Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения

Изучено поведение и области применения весовой функции распределения по крупности, подчиняющейся двум законам распределения: модифицированному логарифмическому нормальному распределению Колмогорова и обобщенному закону распределения Вейбулла. Определена точка их стыковки и связь параметров обоих фор...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Пожидаев, В.Ф., Прядко, Н.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2012
Schriftenreihe:	Техническая механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88364
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения / В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко // Техническая механика. — 2012. — № 4. — С. 96-103. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88364
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-883642015-11-13T03:02:14Z Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С. Изучено поведение и области применения весовой функции распределения по крупности, подчиняющейся двум законам распределения: модифицированному логарифмическому нормальному распределению Колмогорова и обобщенному закону распределения Вейбулла. Определена точка их стыковки и связь параметров обоих формул, регулирующих характер поведения кривой распределения на всей области существования. Вивчено поводження й області застосування вагової функції розподілу за крупністю, що підкоряється двом законам розподілу: модифікованому логарифмічному нормальному розподілу Колмогорова й узагальненому закону розподілу Вейбулла. Визначено місце їхнього стикування й зв'язок параметрів обох формул, що регулюють характер поводження кривої розподілу на всій області існування. The behavior and applications of the weighting function of distribution in size are studied according to the two distribution laws: Kolmogorov’s modified logarithmic normal distribution and Vabull’s generalized distribution. The point of their coincidence and parametric coupling for both of formulae controlling the behavior of the distribution curve along the whole existence region is determined. 2012 Article Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения / В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко // Техническая механика. — 2012. — № 4. — С. 96-103. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88364 622.73 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Изучено поведение и области применения весовой функции распределения по крупности, подчиняющейся двум законам распределения: модифицированному логарифмическому нормальному распределению Колмогорова и обобщенному закону распределения Вейбулла. Определена точка их стыковки и связь параметров обоих формул, регулирующих характер поведения кривой распределения на всей области существования.
format	Article
author	Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С.
spellingShingle	Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С. Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения Техническая механика
author_facet	Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С.
author_sort	Пожидаев, В.Ф.
title	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения
title_short	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения
title_full	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения
title_fullStr	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения
title_full_unstemmed	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения
title_sort	исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88364
citation_txt	Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения / В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко // Техническая механика. — 2012. — № 4. — С. 96-103. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT požidaevvf issledovaniezakonovraspredeleniâispolʹzuemyhdlâanalizaproduktovizmelʹčeniâ AT prâdkons issledovaniezakonovraspredeleniâispolʹzuemyhdlâanalizaproduktovizmelʹčeniâ
first_indexed	2025-07-06T16:07:29Z
last_indexed	2025-07-06T16:07:29Z
_version_	1836914363843215360
fulltext	УДК 622.73 В.Ф. ПОЖИДАЕВ, Н.С. ПРЯДКО ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОДУКТОВ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ Изучено поведение и области применения весовой функции распределения по крупности, подчи- няющейся двум законам распределения: модифицированному логарифмическому нормальному распреде- лению Колмогорова и обобщенному закону распределения Вейбулла. Определена точка их стыковки и связь параметров обоих формул, регулирующих характер поведения кривой распределения на всей области существования. Вивчено поводження й області застосування вагової функції розподілу за крупністю, що підкоряєть- ся двом законам розподілу: модифікованому логарифмічному нормальному розподілу Колмогорова й уза- гальненому закону розподілу Вейбулла. Визначено місце їхнього стикування й зв'язок параметрів обох формул, що регулюють характер поводження кривої розподілу на всій області існування. The behavior and applications of the weighting function of distribution in size are studied according to the two distribution laws: Kolmogorov’s modified logarithmic normal distribution and Vabull’s generalized distribution. The point of their coincidence and parametric coupling for both of formulae controlling the behavior of the distribution curve along the whole existence region is determined. Значительные трудности, а в ряде случаев невозможность определить опытным путем распределение зерен измельченного минерального сырья, особенно в мелких классах, явилось причиной многочисленных исследова- ний. Поискам аналитических выражений способствовала замеченная, в каза- лось бы случайном процессе измельчения, устойчивость распределения зерен по классам крупности. Известно немало случаев, когда стремление к расши- рению диапазона применимости уравнений приводило к противоречивым суждениям о степени пригодности их к конкретным задачам. Нередко виной тому являлось применение уравнения к интервалу крупности, не исследован- ному и не рекомендованному автором [1]. Многие исследователи неоднократно обращались к фундаментальному результату А. Н. Колмогорова о предельном распределении [2]. Как известно, предельным законом при дроблении независимо от способа измельчения яв- ляется логарифмически-нормальное распределение. Истинный закон распре- деления асимптотически приближается к предельному. Исчисление средних характеристик смеси зерен всегда наталкивается на одно принципиальное затруднение: неопределенность значения самого тер- мина. Так, для вычисления среднего диаметра смеси зерен в диапазоне круп- ности существует очень большое число формул. ),( ba Задача исчисления среднего диаметра становится определенной и вполне разрешимой, если исходить из следующего определения средней величины: средней аргумента x по рассматриваемому определяющему свойству кол- лектива мы назовем то одинаковое для всех членов коллектива значение аргумента S x , которое им можно придать, не изменяя определяющего свойст- ва коллектива. То есть, средняя есть величина x , характеризующая объек- тивно уравненный коллектив xxx ,,,  , но при этом имеющая такое же ко- личественное выражение определяющего свойства. Таким образом, каждое свойство коллектива зерен отражается своей осо- бой средней. В зависимости от того, какое свойство мы стремимся отобразить в средней, нам приходится вычислять ее то одним, то другим способом. Из этого вытекает, что средний диаметр должен быть заранее рассчитан на ото-  В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко, 2012 Техн. механика. – 2012. – № 4. 96 бражение какого-либо свойства, которое мы и будем называть “определяю- щим”. Для того чтобы определяющее свойство было отображено в среднем диаметре, нужно уметь выразить это свойство в виде функции , завися- щей от диаметра частиц данного класса . Тогда если z означает средний размер частиц этого класса, то . Решая полученное таким образом уравнение относительно , получим надлежащую для данного кон- кретного случая формулу вычисления среднего диаметра. )(xf ),( ba  (fdx) b a )zx(f z Вопрос о том, какой характер имеет распределение частиц по размерам внутри узкого класса крупности, неотделим от вопроса об эквивалентном диаметре частиц этого класса. Обычно считается, что средний диаметр час- тиц узкого класса крупности есть среднее арифметическое его граничных диаметров. Это означает не что иное, как допущение того, что внутри этого класса справедливо равномерное распределение частиц по размерам. Не все- гда такие предположения могут быть удовлетворительными. Можно доста- точно точно решить задачу об отыскании эквивалентных диаметров и плот- ности распределения частиц узкого класса крупности. Будем считать извест- ными величины ,,ba , где и – граничные диаметры класса крупности , a b ),( ba  – выход этого класса. Пусть – кумулятивная характеристика по минусу. Будем ее также называть функцией распределения в весовых долях, которая описывает рас- пределение во всем диапазоне крупности ) , где D – крупность макси- мального куска. Обозначим далее через  xF ,0( D )(x и )(x соответственно истин- ную плотность и истинную функцию распределения случайной величины x . Между функциями и ) существует взаимно однозначная связь [3]. Если известна ) , то известной является и ) )(xF (x (xF (x во всем диапазоне круп- ности . ),0( D Цель данной работы – отыскание достаточно простых и точных пред- ставлений функций  и , справедливых только внутри интервала .  ),( ba Одной из актуальных задач измельчения минерального сырья является нахождение весовой функции распределения по крупности. Решение этой задачи осложняется тем, что в области крупных классов распределение по крупности традиционно описывается законом Вейбулла, а для мелких клас- сов (особенно в окрестности нуля), как доказано Колмогоровым, работает логарифмический нормальный закон. Рассмотрим весовую функцию распределения, связанную с логарифми- ческим нормальным распределением Колмогорова. Полученную функцию назовем модифицированным логарифмическим нормальным законом                      lnln ln 1 1 xxxF , (1) где – мода распределения, – дисперсия  2 ln x  . Рассмотрим весовую функцию распределения Вейбулла. Традиционной записью является , где r – параметры.   rxxF 12 , 97 Но существует также следующее эквивалентное представление:               r l xF exp12 (2) Исследуем свойства функции . После замены 2F r l xt       , где l – пере- менная, функция распределения имеет вид :               r l xF exp12 , и ее произ- водная   1 2         r t x l x l reF . Найдем область, в которой   02  xF . Для этого прологарифмируем первую производную и найдем вторую производную функции:                   r x l x r r x r FF 1 22 . Однако, 02 F   ,0x , т. к. – функция распределения. Следова- тельно, не влияет на знак и при решении неравенства ее можно отбросить. Из вероятностного смысла функции распределения , 2F 2F 0r 0 , , . Отсюда 0l 0x 0 x r . В итоге получим:   02  xF  r r rlx 1 1         . (3) Таким образом, условие выпуклости вниз функции приводит к нера- венству (3), которое определяет область его выполнения. Это условие необ- ходимо иметь в виду для разграничения области действия закона распределе- ния. 2F Поскольку функции и призваны описывать одну случайную вели- чину – крупность – в разных областях ее изменения, необходимо выяснить связь параметров, регулирующих характер поведения кривой распределения до точки их стыковки и после. Используя проведенную выше замену 1F 2F t l x r       , получаем t r lx ln 1 ln ln и подставляем это выражение в 1F                       lt r xxF ln 1 ln 1lnln 1 . Перейдем к новой переменной и в законе распределения Вейбулла (2): t   tl x eexF r         112 . 98 Обозначим через значение d x , которое разделяет области действия и . Тогда, подставив 1F 2F dx  , найдем       r l d – точку разделения в новых координатах. Введем следующие обозначения: 1 1 a r   , 0ln al     и запишем обобщенную функцию распределения:                       te ttaa ttF ttF tF t     ,1 0,ln , 0, 10 2 1 . Очевидно, что в точке t выполняется условие    tFtF tt 21 limlim    (или для обобщенной функции    tFtF t t   limlim ) в силу непрерывности случайной величины x (следовательно, и t ), тогда имеем: ,     eaa 1ln10     eaa 1ln 1 10 . Если в некоторой точке плотность распределения dx  )(xF  терпит разрыв, это означает в общей непрерывной совокупности изменения размеров наличие такого класса частиц, весовая доля которых равна величине скачка функции плотности. Исходная совокупность, тем самым, разбивается на две статистически однородные совокупности, сама при этом не являясь статисти- чески однородной. Поскольку мы имеем дело с однородной совокупностью, потребуем также равенство первых производных в точке t (условие одно- родности): (или для обобщенной функции ). Найдем производные функций   t t t F   1 limlim  tF     tF  2 ttt F    limlim  tF1 и  tF2 в точке t :               2 10 11 101 ln 2 1 exp 2 1 ln    aaaaaaF t и        eF t2 . Найдя производные функций и  tF1  tF2 , можно определить производ- ную обобщенной функции:                   te ttaa t a F t t    , 0,ln 2 1 exp 2 1 2 10 1 . Из условия однородности:       eea aa 2 10 ln 2 1 1 2 1 . Прологарифмируем полученное выражение и преобразуем его:       eea aa ln 2 1 ln 2 10 ln 2 1 1 , откуда      2 10 1 ln 2 1 ln 2 ln aaa . 99 Потребуем, чтобы выполнялось равенство              t t t t FF 21 limlim  (или для обобщенной функции         tttt FF limlim     ). Отметим, что достаточ- но потребовать равенство    tFt 2lnF1ln . Действительно,        t tt t F FF    1 1 1 ln ,        t tt t F FF    2 2 2 ln , и поскольку        tt FF 21 , достаточно потребовать равенство производ- ных логарифмов. Прологарифмируем производные обеих функций:    210 1 1 ln 2 1 ln 2 lnln taataF t   , .   tF t  2ln Тогда    ta taa t F tt 1 10 1 ln1 ln    ,    1ln 2   ttF , 1 ln1 1 10    ta taa t , откуда tataaa 1101 ln  , 11 ata10 ln taa  . В точке t выполняется равенство 1110 ln aaaa   . Тем самым определяются параметры ,, 10 aa . Запишем полученные условия в систему и решим ее:                1110 2 10 1 1 10 ln ln 2 1 ln 2 ln 1ln aaaa aaa eaa      . Вычтем из первого уравнения системы третье:   11 1 1 aae    ,   1 11 1      ea , если 1 или . ld  Покажем, что 1 . Докажем от противного. Пусть 1 . Найдем . Для этого вычислим предел 0a      1 ln         11lim 1 1   e . Так как    11 1 1lim    ee   1 1  – число, а 1 1 1 1 lim 0 0 1 ln lim 1             , получим      0111 1 ln 11lim 111 1           ee    . Но тогда   01 11   e      01 11   e 5 ,  5 ,01 1  e ,01 e 2e . Получили противоречие, следовательно 1 . Подставим в первое урав- нение: 1a             eea 1ln 1 1 1 1 0 , 100                     1 ln 11ln 1 1 1 1 1 1 0       eeea . Таким образом, мы получили выражение для и : 0a 1a                        1 1 1 ln 11 1 1 1 0      ea ea . Найдем уравнение для определения  :   01 2 1 ln 2 ln 22 1 1    aa или        01 2 1 ln 21 1 ln 21 1          ee . Решив численно это уравнение и подставив найденное значение  , полу- чим следующие значения параметров стандартного обобщенного закона рас- пределения: .266236,0,202216,1,820645,1 01  аа (4) Проведем анализ поведения вторых производных функций и . 1F 2F        ttt t eeeF       12   02  tF t .          .ln 1 ln 1lnln 1 1 0102 2 1 1012 1 101         ta a ataa t a taaa t ataaF t            ta a aF t ln 1 sgnsgn 1 1 01 . Поскольку функция действует в окрестности нуля, и – положи- тельные константы, то выполняется  1F 0a sgn 1a ln1t    1sgn 1  tF t . Найдем точку перегиба (если она существует): ,   01  tF    01ln101  taaa 1 10 1 ln a taa  , 0 1 1 1 ln a a ta  , 9133411,0 11 ln 0 11        a aa t , . 401182,0 et 9133411,0 Следовательно, точка перегиба существует и находится до точки  . От- сюда .   01  tF 101 Найдем связь между параметрами  и в различных записях закона распределения Вейбулла: l                 r r l xx exp1exp1  ,                          r r l xx explnexpln  ,   r r l xx       lnln  , lr lnln   rl 1   . Таким образом, мы имеем 6 параметров  , , l r ,  ,  , обобщенного закона распределения и три уравнения, связывающие эти параметры. Учиты- вая связь между d  и , имеем лишь два независимых параметра. Представля- ет интерес нахождение четырех параметров при двух заданных. l 1) Пусть заданы  и r (либо  и ). Найдем l  ,  , . d r a 1 1   ra1 1  . r l d        r l d       lnln , l dr lnln  , rld  1 .    la ln 1 0      0ln al , ,   0lnlnln ael    0ale . Таким образом, при заданных  , r , l найдены ra1 1  , rld 1  , .    0ale 2) При заданных  и  аналогично находим  , , l r , d 1 1 a r  ,         0ael , .   01 aa ed Для нахождения параметров обобщенного закона распределения вос- пользуемся методом вероятностной бумаги, предложенным Вейбуллом [3]. Идея метода состоит в следующем: находится такое преобразование коорди- нат, при переходе к которому функция распределения преобразуется в пря- мую. При этом параметры полученной прямой линии однозначно связаны с неизвестными параметрами исходного распределения, подлежащими опреде- лению. Для нахождения преобразования координат найдем функцию, обратную к обобщенной функции распределения.         FFFF FFt ,1 11       FFFF ,1 2 ,                  ).(, 1 1 ln ),(, )( exp 1 0 1   FF F FF a aF t 102 Поскольку r l xt       , то   lrxrlxrt lnlnlnlnln  xln . Таким образом, функция линейна относительно . Следовательно, иско- мым преобразованием координат будет:  FFt 1lnln  xln ,                     )(, 1 1 lnln )(, )( 1 0 1    FF F FF a aF . Выводы. Изучено поведение функций, описывающих распределение частиц по крупности в разных областях ее изменения и подчиняющихся мо- дифицированному логарифмическому нормальному распределению Колмо- горова и обобщенному закону распределения Вейбулла. Определена точка соединения кривых распределения и установлена связь параметров, регули- рующих характер поведения кривой распределения до и после этой точки. 1. Пилов П. И. Моделирование замкнутых циклов измельчения на основе гипотезы Риттенгера / П. И. Пи- лов, Н. С. Прядко // Збагачення корисних копалин. – Дн-ск. : НГУ. – 2012.– №51 (92). – С. 98 – 107. 2. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика : сб. статей / А. Н. Колмогоров. – М. : Наука, 1986. – С. 264 – 266. 3. Гарус В. К. Формализация результатов разделительных процессов в углеобогащении/ В. К. Гарус, О. В. Грачов, В. Ф. Пожидаев, А. Д. Полулях. – Луганск : изд-во «НВФ «СТЕК», 2003. – 176 с. Институт технической механики Получено 01.10.12, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 19.11.12 Днепропетровск 103

Исследование законов распределения, используемых для анализа продуктов измельчения

Institution

Ähnliche Einträge