ)Φ(δ  , (26) где ;, sin .       ,               0 000 0 00 0 00 2 0 0 0 0 000 0 0 00 0 0 0 23 2 m TPgw T� tg )(b T w Φ ,)tg(b T w Φα,b T w Φ C3д   пудP . – удельная тяга в пустоте; – масса КА при 0m 0tt  . Приравнивая к нулю (26), получаем квадратное уравнение, определяю- щее момент времени с точностью до величины второго порядка малости включительно. Имеем: 1t              .0 0 0 0 0                               при211 при2 при211 )( 2 0 00 0 0 000 2 0 00 0 0 010 Φ Φ ΦΦ Φ Φ ΦΦΦ Φ Φ ΦΦ Φ Φ tt (27) Так как функция переключения в промежутке времени  10 ; tt принимает только положительные значения, то ветви параболы (26) должны быть на- правлены в противоположную сторону от направления оси ординат и, поэто- му, необходимо выполняются неравенства: 00 00  Φ,Φ . (28) В промежутке времени на втором участке траектории перехо- да параметры оптимального управления и оптимальной траектории опреде- ляются по соотношениям:  21; ttt     ;, cos ,sin,cos 11 1 1 1 1 1 1 1 1         e p r e p Ve p V rn (29) 105 ,)( ,)cos)(cos( ,sin, cos )cos( constt Mee p L Le e Me L         0 11 1 1 155 113 1 3 12 1 2 1 1 (30) где ;2arctg(t)            21 1 1 1 E tg e e E – эксцентрическая аномалия; – эксцентриситет и параметр эллиптической орбиты, соответствующей опти- мальной траектории перехода на пассивном участке; – истинная анома- лия, соответствующая положению КА на эллиптической орбите, в момент времени ; 11, pe 1 1tt  ,,           2 1 2 1 21 2 1 1 1 1 1 1 rV pV p r p e n r 1 1 1 1 p V V arctg n r    ,   1 1 1 1 p e Vr sin , )( 011  tVV nn , )( 011  tVV rr , )( 011  trr , , – константы интегрирования. )( 011  t ML, Значения ) в интервале времени (tEE   21; tt определяется из уравнения Ке- плера: )(sinsin 13 1 1111 tt p EeEEeE    , где             21 1 2 1 1 1 1 tg e e arctgE . Так как величины ,,,, 5321  являются непрерывными функциями времени, то в момент времени 1tt  должны выполняться равенства: ),()(),()( ),()(),()( 0000 0000 15151313 12121111   tttt tttt (31) где )0(),...,0( 1511  tt 0i – значения, принимаемые в выражениях (24) с индексом , в момент времени 1tt  , )0(),...,0( 1511  tt 1tt  – значения, принимаемые в выражениях (30), в момент времени . Функция переключения на пассивном участке траектории перехода, т.е. для времени  21; ttt  может быть представлена в виде │6│ :   )( )()( )( 1 1 2 2 1 2 2 11 22 2 yy y M y y M y KKm LP t            , (32) 106 где ,  cos11 ey 111 1 cosey ,        2 1 2 sin)( e y M yK . Переход осуществляется на более высокую орбиту  0rrk  и в момент времени ц.м. КА находится на восходящей ветви траектории перехо- да, поэтому последний множитель в (32) будет отрицательным до момента времени . А так как в промежутке времени 1tt  2tt 0)( tΦ  21; tt , то, следова- тельно, предпоследний множитель в (32) в этом промежутке может прини- мать только положительные значения, т.к. остальные множители, кроме по- следнего, положительные. В момент времени 2tt  функция переключения принимает значение равное нулю и этот момент времени находится из уравнения: )( 2 .0 22 1 2 2 1 2 2  y M y y M y (33) Подходящим решением уравнения (33), в рассматриваемой задаче, явля- ется корень: , 8 11 4 )( 2 3 1 2 1 2 22          M y y M yy (34) т.к. второй корень этого уравнения отрицательный и не имеет смысла. Из (34) находим: ).0(1 8 11 4 1 arccos 22 3 1 2 1 2 1 2                   M y y M e (35) и, соответственно,  )sin(sin 12112 3 1 12 EEeEE p tt     , (36) где . 21 1 2 2 1 1 2             tg e e arctgE Наконец, на третьем заключительном (активном) участке оптимальной траектории перехода , и для 1 ki u 0Φ(t)  kttt ;2 . Этот участок ха- рактеризуется тем, что КА выводится на заданную орбиту и конечные значе- ния текущих параметров движения в момент времени ktt  должны удовле- творять соотношениям, определяющим заданную конечную орбиту. Если эта орбита определяется соотношениями (11), то из (12) следует, что: 0) kΦ(t . (37) Равенство (37) также выполняется для круговых орбит и может быть исполь- зовано вместо какого-либо равенства из (13). Параметры оптимальной траектории перехода КА на заключительном участке (активном) определяются формулами (23), в которых: 107 .0 kkk CBA (38) Соответственно в (24): , cos 2sin31 ,sin, cos sin2 22 k kk kkkkk k kk kk bGbEbD        (39) где ;);(5 0 k k kk k k t w m b     k – угол между вектором тяги и местным горизонтом в момент времени ktt  ; k – угловая скорость вектора тяги в момент времени ktt  . В момент времени 2tt  имеем условия непрерывности: )()(),()(),()( 000000 232322222121  tttttt . Равенства (17) преобразуются в трансцендентные уравнения следующе- го вида: ),(2sin)(cos)(1 1 ,cos)(sin)( 1 )1( ),(sin)(cos)(1 1 232221 2 1 2221 1 2 2 2 1 232221 1 2 tFttFttF y e r ttFttF e ye V tFttFttF e y V k kk k kk k k kk k kk k k k kk k kk k k                        (40) где ., ;cos)( ;)sincoscossin2()( ;)sinsincoscos2()( 2 23 22 21 2 2 2 tttttt tdt m P tF dttt m P tF dttt m P tF kkk k t t k kk t t k kk t t k k k k        В качестве примера рассмотрим переход между круговыми орбитами с активными участками малой протяженности. В этом случае естественно предположить, что начальное значение угла близко к нулю, что параметры фрагмента эллиптической орбиты на втором (пассивном ) участке траектории перехода незначительно отличаются от параметров 0 11 pe , pe, гомановской переходной орбиты [8] и соответствующей ей 0 , т.е.: pppeee e  111,00000 ,1 2 ,1cos,sin  , (41) 108 где 10  ; 10  ; 11  ; 1  p p . Т.к. , коэффициенты параболе (26) будут: 0 00  rn VV .)2(3,)2(,0 00 0 00 2 000000                   T  С точностью до первого порядка малости находим продолжительность первого активного участка: . 1 4 )( 0 11 10010    ee ttt (42) Откуда определяем начальное значение угла 0 в зависимости от продолжи- тельности активного участка: ,1 4 101 1 0 te e  (43) т.е. оптимальное направление вектора тяги при сходе с круговой орбиты в начальный момент времени должно быть таким, чтобы при последующем движении модуль радиуса вектора уменьшался. Из соотношений (23) для можно получить: 0i , 3 1 )(,)(,)( 2 1011101111 tVtrtVtVVtV rn  (44) где .1ln 1 0 0 0 1 01 1 0 t T w T t wdt m P V t t          В момент времени выключения двигателя 1tt  начинается пассивный участок траектории перехода, который представляет фрагмент эллипса с па- раметрами pe и . При этом перигей эллиптической орбиты отстоит от поло- жения КА на эллиптической орбите в момент выключения двигателя на угло- вом расстоянии: 101 1 2 1 te  . (45) Из соотношений (24) с учетом (31) в момент времени 1tt  имеем: .sincossin , cos1 )cos1( sin2cos2 11100100 11 2 11 0100100     LetEtD e Me LGtEtD Откуда находим: ,1, 2 2 20  eM b L (46) где . 12  109 Для определения соотношения между углом k (угол между вектором тяги и местным горизонтом) в момент времени ktt  выведения КА на кру- говую орбиту радиуса krr  и продолжительностью второго заключительного активного участка аппроксимируем функцию переключе- ния параболой, аргументом которой является малая величина 2ttt kk  kkk t (18). Имеем: , 2 1 )( 2 kkkkkt   (47) где ,)2(3)(,)2)((,0 2 55                   kk k kkkkkkkkkk T tt    k k m T ; kk e e   1 2 ; 1 k  ; 1 k . В моменты времени и функция переключения (47) равна нулю, т.е. выполняются равенства (33), (37). Из (47) находим момент времени : 2t kt 2t ee tt k k k kk        1 4 2)( 2 или искомое соотношение et e kkk  1 4 . (48) Из равенств (24) можно получить, что kt  )( 2 . (49) Используя (49) и непрерывность сопряженных переменных в момент време- ни , находим, что КА в момент включения двигателя располо- жен на переходной эллиптической орбите на угловом удалении от апогея: 2tt   2tt   etkk  1 2 1 2 , т.е. корень (34) равен: 22 cos1)(  ey . (50) В соответствии с (50) определяем:  222 1 2 0 2 2 )3()3()1( 32 kk tetee e  . Из равенства 00  k и непрерывности переменной ) в момент времени и следует, что (2 t 1t 2t 0 00 50 ,)(, T m m T m m tbb k k k kk  . Из уравнений (40) с учетом (41) и того, что 22 sin , 12 cos , на- ходим: 110 . 2 )11(, 3 1 )( ,)(,)( 2 2 22 kkkkkk kkkrkn V e eVVtVtr tVtVVtV   (51) На основании (51) с учетом (41) определяем: .1,1, 2 )11( 00 1 01001                       u V kk u V k eTteTtV e eVV Таким образом, задача оптимального перехода между круговыми орби- тами в предположении, что оптимальная траектория состоит из двух актив- ных участков малой протяженности и одного пассивного между ними реше- на. Начальные значения параметров 00 ,   равны: eete e    1 2 ,1 4 0 0100  . (52) Продолжительность перехода также определяется и равна:        2 32 1 3 0 )1( 2 1 1)( ett p tt kk . (53) Результаты (52), (53) могут быть использованы в качестве первого прибли- жения в задачах с продолжительными активными участками. 1. Исследование оптимальных режимов движения ракет: Сборник статей. – М. : Оборонгиз, 1959. – 293 с. 2. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета / Под редакцией Дж. Лейтмана. – М. : Наука, 1965. – 538с. 3. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации : перевод с английского. / Д. Ф. Лоуден. – М. : Мир, 1966. – 152 с. 4. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. / Н. Н. Моисеев – М. : «Наука», 1971. – 424 с. 5. Ильин В. А. Оптимальные перелеты космических аппаратов / В. А. Ильин, Г. Е. Кузмак. – М. : Наука, 1976. – 744 с. 6. Комаров В. Г. Об оптимальных траекториях перехода между компланарными круговыми орбитами с конечным числом активных участков / В. Г. Комаров. // Космические исследования на Украине. – 1975. – Вып.7. – С. 37 – 41. 7. Гурман В. И. Об оптимальных переходах между компланарными эллиптическими орбитами в централь- ном поле / В. И. Гурман // Космические исследования. – 1966, IV, 1. 8. W. Hohmann. Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, Oldenbourg, Munich, 1925. 9. Комаров В. Г. Об одном возможном подходе к исследованию оптимальных траекторий перехода между компланарными орбитами / В. Г. Комаров // Космические исследования на Украине. – 1982. – Вып. 16. – С.70 – 73. Институт технической механики Получено 06.07.11, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 25.10.11 Днепропетровск 111

Ähnliche Einträge